El método de exhausción

¿En quién se basó Arquímedes para usar el método de exhausción?

“Es un método creado por Eudoxo de Cnido, pero usado ampliamente por Arquímedes, incluso fue el mismo Arquímedes quien le atribuyó el origen de este método a Eudoxo” (Ruíz, 2003)

Principio de Eudoxio

Dadas  dos  magnitudes  desiguales

(AB>G), si de la mayor se resta una magnitud mayor que

su midad, y de lo que queda otra magnitud mayor

que su mitad, y se repite continuamente este proceso,

quedará  una  magnitud  menor  que  la  menor  de  las

magnitudes dadas. (Libro X de Los Elementos, Euclides)

Demostración:

Con este método, se demuestra proposiciones como:

“El lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables”

De acuerdo a Aristóteles, Antifón cree haber resuelto por medio de la exhausción uno de los problemas de la geometría superior……”La cuadratura del círculo”

Otra proposición que aparece en “Los Elementos”

Arquímedes se aproxima al valor de 𝜋 Arquímedes busca la razón de la

circunferencia. Para hallarla utiliza como siempre los polígonos regulares inscritos y circunscritos, con una excepción, en vez de considerar sus áreas, se centra en sus perímetros.

Arquímedes usa el método de exhausión para mostrar :

• Áreas de elipses• Áreas limitadas por cada cuerda de una

parabola.• Volumen y superficie del cono.

El método de exhausción es una concepción matemáticamente incorrecta

“Esta propuesta de solución confunde aproximación finita

con aproximación creciente pero al infinito. Confunde igualmente aproximado y exacto. Sugiere que una línea quebrada con segmentos muy pequeños es una curva, sin darse cuenta que una circunferencia no puede tocar a una recta en más de un punto. Tampoco se da cuenta que las magnitudes continuas son divisibles al infinito. En otras palabras, esta concepción es matemáticamente incorrecta, pues significa hacer coincidir un punto geométrico (sin dimensión) con un segmento que sí tiene magnitud.” (Rey,1962)

En 1906 en el convento del santo sepulcro de Constantinopla fue encontrado un palimpsesto, cuya primer obra de contenido matemático data del siglo X. Este se perdió durante la I guerra mundial y reapareció en 1998.

• Examinando el texto con técnicas fotográficas, Heiberg descubrió que en el pergamino había escritas obras de Arquímedes que habían sido copiadas alrededor del siglo X.

• En sus 185 páginas del palimpsesto tratan sobre la esfera y el cilindro, las espirales, la medida del círculo, el equilibrio de los planos y los cuerpos flotantes además de la única copia de El método.