EL MODELO MTSK PARA PLANIFICAR LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA · Dominio y uso de sus propiedades...
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EL MODELO MTSK PARA PLANIFICAR LA
ACTIVIDAD MATEMÁTICA
Primer Seminario-Taller Didácticas para la Educación Básica
Nielka Rojas - Guillermo Guevara
[email protected] - [email protected]
Antofagasta, Chile
14 de enero de 2016
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… busca el significado de un conocimiento profundo de la matemática elemental
… abordar los problemas de la educación matemática desde la propia matemática, estructura, epistemología, su fenomenología (Bass, 2007)
¿Qué necesita conocer un profesor de matemáticas?
…razonar, argumentar, conjeturar, refutar, representar,modelizar y hacer un uso con significado delconocimiento matemático
Didáctica de la matemática
2
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≠ Trivial
Conocimiento profundo de la matemática elemental
Permitir abordar el currículo escolar
Conocimiento especializado para enseñar matemáticas
Tarea especializada
3
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Un modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK)
KMLSConocimiento de los
estándares de aprendizaje de las matemáticas
KMTConocimiento de la
enseñanza de las matemáticas
KSMConocimiento de la estructura de la
matemática
KoTConocimiento de
los temas
KPMConocimiento de la práctica
matemática
KFLMConocimiento de las
características del aprendizaje de las
matemáticas
Co
no
cimie
nto
did
áctico d
el co
nten
ido
Creencias
en
matemática
en la
enseñanza y
aprendizaje de
la matemática
Co
no
cimie
nto
mate
mático
4
Shulman (1986;1987)Ball et al. (2008)
Carrillo et al. (2013)
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Aritmética de los números naturales
527
+431
-1 8 5
+ 4 1
2 2 6568: 4 = 1421608
08: 2 = 4 5 × 3 = 15
¿Qué necesita conocer un profesor de matemáticas?
¿Algoritmo, procedimientos….? 5
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Aritmética de los números naturalesEstructura aditiva
• Conocimiento propio de la estructura aditivaConceptos y significados
de las operacionesSituaciones que le dan
sentidoForma de representación,
organización y justificación
Conocimiento conceptual
• Incluye los procesos y modos de actuación para realizar cálculos con númerosDominio y uso de sus
propiedadesAlgoritmosEstimación de resultados
Conocimiento procedimental
KSM
KoT
KPM
M
K
6
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Aritmética de los números naturalesEstructura aditiva
Juan tenía 5 bolitas y María le da 2, ¿cuántas bolitas tiene Juan?
5 + 2 = 5 + 1 + 1 =? ?−2 = 5
No hay problemas de sumar y problemas de restar, ya que una suma puede interpretar como una resta, y viceversa
La adición y la sustracción se consideran dentro de una misma estructura numérica: estructura aditiva
7
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Significado de adición
María tiene 3 lápices y Diego le da 2
Acción física sobre un número de objetos iniciales
Aumente
Concepción unitaria de adición3 + 2 = 5
María tiene 2 lápices en su mano derecha y 3 lápices en su mano izquierda
Dos cantidad (unión)
No se realiza acción física
Concepción binaria de la adición
2 + 3 = 5
8
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¿Qué es sumar?
Si 𝑎 y 𝑏 son dos números naturales que representan los cardinales de dos conjuntos (𝐴 y 𝐵), la adición de a y b se escribe 𝑎 + 𝑏, y es el cardinal del conjunto 𝐴 unión 𝐵(se supone que 𝐴 y 𝐵 no tienen elementos comunes).
La suma de dos números naturales a y b se define por 𝑎 + 𝑏 = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴 ∪ 𝐵),donde 𝑎 = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴) y b = card (B), con los conjuntos A y B disjuntos.
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Significado de sustracción
María tiene 6 lápices en total, 3 de ellos los tiene en la mano derecha
Concepción binaria de sustracción
Se conoce la cantidad total
No se realiza acción física
María tiene 4 lápices y pierde 1
Concepción unitaria de sustracción
Acción física sobre un número de objetos iniciales
Disminuya
4 − 1 = 3
?−3 =6 10
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¿Qué es restar?
La diferencia de dos números naturales 𝑎 y 𝑏, con 𝑎 ≥ 𝑏 es aquel otronúmero 𝑐 que sumado con el menor de ellos, 𝑏, da como resultado elmayor 𝑎: 𝑐 + 𝑏 = 𝑎.
Por este motivo se dice que la sustracción es la operación inversa de laadición.
Sean dos números naturales a y 𝑏, con 𝑎 ≥ 𝑏 , se define su diferencia, 𝑐 = 𝑎 − 𝑏, como aquel número (𝑐) que sumado con 𝑏 da como resultado 𝑎.
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Tipos de problemasAditivos de comparación
12
KFLM
KMT
KMLS
P
C
KComparación-aumento Comparación- disminución
Incógnita en referente
María tiene 9 galletas, 3 galletas más que Juan. ¿Cuántas galletas tiene Juan?
Juan tiene 6 galletas, 3 galletas menos que María. ¿Cuántas galletas tiene María?
Incógnita en comparado
Juan tiene 6 galletas. María tiene 3 galletas más Juan, ¿Cuántas galletas tiene María?
María tiene 9 galletas. Juan tiene 3 galletas menos que María. ¿Cuántas galletas tiene Juan?
Incógnita en diferencia
María tiene 9 galletas y Juan tiene 6. ¿Cuántas galletas tiene María más que Juan?
Juan tiene 6 galletas y María tiene 9. ¿Cuántas galletas tiene Juan menos que María
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Algoritmos de la adición y la sustracción
• Un algoritmo es una serie finita de pasos a aplicar en un determinado orden para llegar con certeza a un resultado
• Diferentes formas de obtener los resultado de las operaciones aritméticas
• Forma directa y sistemática de obtener los resultado de las operaciones es mediante los algoritmos
Algoritmos
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Aspectos de enseñanza
185 + 415 Tabla de valor posicional
C D U
1 8 5
+ 4 1
2 2 6
1
1 8 5
+ 4 1
2 2 6
Material multibase
C D UÁbaco
C D U
1 8 5
+ 4 1
1 12 6
KFLM
KMT
KMLS
P
C
K
1 8 5
+ 4 1
Algoritmo estándar
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Estructura multiplicativa
¿Cuántos huevos hay en 3 cajas de 6 huevos?
3 veces 6
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Estructura multiplicativaLa multiplicación como suma repetida
Recta numérica. Modelo lineal
Continuo
Modelo cardinal discreto
La suma repetida 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 se abrevia mediante el producto 6 × 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
3 3 3 3 3 3
16
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La multiplicación como suma repetida
Si 𝑎 y 𝑏 son dos números naturales, el producto de 𝑎 y 𝑏, escrito 𝑎 x 𝑏, se define como: 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 + 𝑏 + … + 𝑏 cuando 𝑎 ≠ 0
𝑎 sumandos𝑎 y 𝑏 factores
𝑏 𝑎 × 𝑏𝑎
El número que se repite se llama multiplicando
Producto
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La multiplicación como producto cartesiano de conjuntos
Puede definirse como una nueva operación sin acudir a la operación de adición
Una forma es recurriendo al producto cartesiano de conjuntos.
En el caso de 3 pantalones y 4 camisetas, el ¿número de posibilidades de vestirse son?
A B
𝑎 × 𝑏 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴) × 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐵) = 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴 × 𝐵)
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La multiplicación como producto cartesiano
Modelo de área de un rectángulo
4
6
Conmutativa:
4
6
Distributiva: 4 × (6 + 3) = 4 × 6 + 4 × 3
4
6 3
4
319
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La multiplicación como producto cartesiano
Asociativa:
4 × 3 × 5
4
5
3
4
5
34
3
5
4 × 3 × 5 × 1 (4 × 3 × 1) × 5
4 × 3 × 5 (4 × 3) × 5
20
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El uso de los algoritmos se fundamenta en los conocimientos:
• Unidades de distintos orden y valor de posición• Desarrollo polinómico de un número
Números de una cifraRealizar el algoritmo de la multiplicación con números de una cifra
4 × 5
Algoritmos de cálculo de la multiplicación
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Algoritmos de cálculo de la multiplicación
Multiplicador de una cifra4 × 13
4 × 13 = 4 × 10 + 3 = 4 × 10 + 4 × 3
Matriz rectangular: 4 filas de 13 puntos
10 3
13
4
22
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Proceso que se sintetiza el algoritmo clásico de la multiplicación
Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad
135 × 5 (100 + 30 + 5) × 5500 + 150 + 25
135 × 525150500675
+
135 × 5675
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Proceso que se sintetiza e el algoritmo clásico de a multiplicación
Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad
24
135 × 5675
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Algoritmos de cálculo de la multiplicación
Multiplicador con dos o más cifras 16 × 13
10 6
10
3
16183060100
× 13 1648
160
× 13
++
25
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División
División partitiva
• Se conoce el total de elementos y el número de grupos (cantidades de diferente naturaleza)
• No se conoce el número de elementos por grupo
8: 2
𝑅𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜
• Se conoce el total de elementos y el número de elementos por grupo (cantidades de igual naturaleza)
• No se conoce el número de grupos
División cuotitiva o medida
8: 2
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
María plantará 8 árboles en su jardín. Quiere formar 2 filas, ¿cuántos árboles
tendrá cada fila?
María plantará 8 árboles en su jardín. Quiere tener filas de 2 árboles cada una,
¿cuántas filas tendrá?
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Modelo funcional de la división
D 𝐷: 𝑑d
Dividendo
Divisor
Cociente
• Partitiva• Cuotitiva: se entiende como sustraer de
forma repetida el cociente del dividendo,siendo el divisor el número de veces quepodemos realizar esta sustracción
La operación aritmética de división es la operación reciproca o inversa de la multiplicación.
Para encontrar el cociente 𝑐 de dos números 𝐷 y 𝑑, basta con encontrar un número que multiplicado por el divisor de como resultado el dividendo (10: 2 = 5 → 5 × 2 = 10)
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Algoritmo de la división
Más complejo de aprender, algunas dificultades:• Se requiere conocer la multiplicación y la sustracción• La operación se realiza de izquierda a derecha• Implica estimar y aplicar estrategias de ensayo y error
568: 4 = 14216080
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Modelo MTSK como base para planificar
KMLSConocimiento de los
estándares de aprendizaje de las matemáticas
KMTConocimiento de la
enseñanza de las matemáticas
KSMConocimiento de la estructura de la
matemática
KoTConocimiento de los
temas
KPMConocimiento de la práctica
matemática
KFLMConocimiento de las
características del aprendizaje de las
matemáticas
Co
no
cimie
nto
did
áctico d
el co
nten
ido
Creencias
en
matemática
en la
enseñanza y
aprendizaje de
la matemática
Co
no
cimie
nto
mate
mático
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EL MODELO MTSK PARA PLANIFICAR LA
ACTIVIDAD MATEMÁTICA
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Conocimiento de los Temas (KoT): aspectos fenomenológicos, significados, definiciones, ejemplos…,que caractericen aspectos del tema abordado, además de referirse al contenido disciplinar que figura enmanuales y textos matemáticos.
Conocimiento de la Estructura Matemática (KSM): sistema integrado de conexiones que le permita
comprender y desarrollar conceptos avanzados desde una perspectiva elemental y conceptos elementalesmediante el tratamiento a través de una visión avanzada.
Conocimiento de la Práctica Matemática (KPM): incluye el conocimiento de las formas de conocer,
crear o producir en matemáticas (conocimiento sintáctico según Schwab, 1978), conocimiento de aspectos dela comunicación matemática, del razonamiento y la prueba. Saber, por ejemplo, qué es definir y cómo usardefiniciones.
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Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT): incluye conocer distintas estrategiasque permitan al profesor fomentar un desarrollo de las capacidades matemáticas procedimentales oconceptuales. Conocer la potencialidad de recursos, ejemplos o modos de representación (Shulman, 1986)para hacer comprensible un contenido determinado.
Conocimiento de las Características del Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM):conocimiento de las características del proceso de comprensión de los estudiantes sobre los distintoscontenidos, del lenguaje asociado a cada concepto, así como de errores, dificultades u obstáculos posibles.
Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje de las Matemáticas (KMLS): conocimiento
acerca de lo que el estudiante debe/puede alcanzar en un curso escolar determinado, sobre las capacidadesconceptuales, procedimentales y de razonamiento matemático que se promueve en determinados momentoseducativos. Consideramos, además de lo prescrito en el currículo institucional, lo que proviene de lasinvestigaciones y de las opiniones de profesores expertos acerca de logros de aprendizaje.
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