El ojo clínico: matemáticas en la Medicina · sido infectados por la viruela. R(t) es el numero...

El ojo clınico: matematicas en la Medicina

Colegio Libre de Emeritos, 26 de noviembre de 2015

Antonio Cordoba El ojo clınico: matematicas en la Medicina

Progresiones geometricas

a, ar , ar2, ar3, . . . , arn, . . .

a = primer termino, r = razon (r 6= 1).

Suma de los terminos:

Sn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + arn

rSn = ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + arn +arn+1

(1− r)Sn = a −arn+1

De manera que

(1− r)Sn = a− arn+1 =⇒ Sn =a

1− r− a

1− rrn+1


Caso 0 < r < 1: como rn+1 → 0,

Sn →a

1− r.

Ejemplo:

1 +1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n=

1

1− 1/2− 1

1− 1/2

(1

2

)n+1= 2− 1

2n.

De manera que

1 +1

2+

1

22+

1

23+

1

24· · · = 2


Administrando medicamentos

Cmax = concentracion maxima tolerada

Cmın = concentracion mınima eficaz

Cop = concentracion optima

[Cmın,Cmax] es el intervalo terapeutico:

Cmın < Cop < Cmax.


Sea r , con 0 < r < 1, la fraccion del medicamento que queda en elcuerpo pasado un tiempo T = 1. Entonces rT sera la fraccion quequeda tras tiempo T .

Queremos querT Cop > Cmın.

Es decir,

rT >Cmın

Cop=⇒ T ln r > lnCmın − lnCop

Esto es,

T <lnCmın − lnCop

ln r


Diseno de tomas

Llamamos C0 a la dosis inicial, con Cop < C0 < Cmax.

Sea C la dosis cada T .

Llamamos ρ = rT . Tenemos que 0 < ρ < 1.

Cantidad de droga en el cuerpo en cada unidad de tiempo T :

C1 = ρC0 + C

C2 = ρC1 + C = ρ2 C0 + C (1 + ρ)

...

Cn = ρCn−1 + C = ρn C0 + C (1 + ρ+ · · ·+ ρn−1)

= ρn C0 +C

1− ρ− C

1− ρρn =

C

1− ρ+ ρn

(C0 −

C

1− ρ

).


Tomamos

C

1− ρ= Cop =⇒ C = (1− ρ)Cop,

de manera queCn = Cop + ρn (C0 − Cop)


Olvidar k tomas:

ρk Cn = ρk Cop + ρn+k (C0 − Cop),

¡se hace menor que Cmın muy rapidamente!

Tomar una dosis doble:

≥ 2(1− ρ)Cop,

¡puede hacerse mayor que Cmax!


Rayos X

Wilhelm Rontgen Radiografıa


TAC

Johann Radon Maquina de TAC


Llamamos

ρ = ρ(x) a la densidad del tejido;

Ei a la energıa inicial (salida del emisor);

Ef a la energıa final (llegada al receptor).

Entonces

ln(Ef

Ei

)= −κ

∫Lρ(x) dx


¿De donde viene la formula?

Supongamos que, al pasar una banda de anchura ∆ = 1 ydensidad ρ = 1, la energıa se atenua en un factor c :

Ef

Ei= c < 1


ρ = 1 ∆ = 1

Ef

Ei= c2 Ef

Ei= c2

Ef

Ei= cn

Ef

Ei= cn


En el caso general,

Ef

Ei= cρ1∆1+···+ρn∆n

de donde

log( Ei

Ef

)= log(c) · (ρ1∆1 + · · ·+ ρn∆n) = log(c)

∫Lρ(x)dx .


Tomografıa de coherencia optica.

Jose Luis Rubio


La viruela, segun Bernoulli

Daniel Bernoulli


Hipotesis:

Las personas infectadas con la viruela por primera vez muerencon una probabilidad p (independientemente de la edad), ysobreviven con probabilidad 1− p.

Todo el mundo tiene una probabilidad q de ser infectado cadaano. De manera que la probabilidad de que un individuoresulte afectado entre la edad t y t + ∆t es q ·∆t.

Quien sobrevive a la viruela queda protegido contra nuevasinfecciones para el resto de su vida.

Los valores de p y q se estiman a partir de los datos historicosconocidos de la enfermedad.Bernoulli uso las tablas publicadas por Halley que sugerıanvalores p = q = 1/8.


Las tablas de Halley


Sea m(t) la mortalidad a la edad t debida a otras causas distintasde la viruela. Es decir, la probabilidad que tiene un individuo demorir por esas causas entre la edad t y t + ∆t es m(t) ·∆t (∆t sesupone pequeno).

Sean:

S(t) es el numero de “susceptibles” de contraer la enfermedada edad t; es decir, los que han llegado a esa edad sin habersido infectados por la viruela.

R(t) es el numero de personas de edad t que han sobrevividoa la viruela.

P(t) = S(t) + R(t) es el numero total de personas de edad t.


El tiempo t = 0 corresponde a los nacimientos: S(0) = P(0) yR(0) = 0.

{∆S = −q S ∆t −m(t)S ∆t = −(q + m(t))S ∆t

∆R = q (1− p)S ∆t −m(t)R ∆t

Es decir, ∆S

∆t= −(q + m(t))S

∆R

∆t= q (1− p) S −m(t)R


Ecuacion diferencial:dS

dt= −(q + m(t))S(t)

dR

dt= q(1− p)S(t) −m(t)R(t)

Solucion:S(t)

P(t)=

1

(1− p) eqt + p

donde P(t) = S(t) + R(t).


Caso de inoculacion masiva al nacer:

P0 es el numero de nacimientos;

P∗(t) es el numero de personas de edad t cuando la viruelaha desaparecido.

dP∗(t)

dt= −m(t)P∗(t)

Solucion:

P∗(t) =P(t)

(1− p) + p e−qt

donde P(t) es la poblacion cuando la viruela esta presente.


Ecuaciones de las epidemias (Kermack y McKendrick)

P(t) = S(t) + A(t) + I (t) es la poblacion en tiempo t;

S(t), numero de personas susceptibles de contraer laenfermedad;

I (t), numero de personas infectadas;

A(t), numero de personas aisladas (hospitalizados ofallecidos).

dS

dt= −a · S(t) · I (t)

dI

dt= a · S(t) · I (t)− b · I (t)

dA

dt= b · I (t)


Umbral:

ρ =b

a

Conclusion: una epidemia solo puede ocurrir cuando el numero desusceptibles S(0) exceda el valor del umbral ρ = b/a.


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