El interés compuesto y los modelos de población.I.E.S.O Villa del Moncayo 2013-2014

Matemáticas 4º ESO A

� En la clase del 5/11/2013 se leyó en clase uncapítulo del libro de Mark Haddon, “El curiosoincidente del perro a medianoche” en que sediscutía un modelo matemático de poblaciónque predecía el número de ranas de unque predecía el número de ranas de unestanque.

� Este modelo del caos, sirvió como motivaciónpara explicar otro modelo geométrico de lassiguientes páginas ….

� En el libro de texto, se presenta el modelo de crecimiento de una población a través de la ley geométrica …

P=p(1+r)t

¡ Similar a la fórmula de interés

compuesto!

P=p(1+r)t

p – población inicialr – tanto por uno al cabo de un añot – número de añosP – población final

� En las sesiones del 6/11/2013 y 13/11/2013 se realizaronprácticas en una hoja de cálculo para consolidar estafórmula.

� Partiendo de una plantilla, en que el profesor proporcionóel formato de la hoja de cálculo..

� …se realizaron diversos ejercicios del libro, relacionadoscon la fórmula de crecimiento geométrico de población,…… utilizando el formato de resolución de problemas por� … utilizando el formato de resolución de problemas porpasos..

� … y poniendo en práctica las funciones de autoarrastre dela hoja de cálculo, la automatización de los cálculos y laportabilidad de los formatos del ejercicio para larealización del resto de ejercicios.

� El resultado de la práctica se resume en los siguientespantallazos y fue objeto de evaluación de la asignatura.

� La hoja de cálculo es una herramienta muy poderosa paraautomatización de cálculos tal como los modelos depoblación de tipo geométrico.

� La fórmula del interés compuesto es aplicable a variadosmodelos de población: ciudades, algas en un lago, superficieen un bosque, cultivo de células, conejos,…

� La razón población final / población inicial se dispara cuanto más aumenta el parámetro r, más que con el tiempo.

� Es fundamental el análisis de los datos del enunciado pararesolver cualquier problema, en particular estos relacionadoscon la fórmula de interés compuesto.

� Los ejercicios resueltos en la práctica anterior, parten desupuestos en que se conoce la población inicial, sea estapoblación inicial, el número de conejos de una llanura, lasalgas en un lago, …

� ¿Cómo uno es capaz de determinar estos supuestos?

Es decir,.. ¿Cómo uno puede asegurar que hay una� Es decir,.. ¿Cómo uno puede asegurar que hay unapoblación inicial de 10.000 peces en un lago, por ejemplo?

� La respuesta a esta pregunta es que estos cálculos serealizan por estimación, tal como explicó la alumna ClaraSerrano en una clase de la asignatura, basándose en ellibro de Adrian Paenza, “Matemáticas, ¿estás ahí?

Se trata de un fenómeno previsto por Tomás Malthus, según el cual lalalala cantidadcantidadcantidadcantidad

dededede alimentosalimentosalimentosalimentos disponibles de una población sigue una ley aritmética dada por la

fórmula

A(t)=a(1+kt)

A (t) - Cantidad de alimentos en el instante t

a – cantidad de alimentos en el instante inicial

≃ Interés simple

a – cantidad de alimentos en el instante inicial

K- tasa de crecimiento en tanto por uno de los alimentos

… mientras que la población humana población humana población humana población humana sigue una ley geométrica dada por

P(t) =p(1+r)t

P (t) – población final en el instante tp – población inicialr – tanto por uno al cabo de un añot – número de años

� Se define α(t)= A(t)/P(t)

como la cantidad de alimentos por persona.� De modo que cuando

α(t) < αα(t) < α min

Donde α min es el alimento mínimo que necesitauna persona para sobrevivir…� … ¡Se produce la catástrofe malthusiana (CM)!

� EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio---- Dados los siguientes valores …p- 7.109 (personas), r=0.04 (1/año)a-1.1012 (kg de alimentos), k=0.2 (1/año)…determinar …◦ P(60), A(60), α(60) que son respectivamente la◦ P(60), A(60), α(60) que son respectivamente la

población, cantidad de alimentos y cantidad dealimentos por persona a los 60 añosrespectivamente.◦ Si se produce o no catástrofe malthusiana

suponiendo que cada persona necesita un mínimode 100 kg de alimentos al año◦ Idem para t=85 – P(85), A(85), a(85), ¿CM?

SOLUCIÓN- Recordamos que …P(t)=p(1+r)t

A(t)=a(1+kt)

� Evaluamos t=60 para cada caso

α(t)= A(t)/P(t)� Evaluamos t=60 para cada caso

P(60)=p(1+r)60 =7.109 (1+0.04)60 = 7,4*1010 personasA(60)=p(1+60k) =1.1012 (1+60*0.2)= 1,3 *1013kg de alimentos

α(60)= A(60)/P(60)= 1,3 *1013kg / 73.637.392 personas=176 kg/persona

� Como α(60)= 176 kg/persona > 100 kg/persona, en este caso en este caso en este caso en este caso no se produce catástrofe no se produce catástrofe no se produce catástrofe no se produce catástrofe malthusianamalthusianamalthusianamalthusiana....

� Razonando análogamente para t=85, tenemos que P(85)=2*1011 personas, A(85)= 1,8 *1013kg de alimentos, α(85)= 92kg/persona,

y. como α(85)< 100 kg/persona, para t=85 SÍSÍSÍSÍ se produce CM

� El modelo malthusiano, propone un modelo en quese compara la media de alimentos por persona conun valor mínimo.

� Sin embargo, el problema del hambre en el mundo,no entiende de medias. Así, se estima que mientrasmás de 1000 millones de personas pasan hambre enmás de 1000 millones de personas pasan hambre enel mundo, el 40% de la población en algunos paíseseuropeos, sufre obesidad.

� Por otra parte, Malthus consideraba que en algúnmomento la cantidad de alimentos disponibles nosería suficiente para alimentar la población delplaneta….

� …La gran paradoja de esta situación, es que sí que hay suficientes alimentos para mantener la población en el mundo, y sin embargo…◦ …Al año mueren de hambre más de 35 millones de ◦ …Al año mueren de hambre más de 35 millones de

personas.◦ …Cada 5 segundos muere de hambre un menor de

10 años.◦ …La agricultura mundial tiene capacidad para

alimentar a 12000 millones de seres humanos, casiel doble de la población actual.

� ¿Cuáles son las causas de esta situación? ◦ Los especuladores financieros han hecho beneficios

astronómicos en la bolsa del mercado de materias primas, ganando en el 2010 un 37% de interés neto sobre el arroz.◦ En 2010, 41 millones de hectáreas de tierras◦ En 2010, 41 millones de hectáreas de tierras

agrarias fueron acaparadas por fondos de inversión,bancos, fondos soberanos

� Con la revolución tecnológica, electrónica ycientífica, la carencia objetiva de alimentosfue erradicada del planeta.

� Un niño que muere de hambre es ASESINADO.

� Fuentes bibliográficas

◦ Jean Ziegler

“El HAMBRE es obra del HOMBRE”“El HAMBRE es obra del HOMBRE”

◦ Wikinoticias

Once mitos sobre el hambre en mundo según PMA

� Ejercicio- Si al año mueren de hambre 35 millones de personas,…

◦ … calcular utilizando el factor de conversión unitario, cuántas personas mueren al día.unitario, cuántas personas mueren al día.

◦ … ¿Cada cuantos segundos muere una persona de hambre en el mundo?

◦ Redondea el resultado a las unidades de orden superior más próximas.