El nombre auri

42
WebQuest sobre el nombre d’or, on introduïm també conceptes relacionats amb la sèrie de Fibonacci. Clàudia Peña Elisabeth Rodríguez Marc Pérez Mehwish Mughal El nombre auri

Transcript of El nombre auri

WebQuest sobre el nombre d’or, on introduïmtambé conceptes relacionats amb la sèrie deFibonacci.

Clàudia PeñaElisabeth Rodríguez

Marc PérezMehwish Mughal

El nombre auri

1. Introducció

2. Què és el nombre auri?

3. Nombres relacionats

4. Successió de Fibonacci

5. Relació amb l’ésser humà

6. Relació amb la naturalesa

7. Relació amb l’art

8. Relació amb els objectes quotidians

9. Conclusió

Índex

1. Introducció

El nombre d’or es representa amb la lletra gregaφ.

El nombre diví està relacionat amb:

Art

Objectes Quotidians

Ésser humà

Naturalesa

2. Què és el nombre auri?

Descobert a l’época clàssica.

El primer document sobre el nombre Phi s’estableix en els Elements de Geometria d’Euclides.

“Dize se ser dividida una línea recta con razón extrema y media quando fuere quecomo se ha toda a la mayor parte, assi la major a la menor”.

Traduït al català actual:

Es diu que una recta està dividida en mitja i extrema raó quan la longitud de lalínea total és a la de la part major, com la d’aquesta part major és a la menor.

Classificació de Phi en el conjunt de nombres reals:

2. Què és el nombre auri?

2.1 Maneres de calcular-lo

Tot sorgeix d’una equació de segon grau:

1

𝑥 − 1=

𝑥

1

𝑥 · 𝑥 − 1 = 1 · 1

𝑥2−x − 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎→ 𝑥 =

1 ± 12 − 4 · 1 · (−1)

2 · 1

3. Nombres relacionats El nombre Pi 3,141592

El nombre e (1 +1

𝑛)𝑛 2,71828

SEMBLANCES DIFERÈNCIES

Els tres nombres tenen infinites

xifres decimals.

Aquestes xifres no són periò-

diques.

Gràcies a aquestes carac-

terístiques, tots tres nombres

són irracionals.

El nombre Pi, i el nombre e no

són solució de cap equació

polinòmica(nombres

transcendents).

El nombre d’or en canvi, si que és

solució de una equació de segon

grau:

4.1 Successió de Fibonacci

Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250)

Introducció dels nombres aràbics en la nostra cultura.

Creador de la successió de Fibonacci i del Liber Abaci.

4.2 Què és la sèrie de Fibonacci?

Els nombres que la componen són el resultat de la suma dels dos nombres queels precedeix.

1

1= 1+0

2= 1+1

3= 2+1

5= 3+2

8= 5+3

13= 8+5

21= 13+8

34= 13+21

55= 34+21

89= 55+34

144= 55+89

233= 144+89

377= 233+144

610= 377+233

987= 610+377

1597= 987+610

4.3 El Liber Abaci

Quantes parelles de conills tindrem al cap d’un any si comencem amb una parellaque produeix cada mes una altra parella que procrea al seu cop als dos mesos devida?

4.4 Relació amb el nombre auri

Divisió de 2 nombres consecutius de la sèrie de Fibonacci entre ells (sempre elmajor entre el menor) donen com a resultat una aproximació al nombre auri. Commés grans siguin els nombres dividits (dividend i divisor) més exacta seràl’aproximació.

1/1= 1

2/1= 2

3/2= 1.5

5/3= 1.66666

8/5= 1.6

13/8= 1.625

21/13= 1.61538461538

34/21= 1.61904761905

55/34= 1.61764705882

89/55= 1.61818181818

144/89= 1.6179775281

233/144= 1.618055556

377/233= 1.618025751

610/377= 1.618037135

987/610= 1.618032786

1597/987= 1.61803447

Phi=1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486

Relació amb l’ésser humà

5.1 Marcos Vitruvius Pollio

Va viure durant l’època de Juli Cèsar i August.

La fama de Vitruvi es deu al tractat De Architectura.

5.2 Estudis de Vitruvi

Vitruvi va inscriure el cos d’un home amb els braços i les cames en posicions

sobreposades en un cercle que al seu cop estava inscrit també en un

Agafem un pentàgon regular i fem les diagonals.

Obtindrem, llavors, diferents triangles isòsceles.

5.3 El triangle i el pentàgon auri

En el triangle isòsceles es compleix que:

𝐸𝐵

𝐸𝐷=𝐸𝐷

𝐸𝐹

ED=FD=FB=1 i EF=EB-1

𝐸𝐵

1=

1

𝐸𝐵 − 1

𝐸𝐵2 − 𝐸𝐵 = 1

𝐸𝐵2 − 𝐸𝐵 − 1 = 0

𝐸𝐵 =1 + 5

2= 𝑃ℎ𝑖

5.3 El triangle i el pentàgon

auri

5.4 Proporcions àuries humanes

En el cos humà trobem diferents proporcions que podem considerar comperfectes.

𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑎𝑚𝑝𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎= 1,618…

Podem trobar relacions àuries en els llocs més insospitats del cos humà comper exemple les dents i les mans.

5.4 Proporcions àuries humanes

5.5 El modulor

5.5 El modulor

Va ser establert per Le Corbusier.

Es divideix en dues sèries

Sèrie blava

Sèrie vermella

𝒏 +𝒏

𝑷𝒉𝒊+

𝒏

𝟐𝑷𝒉𝒊= 𝟐𝒏

Sèrie blava: 9,57; 5,92; 3,66; 2,26; 1,40; 0,86; 0,53; 0,33; 0,20...

Sèrie vermella: 4,79; 2,96; 1,83; 1,13; 0,70; 0,43; 0,26; 0,16; 0,10…

6.1 La filotaxis

Significa ordenació de les fulles al voltant d’una tija.

La filotaxis està estretament relacionada amb la successió de Fibonacci.

6.2 Flors i pètals

3

5

21

8

6.3 Espiral logarítmica àuria

Tot sorgeix a partir d’un rectangle auri.

Podem trobar l’espiral logarítmica en alguns exemples de la natura.

En el nautilus En les galàxies

6.3 Espiral logarítmica àuria

7.1 Relació amb la pintura

La última cena de Da Vinci:

Las meninas de Velázquez:

7.1 Relació amb la pintura

La Gioconda de Da Vinci:

El naixement de Venus de Botticelli:

7.1 Relació amb la pintura

La piràmide de Keops:

7.2 Relació amb l’arquitectura

Catedral de Notre-Dame:

7.2 Relació amb l’arquitectura

Universitat de Salamanca:

Porta del Sol de Tiwanaku:

7.2 Relació amb l’arquitectura

Panteó:

8.1 Logotips

Logotip de National Geographic: Logotip de Toyota:

Logotip BP:

8.1 Logotips

Logotip de Pepsi:

Logotip d’Apple:

8.1 Logotips

Logotip del grup boticari:

8.1 Logotips

8.2 Objectes quotidians

Phi és un nombre de vital importància per el desenvolupament tant

artístic com biològic.

La presència del nombre d’or en alguns elements concrets i reals té una

gran repercussió en la manera de veure’ls i percebre’ls.

Naturalesa Desenvolupament i creixement.

Art Disseny de les obres.

Objectes quotidians Mercantilització de productes.

9. Conclusió

Vosaltres què opineu sobre el nombreauri? Creieu que rep tanta importanciacom la què es mereix? Què passaria si noexistís aquest gran nombre?...

ESPEREM QUE HAGUEU GAUDIT D’AQUESTA

EXPOSICIÓ.

I PER FINALITZAR…