El Espiropentagrama - Propuesta de representación gráfica de la armonía musical

El Espiropentagrama Propuesta de representación gráfica de la armonía musical

Fernando Augusto Andreo Antón

Índice

Introducción . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Evolución de la enseñanza de la Armonía 101.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. La metodología tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Nuevos enfoques del s. XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. A. Schoenberg, un pequeño paso adelante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Dos teorías cognitivas recientes de la Armónia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1. Longuet-Higgins y su espacio armónico bidimensional . . . . . . . . . . . 181.4.2. Balzano con su red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. La enseñanza de la Armonía en la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.1. La Armonía en el mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.2. La Armonía entre nuestros muros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Fundamentos de esta didáctica 262.1. Música y formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Música y color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Música y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Música y texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Otras posibles vinculaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Los árboles armónicos 313.0.1. Como interpretar y usar los árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.0.2. Grafías de los árboles armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.0.3. Estados de crecimiento de un árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. El árbol de Dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.1. El árbol de Dominante de un modo Mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2. El árbol de Dominante de un modo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. El árbol de Subdominante-Tónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1. El árbol de Subdominante-Tónica en un modo Mayor . . . . . . . . . . . 363.2.2. El árbol de subdominante-tónica en un modo menor . . . . . . . . . . . . 37

3.3. El árbol Tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

ÍNDICE 3

3.3.1. El árbol Tonal en un modo Mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.2. El árbol Tonal en un modo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. Otro tipo de árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.1. Un árbol para la realización contrapuntística . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Representaciones poligonales de las sonoridades 555.1. Consideraciones preliminares de las figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1. El diámetro: el tritono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.2. Un cuadrante: la tercera menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.3. Los ejes de simetría: propiedades, inversión y transposición limitada . . . 58

5.1.3.1. Propiedades derivadas de la simetría . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.3.2. La inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.3.3. La transposición limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.4. El área, un índice orientativo del grado de disonancia . . . . . . . . . . . 625.1.5. Aplicación a nuestro sistema tonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.5.1. Consideraciones preliminares sobre intervalos consonantes y di-sonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.5.2. El parámetro inmensurable: la subjetividad de la tradición . . . 645.1.5.3. En grupos con un mismo número de sonidos . . . . . . . . . . . 655.1.5.4. En grupos con diferente número de sonidos . . . . . . . . . . . 675.1.5.5. El coeficiente de consonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.5.6. Excepciones notorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.5.7. La propuesta de Hindemith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Las divisiones simétricas regulares de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.1. Modos de transposiciones limitadas de Messiaen . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.1.1. Modo 1 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 735.2.1.2. Modo 2 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 735.2.1.3. Modo 3 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 73

4. El Espiropentagrama 414.1. Las marcas de presencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1. De orden melódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2. De orden armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2. Manejo del Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.1. Un caso práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Otras propuestas próximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1. Simple clock calculator de Larry J. Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.1.1. Diferencias con el Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.2. La Rueda Armónica de Luis Nuño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.2.1. Diferencias con el Espiropentagrama . . . . . . . . . . . . . . . 53

ÍNDICE 4

5.2.1.4. Modo 4 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 745.2.1.5. Modo 5 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 755.2.1.6. Modo 6 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 765.2.1.7. Modo 7 de transposición limitada de Messiaen . . . . . . . . . . 77

5.2.2. Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.2.1. El acorde de quinta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.2.2. El acorde de séptima disminuida . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.2.3. La sexta aumentada francesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3. Las divisiones simétricas irregulares de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . 795.3.1. El heptágono diatónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.2. Escalas sintéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4. Divisiones tradicionales de la circunferencia en conjuntos de tres y cuatro sonidos 815.4.1. Acordes tríadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4.1.1. El acorde perfecto mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.1.2. El acorde perfecto menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4.1.3. El acorde de 5ª aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.1.4. El acorde de 5ª disminuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.2. Acordes cuatríadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4.2.1. Acordes con 7ª de 1ª especie (P. M. con 7ª menor): 7ª natural . 875.4.2.2. Acordes con 7ª de 2ª especie (P. m. con 7ª menor): 7ª menor . 885.4.2.3. Acordes con 7ª de 3ª especie (disminuido con 7ª menor): 7ª

Submenor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.2.4. Acordes con 7ª de 4ª especie (P. M. con 7ª Mayor): 7ª Mayor . 905.4.2.5. Acordes con 7ª de 5ª especie (P. m. con 7ª Mayor): 7ª sobre

menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4.2.6. Acordes con 7ª de 6ª especie (aumentado con 7ª Mayor): 7ª

sobre aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.2.7. Acordes con 7ª de 7ª especie: 7ª disminuida . . . . . . . . . . . 93

5.4.3. Los acordes de sexta aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.4.3.1. La sexta aumentada italiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.3.2. La sexta aumentada francesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4.3.3. La sexta aumentada alemana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4.3.4. La sexta aumentada suiza (acorde de 4ª doble aumentada) . . . 99

5.5. El color como marca funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6. Aplicaciones del Espiropentagrama 1036.1. Sistemas de afinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2. Procesos contrapuntísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2.1. La transposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

ÍNDICE 5

6.2.2. La inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.3. La retrogradación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2.4. La combinación de estos procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3. La modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3.0.1. Organización de las posibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.3.1. Normas elementales para la comparación de árboles . . . . . . . . . . . . 1226.3.2. La modulación por nota común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.3. La modulación diatónica o por acorde común . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.3.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1:D1=D2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.3.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidadde partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1=D2)124

6.3.3.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partidacon el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1=ST2)126

6.3.3.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí(Caso 4: st1=ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.4. La modulación enarmónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3.4.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1:

D1≡D2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3.4.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad

de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1≡D2)1336.3.4.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de par-

tida con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3:D1≡ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3.4.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí(Caso 4: st1≡ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.3.5. La modulación cromática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.3.5.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1:

D1~D2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.5.2. Comparación del árbol de subdominante-tónica de la tonalidad

de partida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1~D2)1436.3.5.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida

con el de Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1~ST2)1456.3.5.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí

(Caso 4: st1~ST2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.3.6. Utilización de los resultados y proceso de asimilación . . . . . . . . . . . 149

6.4. La set-theory (teoría de conjuntos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.4.1. La inversión de conjuntos de sonidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4.2. La Forma Normal (Normal From) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

ÍNDICE 6

6.4.3. La Forma Orignal (Prime Form) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4.3.1. ¿De qué sirve la Forma Original? . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.5. Los mapas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.5.1. Comparación de mapas armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7. Propuesta de aplicación de esta didáctica 1667.1. En la enseñanza general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.1.1. En el ámbito de Preescolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.1.2. En el ámbito de Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.1.2.1. Primer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.1.2.2. Segundo ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.1.2.3. Tercer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.1.3. En el ámbito de Secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.1.3.1. Primer ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.1.3.2. Segundo ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2. Dentro de las enseñanzas artísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.2.1. En las Enseñanzas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.2.1.1. Primer curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.2.1.2. Segundo curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.2.1.3. Tercer curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.2.1.4. Cuarto curso de Lenguaje Musical . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.2.2. En las Enseñanzas Profesionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2.2.1. Lenguaje musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2.2.2. Armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.2.2.3. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.2.2.4. Fundamentos de Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.2.3. En las Enseñanzas Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2.3.1. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2.3.2. Armonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.2.3.3. Contrapunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.2.3.4. Otras asignaturas que podrían beneficiarse . . . . . . . . . . . . 182

Bibliografía 186

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

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0.1. IntroducciónEste trabajo pretende ofrecer una didáctica para acercar los estudios de Armonía a etapas

anteriores a las que prevé nuestro currículo actual, básicamente desde la iniciación del niño ala música. Para ello conecta las sonoridades, esencialmente, con figuras geométricas y colores-dejando abierta una también válida y posible relación con figuras tridimensionales y texturas-,en función a diversos parámetros que justifican esta vinculación.

Evidentemente, el acercamiento al niño a entes musicales más complejos como puede sercualquier acorde, expresado de manera tan primaria como formas y colores y no como elementosde categorías teóricas complejas, posibilita que esta propuesta no sólo sea coherente sino muyprometedora.

Además de esto, de lo importante que puede ser el ir acercando al alumno más joven a estadimensión musical que apenas se trata en los planteamientos didácticos de la actualidad, estemétodo tiene una proyección mucho más amplia ya que las figuras y colores que el niño hamanejado como un juego, cuando no tenía por qué saber qué eran las funciones tonales o losacordes cuatríadas, seguirán teniendo vigencia y utilidad incluso en los estadíos más avanzadosdel estudio de esta disciplina. Esta propuesta didáctica pretende que esas figuras policromasque han quedado conectadas con sonoridades en la mente infantil, le faciliten la comprensiónde las características no sólo del funcionamiento del sistema tonal, de acordes y estructuras,sino también del ámbito atonal, modal o incluso de cualquier sistema musical diferente.

Los principios que este método emplea se fundamentan en investigaciones de la psicología dela percepción, en los principios básicos de la geometría de polígonos y en conceptos de estudiosde la musicología moderna, por ello, su campo de aplicación no se restringe a una introducciónlúdica en las clases de Lenguaje musical o de la enseñanza primaria, sino que sirve de analogíaexplicativa del sistema de afinación temperado, alcanza a colaborar determinantemente en elestudio de la modulación tonal o descubre nuevos atalayas para la práctica y la observación dela composición contemporánea.

El estudio de la Armonía se inicia normalmente en las Enseñanzas Profesionales de lasEnseñanzas Profesionales de música, si bien, cierta introducción a los acordes y las funcionesya se comienza en los últimos cursos de Lenguaje Musical de las Enseñanzas Elementales.No obstante, estas enseñanzas van a ser principalmente teóricas y apenas van a poder teneruna verdadera realidad en la práctica hasta las Enseñanzas Profesionales, que en la asignaturade Fundamentos de Composición, encontrarán su realización en ejercicios escritos y en ciertoacercamiento a dictados y el aprendizaje de secuencias armónicas. Esto va en perjuicio delalumnado que nunca termina de tener un verdadero dominio de la materia sonora con quetrata la Armonía, y, por lo general, reduce esta asignatura a un conjunto de reglas de aplicaciónteórica y casi exclusivamente, a los ejercicios propuestos en clase.

En cuanto a la metodología aplicada para la elaboración de este trabajo podría resumirseasí:

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en una primera fase, tras haberse producido la idea germinal: un método pedagógico conque enseñar Armonía, se inicia una investigación a través de publicaciones de muy diversaíndole y variedad, en relación a los diferentes temas que resultan afines (temas como laDidáctica de la música, la Psicología evolutiva, la Geometría, obviamente la Armonía, etc).Este estudio se llevó a cabo para establecer una base sobre la que desarrollar el métodoaquí propuesto, así como compararlo con otras experiencias que pudieran serle afines, paracontextualizarlo y situarlo en relación a otras propuestas y otros métodos consagrados. Asípues, aún tratándose únicamente de un supuesto educativo, se ha intentado fundamentartodo cuanto se proyecta con estudios y trabajos previos, que puedan servir de aval yofrecer cierta garantía respecto de la validez de las ideas que en las próximas páginas seexponen.

en segundo término, se comenzó la elaboración escrita de estas páginas, si bien nuncadejó de aparecer nueva información que parecía relevante considerar y que ayudaron a irperfilando, modificando y corrigiendo. Para el proceso de escritura, especialmente, en lotocante a las ilustraciones que aquí aparecen y que son verdaderamente imprescindibles,hubo que aprender a trabajar con un software informático que posibilitara trasladar alpapel los ejemplos que era pertinente incluir, a colación de lo que se explica, máxime,siendo una propuesta didáctica basada en la observación de la solidaridad existente entresonoridades y figuras poligonales. Asimismo, se ha trabajado en la creación de aplica-ciones interactivas que permitan manipular lo que aquí se describe en un mundo físico(con papeles y láminas transparentes), en un mundo virtual informático, más llamativo einteresante, sobre todo para un alumnado que ha nacido en este mundo tecnológico.

por último, aunque para ser fieles a la verdad habría que confesar que, parcialmente, algose fue poniendo a prueba mientras se estaba creando, queda la comprobación real y totalde las ventajas que este método puede o no tener. No obstante, mientras se hacía acopioy se elaboraba todo el material que aquí se ofrece, hubo varias entrevistas con educadoresy teóricos que ofrecieron no cortas esperanzas sobre la validez y la consistencia de estametodología; así como también resultaron positivos y prometedores, ciertos pequeñosexperimentos que inevitablemente para ellos, tuvieron que sufrir algunos de mis alumnos.

Así pues, la intención de este trabajo es iniciar mucho antes en el mundo armónico al alumnado;no sólo al de las instituciones de enseñanza musical especializada, sino incluso en el ámbito dela enseñanza general. El mayor problema que puede representar, a juicio nuestro, el tratar deacercar a niños de una edad más temprana a la teoría armónica es la complejidad de los términosy los conceptos que su comprensión teórica requiere. Sin embargo, al asimilar las sonoridades aelementos visuales más sencillos, como pueden ser polígonos y colores, el niño ya no trabajarácon una nomenclatura complicada e inaprehensible (como acorde de séptima disminuida sobreel cuarto elevado), sino con figuras y colores que lleva manejando desde que era un bebé (comoun cuadrado amarillo, que sería el equivalente al acorde nombrado en el paréntesis anterior).

INTRODUCCIÓN

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No obstante, esta propuesta no es que pretenda únicamente adelantar el inicio de los alumnosen el mundo de la Armonía, la idea es que estas figuras geométricas policrómicas con que sepretende facilitar su acceso, se vayan incorporando y asimilando dentro de su mente porque suutilidad no se restringirá a estos primeros años o a la educación general, sino que estas mismasfiguras y colores, les serán de una enorme utilidad para entender y aprehender con mayorfacilidad y profundidad, conceptos mucho más complejos e intrincados, como la enarmonizaciónde acordes o los modos de transposición limitada de Oliver Messiaen, por citar algunos de losejemplos ilustrativos que se recogen a lo largo de estas páginas. Creo que resultará convincentepensar que, si para una persona que no ha sido formada con las referencias que este proyectoeducativo propone, ya puede hacerse patente la practicidad, sistematicidad y exhaustividadcon que aborda la dificultosa realidad de los conjuntos sonoros -especialmente aquí tratadaslas entidades armónicas tonales más tradicionales-, para alguien que, ya con cierta madurezteórica musical, haya imbrincado casi en su subconsciente por haberlo trabajado así desdetemprana edad, ciertas imágenes con ciertas sonoridades (tanto a nivel mental teórico como anivel acústico), este método le reportará una enorme ventaja sobre cualquiera de los alumnosque se enfrentan hoy día, armados únicamente de sus mayores o menores conocimientos, almundo de la teoría compositiva en cualquiera de sus facetas: armonía, contrapunto, análisis...;sin que podamos olvidar, en ningún caso, su patente repercusión en otras disciplinas como laeducación auditiva o la improvisación.

Tampoco podemos dejar de aclarar que esta metodología educativa, aunque nacida y aquíesbozada dentro del ámbito de la música occidental, no tiene en modo alguno por qué verserestringida a ésta y que, de hecho, puede resultar de extrema validez para comparar sistemasde afinación de diversas culturas musicales o de diversos períodos históricos; si bien, lamenta-blemente, esto escapa de los introductorios objetivos con que ve la luz el modesto elenco deposibilidades que aquí sucintamente se presentan.

En definitiva, la monografía que están a punto de leer, sin darse por acabada ni por inmu-table, sino como un guión más o menos desarrollado de otro modo de acercar al alumnado demúsica, tanto en los círculos más especializados como en los menos, a la compleja dimensión dela realidad organizativa de esta disciplina; tanto en el plano de sistema musical derivado de unsistema de afinación, como en su dimensión sintáctica de sonoridades dispuestas en un discursode tensiones y distensiones, apenas inteligible para la mayoría de legos en la materia más alláde su intuición, y que desde luego podía serlo no ya mucho más comprensible, sino más cercana,para aquellos que han sido, están siendo y serán instruidos en el maravilloso e inigualable artede la música.

INTRODUCCIÓN

Capítulo 1

Evolución de la enseñanza de laArmonía

En primer lugar, por concretar un poco de qué estamos hablando, definiremos el objetode estudio, la Armonía. Según nos dice el “New Grove Dictionary of Music and Musicians”,el término procede del griego harmonia, y significa “la combinación de notas simultáneas,para producir acordes y, sucesivamente, para producir progresiones acórdicas. El término seusa descriptivamente para denotar notas y acordes en combinación, y prescriptivamente paradenotar un sistema de principios estructurales que gobiernan su combinación.” Debemos darnoscuenta cómo esta explicación contempla la disciplina desde dos planos; a un lado en su dimensiónapenas descriptiva y, en el otro -producto del anterior, en realidad-, como conjunto de normasy reglas con que organizar su puesta en práctica.

Otra definición interesante la tenemos en el Harvard Dictionary of Music Apel (1969), quenos dice que se trata de “la estructura acórdica (o vertical) de una composición musical, alcontrario que Contrapunto, que trata de la estructura melódica (u horizontal).” Como podemosobservar, esta definición de mayor brevedad, vuelve a centrarse en el carácter estructural deltérmino y en la dimensión vertical de simultaneidad de sonidos.

Por enriquecer un poco la visión, veamos también lo que nos dice A. Schoenberg al comienzodel segundo capítulo de su Harmonielehre1 (Schoenberg, 1979): “Armonía: el estudio de soni-dos simultáneos (acordes) y de cómo pueden enlazarse teniendo en cuenta sus característicasarquitectónicas, melódicas y rítmicas, y su significación, o sea, el peso relativo de unos respectoa otros.” Tal vez, lo más llamativo de las palabras de Schoenberg, sea cómo pone su atenciónen el hecho del contexto, como medio para atribuir significación a los conjuntos de sonidossimultáneos; sin duda, es un factor esencial para entender los estudios armónicos, la asuncióndel carácter relativo que poseen las sonoridades según su marco, tanto a nivel general dentrode un sistema o lenguaje musical, como a nivel concreto de las sonoridades adyacentes en quese encuadra cada una.

1Cuya primera edición en alemán es de 1911.

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CAPÍTULO 1. EVOLUCIÓN DE LA ENSEÑANZA DE LA ARMONÍA 11

Llegados a este punto, parece conveniente desligar el concepto de Armonía del de acorde,al menos, de su noción ortodoxa que lo reduce a una yuxtaposición de terceras, y concebirla armonía como un estudio de los elementos sonoros simultáneos, que llegados al s. XXI,tendrán muchas muestras de simultaneidades sonoras que se apartarían notoriamente de lasclasificaciones clásicas o incluso, de las progresistas, pero obviamente siempre tonales y he ahíla mayor diferencia de concepción, decimonónicas. El método didáctico que en estas páginas sepropone, tiene por objetivo poder abarcar todo el corpus armónico, sea de la procedencia quesea e indistintamente al sistema musical al que se adscriba.

Ahora bien, aclaremos que cuando aquí hablamos de la enseñanza de la Armonía -ya enel título de esta parte y en el del propio capítulo-, nos estamos refiriendo, como explicaba laprimera definición que veíamos, a la enseñanza de los principios estructurales que gobiernansu combinación, es decir, la construcción y enlace de acordes siguiendo unas directrices decoherencia determinadas, que, normalmente, no son otras que las deducidas del análisis y elestudio de un estilo y/o un período histórico; por lo general, los del período de la práctica comúno período tonal, que abarcaría de manera aproximada desde 1600 hasta 1900. De esta forma,los estudios de Armonía, como asignatura dentro del currículum de los estudios superiores demúsica de nuestro país -según está recogido en la legislación vigente2-, tendría un carácterhistórico y práctico muy pronunciado, y será de especial utilidad para el mejor entendimientode otras asignaturas como Historia de la Música o Análisis, así como para la práctica de laimprovisación.

1.1. AntecedentesLa enseñanza de la Armonía, tal y como la entendemos nosotros partiendo de la última parte

de la definición anterior, esto es, no entendida como especulación teórica sino como disciplinapráctica, se remonta a la escuela del bajo cifrado, que se extendió a principios del s. XVIII yque se convirtió en una teoría de composición libre, que se oponía al contrapunto, la teoría dela composición estricta. En realidad, podríamos afirmar que su origen coincide grosso modo,con el establecimiento de la tonalidad, reforzado durante los ss. XIX y XX por un robustomarco institucional de conservatorios, universidades y academias que continuaron situandoesta disciplina, la Armonía, en el núcleo de sus enseñanzas básicas a intérpretes, compositorese incluso, aficionados.

Aún así, la frontera que divide la teoría de la práctica es difícil de situar, sobre todo en2Así, hasta este curso 2009/2010 que tenía vigencia el Decreto 617/1995, de 21 de abril, nos dice que

en Armonía se estudiaría: “Elementos y procedimientos armónicos relativos al sistema tonal, y evolución dela armonía en la música posterior al mismo. Realización escrita de trabajos estilísticos y libres, vocales einstrumentales. Práctica instrumental de los elementos y procedimientos estudiados.”No está de más el aclarar que este próximo curso 2010-2011, dará comienzo el nuevo plan educativo a nivel

europeo implantado según los acuerdos de Bolonia, en el primer curso de las enseñanzas de música de lasEnseñanzas Superiores; si bien, la legislación que atañirá a este nuevo plan aún no está definida cuando seescriben estas palabras y, por lo tanto, no podemos referirnos a ella.


los comienzos, de forma que podemos encontrar ya una instrucción compositiva respecto de laescritura a varias voces en tomos explícitamente especulativos como la “Synopsis” de Lippius,de 1612. De igual forma, los primeros manuales de clase desarrollaron también conceptos queacabaron finalmente asumidos en la corriente de los estudios especulativos, como sería el caso delos acordes de paso en los tratados de Richter (1853) y Mayerberger (1878), que serían crucialespara el desarrollo de las teorías schenkerianas del Schichten y la Ursatz. Asimismo, la oposiciónque antes le concedíamos respecto del Contrapunto, al hablar de teoría de la composiciónestricta y de la composición libre, debe tomarse también con cautela, ya que, precisamentelos primeros orígenes de la enseñanza práctica de la armonía pueden establecerse en algunaspáginas de tratados de Contrapunto de principios del s. XVI que enumeran las combinacionesaceptables en la composición a cuatro voces; éste sería el caso del tratado de Baryphonus de1615. Desde sus comienzos, la armonía práctica ha servido como ejercicio preparatorio paratres actividades: improvisación, composición y análisis, que aunque distintas en su finalidad,sus contenidos se entrecruzan con mucha frecuencia. La mayoría de los trabajos de armoníadel s. XVII tenían como objetivo la instrucción de intérpretes de bajo continuo en el arteimprovisatorio mediante la realización del bajo. Durante el s. XVIII, en Alemania, la realizacióndel bajo continuo se empezó a cultivar no sólo por intérpretes del mismo, sino también comoparte de la educación de los compositores, así C. P. E. Bach nos explica que los alumnosde composición de su padre “debían empezar sus estudios por la realización de puro bajocifrado a cuatro partes. Después pasaba a los corales; primero le añadía los bajos hechos porél, y ellos debían inventar el alto y el tenor, más tarde les enseñaba a construir los bajospor sí mismos.” La tarea más avanzada de éstas requería comprender no sólo la escritura avoces, sino también la sintaxis armónica, un tema que había sido tratado en los manualesde bajo continuo de finales del s. XVII en referencia a la realización de bajos no figurados(ej. Penna, 1672). Cuando a finales del s. XVIII, el papel del bajo continuo quedó relegado,la improvisación dejó de ser el objetivo principal del entrenamiento armónico y ya no habrácontinuación en la tradición de los textos sobre improvisación hasta la década de 1950, cuandolos músicos de jazz empezaron a codificar sus métodos. Ahora bien, hablando con propiedad, lafundación de la escuela armónica práctica debe atribuirse de manera universal, a la teoría delbajo fundamental de Rameau, que aunque estuvo diseminada en diferentes partes de sus escritos,después de su muerte, en 1764, se convirtió en la base de la práctica pedagógica común, que fueconfigurándose en una forma muy similar a la manera actual, durante esa segunda mitad del s.XVIII. Aportaciones determinantes fueron las de Marpurg que desarrolló una taxonomía paralas notas no reales, y John Trydell que empezó a indicar las fundamentales como grados de laescala en relación a una tónica3, pero quizás las más importantes serían las de Kirnberger (1771-79) y H. C. Koch (1782-93) en sus tratados de composición, cuando empezaron a considerarel papel de la armonía como un mecanismo de articulación de las frases y los movimientos.

3Si bien, Trydell representaba los grados mediante números arábigos, no con números romanos que es laforma habitual hoy día, y que proviene de los escritos de Vogler.


Estas contribuciones tuvieron como finalidad un claro matiz analítico y compositivo, durante elsiguiente siglo. El análisis armónico usando números romanos fue sustituido al final del s. XIXpor Riemann, que proponía la teoría del dualismo, junto con la teoría de las funciones tonales,en una serie de escritos pedagógicos. Después de la muerte de Riemann, la teoría funcionalse separó del dualismo, que había encontrado pocos defensores entre los tratadistas modernos,y dominó la pedagogía en Alemania, Escandinavia y Europa del Este, pero incluso en estoslugares no ha sustituido completamente el método de los números romanos. Podríamos decirque la influencia de Riemann en el Sur de Europa y en el mundo anglosajón ha sido mínima, deforma que si aún a día de hoy podemos hablar de dos escuelas de análisis armónico principales,existe una clara primacía del modelo que hace uso de los números romanos, a nivel mundial ytambién, en nuestro contexto académico español.

Podríamos sintetizar pues y decir que desde finales del s. XVIII, nuestros métodos de ense-ñanza de la armonía han continuado básicamente igual, sirviéndose de ejemplos normalmentetomados del canon del repertorio clásico y romántico, se inferían unas reglas que servían para larealización de ejercicios armónicos que, como abstracciones especulativas teóricas, perseguíanmás la adquisición de técnicas que la verdadera imitación de estilos. Otra de las posibles críticasque se pueden lanzar contra esta didáctica, mayoritariamente extendida, es que parece concedermás importancia al aprendizaje de unos mecanismos gráficos y no tanto a la experiencia audi-tiva de los mismos; si bien, esto no tendría por qué ser así siempre, sí parece deducirse desdela propia orientación del sistema, en el que el aspecto sonoro parece hacer aparición más comocomplemento necesario, que como elemento central. Algunos autores como R. O. Morris (1968)iniciaron movimientos pedagógicos que trataron de tomar el teclado como punto de referencia,en las primeras décadas de la segunda mitad del s. XX, pero sus métodos aunque han tenidorepercusión en otros países, sobre todo en Estados Unidos, aquí en España apenas ha tenidoun eco exiguo en algunos imitadores.

1.2. La metodología tradicionalLos métodos tradicionales de enseñanza de la armonía se centran en la armonización a

cuatro partes de melodías (de tiple o de bajo) dadas; ejemplos de este tipo de metodologíaserían las propuestas de Rockstro (1881), Piston (1991)4 y Gauldin (2004)5. El estudiante debeconstruir voces independientes horizontalmente que vayan bien con una línea melódica previa.Los ejemplos melódicos tratan de ilustrar la llamada práctica común de los compositores delos ss. XVIII y XIX. El cuadro 1.1 (que incluye cinco figuras) sirve para ilustrar el procesode armonización homofónica usando los acordes mayores I, IV y V, como una simplificacióne ilustra los principales pasos, descritos más abajo, que se les aconseja seguir a los aprendicespara la armonización de melodías.

4Primera edición en inglés de 1978.5Primera edición de 1997.


(a) Listado de posibles acordes (b) Depuración de las opciones

(c) Segunda depuración de las opciones (d) Escritura de una melodía para el bajo

(e) Escritura de las demás voces

Cuadro 1.1: Pasos de la armonización según la metodología tradicional

1. Listar todos los acordes posibles. Todos los acordes que pueden ser asociados con cada notadeben explicitarse en números romanos. La figura 1.1a muestra las 32 posibles progresionesarmónicas que admite la melodía.

2. Depurar las opciones. Las piezas de música tonal casi siempre empiezan y acaban en elmismo acorde de tónica (acorde de I). Si se eliminan las posibilidades que comenzaban yterminaban por un acorde diferente, todavía quedan 8 progresiones posibles, como muestrala figura 1.1b.

3. Depurar aún más las opciones. El bagaje musical es lo que requiere ahora el alumno, paraelegir una progresión acórdica que sea musicalmente significativa de entre las alternativasque se le ofrecen. La figura 1.1c muestra la progresión de acordes como sería escogidapor un compositor experimentado ya que contiene el giro más ampliamente repetido (delongitud 3).

4. Escribir una melodía para el bajo. Ha de cumplir un número considerable de condiciones:progresión acórdica, ámbito, movimiento preferentemente contrario al soprano y dejarespacio para el movimiento de las voces internas y entre ellas. La figura 1.1d muestra unasolución que cumple estas condiciones.

5. Escribir las demás voces. Otra vez deben satisfacerse una serie de prerrogativas: progresiónarmónica, ámbito, evitar el cruzamiento de voces y evitar octavas y quintas paralelas ydirectas. La figura 1.1e muestra una posible disposición para las voces internas.

Las limitaciones pedagógicas de la manera tradicional de enseñar armonía, responde, obvia-mente, a ciertas dificultades observadas en los principiantes:


Conocimiento teórico musical previo elevado; los ejercicios requieren que el alumno poseaun considerable bagaje teórico musical de otros elementos como el ritmo, el contrapuntoy la forma, lo que supone una complejidad añadida para el proceso de aprendizaje.

Análisis armónico de las melodías (elección de grados); el análisis armónico es el proceso deasignar unos grados a las partes de una partitura. Si la partitura posee sólo una melodía,puede aceptar diversas alternativas de progresiones armónicas –como sucedía en la figura1.1a- y la elección de la mejor alternativa que encaje perfectamente es el objetivo últimode este proceso analítico -figura 1.1c-. Sin embargo, los principiantes suelen carecer dela experiencia necesaria para esta tarea, y no entienden qué significa “la mejor” en estecontexto. Así que existe la tendencia, por parte del profesor, de imponer en los alumnoslas “progresiones armónicas aceptables” que, de esta forma, se incorporan al vocabularioarmónico del estudiante.

Armonizar una melodía (escribiendo notas en las voces); una vez elegidos los grados queirán con las notas de la melodía, las notas deben colocarse en las voces restantes deacuerdo con el análisis armónico (véase los pasos 4 y 5 ilustrados con las figuras 1.1dy 1.1e respectivamente). Sin embargo, dependiendo del grado de adecuación del análisisarmónico, puede ser difícil, o incluso imposible, colocar las notas en las voces sin quebraralguna/s de las reglas musicales impuestas.

Didáctica centrada en el profesor; en los métodos tradicionales el profesor normalmenteda clases (Peters, 1982) a un grupo de alumnos, analizando armónicamente fragmentos depiezas musicales, proponiendo ejercicios y corrigiendo algunas de las soluciones aportadaspor los alumnos.

Ingente corpus de piezas tonales; los métodos tradicionales requieren de un gran y he-terogéneo corpus de fragmentos de piezas musicales como sonatas, conciertos e inclusocanciones populares, para ilustrar las prácticas armónicas académicas.

1.3. Nuevos enfoques del s. XXCon el siglo XX tuvieron lugar importantes cambios dentro del plano musical, no es de

extrañar que no sólo los compositores, sino también teóricos e intérpretes, buscaran otras formasde entender la música y otras formas de explicarla.

1.3.1. A. Schoenberg, un pequeño paso adelante

Algo antes de la primera guerra mundial, aunque algún eco mayor obtuvo después de lamisma, en 1911, Arnold Schoenberg publicaba su Harmonielehre -que tardaría en aparecer enEspaña más de medio siglo (Schoenberg, 1979)-. En él, Schoenberg, escapando de la presión de


la imitación de cánones estilísticos, consigue superar ciertas trabas que la enseñanza tradicionaltenía, como serían los siguientes:

Requiere de un menor conocimiento teórico previo del alumno y trata de aislar otroselementos de la música (ritmo, contrapunto y forma) de la enseñanza de la armonía;

Guía al estudiante a la hora de escoger los grados en los ejercicios y no requiere análisisarmónico;

Evita la armonización de una melodía, con la finalidad de darle al estudiante más alter-nativas en la distribución de notas por voces;

Se centra más en el alumno a la hora de enseñarle, con el objetivo de maximizar sucreatividad;

Evita el inmenso corpus de piezas tonales.

Podríamos recordar otros métodos que siguen algunos de los principios recogidos arriba, porejemplo, hay métodos que enfatizan el enlace correcto sin prestar mucha atención a otroselementos de la música, así sería el caso de Riemann, por ejemplo, que enfatizaba las funcionestonales, pero que obviamente obliga a determinados movimientos y se desliga de promoverla creatividad del alumno. Los escritos de Schoenberg también están centrados en el enlacecorrecto de los acordes, sin embargo, no es lo principal, le preocupa más evitar la imposiciónde “progresiones aceptables” en los estudiantes y en darles una mayor libertad de elección.Schoenberg creía que los estudiantes, a través de la experimentación no sólo de “progresionesarmónicas aceptables” y valorando sus preferencias por sí mismos, eran capaces de desarrollarsu propio sentido armónico sin el fuerte condicionamiento del vocabulario armónico impuestopor los métodos tradicionales. El método de Schoenberg se distingue por un programa queno incluye la armonización de melodías y que incorpora una calculada estrategia evolutiva depresentación y práctica de nuevos conceptos. El cuadro 1.2 ilustra los principales pasos, descritosmás abajo, seguidos por los estudiantes en los ejercicios propuestos.


(a) Paso 1 (b) Paso 2

(c) Paso 3 (d) Paso 4

(e) Paso 4 (f) Paso 4

Cuadro 1.2: Método de Schoenberg

Pasos para la solución de un ejercicio:

1. Definición de la secuencia de acordes. El estudiante, siguiendo unas instrucciones, escogelos grados con que va a trabajar (así se ve en la figura 1.2a).

2. Colocación de notas para el primer acorde. El estudiante decide la posición del acordeinicial y le asigna las notas a las voces observando las condiciones constructivas del acorde(como queda ilustrado en la figura 1.2b).

3. Colocación de notas para el siguiente acorde. El estudiante coloca las notas en el acordeque sigue a la derecha del anterior, vigilando las normas de construcción propias del acordeen concreto, así como las de enlace respecto del anterior (según se aprecia en la figura1.2c).

4. Repetimos el paso tres con el resto de acordes. Los estudiantes repiten el paso tres hastaque se han asignado todas las notas de todos los acordes de la progresión (tal y comoqueda reflejado en las figuras 1.2d, 1.2e y 1.2f).

1.4. Dos teorías cognitivas recientes de la ArmóniaEstas dos teorías aportan dos puntos de vista diferentes de la Armonía, que permiten acercar

la disciplina a personas que, careciendo de los conocimientos teóricos o la habilidad instrumen-tal necesaria, se verían totalmente desprovistos de una posibilidad en el entorno de aprendizajeacostumbrado. Se trata de los estudios de Longuet-Higgins (1962) y de Balzano (1980); que


aunque parten cada uno de puntos diferentes, ofrecen dos visiones bastante similares del funcio-namiento de la Armonía. Y así lo explica muy bien Simon Holland en su artículo New CognitiveTheories of Harmony applied to direct manipulation tools for novices (1987).

1.4.1. Longuet-Higgins y su espacio armónico bidimensional

En mi opinión, los primeros pasos de importancia, hacia una verdaderamente nueva manerade explicar Armonía deberíamos atribuírselos a Longuet-Higgins que desarrolló una nueva teoríacognitiva de la armonía (1962). El sistema se basa en la configuración de una red de notasdispuestas en columnas y filas, de forma que los miembros de cada columna son notas separadasuna 5ª, mientras las filas están construidas separando las notas una tercera mayor . La teoríade Longuet-Higgins se fundamenta en que el conjunto de intervalos posible en la música tonaloccidental es aquel que sucede entre notas cuyas frecuencias están en una proporción expresablecomo el producto de tres números: 2, 3 y 5 y ningún otro6. Teniendo en cuenta esta premisa, sedesprende el hecho de que el conjunto de tres intervalos formado por la octava, la quinta justay la tercera mayor es el único espacio coordinado no redundante para todos los intervalos queusamos. Podemos representar este espacio gráficamente colocando las notas en capas en unared tridimensional en la que las notas van ascendiendo en octavas, terceras mayores y quintasjustas, a lo largo de los tres ejes. Sin embargo, en la mayoría de representaciones se omite el ejede la dimensión de la octava dado que da lugar a planos paralelos y a la conveniencia prácticaque supone centrarse en las otras dos dimensiones (fig. 1.4.1).

6Longuet-Higgins fue desarrollado por Steedman, en su tesis doctoral: “The formal description of musicalperception”, University of Edinburgh, 1972.


Figura 1.4.1: Espacio armónico (sin enarmonías) de Longuet-Higgins

Como podemos ver en la figura de arriba, hemos enmarcado todas las notas de la escala dia-tónica con una línea en una pequeña región de dos columnas y siete casillas (dado que la escalaposee siete grados). Si imaginamos que este marco, manteniendo su forma, pudiera deslizarsealrededor de la tabla de notas libremente y delimitar diferentes conjuntos de notas, descubriría-mos que si lo movemos hacia arriba una fila estaríamos en la tonalidad de la Dominante, y quesi lo bajamos una fila estaríamos en la de la Subdominante. Se pueden encontrar otras tona-lidades trasladando el marco en otras direcciones, aunque convenga recordar que las notas nosiempre mantendrán el mismo nombre en las diferentes tonalidades, sino que podrán estar enar-monizadas (sonidos homófonos). Sin embargo, en virtud de la finalidad didáctica, reducimos elespacio Longuet-Higgins a una nomenclatura de doce sonidos de un sistema tonal temperado,resultando lo que llamaremos “espacio armónico Longuet-Higgins de 12 notas bidimensional”o, simplemente, espacio armónico bidimensional, para abreviar. Consecuentemente perdemoslos doble sostenidos y doble bemoles de la figura 1 y el espacio ahora se repite exactamente entodas las direcciones (véase fig. 1.4.2). Las notas con el mismo nombre son realmente la mismanota en este espacio. De hecho, bastará una pequeña reflexión para darnos cuenta de que esteespacio es en realidad un toro7 que hemos desplegado y repetido como si fuera un motivo paraempapelar algo. Uno de los resultados que produce esta figura es que en lugar de un únicomarco de tonalidad, tenemos el marco repetido.

7Un toro es una superficie o una figura geométrica tridimensional formada por la rotación de una curvacerrada, especialmente un círculo, alrededor de una línea que se haya en el mismo plano pero que no interseccionacon ella (ej. un anillo con forma de donut).


Figura 1.4.2: Espacio armónico Longuet-Higgins de 12 notas bidimensional

Fijémonos ahora en la representación de los tríadas y los centros tonales. En el espacio armó-nico bidimensional, los acordes mayores tienen forma de L (cf. fig. 1.4.3). Vemos también comolos acordes de Dominante y Subdominante, tríadas mayores, están extremadamente próximosa la tríada de tónica. Al mismo tiempo, podemos observar que los tres tríadas fundamentalescontienen todas las notas de la escala diatónica y cómo también este diagrama sirve de metáforadel lugar central que ocupa la tónica (y así sucedería en cualquier tonalidad). Igualmente po-demos distinguir cómo los tríadas menores corresponden con una L invertida, y cómo tambiénforman la escala menor y disponen su tónica (la tríada menor de La) en una posición central.Para completar la escala, quedaría marcar el tríada disminuido, que se configura marcando unalínea oblicua. Algunos estilos armónicos perfectamente asumidos en el repertorio de estudio,hacen uso de los acordes cuatríadas y quintíadas, que también tienen formas fácilmente reco-nocibles dentro del espacio armónico bidimensional (véase fig. 1.4.4 para la representación delas séptimas diatónicas propias de la escala natural).


Figura 1.4.3: Acordes tríadas en el espacio armónico bidimensional Longuet-Higgins

Figura 1.4.4: Acordes cuatríadas en el espacio armónico bidimensional Longuet-Higgins

Hagamos ahora, tras la descripción del sistema, un ejercicio de abstracción para imaginaruna manipulación virtual directa de este entorno, utilizando un programa informático. Supon-gamos que podemos utilizar el ratón para elegir un modelo geométrico que represente un tipo


de sonoridad y, hecho esto, pudiéramos hacer sonar las notas que elige, cada vez que su botónesté pulsado (como si estuviésemos seleccionando cosas, en cualquier entorno de Windows); éstasería la propuesta del Dr. Simon Holland para, aplicando las explicaciones de Longuet-Higgins,acercar a un alumnado novel al manejo de las sonoridades, de la Armonía en definitiva, deforma intuitiva.

1.4.2. Balzano con su red

Balzano en su artículo The Group-theoretic description of 12-fold and microtonal pitchsystems (1980) describía dos posibles modos de trasladar, todo considerado desde el puntode vista matemático8, a un espacio bidimensional circular nuestro sistema musical de docesonidos, en realidad nada nuevo aunque fundamentado mediante expresiones matemáticas: elcírculo de quintas y el círculo cromático9 (adjuntamos la figura 1.4.5 a modo de ilustración).Resultan llamativas las observaciones de cómo, sobre el círculo de quintas, los sonidos diatónicosquedan representados ocupando justamente la mitad del círculo y cómo, según qué vamosmoviendo esta mitad, rotándolo dentro del cículo vamos obteniendo los sonidos propios de lasescalas o los modos, con alteraciones en menos o con alteraciones en más, según el sentido sea,respectivamente, el contrario o el mismo de las agujas del reloj.

Figura 1.4.5: Modelos del sistema musical dodecafónico en un espacio bidimensional

Sin embargo, no fue ninguna de estas dos proyecciones la que S. Holland (1987) adoptócomo base para su elaboración didáctica, sino la que Balzano consideraba más válida para laobservación de los aspectos armónicos, una tercera traslación a un espacio bidimensional quetendría la forma de una red (que podemos observar abajo, en la fig. 1.4.6). Fuera de las evi-

8Para ello, los doce sonidos son tomados como los doce primeros números enteros (y así puede observarse enlas ilustraciones que de sus propuestas se adjuntan en este apartado); esto es: do = 1, do# = 2, re = 3, mib =4, mi = 5, fa = 6, fa# = 7, sol = 8, lab = 9, la = 10, sib = 11 y si = 12.

9Esta proyección bidimensional, estudiada como ya decimos por este autor (Balzano, 1980), servirá de basepara su adaptación a un sistema de lectura ya no lingüístico-textual, sino puramente musical, y así naceráel Espiropentagrama -núcleo del corpus gráfico de la propuesta de estas páginas y que está explicado condetenimiento en el capítulo 4 en la página 41.


dentes aportaciones visuales (con formaciones geométricas diversas) que esta red aportaba a laobservación de los diferentes conjuntos de sonidos; Balzano en este trabajo también demostrabala adaptabilidad y la permanencia de diversas propiedades de los conjuntos sonoros, cuando setrabaja con sistemas diferentes de dividir la octava a la nuestra (que lo hace en doce partes),incluyendo como ejemplo en este artículo, una red que reflejase la división de la octava en veintepartes, o sea, utilizando intervalos microtonales.

Figura 1.4.6: La red de Balzano señalando los sonidos de la escala diatónica dentro del cuadrantede los doce

Pues bien, esta red, como decíamos, es la otra base que va a servir para los propósitospedagógicos que el Dr. Holland desarrollaba en 1987 y que tanto nos han servido de inspiraciónpara el desarrollo de este trabajo. La aplicación en esta red tendría un desarrollo análogo al quedescribíamos al final del punto anterior; esto es, su incorporación en un software informáticoque permitiera a gente no iniciada dentro de los complejos conocimientos musicales que requierela Armonía, acercarse e incluso ejercitarse dentro del mundo de la pluralidad sonora armónica.


1.5. La enseñanza de la Armonía en la actualidadEn la actualidad, hay una notable diferencia en cuanto a la enseñanza de la Armonía según

en qué ámbito geográfico nos situemos e incluso, precisando más, en qué institución de quélugar. Por ello, en este apartado vamos a hablar, por un lado, de forma generalizada de cómotenemos noticia que se desarrolla esta enseñanza en el conjunto de nuestro mundo occidental,y de otro, de cómo se desarrolla en nuestro país, tomando como especial foco de observaciónnuestra región y las instituciones que en ella existen destinadas a la formación musical.

1.5.1. La Armonía en el mundo

Parece incuestionable que nuestro mundo occidental tiene una nación que ejerce el claropapel de cabeza del conjunto, me refiero claro está, a Estados Unidos. Como en cualquier períodode la historia, los estudios más avanzados de las artes y las humanidades, como cualquier otradisciplina, encuentran pronto su lugar, partiendo de su tradición y evolucionando a partir deésta, en las paredes de la casa más poderosa. De este modo, no es de extrañar que parta deesta nación la mayor parte de las directrices de cambio, respecto de la metodología tradicional(que desarrollábamos en este mismo capítulo, en la sección 1.2 en la página 13).

Así pues, conjuntamente con una encomiable asimilación de las aportaciones que la evolu-ción de la música popular de cierta entidad, ha aportado a la música académica; los métodosnorteamericanos desde hace varias décadas tienden a una mayor practicidad de sus enseñanzas,a una mayor ejercitación sonora de las mismas -por lo general sobre el teclado- y a una reflexiónteórica considerablemente menor.

1.5.2. La Armonía entre nuestros muros

Nuestro país, con sus ventajas y sus inconvenientes, no ha ido mal que le pese, nunca a lacabeza en general, de la investigación, y en particular, en lo tocante a la investigación musical,menos aún si cabe. Para hacernos una idea, haré un somero repaso de las publicaciones que aúna día de hoy fundamentan la bibliografía básica de nuestros centros educativos, cuánto haceque llegaron y cuando lo hicieron, con cuánto retraso llegaban desde que habían visto la luz enotros idiomas. Quizá el libro que ocupaba hasta la fecha las principales referencias en las aulasde Armonía de nuestra región, fuera el de Armonía de W. Piston, este libro fue publicado porprimera vez por la Norton, en 1941, sin embargo, la primera edición en España, por la editorialLabor, no llegó hasta medio siglo después, y éste, un libro que cuenta a día de hoy con casi70 años de antigüedad, es el libro probablemente más utilizado en nuestro país. Otros librosque también tienen y han tenido una enorme repercusión no han corrido, por desgracia, mejorsuerte; éste sería el caso, por ejemplo del tratado de Armonía y de Funciones estructurales dela Armonía de A. Schoenberg que nacieron respectivamente, en 1922 y 1954 y sin embargono se pudieron ver en nuestras librerías hasta 1974 y 1990. Y hablamos, obviamente de libros


capitales dentro de lo que se considera la disciplina Armónica a día de hoy, no hablaremos delos que ni siquiera han llegado a ser traducidos o, depués de haberlo sido, no han encontradomanera de publicarse.

Bien es cierto, en cualquier caso, que también ha habido teóricos en nuestro territorioque han sido de notable prestigio (dentro del mismo) y que han contribuido enormemente a ladifusión de principios de otros grandes autores del resto de Europa o América, pero incluso éstos,que otrora fueran verdaderos adalides de una información innovadora e ilustrativa, después depasar más de tres, cuatro o cinco décadas, creo que podemos afirmar que se hayan quedadoalgo anticuados. Hablamos, por ejemplo, de Zamacois que publicara en 1945 su primera ediciónde su revelador Tratado de Armonía.

De esta forma, podemos resumir que la situación es algo desalentadora, que aunque no faltandiversos focos individuales (como los casos de Martínez-Oña (1991) y de Sánchez Navarro (n.d.),que se recogen en nuestra bibliografía en la página ??) que tratan de renovar y modernizar ladidáctica armónica en nuestras aulas, tienen un eco ínfimo y un marco de actuación que, confrecuencia, apenas alcanza más allá de sus propias clases. Existe muy poco interés por partede instituciones que podrían patrocinar su actualización, probablemente por su orientaciónhacia un público tan minoritario. Un público que además, acostumbrado a esta situación, laha tratado de solventar con su propia iniciativa y sus propios recursos, aunque siempre hayaquedado en esfuerzos y resultados de poca mayor extensión que aislados casos individuales.

Capítulo 2

Fundamentos de esta didáctica

Esta didáctica tiene por finalidad, la incorporación a la teorética armónica de un corpusde analogías -especialmente de carácter visual- que sirva para construir un método didácticoque responda mejor a las directrices de la pedagogía y de la psicología evolutiva. Para ello,fundamenta sus principios en los elementos visuales más elementales (como figuras geométricassencillas y colores), al tiempo que se apoya en otras conexiones como el movimiento, algo queen conjunto, contribuirá a favorecer el acercamiento, el manejo y la comprensión de realidadesmusicales armónicas, y de esta forma ayudará a incorporarlas a la vida del niño desde una edadtemprana.

De este modo, se persigue el que esta propuesta de significantes quede aceptada y asimiladaen la mente infantil, para partiendo de este punto, poder ir creciendo con él a lo largo de sueducación musical, abriéndole un camino mucho más amplio y prometedor que el que la actualpropuesta educativa le ofrece.

2.1. Música y formasEs interesante el trabajo llevado a cabo en la Universidad de Illinois (Urbana Champaign)

por tres profesores de la misma, Bergstrom (2007); en este artículo, utilizando una red Tonnetz1,se propone una visualización de la estructura de la música, de su armonía. Este trabajo no esmás que uno entre los muchos que podríamos encontrar que muestran las conexiones que puedenseñalarse entre la música y entidades visuales derivadas, más que de ningún otro campo, de lasMatemáticas.

Existen, como ya apuntábamos, numerosos estudios que buscan analizar desde el punto devista matemático, la realidad musical y que aportan incluso, posibles construcciones bidimen-sionales (Longuet-Higgins, 1962, Balzano, 1980, Holland, 1987, Clough, 1998, Rappaport, 2007)y tridimensionales (Bancroft, 1993, Gollin, 1998, Bergstrom, 2007) que sirvieran para explicarmejor la manera de existir y funcionar de la música. Sin embargo, y he aquí quizá, la verdadera

1Un Tonnetz es un modelo geométrico espacial, bien en dos o bien en tres dimensiones, que representa laspropiedades de un conjunto de sonidos.

26

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE ESTA DIDÁCTICA 27

innovación de estas páginas, ninguna de ellas buscaba más que expresar estas similitudes deforma descriptivo; observar su funcionamiento y hacerlo aún más patente mediante la muestrade un conjunto de representaciones acordes. Este trabajo se propone ir más allá, se propone uti-lizar y desarrollar algunas de estas investigaciones para proponer un método que sea agradabley ofrezca un avance progresivo a los estudiantes de música, permitiéndoles acceder a realidadesteóricas de elevada complejidad mediante esta especie de adaptaciones visuales geométricas,nada deleznables.

2.2. Música y colorLa primera referencia importante que podemos señalar en relación a la conexión entre música

y color, que se hace en el ámbito de nuestra cultura, corresponde a Isaac Newton2 que en sutratado Opticks3 (Newton, 1704) señaló la posible correlación entre estas dos realidades delmundo físico, en base a sus propiedades científicas. De este modo, conectó, en función de sufrecuencia, los sonidos de la escala Mayor, con los colores que aparecían en la naturaleza deforma natural, los colores del Arcoiris, en función de las longitudes de onda de sus espectros(así podemos observarlo en la figura 2.2.1 anexa que, aunque no en color, aparecía de tal cualen la publicación de Newton).

Figura 2.2.1: Disco de la música y color de I. Newton

La fundamentación de Newton, de índole puramente física, es incontestable aunque no porello deja de ser algo arbitraria. No obstante, la que vamos a tomar aquí, como base paraelaborar las correlaciones entre combinaciones de sonidos y colores, no se va a fundamentar enlos principios de Newton, sino en principios del campo de la psicología de la percepción. De

2Los diversos estudios de I. Newton quedan explicados con notable claridad, en inglés, en la url:http://home.vicnet.net.au/~colmusic/opticks1.htm

3Este tratado puede ser consultado en internet e incluso descargado en formato pdf en la sección de booksde Google.


esta forma, y no siendo los primeros que utilizamos el color como elemento para coadyuvara la comprensión de la música (destaca el memorable caso del compositor A. Scriabin -cuyapropuesta está sintetizada en el círculo recogido en la figura 2.2.2 de abajo- o el más recienteO. Messiaen) e incluso su uso con fines educativos sobre todo los estudios de Galeyev (1975) yVanechkina (1994) que hemos citado en la Bibliografía.

Figura 2.2.2: Círculo de quintas en colores de A. Scriabin

Nuestro trabajo, siguiendo en parte la estela de estos ilustres predecesores, busca conectarlas emociones suscitadas por los colores (siguiendo los trabajos de Warner Schaie (1961) yD’Andrade (1974)) con las propiedades que, en nuestro caso, dentro del sistema tonal, se leatribuyen a diversos grados y funciones. De este modo, se busca la confección de una didácticamás asequible y coherente a la mente humana infantil.

2.3. Música y movimientoDesde Schopenhauer hasta infinidad de autores de la teorética musical -quizá deberíamos

destacar a Dalcroze (1965)- han subrayado la sobresaliente cualidad motora de la música; mu-chos llegan a afirmar que “la música es movimiento”. De este modo está más que refutado queel uso de esta vinculación puede ser más que fructífera para la enseñanza de la música y nova a ser aquí donde repasemos todas las enormes aportaciones que esta unión posibilita; entreotros motivos, porque la conexión que en esta propuesta didáctica se va a exponer va a tomarapenas los más elementales parámetros y sólo con la finalidad de colaborar con los elementosque sí se desarrollan, de índole visual.

Así pues, en el último capítulo, en el que se realiza una propuesta de aplicación de estemétodo didáctico, sí se aportan algunos ejemplos de cómo podría trabajarse y fomentarse elempleo de coreografías y de determinados movimientos expresivos, sobre todo con un alumnadode corta edad, para estimular su atención y favorecer la asimilación de las analogías que en eltranscurso de estas páginas van a proponerse.


2.4. Música y texturasAnalizamos ahora la conexión de la música con las texturas, más que por su influencia en el

método didáctico que vamos a exponer en este trabajo, por redondear el círculo sinestésico deelementos con que hemos relacionado la música y también, por abrir una puerta a la posibilidadde realizar maquetas y utilizar texturas en conjunción a los colores para representar lo mismoque aquellos y así insistir a través de otro elemento más (aunque hoy día mucho menos fácil deaplicar y extender), en las propiedades que queramos observar en determinadas sonoridades.Además, no podemos dejar pasar el importante papel que podría desarrollar esta relación, paraapoyar el aprendizaje de la disciplina armónica en personas con algún tipo de discapacidadvisual.

Investigando en este tema, ha sido sorprendente cómo apenas existen publicaciones quehayan desarrollado esta relación. Como precedentes señalables, de relativa fecha reciente, po-dríamos mencionar la conexión con la arquitectura que repasaba un artículo de la revista“Leonardo” en 1993 (Bancroft, 1993) y la general revisión respecto a la música en Braile quepodemos ver en el “Musical Educators Journal” en 1998 (Smaligo, 1998). De esta manera, pare-ce que la propuesta que en este apartado apenas vamos a esbozar, podría ser de una importantetrascendencia dentro de este campo de la pedagogía, como consecuencia de la escasa aportaciónde recursos que existe.

La idea sería tomar las representaciones tridimensionales que se han creado tomando las 12alturas de nuestro sistema temperado, o sea un Tonnetz tridimensional, como el que proponíaGollin en su artículo Some Aspects of three-dimensional Tonnetze (1998), dedicado a explicarespacialmente, sobre todo, las propiedades de los cuatríadas.


Figura 2.4.1: Tonnetz tridimensional propuesto por E. Gollin

2.5. Otras posibles vinculacionesSiguiendo la línea que plantea este capítulo, esta línea de construcción de relaciones sines-

tésicas entre elementos sonoros y elementos de percepción que pertenezcan a otros sentidosdiferentes a la audición, no podemos dejar de al menos enunciar la posibilidad de conectartambién las realidades sonoras a sabores y a olores, siguiendo exactamente los mismos proce-dimientos de coherencia y justificación para la elaboración de vínculos que hemos seguido enestas páginas. De hecho, aunque extremadamente atrevido y con escasa o ninguna referenciaque pueda ofrecer una base de comparación para la sugerencia que se aporta en este apartado,es indudable que cualquier colaboración de contenidos abstractos con símiles va a facilitar sucaptación, máxime, si estos símiles no son también de tipo abstracto y lingüístico, sino que sonentes perceptibles sensorialmente.

Además, al igual que sucedía con el apartado anterior, esta vía que aquí apenas se esboza,sería con seguridad, de una enorme relevancia en enseñanzas de carácter especial, con un alum-nado que tuviera algún tipo de deficiencias sensoriales o motrices, y no pudiera ver o palpar lasanalogías de caracter visual o espacial.

Capítulo 3

Los árboles armónicos

Un árbol1 armónico va a servir como un esquema para sintetizar las cualidades de cadasonido dentro de un conjunto cualquiera, creado en función de sean cual sean los parámetrosa que se quiera atender para su configuración. Del mismo modo, este tipo de abstracción serátambién muy práctica cuando se quiera comparar varios conjuntos de sonidos (y las cualidadesde los mismos). Evidentemente, es fácil deducir que dentro del ámbito de la tonalidad tiene unaaplicación aún más obvia, si tenemos en cuenta por ejemplo, las consideraciones funcionalesde la práctica común. De hecho, las explicaciones más extensas y en el campo que más hemostrabajado con estos “árboles”, ha sido en el de la tonalidad; ahora bien, cabe la posibilidad queel lector encuentre algunos puntos en los que quizá, difiera con mayor o menor determinación,sobre algunas consideraciones que aquí se hacen, no creo que huelgue decir que en este trabajono se trata de argumentar la funcionalidad de un grado concreto (que según su contexto esprobable que varíe, obviamente), sino de un modo de esquematizarlo y representarlo comotodo o parte de un conjunto; esta es nuestra intención y ante las leves disensiones que puedanexistir, apelamos al oportuno criterio del lector para adaptar los símbolos y los conjuntos aquípropuestos, hasta adecuarlos más a su planteamiento teórico y, entonces, si los cree útiles, haceruso de esta propuesta de botánica armónica.

Las cualidades se van a representar dentro de los árboles armónicos, haciendo uso de dife-rentes tipos de grafemas para escribir la cabeza del sonido. Así, por ejemplo, se puede indicar siuna nota tiene tendencia descendente con una grafía que colaborara en este sentido (verbigracia3).

De esta forma, concebida la tonalidad como dos ejes, un eje tendencial (asimilable a lafunción de Dominante) y uno no tendencial (vinculado con las tradicionalmente llamadas fun-ciones de subdominante y tónica), podríamos decir que el eje tendencial comprendería todoslos sonidos que pueden participar dentro de sonoridades tendenciales en el ámbito de una úni-

1La razón para adoptar este nombre para este tipo de representaciones gráficas esquemáticas no es casual,ya que además de que la forma de algunos de estos esquemas recuerdan por su modo de ramificarse a ciertasmanifestaciones vegetales, también la matemática asume este término para nombrar -en la corriente de la GraphTheory- cierto tipo de gráfico. Un gráfico acíclico se denomina un “árbol” y cuando éste aparece conectado conotro u otros, se le llama “bosque” (véase la página 13 y siguientes del libro Graph Theory (Diestel, 2005)).

31

CAPÍTULO 3. LOS ÁRBOLES ARMÓNICOS 32

ca tonalidad, es decir, todas las posibles variantes de la función de dominante que pudierancontemplarse; mientras el eje no tendencial contaría con el resto de sonoridades, o lo que es lomismo, las posibles variantes de las tradicionalmente expresadas como funciones de subdomi-nante y de tónica. Por consiguiente, los respectivos esquemas de cada eje se denominan árbolde Dominante y árbol de Subdominante-Tónica, y en conjunto, representan todas las posibili-dades sonoras de una tonalidad concreta, bien circunscritas a unas condiciones (por ejemplo,estilísticas o cronológicas) o bien de forma genérica. A la yuxtaposición de los dos árboles, ladenominaremos árbol tonal, y será la síntesis de la tonalidad, en cuanto a sus posibilidades, sudiscurso y sus características.

3.0.1. Como interpretar y usar los árboles

Los árboles, al contemplar todas las posibilidades de manifestación de una sonoridad, mane-jan algunas que se niegan entre sí. Por ejemplo, no podremos usar, al mismo tiempo, una notaalterada y esta misma nota en su estado normal, esto queda reflejado en los árboles mediantela bifurcación de sus ramas. De esta forma, cuando desde una nota más grave procedemos deforma ascendente hacia las siguientes posibilidades, sólo podremos optar a las notas que esténaledañas a la que partimos; o sea, yendo hacia arriba y o bien, simplemente encima o bienen la línea vertical contigua a la derecha o a la izquierda (ej. tener que elegir entre la novenamayor o la novena menor en un acorde de Dominante de un tono mayor -véase la fig. 3.1.1 en lapágina 35 que representa un árbol de Dominante-). No podremos “saltar”, por decirlo de algúnmodo, a una nota que se halle más allá de las verticales contiguas a la que está la nota desdela que estamos.

De un modo similar, en un nivel horizontal, se podrán tomar varias notas si no estánadyacentes y tienen separándolas, al menos una, que no se podrá elegir; siempre que se provinieradesde el centro del árbol, que permite optar a ambos lados de una trifurcación (ej. tomar laquinta en más y en menos, pero no la quinta natural -Cf. esquema del árbol de Dominanterepresentado en la fig. 3.1.1 en la página 35-).

3.0.2. Grafías de los árboles armónicos

Según se aprecia en la figura 3.0.1, en los símbolos habría dos clases principales: los rellenadoso negros y los huecos o blancos. Los blancos son aquellos que son propios del modo Mayor (quetomamos como base) o son notas alteradas. Los negros son sonidos tomados de escalas diferentesal modo Mayor, casi siempre provendrán del modo menor, pero también encontraremos entreellas la sensible de la dominante, por ejemplo. Un caso especial, de este segundo tipo es elsegundo grado rebajado (que será la fundamental del acorde de sexta napolitana) que por sutradicional disposición en primera inversión, se indicará en los árboles mostrando la nota (conuna cabeza triangular rellena que marque su tendencia descendente) entre paréntesis.


Otra peculiaridad de la simbología escogida es que usa cabezas con líneas (una o dos)verticales a los lados, para destacar los sonidos que constituyen los grados tonales: I, IV y V.

Tónica Dominante Subdominante

Sensible Supertónica Superdominante

Sensible de ladominante

Subtónica (nota delárea de la

subdominante)

Superdominante delmodo menor

Mediante Mediante del modomenor

Nota alterada contendencia ascendente

Nota con tendenciadescendente

Nota con tendenciadescendente de otro

modo

Nota alterada contendencia descendente

Figura 3.0.1: Grafías de los árboles armónicos

3.0.3. Estados de crecimiento de un árbol

Podemos reconocer esencialmente, tres fases o niveles de expresión de estos esquemas quellamamos árboles, que corresponderían hasta cierto punto con la evolución cronológica históricade la tonalidad, pero más bien, con la organización y distribución progresiva de contenidos quese utiliza en la enseñanza y práctica académica de la disciplina armónica. Por lo tanto, en uncomienzo los árboles, como esquema de posibilidades conocidas, son apenas un testimonio delo más elemental y van creciendo conforme va aumentando el conocimiento en la materia, delalumnado.

De este modo, el primer nivel contendría la base o tronco de los dos tipos de árboles queaquí vamos a estudiar; es fácil de deducir, se contaría básicamente con las notas propias de lasescalas de cada modo; la escala mayor natural, en el modo Mayor, y las escalas menor melódicay armónica, en el modo menor, que participan de cada una de los dos tipos de sonoridades:tendencial o de Dominante, y no tendencial o de Subdominante. Así pues, en el cuadro 3.1vemos la versión de los primeros árboles con que los alumnos nóveles habrían de enfrentarse.

Tipo de árbol Modo Mayor Modo menorÁrboles de

Subdominante-Tónica

Árboles deDominante

Cuadro 3.1: El tronco de los árboles armónicos


En un segundo estadío, se añadiría las notas tomadas de otros modos, así como la posibilidadde la novena (mayor y menor) para el acorde de dominante y, consecuentemente, también parala formación del séptima disminuida y del séptima de sensible; el segundo grado rebajado paraconstruir el acorde napolitano y la sensible de la Dominante con que elaborar los acordes deDominante de la Dominante. Éste podríamos decir que sería el estado de madurez de los árboles,cuyo resultado queda reflejado en el cuadro 3.2 de abajo.

Tipos deárboles Modo Mayor Modo menor

Árboles deSubdominante-

Tónica

Árboles deDominante

Cuadro 3.2: Árboles armónicos en estado de madurez

Por último, contaríamos con la adicción de la subtónica -que se interpretaría más comouna referencia al área de la subdominante, que como una nota verdaderamente propia de estatonalidad- y de las notas alteradas en más y en menos. Con esto tendríamos los árboles armó-nicos completos que será con los que vamos a trabajar en las próximas páginas, describiendoespecíficamente sus características y su configuración en los apartados 3.1 y 3.2.

3.1. El árbol de DominanteEl árbol de dominante recoge todas las posibilidades sonoras armónicas que pueden existir

dentro de un tono, que tendrían función de Dominante; es decir, sonoridades que colaboran areafirmar el papel de tónica del primer grado. Como podemos observar en la figuras 3.1.1 y3.1.2 de más abajo, en un árbol de Dominante de una tonalidad mayor o menor, casi todas lasnotas que aparecen en la sonoridad de dominante son tendenciales, por este motivo tienen lagrafía triangular que apunta, según es conveniente, ascendente o descendentemente. De hecho,sólo unas pocas de las notas que aparecen en este tipo de árboles no tienen obligatoriedad a lahora de resolver.

Por otra parte, el sonido que está representado por un rombo relleno, que corresponderíacon el VII rebajado (el grado natural en el menor), implicaría un área de subdominante, ya quela negación de la sensible es, innegablemente, un indicativo de flexión armónica. Sin embargo,dado que tanto la Dominante como esta supuesta área de subdominante (aunque de muydiferente forma, eso está claro) tienen tendencia hacia el eje Subdominante-Tónica, por esoha sido incluida esta nota, en este árbol. No obstante, conviene recordar que estos árbolesson ejemplificaciones de cómo se podría trabajar y que lo importante es la manera nueva de


esquematizar, más que uno u otro autor puedan o no coincidir con el resultado que aquí seofrece; puesto que en definitiva, bastaría adaptar el esquema a las condiciones que se crea mássatisfactorias.

Si nos fijamos, podremos deducir que hay dos sonidos que específicamente, nunca podríanestar dentro de este árbol, se trata, a un lado, de la nota tónica a la que estas sonoridadesvan a apuntar, y a otro lado, la sensible de la dominante, que apunta hacia la fundamental delacorde y por tanto, tampoco podría jamás tener sitio aquí. Es llamativo que estas dos notasestén, precisamente, a distancia de tritono2

3.1.1. El árbol de Dominante de un modo Mayor

Cuenta con once notas, si bien, como se puede apreciar en el ejemplo ilustrativo en latonalidad de Do Mayor, en realidad sólo son diez sonidos3 dado que dos son enarmónicas(en este caso el sib y la#); se trata de el III’ del menor y la 5ª alterada ascendentemente.Fuera de este detalle, vemos que el tronco estaría constituido por el acorde de séptima deDominante y que tendría ramificaciones a la derecha y a la izquierda; hacia la derecha estaríanlas posibilidades propias del mayor y sus notas alteradas ascendentes, y hacia la izquierda lastomadas, normalmente, del menor, así como las notas alteradas descendentes.

Figura 3.1.1: El árbol de Dominante de Do Mayor

3.1.2. El árbol de Dominante de un modo menor

Los árboles del modo menor surgen partiendo del modelo del modo Mayor, por eso, mantienecon grafemas rellenos las notas propias del modo menor (como la novena menor o el III de estemodo). Básicamente, como se muestra en la figura 3.1.2, los árboles de Dominante de una

2Este detalle, el que estén a distancia de tritono los dos sonidos imposibles para una sonoridad de dominante,será un elemento de apoyo a la hora de visualizar este tipo de esquemas en el Espiropentagrama, ya que,como veremos más adelante, estos dos sonidos están representados en puntos diametralmente opuestos de lacircunferencia, con lo que formarán una especie de diámetro hueco que dividirá como en dos mitades, los puntosde representación de los sonidos participantes: cinco y cinco en la representación del árbol de Dominante delmodo Mayor (exactamente la misma forma que el modo 7 de transposiciones limitadas de Messiaen, comopodemos ver en el apartado 5.2.1.7 en la página 77) y cuatro y cuatro en el del modo menor (véase la fig. 6.3.2en la página 117, para una mayor comprensión de estas palabras).

3Las únicas dos notas que no quedan asumidas en este corpus son: la sensible de la dominante y la propiatónica de la tonalidad en la que esta sonoridad tendrá una función tendencial.


tonalidad Mayor y menor cuentan con un mismo tronco (el acorde de Dominante con séptima)y las ramificaciones de la parte izquierda, careciendo el menor de las de la derecha (que incluyenlas notas alteradas ascendentes o las notas propias como la novena mayor o el III propio delmodo Mayor).

Figura 3.1.2: El árbol de Dominante de La menor

3.2. El árbol de Subdominante-TónicaEste árbol va a servir para esquematizar las posibilidades de combinaciones de sonidos

que va a tener una tonalidad, formando sonoridades que van a desempeñar los papeles deSubdominante y de Tónica dentro del discurso armónico; o sea, no van a tener tendencia aninguna tónica, ni van a colaborar a su confirmación, como sucedía con las sonoridades confunción de Dominante. Sólo hay un sonido imposible para este árbol, que es la sensible, la notapropia de la sonoridad de Dominante. Asimismo, este árbol contaría con dos sonidos exclusivos(aunque no imprescindibles, como sucediera con la sensible, el sonido exclusivo de la sonoridadde Dominante): la tónica y la sensible de la Dominante.

3.2.1. El árbol de Subdominante-Tónica en un modo Mayor

Este árbol en el tono Mayor, como podemos ver en la figura 3.2.1 -en la representación máscompleta de su árbol-, posee once de los doce sonidos (recordemos que además de los propiosde su escala, toma sonidos de la escala homónima menor) e incluso tres de ellos los posee envarias de sus lecturas o enarmonías; en el caso de Do Mayor que vemos en la figura de abajo,son do# o reb, re# o mib y fa# o solb .

Figura 3.2.1: El árbol de Subdominante-Tónica de Do Mayor


3.2.2. El árbol de subdominante-tónica en un modo menor

Tiene dos diferencias principales, sin tener en cuenta los sonidos alterados, con el árbol deSubdominante-Tónica del modo Mayor, que carece del III propio del modo Mayor y que su VI<

posee una tendencia ascendente, propia de las escalas dórica y melódica en las que se justifica,que no se manifestaba en aquella versión. No obstante, vemos que también tiene once sonidos-en esta representación completa que cuenta con sonidos alterados- y que carece únicamentede la sensible entre sus posibilidades. Tal y como pasaba en el árbol propio del modo Mayor,también aparecen tres enarmonías en este árbol; en la menor, que el árbol que se muestra enla figura que ilustra este apartado, serían do# o reb, re# o mib y la# o sib.

Figura 3.2.2: El árbol de subdominante-tónica de La menor

3.3. El árbol TonalComo síntesis de los dos, tenemos esta construcción que muestra en dos pentagramas ambos

árboles: el de Subdominante-Tónica encima, y el de Dominante debajo. Pretende ser un esquemavisual de las posibilidades que ofrece en conjunto, una tonalidad, mostrando con qué sonidoscuenta (que son todos) y cómo se comportan.

3.3.1. El árbol Tonal en un modo Mayor

Ésta sería la síntesis de posibilidades armónicas de un modo Mayor, tanto en sus variantescon función de Dominante, como en las de Subdominante o en las de Tónica. En la figurasiguiente se muestra el árbol Tonal de Do Mayor.


Figura 3.3.1: El árbol Tonal de Do Mayor

3.3.2. El árbol Tonal en un modo menor

Con este tipo de árbol representamos las posibilidades de combinación sonora que tienentodos los sonidos que son posibles en un modo menor, en cualquiera de las tres funciones:Dominante, subdominante o tónica. Para ilustrarlo, en la figura de abajo se presenta el árbolTonal de la menor.

Figura 3.3.2: El árbol Tonal de La menor

3.4. Otro tipo de árbolesLos árboles son simplemente una manera de organizar, una concreción simbólica de una

taxonomía. De esta forma, el que aquí se haya expuesto y se vaya a trabajar con ellos (especial-mente en el apartado dedicado a la modulación en la página 115), no quiere decir que no exista


la posibilidad de aplicar la noción de atribuir unas cabezas de notas y distribuir espacialmenteen el pentagrama un complejo de sonidos con el fin de indicar su idiosincrasia. Así pues, a modode ejemplo, vamos a mostrar otro esquema de trabajo.

3.4.1. Un árbol para la realización contrapuntística

Figura 3.4.1: Un árbol para la realización contrapuntística

El árbol que vamos a ofrecer a continuación, analiza todas las posibilidades que puedenofrecerse, siguiendo los principios del contrapunto renacentista del s. XVI, para construir doscontra-melodías, o sea, dos líneas de contrapunto, para una nota dada cualesquiera (la notadada -que pertenecería a un Cantus Firmus completo-, en la ilustración 3.4.1 de arriba, sería

la representada en el centro como ). De hecho, teniendo en cuenta que los acordes que sepueden utilizar en esta etapa histórica son únicamente los tríadas, podríamos decir que resumelas posibilidades del contrapunto de este período.

Para ello utiliza dos tipos de cabezas: las rectangulares y las elipses y dos tipos de relleno:blanco y negro. La base de inteligibilidad de este árbol descansaría en la oposición de estos dosrangos diferenciales, y su aplicación respondería a las siguientes normas:

1. Sólo se puede escoger una figura negra: el rectángulo o la elipse; pero sí dos figuras blancas.

2. Sólo se puede escoger una figura geométrica: una elipse y un rectángulo.

3. Las figuras negras producen faltas, vigilaremos su llegada desde y salida a una figura deotra especie (puesto que no pueden repetirse estas figuras negras para dos notas consecu-tivas dadas).

4. El rectángulo negro entre paréntesis no se puede utilizar como bajo.

5. La elipse negra entre paréntesis no se puede utilizar si la nota dada está en el bajo.

6. La elipse blanca con el cierre del paréntesis no puede ser bajo en simultáneidad con elrectángulo blanco.

7. El cuadrado negro con la apertura de paréntesis no puede utilizarse de estar a una 5ªdisminuida de la nota dada cuando dicha nota actúe como bajo.


8. Se puede utilizar la nota dada una 8ª por encima o por debajo, pero es preferible evitarhacer esto y se tratará tal y como una nota negra.

9. Para empezar y terminar se utilizará únicamente la nota dada en unísono o a la 8ª superioro inferior.

Capítulo 4

El Espiropentagrama

Figura 4.0.1: Espiropentagrama mudo

Basándose en la ordenación del conjunto de sonidos musicales en una disposición circular,que nos daba un círculo cromático de sonidos, se elabora este dispositivo que permite leersobre un pentagrama construido describiendo una espiral irregular, los sonidos de la escala

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CAPÍTULO 4. EL ESPIROPENTAGRAMA 42

cromática. Es obvio que sería una versión musicalizada de los diagramas de reloj con queentre otros ya han trabajado, como Solomon (1997) y Rappaport (2007). En la figura 4.0.1en la página anterior podemos ver una versión muda del mismo, en el que no aparecen lasalteraciones que podrían servir de guía, para permitir su utilización con cualquier clave musical.Se añaden dos circunferencias marcadas en líneas discontinuas, que pueden ayudar a observarel funcionamiento de la herramienta en su futura disposición sobre una base circular1.

Figura 4.0.2: Espiropentagrama en clave de sol

Como podemos ver en la figura 4.0.2, la apariencia del Espiropentagrama cuando se leañaden las alteraciones -lo que obligaría a una lectura en clave de sol en 2ª línea, en este caso-para servir de guía en su manejo. La idea central de este instrumento es servir a la transposiciónde sonidos, ya que a cada giro de 30o, una nota cualesquiera dispuesta sobre él, comporta una

1El tamaño del Espiropentagrama viene a ser de las medidas de un disco CD o DVD estándar (aproxi-madamente 12 cm de diámetro), de esta forma, para hacer más operativo el instrumento, asentaríamos elEspiropentagrama como fondo inferior en una caja vacía de cedés (de las llamadas tarrinas), como base sobrela que iríamos añadiendo las transparencias que servirían para operar en él, aprovechando tanto el eje central,como, en general, la forma del contenedor de plástico para maniobrar y almacenar mejor las construcciones queelaboremos.


relectura de la misma con un cambio de un semitono. Si el giro se realiza en sentido de las agujasdel reloj, se producirá en sentido ascendente y si es al contrario, en sentido descendente. Almismo tiempo, vemos que las alteraciones describen dos posibilidades de lectura, a una distanciade séptima aumentada; esto servirá para poder atender a las posibilidades de enarmonía másfrecuentes, de un mismo sonido.

Figura 4.0.3: Plantilla de un sonido

De esta forma, teniendo una plantilla de un sonido cualesquiera -y su enarmonía- (véase lafigura 4.0.3 de arriba), al colocarlo sobre el Espiropentagrama daría lugar a las figuras 4.0.4y 4.0.5 que muestran cómo funcionaría el Espiropentagrama, sometiendo a una nota y a suenarmonía a todos los giros posibles, comenzando desde do / si#.


Figura 4.0.4: Las notas en el Espiropentagrama (a)


Figura 4.0.5: Las notas en el Espiropentagrama (b)


Según podemos observar en las ilustraciones, cada sonido (así como su enarmonía) estádistribuido en una de las dos circunferencias concéntricas, que no son visibles, que van cruzandola espiral irregular en la que se inscribe el pentagrama, de forma que da lugar a los diferentessonidos según se van produciendo los giros. Para servir de guía, sobre todo cuando se comparanconjuntos de varios sonidos, se añade una tercera circunferencia concéntrica más pequeña,también invisible, en la que se marca la presencia de un sonido en el esquema. Esto permitiráuna mejor observación de las coincidencias entre sonidos –indistintamente a que sean un sonidoenarmónico o el mismo-, cuando se comparen varios conjuntos, superponiendo plantillas. En lafigura 4.0.6 que vemos a continuación, se muestran estas tres circunferencias, que normalmenteno veríamos, en el Espiropentagrama con un acorde y estas marcas de apoyo.

Figura 4.0.6: Las tres circunferencias del Espiropentagrama

Esta última línea también será de gran ayuda para poder observar las figuras geométricas(véase apartado 5 en la página 55) a que dan lugar los acordes al representarse sobre el círcu-lo cromático. En las páginas siguientes, cuando tratemos cada uno de los acordes tríadas ycuatríadas, veremos cómo en el ejemplo se marca, con líneas discontinuas, el polígono inscrito


determinado, en dicha circunferencia interior sobreentendida, por las marcas de presencia.

4.1. Las marcas de presenciaLas marcas de presencia son unos elementos de apoyo que aparecen en la circunferencia

invisible interior del Espiropentagrama (véase la figura 4.0.6 en la página anterior).

4.1.1. De orden melódico

Cuando la finalidad de un gráfico es trabajar con un motivo melódico, entonces lo idealsería utilizar números que marquen su secuencia de aparición. Pongamos por caso un motivomelódico como el siguiente:

Este motivo tendría la siguiente conversión al Espiropentagrama:

Figura 4.1.1: Marcas de orden melódico


Como podemos imaginar, este modo de trabajo será muy útil para desarrollar imitaciones yotras manipulaciones de orden melódico; siendo de especial utilidad en métodos compositivosque sean eminentemente horizontales como el dodecafonismo. Así podemos verlo en el capítu-lo 7, Aplicaciones del Espiropentagrama, en el apartado de Procesos contrapuntísticos en lapágina 105.

4.1.2. De orden armónico

Para trabajar dentro del campo armónico, nuestra propuesta trabaja con los llamados ár-boles armónicos y es, especialmente dentro de este ámbito donde la aplicación de las marcasde presencia cobra mayor importancia. En este sentido, son símbolos geométricos de seis tiposdiferentes según el tipo de árbol en el que aparecen y el papel que desempeñan en él. Atendiendoa la figura 4.1.2 veríamos que son ocho categorías:

a) notas del árbol Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida,

b) notas del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de llegada,

c) notas del árbol de Dominante de la tonalidad de partida,

d) notas del árbol de dominante de la tonalidad de llegada,

e) sensible de la tonalidad de partida,

f) sensible de la tonalidad de llegada,

g) subtónica de la tonalidad de partida y

h) subtónica de la tonalidad de llegada.

a) b) c) d) e) f) g) h)

Figura 4.1.2: Marcas de presencia en los árboles armónicos

Las diferentes formas de cada una de ellas tienen como finalidad el hacer más sencillala comparación; aparecen huecas las figuras que remiten a los árboles de partida y rellenasaquellas que pertenecen a los árboles de llegada. Los hexágonos pertenecen a los árboles deSubdominante-Tónica y los círculos y cuadrados a los árboles de Dominante.

Estas marcas van a tener dos funciones:

servir de vértices para los polígonos, representaciones de los acordes posibles en cualquiercaso, que los conjuntos de sonidos podrán contener.

marcar los sonidos (del grupo de doce posibles) que aparecen en el conjunto y ayudar asu comparación con otros conjuntos.


4.2. Manejo del EspiropentagramaPara manejar el Espiropentagrama, lo que habría de hacerse sería construir, a partir de

láminas transparentes, plantillas circulares que sirvan para el propósito concreto de estudio.Dado que de manera intencionada el Espiropentagrama tiene las mismas dimensiones que undisco compacto, se puede utilizar uno cualquiera para utilizarlo como modelo -o incluso, direc-tamente y sin tener que preparar nada, usar alguno de los separadores de plástico transparenteque algunas cajas llevan-. Sobre esta lámina escribiríamos con rotuladores indelebles o perma-nentes aquello que queramos utilizar en varias ocasiones y, con rotuladores no permanentes,observaciones sobre casos particulares que podremos borrar tan pronto hayamos acabado deestudiar dicho caso.

4.2.1. Un caso práctico

Más adelante, en el capítulo 6 (página 103) dedicado a las aplicaciones del Espiropenta-grama, se explica con una especial atención su beneficio para el estudio de la modulación(apartado 6.3 en la página 115). Así pues, se utilizan los árboles armónicos (de los que hablá-bamos en el capítulo 3 en la página 31) proyectados sobre el Espiropentagrama; para hacerlo,situaremos una lámina transparente circular de las mismas dimensiones que el Espiropenta-grama sobre el mismo, e iremos escribiendo con un utensilio de escritura resistente al roce lossonidos que aparecen (empleando las cabezas de nota que se proponía para los árboles armó-nicos, evidentemente). Así, lograremos tener las plantillas de los diferentes árboles armónicosde las tonalidades de partida y de llegada. Una vez hecho esto, cuando estemos utilizándolosy comparándolos, es posible que queramos señalar algunos sonidos en concreto que queramosque participen o que hayamos escogido, o las figuras que representen los acordes que puedenparticipar en el proceso. En ese momento utilizaremos rotuladores normales, que no se quedenfijados sobre la lámina transparente para que, de esta forma, podamos no perder las reflexionesque hemos realizado para este ejercicio y además, cuando hayamos acabado, poder borrar todasestas marcas accesorias y variables según el caso particular, utilizando simple y comodamente,un pañuelo de papel.

4.3. Otras propuestas próximasEn esta sección, comentaremos dos utensilios de aspecto similar al Espiropentagrama y que

también ofrecen interesantes aportaciones dentro de la teorética y la práctica musical armónica,analítica e incluso interpretativa.


4.3.1. Simple clock calculator de Larry J. Solomon

Figura 4.3.1: Simple Clock Calculator para el análisis teórico de Conjuntos de sonidos

El Clock Calcutator2 se trata de una circunferencia dividida en doce partes que, como en elEspiropentagrama, representarán los doce sonidos del sistema temperado y ordenados tambiénde la misma forma, cromáticamente (así queda reflejado en la figura 4.3.1 que veíamos arriba).Este utensilio, verdaderamente próximo al que en estas páginas se ha explicado, se ha pensadocon una finalidad expresa, facilitar el análisis de música serial, sirviendo como ayuda paraobtener la Prime Form de Forte y su set name, determinar los subconjuntos de un conjunto desonidos, analizar series, calcular vectores interválicos y una forma de catalogar los sonidos deuna sonoridad que el autor denomina la Solomon prime.

4.3.1.1. Diferencias con el Espiropentagrama

Existen dos diferencias principales entre el Clock Calculator y el Espiropentagrana: la ma-nera de anotar las alturas de los sonidos y su finalidad.

Mientras el dispositivo ideado por Solomon expresa las alturas mediante los nombres delas notas (concretamente siguiendo la nomenclatura inglesa), como bien hemos comprobado, elEspiropentagrama lo hace utilizando un pentagrama en Espiral que permite su lectura comosonidos en una partitura.

Por otra parte, la finalidad, el Espiropentagrama está pensado como una herramienta abiertaen la que se pueden estudiar y comparar las propiedades de cualquier conjunto de sonidos,

2Los datos aquí explicados sobre el Clock Calculator se han extraído de la páginas web Solomon’s MusicResourcesrealizada por el autor, que tiene por URL http://solomonsmusic.net.

http://solomonsmusic.net


elegido en base a cualquier criterio. El Clock Calculator, por su parte, tiene como objetivo lamúsica serial (aunque pueda servir, ciertamente, para otras cuestiones), algo que también esposible observar en el Espiropentagrama; de hecho, siguiendo el modelo propuesto por Solomon,ha sido explicada esta aplicación de la herramienta propuesta en estas páginas, en el apartado 6.4en la página 152.

Aparte de estas dos diferencias capitales, también hemos de tener en cuenta que el Es-piropentagrama, más que servir como guía indicativa de un conjunto de sonidos, atiende alas figuras poligonales que surgen al situarse los sonidos sobre él, de forma que es en funciónde estos polígonos de donde se extrae toda una concepción didáctica que pretende formar alalumno e integrarlo en este lenguaje simbólico, con la finalidad de facilitarle su comprensión,desde su fase de iniciación en los estudios musicales hasta las más evolucionadas. Además, elEspiropentagrama tiene en sí mismo una forma dinámica -no estática o predeterminada- quele va a permitir evolucionar con el alumno en función de sus conocimientos y sus necesidades,y no aportar, únicamente, ayuda a un asunto concreto e invariable, propio exclusivamente deun estadío avanzado de instrucción musical.

4.3.2. La Rueda Armónica de Luis Nuño

Se trata de un dispositivo principalmente orientado a su aplicación en el campo de la impro-visación3 especialmente en la música de Jazz; no obstante, tal y como afirma su autor, puedeutilizarse en música occidental de diversos estilos, con bastante provecho. Se basa en el uso deunas plantillas preestablecidas que al girar, aportan al usuario posibilidades de escalas, acordes,arpegios que aplicar según le pueda interesar, bien sobre un determinado acorde o tonalidad, obien para enlazar entre dos diferentes.

La construcción de esta “Rueda Armónica” se fundamenta en cinco círculos de quintasconcéntricos, expresados en un mismo plano, sobre el que se dispone una lámina transparenteque, utilizando algunas líneas, colores y números, indican los acordes, escalas, etc.

3Aunque la Rueda Armónica ya muestra sus posibilidades orientadas a la improvisación, es más bien otroaparato de similares caracterísiticas, llamado Improchart, también ideado por este autor, el que va a estar másdestinado a estos menesteres.


Figura 4.3.2: La rueda armónica

Las aplicaciones de la Rueda Armónica, según nos explica en las instrucciones que acompa-ñan a la misma, su autor, serían las siguientes:

1. Identificación de notas enarmónicas;

2. Notas consonantes con respecto a una nota concreta y acordes Mayores y menores, au-mentados y de séptima disminuida que la contienen;

3. Notas constituyentes de acordes tríadas Mayores, menores, aumentados y de séptimadisminuida;

4. Tonalidad mayor y menor que se corresponden a una armadura con un número determi-nado de alteraciones;

5. Notas propias de una escala Mayor o menor;

6. Acordes propios tríadas y cuatríadas de los grados de una escala Mayor o menor;

7. Acordes propios de una escala que contienen una nota;


8. Acordes cercanos (con más notas dentro de la escala) y lejanos (con ninguna nota dentrode la escala) respecto de una tonalidad;

9. Transporte de secuencias de acordes a otra tonalidad del mismo modo, o adaptación a sumodo opuesto.

4.3.2.1. Diferencias con el Espiropentagrama

Como primera cuestión que podemos resaltar tras comparar estos dos dispositivos, tendría-mos el hecho de que la Rueda Armónica, según se anuncia en sus propias instrucciones adjuntas,no requiere de conocimientos musicales ya que todo queda escrito con los nombres de las notas.Sin embargo, el Espiropentagrama da los nombres de los sonidos representándolos tal y comose hace en las partituras, esto es, utilizando cabezas de notas que coloca sobre un pentagrama.

Otra diferencia que también se percibe a primera vista al echarle un vistazo a estas dosherramientas, es que mientras la Rueda Armónica se basa en el círculo de quintas, el Espiro-pentagrama lo hace en el círculo cromático. Asimismo, el Espiropentagrama sólo dispone lossonidos en una única línea circular, mientras la Rueda Armónica hace uso de cinco circunfe-rencias concéntricas que disponen las notas sobre doce radios (esto sí sucede igual en amboscasos), estando las notas del mismo radio distantes una tercera menor descendente conformela circunferencia es más externa. Esto lo hace así para aprovechar la relación de las notas queestarían de forma diagonal en la circunferencia adyacente externa, en el siguiente radio a laderecha (notas a un intervalo de tercera mayor ascendente conforme nos separamos del centrode las cinco circunferencias), y así construir los acordes mayores, por ejemplo.

Por otra parte, una vez señaladas las divergencias más notables en la forma de construirse,sería el momento de señalar las diferencias en cuanto a finalidades. Mientras la Rueda Armónicapretende ser una herramienta que aporta unos resultados en el momento y no tiene finalidadespedagógicas, ni colabora a la mayor comprensión de las sonoridades ilustrando sus propiedades osus relaciones. El Espiropentagrama busca conectar figuras geométricas y colores con el aspectosonoro de determinados conjuntos de sonidos, sin embargo, la Rueda Armónica no tiene encuenta ningún tipo de elemento geométrico ni las posibilidades de la policromía, dentro de susresultados o sus acciones.

Otra importante cuestión a señalar es cómo mientras la invención de Luis Nuño aporta todossus resultados desde la misma plantilla única, sin atender a una posible evolución del usuariorespecto del dispositivo, o adaptarse a la necesidad que tenga el usuario en cada momento.Este hecho de usar una única plantilla es más cómodo pero al mismo tiempo resulta en unamayor complejidad y perjudica un tanto su manejo. El Espiropentagrama, por el contrario,está contemplado como una base sobre la que cada uno pueda confeccionar las plantillas quenecesite en función de sus conocimientos y de sus intereses. Incluso, en definitiva, podríamosdecir que el Espiropentagrama tiene como objetivo abandonar el plano físico y quedar asimiladoen el nivel intelectual del sujeto, para que así pueda ser utilizado subliminalmente, sin requerir


tener el objeto en sí.

Capítulo 5

Representaciones poligonales de lassonoridades

El uso de las representaciones poligonales de conjuntos de sonidos, como los acordes, nosva a aportar un acercamiento y comprensión mucho más profundos de sus propiedades y ca-racterísticas, dado que los polígonos a que vamos a adscribir cada acorde no sólo compartenla mayoría de ellas, sino que van a hacerlas aún más patentes con su morfología. Asimismo,será más sencillo entender aspectos complejos de los conjuntos sonoros con que habitualmentetrabaja la música occidental, al asimilarlos a la problemática de la geometría más básica conla que todos, desde niños, estamos más familiarizados.

El aspecto básico elemental que fundamenta esta representación geométrica de los acordes,es la proporcionalidad que existe entre las distancias que se dan a nivel acústico y las que sepueden observar al proyectarlas como cuerdas1 -que serán los futuros lados de los polígonos-de una circunferencia en un espacio bidimensional. Para ejemplificar este hecho, analicemos elejemplo del acorde perfecto menor sobre el Espiropentagrama (podemos ver claramente comoel segmento que correspondería con el intervalo

No sería injusto atribuir gran mérito de la popularidad que este tipo de representacionestienen en la actualidad a los trabajos de David Rappaport (Rappaport, July 31 - August 32005)

5.1. Consideraciones preliminares de las figurasEn este apartado queremos reflexionar hacia ciertos elementos que van a ayudar a entender

mejor qué hace que las figuras sirvan como medio icónico para una observación más rápida delas posibilidades de un conjunto de sonidos (escala, acorde, etc.) cualesquiera.

1Entiéndase la acepción propia del campo de la Geometría que recoge el Diccionario de la RAE de estamanera: Segmento de recta entre dos puntos de un arco.

55

CAPÍTULO 5. REPRESENTACIONES POLIGONALES DE LAS SONORIDADES 56

5.1.1. El diámetro: el tritono

Figura 5.1.1: El tritono representado como un diámetro

Cuando un conjunto de sonidos presenta dos o más pares de notas en el lado opuestode la circunferencia2, o lo que es lo mismo, uno o más pares de puntos que permiten trazardiámetros, podremos deducir que un conjunto cualesquiera de sonidos, representados enel Espiropentagrama, tiene tantos tritonos como diámetros posibles pueden trazarse enla circunferencia imaginaria en la que están representados.

De esto también se puede deducir, aplicando conocimientos básicos de geometría, que acada vez que observemos la aparición de uno o varios ángulos cuya suma o valor, sea de 180º,estaremos ante la existencia de un tritono. En tanto en cuanto, el tritono es una de las marcasprincipales que definen la tonalidad, desempeñando un papel especial dentro de los acordes con

2Para hallar un diámetro podría usarse cualquiera de las tres descritas en el apartado 4 en la página 41, perose observará mejor en la interior, que tiene las marcas de referencia y representa en la misma circunferencialos sonidos, sin atender a las diferencias enarmónicas, que sí contemplan las otras dos y que podrían llevar aconfusión.


función de dominante, cuando aparece un tritono podríamos deducir, algo osadamente quizá,pero cierto, que cualquier acorde que cuente con un tritono puede tener función de dominantey por tanto, servir para determinar una tonalidad. Si además atendemos a las posibilidadesenarmónicas, entonces podríamos añadir que, dado que cualquiera de los sonidos que se hayaa la derecha (en sentido de las agujas del reloj) de los extremos del diámetro, puede ser latónica de una nueva tonalidad, con lo que al mismo tiempo hablaríamos de dos y hasta cuatrotonalidades posibles, cada vez que aparece un tritono o, lo que es lo mismo, su representacióncomo diámetro en el Espiropentagrama.

5.1.2. Un cuadrante: la tercera menor

Figura 5.1.2: La tercera menor como un lado del cuadrado

Este intervalo puede reconocerse también muy fácilmente en el Espiropentagrama porquetiene la forma de una cuerda, geométricamente hablando, que se corta en dos puntos de lacircunferencia con una separación de un ángulo de 90º, o sea, tal y como si fuera un lado


de un cuadrado que quedara inscrito dentro de una circunferencia. De esta manera, es fácilentender que un acorde disminuido contará con dos lados del cuadrado y un acorde de séptimadisminuida no será otra cosa que un cuadrado exacto (véase fig. 5.4.13 en la página 93).

5.1.3. Los ejes de simetría: propiedades, inversión y transposiciónlimitada

En primer lugar hemos de distinguir que, según su situación respecto de un polígono cual-quiera, hay tres tipos posibles de ejes de simetría:

a) el que no pasa por ninguno de los vértices de la figura;

b) el que pasa por uno de los vértices de la figura; y

c) el que pasa por dos de los vértices de la figura.

Si reflexionamos un poco sobre estas tres posibilidades de los ejes de simetría, podemos concluirque los tipos a) y c) sólo pueden aparecer en los polígonos con un número de lados y vérticespar, mientras el tipo b) sólo puede aparecer en polígonos con un número de vértices y ladosimpar.

Las dos cuestiones que se van a tratar en este apartado son de pleno interés para la observa-ción de las propiedades que se infieren -también con ayuda de sus representaciones poligonales-del estudio de los modos de transposición limitada de Olivier Messiaen, estudiados en el apar-tado 5.2.1 en la página 72.

5.1.3.1. Propiedades derivadas de la simetría

El identificar los ejes de simetría de una figura poligonal, representante de un grupo desonidos cualquiera, va a ser de extrema utilidad dado que nos va a proporcionar dos datos conrespecto a dicha agrupación:

el número de maneras diferentes que puede ordenarse ese grupo, que llamaremos ’sub-grupos’ (ejemplo: con las siete notas diatónicas: do, re, mi, fa, sol, la y si, se dan sietemaneras diferentes -los siete modos- de ordenarse el grupo);

y el número de veces que una determinada manera de ordenarse -de dicho grupo- va aaparecer -partiendo de diferentes sonidos-, que llamaremos ’versiones’ de esos subgrupos(ejemplo: un acorde de séptima disminuida tiene una única manera de ordenarse que,partiendo cada vez de uno de sus sonidos, va a aparecer cuatro veces).

Estos datos los vamos a obtener en función de estas dos relaciones con el número de ejes desimetría, respectivamente:

sonidosejesdesimetrı́a

= nº subgrupos diferentes


nº ejes de simetría = versiones de cada subgrupo

Para que quede más claro este apartado, llevaremos a la práctica estas dos afirmacionestrabajando con un grupo de cuatro sonidos con unas peculiares manifestaciones de simetría, elacorde de Dominante con séptima con la quinta rebajada, que en segunda inversión llamaríamossexta aumentada Francesa (acorde estudiado en el apartado 5.4.3.2 en la página 96), cuyarepresentación responde a la forma de un rectángulo. Si buscamos los ejes de simetría de estepolígono, veremos que son dos (cf. fig. 5.1.3)

Figura 5.1.3: Representación del acorde de sexta aumentada Francesa con sus ejes de simetría

Así pues, nuestros resultados observando este acorde serían:

Dividiendo sus cuatro sonidos entre sus dos ejes de simetría, obtenemos que habría dosmaneras de ordenar diferentes (lógicamente, una empezando desde un lado pequeño y otradesde un lado grande) que corresponderían con dos maneras de interpretar este grupo desonidos: como un acorde de Séptima de Dominante con la quinta rebajada o como unacorde de séptima de sensible con la tercera elevada.

Dado que tiene dos ejes de simetría, cada uno de estas dos posibles maneras de ordenar lossonidos, aparecerá dos veces; esto es, hay dos acordes de Dominante con séptima con laquinta rebajada y dos de séptima de sensible con la tercera elevada, de cuatro tonalidadesdiferentes.

Creo que es innecesario señalar lo ventajoso que resulta el poder deducir con tanta rapidez,las propiedades enarmónicas de un grupo de sonidos, especialmente con fines modulatorios, ycómo, una vez aprendido este sencillo método, se pueden obtener resultados con mucha mayorbrevedad que si lo hubiésemos intentado simplemente atendiendo a las notas constitutivas delacorde.

Comparativamente, por otra parte, el conocer el número de ejes de simetría es una pistaimportante para comparar superficies de polígonos dado que podemos afirmar sin dudarlo que,con dos conjuntos con igual número de sonidos, tendrá mayor área el que posea mayor númerode ejes de simetría. El valorar el área de una representación poligonal tendrá cierta consecuenciaen su grado de consonancia que trataremos con detenimiento más adelante, en el apartado 5.1.4en la página 62.


5.1.3.2. La inversión

Todo eje de simetría que aparezca en una figura poligonal cualesquiera, como resultado de larepresentación de un conjunto de sonidos en el Espiropentagrama, va a implicar la posibilidad deinvertir el sentido de lectura (como las agujas del reloj o a la inversa) de los sonidos implicados -locual a nivel musical respondería a la posibilidad de leer del mismo modo de forma ascendenteque descendente-, siempre que se lea desde cualquiera de los dos puntos de intersección decualquier eje de simetría con la figura poligonal que habíamos obtenido hasta dar una vueltacompleta llegando otra vez al punto de intersección de partida. Es decir, desde un punto deintersección de un eje de simetría con la figura, hasta este mismo punto, podemos leer haciala derecha o hacia la izquierda, que encontraremos el mismo orden de intervalos, o sea, igualsecuencia en sentido ascendente que en el descendente, y consecuentemente, sin que cambieninguno de los sonidos que participan del mismo. Sería una especie de conjunto de sonidos conpalíndromo.

Para ilustrar nuestras palabras vamos a tomar una figura importante de nuestra culturamusical: las siete notas diatónicas. Este conjunto está tratado, en lo que respecta a su represen-tación y cualidades, en el apartado 5.3.1 en la página 79. Si observamos la fig. 5.1.4 de abajo,podemos comprobar cómo el heptágono que representa la escala diatónica posee un único ejede simetría. Sin embargo, esto le va a posibilitar ser invertible en un orden ascendente o des-cendente desde dos puntos: el sonido re, y entre el sonido sol y la -ya que está entre los dos-.Esto no es otra cosa que la igualdad de intervalos en un sentido que en otro desde estos puntos,o sea: re-mi-fa-sol-la-si-do-re tiene los mismos intervalos (2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor, 2ªMayor, 2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor) pero en sentido ascendente en lugar de descendenteque re-do-si-la-sol-fa-mi-re; del mismo modo que sucede con la-si-do-re-mi-fa-sol3 (2ª Mayor, 2ªmenor, 2ª Mayor, 2ª Mayor, 2ª menor, 2ª Mayor) y sol-fa-mi-re-do-si-la.

3No alcanza la octava, como en el caso anterior de re, porque el punto de intersección del heptágono con eleje de simetría está entre el sol y el la, por eso, tomará una de estas notas como punto de partida pero no podrállegar hasta esta nota de partida.


Figura 5.1.4: Heptágono diatónico con eje de simetría

5.1.3.3. La transposición limitada

Igualmente, se puede conocer cuántas veces se puede disponer un conjunto de sonidos sobrelas doce alturas del sistema temperado, sin que éste se repita4. Para ello, basta con dividirel número de alturas posibles del sistema temperado, o sea, doce, entre el número de ejes desimetría que posea el conjunto de sonidos con el que se está trabajando. Es decir, el númerode ocasiones que un conjunto de sonidos puede transportarse sin que se repitan sus sonidosintegrantes, responde a esta igualdad:

12ejes de simetria

= transposiciones posibles

Veámoslo con un ejemplo, si tomamos el acorde tríada aumentado5 (cf. figura 5.1.5 adjunta)podemos observar con facilidad que tiene tres ejes de simetría; de este modo, aplicando la

4En este sentido, son especialmente notables los conocidos modos de transposición limitada de Messiaen,modos que pueden transportarse -sin repetir los sonidos que en ellos participan-, sólo un número contado deocasiones. Se tratará con detenimiento de ellos en el apartado 5.2.1 en la página 72.

5Que se analiza con mayor exhaustividad en el apartado 5.4.1.3 en la página 84.


fórmula con que sintetizábamos la explicación anterior, procederíamos de la siguiente forma:123 = 4, ergo este acorde puede transportarse sólo cuatro veces, sin que sus sonidos se repitan6.

Figura 5.1.5: Tríada aumentado con sus ejes de simetría

De nuevo, destaca la manera tan sencilla de conocer este dato respecto de los conjuntosde sonidos, que de una manera habitual (que podríamos asimilar con “la cuenta de la vieja”)nos llevaría una considerable mayor cantidad de tiempo. Quedan invitados a probarlo tomandocomo objeto cualquiera de los modos de Messiaen que se explican y se representan, en susrespectivos subapartados, desde la página 72.

5.1.4. El área, un índice orientativo del grado de disonancia

Antes que nada, parece conveniente definir qué entendemos por disonancia; para hacerlohemos de conectar directamente con el concepto antónimo, el de ’consonancia’. Si tomamosla definición de este último término aportada en el New Grove Dictionary, podemos leer que“Acústicamente, se trata de la vibración simpática de ondas sonoras de diferentes frecuenciasrelacionadas según la proporción de pequeños números enteros; psicológicamente, es una sono-ridad armoniosa de un conjunto de dos o más notas, es decir, ’ausente de asperezas’, ’reposode una tensión tonal’ o el gusto”. En consecuencia, según se desarrolla en esta misma fuente,’disonancia’ “es por lo tanto, el antónimo de consonancia, con correspondencia a los criteriosde ’aspereza’ y de ’tensión tonal’, y la dimensión consonancia-disonancia admite una gradaciónrelativa basada en cualquiera de estos criterios. El criterio de ’aspereza’, sin embargo, impli-ca un juicio psicoacústico, mientras la noción de ’reposo de una tensión tonal’ depende de laconexión con el ’lenguaje’ de la armonía tonal occidental. Hay un uso psicológico más amplio

6Concretamente las cuatro transposiciones posibles del acorde tríada aumentado corresponderían con estoscuatro grupos de sonidos: do-mi-sol#, reb-fa-la, re-fa#-la# y mib-sol-sib. Como podemos apreciar, ningún sonidose repite entre las cuatro posibilidades y, si intentamos partir de cualquier nota posterior al mib, el resultadosería un acorde enarmónico de los cuatro ya citados.


del término para referirse a preferencias estéticas, este criterio generalmente se aplica en fun-ción de lo placentero de una sonoridad”. Por otra parte, podríamos leer qué nos dice Zamacois(1997) en su primer tomo del libro de Armonía, recogiendo las explicaciones de Pedrell: “Laconsonancia es una combinación de reposo que podemos llamar estática, y la disonancia, unacombinación de movimiento o dinámica. La disonancia es una voz mantenida como con vio-lencia fuera de la armonía. El oído desea que la disonancia se resuelva, esto es, que se mueva,para que vuelva a su centro, que es la armonía”; una explicación, como podemos ver, basadaen criterios centrados en el ámbito psicológico.

Una vez observado el concepto, podemos deducir que se trata de algo subjetivo, que ha idovariando a lo largo de la historia, así como entre las diferentes culturas musicales. Si añadimosel hecho de que no sólo los criterios para la catalogación de las sonoridades han variado, sino quetambién han cambiado los propios sistemas de afinación que los sustentaban, comprenderemosque es muy difícil aportar unas coordenadas estables e indiscutibles, con que describir losintervalos y su gradación de consonancia, siquiera restringiéndose a un único período de lahistoria y en una sola tradición cultural musical. No obstante, tras un estudio detallado, sepodría deducir qué características y gradación puede atribuírsele a un determinado corpusmusical; con estas conclusiones, podría elaborarse las premisas que aplicar al Espiropentagramapara utilizarlo como herramienta de ayuda con este fin.

En cualquier caso, como referencia fundamental para las ideas aquí expresadas, conectandoel valor del área de figuras poligonales que representen conjuntos de sonidos, con un análisis desus cualidades, es imprescindible citar los trabajos de D. Rappaport7, que han sido de notableinfluencia y han servido de punto de partida para esta parte del capítulo que nos ocupa.

5.1.5. Aplicación a nuestro sistema tonal

5.1.5.1. Consideraciones preliminares sobre intervalos consonantes y disonantes

En el caso que nos ocupa, la música tonal de lo que Piston llamaría “la práctica común”, ytomando las palabras de S. Seguí (1987) en su tomo I de su Teoría Musical (pp. 89-90):

En la época actual es comunmente aceptada la siguiente clasificación de los intervalos ar-mónicos en:

a) consonancias perfectas o invariales (los intervalos de cuarta, quinta y octava justas);

b) consonancias imperfectas o invariables (las terceras y sextas, mayores y menores);

c) disonancias absolutas o diatónicas (las segundas y séptimas, mayores y menores);7Es conveniente señalar que Rappaport, principalmente en un artículo de 2007) ya hizo un trabajo haciendo

ver cómo las escalas diatónicas, la escala hexátona y la escala octatónica o disminuida, representadas comopolígonos proyectados sobre un diagrama de reloj, tienen el mayor área posible que los grupos de 6, 7 u 8sonidos (de entre 12), respectivamente, pueden tener.


d) disonancias condicionales o cromáticas, también denominadas aparentes o artificiales (lasque enarmonizando alguno de los sonidos que las forman quedan convertidas en unaconsonancia);

e) intervalos armónicos neutros, también denominados semiconsonantes o mixtos y asimismoconocidos como disonancias atractivas (la cuarta aumentada y la quinta disminuida, cuyascaracterísticas no hacen aconsejable su inclusión ni entre las consonancias ni entre lasdisonancias8).

Por no restringirnos a un solo autor, aunque sea bastante representativo, veamos cómo Zamacois(1997, pág. 21) lo resuelve de otro modo, si bien bastante próximo:

a) Consonancias perfectas: la 8ª justa (o su reducción, el unísono), la 4ª justa (o perfecta omenor) y la 5ª justa (o perfecta o mayor);

b) Consonancias imperfectas: la 3ª y la 6ª mayores y menores;

c) Semiconsonancias: la 4ª aumentada (o tritono o mayor) y la 5ª disminuida (o falsa o menor);

d) Disonancias absolutas: la 2ª y la 7ª mayores y menores y todos sus enarmónicos;

e) Disonancias condicionales: los intervalos aumentados y disminuidos que resultan enarmó-nicos de un intervalo consonante.

Una vez repasadas estas dos catalogaciones, evidentemente próximas, de los intervalos en con-sonancias y disonancias, tan vigentes al menos, dentro del canon académico de nuestro país,debemos señalar cómo, en ambos casos, el tritono queda un poco en suspenso y en una situaciónintermedia entre las consonancias y las disonancias; este hecho será de especial importancia enlíneas posteriores.

5.1.5.2. El parámetro inmensurable: la subjetividad de la tradición

Es difícil establecer un principio que responda a principios objetivos medibles, cuando setrata de un asunto que implica tanta subjetividad. Baste citar un caso sencillo, para hacernosreflexionar, ¿qué acorde es más disonante: el séptima de sensible o el séptima de Dominante?Es probable que la mayoría respondiera que el primero de estos dos, es más disonante; tantoes así, que las normas de la Armonía nos enseñan que se debe manejar con mucho más receloeste acorde construido sobre el séptimo grado que ese otro que se construye sobre el quinto. Sinembargo, si observamos los intervalos que los componen:

8Continuando las palabras de S. Seguí: Sin embargo, dado su carácter de inestabilidad, que parece exigir unaresolución obligada, ha llevado a la común aceptación de considerarlos como disonancias atractivas.


Séptima de sensible Séptima de Dominante3ª Mayor 3ª menor3ª menor 3ª menor3ª menor 3ª menor3ª menor 3ª Mayor

nos daremos cuenta de que se trata de los mismos intervalos, podríamos decir que sonacordes equivalentes en cuanto a su grado de disonancia -de hecho, esto se puede apreciar conceleridad viendo las figuras 5.4.9 (en la página 89) y 5.4.7 (en la página 87) que los representany permiten observar que no son más que un reflejo el uno del otro-. Empero, la realidad acústicaes que en ningún caso se considera equivalente su nivel de disonancia, esto se debe a que elpeso de la tradición y el uso que han tenido estos dos acordes a lo largo de la misma, ejerceun papel determinante en el juicio sobre los usos, las sugestiones y las normas, que estos dosacordes poseen.

5.1.5.3. En grupos con un mismo número de sonidos

Después de haberse señalado la drástica influencia de la tradición cultural, con el ejemplo delapartado anterior, sobre dos acordes con el mismo número de sonidos, parece difícil argumentarcómo va a racionalizarse o enunciarse cualquier tipo de norma que pueda ser válida. No obstante,nos fijaremos en un hecho sencillo y éste es que, en su proyección sobre el Espiropentagrama,los sonidos que forman intervalos disonantes (las segundas serían iguales que las séptimas9) seencuentran muy próximos entre sí, por lo tanto, se representan con las cuerdas de menor longitudque pueden aparecer, de forma que, obviamente, darán lugar a polígonos de menor superficie.De este modo, podríamos afirmar que, siendo la representación de dos acordes distintos, dospolígonos cualesquiera, tendrá mayor grado de disonancia, aquel que menor superficie de losdos posea. Finalmente, aclararemos que, aunque los resultados no sean siempre acordes conlas consideraciones estéticas establecidas, la apreciación de qué superficie (entre dos acordesrepresentados por dos polígonos) es mayor10, es bastante más sencilla e intuitiva de aplicar quelo que pueda parecer desde el papel. Pongamos por ejemplo estos dos conjuntos a) y b) de tressonidos, sonidos que vemos en la figura 5.1.6 de a continuación.

9Anotemos el hecho de que en el Espiropentagrama no existe un intervalo más grande que la 4ª aumentada,ya que los intervalos mayores a este son idénticos en distancia a los resultantes de su inversión, o sea, una 5ªJusta es igual que una 4ª Justa.

10Ofrecíamos una ayuda a este respecto, que parece conveniente recordar aquí, en el apartado sobre laspropiedades derivadas de la simetría, en la página 58; ésta era que, a igualdad de número de sonidos, tendrámayor superficie el polígono que tenga mayor número de ejes de simetría.


a) b)

Figura 5.1.6: Comparación de superficies

No parece difícil afirmar que el conjunto a) que vemos a la izquierda, es más pequeño y, portanto, según lo dicho, más disonante que el b) que vemos a la derecha. De hecho, observandolos lados de estos dos triángulos con detenimiento, podríamos incluso distinguir cómo dos deellos son iguales (concretamente el que les sirve de base y el que aparece a la derecha) y quesólo difieren en el lado de la izquierda, que en el caso de a) debe representar un intervaloclaramente menor. Bien, todas estas observaciones son correctas ya que en el caso de a), losintervalos constituyentes eran: 2ª Mayor, 3ª menor y 4ª justa (por ejemplo los sonidos do, rey fa), mientras b) tenía los siguientes: 3ª menor, 3ª Mayor y 4ª Justa (en sonidos sería unacorde Mayor, por ejemplo sib, re y fa). Hacemos ver pues, que no se trata de un complicadoproceso matemático en el que haya realizar medicción alguna o aplicar, lápiz en mano, lasdiversas fórmulas para el cálculo de área correspondientes al polígono concreto con que se estétrabajando. No obstante, para aquellos que busquen un mayor grado de precisión en casoscomplicados de valorar a simple vista, se puede utilizar el coeficiente de consonancia, segúnqueda explicado más adelante, en el punto 5.1.5.5.

Para aclarar aún más la forma de aplicar esta orientativa inferencia que posibilita el Espi-ropentagrama, veámoslo con otro ejemplo con acordes cuatríadas, tomemos los dos acordes denovena de dominante, el de novena Mayor y el de novena menor, en su representación sobre elEspiropentagrama con la forma de dos pentágonos, como vemos en la figura 5.1.7.

Figura 5.1.7: Novenas de Dominante Mayor y menor


A simple vista parece evidente que la novena de Dominante Mayor, tiene mayor superficieque la novena menor; si no, fijémonos en la parte del polígono que da lugar a la diferencia, eltriángulo descrito por un lado por las notas: sol-la-si, y por el otro: sol-lab-si. La idea y utilidadde la observación que hacemos en este apartado esta, que es fácil -en la inmensa mayoría decasos y a pesar de lo que podría suponerse- distinguir qué figura tiene mayor área. Así pues,la conclusión sería que el acorde más disonante, según las premisas que hemos enunciado, es elde novena de Dominante menor.

5.1.5.4. En grupos con diferente número de sonidos

Es fácil inferir que, por lo general, un polígono que posea mayor número de lados seráconsecuentemente más grande; sin embargo, no parece coherente deducir en consecuencia que,a mayor número de notas exista mayor grado de consonancia. De hecho, sería precisamentelo contrario, lo que adoptaríamos como norma básica, esto es, ante dos acordes con diferentenúmero de sonidos, aquel que posea mayor número de sonidos será el que se considerará másdisonante.

Esto, obviamente, no atiende a infinidad de casos particulares y trata simplemente de resol-ver la cuestión en concordancia a la lógica de la inmensa mayoría de comparaciones posibles. Sise busca un resultado más objetivo y cuantificable se puede hallar el coeficiente de consonancia-a través del método que se explica en el próximo apartado- de las dos figuras y, entonces sí,extraer consecuencias de su comparación.

5.1.5.5. El coeficiente de consonancia

El coeficiente de consonancia sería un índice numérico que aportaría una cierta objetividada la hora de comparar acordes. Para hallarlo el proceso será sencillo, una vez calculada lasuperficie11 de las figuras estudiadas, se divide el resultado obtenido para cada una de ellaspor el producto del cuadrado del número de lados que posee y el área del círculo en el que seinscribe dicha figura. Es decir, el cálculo del coeficiente de disonancia respondería a la siguientefórmula:

coeficiente de consonancia = superficie figurasuperficie cı́rculo (nº lados)2

Así pues, si por ejemplo tenemos un acorde tríada perfecto Mayor (exactamente igual encuanto a superficie que el perfecto menor) con un área determinada - en este ejemplo de 18234-,dividiríamos esta cantidad entre el cuadrado de sus lados -o sea nueve- multiplicado por el áreadel círculo -51806 en este caso-, y obtendríamos como resultado 0,039107439. Si quisiéramos

11Para calcular la superficie de polígonos, además de los métodos de cálculo tradicionales ofrecidos por lageometría, existe a día de hoy, diversos programas de software -normalmente pluggins de programas de ediciónde imagen o de diseño- que permiten su cálculo con exactitud. Para los cálculos ofrecidos en este apartadohemos utilizado una de estas herramientas informáticas, de forma que los números que aparecen se refieren alnúmero de píxeles que contenía cada figura.


saber si este acorde es, proporcionalmente, más o menos disonante que el de séptima de domi-nante, por ejemplo, haríamos la misma operación con la figura de dicho acorde y obtendríamosun resultado de 0,036273549. De este modo, dado que el coeficiente de consonancia del tríadaperfecto mayor es una cantidad más grande, podemos concluir que se trata de un acorde másconsonante, teniendo en cuenta la proporcionalidad de que se trata de sonoridades (polígonos)con diferente cantidad de sonidos (vértices o lados).

En el cuadro 5.1 podemos ver una tabla ordenada en función a su coeficiente de consonancia(arriba los más consonantes, abajo los más disonantes), de los acordes tríadas y cuatríadas máshabituales en la música tonal de nuestra cultura occidental.

Acorde Figura Coeficiente de consonancia

Tríada aumentado 0,044130453

Séptima disminuida 0,039413871

Perfecto Mayor 0,039107439

Perfecto menor 0,039107439

Perfecto menor con 7ª menor 0,036516041

Perfecto Mayor con 7ª menor 0,036273549

Disminuido con 7ª menor 0,036273549Tríada disminuido 0,033921425

Perfecto menor con 7ª Mayor 0,031172789

Aumentado con 7ª Mayor 0,031172789

Perfecto Mayor con 7ª Mayor 0,030883247

Cuadro 5.1: Coeficiente de consonancia de tríadas y cuatríadas

5.1.5.6. Excepciones notorias

Dentro de las sonoridades habituales de las piezas tonales, encontramos dos casos que,siendo casos muy particulares, se oponen, como consecuencia estética de nuestra tradición, ala norma básica dada en este apartado (a mayor área, mayor consonancia)12. Se trataría de losdos acordes de mayor superficie de entre los de tres y cuatro sonidos y que, además, según elcuadro comparativo de coeficientes de consonancia recogido en el apartado anterior, serían losmás consonantes de todos. Hablamos, evidentemente, del acorde tríada de quinta aumentada

12En cualquier caso, creo que sus circunstancias resultan igualmente particulares dentro del ámbito de lanormativa tradicional, puesto que, estrictamente hablando, aunque ambos se traten como acordes disonantes,las únicas disonancias que en ellos aparecen son, en terminología de Zamacois, disonancias condicionales, esdecir, que son equivalentes a intervalos consonantes.


y el acorde de séptima disminuida. Ambos se tratan específicamente en los apartados 5.4.1.3(página 84) y 5.4.2.7 (página 93), respectivamente.

Como argumentación en defensa de la clasificación que el coeficiente de consonancia lesatribuye, aparte del cómodo argumento de que su condición de disonantes deriva del peso dela tradición, tenemos el hecho de que ninguno de los dos acordes, en realidad, posee ningúnintervalo disonante, todos sus intervalos constituyentes son consonantes o semiconsonantes. Enel séptima disminuida tenemos tres terceras menores, obviamente consonantes, dos quintas dis-minuidas (que según la taxonomía ofrecida en el punto 5.1.5.1 en la página 63, no serían másque intervalos semiconsonantes, pero nunca disonantes) y una séptima disminuida, completa-mente enarmónica de una sexta mayor (equivalente a otra tercera menor), también consonante;por otro lado, en el tríada de quinta aumentada tenemos dos terceras mayores, consideradasconsonancias, y una quinta aumentada que una enarmonía incuestionable de una sexta menor(equivalente a otra tercera mayor), consecuentemente también consonante. De esta forma, suregularidad, su simetría y su ausencia de disonancias, pueden considerarse un punto a favor pa-ra respetar su posición en el ranking de consonancia; al igual que esperamos pueda respetarse,aunque no deje de ser discutible, la observación que aquí se propone como índice orientativo:que el área de las representaciones poligonales -y en consecuencia lo que hemos denominado elcoeficiente de consonancia- puede servir para valorar su grado de consonancia como conjuntode sonidos y servir para compararlo con otros.

5.1.5.7. La propuesta de Hindemith

Tratando, como lo hemos hecho en este apartado, sobre una manera de clasificar los acordesen función de su grado de consonancia y de disonancia, parece que sería un lamentable olvidono recoger, y de alguna forma comparar, en estas líneas, la interesante aportación que hicieraa este respecto, el compositor Paul Hindemith13 en su volumen I de Unterweisung im Tonsatz(1937-70). En cualquier caso, parece conveniente recordar que las consideraciones que realizóeste destacado compositor alemán, fueron utilizando una afinación derivada de la serie armónicay no del sistema de temperamento igual, como hacemos en nuestro caso.

Su clasificación de los acordes dependía directamente de su catalogación de los intervalos-que situaba el tritono en una categoría aparte, ni consonante ni disonante-, de forma que losdividía en dos tipos principales: las combinaciones sin tritono y las combinaciones con tritono.Cada una de estas clases se subdividía a su vez en tres categorías:

acordes sin segundas ni séptimas,

acordes con segundas y séptimas,

y acordes indeterminados14.13Para esta subsección, ha sido de especial interés el artículo, citado en la bibliografía, de Ortmann (1940).14Este último grupo incluye entre otros los tríadas normalmente llamados aumentado y disminuido.


Básicamente, según nos dice este autor, la energía armónica existe en función del desplazamientodel peso armónico y de las relaciones entre las clases de acordes que acabamos de enunciar.Así pues, los acordes con segundas, séptimas y tritonos, tienen una mayor tendencia hacia laprogresión armónica que aquéllos también con segundas y séptimas, pero sin tritonos. Estosúltimos, por su parte, tienen una mayor energía armónica que aquellos sin segundas ni séptimas.

Como podemos apreciar fácilmente, esta clasificación difiere de la forma acostumbrada entres aspectos principales: los acordes no se construyen obligatoriamente por terceras, la ideausual de inversión como factor trascendente no resulta suficientemente convincente y el signifi-cado múltiple (cambio de notación, simplemente) de una misma combinación de sonidos no secontempla. No creo que sea necesario comentar que, así como hace Hindemith, sucede tambiénen la propuesta que se ofrecía por nuestra parte, en los apartados anteriores.

5.2. Las divisiones simétricas regulares de la circunfe-rencia

Si tenemos en cuenta que nuestro sistema de afinación temperado divide la octava en docesectores iguales, comprenderíamos que las posibles divisiones regulares, en definitiva, de laoctava, son las mismas que los divisores posibles del número 12; o sea: 1, 2, 3, 4, 6 y el propio12. Cada uno de estos factores va a dar lugar a una escala o acorde típico, así la división decada sonido da lugar a la escala dodecafónica de 12 sonidos (podemos verla representada en lafigura 5.2.2 en la página 72), cada 2 da lugar a las dos escalas hexátonas o de tonos enteros15

(así se ve en la figura 5.2.1 en la página siguiente), cada 3 da lugar a la escala trifónica16 o a lostres acordes disminuidos conocidos (véase figura 5.4.13 en la página 93), cada 4 obtendríamos laescala tetrafónica o los cuatro acordes aumentados posibles (podemos verlos en la figura 5.4.4en la página 84), cada 6 tendríamos grupos de dos notas que forman la escala bifónica o eltritono (como se ve en la figura 5.1.1 en la página 56) y, por último, podríamos considerarde cada doce sonidos, cada sonido aislado, o sea, sólo una nota, como veíamos en las figuras4.0.4 (pág. 45) y 4.0.5 (pág. 46) que mostraban los 12 sonidos de nuestro sistema temperado(incluyendo sus enarmonías más frecuentes).

15Que se correspondería con el modo 1 de transposiciones limitadas de Messiaen.16La nomenclatura de estas escalas ha sido extraída de la página 9 de la publicación de M. A. Mateu (2006),

citada en la bibliografía.


Figura 5.2.1: La escala hexátona


Figura 5.2.2: La escala dodecafónica

Y ahora pasamos a estudiar, como caso especialmente notable, de divisiones simétricas dela circunferencia, los modos de transposiciones limitadas de Messiaen.

5.2.1. Modos de transposiciones limitadas de Messiaen

Se trata de siete modos que se caracterizan por tener un número determinado de transposi-ciones posibles, esto es, que se pueden transportar sólo un número limitado de veces17, puestoque tras ese número de veces se produce una repetición del mismo conjunto de sonidos, aunquetomando otra nota de comienzo. Para estudiar con detenimiento estos modos se recomiendatener presente lo que se comentó sobre los ejes de simetría en las representaciones poligonalesdel Espiropentagrama, en el apartado 5.1.3 en la página 58, puesto que su pertinencia y utilidadpara el estudio de estas escalas sintéticas diseñadas por Messiaen son irrebatibles.

17Ya lo veíamos en el subapartado 5.1.3.3 en la página 61 dedicado específicamente a esta cuestión.


5.2.1.1. Modo 1 de transposición limitada de Messiaen

Coincide con la escala hexátona, que veíamos en la figura 5.2.1 en la página 71 y tiene, porlo tanto, una división regular de los sonidos y sólo dos posibles transposiciones.


Esta escala correspondería con un conjunto de ocho sonidos que, alternadamente, se vanseparando uno y dos semitonos. Aparece ya en Sadko de Rimsky-Korsakov, si bien, Scriabin lousa de forma más consciente y también aparece de forma pasajera en Ravel y Stravinsky. Tieneúnicamente tres transposiciones -al igual que el acorde de séptima disminuida-.

Figura 5.2.3: Modo 2 de Messiaen


De forma similar a como se organizaba la escala anterior, dividida en segmentos alternantesde intervalos fijos, ésta se divide con la secuencia: un tono, un semitono, un semitono, y asíselecciona los nueve sonidos que la componen. Es un modo que tiene cuatro transposiciones


-como sucede con el acorde aumentado-.

Figura 5.2.4: Escala 2-1-1 de Messiaen


También con ocho sonidos, este modo parece tener dos tetracordos claramente diferenciados,equidistantes a una tercera menor respectivamente y constituidos, cada uno, por cuatro sonidosa distancia de semitono. Tiene en total seis transposiciones.




Como si se tratara del hermano menor del modo 4, tiene la misma forma, sólo que únicamentecon seis sonidos en total, pero igualmente separado en dos tricordos (con tres sonidos separadospor un semitono cada uno) distantes entre sí una tercera mayor. Al igual que ocurría en elmodo 4 también tiene seis transposiciones.




Este modo, también con seis transposiciones, está constituido por ocho sonidos y está muyemparentado con el modo anterior. Los dos sonidos que diferencian el modo 5 y el 6 estáncolocados acortando la distancia de tercera mayor que separaban los sonidos en el modo cinco,de forma que son como dos puntos intermedios entre estos dos grupos de tres sonidos -entre sía medio tono cada uno- en el punto intermedio de la tercera mayor, o sea, a una segunda mayorde cada uno de los dos grupos.




El último de los modos de Messiaen tiene diez sonidos y viéndolo en su proyección sobre elEspiropentagrama, podemos apreciar cómo está totalmente emparentado con los modos 4 y 5,de los que parece simplemente, una ampliación en dos sonidos. Tal y como aquéllos con los quelo relacionamos, tiene únicamente seis transposiciones.



5.2.2. Otros casos

5.2.2.1. El acorde de quinta aumentada

Se tratará más adelante, dentro del apartado de los acordes tríadas en el subpunto 5.4.1.3en la página 84.

5.2.2.2. El acorde de séptima disminuida

Podemos encontrarlo, en la página 93, en el subapartado 5.4.2.7.

5.2.2.3. La sexta aumentada francesa.

Véase el subapartado 5.4.3.2 en la página 96.


5.3. Las divisiones simétricas irregulares de la circunfe-rencia

Aquí incluiríamos otros grupos de sonidos que manifiestan simetría a la hora de dividirla octava musical, pero no entre cada uno de sus elementos. Una parte importante de estasmanifestaciones sonoras son construcciones derivadas de la especulación del siglo XX, aunquetambién podemos encontrar casos que existen con carta de naturaleza, dentro de la tonalidad,desde mucho antes.

La escala Mayor mixta

5.3.1. El heptágono diatónico

Como caso principal de divisiones regulares no periódicas tendríamos los diferentes tiposde escalas diatónicas18, entre las que se cuentan las escalas mayor y menor, así como todas lasescalas de los modos medievales; todas ellas formadas en base a diferentes rotaciones de unaformación cuya representación correspondería con un heptágono irregular, pero que cuenta sinembargo, con un eje de simetría, como podemos ver más abajo, en la figura 5.3.1.

Figura 5.3.1: El heptágono diatónico

Si estudiamos esta figura nos daremos cuenta de que, sólo con observarla ya podemos deducirmuchas de las características que van compartir los diferentes modos y escalas diatónicas; todasposeen sólo dos semitonos (dos puntos contiguos en el Espiropentagrama), un único tritono(sólo podemos trazar un diámetro con los vértices que forman este heptágono), cinco sonidosseparados a distancia de un tono (los lados grandes del heptágono), cuatro terceras menores(los lados que se formatían con estos vértices de un posible cuadrado imaginario inscrito en lacircunferencia del Espiropentagrama), etc. (véase el cuadro 5.2 en la página siguiente).

18Recordemos que, según nos dice el New Grove Dictionary en su voz “Scale”, son escalas diatónicas aquellasque contienen un conjunto de sonidos dentro de una octava, con la siguiente determinación de intervalos: cincotonos y dos semitonos.


Modo Dórico

Escala Mayor o modo Jónico Modo Frigio

Modo Lidio Modo Mixolidio

Escala menor o modo Eólico Modo Locrio

Cuadro 5.2: Los siete modos diatónicos


5.3.2. Escalas sintéticas

Son las escalas que no proceden de ninguna tradición, ni folklórica ni académica, sino queaparecen como producto de la creación de escuelas o de compositores concretos, especialmen-te, del s. XX. Es incuestionable que también para la observación y estudio de cualquier escalainventada, a la que normalmente no estaremos acostumbrados, será de una gran utilidad el Espi-ropentagrama, dado que su proyección servirá para percibir con mayor claridad sus propiedadesy características19.

5.4. Divisiones tradicionales de la circunferencia en con-juntos de tres y cuatro sonidos

En este punto estudiaremos los conjuntos de tres y cuatro sonidos; con esto nos referimosprincipalmente a su uso simultáneo, es decir, a los acordes tríadas y cuatríadas.

5.4.1. Acordes tríadas

Dentro de los acordes tríadas vamos a tratar los cuatro más importantes: a) el perfectomayor, b) el perfecto menor, c) el de 5ª aumentada y d) el de 5ª disminuida (puede verse larespectiva representación de cada uno en la figura 5.4.1).

a) b) c) d)

Figura 5.4.1: Principales acordes tríadas19De hecho, además de utilizar una proyección de la escala en el Espiropentagrama, sería altamente reco-

mendable utilizar la simbología de las cabezas de nota que aplicábamos en los árboles ya que esto permitirásintetizar además sus jerarquías y tendencias melódicas


5.4.1.1. El acorde perfecto mayor

Figura 5.4.2: El acorde Perfecto Mayor

El acorde perfecto mayor se representa sobre el círculo cromático (o el Espiropentagrama)como un triángulo acutángulo20 escaleno21; sus lados tienen una proporción equivalente a lossemitonos que componen sus intervalos, es decir, 4:3:5 (así podemos verlo en la figura 5.4.2 dearriba).

20Según la configuración de sus ángulos, el Diccionario de la RAE nos dice que un triángulo acutángulo es elque tiene los tres ángulos agudos.

21Según nos define el Diccionario de la RAE, un triángulo escaleno es el que tiene los tres lados desiguales.


5.4.1.2. El acorde perfecto menor

Figura 5.4.3: El acorde perfecto menor

El acorde perfecto menor responde a una representación más que muy similar, idéntica, altriángulo que servía para estos fines en el apartado anterior, del acorde perfecto mayor. Ladiferencia estribaría en que se trata de una reflexión del polígono, o sea, que estamos ante unejemplo de axisimetría o simetría axial22. De este modo podemos afirmar que las propiedadesde ambos polígonos son las mismas, lo cual sobreentiende la proporción que guardan sus lados,derivada de sus intervalos -musicalmente hablando- constituyentes.

Llegados a este punto, a colación de la aximetría observada entre los acordes perfecto mayory perfecto menor, parece muy conveniente recordar las teorías existentes desde Zarlino (Zarlino,1558) (vol. III, cap. 31), que justificaban la consonancia del acorde menor a través de la divisiónarmónica, y entendían que este acorde nacía de los armónicos negativos.

22La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar comoreferencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómenoque en una imagen reflejada en el espejo (Girbau Badó, 1993).


5.4.1.3. El acorde de 5ª aumentada

Figura 5.4.4: El acorde de 5ª aumentada

El acorde de 5ª aumentada está formado por dos terceras mayores, lo que resulta una5ª aumentada (que enarmónicamente sería igual a una 6ª menor y, por tanto, al invertirlaresultaría ser otra tercera mayor), así que sus proporciones son 4:4:4 y tiene como representaciónpoligonal una de las figuras más destacadas: el triángulo equilátero. Su absoluta simetría y laigualdad de sus lados le conceden un importante e inigualable valor entre los acordes tríadas ylo emparentan, por sus propiedades, con un cuatríada: el acorde de séptima disminuida (véaseel apartado 5.4.2.7 en la página 93). Sólo posee cuatro versiones posibles23 y va a ser de extremautilidad dentro del campo de la modulación.

Este acorde tiene su manifestación más clásica en el III< de las escalas menores melódica oarmónica, si bien también puede aparecer como resultado de la alteración en más de la 5ª deun acorde mayor (como el I+5 o el IV+5 de un modo Mayor).

23Como veíamos al tomarlo como ejemplo en el subapartado 5.1.3.3 en la página 61 sobre la transposiciónlimitada, observada a partir de los ejes de simetría de las figuras.


5.4.1.4. El acorde de 5ª disminuida

Figura 5.4.5: El acorde de 5ª disminuida

Se trata de un acorde formado por dos terceras menores, de lo que resulta la 5ª que danombre al acorde, la 5ª disminuida (enarmónicamente igual a una 4ª aumentada o sea, untritono), así que sus proporciones son 3:3:6 y tiene también una representación poligonal muyparticular: un triángulo rectángulo24 isósceles25. Normalmente este tríada tendrá función deD, sólo pudiendo entenderse como el VII del modo Mayor o el VII< de las escalas menoresmelódica o armónica. Otra posibilidad, aunque menos habitual, es que se tratara de un II delmodo menor.

24En palabras de la Real Academia “el que tiene recto uno de sus ángulos”.25Sobre el triángulo isósceles nuestro diccionario nos dice, diferenciándolo del equilátero, que es “el que tiene

iguales solamente dos ángulos y dos lados.”


5.4.2. Acordes cuatríadas

a) b) c) d) e)

f) g)

Figura 5.4.6: Las siete especies de cuatríadas diatónicos

Respecto a los acordes diatónicos de cuatro sonidos, sabemos que podemos agruparlos ensiete grupos o especies (así lo hacen autores como Chailley y Challan (1964) o Martínez-Oña(1991)) que responderían al siguiente esquema:

a) 1ª especie: 3ª mayor, 3ª menor, 3ª menor, o sea, un acorde perfecto mayor con séptimamenor;

b) 2ª especie: 3ª menor, 3ª mayor, 3ª menor, o lo que es lo mismo, un acorde perfecto menorcon séptima menor;

c) 3ª especie: 3ª menor, 3ª menor, 3ª mayor, es decir, un acorde tríada disminuido con séptimamenor;

d) 4ª especie: 3ª mayor, 3ª menor, 3ª mayor, esto es un acorde perfecto mayor con séptimamayor;

e) 5ª especie: 3ª menor, 3ª mayor, 3ª mayor, o sea, un acorde perfecto menor con séptimamayor;

f) 6ª especie: 3ª mayor, 3ª mayor, 3ª menor, es decir, un acorde tríada aumentado con séptimamayor;

g) 7ª especie: 3ª menor, 3ª menor, 3ª menor, o el acorde conocido también como acorde de 7ªdisminuida.

Como es obvio los acordes cuatríadas o tetradas, tendrán como representaciones cuadriláterosde diversos tipos, que iremos estudiando en sus respectivos subapartados, pero simplementeatendiendo a la figura 5.4.6, podemos observar cómo poseen notables muestras de simetría,bien en sí mismos -casos b), d) y g)- o bien por comparación entre sí, por ser axisimétricos(véase nota al pie 22 en la página 83) -casos a) y c), y e) y g), respectivamente-.


5.4.2.1. Acordes con 7ª de 1ª especie (P. M. con 7ª menor): 7ª natural

Figura 5.4.7: El acorde Dominante con séptima

Éste es el acorde con séptima por antonomasia, el más habitual y el que más presenciatiene en la tradición armónica occidental; hablamos, evidentemente, del acorde que sonará aDominante con séptima y por tanto, será una piedra angular de la tonalidad y su prácticacomún.

La forma de representación de este acorde es un trapezoide irregular


5.4.2.2. Acordes con 7ª de 2ª especie (P. m. con 7ª menor): 7ª menor

Figura 5.4.8: El acode Perfecto menor con 7ª menor

Se trata del acorde más frecuente dentro de los diatónicos con séptima, es el que aparecesobre los grados II, III y VI de cualquier tonalidad Mayor (sus correlatos en el modo menorserían el I, IV, y V -dominante menor-).


5.4.2.3. Acordes con 7ª de 3ª especie (disminuido con 7ª menor): 7ª Submenor

Figura 5.4.9: El acorde de Séptima de Sensible

Este acorde, también llamado semidisminuido -por poseer sólo una quinta disminuida, adiferencia del de séptima disminuida que posee dos-, aparece de forma más habitual, en elmodo Mayor al construirse diatónicamente sobre su VII, con una clara función de Dominante.No obstante, también tiene la posibilidad de aparecer como II de un modo menor, especialmenteen primera inversión.


5.4.2.4. Acordes con 7ª de 4ª especie (P. M. con 7ª Mayor): 7ª Mayor

Figura 5.4.10: El acorde Perfecto Mayor con 7ª Mayor

De forma diatónica, este acorde sólo aparece en el I y IV del modo Mayor (III y VI del modomenor26) y, en la mayoría de los casos en que aparece se entenderá como un acorde con unaapoyatura inferior de la octava de la fundamental, más que como una séptima propiamente.

26Aunque teóricamente posible, será bastante improbable que encontremos VII natural de una escala menordórica (que sólo elevara el sexto grado) que mostrara al mismo tiempo sobre sí, un sexto elevado; carece de lalógica que la elevación del VI y VII grados melódicos poseen dentro de la estética tonal.


5.4.2.5. Acordes con 7ª de 5ª especie (P. m. con 7ª Mayor): 7ª sobre menor

Figura 5.4.11: El acorde perfecto menor con 7ª Mayor

Su único exponente sería el I de un modo menor melódico o armónico. De forma similar acomo comentábamos en el caso anterior, la 4ª especie, en la mayoría de ocasiones se entenderíala séptima mas como una apoyatura inferior de la octava de la fundamental, que como unaséptima en sí.


5.4.2.6. Acordes con 7ª de 6ª especie (aumentado con 7ª Mayor): 7ª sobre au-mentado

Figura 5.4.12: El acorde aumentado con 7ª Mayor

Se elabora sobre el III del modo menor melódico o armónico y al igual que en los dos casosanteriores, relativos a acordes con séptima Mayor, repetiríamos que será más probablementeentendida como una apoyatura inferior que como una disonancia de séptima propia del acorde.


5.4.2.7. Acordes con 7ª de 7ª especie: 7ª disminuida

Figura 5.4.13: El acorde de séptima disminuida

Es el acorde más especial de los acordes de séptima ya que está constituido por intervalosiguales de 3ª menor entre sus notas y demuestra unas condiciones de simetría que ningún otroacorde podría tener (recordemos lo que veíamos en sobre las propiedades derivadas de la simetríaque veíamos en el apartado 5.1.3.1 en la página 58). Estas posibilidades de enarmonización,valoradas y empleadas con numerosos ejemplos, desde los comienzos de la tonalidad, permitenque este acorde sea el instrumento más sencillo y habitual, para la modulación enarmónicaentre tonalidades, incluso tonalidades muy lejanas.

Si lo estudiamos con detenimiento observaremos que incluye dos diámetros completos de lacircunferencia en que está inscrito (lo que supone dos intervalos de tritono o de 5ª disminuida),de forma que cualquiera de sus notas puede ejercer el papel de sensible y, por lo tanto, estole permitirá ser interpretado como otra versión de sí mismo, para cuatro Tónicas diferentes,que corresponderían con la nota adyacente a cualquiera de sus vértices. Añadiremos ademásel hecho de que estas cuatro tónicas pueden ser tanto de un modo Mayor como de un modo


menor, con lo que sirve para modular entre ocho tonalidades diferentes, conservando siempresu identidad y sin que resulte abrupto, en modo alguno, su uso.

5.4.3. Los acordes de sexta aumentada

a) b) c) d)

Figura 5.4.14: Los acordes de sexta aumentada

Los acordes de sexta aumentada son acordes alterados27, que normalmente aparecen sobre elVI prestado en el modo mayor y el natural en el modo menor, y que tiene función de Dominantede la Dominante (lo que sería una variante de función de subdominante, por eso las marcas depresencia que aparecen en el Espiropentagrama son de ese tipo). Su intervalo característico, lasexta aumentada, que les da nombre, aparece como consecuencia de tener alterada en menosla nota que aparece en el bajo; así, con respecto a la sensible de la dominante se produce elcitado intervalo aumentado. Cuatro son los más utilizados (cuyas representaciones poligonalescoincidirán con las mostradas en la fig. 5.4.14) y son los siguientes:

a) la sexta aumentada italiana;

b) la sexta aumentada francesa;

c) la sexta aumentada alemana; y

d) la sexta aumentada suiza (o de 4ª doble aumentada).

Pasamos a continuación, a describir sus características y propiedades individualmente, en lassiguientes secciones.

27Tomando las palabras de Artaza Fano (2002), diríamos que: “Un acorde alterado es cualquier acorde afectadopor una alteración, lo que significa que una de sus notas no corresponde a su forma original establecida por laarmadura. Existen tres posibles razones para que estas alteraciones se produzcan: - Deficiencia del sistema dearmadura, que no permite la intercambiabilidad de modos. Por eso no se consideran alterados los acordes quealteren de forma modal el III, VI ó VII grados. - El papel de las dominantes secundarias. Que no se consideranalterados por pertenecer, en realidad, a otro tono (de ahí el nombre de Acordes de préstamo) y que son lasmás habituales. [Y el 6ª Napolitana] - Las alteraciones que aparecen cuando la presencia de la nota o notascromáticas da lugar a que se constituya un acorde distinto de todos aquellos que pueden formarse con las notasde las escalas básicas. Que sí son verdaderamente alterados. Podemos pues definir a los acordes alterados comoaquellos que contienen una o más notas cromáticas.”


5.4.3.1. La sexta aumentada italiana

Figura 5.4.15: El acorde de sexta aumentada italiana (DDi de Sol M/m)

Se trata del único acorde tríada de los cuatro, con lo que es el menos disonante de ellos.Su forma, tomada de manera sintética, correspondería a lo que sería un acorde disminuidosobre la sensible de la Dominante, con la tercera rebajada y en primera inversión. Su resoluciónhabitual es sobre el acorde de Dominante o la tónica en sexta y cuarta cadencial. En cuanto asu disposición, dado que sólo tiene tres notas, aún siendo todas tendenciales, lo normal seríaduplicar la quinta (en pro de no duplicar la sensible o la nota alterada).


5.4.3.2. La sexta aumentada francesa

Figura 5.4.16: El acorde de sexta aumentada francesa (DDf de Sol M/m)

Es un acorde cuatríada muy especial; se trata de una Dominante de la Dominante conséptima y con la quinta rebajada en el bajo, o sea, en segunda inversión. Su resolución habituales sobre el acorde de Dominante en estado fundamental, aunque también puede -como la italianay la alemana- resolver sobre el acorde de tónica en sexta y cuarta, es decir, el sexta y cuartacadencial.

Es un acorde muy especial porque (si observamos la figura geométrica que lo representaen la fig. 5.4.16 de arriba, esto nos puede servir de ayuda) posee unas propiedades de simetríaúnicas28, muy próximas a las del séptima disminuida (fig. 5.4.13 en la página 93). Es enarmónicode otro igual a él que tendría su fundamental en el vértice opuesto de la figura, así como deotra variedad de acorde, la séptima de sensible con la tercera alterada ascendentemente, queaparecería en dos veces también, partiendo respectivamente de cada uno de los otros dos vértices

28Se puede entender con mayor facilidad si se tiene presente la explicación que se daba en el apartado 5.1.3.1en la página 58, que trataba sobre la transposición limitada de conjuntos de sonidos, ya que se ilustraba haciendouso, precisamente, de esta misma sonoridad.


restantes; o sea, que posee cuatro interpretaciones diferentes: dos sextas francesas (o Dominantescon séptima con la quinta rebajada) y dos séptimas de sensible con la tercera elevada.

5.4.3.3. La sexta aumentada alemana

La sexta aumentada alemana es quizá el acorde de sexta aumentada más utilizado, la ra-zón más probable es que se trata del que tiene una sonoridad ya conocida29, puesto que esenarmónico del acorde de séptima de Dominante (la forma de su trapezoide lo hace fácilmenteperceptible). De hecho, esta propiedad enarmónica le otorgará un papel notable en las modula-ciones de este tipo. En el caso que mostramos en el ejemplo de la figura 5.4.17, una DDa de SolMayor, la enarmonía que lo convertiría en una D7 la encontraríamos si transformáramos el do#

en reb, entonces leeríamos el acorde como una simple Dominante con séptima de Lab Mayor omenor.

29Si bien, no podemos olvidar que es enarmónico de la sexta aumentada suiza, que por tanto también tendríala sonoridad de un acorde de séptima de dominante, y estaría de la misma forma, ya incluido en el ámbito de lassonoridades más aceptables para los acordes de sexta aumentada; sin embargo, la suiza tiene unas propiedadesderivadas de su lectura que hacen mucho más compleja su comprensión dentro del discurso y por tanto, suutilización.


Figura 5.4.17: El acorde de sexta aumentada alemana (DDa de Sol M/m)


5.4.3.4. La sexta aumentada suiza (acorde de 4ª doble aumentada30)

Figura 5.4.18: El acorde de sexta aumentada suiza (DDs de Sol M/m)

Como podemos apreciar en la ilustración de la figura 5.4.18, el polígono que representaeste acorde (y ya se veía con claridad comparando los apartados c) y d) de la figura 5.4.14 enla página 94) tiene una forma exactamente igual que la de la sexta aumentada alemana (fig.5.4.17). Es evidente que se trata de dos acordes enarmónicos en los que, según una de sus notas(en este caso la#, que en la 6ª aumentada alemana aparecía como sib) se interprete como unacuarta doble aumentada respecto del bajo (caso de este acorde, la 6ª aumentada suiza), o comouna quinta justa (en el caso de la 6ª aumentada alemana), se entenderá y se comportará deuna u otra forma. Además, hemos de añadir para que no pase desapercibido, que tal y comosucedía con el acorde de sexta aumentada alemana -siendo éste un acorde enarmónico, es lógico-, este acorde es también enarmónico de un acorde de séptima de dominante (compárese con elapartado a) de la figura 5.4.6 en la página 86); siendo entonces dos las notas enarmonizadas

30El hecho de aparecer esta cuarta doble aumentada obliga a resolver sobre un acorde de tónica en sexta ycuarta, o sea, el sexta y cuarta cadencial.


(en este caso la# por sib y do# por reb).

5.5. El color como marca funcionalA la hora de escoger la correlación de colores que aplicar a las diferentes sonoridades tipo,

hemos atendido a los vínculos con las emociones que los colores suscitan, según diversos estu-dios consultados. No obstante, hemos de anotar antes que nada, que también la psicología hademostrado que la fuerza con que estas correlaciones se dan, más que ser inherente y universal,depende de la herencia y el contexto cultural en que el individuo esté sumergido31. Teniendo encuenta este hecho, hemos actuado en consonancia con los patrones de la cultura occidental a laque principalmente va dirigido este trabajo; de esta forma, hemos seguido las conclusiones ex-puestas en el artículo Scaling the Association between Colors and Mood-tones de Warner Schaie(1961).

Siguiendo la correlación que en dicho estudio (Warner Schaie, 1961, pág. 271) se recoge,traducimos sus resultados y obtenemos el siguiente cuadro:

31A este respecto es muy ilustrativo observar el estudio comparativo entre las asociaciones del color con lasemociones que hacía un grupo de estadounidenses y un grupo de indígenas mejicano, en el artículo de D’Andrade(1974) citado en la bibliografía.


Color Asociación fuerte Asociación débil o ausencia deella

ROJO protector, defensor; poderoso,fuerte, señorial; (excitante,

estimulante)*

Calmado, pacífico, sereno;tierno, tranquilizador

NARANJA excitante, estimulante calmado, pacífico, sereno; tierno,tranquilizador; solemne, estable

AMARILLO excitante, estimulante; divertido,jovial, alegre; placentero

solemne, estable; abatido,desanimado, melancólico, triste;protector, defensor; poderoso,

fuerte, señorialVERDE solemne, estable; protector,

defensor; poderoso, fuerte,señorial; abatido, desanimado,

melancólico, tristeAZUL placentero; seguro, cómodo;

tierno, tranquilizador; (calmado,pacífico, sereno; excitante,

estimulante)

angustiado, molesto, enfadado;abatido, desanimado,

melancólico, triste; desafiante,obstinado, hostil

MORADO solemne, estable; (abatido,desanimado, melancólico, triste)

excitante, estimulante; divertido,jovial, alegre

MARRÓN (seguro, cómodo) divertido, jovial, alegre;desafiante, obstinado, hostil;

excitante, estimulante; poderoso,fuerte, señorial; placentero

BLANCO tierno, tranquilizador; (calmado,pacífico, sereno)

excitante, estimulante; abatido,desanimado, melancólico, triste;desafiante, obstinado, hostil;

angustiado, molesto, enfadado;poderoso, fuerte, señorial

GRIS abatido, desanimado,melancólico, triste; (calmado,

pacífico, sereno)

excitante, estimulante;desafiante, obstinado, hostil;poderoso, fuerte, señorial;divertido, jovial, alegre

NEGRO angustiado, molesto, enfadado;desafiante, obstinado, hostil;

abatido, desanimado,melancólico, triste; solemne,estable; poderoso, fuerte,

señorial

excitante, estimulante; seguro,cómodo; tierno, tranquilizador;

divertido, jovial, alegre;calmado, pacífico, sereno;

placentero

Cuadro 5.3: Colores y emociones

Aplicando este estudio a las nociones que la tonalidad32 tiene asentadas sobre los diferentes32Escogemos el ámbito tonal porque es el que más claro puede servir -tanto por el grado de conocimiento

que puede tener el lector, como por la amplitud del corpus que supone- para ejemplificar la aplicación de estemétodo de conexión de una sonoridad con una variedad crómica; si bien, es perfectamente aplicable a cualquierotro sistema de organización musical, especialmente aquellos en los que haya una jerarquía y unas polarizaciones


acordes, tendríamos como resultado el cuadro 5.4, en el que representamos el acorde propio decada grado de un tono mayor, con su figura poligonal y color correspondiente:

Grado de la Escala Figura poligonal y color Representación gráfica

Tónica (I) Triángulo escaleno creciente azul

Supertónica (II) Triángulo escaleno decreciente amarillo

Mediante (III) Triángulo escaleno decreciente marrón

Subdominante (IV) Triángulo escaleno creciente verde

Dominante (V) Triángulo escaleno creciente rojo

Submediante33 (VI) Triángulo escaleno decreciente morado

Sensible (VII) Triángulo rectángulo isósceles naranja

Cuadro 5.4: Acordes de la escala Mayor en polígonos y colores

establecidas.

Capítulo 6

Aplicaciones del Espiropentagrama

Las aplicaciones del Espiropentagrama son múltiples, probablemente infinitas, como las decualquier herramienta que sirve para analizar y mostrar las propiedades de otros elementos.Además, se trata de una herramienta que apenas acaba de nacer, con lo que no es de extrañarque nos dejemos fuera de este capítulo muchas utilidades que ustedes los lectores descubran ypongan en práctica con extraordinario provecho.

En cualquier caso, en estas páginas vamos a tratar aplicaciones que van a colaborar no sólocon la enseñanza de la Armonía, sino también con la práctica de disciplinas como la Acústicay el Análisis, siempre buscando servir de catalizador, de acelerador del proceso de aprendizaje,de forma que el alumno alcance una mayor comprensión y un mayor dominio para su prácticamusical, de los contenidos tratados.

6.1. Sistemas de afinaciónComo es fácil de deducir, el Espiropentagrama, tanto por el trazado de la espiral irregular

en la que se basa, como por la colocación que preve de los sonidos sobre dicha espiral, se basaen la subdivisión de una circunferencia en doce partes iguales, consecuencia del sistema deafinación de temperamento igual que se usa en la actualidad. Sin embargo, por lo general, lasdiferentes tradiciones musicales, e incluso la nuestra, occidental, si nos remontamos un pocoen el tiempo, poseen diferentes sistemas de afinación. De este modo, siendo este instrumentouna herramienta de patente utilidad para la comparación de conjuntos, podríamos usarlo parahacer más visibles las características de un sistema de afinación en particular, al tiempo quelas diferencias que pudieran existir entre varios distintos.

Si por ejemplo, observamos un sistema de afinación como el Pitagórico, y lo comparamos conel de temperamento igual, podríamos apreciar sus diferencias con mayor claridad, al observarlassobre el Espiropentagrama. Pongamos por caso que proyectamos sobre este instrumento, laescala de Do Mayor en los dos sistemas de afinación -véase la fig. 6.1.1 adjunta- y comprobemosqué ventajas pueden obtenerse.

103

CAPÍTULO 6. APLICACIONES DEL ESPIROPENTAGRAMA 104

Figura 6.1.1: Comparación de la Escala Mayor en el sistema temperado (en negro) y en elpitagórico (en rojo)

Lo primero que salta a la vista al ver esta superposición de escalas de Do Mayor, en losdos sistemas de afinación, es observar cómo las notas re y la, y más aún, mi y si, poseen unaentonación bastante diferenciada; ya que aparecen en el sistema Pitagórico, perceptiblementemás agudas. Además, prestando algo más de atención, podemos apreciar cómo los semitonosdel sistema Pitagórico son más pequeños que en el sistema temperado, así como sus tonos sonmás grandes1. Huelga decir que esta manifiesta asimetría del sistema Pitagórico, redunda en unclaro perjuicio a sus posibilidades de transposición y de enarmonía. Nótese, de todas formas, elhecho de cómo ambos heptágonos (cf. fig. 6.1.2) poseen un único eje de simetría que, pasandopor su centro, atravesaría por sus respectivas notas re (esto lo comentábamos ya, precisamenteanalizando el heptágono diatónico en el apartado 5.1.3 en la página 58, en que tratábamos lautilidad de los ejes de simetría de los polígonos para deducir propiedades de los conjuntos de

1Tomando como fuente el somero estudio de Bartlett (1998), como fuente, hemos elaborado esta comparacióntomando los tonos del sistema Pitagórico con una separación de 204 cents y sus semitonos a una distancia de90 cents. El sistema de temperamento igual presenta siempre una distancia de 200 cents entre sus tonos y de100 entre sus semitonos.


sonidos que representan).

Temperamento igual Sistema Pitagórico

Figura 6.1.2: Escala de Do M en los dos sistemas de afinación

6.2. Procesos contrapuntísticosQuizá el factor más importante dentro del campo del contrapunto o de la polifonía contra-

puntística, sea su carácter imitativo. Así, las imitaciones de un motivo pueden hacerse aplicandoprincipalmente tres procesos individuales o la combinación de varios o de los tres. Estos proce-sos serían: la transposición2, la inversión3 y la retrogradación4. Además, no hemos de obviar elhecho de que estos procesos no son excluyentes entre sí y permiten por lo tanto la aplicaciónde dos o incluso de los tres, sobre un mismo motivo.

Para ejemplificar estos tres procesos, vamos a tomar un motivo de cinco sonidos (comopuede verse a continuación, en la figura 6.2.1) que trasladaremos al Espiropentagrama (véasefig. 6.2.3) mediante la confección de una plantilla (sobre una lámina transparente) en la querecogeremos estos cinco sonidos y su secuencia de aparición colocando unos números comomarcas de presencia (Cf. fig. 6.2.2). Una vez realizada esta plantilla, la obtención de resultadosserá muy sencilla, como ahora detallaremos en los siguientes apartados, puesto que únicamenterequerirá de aplicar movimientos en la misma de carácter puramente intuitivo.

Figura 6.2.1: Motivo sobre el pentagrama2La voz “transposition” del New Grove Dictionary define el proceso como: “La escritura o interpretación de

un motivo en un tono diferente del que fue concebido o anotado, ascendiendo o descendiendo todas las notas delmismo, a un intervalo dado”. Éste será el proceso imprescindible para la imitación directa de cualquier motivo.

3Sería alterar la dirección de los intervalos de la secuencia de sonidos del motivo, esto es, los intervalos queeran ascendentes se convierten en descendentes y viceversa.

4La retrogradación consiste en tomar la secuencia de sonidos en sentido cronológico inverso, de forma que seempieza por el que aparecía último y se acaba en el que daba comienzo al motivo.


Figura 6.2.2: Plantilla de motivo para la transposición


Figura 6.2.3: Motivo para los procesos

Aquí lo hemos realizado con un motivo únicamente de cinco sonidos, pero podríamos imagi-nar que la aplicación de estos procedimientos sobre un motivo dodecafónico (de doce sonidos)sería exactamente igual de sencillo y cómodo.

6.2.1. La transposición

El Espiropentagrama es, inequívocamente, un instrumento para la transposición de sonidos,bien tomados individualmente o bien tomados en conjuntos, que dará lo mismo que estén creadosen base a su dimensión melódica o armónica. No obstante, no parece baladí recordar, aunque nofuera exactamente del mismo modo, cómo especialmente John Clough en un artículo (Clough,1998), ya analizó con bastante profundidad y rigor científico de índole matemática, la maneraen que una proyección del sistema musical de doce sonidos, sobre una circunferencia, ofrecíainmensas posibilidades como medio de transposición. Podríamos decir que la idea estaba ya enmuchos autores teóricos desde las primeras reflexiones sobre el círculo de quintas, si bien ningunolo había hecho hasta esta propuesta aquí expresada, utilizando un pentagrama dispuesto conla forma de una espiral irregular.


Como ejemplo más elemental de cómo puede funcionar el Espiropentagrama en este sen-tido, debería bastar las figuras 4.0.4 (pág. 45) y 4.0.5 (pág. 46) en las que observábamos las12 posiciones de un sonido cualquiera (y su enarmonía) al someterlo a la rotación que las 2circunferencias externas ocultas (véase el apartado 4.0.6 en la página 47, que trata de esto)permiten, tomando su centro como eje. De hecho, el colocar cada sonido a la altura de lo quesería una hora en este reloj imaginario que sería el Espiropentagrama, parece una imagen que,de asimilarse bien, puede colaborar para facilitar la tarea al alumnado como método didáctico,el observar cuántos semitonos (horas), están separados -en este reloj imaginario- dos sonidos,cuando se están aprendiendo los intervalos.

Ahora bien, utilizando el motivo de cinco sonidos que veíamos en el apartado anterior(fig. 6.2.1 en la página 105), vamos a proceder a transportarlo una segunda mayor ascendente,o sea, dos semitonos hacia el grave.

Figura 6.2.4: Motivo original y su versión transportada una 2ª mayor descendente

Para ello, lo único que habrá que hacer es mover la plantilla del motivo dos doceavas partesde la circunferencia (siguiendo la analogía de antes, dos horas) a la izquierda y así obtendríamosel siguiente resultado, recogido en la figura 6.2.5:


Figura 6.2.5: Motivo transportado una segunda mayor descendente

Si lo que quisiéramos fuera hacer una transposición ascendente, por ejemplo, una terceramenor ascendente.

Figura 6.2.6: Motivo original y su versión transportada una 3ª menor ascendente

En este caso, lo que haríamos sería mover la plantilla hacia la derecha; así, una terceramenor ascendente, que equivaldría a tres simitonos hacia el agudo, supondría un movimientode un cuarto de circunferencia hacia la derecha (o sea, tres horas). Podemos verlo en la siguientefigura 6.2.7:


Figura 6.2.7: Motivo transportado una tercera menor ascendente

6.2.2. La inversión

Este proceso lo que hace es tomar la secuencia de sonidos y alterar la dirección de losintervalos que la componía, tomándolos en sentido inverso. Así pues, los intervalos que eranascendentes pasan a ser descendentes y, por el contrario, los que eran descendentes se conviertenen ascendentes.

Figura 6.2.8: Motivo original y su versión invertida

En el Espiropentagrama, la manera de aplicar la inversión es muy sencillo, dado que tra-bajamos con una lámina transparente, sólo tendremos que darle la vuelta de manera vertical yverla al revés (como si le aplicáramos un espejo al eje vertical). Podemos observar el resultado5

5El resultado en la práctica, como podemos deducir, tendría los números también invertidos respecto a su eje


en la figura 6.2.9.

Figura 6.2.9: Motivo invertido sobre el Espiropentagrama

6.2.3. La retrogradación

La retrogradación de un motivo es un procedimiento muy sencillo, consiste en tomar lossonidos en sentido inverso a la sucesión en como aparecían, de esta forma el último es elprimero, el penúltimo es el segundo, etc.

Figura 6.2.10: Motivo original y su versión retrogradada

Así, trabajando con el Espiropentagrama y este motivo de cinco sonidos, lo único quevertical, como reflejados. Aquí en la figura ilustrativa 6.2.9, para facilitar la lectura hemos corregido esta ligeradificultad. No obstante, una versión más fidedigna de cómo resultaría esta aplicación invertida de la láminatransparente del motivo, podemos observarla en la fig. 6.1b en la página 114, en la que también se ha aplicadoel proceso de inversión a este motivo.


habría que hacer sería tomar el 5 primero, luegro el 4, etc. De esta forma, podemos observarque el único cambio respecto de la versión original del motivo sobre el Espiropentagrama quepresentábamos en la fig. 6.2.3 en la página 107, es el sentido inverso de la dirección de las flechasque colocábamos para seguir mejor la secuenciación de sonidos indicada mediante los números(véase fig. 6.2.11).

Figura 6.2.11: Motivo retrogradado

6.2.4. La combinación de estos procesos

Como ya se indicaba al comienzo de esta sección, estos procesos no son excluyentes, deforma que pueden requerirse y aplicarse de manera simultánea. Para ejemplificar este hecho,vamos a utilizar el motivo y aplicarle las tres acciones a la vez: retrogradación, inversión ytransposición, en concreto, a una cuarta justa descendente -como vemos en la fig. 6.2.12, laversión transformada empieza en do en lugar de en fa, que siendo una retrogradación, deberíaser su nota de comienzo-.


Figura 6.2.12: Modelo original y su versión invertido-retrogradada transportada una 4ª justadescendente

Para su obtención mediante el Espiropentagrama deberíamos aplicar los tres procesos, tal ycomo se describía en cada uno de los apartados correspondientes, siendo indistinto el orden enque los hagamos; este proceso está ilustrado en el cuadro 6.1 en la página siguiente. Por mantenerla misma disposición con que hemos ido explicándolos, aquí haremos primero la transposición ala 4ª justa descendente, o sea, cinco semitonos (fig. 6.1a). Así, esto supondría girar la plantillaen sentido contrario a las agujas del reloj, cinco doceavas partes de la circunferencia (cincohoras, en la analogía que usábamos en el apartado de la transposición).

Después realizaríamos la inversión del motivo obtenido tras la transposición, eso supondríadarle la vuelta a la plantilla del motivo en sentido vertical (fig. 6.1b).

Finalmente invertiríamos el sentido de la lectura de los números, partiendo desde el sonido5 hasta llegar al 1 (fig. 6.1c).


(a) Transposición del motivo una cuarta justadescendente

(b) Inversión del motivo una vez transportadouna cuarta justa descendente

(c) Retrogradación del motivo previamente invertido y transportado

Cuadro 6.1: Combinación de los tres procesos: transposición, inversión y retrogradación


6.3. La modulaciónSin lugar a dudas, ser un soporte para la modulación6 es la aplicación más importante de este

instrumento, ya que permite de modo sencillo y rápido, la comparación de dos o más conjuntoscualesquiera de sonidos, atendiendo a sus diversas propiedades, y resolver de este modo confacilidad, un medio de modulación mediante un método exhaustivo -puesto que contempla todaslas posibilidades-, sistemático -dado que permite la aplicación de criterios para organización yclasificación del todo- e integral -en tanto que posibilita la observación de elementos desde todossus ámbitos-.

La idea básica sería hacer una clasificación de los elementos que tienen en común los dostonos que van a conectarse. De esta forma, elaborado todo el catálogo de opciones quedaráa discreción del músico escoger una u otra, según el contexto musical en que se inserte elproceso modulatorio. Para organizar el conjunto de opciones, nos apoyaremos, obviamente enel concepto de árbol armónico que vimos en el capítulo 3 en la página 31. De esta forma,comparando sucesivamente los árboles que representan los dos aspectos más importantes de latonalidad, su tensión hacia una tónica (árbol de Dominante) y su confirmación de la mismamediante su simple enunciación o mediante el respaldo de dicha tensión (árbol de Subdominante-Tónica), podremos ordenar las posibilidades de una manera más sistemática.

Siguiendo lo expresado en la voz Modulation del diccionario New Grove observamos quese nos habla de seis tipos o categorías para este proceso musical: por acorde o acordes pivote-que es lo que habitualmente se reconoce en castellano como la modulación por acorde común-,a través de una nota común, la modulación directa o de frase, la modulación cromática, lamodulación por secuencias y la modulación por enarmonía7. De estos modos de modulacióncitados, podríamos observar cómo la modulación directa o la modulación por secuencias, norequieren de ningún plan armónico que exija conexión entre los tonos implicados, sino que se

6Nos referimos a la modulación entre dos tonalidades cualesquiera, según los métodos estudiados por laArmonía Tonal tradicional, utilizando el sistema de afinación con temperamento igual.

7Extracto del término ’Modulation’ -realizado por Janna Saslaw- del New Grove Dictionary of Music andMusicians:“Techniques of modulation often involve pivot chords, that is, chords common to the original key and the

new key which can provide a transition between the two. Some authors have warned against the use of thedominant of either key as a pivot chord: the dominant of the original key, on the one hand, is a strong functionand not readily reinterpreted; the dominant of the new key, on the other hand, may be ineffective, since a simpledominant–tonic progression may be too abrupt to establish the new tonal centre with sufficient force.

The choice of a pivot chord or chords depends on the range of pitches and chords held in common between theoriginal key and the new key. The possibility of modulation by pivot chord therefore depends on the relationshipbetween the two keys. The closer two keys are on the Circle of fifths, the more pitches they have in common,and the larger the repertoire of available pivot chords.

In the case of modulation to a more distant key, when the two keys have fewer pitches in common, it becomesmore difficult to find a pivot chord. Other techniques of modulation are therefore used in these circumstances,including the use of a single pitch as a ‘pivot note’; ‘direct’ or ‘phrase’ modulation, in which there is a changeof key between phrases without the use of any pivot; ‘chromatic’ modulation, using chromatic alteration in themiddle of a phrase; ‘sequential’ modulation, or straightforward restatement of a phrase in a different key; andenharmonic reinterpretation, often involving the German augmented 6th chord (which may be respelled as adominant 7th), or the diminished 7th chord (which has special qualities of symmetry).”


basa más bien en una conexión establecida en base a una relación puramente formal de losfragmentos; así que ninguno de estos dos medios implicaría comparación entre los conjuntos desonidos. Por lo tanto, los métodos para los que el Espiropentagrama sería útil serían los otroscuatro: la modulación a través de una nota común y por acorde común (que por su similitudpodríamos considerarlas como variantes de una misma práctica, sometidas a las limitacionesde la construcción de acordes en el segundo caso), la modulación cromática y la modulaciónenarmónica.

6.3.0.1. Organización de las posibilidades

Con la finalidad de organizar el proceso de comparación entre dos tonalidades (compuestascada una por su árbol de Dominante y su árbol de Subdominante-Tónica, sintetizables en lo quellamamos el Árbol Tonal), estipulamos cuatro casos8 de comparación de los árboles en funciónde la relativa rápidez y suavidad, con que se produce el cambio de tónica. Para ejemplificarel método tomaremos como tonalidad de partida lab menor y como tonalidad de llegada, SolMayor (véase sus árboles tonales en la fig. 6.3.1).

Figura 6.3.1: Árboles tonales de Lab menor y de Sol Mayor

Así pues los cuatro casos en que organizaremos el análisis sistemático de posibilidades seríanlos siguientes:

1. Comparar el Árbol de Dominante del tono de partida con el de llegada. Si bien, tododependería del contexto y el pasaje concreto, podríamos afirmar que éste sería el procesomás rápido y de mayor dramatismo; un acorde con función tendencial en la tonalidad departida se convierte o es en sí mismo (dependiendo del método de modulación que estemosaplicando) un acorde tendencial para otro tono, el de llegada. Cabría la posibilidad de quese entendiera simplemente como una resolución irregular de la Dominante de la tonalidadde partida así que, muy probablemente, requerirá de una reafirmación de la nueva tónica(cf. fig. 6.3.2 en la página siguiente).

8Aclararemos que, para algunos autores, tal y como ya se recogía en el pie de página anterior, la modulaciónque conecta directamente con un acorde de dominante de la tonalidad de llegada -esto sería lo que aquí hemoscontemplado como los casos 1 y 2-, sería excesivamente abrupto e insuficiente para establecer la tonalidad;estamos de acuerdo en que en la mayoría de casos requeriría de un proceso posterior de reafirmación del tono de


Figura 6.3.2: Ejemplo de comparación del primer caso, D de la tonalidad de partida con D dela de llegada


2. Comparar el Árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de partida con el Árbol deDominante de la de llegada; éste sería el segundo caso y aunque igualmente veloz pararealizar el ingreso, supondría partir de un acorde no tendencial, con lo que resultarállamativo el cambio de función y será algo más apreciable el cambio de tónica (comoilustración, váyase a la fig. 6.3.3 en la página siguiente).

3. Comparar el Árbol de Dominante del tono de partida con el Árbol de Subdominante-Tónica del tono de llegada. Este proceso modulatorio (ilustrado en la fig. 6.3.4 en lapágina 120)será más progresivo que los dos anteriores, al necesitar de una posterior apa-rición de un acorde con función de Dominante para el asentamiento del nuevo tono. Aligual que en el caso 1 se corre el riesgo de que la resolución de la Dominante de partida seentienda más que ella misma como un acorde pivote, que el siguiente acorde -suponemosque se trata de una Dominante del nuevo tono- es una resolución excepcional.

4. Comparar el Árbol de Subdominante-Tónica del tono de partida con el de la tonalidadde llegada. Sería el proceso más pausado y más fácil de entender; además, es el que másposibilidades ofrece, dada mayor amplitud de este tipo de árboles y su menor número derestricciones, principalmente, destaca el hecho de que no exige la presencia de ningunanota en concreto, como sucede con la sensible en los Árboles de Dominante (véase lafig. 6.3.5 en la página 121).

Según hemos ilustrado en las figuras y ejemplificaremos en las páginas siguientes, hemos utili-zado los árboles armónicos contando también con sus posibilidades de notas alteradas y con lasubtónica, es decir en su estado más completo9; sin embargo, en la práctica va a ser muy impro-bable que utilicemos estas notas alteradas o la subtónica, dado que pertenecen a posibilidadesque ofrece el sistema tonal dentro del discurso de una tonalidad, pero que como acordes deinflexión pueden no ser claros o determinantes. Así pues, lo más recomendable sería usar parasu comparación el estado intermedio de evolución de los árboles y no éste más completo; aquí,empero, empleamos los árboles completos tanto por razones pedagógicas como por ofrecer deforma más patente el grado de exhaustividad que se puede alcanzar con el proceso. En cualquiercaso, en los subapartados de más adelante en los que analizaremos detalladamente cada pasoen cada tipo de modulación, del proceso de comparación de árboles armónicos, a la hora deaceptar el uso de los sonidos alterados, sólo tomaremos aquellos acordes que los utilicen comoquinta, que sería el modo de alteración más básico y descartaremos el resto de acordes posiblesque hayamos podido obtener alterando otros sonidos.

llegada, pero sería igualmente desestimable el obviar como método del proceso modulatorio, este uso, además,tan habitual.

9Explicábamos los diferentes estados o posibilidades de crecimiento de los árboles armónicos, de formaespecífica, en el apartado 3.0.3 en la página 33.


Figura 6.3.3: Ejemplo de la comparación del segundo caso, árbol subdominante-tónica de latonalidad de partida y de Dominante de la de llegada.


Figura 6.3.4: Ejemplo de comparación del tercer caso, árbol de Dominante de la tonalidad departida y árbol de Subdominante-Tónica de la de llegada.


Figura 6.3.5: Ejemplo de comparación del cuarto caso, entre árboles de Subdominante-Tónicade las dos tonalidades


6.3.1. Normas elementales para la comparación de árboles

La primera norma que debemos dar y que tal vez sea la más importante, se trata de quecuando en la comparación participa (bien por parte de la tonalidad de llegada como de la departida) un árbol de Dominante, éste tendrá una sensible -simbolizada por un triángulo haciaarriba sin rellenar, y teniendo como marca de referencia un cuadrado-, y siempre lo primerohabrá de ser comprobar que esta nota está presente (como nota común o como enarmonía10) osi se puede obtener por cromatismo11, ya que si no fuera así, la comparación del resto de notassería ociosa, puesto que la característica imprescindible para poder considerar un acorde confunción de Dominante es que posea la sensible, si esta no aparece, ningún acorde de Dominantepodrá entenderse como tal. Así sucede, por ejemplo, en el caso del apartado 6.3.3.1 en la páginasiguiente y así podemos verlo en la figura (6.3.6) que lo acompaña.

A la hora de tomar notas y construir acordes, hemos de llevar cuidado y no tomar aquellasnotas que se encuentran a distancia de medio tono (salvo excepciones como los acordes con 9ªmenor o 7ª Mayor), es decir, hemos de entender su funcionamiento de la misma forma que lohacíamos al verlas representadas sobre los pentagramas, dentro de la forma esquemática normalde los árboles, tal y como se explicaba en las diferentes secciones del apartado 3 en la página 31.

6.3.2. La modulación por nota común

Para ello, bastaría comparar las notas que consideramos propias o atribuíbles a una to-nalidad, con las de la otra. Para ello utilizaríamos simplemente las notas constituyentes delárbol Tonal (Cf. apartado 3.3 en la página 37) de cada tonalidad, atribuyéndoles grafías mix-tas cuando era conveniente, y compararlas sencillamente superponiendo ambas abstraccionesesquemáticas sobre el Espiropentagrama.

Como resultado de la comparación obtendríamos todo el conjunto de sonidos comunes,tanto los que tienen el mismo nombre, luego pueden considerarse nota común, como los que seobtienen por enarmonización o interpretación de un mismo sonido, con un nombre diferente.

6.3.3. La modulación diatónica o por acorde común

Este tipo de modulación se basa en que un mismo acorde (con los mismos sonidos y nombresde las notas, o sea, sonidos homónimos), que pertenece a dos tonalidades diferentes, sirvepara enlazar dos pasajes que tienen diferente tónica, o lo que es lo mismo, sirve como punto

10En caso de que apareciera como nota enarmónica sólo podría modularse haciendo uso de este tipo demodulación, y por tanto, hacer uso, únicamente, de las notas comunes y enarmónicas que aparecieran comoresultado de la comparación entre los dos árboles.

11Siguiendo las pautas descritas en el apartado 6.3.5 en la página 140, ahora bien, sabiendo que sólo podráoptarse por este tipo de modulación ya que al igual que explicábamos en la nota anterior, con relación a obtenerla sensible como enarmonía, se trata de un factor condicionante que singulariza drásticamente las posibilidadesmodulatorias, en tanto en cuanto no se pueden mezclar, por ejemplo, notas obtenidas por cromatismo con notasenarmónicas; recordemos pues que sólo las notas comunes estarán presentes y serán utilizables en todos los tiposde modulación.


de inflexión. Veámos, en un caso concreto, que fuésemos desde Lab menor a Sol Mayor, quéposibilidades de acordes comunes tendríamos; para ello compararemos de forma sucesiva losárboles de Dominante y de Subdominante-Tónica de ambos tonos, proyectando estos esquemasfuncionales, llamados árboles, sobre el Espiropentagrama.

6.3.3.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1=D2)

La manera de obtener el resultado ofrecido en el Espiropentagrama, mediante la intersecciónsobre el mismo de los árboles de Dominante correspondientes a cada tono, se explicaba en lapágina 117

Sonidos comunes en el árbol de partidaeliminando los no homónimos.

Sonidos comunes en el árbol de llegadaeliminando los no homónimos.

Figura 6.3.6: Superposición de Árboles de Dominante y extracción de resultados

1. Ahora, atendiendo a la superposición de los dos árboles ofrecida en la figura 6.3.6 compro-bamos si las dos sensibles (representadas por los dos triángulos: si y fa#) están también,


cada una, en el otro de los árboles. Basta con que una sola de ellas no esté en el otroárbol, para que no se pueda realizar la modulación que identifique dos dominantes, ya quela sensible es la nota imprescindible de esta función. En este ejemplo podemos comprobarque ninguna de las dos está en el otro; es cierto que podría parecer, atendiendo a lasmarcas de referencia, que la sensible (la nota fa#) del tono de llegada, Sol Mayor, sí estáen el árbol del tono de partida, Lab menor, pero sin embargo, no es así, ya que en entre lasposibles Dominantes de esta última tonalidad no aparece este sonido sino un enarmónico,solb12 y esta forma de obtención del sonido no nos sirve para la modulación por acordecomún.

6.3.3.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de par-tida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1=D2)

Para obtener la figura resultado de la intersección de los dos árboles que ofrecemos enla siguiente figura, hemos seguido el proceso que llevábamos a cabo en la figura 6.3.3 en lapágina 119.

12Además, en el caso de que se pudiera utilizar el sonido, como podemos ver atendiendo a su grafía, es unasubtónica, con lo que implica que tendríamos que entrar en el tono a través de su región subdominante, luegono sería una verdadera Dominante y podría resultar complicada la afirmación tonal de la nueva tónica habiendohecho uso de su subtónica en el pasaje modulatorio.




Figura 6.3.7: Superposición de Árboles de subdominante-tónica de la tonalidad de partida y deDominante de la de llegada y extracción de resultados

1. De forma similar a como sucedía en el caso descrito en el punto anterior, vemos en la figura6.3.7 con la que trabajaremos ahora, si la sensible de la tonalidad de llegada (que es la queusa Dominante en este caso de comparación) aparece como nota común. Según podemosobservar sí lo hace, el fa# en Lab menor puede actuar como nota alterada ascendente(según leemos en la grafía). Además, si analizamos bien, nos daremos cuenta de queesta nota alterada sólo puede escribirse y leerse como tal, dentro de las sonoridades deDominante de la Dominante, o sea, que para poder aparecer, únicamente podrá hacerloen solidaridad con la nota sensible de la Dominante, que es re.

2. Vemos qué acordes se pueden formar con el resto de sonidos que sean comunes y quetengan el mismo nombre (o sea, no sean sonidos enarmónicos). La lista de sonidos sería


la siguiente: sib, re, fa, fa#, lab, la, do y mib; porque el resto, que serían sibb, rebb, fab, dob

y mibb en Lab menor, no se interpretarían así en Sol Mayor, sino que serían enarmónicosy se leerían la, do, mi, si y re, respectivamente, en la tonalidad de llegada.

3. Es el momento de confeccionar una lista de acordes posibles, construidos con los sonidoshomónimos comunes que hemos encontrado entre los dos tonos, si bien, siempre habránde contener la sensible del nuevo tono (fa#, o en su defecto y de forma cuestionable, lasubtónica -explicable en el área de la subdominante-, el fa natural)13.

Sonidos que aparecen Lab m Sol Msib, re, fa# DD+5 D’v (= III’+5)re, fa#, lab VIIV +3 D−5sib, re, fa DD III’re, fa, lab VIIV SSII′IV

fa, lab, do VI<+5 SS’re, fa#, lab, do TDD7+3 D7−5

fa, lab, do, mib VI<7 +5 SS’7

Cuadro 6.2: Acordes comunes de la intersección del Árbol de subdominante-tónica de partiday el de Dominante de llegada

4. Ahora tomamos de entre los acordes que hemos encontrado, aquellos que puedan no serdel todo inteligibles en alguna de las dos tonalidades. De esta forma, el primer acorde quedeberíamos desestimar sería la Dominante de la Dominante tríada que sería equiparableal III prestado del menor en Sol Mayor; éste, quizá siendo en apariencia la igualdad mássencilla, introduce la nueva tonalidad a través de un acorde que aunque pueda ser identi-ficable, más que conducir el oído hacia ella, cuando tiene lugar en el discurso, lo que sueleproducir es lo contrario, apuntar hacia otras tónicas. Del mismo modo, resultará difícil deentender y obligará a hacerlo a través del área de la subdominante, en general cualquierade los tres acordes que leíamos como Subdominante de la Subdominante prestada, en SolMayor; pero especialmente complejo de entre ellos, es el que identifica el acorde del sextogrado elevado con una subdominante de la subdominante representada por un segundoprestado del modo menor, así que sería conveniente prescindir también de su utilizaciónen un sentido más realista y menos teórico.

6.3.3.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con elde Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1=ST2)

Disponemos de la imagen que nos ofrece la intersección de, respectivamente, el árbol deDominante de la tonalidad de particda, Lab menor, con el de Subdominante-Tónica de la dellegada, Sol Mayor, siguiendo el proceso que ya veíamos en la figura 6.3.4 en la página 120.

13Dado lo que observábamos en el punto 1, sobre que la aparición del sonido fa# en Lab menor, implicabaque apareciera también la nota re, debiéramos buscar acordes que tengan estas dos notas.




Figura 6.3.8: Superposición de Árboles de Dominante de tonalidad de partida y deSubdominante-Tónica de llegada y extracción de resultados

1. Atendiendo ahora a la figura 6.3.8 de arriba, podemos observar cómo sí es sonido común lasensible de la tonalidad de partida, Lab menor, con los sonidos posibles de las sonoridadesde Subdominante y Tónica del tono de llegada, Sol Mayor. Además, comprobamos que nosólo es que el sonido esté presente en ambos árboles, sino que tiene el mismo nombre14, ypor fin, podemos continuar el proceso.

2. Comprobamos todos los sonidos comunes posibles tomando sólo aquellos que son la mismanota (tienen igual nombre), y resulta la siguiente lista: reb, mib, sol y sib. Los sonidos

14Este detalle será un factor determinante, ya que si tuviera diferente nombre y por tanto, fuese comúnsólo por enarmonía, sólo podría llevarse a cabo este tipo de modulación (descrito en el apartado 6.3.4 en lapágina 130) y no cabría pensar en la modulación por acorde común.


que en Labmenor leemos como sibb, dob y fab resultan no tener el mismo nombre enSol Mayor, sino que se llaman la, si y mi, respectivamente. Por otra parte, en el árbolde Subdominante-Tónica de Sol Mayor, encontramos también las notas la# y do#, queigualmente no podemos considerar porque aún siendo sonidos comunes, en realidad sonenarmonías de notas que sí tomaremos, pero con otro nombre: sib y reb.

3. fab, sibb y dob no podrían utilizarse porque, aunque podrían confundirse con sonidoscomunes, se leen con otro nombre en la tonalidad de partida (reb -que sí emplearemoscomo tal, ya que también aparece con esta nomenclatura-, mi natural, la natural y sinatural, respectivamente) y por tanto, requieren del proceso de la enarmonía para suidentificación.

4. Elaboramos la lista de acordes posibles con los sonidos antes descubiertos, teniendo encuenta que el sonido sol (sensible de la tonalidad de partida) es imprescindible; teniendoen cuenta esta premisa, la relación de acordes posibles quedaría en:

Sonidos que aparecen Lab m Sol Mmib, sol, sib V VI’sol, sib, reb VIIº I’-5

mib, sol, sib, reb V7 VI’-7

Cuadro 6.3: Acordes comunes de la intersección del Árbol de Dominante de partida y elSubdominante-Tónica de llegada

5. Seleccionamos de los acordes obtenidos, dado que no todos van a ser válidos, aquéllos queson realmente susceptibles de entenderse en el discurso tonal de ambos tonos, de formaque de los tres que hemos obtenido sería inevitable prescindir del V7 de la tonalidadde partida, dado que en la tonalidad de llegada daría como resultado un acorde conla 7ª alterada y eso no es posible, dentro de las normas de los sonidos alterados. Algomenos grave sería tomar el I’-5 que resulta de utilizar el VIIº en la tonalidad de partida,aunque, eso sí, algo difícil de entender (dependería mucho del contexto armónico en elque se enmarcara el uso del acorde), pero aún así, sería conveniente eliminarlo de lasposibilidades, de forma que nos quedaría únicamente la primera opción: V = VI’.

6.3.3.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4:st1=ST2)

La imagen que a continuación se ofrece, como resultado de la superposición de los dos árbolesde Subdominante-Tónica de las dos tonalidades implicadas, Lab menor y Sol Mayor, se obtienesiguiendo el proceso que ya veíamos en la página 121, en la figura 121.




Figura 6.3.9: Superposición de Árboles de Subdominante-Tónica y extracción de resultados

1. En este caso ya no tenemos que buscar la sensible de ningún árbol, dado que es el únicoen que no participa ninguno de Dominante, con lo que haríamos directamente lo quehacíamos en apartado en segundo término, esto es, comprobar y elaborar una lista conlos sonidos comunes con el mismo nombre de nota. Así, atendiendo a la figura 6.3.9 queilustra este caso, veríamos que serían notas comunes entre el tono de partida, Lab menor,y Sol M, el tono de llegada, son: do, reb, re, mib, lab, la15 y sib. Asimismo, otras notasaparentemente comunes (rebb -que tomaremos, pero como do-, reb -luego como do#-, mibb,

15El la aparece en la tonalidad de partida como una nota alterada ascendente, por este hecho, su utilizaciónya sería harto complicada, pero al acontecer al mismo tiempo que no existe como nota común el fa, se haceimposible considerarla como 5ª en más -que sería la manera más fácil de aceptarla y utilizarla- y sólo podríausarse como fundamental en más del I, algo excesivamente lejano como para considerarse verdaderamente comoopción. Por eso, en el punto 3, se comprobará que no se ha utilizado en ningún acorde, aún siendo como es,nota común.


fab, fa, sibb y dob, según se entienden en Lab menor) aparecen en Sol M, pero sólo tras unproceso de enarmonía y no son, por lo tanto, válidas en este tipo de modulación.

2. No sería ocioso observar también, qué papel juegan las diferentes notas comunes quepueden participar, ya que por ejemplo, el reb en Sol M sólo podrá justificarse como unanota alterada en menos y, por lo tanto, no podrá ocupar cualquier puesto en la sucesiónde terceras del acorde. Algo similar sucede también con el sonido lab que en Sol M sólopodrá entenderse -dentro de las sonoridades de Subdominante-Tónica- como parte delacorde Napolitano, de forma que exigirá darse en solidaridad de otras (do y mib) y muypreferiblemente, con una disposición concreta: en primera inversión (por eso aparece enel esquema entre paréntesis, porque no suele ser el bajo del acorde).

3. Ahora sería el momento de confeccionar una relación de acordes posibles utilizando lasnotas comunes que hemos hallado en el punto anterior; como resultado obtendríamos lossiguientes:

Sonidos que aparecen Lab m Sol Mlab, do, mib Ds Snsib, re, (fa) DDx5 III’x5

do, mib, (sol) IIIx5 S’x5

Cuadro 6.4: Acordes comunes de la intersección de los Árboles de Subdominante de ambostonos

4. Es el momento de elegir entre los acordes obtenidos, si bien, como ya tuvimos en cuentaen el punto 2 de este apartado, la correcta elección y disposición de las notas posibles, lalista obtenida en el punto 3 es válida en su totalidad. Sin embargo, dado que nos resultandos acordes que habrían de aparecer sin quinta (simbolizado con el subíndice x5) con losproblemas de duplicaciones y de movimiento, así como con el empobrecimiento sonoroque eso supondría, el preferido sería el primero de los que recogíamos, esto es, que la Dsde lab menor es en Sol M su Sn (recordemos que, por lo tanto, deberá estar en primerainversión y duplicando su tercera).

6.3.4. La modulación enarmónica

La modulación enarmónica tiene mucho en común con la que acabamos de tratar, la modu-lación diatónica; en sí, el proceso es el mismo16, se busca una sonoridad que, inteligible tantoen el tono de partida como en el de llegada, sirva de nexo entre ellos; sólo hay una diferencia yésta es la diferente interpretación de alguno, varios o todos los sonidos que participan en dicha

16Dada la semejanza del proceso, hemos decidido explicarlo después de la Modulación Diatónica, si bien,normalmente, en las programaciones didácticas -quizá siguiendo un criterio de proximidad tonal- se suele explicardespués de la modulación cromática.


sonoridad, mediante la enarmonización de este, estos o de todos sonidos los sonidos partici-pantes. Así, si bien en la modulación diatónica que explicábamos hasta aquí, debíamos evitartomar los sonidos que no eran homónimos, en este proceso modulatorio nos veremos obligadosa tomar al menos uno de esos sonidos que tenían diferente nombre según se interpretaran desdeel punto de vista de la tonalidad de partida (en nuestro caso, recordemos que era Lab menor,como origen, y Sol Mayor, como destino).

6.3.4.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1≡D2)

La forma de obtención de la intersección sobre el Espiropentagrama que aquí se ofrece,siguió el proceso que se veía en la página 117.

Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los sonidos enarmónicos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada,recuadrando los sonidos enarmónicos.

Figura 6.3.10: Superposición de Árboles de Dominante y extracción de resultados

1. Tal y como hacíamos en el primer caso de la modulación diatónica, lo primero que haremos


será buscar que las sensibles de cada uno de los dos tonos implicados en la comparación,aparezcan (ahora ya no nos importa que tengan diferente nombre) en el árbol de la otratonalidad. Como podemos observar, la sensible de Sol Mayor, tonalidad de llegada, síaparece en el árbol de Dominante de la de partida, pero como enarmonía (fa# = solb). Sinembargo, el sonido sol, no está entre las notas comunes o enarmonizables. Es más, el hechode tener que utilizar el fa# que venía siendo solb en la tonalidad de partida, impediríapoder utilizar el sol, en el caso de que apareciese. Cuando, como sucede aquí, la sensibleno es común y sin embargo, sí lo es la subtónica, se elaboraría como opción -y ya quedaríaa criterio del alumno utilizarlos o no- la lista de acordes que utilizando este sonido desubtónica (y por tanto, con una interpretación de subdominante de la subdominante)pueden encontrarse. Eso es lo que haremos, teniendo en cuenta esta circunstancia de queya no es exactamente D≡D, sino más bien, ss≡D.

2. Los sonidos comunes con el mismo nombre que encontramos son únicamente dos, el mib y elsib. El resto de sonidos se obtienen por enarmonía y son, respectivamente, los siguientes:fab -luego leído mi-, solb -imprescindible por ser la sensible de la tonalidad de llegada,o sea, fa#-, sibb -que será la- y dob -leido en Sol Mayor como si natural-. Los sonidossib y si -obtenido por enarmonía del dob-, aunque aparentemente a disposición para laconstrucción de acordes, como no está presente la nota re como sonido común, no seríafácil usarlos, ya que sólo servirían para crear acordes en las que funcionarían, uno uotro, como apoyaturas no resueltas hacia el la y estos acordes habría que manejarlos conespecial cuidado y tendrían una poco concluyente definición de la tonalidad de llegada.

3. Una vez hecha esta relación de sonidos, podemos elaborar la lista de posibles acordes quepodemos utilizar.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol Mmib, *fa#, *la, (do) ssii′IV

sDvx5*fa#, *la, (do), *mi ss’7x5

SD7x5

mib, *fa#, *la#, (do) ssiiIVsDvx5+3

*fa#, *la#, (do), *mi ss7x5SD7x5+3

*fa#, *si, (do), *mi ss7x54SD7x54

mib, *fa#, sib, (do) ssiiIVsDvx54

Cuadro 6.5: Acordes comunes obtenidos con uso de *enarmonías, consecuencia de la superpo-sición de los dos árboles de Dominante

Llama la atención, al estudiar este cuadro, cómo en varias ocasiones, una misma agru-pación de sonidos idénticos, puede interpretarse, con diferentes lecturas, como acordesdiferentes.

4. Sería pertinente ahora, escoger cuáles de estos acordes pueden ser más comprensibles enambas tonalidades, y cuáles son más una elucubración teórica que una posibilidad real. De


esta forma, parece conveniente -aunque tal vez el contexto concreto del discurso armónico,habiéndolo presentado ya, lo hiciera comprensible- eliminar los acordes de subdominantede la subdominante que además vienen representados por un II de esta tonalidad, yaque parece algo extremadamente lejano. Consecuentemente nos quedaríamos con los tressubdominantes de la subdominante que parten de su cuarto grado (séptimo subtónica dela tonalidad principal).

6.3.4.2. Comparación del árbol de Subdominante-Tónica de la tonalidad de par-tida con el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1≡D2)

El medio de alcanzar la imagen que aquí se ofrece, producto de la intersección del corres-pondiente árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida con el de Dominante dela tonalidad de llegada, sigue el proceso que ya llevábamos a cabo en la figura 6.3.3 en lapágina 119.


Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los enarmónicos.

Sonidos comunes en el árbol de llegada,recuadrando los enarmónicos.

Figura 6.3.11: Superposición de Árboles de subdominante-tónica y de Dominante y extracciónde resultados

1. En primer lugar, hay que comprobar que la sensible de la tonalidad de llegada, aparezcaen el árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partida, bien con el mismo nombre,como nota común, o bien enarmonizado. En este caso, aparece como nota alterada -quecomo ya decíamos en el análogo segundo caso, en la modulación diatónica- que únicamenteusaremos en las sonoridades de Dominante de la Dominante de Lab menor; eso implicaque esté simultáneamente a este fa#, la sensible de la Dominante de Lab menor, o sea, lanota re. Como todas las demás veces, también es admisible aunque no sea exactamentecomparable el resultado, el tomar en lugar de la sensible del tono de llegada, la subtónicay entrar en esta tonalidad a través del área de Subdominante; esto, obviamente, requeriríade una posterior reafirmación de la tonalidad haciendo uso de una Dominante propia quesí determinara su nuevo papel de tónica.


2. Los sonidos comunes son, en esta ocasión, numerosos. Las notas comunes serían: sib,re, fa, fa#, lab, la, do y mib. Añadiéndose a estos sonidos, aparecen tres más productode enarmonías y, recordemos que en este tipo de modulación que nos ocupa, debemosutilizar al menos uno de estos sonidos: sibb17 (que en Sol Mayor será la, que tambiénteníamos como nota común), rebb (entendido como do en Sol Mayor, que también aparecíacomo nota alterada ascendente), fab18 (único mi posible para la nueva tonalidad), dob (sienarmonizado en la nueva tonalidad) y mibb (re en la tonalidad de llegada, que tambiénera nota común). Por otra parte, también tenemos un sonido que -como ya hemos vistoque pasaba con el la, con el do y con el re- es común y que también se puede obtenerpor enarmonía, se trata del sib que es enarmonizable también por la quinta elevada de laDominante de Sol Mayor, o sea, la#.

3. Confeccionamos ahora la lista de acordes posibles que usen sonidos comunes, siendo almenos uno de ellos, enarmónico.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol M*la#, re, fa# DD+5 D+5

*la#, re, fa#, lab DD+57 D±5re, fa#, (lab), *dob tDDvx5+3

Dv (= III)fa, lab, *rebb s<

−f SS’re, fa, lab, *si tDDv

sDSv

fa, lab, *si, *re# svi<7

sDSv+3

Cuadro 6.6: Acordes comunes obtenidos con uso de *enarmonías, entre el árbol subdominante-tónica de Lab menor y el de Dominante de Sol Mayor

4. Elegimos ahora de entre los acordes que hemos visto como posibles, los que verdaderamen-te tienen un papel con la suficiente importancia, como para servir a ambas tonalidades yentenderse. De este modo, el tDDvx5+3

de Lab menor que no permitía la presencia de la 5ªy llevaba una nota alterada, aunque enarmónico del fácilmente comprensible Dv de SolMayor, parece algo alejado de la tonalidad de partida, aunque siempre todo depende delcontexto y qué y cómo se haya manejado la armonía antes y después. Del mimo modo, lasubdominante con la fundamental en más, que utiliza el sexto grado dórico, es tambiénun tanto inverosímil en un discurso tonal más o menos clásico. Respecto de los últimosdos acordes, los que en Sol Mayor actuarían como séptimas disminuidas (la segunda, conla tercera alterada ascendentemente), dependerían para su uso, de si es o no pertinente

17Como este sonido en Lab menor sólo lo podemos explicar como fundamental del acorde napolitano, suaparición exigirá que estén las otras dos notas que forman este acorde: el reb y el fab; como podemos observar,el reb no podremos usarlo porque no es sonido común, así que, simplificando el proceso, el sonido de sibb quedaeliminado en la práctica de este proceso.

18Teniendo que usar la nota fa#, o en su defecto fa natural, y siendo ambas notas comunes (y no enarmónicas),será imposible que aparezca este fab en ningún acorde en Lab menor, puesto que no puede aparecer si está unade las otras dos; así, en conclusión, también esta nota, fab, queda eliminada del proceso.


entrar a través de la subdominante y mediante este proceso, cercano a la modulacióncompuesta.

6.3.4.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con elde Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1≡ST2)

Se logra el siguiente resultado que veremos en la próxima figura, tras superponer los árbolesimplicados en esta comparación, tal y como se desglosaba en la figura 6.3.4 en la página 120.



Figura 6.3.12: Superposición de Árboles de Dominante de tonalidad de partida y deSubdominante-Tónica de llegada

1. Comprobamos que la sensible del árbol de partida de Lab menor, el sonido sol, está en elárbol de Subdominante-Tónica de Sol Mayor, bien de forma homónima o por enarmonía.


2. Revisamos los sonidos comunes entre los dos árboles, conservando el mismo nombre están:reb, mib, sol y sib; mientras que como enarmónicos, estarían los siguientes que se leerían enLab menor: fab, sibb y dob y serían nombrados mi, la, y si en Sol Mayor, respectivamente.Luego, podemos distinguir también, como sonidos que aparecen como comunes, perotambién pueden interpretarse como enarmónicos tendríamos en Sol Mayor: do# (reb enLab menor) y la#19 (que se entendía como sib en la tonalidad de partida).

3. Una vez conocidos los sonidos que pueden participar, es el momento de elaborar la lista deacordes posibles20, con sus respectivas interpretaciones en cada una de las dos tonalidadesimplicadas en la modulación. Sólo debemos recordar que siempre debe estar presente lanota sol -sensible de la Dominante de la tonalidad de partida- y al menos un sonidoenarmónico.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol Msol, *si, reb VII4 T−5

sol, *la, *do#, (mi) VII−3 DD7x5

sol, *la, *do#, *mi sDv−3 DD7mib, sol, *la, *do# D7−5 DD7−5

Cuadro 6.7: Acordes comunes con *enarmonías, entre el árbol de Dominante de Lab menor y elde Subdominante-Tónica de Sol Mayor

4. Por último, como venimos haciendo hasta ahora en cada caso, seleccionamos de entre losacordes que hemos visto como posibles, aquellos que puedan tener una inteligibilidad enlos dos tonos, además de ser posibles enlaces. De esta forma, el primer caso, siendo unacorde disminuido con apoyatura para Lab menor y una tónica con la quinta alteradaen menos para Sol Mayor, no parece que tenga mucha utilidad ni sea representativo enninguno de los dos tonos. Del mismo modo, el segundo acorde de la lista, que vuelve a serun disminuido, pero ahora con la tercera en menos y que se equiparará a un acorde conséptima de la Dominante de la Dominante sin quinta, vuelve a parecer ser más confusoque clarificador para realizar el proceso. Los otros dos, por el contrario, los que tendránfunción de Dominante de la Dominante con séptima en Sol Mayor, el último con la quintaen menos, serán perfectamente válidos, al menos a nuestro criterio.

19Ahora bien, en tanto en cuanto este sonido es una nota alterada ascendente, sólo interpretable como lafundamental en más del segundo grado, aunque posible va a ser algo complicado que pueda entenderse biencomo movimiento definitorio de la nueva tonalidad.

20En el listado adjunto hay al menos conocido, un error importante, falta un acorde. Invitamos al lector a queaverigüe observando la figura 6.3.12 en la página anterior de cuál se trata y, para conocer la solución, atiendaa la figura 6.3.18 y al pie de página 28 de la página 151.


6.3.4.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4:st1≡ST2)

La intersección que podemos observar en la imagen siguiente, deriva del proceso de super-posición seguido en la figura 6.3.5 en la página 121.




1. Como en esta comparación sólo participan árboles de subdominante-tónica, no tenemosque buscar la presencia imprescindible de ninguna nota en concreto, así que podemos


empezar a señalar qué notas son comunes: do, reb21, re, mib, lab22, la y sib. En cuanto asonidos exclusivamente enarmónicos que aparecen tendríamos: fab (luego leído mi) y dob

(que será si en Sol Mayor). Por otra parte, existe un conjunto de sonidos que según elacorde en que participen podrían entenderse como notas comunes con el mismo nombreen los dos tonos o no hacerlo, estos sonidos serían, según aparecen en Lab menor: rebb

(que se entenderá como otro modo de tener la nota do, que ya era nota común, en SolMayor), reb (que es la nota común, interpretable como do# en Sol Mayor), mibb (que seráotra forma de re), fa (legible como mi# en la tonalidad de llegada, aparte de como fa),lab (que es luego también interpretable como sol#), sibb (equivalente a la, que ya existíacomo nota común) y sib (que era nota común, pero que podría interpretarse en Sol Mayor,como la nota la#23).

2. Podemos confeccionar ahora el listado de acordes posibles con que podría realizarse lamodulación enarmónica entre Lab menor y Sol Mayor, sin que por ninguna de las dospartes participen sonoridades tendenciales hacia sus tónicas, es decir, de Dominante,sino únicamente de Subdominante o de Tónica. Recordemos que, en tanto ya no hayparticipación de tipos de Dominante alguno, no se requiere la presencia de ningún sonidoen especial, aunque, eso sí, deberá participar al menos, un sonido enarmónico en cadauno de estos acordes posibles.

Sonidos que aparecen (leídos en Sol M) Lab m Sol M*la, *do#, *mi sn DD*do#, *mi#, la s<

+5 DD+5*mi, *sol#, *si svi VI+3 (= Dii)

sib, *do#, mi, (sol) siitDDvx5

sib, *do#, *mi#, (sol) sii<tDDv+3x5

*do#, *mi, (sol), *si sx57TDDx57

*do#, *mi#, (sol), *si s<x57

TDD+3x57

Cuadro 6.8: Acordes comunes con uso de *enarmonías, producto de la comparación entre árbolesde Subdominante-Tónica

21El reb como nota común sólo va a poder entenderse en Sol Mayor como nota alterada descendente, y dadoque el sol -para el que podría ser quinta alterada- no es sonido común, sus posibilidades se reducen a ser unatercera en menos, algo que será bastante difícil de entender como método de entrada en el tono de llegada.

22Tal y como apuntábamos ya anteriormente, el lab en Sol Mayor es el segundo grado rebajado y éste, encontextos de subdominantes, sólo es explicable como un acorde Napolitano, así que para poder estar presente,requiere de la presencia simultánea de otros dos sonidos: el do y el mib; dado que ninguno de estos tres acordesposee ningún sonido enarmónico, sino que son todos comunes entre las dos tonalidades, no podrá utilizarse esteacorde y por tanto, en la práctica, no habrá forma de contar con la nota lab, luego podemos eliminarlo de estalista. No obstante, otra posibilidad sería utilizarlo como nota alterada de un segundo grado con la fundamentalen menos, ahora ya, dejamos a criterio del alumnado si dentro del contexto de la pieza que estén realizando, eso no pertinente una sonoridad alterada tan particular como medio de modulación.

23Esta interpretación, sin embargo, será poco fructífera en general, porque su uso representaría una únicaposibilidad, un segundo grado con la fundamental alterada ascendentemente y esto será bastante difícil deaceptar como punto de inflexión y cambio hacia Sol Mayor.


3. Ahora, para finalizar, hacemos una criba entre los acordes posibles para elegir únicamenteaquellos que estimemos coherentes dentro de un discurso armónico, no forzado, en ambastonalidades. De esta forma, eliminaríamos rápidamente el tercero de los acordes ofrecidoen la lista, que suponía un acorde con la tercera como nota alterada y una aproximaciónmás bien hacia el área del segundo grado que hacia la tónica. Por otra parte, deberíaobservarse concienciudamente cómo ha transcurrido el discurso armónico, para valorar lapertinencia o no del empleo de acordes de séptima disminuida o de séptima de sensible(como los cuatro últimos acordes propuestos) sin quinta, algo bastante excepcional. Enconclusión, parece que los dos únicos acordes que sobrevivirían sin mayores reparos, seríanlos dos primeros, el napolitano (que preferiblemente estaría en primera inversión) de Lab

menor que se entendería como Dominante de la Dominante de la tonalidad de llegada, SolMayor, y la subdominante dórica con la quinta elevada de Lab menor que se convertiríaen una Dominante de la Dominante con quinta elevada en Sol Mayor.

6.3.5. La modulación cromática

Aquí vamos a estudiar el proceso en su variante más suave, o sea, cromatizando parteo todo el acorde, pero teniendo las demás notas comunes en el acorde que inicia la nuevatonalidad. No obstante, para que el método modulatorio fuera válido no tendría por qué serasí, bastaría con que una nota cromatizase, no sería necesario que las demás fueran comunesentre los dos acordes que van a protagonizar el cambio de tono. Es obvio que si no se busca quehaya notas comunes, el proceso, aunque probablemente más abrupto y siendo menos evidenteel o los cormatismos que se hayan producido, será mucho más sencillo. Como observación quepueda servir de ayuda, mencionaremos el hecho de que, por lo general, cuando se procedede una tonalidad con alteraciones en menos (o sea con bemoles) -como es nuestro caso, Lab

menor, que tiene siete bemoles- o lo que sería lo mismo, de una tonalidad situada más a laizquierda en el círculo de quintas hacia una que está más a la derecha del círculo de quintas,con menos alteraciones en menos o incluso con alteraciones en más (o sea, con sostenidos) -como nos pasa ahora, ya que recordemos que Sol Mayor tiene un sostenido-, proporcionalmentea la distancia que las separe en el círculo de quintas, encontraremos más posibilidades decromatismos ascendentes que descendentes -en nuestro caso, siendo ocho las diferencias en más(1 - (-7) = 8), no hay ninguna posibilidad de cromatismo descendente, como veremos, todos sonascendentes-; sin embargo, si procediéramos al contrario, desde una tonalidad más a la derechahacia una que está más a la izquierda (con más alteraciones en menos o, lo que es igual, menosen más), obtendríamos el caso contrario, una casuística mayor de posibilidades de cromatismodescendente que ascendente, para efectuar la modulación, proporcional al grado de separaciónque tuvieran las tonalidades entre sí.

Para comparar los árboles habría que observar que una nota que está en el árbol de partida(ej. lab) -que para aumentar el efecto sería preferible, pero no imprescindible- que no apareciera


en la tonalidad de llegada-, al cromatizar describiendo un intervalo de unísono aumentado (si-guiendo el ej., a la natural) se convierta en una nota que, con ese nombre, sólo pueda explicarseen la tonalidad de llegada; en el caso de que la nota resultante tras el cromatismo tuviera algúnsonido enarmónico en la tonalidad de partida (en nuestro ej. sería sibb), habría que comprobarque en el acorde en que apareciera no pudiera explicarse leyéndola con su nomenclatura enar-mónica de la tonalidad de partida (continuando el ej., si el acorde en la tonalidad de llegadaestuviera constituido por fa#, la, do y mi; sería imposible reinterpretar el la como un sibb24). Encualquier caso, esto se podrá ver con detenimiento en los siguientes apartados en los que se llevaa la práctica, en sus cuatro casos de comparación, cómo podría realizarse una modulación porcromatismo entre las dos tonalidades que hemos venido trabajando con los otros dos métodos:Lab menor, como tono de partida, y Sol Mayor, como tonalidad de llegada.

Merece, asimismo, la pena comentar que para este tipo de modulación es -aún más cla-ramente que podría serlo en los anteriores tipos de modulación- preferible usar los árboles,no en su versión completa -que contaba con las notas alteradas- sino en el estado intermedio(recordemos lo que explicábamos al respecto de los estados de los árboles armónicos en la pá-gina 33), ya que la aparición de las notas alteradas en los árboles, para los usos cromáticosva a ser absolutamente innecesaria y va a dificultar bastante la lectura y comparación de losmismos. No obstante, en las páginas siguientes utilizaremos los árboles completos para que setengan presentes todas las posibilidades y con una finalidad de continuidad con respecto a lasexplicaciones dadas hasta ahora.

6.3.5.1. Comparación de los árboles de Dominante entre sí (Caso 1: D1~D2)

Para la obtención de la intersección de estos dos árboles se ha seguido el proceso que seilustraba en la página 117.

24Aunque quedaría comprobar si leyendo enarmonizado -según las posibilidades de la tonalidad de partida-uno o varios de los otros sonidos, sí fuera posible explicar el acorde, ya que entonces este cromatismo no seríaválido como medio modulatorio.


Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegadaeliminando los no homónimos y señalando los

cromatizados.

Figura 6.3.14: Superposición de Árboles de Dominante sin sensibles comunes

1. Nuestro primer movimiento ha de ser hacia la comprobación de que las sensibles de lasdos dominantes (o, en su defecto, las subtónicas) estén presentes como nota común o seanalcanzables por cromatismo, en el árbol de la otra tonalidad. Consecuentemente, vemosque el sol (sensible de Lab menor) no aparece en el árbol de Dominante de Sol Mayor yque, en tanto no hay ningún sonido con el nombre sol en dicho árbol, porque es su notatónica, tampoco será factible conseguirlo mediante cromatismo. Atendemos entonces a laposibilidad de contar con la subtónica de Lab menor en puesto de la sensible y formaracordes del área de la subdominante, pero esto tampoco será posible dado que el sonidosolb es enarmónico y no es nota común25, así que el resultado de esta primera comparación,

25Como bien sabemos, en la modulación cromática podemos utilizar notas comunes y notas que cromaticen ycon este proceso, tengan sentido en la nueva tonalidad; no podemos en ningún caso utilizar sonidos enarmónicos,


dado que no se puede lograr la nota sensible del árbol de Dominante de la tonalidad departida, es que no existe ninguna posibilidad.

6.3.5.2. Comparación del árbol de subdominante-tónica de la tonalidad de partidacon el de Dominante de la de llegada (Caso 2: st1~D2)

El gráfico resultante de la superposición de los dos árboles sobre el Espiropentagrama, esconsecuencia del proceso que veíamos en la página 119.

Sonidos comunes en el árbol de partidarecuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegadaeliminando los enarmónicos y selañando los

cromatizados.

Figura 6.3.15: Superposición de Árboles de subdominante-tónica y de Dominante y extracciónde resultados

1. La primera tarea será comprobar la posibilidad de contar con la sensible de la tonalidad

por eso es conveniente identificar cuáles son para evitar cualquier confunsión inconveniente.


de llegada (la nota fa#) partiendo del árbol de subdominante-tónica de Lab menor. Co-mo podemos ver fa# puede entenderse como nota común en Lab menor, como una notaalterada ascendente, sin embargo, dado que este sonido alterado no es en absoluto signi-ficativo dentro de la tonalidad, será más apropiado ver su acceso como cromatismo de lanota fa natural. Así que sí, podemos contar con la sensible de Sol Mayor en el árbol dela tonalidad de partida, como consecuencia de utilizar un cromatismo.

2. Vemos ahora el resto de sonidos comunes y cromatizables que vamos a poder utilizar,distinguiendo especialmente aquellos que sean enarmónicos para proceder a su descuento.Como sonidos comunes tendríamos, mayormente, tres notas: re, mib y sib. Aparte deestos tres, vemos en los árboles de resultados que también habría otros tres sonidos quetambién son comunes pero que eran notas alteradas en la tonalidad de partida, con loque difícilmente serán aceptables como comunes, éstos son las notas fa# -que de segurono usaremos-, la y do; sucede que, precisamente, como notas susceptibles de cromatizartenemos a estas tres, el lab que ascendiendo puede convertirse en la natural y el dob que,aun siendo un sonido enarmonizable, también puede transformarse en do natural -quecomo nota alterada ascendente no podemos considerar que impida la inteligibilidad delcromatismo- y pertenecer a Sol Mayor; sin olvidar el caso del imprescindible cromatismode fa natural en Lab menor hacia fa# en Sol Mayor. Eliminamos de nuestra lista deposibilidades por ser exclusivamente enarmónicos y no poderse tampoco utilizar para sercromatizados serían los sonidos nombrados en la tonalidad de partida como: rebb, mibb,fab y sibb; mientras en la de llegada se eliminaría únicamente el la#. Por otra parte, nopodemos olvidar la posibilidad de mantener el fa natural como nota común y construiracordes propios del área de la Subdominante de Sol Mayor (o sea, Do Mayor), aunqueésta sea una posibilidad menos directa y definitoria.

3. A continuación, teniendo en cuenta que habría que usarse, como mínimo, una nota quecromatizase para que sea posible adscribir el proceso modulatorio a la categoría de modu-lación por cromatismo -algo que en realidad será inevitable en este caso de comparacióndado que es mediante cromatismo como obtenemos la nota imprescindible para la Domi-nante de la tonalidad de llegada, fa#- y que en los acordes resultantes esté la nota sensiblede Sol Mayor, llegaríamos como conclusión a la siguiente lista de acordes:


Sonidos comunes y cromatizados que aparecen Lab m Sol Mre, fa#, la VIIV Dre, fa#, lab VIIV D−5fa#, la, do VI< VIIfa#, lab, do VI< VII−3sib, re, fa# II< D’v (= III’)si, re, fa# II< Dv (= III)

re, fa#, la, do tDDv D7re, fa#, lab, do tDDv−3 D7−5

fa#, la, do, mib VI<7 sDv

fa#, la, do, mi VI<7 TD7fa, la, do VI< SSfa, lab, do VI< SS’

fa, la, do, mi VI<7 SS7fa, lab, do, mib VI<7 SS’7si, re, fa, lab II<7 sDSv

si, re, fa, la II<7 SDS7

Cuadro 6.9: Acordes posibles para la modulación por cromatismo entre el árbol de subdominantetónica de partida y el de Dominante de llegada

4. Por último, de entre la lista de acordes que hemos realizado, debemos chequear que todossean realmente válidos y no haya acordes que, por su lejanía o nivel de abstracción teórica,supongan una imprudencia. De este modo, parece que los acordes que al cromatizaralcanzan a ser Subdominantes de la Subdominante -y aún más los que son resultado depréstamos de la subdominante menor- o Dominantes de la Subdominante, parece algobastante lejano, sobre todo teniendo una oferta de acordes tan amplia anterior, que seríaválida por completo, y que va a producir soluciones mucho más admisibles tanto por laortodoxia armónica, como para la coherencia del discurso.

6.3.5.3. Comparación del árbol de Dominante de la tonalidad de partida con elde Subdominante-Tónica de la de llegada (Caso 3: D1~ST2)

La imagen del Espiropentagrama que nos muestra a continuación, la resulta de la superpo-sición del árbol de Dominante de Lab menor y el de Subdominante-Tónica de Sol Mayor, estabadesglosada en la figura 6.3.4 en la página 120.


Sonidos comunes en el árbol de partidarecuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegadarecuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizados.

Figura 6.3.16: Superposición de Árboles de Dominante y de Subdominante-Tónica y extracciónde resultados

1. Lo primero, como hemos hecho hasta ahora, sería comprobar si la sensible de Lab menor(sol), tonalidad de partida, aparece en el árbol de Subdominante-Tónica de Sol Mayor.Como se puede apreciar sí está y es una nota común.

2. Pasamos ahora a enumerar los sonidos que son comunes y los que se van a poder utilizaren un cromatismo. Los sonidos comunes serían: mib, sol, sib y reb. Los que podrían croma-tizar en la tonalidad de origen y sus respectivos resultados tras el cromatismo, serían lossiguientes: dob pasa a ser do natural -en Sol Mayor-, reb pasa a ser re natural, mib pasa ami natural, sol podría pasar a ser sol# -pero que siendo una nota alterada ascendente- ysib que pasa a si natural. No podría utilizarse ninguno de los sonidos que únicamente son


enarmónicos, éstos son sibb y fab (en Lab menor) por una parte, y por otra (en Sol Mayor)tendríamos la, la# y do#.

3. Una vez hecha la relación de sonidos participantes, sería el momento de hacer la lista deacordes posibles que cumplan las condiciones de tener la nota sol (sensible del árbol deDominante de la tonalidad de partida), notas comunes y/o notas susceptibles de participardel proceso de cromatismo.

Sonidos comunes y cromatizados que aparecen Lab m Sol Msol, si, re VII Tmi, sol, si D VIdo, mi, sol Dv (= III) Ssol, sib, re VII T’mi, sol, sib D VI’<do, mib, sol Dv S’mi, sol, si, re D7 VI7mib, sol, sib, re D7 VI’7mi, sol, sib, re D7 VI’<7do, mi, sol, si III7 S7do, mib, sol, sib III7 S’7

Cuadro 6.10: Acordes posibles para la modulación por cromatismo, entre el árbol de Dominantede partida y el de Subdominante-Tónica del de llegada

4. Ahora seleccionamos dentro de ese corpus, aquellos que sí que son verdaderamente acep-tables y válidos, distinguiéndolos de los que son apenas una entelequia teórica. Éste seríael caso de, por ejemplo el III7, que en Lab menor será harto improbable que se dé en undiscurso armónico normal, así que eliminaríamos las dos últimas opciones ofrecidas enel cuadro. De forma similar, sucede con la tónica menor de Sol Mayor, que aunque esposible que se dé circunstancialmente, a lo largo de un fragmento en esta tonalidad, noes desde luego el método más oportuno para entrar en ella. Otro acorde que parece pocorecomendable, del elenco que hemos conseguido, sería el que en Sol Mayor veíamos comoVI’<, ya que es un acorde prestado del menor que presenta la tercera (el sib) propia deeste modo y es contraproducente para realizar movimientos que apunten a la tonalidadmayor; así también sucedería con el VI’7, el VI’<7 y el S’7.

6.3.5.4. Comparación de los árboles de Subdominante-Tónica entre sí (Caso 4:st1~ST2)

El proceso de superposición de la proyección de los árboles de Subdominante-Tónica de Lab

menor y Sol Mayor, sigue los pasos que se desarrollaban en la ilustración 6.3.5 en la página 121,en la siguiente figura podemos observar su resultado.


Sonidos comunes en el árbol de partida,recuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizables.

Sonidos comunes en el árbol de llegada,recuadrando los enarmónicos y señalando los

cromatizados.


1. Ya que sólo se están comparando árboles de subdominante y no hay que preocuparsede la presencia de sensible alguna, comenzamos la catalogación de los sonidos que soncomunes: reb26, re, mib, lab, la y sib, y la de aquellos que pueden obtenerse por cromatismo:si (viniendo de un sib en la tonalidad de partida), do (procedente de un dob), mi (antesmib) y la natural (que era laben Lab menor). De esta forma, también quedaría descartarlos sonidos que son comunes pero no homónimos, o sea, los enarmónicos que leeríamoscomo la#, mi# y sol# en la tonalidad de llegada; mientras que en la tonalidad de partida

26De la misma forma que ya hemos observado en otros tipos de modulacion, comparando los árboles desubdominante de estos dos tonos, volvemos a señalar cómo este sonido, el reb, al ser una nota que en Sol Mayorserá una nota alterada descendente y no existir el sonido sol, que le serviría para poder ejercer el papel de quintaalterada, será muy difícil construir un acorde que lo use y que no sea un tanto complejo como para que sirvapara definir con solvencia una entrada en la nueva tonalidad.


tendríamos que anular los sonidos: rebb, fab, fa y mibb.

2. La lista de los acordes posibles, que como recordamos deberían contar con algún sonidocromatizado o cromatizable, quedaría entonces de la siguiente forma:

Sonidos comunes y cromatizados que aparecen Lab m Sol Mlab, do, mib t Sn

la, do, mib t II’la, do, mi t II

do, mib, (sol) IIIx5 S’x5do, mi, (sol) IIIx5 Sx5

do, mib, (sol), sib IIIx57 S’x57

do, mi, (sol), si IIIx57 Sx57

Cuadro 6.11: Acordes posibles para la modulación por cromatismo, obtenidos de la intersecciónde los árboles de Subdominante-Tónica

3. Finalmente, restringimos los acordes posibles únicamente a los verdaderamente compren-sibles y con suficiente valor como para servir como punto de inflexión (especialmente, elde llegada). Así, de modo similar a como hiciéramos en el caso comparativo de inmedia-tamente antes, parece conveniente no entrar en la tonalidad de Sol Mayor, utilizando unacorde prestado que utilice la nota mediante del modo menor, dado que podría revertir enconfusión; con esto, dejaríamos de considerar la S’x57 que aparece. Igualmente complicadasería la tarea de no realizar octavas cuando se trabaja a cuatro voces y en un acorde sinquinta, las dos notas que aparecen, cromatizan, me estoy refiriendo a la Sx5 en Sol Mayor,que sería imposible alcanzarla sin fallos, salvo que se silenciara dos de las cuatro voces.

6.3.6. Utilización de los resultados y proceso de asimilación

Como hemos podido apreciar, el proceso de análisis de las posibilidades modulatorias entredos tonalidades haciendo uso del Espiropentagrama, es sin lugar a dudas, dinámico, sistemáticoy exhaustivo27, sin embargo, aunque familiarizados con este proceso, la comprobación de todaslas posibilidades -sobretodo si requieren su listado por escrito- será algo larga y tediosa. Encualquier caso, con una finalidad eminentemente didáctica, sí es recomendable que un alumnadoque esté iniciándose en este tipo de procesos sea capaz de hallar todos los medios de modulacióncon el máximo grado de detalle y, más que ninguna otra cosa, que pruebe cada uno de losresultados que haya obtenido para ir asimilando (y memorizando) esa sonoridad en ese contextoy poder elegir, de acuerdo al critetio acústico, la opción que se estime más conveniente.

27Es dinámico porque permite adaptar los criterios de búsqueda de las posibilidades modulatorias en funciónde lo que el observador requiera o crea conveniente; es sistemático porque de forma ordenada aporta toda unaorganizada lista de resultados y es exhaustivo porque abarca completamente todas las posibilidades existentesde acuerdo a las directrices que se hayan tomado de partida.


Ahora bien, todo este proceso no sería apenas gratificante si hubiese que hacerlo cada vez,manualmente, aún contando con la ayuda del Espiropentagrama; por ello se está trabajandoya, mientras se escriben estas líneas, en la elaboración de aplicaciones informáticas que puedanresolver estos quehaceres algo anodinos (aunque de cuantioso valor para desarrollar el pensa-miento y la lógica de la armonía en la mente del estudiante) de manera más cómoda y rápida. Ymás allá de esta muletilla -que esperemos pronto pueda estar acabada y ser de tanta utilidad co-mo se desea- que la tecnología actual nos ofrece, en realidad, la vocación de todos estos procesoses que cuando el alumno de enseñanzas artísticas musicales se enfrente a los procesos modula-torios -cuando menos en las Enseñanzas Profesionales de éstas y con mayor profundidad en lasEnseñanzas Superiores-, no necesite ningún utensilio más que el propio Espiropentagrama. Estoes, no requiera transcribir para detallar los resultados de cada caso ni tampoco requiera de uninstrumento polifónico como el piano para tener clara su sonoridad. La idea es que el alumno,con sólo ver el resultado de la superposición de los dos árboles que esté comparando, “vea” lasfiguras de los acordes que son posibles e incluso, una vez viéndolas, sea capaz de imaginar susonoridad. Para ilustrar lo que intento decir, retomemos a modo de ejemplo el caso 3 (D1≡ST2)de modulación enarmónica que veíamos en el subapartado 6.3.4.3 en la página 136. Un alumnoformado en el código simbólico que aquí estamos explicando, cuando viera la imagen de su-perposición de los dos árboles, ayudado por las marcas de presencia, sería capaz de unir losvértices comunes (teniendo en cuenta que siempre un vértice ha de ser el sonido sol, sensible dela tonalidad de partida) e ir formando mentalmente las figuras poligonales que reconoce y portanto, elaborando una lista instantánea de las posibilidades que esa superposición le aporta; elconcepto de cómo procedería mentalmente queda ilustrado con los polígonos explicitados condiferentes colores en la figura 6.3.18 que vemos a continuación.


Figura 6.3.18: Superposición de dos árboles explicitando las figuras poligonales posibles

No creo que pueda contradecirse que es mucho más sencillo y casi lúdico, encontrar yreconocer las figuras poligonales posibles utilizando los vértices comunes y que tengan un vérticeobligado, que ir viendo sonido por sonido, enarmonía por enarmonía. Además, no solamentese le ha de reconocer la facilidad a este método visual, sino que también es más seguro y máspreciso28, puesto que no supone confusión a la hora de interpretar sonidos o enarmonizarlos,por eso, en definitiva, es hacia la que se ha de tender, por su practicidad y consistencia, deeducar a los alumnos de música en ella, desde sus etapas incipientes.

28Hasta tal punto puedo afirmar que esta manera de resolución visual es útil, que concretamente elaborandoel ejemplo de la figura 6.3.18 he avistado un acorde que no había recogido en una primera redacción delproceso escrito del subapartado 6.3.4.3 en la página 136; un acorde tan productivo como el séptima disminuida(visualmente tan fácil de reconocer) que aparece entre las notas do#-mi-sol-sib, me había pasado desapercibido.De esta forma decidí mantener el error para demostrar cómo la propuesta principal de este trabajo, consistenteen la adscripción de figuras geométricas a las sonoridades puede ser ya útil ahora para cualquiera y, sobre todo,invitar a imaginar cuánto podría aportarle al alumnado si se consigue asimilar con un trabajo pedagógicamentebien orientado, desde las etapas incipientes de la instrucción musical.


6.4. La set-theory (teoría de conjuntos)La set-theory no es lo mismo que el serialismo, pero ambos comparten muchos métodos e

ideas. La set-theory enlaza la noción de definir conjuntos de sonidos y de organizar la músicaalrededor de estos conjuntos y sus varias manipulaciones. El análisis de las clases de conjuntos(set classes) se refiere a los esfuerzos de los teóricos musicales por revelar los sistemas quecompositores como Schoenberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido sonorode sus trabajos. Esto no debemos olvidarlo, los conjuntos y las clases de conjuntos determinanúnicamente un contenido de aturas, los compositores eran libres de establecer los demás aspectosde la música de acuerdo a sus deseos artísticos (como mínimo hasta que el ultra-serialismo, unafilosofía que sometía todos los aspectos de la música a las técnicas seriales, alcanzara su máximoexplendor en torno a la década de 1950).

Un de conjunto de sonidos (pitch class set) es simplemete un grupo desordednado de alturassonoras. Los 12 sonidos del teclado, o clases de alturas, se numeran desde el 0 hasta el 11,empezando en el do. Por ejemplo, un conjunto de sonidos (pitch class set) consistente en lasnotas do, mi y sol se reescribiría como (0,4,7). Los compositores tratan los conjuntos concuantiosa y variada libertad, cuando aplican el método de los conjuntos de sonidos a su músicaatonal. El conjunto (0,1,6) que fue tan popular entre Schoenberg y sus discípulos se ha acabadollamando “el tríada vienés”.


Figura 6.4.1: El tríada vienés

6.4.1. La inversión de conjuntos de sonidos

El proceso y por tanto, sus resultados, son exactamente iguales a los ya descritos anterior-mente en este mismo capítulo, en el apartado 6.2.2 en la página 110.

6.4.2. La Forma Normal (Normal From)

Los conjuntos de sonidos se pueden sintetizar en su Forma Normal, que es una disposiciónde los sonidos a una forma que podríamos llamar la más “compacta”. La disposición compactasignifica que el mayor de los intervalos entre dos sonidos consecutivos que aparece, se sitúacomo si estos dos sonidos fueran el primero y el último del conjunto. Así, si observáramos unconjunto de sonidos representado sobre la esfera de un reloj, la forma normal sería la que leyendoel conjunto en sentido de las agujas del reloj, recorriera la menor distancia de la circunferencia.

Por ejemplo, dado el conjunto (2,9,10), puede obserfarse en la figura 6.4.2 de más abajo,para colocarlo en su Forma Normal, el intervalo entre 2 y 9 (7 semitonos de separación) quees más grande que el que separa los sonidos 9 y 10 (1 solo semitono) y que entre 10 y 2 (4


semitonos), debería estar reflejado entre los sonidos primero y último nombrados, o sea, (9, 10,2). Esta es la disposición en la que el intervalo mayor está “en la parte exterior”.

Figura 6.4.2: Conjunto (9,10,2)

Si no pudiera identificarse un intervalo como mayor, entonces la Forma Normal corresponde-ría a la representación del conjunto que quede más “encajada a la izquerda”, es decir, aquella enla que los intervalos más pequeños estén más próximos al principio del conjunto y los mayoresmás cercanos a su final. Por ejemplo, el conjunto (0,2,3,7) está más ajustado a la izquierda que(0,4,5,7) (Cf. fig. 6.4.3) porque su intervalo más grande está “en el interior” de (0,2,3,7) entrelos sonidos 3 y 7 (o “a la derecha”); mientras que el intervalo máyor de la parte interior de(0,4,5,7) está entre el 0 y 4, más bien, cercano a la izquierda. Ambos conjuntos están en FormaNormal, pero el primero está “más ajustado a la izquierda”.


Figura 6.4.3: Conjuntos (0,2,3,7) y (0,4,5,7)

6.4.3. La Forma Orignal (Prime Form)

Una vez hemos obtenido la Forma Normal de un conjunto y la de su inversión, la FormaOriginal sería aquella de estas dos que esté más comprimida, transportada para empezar encero.

Por ejemplo, tomado un conjunto (7,8,2,5) que podríamos llamar A, vamos a ver cómopodemos calcular su Forma Original.

1. La Forma Normal de A sería (2, 5, 7, 8)


Figura 6.4.4: Acorde A (2, 5, 7, 8)

2. Su inversión sería (4, 5, 7, 10)


Figura 6.4.5: Acorde A invertido (4, 5, 7, 10)

3. Su Forma Original (Prime Form) sería (0, 1, 3, 6)


Figura 6.4.6: El Acorde A en su Prime Form (0, 1, 3, 6)

6.4.3.1. ¿De qué sirve la Forma Original?

La Forma Original es una abstracción de conjuntos que nos da una representación única deun grupo particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma Forma Original, podemos ase-gurar que sonarán similar el uno al otro. Los conjuntos con la misma Forma Original contienenel mismo número de notas y los mismos intervalos entre ellas, por lo tanto son auditivamente“equivalentes”, del mismo modo que todos los acordes mayores lo son entre sí, en el ámbito dela música tonal.

Las representaciones de la Forma Original también reciben el nombre de “clases de conjun-tos” (Set classes). Conjuntos que tienen idénticas formas originales se dice que pertenecen a lamisma clase. Por ejemplo, los conjuntos de sonidos (1,2,7), (8,2,3) y (0,11,6) pertenecen todosa la clase (0,1,6).


6.5. Los mapas armónicosEsta aplicación del Espiropentagrama, que en realidad no atendería a su forma habitual,

sino que mostraría únicamente la circunferencia interior, habitualmente oculta, y sobre ellalas formas poligonales explícitas de determinados conjuntos de sonidos, indicaría segmentandomediante diferentes colores29 la circunferencia -tal y como si fuera un gráfico de porcentajes enforma de anillo-, la proporción de presencia que determinados conjuntos de sonidos -que estaríanrepresentados como polígonos circunscritos con colores que los conectarían con dichos segmentosde la circunferencia- tienen en un determinado pasaje o pieza. Ahora bien, aunque esto podríaconcretarse de diferentes maneras según los intereses de cada estudio, aquí, en nuestros mapasarmónicos indicaremos los tres acordes que más aparecen y qué proporción del total del pasajeo pieza, representan (en caso de haber una paridad entre varios acordes, si fuera en el índice demayor aparición o en el de segunda mayor aparición, lo repartiríamos de forma que estuvieranlos tres que más aparecen; y si fuera en el tercer lugar de nuestro ranking, escogeríamos elde mayor trascendencia dentro de la pieza). Además, para completar la información aportada,también se mostrará el acorde de mayor grado de disonancia30 que suena en el fragmento opieza (en caso de, por ejemplo, existir varios acordes de séptima disminuida, escogeríamos elque apunte a un tono más lejano de la tonalidad principal).

Veamos este complicado proceso sobre un ejemplo práctico tomando el coral nº 20: “Einfeste Burg ist unser Gott”, de J. S. Bach (fig. 6.5.1 en la página siguiente).

Según podemos apreciar, la partitura muestra ya un análisis de los grados que participan alo largo de la misma. Un desglose de los mismos respondería a la siguiente tabla:

Acorde Veces que apareceI 11V 8VI 6IV 5

(V)V 4III 4VII6 2II 2

(V)II 2(VII)VI 1(VII)II 1

Cuadro 6.12: Acordes presentes en el Coral nº 20 de J. S. Bach

Comprobamos de esta forma que hay 46 acordes en total, de los cuales el I aparece once29Estos colores, como es lógico, tendrán su correlación con lo explicado en este trabajo, en el apartado 5.5

titulado “El color como marca funcional” en la página 100.30Recordemos lo que comentábamos a este respecto, señalando el área de la representación poligonal de una

sonoridad como indicativo de su grado de disonancia, en el apartado 5.1.4 en la página 62.


Figura 6.5.1: Coral nº 20: “Ein feste Burg ist unser Gott” de J. S. Bach


veces, el V sólo ocho y el VI seis. Así, a nivel estadístico podríamos decir que el I aparece casiun 24%, el V un 17% y el VI un 13%; si contamos los tres juntos vemos que suman casi el54% de los acordes de este coral. Al mismo tiempo, podemos comprobar Esta proporción es loque se indica con la segmentación de colores de la circunferencia en la siguiente figura 6.5.2:

Figura 6.5.2: Representación de las proporciones de aparición de acordes

Y finalmente, para simplificar y no requerir de leyenda alguna, así como para aportar alobservador el tipo y características (según se deducen de su morfología poligonal) de los acordesmás habituales de la pieza, se indican estos tres acordes encuadrados según correspondería a surepresentación en el círculo cromático o la circunferencia interior del espiropentagrama -dondedo, si viéramos su posición como en un reloj, tendría la posición de las 12; si, a las 11; re,las 2, etc.-. También, dibujado mediante una línea doble de puntos, se muestra el acorde másdisonante de la pieza, el (VII)II31. De esta forma, podemos concluir que el mapa armónico de lapieza quedaría expresado con la figura 6.5.3 que vemos a continuación en su forma policrómicay en una versión en escala de grises32:

31Así como explicábamos al final del primer párrafo de este apartado, habiendo dos acordes disminuidosejerciendo su papel de dominantes secundarias, escogemos el del II (una alteración menos) por ser un tono máslejano que el VI, que es el relativo menor y comparte las mismas alteraciones.

32La idea es que, convertido el gráfico a escala de grises, sea más cómoda su distribución reprográfica y puedanseguirse reconociendo las correspondencias entre los polígonos y su índice de participación, indicado como en laversión en color, por cada segmento de circunferencia.


Figura 6.5.3: Mapa armónico del coral nº 20 de J. S. Bach (en color y en blanco y negro)

Finalmente, la idea sería adjuntar este esquema simbólico -probablemente, por comodidad,en su versión en escala de grises- en las piezas revisadas, para así agilizar la comparación y ladeducción de sus características. De este modo podíamos observarlo en una versión monocró-mica, en la esquina superior derecha de la partitura de este coral, que veíamos en la figura 6.5.1en la página 160.

6.5.1. Comparación de mapas armónicos

Es indudable que la finalidad principal de esta utilidad del Espiropentagrama es podercomparar diversas piezas (o incluso autores o estilos, si estuvieran ya sintetizados) de formarápida y sencilla, para poder, de esta forma, obtener conclusiones de índole armónica sobrela evolución de un autor, o el carácter contrastante de dos pasajes, sustentándose siempre enhechos objetivos y estadísticos, y no en vagas apreciaciones con mayor o menor fundamento.

De esta forma, vamos a comparar el Coral nº 20 “Ein Feste Burg ist unser Gott” de J.S. Bach, que tomamos como ejemplo en el apartado anterior, con el Walze op. 18 nº 2 de F.Schubert. Podemos ver la partitura, con los grados ya indicados, en la figura 6.5.4 en la páginasiguiente.

Así, obtenemos la tabla mostrada en el cuadro 6.13, en que se indica los acordes que apareceny el número de veces que lo hacen.


Figura 6.5.4: Walze op. 18 nº 2 de F. Schubert


Acorde Veces que apareceI 9V 3IV 2V7 2II 2III 2VII6 2VI 1

(V7)III 1(V7)VI 1(V7)V 1(VIIº)II 1

Cuadro 6.13: Acordes presentes en el Walze op. 18 nº 2 de F. Schubert

Concluimos pues que, de 25 acordes en total que hay en este vals, nueve veces aparece el I,tres el V y dos el IV, el V con 7ª, el II y el III -escogeremos el IV para nuestro mapa armónicode esta pieza, por ser el de mayor trascendencia armónica-. De esta forma, si convirtiéramosestos índices de aparición en porcentajes, nos encontraríamos con que el I tiene una presenciade un 36%, el V un 12% y tanto IV como V con 7ª como II como III estarían igualados con un8%. Por otro lado, el acorde más disonante del conjunto, parece evidente que es una dominantesecundaria, el acorde de séptima disminuida del II, que aparece en el compás 21 (véase partituraen la página anterior). El mapa armónico de esta pieza podemos verlo en la siguiente figura6.5.5, en las dos versiones, la policrómica y la de escala de grises (que se mostraba ya en laesquina superior derecha de la partitura ofrecida anteriormente).

Figura 6.5.5: Mapa armónico del Walze op. 18 nº 2 de F. Schubert (en color y en blanco ynegro)

Si ahora procedemos a comparar los dos mapas armónicos (el del Coral nº 20 de J. S. Bach


y el de este vals) como se muestra en la figura 6.5.6 que vemos a continuación, podemos obtenervarias conclusiones:

Coral nº 20 de J. S. Bach Walze op. 18, nº 2 de F. Schubert

Figura 6.5.6: Comparación de dos mapas armónicos

Ambas son obras de marcada influencia tonal y de notable simplicidad armónica. En elcaso del segundo mapa, dada la presencia mayoritaria del I, IV y V, tríadas, podríamospensar que con probabilidad pertenece al Clasicismo33.

Predominancia de acordes tríadas en ambos casos, si bien, observando el mapa de laizquierda podemos deducir que no hay ningún cuatríada, ya que el acorde más disonantees un tríada disminuido.

La pieza representada por el mapa de la izquierda es más tendente a la variedad de sonori-dades, puesto que los tres acordes mayoritarios tienen una presencia bastante equiparada,a diferencia de lo que sucede en el caso de la derecha, que la tónica ocupa más de untercio de la pieza (como ayuda a la rápida comprensión de este detalle, hago notar queun tercio sería desde las 12 hasta las 4). Ésta es una de las características que singularizaal Barroco frente al Clasicismo.

La pieza de la izquierda es menos disonante en general. Los tres acordes más frecuentes,siendo tríadas, sólo ocupan 6 de los 9 vértices posibles; e incluso contando lo aportadoal esquema por el acorde más disonante, sólo suma un vértice más. Sin embargo, en elcaso de la derecha, también tres tríadas, ocupan 7 de los 9, y el cuatríada representado,aporta dos vértices más. Así tenemso una figura global de 7 vértices frente a una de 9, queobviamente tendrá un área mayor (recordemos lo dicho a este respecto en el apartado 5.1.4en la página 62, sobre el área como indicativo del nivel de disonancia de una sonoridad).

33Como sabemos, Schubert es para muchos teóricos un punto intermedio entre el Clasicismo y el Romanticis-mo.

Capítulo 7

Propuesta de aplicación de estadidáctica

En este capítulo vamos a plasmar lo que podría ser un plan de actuación con el que poneren práctica la metodología aquí esbozada. La idea de estas páginas no es, en modo alguno,ofrecer una detallada planificación sino apenas un apunte; sin lugar a dudas, tratar de llevar a larealidad las directrices que aquí se proponen exigiría un estudio mucho más pormenorizado y unreplanteamiento de las programaciones didácticas, e incluso quizá también la propia legislaciónvigente.

Esta propuesta de aplicación es sólo un boceto elaborado tras mucha reflexión e investigaciónpor una sola persona; no cabe la menor duda de que, pese a su mejor intención, un equipo depersonas especialistas en los diferentes niveles educativos, así como en pedagogía y psicología,podrían -y ojalá así suceda- realizar muchas mejoras sobre este ambicioso diseño que abarcatodos los niveles educativos en que está presente la música1.

7.1. En la enseñanza generalEl método aquí propuesto basa sus argumentaciones en establecer conexiones entre sonori-

dades y formas geométricas y colores. Así, estas conexiones pueden empezarse a plantear desdeun período incluso anterior a que el niño sea capaz de reconocer con precisión ambos aparta-dos de la realidad, con el fin de que la asimilación de la solidaridad acústico-visual de estoselementos, se produzca con total naturalidad más adelante.

1En estas páginas se contempla tanto la enseñanza general, como las enseñanzas artísticas. Ha quedado sintratar, sin embargo, en parcelas en los que no es materia propiamente, como la danza; ahora bien, el método detrabajo para estas secciones de la enseñanza que hemos omitido, pueden deducirse fácilmente a partir de estecapítulo según cuál sean los contenidos tratados y la finalidad de los mismos.

166

CAPÍTULO 7. PROPUESTA DE APLICACIÓN DE ESTA DIDÁCTICA 167

7.1.1. En el ámbito de Preescolar

Este período educacional se dirige a los niños desde los 0 hasta los 6 años y va a ser de unaenorme trascendencia para los posteriores progresos educativos. Así pues, respecto de lo quenos concierne podemos afirmar que según los estudios de la psicología evolutiva, desde los 2 alos 3 años de edad, el niño ya es capaz de identificar y nombrar las formas geométricas básicasy los colores primarios y algunos de los secundarios. Sería, por lo tanto, un buen momento paratrabajar la vinculación de figuras, colores y sonoridades. No obstante, aunque es probable queapenas pueda aspirarse a la asimilación cognitiva del niño desde sólo la vertiente sonora, de lasequivalencias visuales, no sería descabellado empezar a trabajar también hacia ese objetivo yevaluar la evolución.

Trabajaríamos únicamente con los tres colores básicos: azul, verde y rojo; y las tres formasbásicas: triángulo, cuadrado y círculo. Tal y como se describía en los apartados correspon-dientes2, estos tres colores y estas tres figuras remitirían a diferentes realidades sonoras (véasecuadro 7.1), que, para una mayor diferenciación por parte del niño, sería recomendable queestuvieran practicadas por timbres lo menos semejantes posible. Una sugerencia sería que cadafigura estuviera interpretada por una familia de instrumentos diferente, por ejemplo, el círculo(el glissando) por la cuerda, el triángulo (el acorde mayor) por el viento y el cuadrado (el acordedisminuido) por la percusión.

2Las vinculaciones propuestas de las sonoridades con los colores se explicaban en el apartado 5.5 en lapágina 100 y de éstas con las figuras geométricas triangulares en el apartado 5.4.1 en la página 81 y con loscuadriláteros en el 5.4.2 en la página 86.


Azul

Verde

Rojo

Cuadro 7.1: Tres colores, tres figuras, tres sonoridades

Una manera de trabajar con estas formas podría ser unirlas a movimientos, a modo dejuego. Por ejemplo, colocando estas figuras, con un tamaño grande, dibujadas en el suelo y queal reproducirse la sonoridad propia a cada representación, los niños deban ir y colocarse sobrela figura adecuada. Otra manera de vincular las sonoridades, figuras y movimiento, sería que,al mismo tiempo que se reproduce la sonoridad y se muestra la figura, se deba colocar el cuerpode una manera concreta; por ejemplo, con el azul: sentado, con el verde: andando y con el rojo:en cuclillas.

Como otra posible aplicación de esta vinculación, no sería difícil imaginar una especie deteclado de tres teclas, que tuvieran la formas y colores que acabamos de describir, y que remi-tieran al ser pulsadas, a las sonoridades previstas (de forma similar a como pueden funcionarlos botones de la mano izquierda del acordeón). El teclado contaría con una pantalla electrónicapequeña en la que se le indicaría al niño una serie de secuencias con estas figuras, graduadasen dificultad creciente, para que el niño las fuera realizando pulsando las teclas. Este juguetepodría ser perfectamente apto desde los 18 hasta los 36 meses.

Una versión más desarrollada para niños desde los 3 años hasta los 6, contaría con más teclasampliando el número de colores y repitiendo figuras con diferentes colores, o una versión de


tipo xilófono3. De hecho no es en absoluto imposible, imaginar su aplicación en acordeones dejuguete -como los que ya hay en el mercado- que permitiera acompañar una serie de cancionespregrabadas en el aparato o incluso, para los niños más mayores (5 y 6 años) contemplar laposibilidad de enseñarlos a tocar una melodía con la mano derecha y a acompañarse ellosmismos con botones con estas figuras y colores, en la izquierda. También podría plantearse laposibilidad de usar otros instrumentos de juguete, como guitarras o teclados elementales.

7.1.2. En el ámbito de Primaria

En este período educativo, que en nuestro país abarca desde los 6 hasta los 12 años, la músicaes una disciplina que se estudia académicamente a nivel general en las escuelas de enseñanzabásica. Cierto es que en la actualidad cuenta con un presupuesto temporal semanal muy bajo4,que apenas permite una introducción somera del niño a la compleja teoría y práctica musical.

7.1.2.1. Primer ciclo

Contemplando la posibilidad de que haya habido algún tipo de formación musical en el jardínde infancia, según se propone aquí, la idea sería que durante los primeros cursos pudiera seguirempleándose actividades similares a las que planteábamos antes en el apartado de preescolar (en la página 167), para vincular las sonoridades con las figuras. Va a ser muy importante quedurante esta etapa inicial de la educación del niño, se le aporte un nexo y se le introduzca en elmundo armónico, puesto que esta iniciación va a ser fundamental para las etapas posteriores.

Una manera de continuar creando esta conexión, y reelaborando propuestas que hacíamosantes, podría tratarse de aprender canciones sencillas con coreografías elementales, que tengancomo localización espacial el colocarse en determinada postura sobre una parte de la clase en laque estuviera esta forma geométrica o, mejor aún, formando en grupos, creando filas que seríanlos lados, estas formas geométricas (triángulo, cuadrado, círculo).

7.1.2.2. Segundo ciclo

Siguiendo con lo que se trabajaba en el ciclo anterior, se llevarían a cabo adaptaciones deactividades, para ofrecer una mayor variedad y continuar asentando el reconocimiento de estassonoridades sencillas.

3Podemos observar que ya existen xilófonos de juguete que utilizan láminas de colores para niños de cortaedad, sin embargo, los colores suelen ser diferentes a los que proponemos en este método, porque atiendenúnicamente a sonidos individuales y no a sonoridades de varios sonidos. Así, los colores que podemos ver enellos son do: rojo, re: naranja, mi: amarillo, fa: verde, sol: azul o verde oscuro, la: azul oscuro o morado, y si: lilao rosa. Se aprecia cómo esta relación se aproxima bastante a la secuenciación que hiciera Newton, que veíamosen el apartado 2.2 en la página 27.

4Dado que la estipulación de los currícula educativos ya no depende de la administración estatal, sino quequeda a discreción de las administraciones autonómicas, la situación que describimos es la que nos es conocidaen la región en la que nace este trabajo, la Región de Murcia. Aquí, en el nivel de Primaria, la asignatura deMúsica sólo cuenta con una hora semanal.


Por otra parte, dado que en esta etapa ya se hará uso con toda probabilidad de los musi-cogramas, podría ser de especial utilidad el insertar los dibujitos (instrumentos musicales, quenormalmente se utilizan para ir marcando las partes y/o compases) en un marco poligonal quecorresponda con lo que se está trabajando (véase fig. 7.1.1 de abajo); de este modo se estaríaindicando, aunque no tenga por qué hacerse explícito para los alumnos, el tipo de acorde y lafunción que tiene, y así ir contribuyendo al asentamiento de los conceptos.

Figura 7.1.1: Elemento de musicograma enmarcado

7.1.2.3. Tercer ciclo

En este ciclo podríamos dar ya un paso más y tratar de que traten de reconocer los gradostonales (I, IV y V) e identificarlos con los colores básicos (azul, verde y rojo, respectivamente).Para ello podría utilizarse canciones básicas, a ser posible que les sean cercanas al alumnado5,así se logrará interesarlos y hacerles ver que puede ser útil para entender cómo se estructura elfraseo de la música, cómo se construye la tensión y la relajación dentro de la sintaxis musical.

7.1.3. En el ámbito de Secundaria

Esta etapa abarca, de forma obligatoria, desde los 12 hasta los 16 años, con lo que se llama laESO (Enseñanza Secundaria Obligatoria). Terminada esta fase educativa, el estudiante puedeescoger si seguir cursando el Bachillerato (de los 17 a los 18 años) o comenzar las enseñanzasde índole profesional. Ésta es por lo tanto, la última parte de la enseñanza que se ofrece atodos los escolares de nuestro país, y ha de servir, en el ámbito de las enseñanzas musicales,para consolidar los aprendizajes y para completar el desarrollo de las habilidades y destrezasque se iniciaban en primaria. Es por esta razón que será relevante que se continúe con la laborarmónica que se venía haciendo e incluso se evolucione dentro del mismo.

7.1.3.1. Primer ciclo

En el primer ciclo, al menos en el entorno desde el que nace este trabajo, sólo se impartemúsica en uno de los dos niveles que lo componen, después de una leve cesura de un año, que

5Secuencias basadas exclusivamente en estos tres acordes son muy populares dentro del pop y el rock, yespecialmente en el conocido punk rock, así que no será difícil encontrar una canción entre este género. Comogrupo emblemático de este tipo de música habría que señalar sin dudas a “Los Ramones”.


puede llegar a ser fatal para la asunción de todos los conceptos y destrezas, por parte de losjóvenes. No obstante, en este curso lo más recomendable sería intentar recuperar el nivel quese había alcanzado en el último ciclo de primaria y dotarlo de una base teórica más fuerte quelo fundamentara y le sirviera para darle mayor consistencia.

Quizá, si el alumnado tuviera posibilidad y la destreza suficiente, se podría ampliar elcorpus de acordes con el que se trabaja con el acorde de séptima de dominante (cf. fig. 7.2.1 enla página 175) y algún acorde menor, como el II y el VI, con sus respectivas formas y colores(recordemos el cuadro 5.4 en la página 102).

7.1.3.2. Segundo ciclo

En este período, además de existir un curso en el que la música se imparte como asigna-tura obligatoria, se ofrecen diversas posibilidades optativas, que permitirán hacer interesantesprogresos en la práctica interpretativa y auditiva armónica. En asignaturas como “El taller decreatividad” en el que se potenciará la expresividad instrumental y vocal del alumno, podráavanzarse en el sentido que propone esta didáctica si se inicia al alumnado en instrumentospolifónicos como los teclados o la guitarra. Esto, fuera de ser muy llamativo para los estudian-tes de estas edades, servirá como extraordinario acicate para llevar a la práctica el trabajo deconexión que hemos llevado a cabo desde las primeras etapas de la enseñanza. Como propuestapresentamos el próximo párrafo que explica una forma de usar las formas poligonales a modode cifrado acórdico.

El cifrado poligonal. Desde bastante antiguo en nuestra tradición, se ha buscado mediospara representar sonoridades o acordes, de forma que fuera más rápido de escribirlas y además,no requiriera de un conocimiento profundo a su receptor, del lenguaje musical, para su ejecución.La mayoría de estos cifrados se basaban en principios conceptuales y no buscaban la solidaridaddel signo con su atribución6; como ejemplo sencillo y vigente, tendríamos el extendido cifradoamericano que recoge con letras y números el tipo de sonoridad con que se debe acompañar unfragmento de una melodía, ésta sí, escrita sobre un pentagrama. La propuesta que se lanza eneste apartado de utilizar las figuras poligonales y colores con los que se venía trabajando, segúnestá recogido aquí el proyecto, desde prescolar, como método de cifrado para el acompañamientode piezas que, instrumentos polifónicos como el teclado o la guitarra, podrían leer y servirles,también, como método facilitado de introducción al instrumento. Podemos ver una ilustraciónque refleja cómo resultaría, llevada a un caso práctico, esta propuesta de cifrado, a continuaciónen la figura 7.1.2.

6Una excepción destacable es el cifrado de guitarra que en sí mismo, indica la posición de qué trastes hayque pisar sobre el mástil para reproducir el acorde.


Figura 7.1.2: Imagine, de John Lennon, en cifrado americano y poligonal


7.2. Dentro de las enseñanzas artísticasSerá éste el ámbito más apropiado y con mayores posibilidades de desarrollo para aplicar

por entero, el máximo potencial que este método didáctico ofrece. Al contar con un alumnadoque va a tener una formación específica y una continuidad, se puede trabajar con los mediosaquí propuestos desde una temprana edad y con la suficiente profundidad para alcanzar unosresultados evidentes, en estadíos de estudio más avanzados.

7.2.1. En las Enseñanzas Elementales

En este nivel, con alumnos de una corta edad, es fácil crear estímulos y conexiones quepuedan tener una resonancia útil posterior. De este modo, pudiendo haber trabajado o estarlohaciendo, ya en la educación general de prescolar y de primaria, con los elementos básicos,en la asignatura de Lenguaje Musical se profundizará en éstos y se buscará desarrollar unaintegración de los mismos aún más consumada, dentro del corpus teórico-conceptual adquiridopor los niños.

7.2.1.1. Primer curso de Lenguaje Musical

En el primero los cuatro cursos, se insistirá sobre la imbricación de símbolos poligonales ypolicrómicos elementales7; mi propuesta sería incluir progresivamente una mayor cantidad defiguras y colores, pero para empezar partir apenas de los 3 colores básicos de los tres gradostonales (I = azul; IV = verde y V = rojo) y el triángulo escaleno creciente propio del acordeperfecto mayor. Así, primeramente sería un trabajo exclusivamente con colores, con la finalidadde asentar auditivamente los tres grados principales y las funciones básicas del lenguaje tonal. Enel segundo trimestre, si ha habido una buena evolución, se añadiría un color más correspondientea otro grado, la supertónica (II = amarillo), junto con la figura propia del acorde menor: eltriángulo escaleno decreciente; semanas más tarde se introduiría también la submediante osuperdominante (VI = lila), que tendría la misma forma pero otro color. En el último trimestre,se incorporaría los dos grados que faltan, primero la mediante (III = marrón) que sólo sumaríaun color más al corpus conceptual; y por último, la sensible (VII = naranja) que supondría nosólo un nuevo color, sino también una forma nueva: el triángulo rectángulo isósceles. Con estohabríamos introducido al alumno a todas las sonoridades tríadas propias de la escala Mayor,siempre en discursos armónicos breves y elementales (apenas tres acordes). Sería aconsejableque, además de vincular puramente los acordes con las figuras y colores mencionados, a lamanera tradicional de dictado, se practicara de manera lúdica con movimientos en danzasy juegos, que pudieran servir para redundar en las características funcionales de tensión ydistensión, propias de estas sonoridades según el contexto del discurso.

7Recordamos que existe una tabla ilustrativa de la representación poligonal de los tríadas de la escala Mayoren la página 102.


Es probable que para el mejor reconocimiento de los acordes, sea conveniente reproducirlos acordes arpegiándolos un poco, para facilitar la escucha de todas sus notas a estos alumnosnóveles.

7.2.1.2. Segundo curso de Lenguaje Musical

En segudo se repasaría y profundizaría en lo aprendido en primero haciendo uso de estruc-turas armónicas con mayor complejidad (utilizando más de tres acordes diferentes) y longitud(alcanzando desde el segundo trimestre, la frase de ocho compases). Si fuera posible, se añadiríaal final, en el tercer trimestre, la sonoridad de un cuatríada con una representación y sonoridadmuy características: el acorde de séptima disminuida, que en este nivel inicial, mantendría elcolor naranja8 de su tríada base, pero estaría representado por una figura nueva, el cuadrado(tratábamos este acorde en el apartado 5.4.2.7 en la página 93).

Además, dado que se empieza a iniciar a los alumnos en este curso9 en los intervalos básicos(mayores, menores y justos) y la escala de Do Mayor y de la menor, parece que sería unbuen momento para apoyar la explicación de estos elementos de la teoría musical mediante suproyección sobre el Espiropentagrama (que recordemos se trató en el capítulo 4 en la página 41);un utensilio de fácil fabricación que podrán hacerse ellos mismos (aportándoles las plantillaspara que únicamente tengan que recortar) y que, probablemente, será recibido como un juguete.Con bastante certeza será más fácil para los niños contar los intervalos como si fueran horas delreloj, y al mismo tiempo, este mecanismo servirá como cimiento nemotécnico que les ayudaráa retener y a realizar mentalmente una visualización de la escala y de los intervalos.

7.2.1.3. Tercer curso de Lenguaje Musical

En el siguiente curso, el tercero de grado elemental, se partiría de frases de ocho compasescon al menos cuatro acordes diferentes, y se insistiría en el manejo de las sonoridades vistashasta el momento, incluyendo especialmente el acorde de séptima disminuida. Una evoluciónrespecto del curso anterior, sería empezar a trabajar el reconocimiento de la inversión en queestán los acordes; la manera de simbolizar esto, que colaboraría sería muy sencillo mediante larotación de las figuras poligonales que se venía usando hasta ahora.

8Si fuera posible, se distinguiría entre dos naranjas diferentes, aunque sólo a nivel visual y sin ningunareferencia explícita para el alumnado; el naranja del tríada sería más apagado y el del cuatríada disminuido,más brillante (como si se mezclara el naranja propio del VII con el amarillo propio del II).

9Según he podido constatar consultando las programaciones docentes de varios conservatorios.


Estado Fundamental 1ª inversión 2ª inversión

Acorde Perfecto Mayor

Acorde perfecto menor

Cuadro 7.2: Representación de las inversiones de los acordes perfectos Mayor y menor

A mediados del segundo trimestre, como novedad, se comenzaría a aplicar un dictado mix-to que incluyera alturas melódicas sencillas con una rítmica elemental, junto al uso de estassonoridades. Y en el tercero, si todo se desarrollara con éxito, se podría incorporar un nuevoacorde, el cuatríada principal de la tonalidad: el acorde de séptima de dominante, representadopor un trapezoide10 con un ángulo recto de color rojo11 (puede verse en la fig. 7.2.1).

Figura 7.2.1: Trapezoide que representa el acorde de Dominante con séptima

Por otra parte, sería recomendable que en este curso se empezara a usar timbres diferentesal del piano, que presumimos sea el único que se haya utilizado hasta el momento, para norestringir su capacidad a un solo timbre y para incorporarlo también al vasto mundo de laidentificación de otros instrumentos polifónicos o de conjuntos de instrumentos, a través de laaudición.

Asimismo, continuando con el uso del Espiropentagrama que comenzamos en el curso an-terior, en éste añadiríamos su propuesta como soporte para la comprensión de la transposiciónde las escalas Mayores y menores, próximas, así como de intervalos más complejos (incluyendolos aumentados y disminuidos) y la inversión12 de todos ellos. Por otro lado, colaborará en laexplicación de los conceptos de unísono cromático y diatónico, y en el de enarmonía.

10Recordemos que, según nos define el DRAE, un trapezoide sería un “cuadrilátero irregular que no tieneningún lado paralelo a otro”.

11En caso de poder matizarse, el rojo de este cuadrilátero sería un rojo anaranjado cercano al conocido naranjabutano, consecuencia de una visión del mismo como suma del rojo del V grado y el naranja del VII.

12La inversión de intervalos en el Espiropentagrama es tan sencilla como contar semitonos en el sentido delas agujas del reloj o en el contrario.


7.2.1.4. Cuarto curso de Lenguaje Musical

Por último, en cuarto, el alumno debería poder hacer frente a un dictado que contara con unamelodía y un acompañamiento básico con los acordes que conoce, añadiéndose el reconocimientode las cadencias básicas (suspensivas o finales). Si se ve el grupo con un progreso adecuado,podría incluirse en el segundo o tercer trimestre dos sonoridades de cuatríada nuevas: el acordemenor con séptima menor y el acorde mayor con séptima mayor, construidas sobre el II y elIV con 7ª, respectivamente. Su representación poligonal sería la de dos trapecios13, tal como semuestra en la figura 7.2.2 de abajo, el II en un color amarillo (si es posible matizar, un amarillooscurecido casi verde, consecuencia de la mezcla de estos dos colores que simbolizaban el II yel IV) y el IV en verde (de nuevo, de ser posible matizar sería un verde turquesa, producto dela mezcla de los colores respectivos del IV y el VI, el verde y el morado). Primeramente sólo enestos dos grados cada una de ellas y de estar perfectamente asumidas, podría ampliarse hastacompletar todos los cuatríadas posibles de la escala Mayor, en el tercer trimestre. O sea, tratary usar también la sonoridad de perfecto menor con séptima menor sobre el III y el VII, cuyospolígonos representativos serían el mismo trapecio que servía para el II7, pero con diferentescolores, el III en su marrón (ahora, si se puede escoger gama, sería un marrón rojizo) y el VIen su color morado (en caso de poderse graduar, sería un color malva cercano al azul).

Figura 7.2.2: Representación del II y IV con 7ª de una escala Mayor

En caso de introducir al alumnado en el campo de la armonía, sería un buen momento parahacerlo explicando las tendencias, funciones y jerarquías de la tonalidad haciendo uso, a modo deesquema y resumen, de los árboles armónicos (de ellos hablamos en el capítulo 3 en la página 31)en una versión elemental, ya que las grafías con que se simbolizan los diferentes papeles de cadasonido dentro de cada sonoridad pueden ser muy útiles para su mejor comprensión.

Se evidenciará en el Espiropentagrama la motivación de las representaciones de todos losacordes aprendidos hasta este curso y se mostrará su inclusión dentro del heptágono diatónicode diferentes tonalidades (hasta 5 alteraciones en más y en menos).

13Atendiendo a la definición aportada por el Diccionario de la RAE, un trapecio en geometría es un “cuadri-látero irregular que tiene paralelos solamente dos de sus lados”.


7.2.2. En las Enseñanzas Profesionales

Este nivel educativo14 conducirá a la obtención de un título profesional de música y requeriráde la adquisición de unas destrezas y de todo un compendio de conceptos teóricos, que el alumnodeberá poder manejar con soltura. Entre ellos, se iniciará en esta etapa de las enseñanzasartísticas, propiamente en el mundo de la Armonía, debiendo ser capaz de reconocer (tantoteóricamente como en la práctica) y utilizar en ejercicios de diferentes tipos, las principalessonoridades de la ortodoxia tonal. Desde luego, éste será el momento en el que se podrá empezara hacer uso, verdaderamente, del núcleo fundamental del material que aquí se aporta; para ello,los usos propuestos para la enseñanza general y el nivel elemental de las enseñanzas artísticas,han sido apenas un preludio, una preparación para que ahora no resulte brusca y, al mismotiempo, pueda aprovecharse con plenitud, al tener ya asimiladas la manera de esquematizar ylas analogías de representación.

7.2.2.1. Lenguaje musical

Esta asignatura se daría en los dos primeros cursos de las Enseñanzas Profesionales, yteniendo en cuenta lo trabajado en el último curso de las Enseñanzas Elementales, habría decontinuar afirmando y profundizando en los contenidos armónicos que, desde estas páginas,se proponían para ese curso, en el apartado 7.2.1.4 en la página anterior. Es decir, trabajarcon todos los acordes tríadas (perfecto Mayor y menor, disminuido) y añadir el de quintaaumentada -que estaría representado por un triángulo equilátero, de color marrón (que si sepudiera matizar, sería más bien marrón rojizo)- que de manera natural se da sobre el III<

del menor melódico (fig. 7.2.3); así como con los acordes cuatríadas que se habían visto hastaahora (séptima disminuida, Mayor con séptima menor y mayor, menor con séptima menor) yañadiéndose uno: el de séptima de sensible, propio del VII grado del mayor -simbolizado porun trapezoide naranja (y de poder matizarse, amarillo huevo), como podemos ver también enla figura 7.2.3 de abajo-.

Figura 7.2.3: III< de la escala menor melódica y el VII7 propio del modo Mayor

Del mismo modo que ya se comenzaba a hacer en el último curso de las Enseñanzas Elemen-tales, estos polígonos se harán visibles partiendo de su fundamentación en el Espiropentagrama,

14El currículo de las Enseñanzas Profesionales en el que se basa este apartado es el propio de la Región deMurcia, acorde con lo publicado en el BORM de 7 de Mayo de 2008.


así como se trabajará en estos dos cursos sobre él, tanto en las explicaciones como en la resolu-ción de ejercicios propuestos para el alumnado (un ejemplo de este tipo de ejercicios propuestolo tenemos en la figura 7.2.4 en la página siguiente), en los que haya que deducir sonidos oconstruir representaciones geométricas a partir de unos sonidos dados que bien podría servir,para trabajar y repasar armaduras, grados y funciones de tonalidades diferentes; alcanzandoahora sí, todos los sostenidos y bemoles posibles e incluso, las alteraciones accidentales dobles desostenido y bemol. Este trabajo colaborará notablemente para la interiorización y comprensiónteórica de las sonoridades con enarmonías, que de manera aislada habíamos propuesto trabajarya desde el tercer curso de Elemental.


Figura 7.2.4: Trabajando con las figuras derivadas de la representación en el Espiropentagrama


7.2.2.2. Armonía

Esta asignatura aparece en nuestro currículo en los dos cursos centrales de las EnseñanzasProfesionales, una vez concluidos los dos cursos de Lenguaje Elemental de los dos primerosaños. Es evidente que será al alcanzar esta asignatura, donde mayor provecho podrá obtenersede las ideas aquí expuestas, especialmente si, como aquí se sugiere, se ha venido trabajando conlos árboles armónicos desde final de las Enseñanzas Elementales, en la asignatura de LenguajeMusical, y si las proyecciones de sonoridades sobre el Espiropentagrama, como analogías de suesencia sonora, están no sólo entendidas sino perfectamente incorporadas a la realidad teóricamusical del alumno. Así pues, se podrá trabajar partiendo de un conocimiento sólido de laspropiedades de las sonoridades más habituales del lenguaje tonal, tanto en su dimensión teóricacomo en la acústica, y esto permitirá que el alumno maneje las realidades sonoras en susejercicios de Armonía siendo plenamente consciente de cómo suenan y de sus grados de tensión,y escogiendo conscientemente las progresiones y enlaces que quiere realizar, en función de loque le es permitido y lo que tiene perfectamente asimilado como producto de su bagaje musical.

La asignatura, por lo tanto, a lo largo de los dos cursos que abarca, tratará de desarrollar eloído interno sintáctico-armónico del alumno, haciéndole comprender y valorar las progresiones yenlaces más aconsejables u ortodoxos de nuestro sistema musical occidental en su variante tonalde la práctica común; además, no sería inoportuno completar esta enseñanza introduciéndoloa otras posibilidades de otros períodos históricos y de otros sistemas diferentes al tonal. Paraello, como es lógico, se haría uso de los árboles armónicos (que veíamos en el capítulo quededicábamos al respecto) y así se podría ir mostrando la evolución de la Armonía tonal ysu comparación con la Armonía modal o la atonal, por citar algún ejemplo. Como es lógico,conforme el alumno vaya aumentando sus conocimientos, sus árboles armónicos irán creciendo,así como la figura resultante de su proyección en el Espiropentagrama.

De este modo, como ejemplo práctico y significativo de la incidencia de este material enesta asignatura, podríamos citar una aplicación del Espiropentagrama que se explicaba enel capítulo anterior; hablamos pues de la modulación diatónica, una forma de modular quesuele estar incluida en los contenidos del segundo curso de este nivel, y que se explicaría eneste momento haciendo uso de unos árboles armónicos sin las notas alteradas -que es como lohicimos nosotros-, o sea, en su estado elemental o medio15, pero siguiendo el proceso descritopara este tipo de modulación en el apartado 6.3.3 en la página 122.

7.2.2.3. Análisis

Análisis se estudiará en los dos últimos cursos de los seis que integran las EnseñanzasProfesionales, si bien el alumnado tendrá que escoger entre esta materia o Fundamentos deComposición. La aportación que los árboles armónicos pueden hacer dentro del campo del

15En caso de no entender a qué forma de los árboles armónicos nos referimos, recomendamos acudir a lapágina 33 en la que se explicaba este asunto.


análisis es más que notable ya que, siendo una manera de esquematizar jerarquías, funciones ytendencias de unos sonidos dentro de un conjunto, van a servir fructíferamente para resumir lascaracterísticas de autores o de obras y compararlas entre sí. Podría de esa manera apreciarse, enapenas unos escasos centímetros de papel, las conclusiones armónicas de una pieza comparadascon el resto de la obra de un autor, o simplemente esquematizarse las cualidades de índolearmónica que sobresalen en ella.

En cualquier caso, dentro de este campo, quizá la mayor aportación que estas páginaspueden realizar serían las que ofrecen los mapas armónicos de los que hablábamos como una delas aplicaciones del Espiropentagrama en el apartado 6.5 en la página 159; entonces poníamoscomo ejemplo los resultados de su empleo en un coral de Bach y una pieza de Schubert.

7.2.2.4. Fundamentos de Composición

Esta asignatura, como alternativa a Análisis, se estudiará en los últimos dos cursos de lasEnseñanzas Profesionales y tratará de iniciar a los estudiantes que la elijan, en métodos com-positivos elementales. De esta forma, nuevamente, los árboles armónicos y los mapas armónicosque mencionábamos como instrumentos de utilidad de Análisis, van a ser de un destacado pro-vecho para esta otra asignatura. Van a aportar y proponer esquemas de modelos armónicosde los que partir para realizar por ejemplo una sonatina a la manera de Beethoven, o unasvariaciones en el estilo de Mozart.

Entre los contenidos que suele incluir esta materia, se suele incorporar la modulación cromá-tica, que bien podría hacerse (aunque trabajando con árboles simplificados, como ya decíamosantes) siguiendo el método de comparación de la proyección de árboles sobre el Espiropenta-grama, tal y como hacíamos en el apartado 6.3.3 en la página 122.

Por otra parte, el Espiropentagrama puede colaborar a realizar análisis o mostrar propieda-des de los motivos melódicos o armónicos que se escojan o a crear otras formas de composicióna partir de otros principios.

7.2.3. En las Enseñanzas Superiores

El currículo de las Enseñanzas Superiores de música de nuestra región está aún por confor-marse mientras redactamos estas páginas, tras la implantación de un nuevo plan educativo deenseñanzas superiores por este motivo cabe la posibilidad de que lo que aquí se recoja no seaexactamente la manera en que se desarrolle en la práctica estas enseñanzas, una vez alcancenlas aulas.

7.2.3.1. Análisis

La asignatura de Análisis en las Enseñanzas Superiores va a ser de una enorme importanciay va a abarcar todos los períodos de la historia de la música occidental. De esta forma, losmétodos que se describían para esta asignatura en las Enseñanzas Profesionales, en el apartado


7.2.2.3 en la página 180. Obviamente, se tratará con mayor profundidad y se intentará enseñaral alumno a elaborar y comparar los mapas y árboles armónicos, que representarán las piezasanalizadas y a sacar conclusiones de ellos.

Evidentemente estos métodos resultarán muy útiles para comparar y comprender mejordiferentes estilos, sistemas compositivos de diferentes corrientes, etc.

7.2.3.2. Armonía

De forma similar a como se proponía trabajar en las Enseñanzas Profesionales, en el apar-tado 7.2.2.2 en la página 180, se haría ahora en las Enseñanzas Superiores, pero obviamente,trabajando con mayor exhaustividad y profundidad todas las posibilidades tanto del sistematonal, como de otros que puedan ser interesantes para completar su formación.

Continuando el ejemplo que citábamos antes, en el apartado que trataba el estudio de estaasignatura en las Enseñanzas Profesionales, sería un buen momento para introducir al alumnoen los árboles con notas alteradas (progresivamente, según fueran incluyéndose a lo largo delos dos cursos) y en los otros dos métodos de modulación que desarrollábamos, la modulaciónenarmónica (en el apartado 6.3.4 en la página 130) y la modulación cromática (apartado 6.3.5en la página 140).

7.2.3.3. Contrapunto

Contrapunto va a ser una asignatura nueva para los estudiantes de música de este nivel, yaque aunque hayan cursado los estudios profesionales, no se van a haber enfrentado a ningunamateria que tratara estos contenidos; únicamente, aquéllos que hubieran elegido Fundamentosde Composición, podrían haber tenido algún contacto con consideraciones melódicas que setratarán con mayor profundidad en esta asignatura de Grado Superior.

Respecto de las aportaciones que la propuesta didáctica que se ha desarrollado en estaspáginas, puede hacer a la enseñanza de Contrapunto, fuera de lo ya comentado que no dejaríade ser útil, de las asignaturas de Armonía y de Análisis, estarían la elaboración de árboles quetuvieran como finalidad explicar mejor el comportamiento melódico de determinados estilos yautores, o de árboles que ayudaran al alumno a asimilar las posibilidades de realización melódicaque posee para un tipo de ejercicio en concreto (como el árbol que ofrecíamos en el apartado 3.4.1en la página 39). Asimismo, haciendo uso del Espiropentagrama, podría analizarse la interválicaconstituyente de un motivo cualquiera, o trabajarse los diferentes tipos de imitación como seproponía en la sección 6.2 en la página 105, en el capítulo dedicado a las aplicaciones de estaherramienta.

7.2.3.4. Otras asignaturas que podrían beneficiarse

Sin lugar a duda, lograr que el alumno posea una mayor capacidad a la hora de analizar,utilizar y reconocer sonoridades va a poder ser útil para todas las disciplinas del mundo mu-


sical; no obstante, por mencionar aquí otras que van a poder beneficiarse más directamente,señalaremos aquí las que parecen más señaladas en este sentido.

Tal vez la asignatura que primero venga a la mente sea, inevitablemente, la de EducaciónAuditiva. Una asignatura que suele causar bastantes quebraderos de cabeza entre el alumnadoque llega a este nivel, y que consequentemente al ingente incremento de la educación del oídoarmónico que se propone en estas páginas, iniciándose desde el nivel de preescolar, encontraríamucho menor fracaso y podría, sin lugar a dudas, afrontar niveles de enseñanza mucho másaltos si la propuesta realizada en estas páginas, se llevara a la práctica.

Quizá otra de las más destacadas, en cuanto a poder utilizar lo expuesto en este trabajo,sería propia asignatura de Composición (o su variante de Composición aplicada), que va apoder gozar de un sistema de esquemas y de análisis nuevo y extremadamente útil, al tiempoque va a poder usar estas herramientas para proponerse nuevos métodos y nuevas organizacionessonoras.

Otro caso relevante sería el de Acústica, que va a contar con un clarificador medio paramostrar las diferencias entre diversos sistemas de afinación y sus propiedades con el Espiropen-tagrama (así lo demostrábamos en la sección 6.1 en la página 103, que comparaba el sistemade afinación temperado con el sistema pitagórico).

Conclusiones

La investigación que aquí se ha ofrecido perseguía contribuir a la teorética y a la enseñan-za general de la música de diversas maneras. La primera sería incentivar la ampliación de losmarcos de aprendizaje de la Armonía mucho más allá de lo que hasta ahora han tenido, almenos dentro de nuestra región y por extensión, de nuestro país. La ampliación propuesta enestas páginas tiene dos sentidos, en un primer término, extender la posibilidad de educar atodo el conjunto de la sociedad, en el reconocimiento de sonoridades, en su valoración y ensu disfrute. Y en segundo, hacerlo desde el mismo comienzo de su educación, no esperandoa que puedan poseer los complejos conocimientos teóricos que el manejo de los conjuntos desonidos implica, que requeriría desde luego (y así se venía haciendo hasta ahora) una ense-ñanza específica continuada, sino simplemente ofreciéndole instrumentos para distinguir estassonoridades y someterlas a una taxonomía elemental; especialmente iniciándose en el períodoinfantil que es cuando mayor capacidad de aprendizaje existe en la persona. Éste sería, porlo tanto, el doble marco de actuación, abarcar las enseñanzas generales y disminuir la edadde iniciación, en consecuencia también en las enseñanzas artísticas específicas, de los alumnosa las posibilidades expresivas y artísticas de las combinaciones de sonidos. Al respecto de losmedios que van a usarse para alcanzar este fin, tal y como enunciábamos líneas más arriba, lapropuesta que realizamos estribaría en utilizar como signo de las realidades sonoras armónicas,figuras poligonales policrómicas. Unos signos gráficos que son perfectamente accesibles para losniños desde las edades más tempranas y que permitirán dejar sembradas las semillas de unaprometedora educación musical futura, sobre todo apuntando a considerable mayor evoluciónde su capacidad auditiva musical.

Al respecto de cómo se ha hecho para elaborar estas figuras policrómicas, apuntaremosque éstas son producto en cuanto a su dimensión policrómica, de los estudios psicológicos quevinculan ciertos colores con ciertas emociones y en cuanto a su dimensión geométrica, a la pro-yección de los sonidos posibles dentro de un ámbito de octava sobre un soporte gráfico circular.Esta manera de representar los sonidos sobre lo que normalmente se llamaba diagrama de relojmusical, en este trabajo se ha tomado como base para construir una nueva herramienta en laque los puntos representativos de los sonidos sobre la circunferencia no se indican haciendo usode sus nombres sino de su representación musical sobre un pentagrama que, con una particularforma de espiral irregular, lo permite; a esta herramienta se le ha llamado “Espiropentagrama”.

La segunda de las contribuciones que vamos a señalar es su búsqueda de una explicación184

C 185

más completa, más profunda y más exhaustiva de cualquier sistema musical, pero dado elcontexto en que ha nacido, especialmente del occidental tonal. Para ello, esta propuesta observa,analiza y clasifica los comportamientos de determinados sonidos y/o conjuntos de sonidos, yse propone sintetizarlos en esquemas que reflejen lo observado con la suficiente precisión entodas sus dimensiones, como para permitir un más fácil acercamiento de otras personas, o suuso para la comparación con otros conjuntos o la práctica de cualesquiera estudios ulteriores.La consecución de este objetivo se intenta llevar a cabo mediante un sistema de grafías y unaorganización que, una vez explicadas y entendidas, permiten a sus usuarios acceder, profundizary contrastar las características de un determinado orden sonoro. A este tipo de esquemas, nosólo por su aspecto sino también por su conexión con la Graph Theory de la Matemática actual,le hemos llamado “árboles”.

Asimismo, otra aportación que debemos reconocer a la propuesta que resulta del estudio quepergeñábamos a lo largo de nuestro discurso, sería la coherencia que posee en su totalidad y lacapacidad de adaptación a diferentes grados de conocimiento; este hecho le permite tener unaproyección que no se restringe a un único nivel educativo y que no experimenta contradicciónalguna en todas sus extensiones, desde su versión simplificada con que se ofrecerá a los másnoveles, hasta su pormenorizada expansión en los niveles más superiores. Al mismo tiempo,estas mismas cualidades la hacen posible y conveniente en otras disciplinas prácticas y teóricasdel arte musical, y no la confinan exclusivamente dentro de las parcelas de la Armonía, o porextensión, de la teoría compositiva. Respecto de cómo se ha logrado esto, es sencillo; el puntode partida fueron analogías que servían de ayuda en los niveles más avanzados de la instrucciónmusical, de esta forma, estas analogías pronto se vieron que eran muy sencillas de simplificarpara explicar cuestiones de niveles inferiores, hasta llegar finalmente a comprobarse, tras unmeditado examen, su extraordinaria utilidad incluso en los niveles más básicos, puesto quepermitía alcanzar un alumnado mucho más joven. De esta forma nació la idea de que si selograba asociar estas analogías en este alumnado desde corta edad, se lograría que el sistemafuera aún más productivo, puesto que estaría mucho más asimilado y requeriría mucho menoresfuerzo para la abstracción y el análisis de las mismas.

Por último, parece imprescindible reparar en las manifiestas conexiones que esta propuestaesboza e incita a desarrollar, entre la música y otras tantas disciplinas como la psicología de lapercepción, la geometría o la pintura. Disciplinas que en este trabajo han encontrado un lugarelevado al servir como fuentes de recursos para construir un método pedagógico que sirvierapara poder explicar y entender mejor el arte más abstracto de todos, quizá por eso el másextraordinario, la música.

ONCLUSIONES

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