El Modelo Logístico Una Herramienta 75040605

Revista Ingenierías Universidad de Medellín

ISSN: 1692-3324

[email protected]

Universidad de Medellín

Colombia

Fernández Castaño, Horacio; Pérez Ramírez, Fredy Ocaris

El modelo logístico: una herramienta estadística para evaluar el riesgo de crédito

Revista Ingenierías Universidad de Medellín, vol. 4, núm. 6, enero-junio, 2005, pp. 55-75


Medellín, Colombia

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El modelo logístico: Una herramientaestadística para evaluar

el riesgo de crédito

RESUMEN

Las propuestas contenidas en el documento del nuevo Acuerdo de Capital de Basilea representanun sólido esfuerzo por incorporar los desarrollos recientes de la teoría financiera de cuantificacióndel riesgo en la determinación del capital regulatorio mínimo que debe ser exigido a las entidadesfinancieras. Es propósito entonces no incrementar los requerimientos agregados de capital para labanca que utilice el sistema estandarizado de medición del riesgo de crédito, y de estimular lamigración hacia la utilización del sistema basado en los rating internos.

En la práctica diaria se presentan situaciones en las que es necesario tomar decisiones. Es frecuenteque estas elecciones se hagan de manera automática, y haciendo solo uso de un razonamientológico. Sin embargo, en otras situaciones la toma de alguna decisión, con el objeto de determinaruna estrategia óptima, se requiere de un análisis más profundo y para lo cual la mera intuición esinsuficiente.

Por ejemplo, para una entidad financiera es de gran utilidad disponer de un modelo, alejado de lamera intuición, que le ayude a decidir sobre otorgar o no un crédito. La entidad debe evaluar laprobabilidad de que el cliente devuelva el dinero, lo cual será un hecho positivo para la entidad, obien que el cliente llegue a ser moroso, y esto será un hecho negativo para la entidad.

Ante esta situación, de elección binaria, es necesario hacer uso de modelos dicotómicos quepermitan evaluar la probabilidad asociada a cada alternativa de decisión. Es de gran ayuda utilizarun modelo que, de acuerdo a lo ocurrido con otros préstamos, con diferentes estratos económi-

HORACIO FERNÁNDEZ CASTAÑO:Magíster en Matemáticas Aplicadas de la Universidad EAFIT, Ingeniero Civil de la Escuela de Ingeniería

de Antioquia, Especialista en Sistemas de Administración de la Calidad ISO 9000, Especialista enGerencia de Construcciones y Licenciado en Matemáticas de la Universidad de Medellín. Profesor de

tiempo completo, Facultad de Ingenierías. Programa de Ingeniería Financiera. Universidad de Medellín. e-mail: [email protected]

FREDY OCARIS PÉREZ RAMÍREZ:Matemático de la Universidad de Antioquia, Magíster en Matemáticas Aplicadas de la Universidad EAFIT

y Estudios de Especialización en Estadística de la Universidad Nacional, sede Medellín. Profesor detiempo completo, Facultad de Ingenierías. Programa de Ingeniería Financiera. Universidad de Medellín. e-

mail: [email protected]

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Revista Ingenierías

cos, diferentes salarios, diferentes niveles de escolaridad, entre otros, permita calcular laprobabilidad de que el cliente cancele el préstamo, y con base en los resultados tomar una decisióndespués de una reflexión más profunda, de manera que se calcule la provisión necesaria paracubrir eventualidades de morosidad.

En este artículo se presenta un planteamiento no lineal de los modelos de elección dicotómicaque, sin duda, es una buena elección para evaluar el riesgo de crédito de una cartera comercial,que se incluye aquí como una aplicación.

Palabras clave: Basilea, elección binaria, modelos dicotómicos, probabilidad

ABSTRACT

The proposal container in the document of the new Basel’s an agreement represents a solid effortto incorporate the resents the development of the financial theory of risk quantification in thedetermination of minimum regulatory capital that must be requested in the financial entities.Then, the purpose is no increment the added requirements of capital for the banking house thatuses standardized system of the risk credit measurement and the stimulation upon the use of thesystem based in the intern ratings.

In the daily practice, it presents situations in which, it’s necessary to take decisions. It is frequentlythat these choices are made in automatic way and just making use of a logic reasoning. However inthe other situations taking some decisions with the purpose of determinations a very good strat-egy, it requires a deeper analysis in which the simple intuition is not enough.

For example, for a financial entity is very useful to have a model away of just intuition which havefor to take a decision whether they give or not a credit. The financial entity must evaluate theprobability the costumer gives back the money which will be a positive fact for the entity, now thenthat the customer becomes debtor, and this will be a negative fact for the entity.

Before this situation, of binary choice, it is necessary to make used dichotomy models that allowevaluating the associated probability to every alternative. It’s a great help to use a model that, con-cerning about that happened with other loans. With different economic levels, different salaries, anddifferent academics levels, among others, it permits to calculate the probability that the costumerpays for the loan and based on these results they can take a decision after a deeper meditation.

Key words: Basel, binary choice, dichotomies models, probability.

INTRODUCCIÓN

Las finanzas, como disciplina científica,estudian la manera como se asignan recursosescasos a lo largo del tiempo en condicionesde incertidumbre. Existen tres pilares analíticosde las finanzas: la optimización en el tiempo,la valuación de activos y la evaluación y ad-ministración del riesgo. Este último de gran

importancia en la actualidad, debido al con-trol que están ejerciendo las agenciasinternacionales sobre los países en desarrollo,y por esto se ha intensificado su estudio e in-vestigación.

La incertidumbre es una de las característicasprincipales con las cuales debe convivir unainstitución financiera. Una amplia serie de fe-

Fernández & Pérez

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nómenos, cuyo comportamiento es impre-decible, tiene un impacto directo en el desem-peño de dichas instituciones. En el caso delas compañías de seguros, éstas tienen querealizar erogaciones por concepto deaccidentes u otros eventos asegurados. En elcaso de las instituciones bancarias, ellas tienenque hacer provisiones de capital para hacerfrente a pérdidas originadas tanto por lacalidad crediticia de sus deudores como porlos cambios en los factores de mercado queafectan sus portafolios.

El análisis de las variaciones de los factorescuyo comportamiento es impredecible puedeser realizado por medio de diversas herramien-tas estadísticas, lo cual, en el caso particularde las compañías de seguros, ha dado lugar ala teoría del riesgo. El desarrollo de la teoríade riesgos ha permitido a las compañías deseguros conocer mejor la exposición de susportafolios y establecer las pérdidas a lascuales se exponen. Sólo en tiempos recientesse ha explotado esta herramienta en el ámbitofinanciero, debido a la similitud existente conel principal riesgo que las institucionesfinancieras enfrentan: el riesgo crediticio.

La administración del riesgo, como puedeverse, ha evolucionado notablemente en losúltimos años y si se hace un análisis resumidode esta evolución, no se podrían dejar derepasar los diversos estudios realizados por elcomité de Basilea.

El comité de Basilea (ciudad del norte deSuiza), se creó en 1974 por los gobernantesdel G-10 con el propósito de coordinar lasupervisión de los bancos internacionales. Elcomité es un foro de debate sobre lasupervisión bancaria cuyo fin es ser garantesde una supervisión eficaz de las actividadesbancarias en todo el mundo.

Recientemente se ha convocado al análisis depropuestas metodológicas para el NuevoAcuerdo de Basilea sobre Capitales en la

Banca, en el entendido de que en el ámbitode una mayor globalización, las institucionesfinancieras requieren ampliar sus alternativaspara representar el riesgo y manteneradecuados índices de capitalización. Uno delos aspectos centrales de las propuestas delComité es el manejo del riesgo de crédito.

El riesgo, como la probabilidad de obtener unresultado no esperado, hace necesario que ensu estudio se deban tener en cuenta las mate-máticas para modelar los procesos deoptimización, dado que las características delas variables se ven reflejadas medianteprocesos estocásticos. Es necesario que en elplanteamiento se incluya esta situación y paraello se deben considerar como pilares: LaEstadística, los Procesos Estocásticos, laSimulación, las Series de Tiempo y laEconometría.

En este contexto, se considera importante queen las diferentes regiones latinoamericanas sefomente una actitud proactiva en cuanto a lasmetodologías de administración del riesgocrediticio y los requerimientos de capital parala banca. En ese sentido, se ha desarrolladouna serie de propuestas para adaptarse a lasmetodologías requeridas, que tienen comofinalidad fortalecer la gestión de los diferen-tes riesgos de mercado [11], de crédito, deliquidez, contraparte y operativo, y otrosinherentes a la Banca.

El pilar fundamental de la supervisión bancariaestá en la gestión interna del riesgo en lasentidades financieras y, como tal, estáorientado a que se fortalezca esta gestión enriesgos de crédito y de mercado, generandocultura y prácticas de alto nivel técnico en laadministración del mismo.

Se deben establecer, así mismo, los principiosy criterios generales que las entidades debenadoptar para mantener adecuadamenteevaluados los riesgos crediticios implícitos enlos activos de crédito, y definir las modalidades

El modelo logístico: una herramienta estadística...

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de crédito, determinar las calificaciones quese deben otorgar a tales operaciones según lapercepción de riesgo que de las mismas setenga, establecer la periodicidad con que sedeben efectuar tales calificaciones y consagrarlos mecanismos de recalificación.

El valor en riesgo crediticio se encuentra todavíaen su infancia y está creciendo, en parte, comoconsecuencia de las instituciones reguladoras;es por esto que en Colombia se ha creado la ne-cesidad de que en las entidades financieras seconformen grupos de trabajo en esta temática,con una rigurosa formación Matemática,Estadística Multivariada, la Simulación, losProcesos Estocásticos y la Econometría, que lespermita hacer las valoraciones del riesgo de man-era científica y así puedan cumplir con losrequerimientos internacionales para ser garantesde un buen manejo de los elementos financie-ros de alto riesgo. Es necesario modelar, desa-rrollar y analizar sistemas de información quepermitan evaluar el riesgo de crédito, y hacer lasprovisiones de cartera.

El incremento en la varianza de las principalesvariables financieras ha creado un nuevocampo, en la Ingeniería Financiera, cuyoobjetivo es proporcionar alternativas creativaspara protegerse contra los riesgos financieroso para especular con ellos.

El riesgo puede ser definido como lavolatilidad de los flujos financieros noesperados, generalmente derivada del valor delos activos o los pasivos. Las empresas estánexpuestas a tres tipos de riesgo, que son:

• Los riesgos de negocios son aquellos quela empresa está dispuesta a asumir paracrear ventajas competitivas y agregar valorpara los accionistas.

• Los riesgos estratégicos son los resultantesde cambios fundamentales en la economíao en el entorno político.

• Los riegos financieros están relacionadoscon las posibles pérdidas en los mercados

financieros. La extensa literatura sobre cri-sis financieras internacionales y el análisisde los agregados macroeconómicos ybancarios para varios países, entre ellos Co-lombia, han resultado interesantes a la horade ahondar en el estudio del desempeñodel sistema bancario y la economía duranteel período de transición de una crisisfinanciera; el colapso crediticio es una ca-racterística de una crisis bancaria y unperíodo en el cual los prestatarios y losdeudores ajustan sus balances.

Toda empresa está expuesta a riesgos quepueden causar graves problemas financieros,poner en peligro la operación e, incluso, llegaral cierre definitivo de la empresa. La adminis-tración del riesgo ha evolucionado notable-mente en los últimos años y si se hace un aná-lisis resumido de esta evolución, no se podríandejar de repasar los diversos estudiosrealizados por el Comité de Basilea para laSupervisión Bancaria.

Un modelo econométrico que es de granutilidad, en la evaluación del riesgo de créditoel modelo de regresión logística [ 6, 17] quemodela la toma de decisiones cuando se estáenfrente de un proceso de elección binaria, yel proceso de decisión de la probabilidadasociada a cada alternativa posible que puedetener un cliente.

MODELO LOGIT

La regresión Logit [6] se utiliza cuandoqueremos predecir un resultado binario, porejemplo, quiebra vs. no quiebra y sabemos queexisten varios factores que pueden incidir sobretal resultado. Esta regresión binaria es un tipode análisis de regresión donde la variabledependiente es una variable dummy: código 0(Buen Cliente) o 1 (Mal Cliente).

La regresión logística se basa en ladenominada función logística, donde serelaciona la variable dependiente con las vari-

Fernández & Pérez

59


ables independientes 1 2,..., i kx x x x,..., a través dela siguiente ecuación:

1

1 exp( )i iY u

z� �

� �

Donde,

:iY Variable dependiente. Puede tomar valo-

res de cero o uno.

:z Scoring Logístico.

En el cual0 1 1 2 2 k kz X X X� � � �� ... , o de

forma matricial sería Z = âX

:u Es una variable aleatoria que se distribuye

normalmente � �20,N �

1 2,..., i kx x x x,..., Las variables independientesson fijas en el muestreo.

Si denotamos por Y a la variable a predecir, ypor 1 2,..., i kx x x x,..., a las k variables predictoras,la regresión logística se expresa de la manerasiguiente:

Donde X representa un patrón a clasificar, y

0 1, , , k� � �L... son los parámetros, que deben serestimados a partir de los datos, a fijar paratener determinado un modelo concreto deregresión logística.

Si consideramos que la variable a predecir Y

es binaria, podemos calcular ( 0 | )P Y X� de la

siguiente manera:

1 1

0

1

1( 1| ) ( 1| , , )

1 exp

k k k

i i

i

P Y X P Y X x X x

x� ��

� � � � � � �� ! "# $% &� �

'L...

0

1

0 0

1 1

exp1

( 0 | ) 1 ( 1| ) 1

1 exp 1 exp

k

i i

i

k k

i i i i

i i

x

P Y X P Y X

x x

� �

� � � �

�

� �

�� ! "# $% &� ��

� �� ! " ! "# $ # $% & % &� � � �

'

' '

Otro concepto de interés es el de odds ratio(OR) de un determinado patrón x el cual sedenota por OR(x) y se define como el cocienteentre la probabilidad de que el patrónpertenezca a la clase 1 entre la probabilidadde que el patrón pertenezca a la clase 0. Esdecir:

� � � ��

1|

1 1|

P Y XOR X

P Y X

��

� �

Para trabajar con OR(x) de manera ágil, esconveniente expresar el modelo de regresiónlogística en la manera logit. Para ello se efectúauna transformación del modelo, de la manerasiguiente:

� ��

1|1| ln ln

1 1|

P Y Xlogit P Y X OR X

P Y X

�� ! "� ��

Sustituyendo en la fórmula anterior lasexpresiones correspondientes al modelologístico obtenemos:

Tal y como se ha comentado anteriormente, elodds ratio (OR) de un individuo con patrón xse define como el cociente entre laprobabilidad de que Y=1 dado dicho patrón Xy la probabilidad de que Y=0 dado X. Así unodds ratio de 1/3 para un patrón X se inter-preta diciendo que para dicho patrón laprobabilidad de que se de Y=1 es una terceraparte de la probabilidad de que Y=0.

� �� 0

1

0

1

0

1

1

1 exp

1| ln

exp

1 exp

k

i i

i

k

i i

i

k

i i

i

x

logit P Y X

x

x

� �

� �

� �

�

�

�

�! "! "! " �� ! "! "# $

% &� �! "� � ! " �� ! "! "# $% &! "� �

! " �� ! "� � �! "# $! "% &� ��

'

'

'

0 0

1 1

ln expk k

i i i i

i i

x x� � � ��

� �� # $% &' '


60


Además se tiene que

Y por lo tanto si: : 0,0,0, ,0� Lx ... entonces,

� �� 0, ln ��OR x Ahora bien, en un modelo de

regresión logística, el coeficiente � �1, 2, ,i i k� � L...

representa el cambio en el logit resultante alaumentar una unidad en la i-ésima variable

� �1, 2, ,iX i k� L...

Otro concepto que resulta de interés es el de

risk odds ratio (ROR) de 0x frente a x el cual

mide el riesgo del odds ratio de 0x frente al

odds ratio de x � �� OR x es decir:

Obviamente ,x xROR ( se puede expresar de man-

era alternativa como:

La estimación de los parámetros del modelologit, se realiza por máxima verosimilitud(apéndice).

Para la aplicación del modelo Logístico serequiere que las variables exógenas seanlinealmente independientes y esto obliga ahacer uso del análisis de componentes princi-pales [8], que a continuación se presentan.

ANÁLISIS DE COMPONENTESPRINCIPALES

El Análisis de Componentes Principales es unmétodo estadístico, muy útil en la evaluacióndel riesgo crediticio y fue propuesto porPearson (1901), y de forma independiente tam-

� �� 0

1

1|ln 0 ln

1 1|

k

i i

i

P Y XOR x

P Y X� �

�

�� ! "� ��

'

� ��

0

1

,

1

0

1

exp

exp

exp

k

i i ki

x x i i iki

i i

i

xOR x

ROR x xOR x

x

� ��

� �

�(

�

�

� �(�# $( � �% & (� � � �# $� � % &�# $% &

''

'

� � � � � �, 1 1 1

1

exp exp expk

x x i i i k k k

i

ROR x x x x x x� � �(�

( ( (� � � � ) ) � � � �� * L,...,

bién por Hotelling (1933), y que consiste endescribir la variación producida por la

observación de p variables aleatorias iX en

términos de un conjunto de nuevas variablesincorrelacionadas entre sí (denominadas Com-ponentes Principales), cada una de las cualessea combinación lineal de las variablesoriginales.

Estas nuevas variables son obtenidas en ordende importancia, de manera que la primeracomponente principal incorpora la mayorcantidad posible de variación debida a las vari-ables originales; la segunda componente prin-cipal se elige de forma que explique la mayorcantidad posible de variación que resta sinexplicar por la primera componente principal,sujeta a la condición de ser incorrelacionadacon la primera componente principal, y asísucesivamente.

El propósito del Análisis de ComponentesPrincipales es ver si las dos o tres primerascomponentes principales reúnen ya la mayorparte de la variación producida por las p vari-ables originales puesto que, de ser así,considerando sólo estas dos o tres primeras,reduciremos la dimensionalidad de los datosal considerar únicamente dos o tres variablesen lugar de p, y apenas perderemos informa-ción relevante.

Un ejemplo muy simple puede ser el de quererresumir la información obtenida al observar enlos individuos de la muestra las variablesSueldo Anual, Rendimientos Patrimoniales,etc.; las primeras componentes principales nosdarán un resumen de las variables observadas(en forma de combinaciones lineales de vari-ables originales) y, al ser incorreladas,discriminarán mejor a los individuos de lamuestra en razón de sus característicaseconómicas.

En algunos casos, la obtención de las compo-nentes principales es el propósito del estudio,pero en muchas ocasiones suele ser el medio

Fernández & Pérez

61


de reducir el número de variables originalespara realizar después un Análisis Estadísticodeterminado, como por ejemplo una RegresiónLineal Múltiple en la que originalmente habíansido consideradas muchas covariables; estasegunda posibilidad es especialmente útil silas variables originales están fuertementecorreladas. (De hecho, si éstas fueranincorreladas ellas serían ya las componentesprincipales.) No obstante, hacemos laobservación de que, en Regresión, unas vari-ables son independientes y otra (u otras)dependientes; en el Análisis de ComponentesPrincipales todas la variables tienen la mismaconsideración.

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE [8]

Prueba de esfericidad de Barltlett

Esta prueba se utiliza para realizar el siguientecontraste

IH

IH

2

1

2

0

:

:

�

�

+'

�'

Donde la hipótesis nula afirma que las vari-ables no están correlacionadas en la pobla-ción, es decir, que la matriz de correlación dela población es una matriz diagonal.

Tiene sentido el modelo si podemos rechazarla hipótesis nula, lo cual sería indicativo deque existen correlaciones entre las variables.En caso de no poder rechazar la hipótesis nula,se pondrá en duda lo adecuado del modelo.

El determinante de la matriz de correlacionesmuestral es un estimador del determinante dela matriz de correlaciones poblacional. A partirdel valor del determinante muestral, se puedecalcular un estadístico que se distribuye segúnla chi-cuadrada con 2 grados de libertad igual a½ (k2-k), donde k es el número de variables dela matriz de correlaciones. El valor del

estadístico que va a servir para contrastar lashipótesis es la prueba de Bartlett,

R)k+(

-n -B ln526

11 "

�

�!�

�

La condición de aplicabilidad de la prueba deBartlett, es que las variables procedan de unapoblación con una distribución normal multi-variable.

Medida de adecuación de la muestra(kaiser-meyer-olkin) kmo

Este índice permite comparar las magnitudesde los coeficientes de correlación observadoscon las magnitudes de los coeficientes decorrelación parcial. El índice KMO se calcula:

''''

''

� ��

� �

��

n

i

n

j

ij

n

i

n

j

ij

n

i

n

j

ij

sr

r

KMO

1 1

2

1 1

2

1 1

2

Donde:

ijr : es el coeficiente de correlación entre las

variables i-ésima y j-ésima; se excluyen de lassumatorias los coeficientes de correlación deuna variable consigo, por lo tanto, el campode aplicación de las sumatorias no es aplicableen los casos i = j.

ijs : es el coeficiente de correlación parcial

entre las variables i-ésima y j-ésima, tambiénse excluyen los casos i = j.

Interpretación

Un índice KMO bajo indica que laintercorrelación entre las variables no esgrande y, por tanto, la aplicación del modelono será práctica, ya que necesitaríamos casitantos factores como variables para incluir unporcentaje de la información aceptable.


62


• Un KMO con valores mayores de 0.7 indicanalta intercorrelación, por tanto, esindicativo de que éste análisis es apropiado.

• Los valores entre 0.5 y 0.6 indican que el gradode intercorrelación es medio, peroaplicable.

• Cuando KMO es menor que 0.5 indicaría queel análisis factorial no resultaría una técnicaútil.

Medida de adecuación de la muestra(MSA)

Este índice se calcula para cada variable, deforma similar al índice KMO.

Su fórmula es ''

'

��

�

��

n

j

ij

n

j

ij

n

j

ij

sr

r

MSA

1

2

1

2

1

2

se excluye el caso i = j.

Interpretación

• Un MSA con valores mayores de 0.7 indica altaintercorrelación, por tanto, es indicativo deque este análisis es apropiado.

• Los valores entre 0.35 y 0.6 indican que el gradode intercorrelación es medio, pero aplicable.

• Un MSA menor que 0.5 indica que no seaconseja este tipo de análisis.

Correlación múltiple

Este coeficiente indica el grado de asociaciónentre una variable y todas las otras que inter-vienen en el análisis. Si hay muchas variablescon un coeficiente de correlación múltiple muyalto, el análisis puede utilizarse. Las variablescon un coeficiente de correlación múltiple bajopodrían eliminarse.

La comunalidad

Es un valor que se obtiene para cada una delas variables originales, sumando loscuadrados de las correlaciones o cargas de losfactores retenidos con la variable para la quese calcula y que expresa la proporción devarianza de la variable extraída o explicada conm factores, donde m es el número de factoresretenidos. Si m es igual al número total de vari-ables la comunalidad será igual a 1.

APLICACIÓN

Para presentar las metodologías de mediciónde riesgo de crédito, basados en modelos Logity Probit y aplicarlas a la base de datos, quepermitan mejorar el control, la toma de deci-siones de la administración financiera y lagestión de los riesgos, es necesario realizar unanálisis de comportamiento para cada una delas variables y la correlación entre ellas. Esto sehace con el fin de determinar algunas relacionespara grupos determinados de la población deacuerdo con sus características particulares.

Por tanto, se cruzan variables de cliente, delcrédito y de comportamiento contra la defini-ción de fallidos y no fallidos. Definición quees resultado del default para establecer un pro-cedimiento de clasificación que permita de-terminar las ponderaciones necesarias y es-tablecer la probabilidad de fallido. Dicho pro-cedimiento estará basado en las técnicas delAnálisis Estadístico Multivariado.

Un aspecto muy importante sobre el cualenfatiza el sistema SARC1 es el seguimiento ycontrol de procesos que tengan relación directacon el riesgo crediticio. Por lo tanto se hacenecesario el monitoreo de procesos talescomo: Otorgamientos, Comportamiento yProvisiones. Cada uno de estos procesossintetiza las diferentes etapas de la vida de unaobligación, razón por la cual las variables

Fernández & Pérez

63


contempladas en cada proceso deben tenerrelación directa con el objeto del mismo delcrédito, así como el análisis y seguimiento alas mismas.

Desde hace más de dos años, en el país seesta observando cómo realizar el SARC(Sistema de Análisis de Riesgo de Crédito),el cual consiste en menor regulación y mayorsupervisión; éste incluye un aumento en lacapacitación tanto de las entidades vigiladascomo de la propia Superintendencia Bancariapara aumentar su capacidad de evaluación.El objetivo principal de las entidadesfinancieras es lograr por medio del Sistemade Administración de Riesgo Crediticio(SARC) estimar el nivel de provisionesadecuado para el crédito otorgado.

Existen 2 tipos de provisión:

a) Provisión Individual

Es la pérdida esperada de cada uno de loscréditos, que se define como:

)1( TRSEPPE ttt �--�Donde:

tP : Es la probabilidad de incumplimiento o

probabilidad de Default, este es obtenido pormedio de un modelo logístico:

'�

��

�m

i

iit Xe

eP

1

0donde1

��XââX

âX

tSE Es el saldo expuesto del crédito t.

TR, Es la tasa de recuperación, la cual seobtiene a partir de los créditos que entran encobro jurídico.

Para determinar en nivel de provisionesindividuales anticipadas es necesario emplearel modelo de otorgamiento del crédito, en elcual el analista debe estimar la probabilidadde Default, según las características delcrédito.

Cada entidad decide hasta que punto asumeel nivel de riesgo, estableciendo rangos deprobabilidad para calificar a cada cliente, dela siguiente manera:

Rango de probabilidad Calificación

1 AAA2 AA3 A4 BBB5 BB6 C7 D8 E

b) Provisión General

Se realiza por medio de modelos VAR omodelos ADL (modelos autorregresivos derezagos distribuidos) , tomando la cartera gen-eral y las variables internas de la entidad,realizando un detallado seguimiento,observando cómo las variables macroeconó-micas afectan el cálculo en la provisión.

Se ha observado, a través de la historia, queen épocas de crecimiento económico sedisminuyen las provisiones afectandopositivamente las utilidades de las institu-ciones financieras. El problema es que en elmomento de correr la serie con los datoshistóricos, ésta puede quedar sobrestimadapor el pasado.

Para evitar esto se debe tener presente laProciclidad, la cual considera 2 factores:

1. En épocas de crisis se da un exceso deprovisiones (exceso de morosidad),golpeando directamente las utilidades de

El Saldo

La probabilidad de incumplimiento

El plazo

Estableciendo

cual es la

provisión optima

de cada credito.


64


las instituciones (disminuye la utilidadneta), empeorando, así, la crisis más de loque estaba (pues las institucionesfinancieras están castigando fuertementesus utilidades, mostrando a la economíamalos resultados).

2. Épocas de bonanza: Se dará un déficit (laentidad no realiza la cantidad necesaria deprovisiones, pues según la teoría “cuandohay bonanza la morosidad disminuye”, peroen la práctica puede que no se hayareflejado realmente lo que proponía lateoría, ocasionándole grandes pérdidas ala institución, porque no estaba preparadapara el no pago de sus clientes) y en elmomento en que llega la crisis la organiza-ción se acaba, pues no la soporta.

Variables macroeconómicas que sedeben considerar

En el momento de escoger las variables, unbuen parámetro es la correlación que hay en-tre ellas; las más importantes son:

El PIB (producto interno bruto)

Entre el PIB vs. la calidad de la cartera hayuna correlación perfecta (como se enuncióanteriormente), pero el PIB posee una carac-terística, pues éste es una variable que no latenemos en tiempo real, pues esta se datrimestralmente, por lo tanto es buena para elpasado, mas no para el futuro. Pero a esta vari-able se le puede realizar un tratamiento, elcual consiste en el filtrado baso permitiendoque la serie no quede desfasada.

EL DESEMPLEO

Tasa de desempleo vs. provisiones: Según lahistoria se ha observado que a mayor tasa deempleo menor es la morosidad, por lo tanto,están correlacionadas negativamente.

CONSUMO

Consumo vs. provisiones

EL IPC (índice de precios al consumidor)

IPC vs. cartera vencida: Se ha observado que amenor inflación mayor nivel de morosidad, esdecir, tiene una correlación negativa.

LA DTF (tasa de deposito a termino fijo)

DTF ajustado por inflación vs. cartera vencida:Se observa que a menor DTF menor nivel demorosidad.

Es necesario realizar un modelo deseguimiento en el cual se consideran variablesdinámicas, permitiendo la actualización delmodelo, debido a que la probabilidad de fallocambia a través del tiempo, cambiando, a suvez, la provisión general, de la siguiente man-era:

• Buen comportamiento: la provisión baja.• Mal comportamiento: la provisión sube.

En este artículo se presenta el procedimientode cálculo de la provisión individual y no elestudio para hallar la provisión general.

Procedimiento para hallar la provisiónindividual

Para determinar la provisión es necesario de-terminar el riesgo de crédito y clasificar la basede datos en 2 tipos de cartera:

• La cartera comercial• La cartera de consumo

Los modelos econométricos mas usados paracalcular la probabilidad de Default son:

• El Logit• El Probit• El tobit

Fernández & Pérez

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El modelo econométrico que se presenta eneste articulo es el logistico.

Análisis de la cartera comercial

Para realizar dicho análisis se debe realizar elsiguiente procedimiento:

1. La unidad objeto de análisis son lasempresas; está compuesto por:

A. Variables cuantitativas: Indicadores finan-cieros. Las variables son:

Año Información, Crecimiento en Ventas,Rentabilidad Bruta, Utilidad operativa, Utilidadneta / Ventas, Crecimiento en Utilidades, CicloOperativo (rot. cart. + rot. inv.), Utilidad neta /Patrimonio, Crecimiento del Patrimonio,Endeudamiento sin Valz (Pas.T/Act. T),Endeudamiento Total / Ventas, Endeudamiento(Pas.T/Act.T), Endeudamiento Financiero /Ventas, Apalancamiento Financiero, PasivoCorriente/Pasivo Total, Crecimiento del Activo,Rentabilidad del Activo, Prueba Acida (razón),Relación Corriente, Rotación de Cartera(Comercial), Rotación de Proveedores, Rotaciónde Inventarios, Otros Ingresos / Utilidad Neta,Corrección Monetaria / Utilidad Neta, UtilidadOperativa / Gastos Financiero, Flujo de CajaLibre / Gastos Financieros, Calificación Interna,Default, Calificación Pagos Externos, Cupo enMillones de Pesos, Año Calificación, Saldo Capi-tal Promedio por Año y Máximos días vencidoaño; los cuales son establecidos por el PYG y elbalance General.

Es necesario observar el nivel de correlaciónque existe entre dichas variables, debido a que

pueden existir problemas de multicolinealidad;para evitar estos problemas, realizaremos elanálisis de componentes principales que nospermite pasar de un espacio linealmentedependiente (LD) a un espacio linealmenteindependiente (LI), permitiendo estimar elmodelo logístico.A. Variables cualitativas o categóricas: las

cuales se caracterizan por poseer diferen-tes estados. Dichas variables son:

Antigüedad de la Empresa, Antigüedad comoCliente, Socios, Referencias de Socios / Ad-ministradores, Administración – Experiencia,Administración – Estructura, Estados Financie-ros – Auditor, Estados Financieros – Disponi-bilidad, Competencia, Productos, Número deClientes / Estabilidad, Proveedores, Barrerasde entrada, Barreras de salida, Instalaciones /Activos, Recursos Humanos, Nivel de regula-ción, Nivel de riesgo ambiental, FuentesFinancieras y Alternativa más probable deFinanciación.

Se realizan pruebas de asociación entre lasvariables categóricas y el Default, por mediode tablas de contingencia.

Ajuste del modelo de regresión logístico

A continuación se realiza el scoring logístico,donde se consideró como variable endógenaes el Default y como variables exógenas las 21componentes principales y la variablecuantitativa calificación pagos externos; y quese expresa como una combinación lineal de 5variables dummys

0 1 1 21 21 1 37 2 37 4 37... ...X cc cc Dx a Dx b Dx e� � � � � � ��


66


Variables in the Equation

B S.E. Wald df Sig.CC1 0,781 0,329 5,622 1,000 0,018CC2 0,400 0,437 0,837 1,000 0,360CC3 -0,348 0,475 0,536 1,000 0,464CC4 -1,462 2,455 0,355 1,000 0,551CC5 -4,247 6,536 0,422 1,000 0,516CC6 1,435 1,398 1,054 1,000 0,304CC7 -0,848 2,024 0,176 1,000 0,675CC8 0,058 0,425 0,019 1,000 0,891CC9 -0,239 0,369 0,418 1,000 0,518CC10 0,620 1,200 0,267 1,000 0,605CC11 0,338 0,553 0,373 1,000 0,541CC12 -0,470 0,364 1,666 1,000 0,197CC13 -0,889 0,578 2,362 1,000 0,124CC14 0,666 0,392 2,879 1,000 0,090CC15 2,426 0,844 8,268 1,000 0,004CC16 0,612 0,541 1,280 1,000 0,258CC17 2,110 1,089 3,753 1,000 0,053CC18 -0,656 0,249 6,940 1,000 0,008CC19 -0,315 0,482 0,428 1,000 0,513CC20 0,068 0,504 0,018 1,000 0,892CC21 0,129 0,238 0,295 1,000 0,587DX37_A -182,679 1101,743 0,027 1,000 0,868DX37_B -147,075 1057,346 0,019 1,000 0,889DX37_C -143,210 1057,331 0,018 1,000 0,892DX37_E -104,843 21087,777 0,000 1,000 0,996Constant 141,696 1057,324 0,018 1,000 0,893

Se debe eliminar del modelo la variable menos significativa, que en este caso es Dx37_E y sevuelve a correr el modelo, se procede así hasta que queden las variables más significativas. Elmodelo final es:

Variables in the EquationB S.E. Wald df Sig.

CC1 0,9131 0,1954 21,8312 1,0000 0,0000CC3 -0,7507 0,2201 11,6299 1,0000 0,0006CC4 -4,8795 1,2269 15,8169 1,0000 0,0001CC7 -0,3867 0,1528 6,4027 1,0000 0,0114CC12 -0,4097 0,1647 6,1865 1,0000 0,0129CC15 0,7978 0,1717 21,5886 1,0000 0,0000CC18 -0,3942 0,1320 8,9200 1,0000 0,0028CC19 -0,5767 0,1672 11,8900 1,0000 0,0006DX37_B -5,0232 0,4285 137,3922 1,0000 0,0000DX37_A -38,9191 326,7941 0,0142 1,0000 0,9052Constant 0,1099 0,2370 0,2151 1,0000 0,6428

Fernández & Pérez

67


OBSERVACIÓN

La variable Dx37 A no fue sacada del modelo ya que a pesar de ser una variable no significativa, alsacarla del modelo ésta afecta el scoring de otorgamiento.Y la clasificación del modelo es:

Classification Table(a)

Observed Predicted Default Percentage

No Fallido Fallido CorrectStep 1 Default No Fallido 4005 70 98,3

Fallido 7 243 97,2 Overall Percentage 98,2

aThe cut value is ,100

Se observa que el modelo clasificó 4.005clientes buenos como buenos clientes y 70buenos como malos clientes, mostrándonosun buen ajuste.

Validación del modelo

Para validar el modelo, es necesario realizardiferentes pruebas estadísticas como:

1. Prueba Ómnibus

Esta prueba es útil para analizar la significanciade las componentes conjuntas del modelo, donde:

0H : 021191815127431

��

H2: Al menos un parámetro diferente de cero

Omnibus Tests of Model Coefficients

Chi-square df Sig.

Step 1 Step 1589,262 10 ,000

Block 1589,262 10 ,000

Model 1589,262 10 ,000

1Como el valor p<0.05, se rechaza la hipótesisnula, significa que al menos una de las com-

ponentes es significativa en el modelo.

2. Prueba de Hosmer- Lesmeshow

Es una prueba de bondad de ajuste, donde:

H0: El modelo esta bien ajustadoH1: Falta ajuste en el modelo

Hosmer and Lemeshow Test

Step Chi-square df Sig.1 ,396 8 1,000

El valor de Hosmer Lemeshow fue de 0.396 de-mostrando una buena calibración del modelo,además se observa que el valor p>0.05, lo quelleva a aceptar la hipótesis nula.

3. Prueba KS ( Kolgomorov- Smirnov)

Es un histograma acumulado de los buenos ymalos, donde se muestra la máxima diferen-cia absoluta entre éstos, para determinar si elmodelo global es significativo, donde:

H0: La distribución de los buenos esequivalente a la distribución de los malos


68


H1: La distribución de los buenos no esequivalente a la distribución de los malos

Esta prueba utiliza los valores de cada distri-bución.

Predictedprobability

Most Extreme Absolute ,963Differences Positive ,963

Negative ,000Colmogorov-Smirnov Z 14,773Asymp. Sig. (2-tailed) ,000

a. Grouping Variable: Deafult

Se puede observar que se rechaza la hipótesisnula, debido a que el valor p=0, por lo tanto ladistribución de los buenos difiere de la distri-bución de los malos, lo que nos demuestraque no hay errores en el modelo.1

4. test Mann-Whitney

Este test consiste en sacar rangos en lasmuestras sucesivamente de menor a mayor alos datos de cada distribución.

H0: La distribución de los buenos es

equivalente a la distribución de los malos

H1: La distribución de los buenos no es

equivalente a la distribución de los malos

Mann-Whitney Test

RanksDeaful N Mean Sum of

Predicted Rank Ranksprobability No Fallido 4075 2039,03 8309037,00

Fallido 250 4183,75 1045938,00Total 4325

Test Statisticsa

Predicted probabilityMann-Whitney U 4187,000Wilcoxon W 8309037,0Z -41,633Asymp. Sig. (2-tailed) ,000

a. Grouping Variable: Deafult

Se puede observar que se rechaza la hipótesisnula, debido a que el valor p=0, por lo tanto ladistribución de los buenos difiere significati-vamente de la distribución de los malos.

5. Prueba ROC

Esta prueba permite ver el criterio deespecificidad y sensibilidad, para obtener elproceso de discriminación.

Para interpretar la curva ROC se analiza el áreabajo la curva (AUC) que para una buenadiscriminación debe ser superior a 0.80.

Definiciones de sensibilidad y especificidad

Sensibilidad: es la probabilidad de que a losclientes malos, el modelo los clasifique comomalos, bajo un punto de corte determinado.

Especificidad: Es la probabilidad de que a losclientes buenos, el modelo los clasifique comomalos, bajo un punto de corte determinado.

Criterio para clasificar los clientes

Si P< punto de corte, entonces el cliente esmalo = 1Si P> punto de corte, entonces el cliente esbueno = 0

dadEspecificiBMP �/1)/(

1,0

,8

,5

,3

0,0

0,0 ,3 ,5 ,8 1,0

Sen

siti

vity

1- Specificity

Fernández & Pérez

69


1

t

t

PLn

P

�� ! "��

Xâ

Si 02Xâ , entonces el cliente es bueno

Si 02Xâ , entonces el cliente es malo

Para el análisis se realiza el grafico entre

vst

PXâ

Pérdida esperada o provisión individual

Como ya se explicó al inicio la provisión indi-vidual es calculada como la pérdida esperada1

de cada uno de los créditos, que se definecomo

)1( TRSEPPE ttt �--�Donde:

Pt:Es la probabilidad de incumplimiento oprobabilidad de Default; éste es obtenido pormedio del modelo logístico,

'�

��

�m

i

iiB

XB

t XXdondee

eP

11��

X

SEt: es el saldo expuesto del crédito t.

TR: es la tasa de recuperación, la cual seobtiene a partir de los créditos que entran encobro jurídico.

TABLA DE PROVISIONES

Count Maximum Mean SumAño 1994 6 66,28 11,05 66,28Informacion 1995 45 83,79 10,23 460,28- Empresa 1996 105 148,46 4,05 425,03

1997 218 235,93 7,03 1531,701998 831 1307,18 5,53 4596,831999 855 472,97 4,75 4056,992000 821 427,28 9,69 7923,562001 687 384,14 5,25 3594,992002 763 336,12 1,48 1132,63

Como se observa en la tabla de provisiones, elmayor nivel de provisión media se observa enel año 2000; a pesar de que los clientesdisminuyeron el nivel de provisión seincrementó posiblemente a la crisis financieradel país.

En 1994 la mayor provisión fue de 66.28 debidoa la alta probabilidad de incumplimiento depago, de dicho cliente, lo que nos muestra laimportancia de que la institución financieraestablezca límites de otorgamientos decréditos, ya que no es rentable que la entidadtenga tanto capital improductivo.

CONCLUSIONES

Las propuestas contenidas en el documentode nuevo acuerdo de capital representan unsólido esfuerzo por incorporar los desarrollosrecientes de la teoría financiera de cuantifi-cación del riesgo en la determinación del capi-tal regulatorio mínimo que debe ser exigido alas entidades financieras.

El propósito en el nuevo acuerdo de Basileaes el de no incrementar los requerimientosagregados de capital para la banca que utiliceel sistema estandarizado de medición delriesgo de crédito, y de estimular la migraciónhacia la utilización del sistema basado en losrating internos. Frente a lo anterior, variosanalistas han señalado que los requerimientosde capital van a aumentar sustancialmentepara la generalidad de los bancos, aún en


70


países de altos ingresos. Los bancos que estánen capacidad en el corto plazo de presentarsistemas de rating internos que satisfagan lasexigencias de los reguladores, y que podríanpor lo tanto beneficiarse de las reduccionesen los requerimientos de capital, conformanun grupo relativamente pequeño de entidadesde países de altos ingresos.

Por otra parte, la complejidad de los sistemasde medición de riesgo, aún para el caso delenfoque estandarizado, exigirá un esfuerzonotable de los entes supervisores, por mejorarsus capacidades técnicas. Estos esfuerzos seránconsiderablemente superiores cuando se tratede estudiar la consistencia de los sistemas derating internos de los bancos.

Dado lo anterior, la generalidad de los bancosde estos países va a verse obligada a utilizar elenfoque estandarizado, que depende de lacalificación del riesgo emitida por las agenciasespecializadas. Sin embargo, estas calificacio-nes son también menos comunes en los paísesde bajos ingresos. Se corre el riesgo de quelos esfuerzos por mejorar la calidad de losactivos no se traduzca en menoresrequerimientos de capital para sus bancos,contrario a lo sucedería en los países de altosingresos, donde está más generalizada lapráctica de la calificación.

Particular preocupación se deriva de la situ-ación que se puede presentar en relación conlos requerimientos de capital de la deudasoberana de los países en vía de desarrollo.Frente a una ponderación actual de estospapeles del 0%, se pasaría a una ponderaciónpor riesgo del 100% (caso de la deuda externade la República de Colombia). El efecto queello tendría en el encarecimiento de la deudasoberana podría traducirse en una disminucióndel flujo de capitales hacia estos países, conlas obvias consecuencias desde el punto devista del crecimiento y del empleo.

Las anteriores consideraciones hacenaconsejable que se evalúen cuidadosamente

las condiciones de aplicación del NuevoAcuerdo de Capital, a fin de que no vaya él aprovocar mayores dificultades en la situaciónde las naciones, los bancos y las empresas delos países en vía de desarrollo. La metapropuesta de implementación del nuevoacuerdo no parece realista, tanto desde el puntode vista de la preparación técnica de lasentidades bancarias y de los entes supervisores,como de la posibilidad de atender los impor-tantes requerimientos de capital que sederivarían de esa implementación.

El riesgo, como la probabilidad de obtener unresultado no esperado, hace necesario que ensu estudio se incluyan las matemáticas comoherramienta para modelar los procesos deoptimización, dado que las características delas variables se ven reflejadas medianteprocesos estocásticos; y para ello se debenconsiderar como pilares: Estadísticamultivariada, Procesos Estocásticos,Simulación, Series de Tiempo y Econometría.

El pilar fundamental de la supervisión bancariaestá en la gestión interna del riesgo en lasentidades financieras y, como tal, estáorientado a que se fortalezca esta gestión enriesgos de crédito y de mercado, generandouna cultura y prácticas de alto nivel técnico enla evaluación, administración y control delmismo.

Se deben establecer los principios y criteriosgenerales que las entidades adoptarán paramantener adecuadamente evaluados losriesgos crediticios implícitos en los activos decrédito, se deben definir las modalidades decrédito, determinar las calificaciones otorgadasa tales operaciones según la percepción deriesgo que de las mismas se tenga, establecerla periodicidad con que se deben efectuar talescalificaciones y consagrar los mecanismos derecalificación.

Los score de créditos son construidos parapredecir el comportamiento de pagos de un

Fernández & Pérez

71


deudor usando diversa información (centralesde riesgo) tal como la historia de pagos deldeudor, nivel de endeudamiento o utilización,así como de acuerdo con el apetito deexposición de la entidad. Algunos scoreincorporan los ingresos, capacidad de pago yalguna otra información relacionada con losproductos ofrecidos.

Al emplear este método es necesario establecerciertos elementos que son importantes paradeterminar la probabilidad de no pago de uncliente.

• Identificar las variables con las cuales seseleccionan los sujetos de crédito de cadaportafolio.

• Peso de las variables dentro de lametodología de calificación.

• Ordenamiento de los sujetos de créditodentro del rango de calificación. Calificaciónen categorías de riesgo.

• Selección del sujeto de crédito conforme alnivel de riesgo aceptable para la entidad.

La probabilidad que estima el Scoring usual-mente no está medida a un horizonte temporalfijo. Éstas se ajustan a la definición de malpagador establecida en el desarrollo del modeloy que puede incluir no sólo mora sino tambiénretrasos en el pago de cuotas y otros aspectosque definen al cliente como mal pagador.

En los modelos de Scoring generalmente lavariable respuesta o dependiente es de carácterdicotómico, mientras que las demás variablesexplicativas pueden ser continuas, categóricas(convertidas a dummys) y/o dicotómicas. Paraajustar este tipo de modelos, los principalesmétodos estadísticos usados son lasregresiones lineales, Logit o Probit.

El modelo de probabilidad es atractivo porquees mas fácil de entender, pues la relación en-tre las variables explicativas y la variableestimada es directa (lineal), pero su desventajaconsiste en que puede arrojar probabilidadesnegativas y/o mayores a 1 (las cualesconceptualmente no tiene sentido).

El modelo Logit se basa en la función logísticapara obtener la probabilidad, mientras que elProbit lo hace por medio de la distribuciónnormal acumulada. La regresión logísticapuede ser una herramienta estadística másapropiada para estimar la probabilidad deocurrencia de un evento en nuestro caso eldefault del cliente, dado que se han definidodos clases en la variable respuesta.

Aunque el documento de Basilea no obliga alas entidades financieras a usar un modeloespecífico en la evaluación del riesgo crediticio,establece algunos parámetros que sirven comoguía para la construcción del modelo deevaluación y control del riesgo de crédito.

En Colombia, la Asobancaria propone algunasmetodologías que se están implementando enalgunas entidades financieras, pero en el nivelde cooperativas de ahorro y crédito lasmetodologías econométricas son las másaplicadas; es posible que se requiera mástiempo para poder evaluar las bondades dedichas metodologías, dadas las diferencias quese presentan en algunas de ellas, tales comoLogit y Probit.

Las metodologías seleccionadas mostraron susfortalezas y debilidades al evaluar el riesgocrediticio de la base de datos, pero, dados losresultados, consideramos necesario seguirinvestigando y comparando con otrasmetodologías, con el fin obtener parámetrosde medición de eficiencia que arrojen de man-era más segura niveles comparación para elLogit y el Probit.


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74


APÉNDICE

Estimación máximo verosímil de losparámetros del modelo logit

La estimación de los parámetros 0 1ˆ ˆ ˆ, , , k� � �L... de

un modelo de regresión logística se efectúa pormedio del método de estimación por máximaverosimilitud. Según dicho método seobtienen los estimadores máximo verosímilescomo funciones de la muestra que hacen quese maximice la función de verosimilitudasociada a la nuestra. Denotando por

� � � �� 1 1

0 1, , , , , , , ,N N

kL x y x y � � �L L... ... a la función de

verosimilitud asociada a una muestra detamaño N, para un modelo de regresión

logística con parámetros 0 1, , , k� � �L... , con una

variable Y dicotómica, se tiene que:

� � � ��

� ��

11 1

0 1

1

, , , , , , , , 1| 1 1|

jjk yyN N j j

k

i

L x y x y P Y x P Y x� � ��

�

� � � �*L L... ...

Por otra parte, teniendo en cuenta que Lnz esuna función creciente estrictamente, y por

tanto el valor de los parámetros 0 1, , , k� � �L...

maximizando¨

Coincide con el valor de los parámetros quemaximiza

� � � �� 1 1

0 1, , , , , , , ,N N

kL x y x y � � �L L... ...

� � � �� 1 1

0 1ln , , , , , , , ,N N

kL x y x y � � �L L... ...

Desarrollando el logaritmo natural de lafunción de verosimilitud obtenemos:

� � � �� 1 1

0 1ln , , , , , , , ,N N

kL x y x y � � �L L... ...

� � � �� 1 1

ln 1| 1 ln 1 1|N N

j j j j

j j

y P Y x y P Y x� �

� � � � � �' '

� � � �� 1 1

ln 1| ln 1 1| ln 1 1|N N

j j j j

j j

y P Y x P Y x P Y x� �

�� ! "� �' '

� ��

� ��

1 1

1|ln ln 1 1|

1 1|

jN N

j j

jj j

P Y xy P Y x

P Y x� �

��

� �' '

Teniendo en cuenta que

� ��

� �0

1

1|ln

1 1|

jk

j

i iji

P Y xx

P Y x� �

�

��

� �'

Y que

� ��

� � � �

0

1

0011

exp1

1 1|

1 exp1 exp

kj

i i

ij

kkjj

i ii iii

x

P Y x

xx

� �

� ��

�

��

�� ! "# $% &� ��

� � �� # $! "# $ % &% &� �

'

''

Obtenemos

� � � ��

1 1

0 1

0 0

1 1 1 1

ln , , , , , , , ,

ln 1 exp

N N

k

N k N kj j j

i i i i

j i j i

L x y x y

y x x

� � �

� � � ��

� �� # $# $ # $% & % &% &

' ' ' '

L L... ...

Los estimadores máximos verosímiles 0 1ˆ ˆ ˆ, , , k� � �L...

para los parámetros 0 1, , , k� � �L... se van a obteneral resolver el siguiente sistema de n+1ecuaciones y n+1 incógnitas:

� �

� �

� �

0

1

1 100

1

expln

0

1 exp

kj

i iN Nj i

kjj j

i i

i

xL

y

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� �

� � �

�

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�

� ��# $3 % &� � �3 � �� # $

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'

� � � � � �

� �

� �

0

1

1 1

1 110

1

expln

0

1 exp

kj

i iN Nj j j i

kjj j

i i

i

xL

y x x

x

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� � �

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�

� ��# $3 % &� � �3 � �� # $

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'

� � � � � �

� �

� �

0

1

1 1

0

1

expln

0

1 exp

kj

i iN Nj j j i

n n kjj jk

i i

i

xL

y x x

x

� �

� � �

�

� �

�

� ��# $3 % &� � �3 � �� # $

% &

'' '

'

En el anterior sistema de n+1 ecuaciones yn+1incógnitas no es posible obtener unafórmula cerrada para los estimadores de losparámetros 0 1, , , k� � �L... , de ahí que lo habitualsea utilizar técnicas iterativas para llevar a cabodichas estimaciones. Al utilizar el método deNewton-Raphson para llevar a cabo dichas

Fernández & Pérez

75


iteraciones, se obtiene la siguiente fórmula deactualización de los parámetros:

� � � �1ˆ ˆ ˆnuevo viejo t t

X wX X c p� ��

� � �

Donde:

� �1 2ˆ ˆ ˆ ˆ, , , k� � � �� L...

X: Matriz cuyas filas son � �, 1, 2, ,

jx j N� L... . Es

decir � �,X M N n

W: Matriz diagonal con elementos� � � �� 1 , 1, 2, , . ,

j jp p j N W M N n� � L...

� � � ��

� � � ��

1 1

2 2

1 0

0 1 0

0 1N N

p p

p pW

p p

� ��# $# $�# $�# $# $# $# $�% &

L L

L

M M O M

L L

... ...

...

......

...

...

...

...

p̂ : Vector cuya componente j-ésima indica la

probabilidad estimada en esa iteración.

Es decir, � � � ��

� �� ˆexp

ˆ ,1 , conˆ1 exp

j viejo

j

j viejo

xp M N p

x

�

� �

�

y:Vector de componentes � �, 1, 2, ,

jy j N� L... . Por

tanto � �,1c M N

Los criterios de convergencia del métodoiterativo utilizado para estimar los parámetrospueden ser varios, pero en todos ellos la ideasubyacente es que bien

� � � �¨ ¨ˆ ˆ ˆ ˆo de igual manera ln ln� � � �4 4nuevo viejo nuevo viejoL L

Recibido: 05/04/2005Aceptado: 12/05/2005


El Modelo Logístico Una Herramienta 75040605

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