MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Tema A5 Educación en Ingeniería Mecánica

“El método alternativo de Schwarz y la computación paralela”

Camacho Aa., Guardian B.b, Jacobo V.a, Ortiz Aa. aUniversidad Nacional Autónoma de México, Avenida Universidad 3000

bInstituto Politécnico Nacional IPN

Ciudad de México C.P:04510, México * Abel Camacho Galván leba@yandex.com

R E S U M E N

En este documento se introducen fundamentos orientados a la solución numérica de la ecuación de Laplace, mediante el

método alternativo de Schwarz, particionando el dominio bidimensional del problema de valores en la frontera en varios

subdominios. El método original de Schwarz se formula en un dominio compuesto con un circulo y un rectángulo ubicados

en posición de traslape ([1], [2]). Con estos ingredientes se construyen sendos problemas de valores en la frontera, los

cuales se resuelven mediante un proceso iterativo; el arranque del proceso se da al proporcionar el analista bajo ciertas

condiciones, supuestos valores de una de las interfase de traslape, datos originalmente desconocidos. Se destacan dos

vertientes: una histórica, donde se aprecia la evolución de las técnicas matemáticas, cuando se abordaba el problema en

cuestión con el análisis de Fourier y el teorema de la media aritmética en el círculo, hasta los presentes días donde impera

el análisis funcional. La perspectiva restante surge con las computadoras y se encamina al campo de las aplicaciones para

abordar problemas en mallas de grandes dimensiones con el método del elemento finito.

Palabras Clave: Método de Elemento Finito, Descomposición del Dominio, Computación Paralela, Software libre.

A B S T R A C T

This document introduces foundations oriented to the numerical solution of the Laplace equation, by the Schwarz

alternative method, partitioning the two-dimensional domain of the value problem on the border in several subdomains.

The original Schwarz method is formulated in a domain composed of a circle and a rectangle located in the position of

overlap ([1], [2]). With these ingredients are built problems of border values, which are resolved through an iterative

process; the start of the process is given to provide the analyst under certain conditions, assumed values of one of the

overlapping interface, data originally unknown. Two aspects stand out: a historical one, where the evolution of the

mathematical techniques can be seen, when the problem in question was approached with the Fourier analysis and the

arithmetic mean theorem in the circle, until the present days where the functional analysis reigns. The remaining

perspective emerges with the computers and is routed to the field of applications for address problems in large meshes

with the method of the finite element

Keywords: Finite Element Method, Domain Decomposition, Paralell Computing, Free Software

1. Introducción

Resulta oportuno señalar la importancia de la práctica

computacional, apreciada como un conglomerado de

técnicas donde los lenguajes de programación y la

algoritmia se vinculan con los principios de la física y la

matemática, y por otro lado proporcionar sentido existencial

a dichas actividades vinculando la problemática social,

característica a las dos primeras décadas del siglo XXI, con

la impetuosa evolución de los procesos educativos.

Evidentemente, en el campo de las aplicaciones técnico-

científicas destaca por su importancia la obtención de

soluciones numéricas de problemas de valores en la frontera

y métodos variacionales Así pues, ante la vastedad de los

temas se ofrece una cuestión de interés: la solución de la

ecuación de Laplace en el contexto de la computación

paralela. El problema en cuestión fue formulado por vez

primera por Carl Friedrich Gauss; Dirichlet en sus clases

exponía el tema, el cual fue divulgado por su alumno

Bernhard Riemann bajo el nombre de Principio Variacional

de Dirichlet. Por su parte, Karl Weierstrass pasados ya 18

años demostró las bases inconvincentes de la teoría

variacional de Riemann; el problema fue finalmente resuelto

32 años después por David Hilbert ([3],[4], [5], [6]). Uno de

los métodos de gran aceptación, dedicado a la solución

numérica de los problemas de valores en la frontera lo es el

método del elemento finito donde los sistemas de ecuaciones

diferenciales se resuelven con los denominados métodos

directos e iterativos, o con combinaciones de ambas

alternativas. Los orígenes del método del elemento finito se

remontan al año de 1951, cuando se escribieron reportes

publicados hasta 1956 ([7]). El método del elemento finito

fue inicialmente dirigido a la industria aeronáutica;

ISSN 2448-5551 EM 77 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

motivaron su empleo tanto sus facilidades para el manejo de

mallas triangulares, como la solidez de sus procedimientos

fundamentados en los principios de conservación de la

física-matemática ([8]). Los métodos iterativos han

exteriorizado una alta eficacia al abordar problemas en

mallas con grandes números de nodos; en cambio los

métodos directos son aplicables a una clase reducida de

problemas.

Si la ecuación diferencial en cuestión contiene coeficientes

variables, las dificultades alcanzar la solución numérica se

incrementan si, por añadidura los términos contienen

discontinuidades, o dominios con mallas de estructura

compleja se aconseja combinar los subespacios de Krylov

con el precondicinamiento y los recursos del supercómputo.

([9], [10], [11]). Cada uno de estos métodos justifica su

derecho a existir, ya que poseen su propio campo de

aplicabilidad; además se exige que los algoritmos acoten la

inexactitud de la solución con un parámetro ε > 0 y delimiten

a su vez el número de operaciones totales por realizar con

una cota Q(ε) ([12], [13], [14], [15]). Para ubicar, como en

un mapa, el entorno que enmarca la exposición de algunos

temas desarrollados en entornos de la computación paralela,

se apela a la taxonomía tradicional de las ecuaciones en

derivadas parciales.

1. Ecuaciones diferenciales hiperbólicas:

Dinámica de fluidos y magneto hidrodinámica en el

contexto de los métodos de Godunov, teorías elásticas no

lineales, etc.

2. Ecuaciones diferenciales del tipo parabólicas:

Problemas de difusión, propagación del calor, movimiento

browniano, ecuación de Einstein-Kolmogorov, ecuaciones

de Navier-Stokes, etc.

3. Ecuaciones diferenciales del tipo elípticas:

Teoría de la elasticidad, potencial de Newton, flujo de

fluidos subterráneo, etc.

Ecuaciones elípticas y parabólicas en dominios

rectangulares

A continuación se precisa el sentido de las fomulaciones

numéricas de las ecuaciones tipos elípticas y parabólicas. En

aras de la brevedad se omite el caso de las ecuaciones

hiperbólicas.

Ecuación de tipo elíptico en dominio rectangular:

Dado el dominioΩ={x|x= (x, y)∈R2, 0 < x< a ,0 < y < b},

se busca la incógnita u=u(x), tal que se satisface la ecuación

diferencial

Donde los coeficientes de la ecuación satisfacen las

restricciones k1(x)≥κ>0, q(x)≥0; k2(x)≥κ>0, q(x)≥0

toda vez prefijados los valores de la variable u(x,y) en la

frontera ∂Ω.

Ahora, asignando a los coeficientes k1(x) y k2 (x) valores

igual a la unidad y anulando el parámetro q(x) = 0 se obtiene

la ecuación de Poisson:

Y anulando en la ecuación anterior el término de la derecha

se llega a la ecuación de Laplace:

Ecuación de tipo parabólico en dominio rectangular:

Con el propósito de exhibir la relevancia de las ecuaciones

diferenciales elípticas se exhiben los moldes

correspondientes de las ecuaciones diferenciales elípticas y

parabólicas.

Claramente, un problema de trasmisión del calor

estacionario deviene en una ecuación elíptica; excelente

recurso didáctico para introducir temas encaminados a la

resolución de problemas científico-técnicos.

Dado el dominioΩ={x|x= (x, y)∈R2, 0<x<a, 0<y<b}, y t

>0, (dimensión temporal añadida), se busca la incógnita

u=u(x) tal que se satisface la ecuación diferencial

donde los coeficientes de la ecuación satisfacen las

restricciones k1(x)≥κ>0, k2(x)≥κ>0, q(x)≥0, toda vez

prefijados los valores de la variable u(x, y) en la frontera ∂Ω

y u(x,0 = 0) para t <0.

1.1 Visión panorámica del método alternativo de

Schwarz.

A continuación se ofrece un compendio didáctico y con

pretensiones formativas del método alternativo de Schwarz

aplicado a la descomposición del dominio de problemas de

valores en la frontera, formulados en términos de ecuaciones

diferenciales del tipo elíptico bidimensionales y sujetos a

condiciones frontera de Dirichlet.

La amplitud del panorama obliga a condensar de la

exposición de las tesis de fondo. Como punto de partida se

toma el problema de Dirichlet:

(2)

(3)

(4)

(1)

ISSN 2448-5551 EM 78 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Determinar una cierta función en los nodos interiores de un

dominio prefijado, con base en sus valores de frontera.

Las figuras 1 y 2 muestran el dominio Ω del problema de

Dirichlet y los valores en la frontera expresados en los nodos

de una malla, exigido por el método del elemento finito.

Fig. 1– longitud: base y altura

Fig.2– Valores de u en la frontera

Información requerida para resolver el problema de

Dirichlet

Se exige prefijar el dominio Ω del problema y los valores de

la función u en la frontera del dominio ∂Ω; se trabaja la

ecuación de Laplace (2).

Se requiere determinar el valor de la función en el interior

del dominio

En esta expresión gráfica del problema abordado sorprende

ya la presencia de un dominio finito, pero continuo (el

dominio Ω) asociado a un conjunto discreto de puntos

(figura 3).

Fig. 3– Nodos ubicados en el interior del dominio

Existen dos versiones del método alternativo de Schwarz:

uno el tradicional, y nuevas versiones adaptables a la

computación paralelizada.

El método conocido como método de Schwarz fue

desarrollado por Hermann Amadeus Schwarz en 1868 como

un recurso para solucionar problemas elípticos en dominios

de configuración geométrica simple, concretamente

circunferencias y rectángulos o transformaciones conformes

a dichas figuras (ver figura 4).

Fig. 4– Figura orignal de H. A. Schwarz (1868)

1.2 Fundamento del método de Schwarz

En esta sección se presenta una síntesis del método

alternativo de Schwarz para la resolución del problema de

Dirichlet aplicado a la ecuación de Laplace en dominios

compuestos.

Sea el dominio Ω descompuesto en tres subdominios Ω1,Ω2

y Ω3 tal y como se aprecia en la figura No. 5 donde el

dominio original se ha dividido en tres partes: Ω1,Ω2 y Ω3

Se convienen, además las siguientes definiciones:

ISSN 2448-5551 EM 79 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

•Ω 1,2 =Ω 1 ∪Ω 2 ∪β,

•Ω 2,3 =Ω 2 ∪Ω 3 ∪γ.

Además, la región Ω1,2 esta abarcada por los arcos α, γ y σ y

la región Ω2,3 esta abarcada por los arcos β, δ y σ.

Criterio de Schwarz. El sistema de dominios Ω1,Ω2 y Ω3

satisfacen el criterio de Schwarz, si verifican las dos

condiciones siguientes:

i. Cualquier función armónica en Ω1,2 y continua en �̃�1,2,

nula sobre el arcoα∪σy con módulo no mayor que 1 sobre

el arcoγ, sobre el arcoβposee un valor absoluto que no

supera algún parámetroθ<1

ii. Cualquier función armónica en Ω2,3 y continua en

�̃�2,3, nula sobre el arcoδ∪σy con módulo no mayor que 1

sobre el arcoγ, sobre el arcoβposee un valor absoluto que

no supera algún parámetroθ<1

• El problema de Dirichlet tiene solución el subdominio Ω1,2

• El problema de Dirichlet tiene solución el subdominio Ω2,3

• Se satisface el criterio de Schwarz

Fig. 5– Frontera del dominio determinada por las líneas

l1 y l2.

Descripción del proceso iterativo se Schwarz: Toda vez

prefijadas las condiciones de frontera en el dominio Ω (∂Ω

= 𝛼 ∪ 𝛿 ∪ 𝜎 ) por alguna función continua f(s), se

elige alguna aproximación inicial g(x, y) del problema en

cuestión.

Aplica el algoritmo de Godunovr ([3], 1979, pp. 290).

Paso inicial: Se toma u0(x, y) = g(x, y)

Aproximaciones sucesivas de un:

Aproximaciones sucesivas de vn :

El método de Schwarz garantiza la obtención de sucesiones

uniformente convergentes las cuales aproximan los valores

de las incógnitas en el interior del domino Ω.

1.3 Computación paralela.

Coloquialmente expresado se puede afirmar que la

computación paralela alude a la fragmentación y adecuación

de los desarrollos computacionales para ser ejecutado

simultáneamente en varios procesadores. Es claro como al

dividir, la carga del trabajo numérico entre varios

procesadores, el proceso de resolución numérica de los

problemas en estudio se acelera.

La instrumentación paralela del método tradicional de

Schwarz, abarcando incluso la ecuación de Poisson es

bastante sencilla ([17], pp. 1, [18], pp. 116):

Algoritmo de Jacobi-Schwarz:

Se resuelven en ambientes de la programación paralela

concurrente los problemas de valores en los subdominios i=

1,2

El método de Schwarz tradicional fue desarrollado para

extender la solución de la ecuación de Lagrange al caso de

dominios complejos.

En tiempos recientes, cuando se cuenta ya con los espacios

de Hilbert y de Solobev y poderosos instrumentos

computacionales el método de Schwarz se ha adaptado a los

recursos del supercómputo a fin de resolver numéricamente

ingentes problemas de la físico-matemática.

(6)

(5)

(7)

(8)

ISSN 2448-5551 EM 80 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

2. Conclusiones

Las aplicaciones del método del elemento finito en modelos

tridimensionales suelen desembocan en matrices de grandes

dimensiones donde las capacidades de almacenamiento

requeridas por los métodos directos desbordan los

dispositivos del hardware; desde luego, una apreciación

detallada de las dimensiones de la matriz, salvando las

dificultades mencionadas, depende de los de equipos

utilizados. Para fines de clasificación se distinguen los

problemas de grandes dimensiones (large-scale problems)

de los menores. Es común catalogar a un problema de

valores en la frontera, cuyo dominio se subdividió en 100 o

más elementos finitos, como un problema de grandes

dimensiones ([19]) Es decir, los problemas de valores en la

frontera integrados con mallas de más de 100 elementos

finitos o mallas de configuración compleja no se resuelven

con métodos directos. Además importa la ecuación

diferencial por resolver: si tiene o no coeficientes variables,

si dichas variables son discontinuas, en caso afirmativo la

magnitud de los saltos. Entre los métodos iterativos destacan

el método del descenso, el método del gradiente conjugado

(el cual no es del gradiente ni conjugado ([20]) y el método

de Lanczos; Estos métodos se pueden complementar

exitosamente con las técnicas del precondicionamiento. Y es

precisamente en este contexto donde se aprecia las ventajas

computacionales brindadas por los métodos de

descomposición del dominio instrumentados en los

modernos sistemas del supercómputo. En este caso se

pueden usar los métodos iterativos, también los métodos

directos en mallas con un número reducido de nodos o el

método de optimización de los coeficientes de Rayleigh con

métodos acelerados de gradientes conjugados, etc.

Finalmente se espera promover el interés por la

experimentación computacional. con base en el software

libre y gratuito.

Agradecimientos

Se agradece al apoyo económico otorgado por la DGAPA-

UNAM al proyecto PAPIME PE111418 “Esquemas en

Diferencias Finitas Examinadas desde una Perspectiva

Evolutiva”. Referencias

[1] Schwarz H. A. (1870a). Uber die Integration der

partiellen Differentialgleichung ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2= 0 unter

vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen J.

Reine Angew. Math., bf 70:105 - 120.

[2] Schwarz H. A. (1870b) ¨ Uber einen Grenzu¨bergang

durch alternierendes Verfahren Vierteljahrsschrift der

Naturforschenden Gesellschaft in Zu¨rich, 15:272-286.

[3] Gander M. J. (2008) ISBN: 1068-9613 Schwarz methods

over the course of time Electronic Transactions on

Numerical Analysis. Volume 31, pp. 228-255, 2008.

[4] Klein, F. (1926) Vorlesungen u¨ber die entwicklung der

mathematik im 19. jahrhundert Springer Berlin ’ Acceder al

Cap´ ıtulo VI’

[5] Neumann, C. (1884) Vorlesungen u¨ber Riemann’s

Theorie der abelschen Integrale Teubner 8

[6] Nevanlinna, R. (1939) ¨ Uber das alternierende

Verfahren von Schwarz J. Reine Angew. Math., 180:121-

128

[7] Ner, M.J., R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. ToPp (1956),

Stiffness and deflection analysis of complex structures J.

Aero. Sci. 23, 805-823.

[8] Clough, R.W. (1960) The finite element in plane stress

analysis Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation,

Pittsburgh, PA

[9] Adams, M. F. ; Bayraktar H. H. ; Keaveny T. M.;

Papadopoulos P. (2004) Ultrascalable Implicit Finite

Element Analyses in Solid Mechanics with over a Half a

Billion Degrees of Freedom ISBN: 0-7695-2153-3

Proceedings of the 2004 ACM/IEEE Conference on

Supercomputing

[10] Saad, Y. (2003) Iterative Methods for sparce linear

systems Copyright 2003 by the Society for Industrial and

Applied Mathematics.

[11] Bonazzoli, M.; Dolean, V.; Graham, I. Spence, E.;

Tournier. P. (2018) A two-level domain-decomposition

preconditioner for the time-harmonic Maxwell’s equations

Remitido para su revisión Accesible en https://hal.archives-

ouvertes.fr/hal-01525438

[12] Bulgakov, V.E., Belyi, M.E., Mathisen, K.M. (1997)

Multilevel aggregation method for solving large- scale

generalized eigenvalue problems in structural dynamics Int.

j. Numer. Methods Eng., 1997, (40), P 453-471

[13] Fialko S. (1999) ISSN: 1644-9665 High-performance

aggregation element-by-element iterative solver for large-

scale complex shell structure problems Archives of Civil

Engineering, XLV, 2, 1999. P.193- 207

[14] Fialko S.Yu., Kriksunov E.Z. and Karpilovskyy V.S.

(2003) A sparse direct multi-frontal solver SCAD software.

Proceedings of the CMM-2003 Computer Methods in

Mechanics June 3-6, 2003 Gliwice, Poland. P. 131-132

[15] Keller, R., Gabriel E., Resch, M., Dongarra, J. (Eds.)

(2010) Recent Advances in the Message Passing Interface

ISBN-10 3-642-15645-2 17th European MPI Users’ Group

Meeting, EuroMPI 2010 Stuttgart, Germany, September 12-

15, 2010 Proceedings

[16] Godunov, C. K (1979) Godunov Uravneniya

Matematicheskoy Fiziki. (En ruso)

[17] Dolean, V., Jolivet, P., Nataf, F. (2015) An Introduction

to Domain Decomposition Methods ISBN: 978-1-611974-

05-8 SIAM, Philadelphia.

[18] Parhami, B. (2002) Introduction to Parallel Processing

ISBN: 0-306-45970-1 KlUWER ACADEMISC

PUBLISHERS New York, Boston, Dordrecht, London,

Moscow

ISSN 2448-5551 EM 81 Derechos Reservados © 2018, SOMIM

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

[19] Papadrakakis M. ((1993) Solving large-scale problems

in mechanics ISBN: 0 471 93809 2 John wiley ’ Ver página

422

[20] Shewchuk, J. R. (1994) An Introduction to the Conjug

ate Gradient Method Without the Agonizing Pain School of

Computer Science Carne gie Mellon University Pittsburgh,

PA

Bibliografía recomendada Carothers, N. L. (2004) ISBN-10 0-521-84283-2 A short

course on Banach space theory. Cambridge University Press

Digital Library of Mathematical Functions Recuperado de:

https://dlmf.nist.gov/3.3.

El-Mikkawy, M. y Atlan ,F. (2014) Algorithms for Solving

Linear Systems of Equations of Tridiagonal Type via

Transformations. Recuperado de:

http://file.scirp.org/pdf/AM 2014021111074341.pdf

Fabian, M. Habala, P. Hájek, P., Montesinos, V., Zisler V.

(2010) ISBN 978-1-4419-7514-0 Banach Space Theory

Springer.

Finan, M. B. (2018) A First Course in Quasi-Linear Partial

Differential Equations for Physical Sciences and

Engineering Recuperado de:

http://faculty.atu.edu/mfinan/4343/PDEbook.pdf.

GNU Scientific Library Recuperado de:

https://www.gnu.org

Jolivet, P. ; Pierre-Henri T. (2016) Block Iterative

Methods and Recycling for Improved Scalability of Linear

Solvers

Logg, A., Kent-Andre, M. (Eds.) Lectures on the Finite

Element Method International Conference for High

Performance Computing 2016

Sidi, A. (2003) Practical extrapolation Methods ISBN 0-

521-66159-5 Cambridge University Press. Cambridge UK

wxMaxima tutorial. Recuperado de:

https://ticimc.wikispaces.com/wxMaxima

Zoltán, V. Impossible gnuplot graphs Recuperado de:

http:http://www.phyast.pitt.edu/

zov1/gnuplot/html/intro.html.

ISSN 2448-5551 EM 82 Derechos Reservados © 2018, SOMIM