3. Mecánica y dinámica celestes

• El movimiento de los astros– Ecuaciones del movimiento. Propiedades generales y leyes de

conservación. Ecuaciones de las órbitas. Leyes de Kepler. El problema de dos cuerpos

– Velocidad de escape. Agujeros negros

El movimiento de los astros

• Ley de la Gravitación Universal (Newton 1687) junto con segunda Ley de Newton: leyes de movimiento de los planetas y otros objetos

• En general, dos cuerpos: m1,m2, r = r1 - r2

F12=-Gm1m2/r2 r/r = m1 d2r1/dt2 (sobre 1 gracias a 2)

• Si m1<<m2 (p.ej., m planeta y Msol) d2r2/dt2 <<

SRI fijo con origen en m2 (Sol):

m d2r/dt2 = - α r/r3 , con α=G Msol m

• Hay que obtener r(t), dados r(t0) y dr/dt(t0): ODE

• Otra manera de obtener info: constantes del movto.

Constantes del movimiento• Constantes con el tiempo• Momento angular: L=m r × dr/dt

– dL/dt=m dr/dt × dr/dt + mr × d2r/dt2=mr × (−α/m r/r3)= 0: movimiento en plano ⊥ L ya que r⊥ L

– Módulo: 2ª ley de Kepler

• Vector de Runge-Lenz: e = dr/dt × L /α - r/r

• Energía: E=m (dr/dt)2/2 - α/r• 7 cantidades conservadas, pero

α2m(e2-1)=2EL2

→ 6 independientes

L

rdr/dt

θ e

Ecuaciones de las órbitas

• r ⋅ e=r e cos θ• r ⋅ e=L2/mα - r

r = L2/mα 1+ e cos θ

• Cónica• e:

– e=|e| excentricidad

e=0 circunferencia

0<e<1 elipse

e=1 parábola

e>1 hipérbola

– dirección: periastro

r(θ=0)= L2/mα (1+e)

L

rdr/dt

θ e

E<0: Órbitas cerradas

E≥0: Órbitas abiertas

e vector cte y en plano orbital (e⋅L=0): origen de medición de ángulo Θ

α2m(e2-1)=2EL2

Órbitas elípticas

• Periastro θ=0º

(perigeo, perihelio):– r=a(1-e) distancia mínima

• Apastro θ=180º

(apogeo, afelio):– r=a(1+e) distancia máxima

∀ θ=90º: r=p

F’ F

Y

b

a

eX

c

r

θ

pr = L2/mα 1+ e cos θ

p=L2/mα

a=p/|1-e2|=α /2|E|

• En ausencia de fuerzas externas, el centro de masas (CM) tiene mov. rectilíneo y uniforme

∀ µ d2r/dt2 = - α r/r3 , con α=G m1m2 µ= m1m2 /(m1+m2) masa reducida

• Las expresiones anteriores son válidas mutatis mutandis

• El mov. respecto CM son también cónicas

• a3/P2= α/4π2µ=G(m1+m2)/ 4π2 se puede obtener masa si a,P

El problema de dos cuerpos

Centro de masas

Más información

• Ecuación de Kepler (ecKepler.pdf, wikipedia)• Ángel Franco (Universidad del País Vasco):

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm• Orús, Català, Núñez (Universidad de Barcelona):

http://www.publicacions.ub.es/liberweb/astronomia_esferica