UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

EL FUNTOR ESPECTRO Y SU RELACIÓN CON EL PROCESO DE ADJUNCIÓN DE

UNIDAD

Ibeth Marcela Rubio Perilla

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas Bogotá, Colombia

2012

EL FUNTOR ESPECTRO Y SU RELACIÓN CON EL PROCESO DE ADJUNCIÓN DE

UNIDAD

Ibeth Marcela Rubio Perilla

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de: Doctora en Ciencias - Matemáticas

Director:

Doctor Lorenzo Acosta G.

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas Bogotá, Colombia

2012

EL FUNTOR ESPECTRO Y SU RELACIÓN CON EL PROCESO DE ADJUNCIÓN DE

UNIDAD

Autor: Ibeth Marcela Rubio Perilla

Director: Dr. Lorenzo Acosta Gempeler

Jurados:

Ángel Tamariz

UNAM, México

Jacob Mostovoy

CINVESTAV, México

Salvador García

UNAM, México

Bogotá, 13 de noviembre de 2012

A la memoria de mi padre

Al amor de mi madre

A la inocencia de mi hijo

A la compañía de mi esposo

A toda mi familia y mis amigos

Resumen

Se estudia la relación que existe entre el proceso algebraico de adjuntar unidad a un anillo y el proceso topológico de compactar un espacio. Esta re­lación se estudia a través del funtor espectro, el cual pone en contacto estos dos ambientes. Se obtiene que en general, si R es una extensión unitaria del anillo S, el espectro primo de R no necesariamente es una compactación del espectro primo de S. Cuando el anillo unitario R es una 1 -extensión de S, es decir, S es un ideal de R, se encuentra una función que permite ver que el espectro primo de S es un sub-espacio del espectro primo de R. A través de esta observación se tiene naturalmente una compactación de Spec (S) in­cluida en Spec ( R) y se determina un mecanismo que permite producir dicha compactación directamente como el espectro primo de un cociente particular de R, a la cual llamamos R-nil-compactación de S. Se estudia la relación que existe entre diferentes nil-compactaciones del anillo S, determinadas por sus diferentes 1 -extensiones y se encuentran condiciones bajo las cuales dos de ellas resultan homeomorfas. Por otra parte, se establece un criterio para determinar cuándo un anillo de von N eumann tiene espectro compacto, el cual generaliza un resultado ya conocido para anillos de Boole. Se estudia el comportamiento de las nil-compactaciones en el caso particular de los anillos de von N eumann y cuando estos son de característica no nula se encuentran características importantes con respecto a sus nil-compactaciones, entre ellas que las nil-compactaciones son compactaciones estelares por finitos puntos, para las cuales es posible establecer el número de puntos adicionales. Fi­nalmente se establecen algunas propiedades de las construcciones realizadas,

desde el punto de vista de la teoría de categorías.

Abstract: We study the relationship between the algebraic process of adjoint identity to a ring and the topological process to compactify a topological space. This relationship is studied through the spectrum functor which allows us to put in contact these two environments. We obtain that in general, if R is a unitary extension of the ring S, the prime spectrum of R is not necessarily a compac­tification of the prime spectrum of S. If the unitary ring R is an I -extension of S, namely, S is an ideal of R, we find a function that shows that the prime spectrum of S is a sub-space of the prime spectrum of R. Through this observation, there is a natural compactification of Spec (S) included in Spec ( R). We establish a mechanism to find this compactification directly as the prime spectrum of a special quotient of R. We call this compactification the R-nil-compactification of S. We study the relationship between different nil-compactifications of the ring S, determinated by different 1 -extensions and we find conditions under which two of them are homeomorphic. On the other hand, we establish a criteria for determining when a von Neumann ring has compact spectrum, which generalizes a result already known for boolean rings. We study the behavior of nil-compactifications in the particular case of von N eumann rings. When these rings are of non zero characteristic, we find important characteristics about its nil-compactifications, between them that its nil-compactifications are star compactifications by finite points, for which is possible to establish the number of additional points. Finally we set sorne properties of these constructions, from the point of view of categories theory.

Palabras clave: Anillo unitario, ideal, adjunción de unidad, anillo regu­lar de von Neumann, 1 -extensión, compactación, espectro primo.

Key words: Unitary ring, ideal, adjunction of identity, von Neumann regular ring, I -extension, compactification, prime spectrum.

Agradecimientos

Introducción

0.1. Introducción histórica.

0.2. Presentación del trabajo.

l. Preliminares

1.1. Clases especiales de anillos.

1.1.1. Anillos de Boole. . .

1.1.2. Anillos de von Neumann ..

1.2. Espectro de un anillo. . . . . . . .

1.2.1. Algunas propiedades ....

1.2.2. Espectro de un anillo de Boole.

1.2.3. Espectros y anillos de von Neumann.

1.3. Compactaciones por finitos puntos. . ..

1.3.1. La compactación de Alexandroff.

1.3.2. Las compactaciones estelares. . .

1.4. Adjunción de unidad ........... .

1.4.1. Adjunción de unidad a una K -álgebra ..

1.4.2. Adjunción de unidad en anillos.

Índice genera 1

1

3

3

8

13

13

13

15 17

18

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21 21 21 22

23

25 26

2. Adjunción de unidad vs compactación 2.1. Sobre espectros primos ............... . 2.2. Adjunción de unidad ................ . 2.3. Sobre la compactación de un anillo de polinomios. 2.4. Ideales primos K -invariantes. . . . . . . . . 2.5. Anillos de característica no nula. . .....

2.5.1. La característica y los ideales primos. 2.5.2. Relación entre Un (A) y U0 (A). 2.5.3. Un ejemplo en característica 6.

3. Un método de compactación de anillos 3.1. Las nil-compactaciones. . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Relación entre distintas nil-compactaciones.

3.2.1. Algunas observaciones desde categorías .. 3.2.2. La nil-compactación Spcc (U0 (S) /'1/Jo (N (S))).

27 27 29 30 34 38 39 41 43

49 49 53 53 55

3.2.3. Nil-compactaciones homeomorfas. . . . . . . . 57 3.2.4. Las nil-compactaciones dependen de la !-extensión. 59

3.3. Nil-compactación de un anillo de característica no nula. . . 60 3.3.1. Relación entre Utn (A) y U0 (A) . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2. Descomposición de un anillo de acuerdo con su carac-

terística .................... . 3.3.3. Observaciones sobre las nil-compactaciones.

3.4. Algunos ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Retomando unos ejemplos ..... . 3.4.2. Una compactación por dos puntos.

3.5. Extensiones unitales. . .......... . 3.6. Criterio de compacidad espectral de un anillo.

4. Sobre los anillos regulares de von N eumann 4.1. Espectros homeomorfos y compacidad espectral. 4.2. Sobre la compactación espectral de los anillos de von

mann ........................ . 4.3. Algunos ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Adjunción de unidad vs anillos de von Neumann.

5. Una visión categórica 5.1. El funtor de U0 -nil-compactación. 5.2. Algunas adjunciones encontradas. .

Neu-

61 63 66 67 68 69 71

73 73

77 83 84

87 87 91

5.2.1. Algunas propiedades de las funciones rp y 1/J. 5.2.2. Un isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Anillos seudo-regulares .......... . 5.2.4. Restricción de las colecciones de ideales. 5.2.5. Otra adjunción. . . . . . . . . . . . . . .

Problemas abiertos

Bibliografía

92 94 95 97

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107

111

Agradecimientos

En primer lugar debo agradecer a Dios por premiarme con la hermosa familia que tengo y que ha sido mi motivación y mi apoyo permanente. Ade­más le agradezco por tejer mi historia académica en la forma en que lo ha hecho, por todas las experiencias y personas con quienes me ha permitido compartir en este recorrido.

En especial, agradezco al profesor Lorenzo Acosta porque desde el mo­mento en que aceptó ser mi director de tesis, este proyecto pasó a convertirse en una realidad. El profesor Acosta además de ser un excelente maestro y académico, es ante todo un excelente ser humano. Nunca alcanzarán mis pa­labras para agradecerle su apoyo permanente, su envidiable paciencia, sus acertados comentarios, observaciones, correcciones y cambios de rumbo de vez en cuando, para permitir la fluidez del trabajo. Para mí siempre ha sido muy grato trabajar bajo su sabia dirección. Agradezco también a su familia, por acogerme y acoger a mis Juanes con cariño, durante tantos momentos en este recorrido.

Agradezco a todos mis familiares y amigos, quienes me acompañaron du­rante este proceso y de vez en cuando me escuchaban hablar de anillos y compactaciones, aunque no entendieran lo que les estaba mencionando. Re­cuerdo con especial cariño a mi hijo, quien a su corta edad incorporó la

1

2 AGRADECIMIENTOS

palabra "compactar" con absoluta naturalidad en sus conversaciones cotidia­nas, claro, sin que le estuviera acompañando del significado matemático que conocemos; así como a mi sobrino JC tratando de entender por qué para "compactar un anillo", primero lo estaba "agrandando". Un inmenso agrade­cimiento a mis padres, por su infinito amor y su constante ayuda en cada uno de los aspectos de mi día a día y a mi esposo por acompañarme y soportarme con paciencia en todo momento. Este logro no es sólo mío, también es de todos ellos que han compartido conmigo los altibajos de esta aventura.

También debo agradecer a mi amigo Herbert Dueñas, quien desde hace más de veinte años me ha acogido como a una de sus hermanas. Gracias a sus palabras hoy hago parte de la Universidad Nacional de Colombia. Siempre he podido contar con él y su familia, su apoyo, su voz de aliento y su compañía en cada uno de los momentos de mi vida. Agradezco a Luis Garza, quien casi sin conocerme, sólo por transitividad a través de Herbert, me invitó y hospedó en su casa de Colima cuando asistí al Congreso de Topología, el cual fue de gran importancia en este proceso.

Finalmente agradezco a la Universidad Nacional de Colombia por el apoyo que me brindó durante este período, concediéndome una comisión de estudios para poder dedicar todos mis esfuerzos a este doctorado. También agradezco a los profesores del departamento que me acompañaron durante este proceso y especialmente agradezco al profesor Fernando Zalamea por sus gratificantes palabras respecto a esta tesis y por mencionarme otras posibles direcciones para continuar este trabajo.

Lo más hermoso de este doctorado ha sido darme cuenta una vez más, que aunque muchas cosas han pasado en estos cuatro años y un gran vacío ocupa mi corazón, la vida me ha regalado muchos seres hermosos a mi alrededor, quienes llenan mi vida de muy agradables momentos. Gracias a todos.

2

1 ntrod ucción

0.1. Introducción histórica.

El espectro primo de un anillo conmutativo A, usualmente notado 8pec(A), es el conjunto de sus ideales primos dotado con la topología cuyos abiertos básicos son los conjuntos de la forma

D(a) = {I E S'pcc(Jl): a tt I}.

Este método de topologizar utilizando la estructura algebraica fue introduci­do por Stone en sus ya clásicos artículos de 1936 y 1937 sobre representación topológica de álgebras de Boole y de retículos distributivos [57], [58]. Tenien­do en cuenta que la adherencia de un conjunto B de ideales es el conjunto de los ideales primos que contiene a la intersección de B, esta topología es lla­mada en algunos contextos topología de la envolvente del núcleo (hull-kernel topology). A finales de la década de 1940, en sus estudios sobre las varie­dades algebraicas, Zariski introduce una topología que tiene como cerrados los conjuntos algebraicos y que corresponde exactamente con la introducida por Stone. Desde entonces se conoce ésta como topología de Zariski y se ha utilizado en diversos contextos como geometría algebraica, álgebra conmu­tativa, lógica, análisis funcional, etc. U na de las aplicaciones la consigue el mismo Stone al utilizarla en el conjunto de los ideales maximales del anillo de funciones continuas sobre un espacio topológico y obtener así su famo­sa construcción de la compactación maximal de un espacio completamente

3

4 INTRODUCCIÓ N

regular, conocida hoy en día como compactación de Stone-Cech pues fue des­cubierta independientemente (usando métodos más analíticos) por Cech [23]. Estos trabajos originan también la dualidad de Gelfand [30] entre espacios de Hausdorff compactos y C*-álgebras.

El espacio Spec( A) tiene la característica de ser naturalmente ordenado. En efecto, como sus puntos son ideales tenemos el orden 1 ::::; J si 1 ~ J, lo cual equivale a que J E { 1}. Esto da lugar al (pre-) orden de especialización que se puede definir sobre cualquier espacio topológico mediante

x::=:;yByE{x}

(hay que aclarar que en algunos contextos se llama orden de especialización justamente al orden opuesto). Utilizando este orden se destacan en particular dos subespacios de Spec(A): el sub-espacio de los ideales primos maximales, ya mencionado, y el sub-espacio de los ideales primos minimales, llamados espectro maximal, Nfax(A), y espectro minimal, Nfin(A), respectivamente. Utilizando el espectro minimal se pueden caracterizar, por ejemplo, los anillos de Baer [11], [29].

Por otro lado, del estudio del orden de especialización, surgen los espacios (casi-discretos) de Alexandro.ff y las topologías de Scott y débil asociadas a conjuntos ordenados y estudiadas en diferentes contextos [4], [9], [42]. En particular, utilizando ideas relacionadas con este tipo de topologías se obtiene una caracterización de la compacidad para los espacios topológicos To y un método de compactación [3], [52].

En el lenguaje de las categorías, lo que introdujo Stone y fue retomado en diversas situaciones, es un funtor contravariante de una categoría con "objetos algebraicos" en una subcategoría de la categoría de los espacios topológicos. Su primer ejemplo fue

Spec : Álgebras de Boole ---t Espacios de Boole

donde un espacio de Boole es un espacio de Hausdorff, compacto y total­mente disconexo. Este funtor puede verse, gracias a la equivalencia, también señalada por el mismo Stone, entre las álgebras de Boole y los anillos de Boole con unidad, como

Spec : Anillos de Boole con unidad ---t Espacios de Boole.

4

0.1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 5

De los artículos clásicos de Stone también puede deducirse que el funtor anterior es una restricción de

Spec : Anillos de Boole ---+ Espacios localmente booleanos

donde un espacio localmente booleano es un espacio de Hausdorff, localmente compacto y totalmente disconexo. En este caso, los modismos en la categoría de salida son homomorfismos propios (envían ideales primos en ideales primos por imagen recíproca) y los modismos en la categoría de llegada son funciones fuertemente continuas (envían abiertos-compactos en abiertos-compactos por imagen recíproca).

Los funtores mencionados son en realidad ( co-) equivalencias de catego­rías y dan lugar a lo que se conoce como dualidad de Stone. Esta dualidad es retomada por Sonia Sabogal en su tesis de Doctorado [54] para obtener dualidades análogas usando relaciones de ligazón y relaciones de equivalencia cerradas.

Estos funtores de dualidad tienen generalizaciones inmediatas en dos di­recciones diferentes:

(a) En primer lugar, si observamos que toda álgebra de Boole es un retículo distributivo con mínimo y máximo, podemos extender la noción de ideal primo a este contexto y obtenemos una dualidad de Stone para retículos distributivos acotados (es decir, con mínimo y máximo)

Spec : Retículos distributivos acotados ---+ Espacios de Stone acotados (1)

donde un espacio de Stone es un espacio topológico T0 que satisface las dos condiciones siguientes:

(i) Es coherente, es decir, tiene una base de abiertos - compactos que es cerrada para intersecciones finitas.

(ii) Para todo par de colecciones no vacías de abiertos-compactos no vacíos S y T tales que nS <:;;: UT, existen S1 <:;;: S y T1 <:;;: T finitas tales que nS1 <:;;: UT1 .

Un espacio de Stone es acotado si además es compacto y sobrio (todo cerrado irreducible es la adherencia de un único punto).

Nota: La definición de espacio de Stone no es uniforme en la literatura. Aquí tomamos la que se utiliza en [15].

5

6 INTRODUCCIÓN

En esta misma dirección podemos generalizar la dualidad para obtener

Spec : Retículos distributivos ---t Espacios de Stone.

Como una aplicación de esta dualidad en [51] se muestra que, en el con­texto de los espacios de Stone, la sobriedad y la compacidad son propiedades duales.

(b) En segundo lugar podemos cambiar los anillos de Boole por anillos con­mutativos con unidad y tenemos

Spec : Anillos conmutativos con unidad ---t Espacios espectrales (2)

donde un espacio espectral es un espacio compacto, sobrio y coherente. El hecho que este funtor sea sobreyectivo en objetos se debe a un famoso resul­tado de Hochster [38]. Aquí sin embargo, el funtor no resulta una equivalencia pues no admite adjunto. Es de anotar que los espacios espectrales son exac­tamente los espacios de Stone acotados y por consiguiente los funtores en (1) y (2) tienen la misma imagen. Este hecho es aprovechado por Simmons [56] para poner en contacto la categoría de los anillos conmutativos con unidad y la categoría de los retículos distributivos.

En esta misma dirección se puede suprimir el requerimiento de existencia de unidad en los anillos y obtenemos el funtor

Spec : Anillos conmutativos ---t Espacios de Stone sobrios.

En este caso también tenemos que los morfismos en la categoría de salida son homomorfismos propios y los morfismos en la categoría de llegada son funciones fuertemente continuas.

Una pregunta que ha dado origen a muchos trabajos de investigación es la siguiente:

¿Qué propiedades caracterizan a los conjuntos ordenados que surgen de los espectros primos de los anillos conmutativos con unidad? Se han encontrado condiciones necesarias pero hasta donde sabemos no hay caracterizaciones. En el año 2004, en el estudio de estas condiciones (ver [16], [17] y [25]) aparecen las nociones de · Espacio "up-espectral": Espacio sobrio y coherente. · Espacio "down-espectral": Espacio compacto y coherente en el que todo cerrado irreducible propio es la adherencia de un punto.

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0.1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 7

· Espacio ''A-espectral": Espacio cuya compactación de Alexandroff es un espacio espectral.

Puede probarse que el espectro primo de un anillo conmutativo es un espacio up-espectral [1] y que el espectro primo de un anillo de Boole sin unidad es un espacio A-espectral [2]. En esta misma dirección también encontramos estudios de los anillos cuyo espectro satisface alguna propiedad de separación entre T0 y T1 [13], [14].

Se llama anillo conexo a un anillo cuyo espectro primo es conexo, sin em­bargo la expresión anillo compacto parece estar reservada para los anillos topológicos compactos. Esto se debe a que en la literatura es usual consi­derar los anillos con unidad y cuando el anillo tiene unidad se tiene que el espectro primo siempre es compacto. Sin embargo, existen anillos conmuta­tivos sin unidad con espectro compacto y otros con espectro no compacto. Por este motivo llamaremos anillo espectralmente compacto a un anillo cuyo espectro primo es compacto. Para ver resultados sobre anillos espectralmente compactos y anillos conexos puede consultarse [22] y [45].

Por otra parte, existe un procedimento estándar para incluir de manera na­tural un anillo conmutativo A, sin unidad, en uno con unidad, tomando el conjunto U0 (A) = A x Z y dotándolo con las operaciones definidas por:

(a, n) + (b, rn) (a.+ b, n + rn)

(a, n) (b, rn) ( a.b + rna + nb, nrn) .

Al identificar el anillo A con A 0 = A x {O} se observa que U0 (A) es un anillo conmutativo que contiene al anillo A, tiene unidad (0, 1) y por lo tanto su espectro es compacto. Sin embargo, esta construcción no respeta la característica del anillo A, si ésta es diferente de cero. En el caso de anillos de característica n el O se puede construir el anillo Un(A) tomando el producto con Zn en lugar de Z y se tienen los mismos resultados anteriores salvo que en este caso el anillo Un (A) también tiene característica n.

La construcción de U0 en realidad nos proporciona un funtor covariante de la categoría de los anillos conmutativos en la categoría de los anillos con­mutativos con unidad que resulta ser adjunto a izquierda del funtor inclusión, en virtud de que el anillo U0 (A) satisface la siguiente propiedad universal:

Si B es un anillo conmutativo con unidad y h : A~ B es un homomorfis­mo de anillos, entonces existe un único homomorfismo de anillos con unidad h: U0 (A) ~ B que satisface h o i = h, donde i :A~ U0 (A) : i(a) r--t (a, 0).

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8 INTRODUCCIÓ N

Es claro que para cada característica n cj:- O, se obtiene que Un es un funtor de la categoría de los anillos conmutativos de característica n en la categoría de los anillos conmutativos con unidad de característica n, con propiedades análogas a las mencionadas para U0 .

Gracias a estos mecanismos, es posible considerar los anillos conmutativos sin unidad simplemente como ideales de anillos unitarios. Esta es una de las razones por las cuales los anillos sin unidad no han atraído el interés de muchos algebristas en los últimos años. Anderson en [5] hace una breve reseña sobre los anillos sin unidad, en particular sobre el trabajo de Gilmer, quien ha publicado numersos artículos alrededor de este tema. Sólo por citar algunos trabajos de Gilmer se puede mencionar [31], [32], [33] y [34]. Por ejemplo, en [32] Gilmer presenta once condiciones que son equivalentes en los anillos unitarios, pero no lo son en anillos sin unidad Esto nos recuerda que debemos ser cuidadosos al trabajar con anillos sin unidad. Los anillos sin unidad también se encuentran como "pseudo-rings" en [19] o "rngs" en [39], donde la ausencia de "i" representa la ausencia de unidad.

Anderson plantea que la actual costumbre de asumir los anillos con unidad se debe principalmente al rol de los métodos homológicos en teoría de anillos y también, porque la existencia de unidad garantiza la compacidad del espectro de un anillo, una útil propiedad en geometría algebraica. Precisamente, esta última idea es la que permite plantearnos la posibilidad de compactar el espectro primo de un anillo, así como intuir que dicho proceso podría ser de utilidad en geometría algebraica.

0.2. Presentación del trabajo.

Este trabajo surge gracias a una serie de afortunadas coincidencias. En mi primer semestre de maestría tuve la fortuna de conocer al profesor Acosta en un curso de Topología. En ese curso se estudiaron algunos aspectos bá­sicos sobre compactación de espacios que después complementé, durante el desarrollo de mi tesis de maestría sobre compactaciones por finitos puntos, bajo la dirección del profesor Acosta. En ese trabajo nos tomamos la libertad de considerar la compacidad sin imponer que los espacios fueran de Haus­dorff ( quasi-compacidad para algunos autores), lo que va en contravía de las tendencias usuales de los topólogos. Ahora, unos años después, considero esa

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0.2. PRESENTACIÓN DEL TRABAJO. 9

decisión afortunada, puesto que los espectros primos casi nunca son espacios de Hausdorff y en el presente trabajo nos interesa hacer compactaciones de espectros primos.

Posteriormente, el profesor Acosta dirigió otros trabajos de maestría en los que consideró algunas relaciones entre el funtor espectro y los funtores de adjunción de unidad. Con Galeano en [2] y [29], muestran que en el caso de un anillo A de Boole y sin unidad, el espectro de U2 (A) resulta ser la compac­tación de Alexandroff del espectro de A. Con Camacho, en [22] generalizan este resultado a los anillos de característica 2. Allí se muestra que si A es no espectralmente compacto y de característica 2, el espectro de U2 (A) es siem­pre una compactación por un punto del espectro de A. Más generalmente, en el caso de anillos no espectralmente compactos de característica prima p, el espectro de UP(A) es siempre una compactación por un punto de Spec (A). Sin embargo, construyen un ejemplo en el que esta compactación no es la de Alexandroff.

En este punto me uno al profesor Acosta para trabajar en el tema, puesto que de manera natural, a partir de los resultados mencionados y con el trabajo desarrollado en compactaciones, nos surge la siguiente inquietud:

Si A es un anillo conmutativo no espectralmente compacto de característica n = pf1

••• p':n,m, donde p 1 , ... ,pm son primos distintos. ¿Es el espectro primo de Un (A) una compactación por m puntos del espectro de A?

Es claro que para plantearnos este problema debemos estar dispuestos a trabajar con anillos sin unidad, puesto que esta es una condición necesaria pero no suficiente para que su espectro primo no sea compacto. Esta es otra decisión que va en contra de las costumbres actuales de los algebristas. Con­sidero que debido a esta serie de elecciones que no están de acuerdo con las tendencias actuales, es que ha sido muy complicado encontrar bibliografía relacionada específicamente con este tema. Existe bibliografía sobre espec­tros primos, sobre compactaciones y sobre anillos sin unidad, pero no en la que se estudien las relaciones entre estos tres aspectos a la vez. Los alge­bristas que han estudiado anillos sin unidad, tal vez no han tenido el interés topológico en la compacidad. Los topólogos que han estudiado compacta­ciones, tal vez al acercarse a los espectros primos no se han percatado que la unidad del anillo es un punto relevante al garantizar la compacidad del espectro. Sin embargo, que no hayamos encontrado bibliografía al respecto

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10 INTRODUCCIÓN

no implica necesariamente que no exista y todavía estamos en su búsqueda. Por estas razones, todo lo que se encuentra en la tesis a partir del Capítulo 2 ha sido fruto de nuestra aventura al estudiar estas relaciones, a menos que explícitamente expresemos lo contrario. Por otra parte, estar a un lado de las tendencias actuales, tanto en álgebra como en topología, nos permitió en primer lugar plantearnos las preguntas que dieron origen a este trabajo y por otra parte, encontrar resultados muy interesantes que se pueden encontrar en el trabajo.

En el primer capítulo se presenta un breve resumen de las nociones y resultados básicos, tanto de álgebra como de topología, que son necesarias para acceder al trabajo. A partir del segundo capítulo vamos a trabajar en una situación más general considerando dos anillos R y S, donde S es un ideal de R, situación que resumiremos diciendo que R es una I -extensión del anillo S. Notemos que según lo que expusimos anteriormente, U0 (A) es una I -extensión de A.

En el segundo capítulo mostramos que el espectro primo de S es sub­espacio del espectro primo de R, de modo que si escogemos el anillo R unita­rio, ya tenemos garantizadas dos de las tres condiciones necesarias para que Spec ( R) sea una compactación del espectro de S. Sin embargo, presentamos un ejemplo en donde no se tiene que Spcc (S) sea denso en el espectro de R y por lo tanto, la respuesta a nuestra inquietud inicial es que no necesariamente el espectro primo Spec (R) es una compactación de Spec (S). Encontramos una condición suficiente, pero no necesaria para que Spec ( R) sea una com­pactación de S pe e (S) y depende de la existencia de por lo menos un ideal primo "K- invariante" de S. Por otra parte, en general sí es posible encontrar una compactación de Spec (S) incluida en el espectro de R, que se produce por el hecho de ser un sub espacio de Spcc ( R) . En este capítulo también se presentan algunas observaciones adicionales en el caso de los anillos de carac­terística no nula, respecto de la forma como se relacionan los ideales primos de S y de R.

En el tercer capítulo llamamos nil-compactación a la compactación de Spec (S) que se produce en el espectro de R, según las construcciones del capítulo anterior. Fijando el anillo 5', consideramos la nil-compactación de­terminada por cada I -extensión de S. Estudiamos las relaciones que existen entre dos de estas nil-compactaciones y determinamos un criterio para decidir

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0.2. PRESENTACIÓN DEL TRABAJO. 11

si dos de ellas son homeomorfas. Con este criterio observamos que cuando el anillo A es de característica no nula n, se produce un ramillete de nil­compactaciones determinadas por los anillos U0 (A) , Un (A) , U2n (A) , ... que resultan homeomorfas entre sí. Por último, hacemos algunas observaciones adicionales con respecto a las nil-compactaciones en el caso de anillos de característica no nula.

En el cuarto capítulo estudiamos el caso particular de los anillos regulares de von N eumann (conmutativos). Determinamos que su espectro primo y el espectro primo de su anillo asociado de idempotentes son homeomorfos, lo que nos permite extender el criterio de compacidad espectral que se cono­ce en el caso de los anillos de Boole: un anillo de Boole es espectralmente compacto si y sólo si tiene unidad, al caso de los anillos de von N eumann. En este punto obtuvimos un resultado puramente topológico, una relación interesante entre la compactación de Alexandroff y las compactaciones es­telares, que no habíamos descubierto en el trabajo anterior sobre compac­taciones por finitos puntos. Con este resultado fue posible establecer que la nil-compactación obtenida para el espectro de A, cuando A es un anillo de von Neumann de característica no nula y no espectralmente compacto, a través de la T - extensión Un (A), es una compactación estelar y podemos deteminar el número exacto de puntos adicionales de dicha nil-compactación. Estos resultados nos permiten ampliar la gama de ejemplos tanto en lo que se refiere a nil-compactaciones con características especiales, como ejemplos "antes insospechados" de compactaciones estelares.

Finalmente, el quinto capítulo lo dedicamos a re-estudiar algunas de las construcciones realizadas, desde el punto de vista de la teoría de categorías. En la primera parte es posible observar que al hacer la nil-compactación del espectro primo de un anillo A, empleando la !-extensión U0 (A), lo que en realidad obtenemos es una construcción funtorial. Este funtor, al que llama­mos G, resulta definido de la categoría de los anillos conmutativos, en donde es necesario restringir los morfismos apropiadamente, a la categoría de los es­pacios topológicos. También encontramos una transformación natural entre el funtor Spt:c y este funtor C. Por otra parte, entre los que hemos estu­diado un poco de teoría de categorías es conocida la frase "adjoint functors arise everywhere", frase que se debe a Mac Lane en [43] y definitivamente los funtores adjuntos también aparecen en nuestro trabajo. En primer lugar, ex­tendemos la definición hecha en el Capítulo 2, de las funciones p y 1/J entre los

11

12 INTRODUCCIÓ N

ideales primos de S y los de R a las colecciones completas de ideales. Puesto que dichas colecciones se encuentran naturalmente ordenadas por inclusión, observamos que en general estas funciones, que son modismos de conjuntos ordenados, no son adjuntas entre sí. Sin embargo, por una parte al restringir los anillos considerados tenemos un par adjunto y por otra parte, al restrin­gir las colecciones de ideales donde dichos modismos se definen, encontramos nuevos pares adjuntos.

12