l pasado 15 de abril se cumplían 300 años del nacimien-to de uno de los cuatro matemáticos más geniales de la histo-ria, Leonhard Euler. Para mi, los otros tres, y que cada cualelija su orden, son Arquímedes, Newton y Gauss. Si la califi-cación la hiciésemos atendiendo a la cantidad de los trabajosde primer orden realizados por cada uno de ellos, sin dudaEuler ocuparía el primer lugar. A lo largo de su extensa vidaEuler produjo más de ochocientos libros y miles de artículosy trabajos. Sus obras completas Opera Omnia ocupan más de80 volúmenes. Sin lugar a dudas es el matemático más prolí-fico de la Historia. Pero, con ser importante la cantidad detrabajos, el aprecio de los matemáticos contemporáneos yposteriores a él se debe más a la riqueza, originalidad, bellezay genial agudeza de su obra que a su volumen.

Y sin embargo, Leonhard Euler, un genio equiparable aWilliam Shakespeare, a Johann Sebastian Bach o a Miguel

95

Antonio Pérez Sanz decabezaz@fespm.org

El problema de Basilea.El año de Euler: 1707-2007

54

Junio 2007, pp. 95-99

E

De c

abez

aLeed a Euler, es el maestro detodos nosotros.

Pierre Simón de Laplace

Sobre la base de un diseño de la RSME

96

SUMA 55Junio 2007

Angel, es un gran desconocido para el gran público y lo que espeor para muchos estudiantes y profesores de matemáticas. Silos estudiantes de enseñanza secundaria y de los primeroscursos universitarios de matemáticas sospechasen cuántos delos resultados que estudian y aplican se deben al matemáticosuizo su figura se agigantaría hasta ocupar el lugar que real-mente le corresponde, la cima de la Historia de lasMatemáticas.

Desde esta sección de SUMA, y continuando con el artículodel número 54, “Euler. El maestro de todos los matemáticos” deSantiago Gutiérrez, nos queremos sumar a William Dunham,uno de los más populares divulgadores científicos de la actua-lidad, que desde hace años viene levantando la bandera deEuler y reivindicando su figura en un más que loable intento,además de justo, de colocarle en el pedestal que le correspon-de. Como él, este año de forma especial, encarecemos a loslectores a formar clubes de seguidores entusiastas de Euler, aescribir pancartas y a popularizar la figura de cualquier otraforma de uno de los matemáticos más influyente y más inge-nioso que han existido.

Siglo XVII. La fiebre de las series infinitas

En 1668 Nicolás Mercator plantea en su obra Logarithmo-technia la posibilidad de cuadrar un arco de hipérbolamediante una serie infinita, obteniendo el desarrollo en seriedel logaritmo. Newton había resuelto este problema algunosaños antes y así se lo había mostrado a Barrow, pero no sólopara la hipérbola sino para cualquier curva. Para reivindicar lapaternidad de sus ideas escribe el tratado De analysi peraequationes numero terminorum infinitas1, que será leído porJohn Collins en su nombre en una sesión en la Royal Society.Collins aprovechó la ocasión para realizar algunas copias quecircularon entre un reducido grupo de personas en Londres.El De analysi no se publicaría hasta 1711. Algo similar a lo queocurrió con el Cálculo, ya que aunque Newton desarrolló susistema de cálculo diferencial y cálculo integral entre 1670 y1671 en una extensa obra Methodus fluxionum et serieruminfinitarum, esta se publicó en 1727, después de su muerte. Elcálculo de fluxiones aparece brevemente en un apéndice de suÓptica, titulado Tractatus de quadratura curvarum en 1704.

De analisi... Newton 1711

En la Regla III, el primer ejemplo resuelto por Newton de cál-culo de áreas encerradas por la curva corresponden a la hipér-bola

de la que da el desarrollo:

El área encerrada por la curva, es según bien dice Newton:

Está claro que para los valores de a=b=1, obtenemos el des-arrollo de la función

cuya área corresponderá al desarrollo en serie del logaritmo:

Desarrollo obtenido por Mercator aproximando el área de la

curva entre 0 y x, mediante n rectángulos de base y

altura

En la década 1660-70 Mercator y Newton se habían embarca-do en el fascinante mundo de las series infinitas. Este últimocompletando el proceso para la extracción de la raíz cuadrada

, aplicando su famoso binomio para exponentesracionales, y para la resolución literal de ecuaciones.

De hecho, el jeroglífico que Newton escribe a Leibniz en laEpístola posterior, en octubre de 1676 hace una famosa refe-rencia encriptadada al método de desarrollos en series infini-tas. Y que en versión de Wallis2 dice: la asunción, en lugar deuna cantidad incógnita cualquiera, de una serie a partir de lacual puédanse derivar cómodamentelas demás; y en la com-paración de los términos homólogos de la ecuación resultantecon los términos a descubrir de la serie asumida...

Leibniz reproducirá el método de coeficientes indetermina-dos en un artículo publicado en las Acta Eruditorum en 1693,sin citar en ningún momento la información de la Epístolaposterior, aunque reconociendo a Mercator y a Newton lapaternidad del invento. Lo que seguramente viene a demos-trar que Leibniz nunca descifró el mensaje cifrado.

log( ) ...12 3 4

2 3 4

+ = − + − +x x x x x

yx

=+1

1

a xb

a xb

a xb

a xb

2 2 2

2

2 3

3

2 4

42 3 4− + − etc.

y ab

a xb

a xb

a xb

= − + −2 2

2

2 2

3

2 3

4 etc.

y ab x

=+

97

SUMA 55Junio 2007

Manuscrito de Newton

11+ t

xn

11

1 1+

= −kxn

k ncon ,...

y x= +1 2

La suma de los inversos de los númerostriangularesLa fiebre de Leibniz por las series infinitas le viene de su viajea Paris en 1672. Leibniz es un joven abogado, diplomático alservicio del Elector de Mainz, en Alemania, va a quedar des-lumbrado por el ambiente artístico, literario y científico querodeaba la corte del rey Sol. Leibniz se presenta con su famo-sa máquina mecánica de calcular, diseñada y construida por élmismo y que tantas puertas le abrió en Paris. Allí además decosechar un notable éxito en los salones más prestigiosos dela Corte conocerá al prestigioso f ísico y matemático,Christian Huygens.

Huygens sólo acogerá a Leibniz y le pondrá en contacto con elcírculo de científicos parisinos notables después de someterlea una prueba de acceso para demostrar su auténtica valíamatemática. Y le plantea este reto:

Calcular la suma de la serie de los inversos de los númerostriangulares

La respuesta de Leibniz, tras unos pocos días, fue original yreflejó una mente ingeniosa, ya que su formación matemáticaen ese momento era más bien pobre.

Pero podemos escribir esas fracciones de esta otra forma (elingenio de Leibniz):

Sustituyendo en la serie obtuvo:

O lo que es lo mismo:

Como se puede ver en la respuesta la convergencias de lasseries no era en ese momento la principal inquietud de losmatemáticos...

De cualquier manera, Leibniz pasó su examen y los medioscientíficos y matemáticos parisinos le abrieron sus puertas depar en par y quizás gracias a ello, pudo nacer el cálculo dife-rencial e integral.

S = − + − + − + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= =2 1 1

212

13

13

14

14

2 1 2... •

S = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+⎡

⎣⎢⎤⎦

2 1 12

12

13

13

14

14

15

...⎥⎥

12

1 12

16

12

13

112

13

14

120

14

15

= − = − = − = −; ; ;

S = + + + + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2 12

16

112

120

130

...

S = + + + + + +1 13

16

110

115

121

...

98

SUMA 55Junio 2007

Epistola posterior, Newton, 1676

El problema de Basilea. Los malditos inversos delos cuadrados...

En este ambiente matemático, a principios del siglo XVIII lasseries infinitas pasan a ser uno de los temas estrellas dentro deluniverso matemático de la época. Estudiar si convergen haciaun número o si se hacen cada vez más grandes será uno de losretos de cualquier matemático que se precie. Y encontrar elnúmero hacia el que converge una serie determinada de ciertadificultad puede aportar reconocimiento a su descubridor.

Jakob Bernoulli ya había demostrado que la serie armónica,

formada por los inversos de los números naturales, no es con-vergente.

Si la suma de los inversos de los números triangulares consti-tuyeron un problema fácil para Leibniz, no ocurrió lo mismocon la suma de los inversos de los números cuadrados.

El problema le fue planteado a Leibniz por Oldenburg, secre-tario de la Royal Society en 1673, aunque ya había sido abor-dado veinte años antes por Pietro Mengoli y por el mismoWalis (que dió el valor de 1,645 como aproximación de lasuma de la serie). Leibniz se va a estrellar contra el muro deesta serie. Pero no será el único.

En apariencia la solución debe ser tan simple como la de lostriangulares. Y así lo pensaron Jakob y Johann Bernoulli, peropronto se dieron cuenta de que algo iba mal.

La serie llegó a obsesionar a Jakob Bernoulli, que en su Posi-tiones aritmeticae de seriebus infinitus earumque summa finitaobtiene el resultado de la suma de las series de la forma

Nuestra serie es casi de esa misma familia, basta hacer k = 0. Jakob consiguió demostrar que era convergente, pero el resul-tado de la suma se le negaba, hasta tal punto que en esa mismaobra lanza publicamente este grito de socorro:

Grande será nuestra gratitud si alguien encuentra y noscomunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestrosesfuerzos.

El genial Euler

¿Quién podría acudir a esta llamada de socorro? Sólo una per-sona: el genial Euler.

En 1731 Euler calculó la suma de los primeros términos hastaencontrar un resultado con más de 20 decimales.

Para ello utilizó la integral

Que calculó de dos formas distintas.

Por una lado sustituyendo ln(1-t) por su desrrollo en serie yhaciendo las integrales de cada término de la serie,

obtiene que

Por otro lado, haciendo el cambio z=1–t, y desarrollando en

serie el cociente , la integral queda:

Con unas manipulaciones algebraicas atrevidas de estas seriesinfinitas, Euler obtiene:

Igualando los dos resultados de la misma integral, tenemos que

La serie del segundo miembro converge rápidamente y Eulerdispone de los logaritmos naturales de los primeros númerosnaturales con decenas de cifras...

1,643934... Pero, ¿quién o qué era este número?, ¿cómoencontrar la solución del enigma?

Hasta aquí, el problema en términos de suma de una serieinfinita rebelde.

1 12

221

2 11

2

k kk kk=

∞

−=

∞

∑ ∑= + ( )ln

Ik kk kk

= − − ( )=

∞

=

∞

∑ ∑1 12 221 212ln

I tt

dt zz

dz z z z z dz= − − =−

= + + + +∫ ∫ ∫ln( ) ln ln ( ...)1

11

0

12

1

12

1

12 2 3

Ik kk

==

∞

∑ 1221

ln( )12 3 4

2 3 4

− = − − − − −t t t t t …

1 12

13

14

11000

1 6439342 2 2 2+ + + + + =... , ...

12 2

1 n kk

n −∈

=

∞

∑ con �

Snn

= = + + + + + +=

∞

∑ 1 1 1419

116

125

13621

...

1 1 12

13

14

15

161 nn=

∞

∑ = + + + + + ...

99

SUMA 55Junio 2007

.

.

I tt

dt= − −∫ln( )1

0

12

11− z

1735-36

La genialidad de Euler va a consistir en relacionar esta seriecon una función, la función seno, cuyo desarrollo era conoci-do desde los tiempos de Newton. Y el ingenio, utilizar el des-arrollo del seno, no como sumas ,sino como producto de infi-nitos factores.

Estos desarrollos de productos los usó Euler para calcular lasuma de algunas series fijándose en la relación entre los coe-ficientes de las potencias y las raíces del producto. Estomismo intentará con la serie de los inversos de los cuadrados.Partiendo del desarrollo del seno:

Euler introduce la función:

Sacando x factor común, en el desarrollo del seno.

Utilizando el hecho de que los ceros de la función P(x) se pro-ducen para los valores en que el numerador se anula, es decirpara

Factoriza

Compara los términos de segundo grado en ambas expresiones:

Y despejando:

Así le comunicaba Euler su extraordinario hallazgo a DanielBernoulli, el hijo de Johann, en una carta fechada en 1735 o1736 y lamentablemente perdida. En septiembre de ese mismoaño, Daniel le respondía planteándole alguna duda y pidién-dole alguna aclaración sobre el proceso. El mismo Johann lecomunicó en abril de 1737 alguna deficiencia, en concreto, laausencia de una demostración de que las únicas raíces de laecuación

eran las de la forma

Nicolás Bernoulli también le criticaría ese salto sin red de lasrelaciones de los coeficientes de un polinomio finito y sus raí-ces al caso de infinitos términos.

Euler es muy consciente de estas limitaciones pero su alegríaes completa, pues él sólo perseguía al fantasmagórico1,6449340668482264364... y así se lo hace saber a JohannBernoulli en una carta de agosto de 1737, en la que reconoceque no es una verdadera demostración pero que el hacer elcálculo de la raíz cuadrada de el séxtuplo del valor calculadose obtienen las primeras cifras decimales de π.

Y ya puestos, utilizando las mismas armas, Euler va a encon-trar la suma de las series de los inversos de todas las potenciaspares de los números naturales.

Todos estos resultados los incorporará en 1748 al capítulo Xdel tomo primero de la Introductio In analysin infinitorum3.En la proposición 168 de ese capítulo, un pletórico Eulerescribe una de las más llamativas páginas de la historia de lasmatemáticas:

x n n= ⋅ = ± ± ±π donde 1 2 3, , ...

sen xx

= 0

1 1 14

19

116

125

13 621 2

2 2

n nn=

∞

∑ = + + + + + = =... !π π

− = − + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

1 1 14

19

1162!

...π

P x x x x x( ) ...= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

1 1 12

12

1

π π π π

−−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x x x x22

2

2

2

2

2

21 41

91

16π π π π...

P x xx

x x x( ) sen! ! !

...= = − + −13 5 7

2 4 6

sen! ! !

...x x x x x= − + −3 5 7

3 5 7

100

SUMA 55Junio 2007

x n n= ⋅ = ± ± ±π donde 1 2 3, , ...

He encontrado ahora y contratodo pronóstico una expresión

elegante para la suma de laserie que depende de la

cuadratura del círculo... He encontrado que seis veces la

suma de esta serie es igual alcuadrado de la longitud de la

circunferencia cuyo diámetro es 1.

Leonhard Euler

Se hace patente así que de todaslas series infinitas contenidas enla forma general

que, cada vez que n fuerenúmero par, se podrían expresarmediante la periferia del círculoπ; en efecto, la suma de la seriemantendrá siempre unaproporción racional con π. Para que se perciba másclaramente su valor, adjuntoaquí varias sumas de tales seriesexpresadas de manera máscómoda.

Todo esto es sólo un pequeño botón de muestra de su mane-ra original y atrevida de enfrentarse a problemas nuevos.

Euler consiguió una demostración rigurosa de este resultadoutilzando el desarrollo en serie de la función arco seno, quesin trampas le permite obtener la suma de las serie de losinversos de los cuadrados de los números impares:

Con este resultado basta hacer:

Es decir

Luego y despejando

Y la joya, la solución del problema de Basilea, recupera todo suesplendor. Aunque desde luego, Euler no lo hizo... de cabeza.

Reivindicación de EulerLa figura de Euler se hace gigantesca cuando exploramos encualquier rama de las matemáticas. La cantidad y la impor-tancia de sus descubrimientos nos hacen dudar a veces quepuedan ser obra de una sola persona. Aunque Euler no erauna persona normal, era un genio. Un genio al que muchosmatemáticos actuales, haciendo caso omiso del contexto his-tórico y científico en el que desarrolla sus descubrimientos,critican por intuitivo y primitivo y carente del rigor necesario.Se olvidan de que, como los propios conceptos matemáticos,el concepto de rigor cambia con los tiempos.

Como dice Dunham, Leonhard Euler fue un inventor, unexplorador y un artista. Con un entusiasmo inquebrantable seaventuró por zonas desconocidas; no sólo del mundo f ísicosino también del mundo interior. Como ocurrió con los gran-des exploradores, de vez en cuando tomó el camino equivoca-

1 1 13

15

17

12

14

16

1

21

2 2 2 2 2 2nn=

∞

∑ = + + + +⎛⎝⎜⎞⎠⎟+ + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= +

... ...

113

15

17

14

1 12

13

142 2 2 2 2 2

+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ + + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

... ...

1 13

15

17

8 11

2

2 2 2

2

20

12

+ + + + =

= =−

=∫

...

arcsen (arcsen )π tt

dt

101

Intr

oduc

tio in

ana

lysin

infin

itoru

m. E

uler

18

14

12

1

2

21n nn n=

∞

=

∞

∑ ∑= +π

34

1821

2

nn=

∞

∑ = π1

621

2

nn=

∞

∑ = π .

SUMA 55Junio 2007

102

do y se olvidó de alguna referencia importante. Sin embargoEuler se merece nuestra total admiración. Trabajando en lasemioscuridad de su ceguera, y sólo con el poder de su inigua-lable imaginación, llegó hasta las fronteras de las matemáticasde su época y las amplió de forma increíble.

Hoy, en cualquier camino matemático que sigamos nosencontraremos tarde o temprano con él, con sus resultados:relación de Euler de los poliedros convexos, teoría de grafos,recta de Euler, constante de Euler, funciones, logaritmos,variable compleja... Y si no aparece alguno de sus resultadoscompartiremos con él, ignorándolo muchas veces, alguna desus omnipresentes notaciones: f(x), e,π, i ...

De hecho Euler está presente, como si de un guiño de la natu-raleza se tratase en la relación más hermosa de las matemáti-cas; una relación que liga de forma sutil las cinco constantesnuméricas universales más populares, los números 0, 1,π, e, i.

Y que es el compendio de todo el Análisis. Una relación, porsupuesto descubierta por el genial Leonhard Euler:

eπi+1 =0

Un homenaje que el Universo le hace a las Matemáticas a tra-vés de uno de sus hijos más ilustres.Aún hoy, trescientos años después de su nacimiento, tieneplena vigencia la frase de Laplace

Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros.

Y ahora no hay pretexto, en la web The Euler Archive puedesencontrar muchas de sus obras:

http://www.math.dartmouth.edu/~euler/

CASTRO CHACID, I.(1996): Leonhard Euler, Grupo Editorial Ibero-américano, México DF.

EULER, Leonhard (2000): Introducción al análisis de losinfinitos,Editores A.J. Durán y F.J. Pérez. SAEM Thales, Sevilla

CONDORCET, Marqués de: Eulogy to Mr. Eulerhttp://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html

DUNHAM, William (2000): Euler el maestro de todos los matemáticos,Ed. Nivola, Madrid

DUNHAM, William, (1993): Viaje a través de los genios, Ed. Pirámide,Madrid

DURÁN, A.J. (1996): Historia, con personajes, de los conceptos del cál-culo, Alianza Univ. Madrid.

FUSS, Nicolas: Eulogy of Leonhard Eulerhttp://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/fuss.html

NEWTON, I., (2003): Análisis de cantidades mediante series, fluxionesy diferencias Editores Editores A.J. Durán y F.J. Pérez, SAEMThales, Sevilla.

PÉREZ SANZ, A. Euler, (2001): Una superestrella, Documental de laserie Universo matemático, RTVE.

SÁNCHEZ, C. y VALDÉS C. (2004): De los Bernoulli a los Bourbaki, Ed.Nivola, Madrid .

Las obras de Euler on-line: http://www.math.dartmouth.edu/~euler/

REFERENCIAS BIBLIOGÁFICAS

1 De Analyis per Quantitatum Series, Fluxiones ac Differentias,Isaac Newton, Ed. facsímil, SAEM Thales y RSME, Sevilla, 2003.

2 Tomo II de las Opera de Wallis3 Edición facsimil y comentada de la SAEM Thales y la RSME.

NOTAS

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