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Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas

Diseño: Prof. Helmuth Calderón ©

Tema:Tema:Tema:Tema:

Cuya gráfica es:Cuya gráfica es:Cuya gráfica es:Cuya gráfica es:

Consideremos la ecuación de la circunferencia: Consideremos la ecuación de la circunferencia: Consideremos la ecuación de la circunferencia: Consideremos la ecuación de la circunferencia:

922 yx

Introducción:Introducción:Introducción:Introducción:

¿Es una función la¿Es una función lagráfica de la derecha?gráfica de la derecha?

¿Es una función la¿Es una función lagráfica de la derecha?gráfica de la derecha?


La respuesta es ¡NO!La respuesta es ¡NO!La respuesta es ¡NO!La respuesta es ¡NO!


f(x)

x

f(x)

Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados Uso la propiedad de la adición, sumo a ambos lados

922 yx

Para conocerlas vamos a aislar:Para conocerlas vamos a aislar:Para conocerlas vamos a aislar:Para conocerlas vamos a aislar:


y)( 2x

Sin embargo la ecuación de abajo tiene Sin embargo la ecuación de abajo tiene implicitamenteimplicitamente dos funciones dos funcionesSin embargo la ecuación de abajo tiene Sin embargo la ecuación de abajo tiene implicitamenteimplicitamente dos funciones dos funciones


Acomodamos la ecuaciónAcomodamos la ecuaciónAcomodamos la ecuaciónAcomodamos la ecuación

2x

Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:Para ello vamos a aislar:


y

)( 2x 92 y )( 2x922 yx


Cancelamos términos semejantes, es decir las Cancelamos términos semejantes, es decir las Cancelamos términos semejantes, es decir las Cancelamos términos semejantes, es decir las

2x



y2x

)( 2x 92 y )( 2x922 yx


2x



y

)( 2x 92 y )( 2x922 yx

22 9 xy

y obtenemos y obtenemos y obtenemos y obtenemos

2y


2x



y

)( 2x 92 y )( 2x922 yx

Recuerda que todavía no esta aislada la variable Recuerda que todavía no esta aislada la variable Recuerda que todavía no esta aislada la variable Recuerda que todavía no esta aislada la variable Por lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos ladosPor lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos ladosPor lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos ladosPor lo tanto aplicamos raíz cuadrada a ambos lados

22 9 xy 22 9 xy


2x



y

)( 2x 92 y )( 2x922 yx

Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable Cancelamos el radical con el cuadrado para aislar la variable

22 9 xy 22 9 xy

29 xy

Finalmente las funciones obtenidas son:Finalmente las funciones obtenidas son:Finalmente las funciones obtenidas son:Finalmente las funciones obtenidas son:

Repetir este temaRepetir este temaRepetir este temaRepetir este tema



Derivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas ImplícitasDerivadas Implícitas24 xy depende de depende de xxdepende de depende de xxLa funciónLa funciónLa funciónLa función

24)( xxyy Mientras deriva, tenga presente que:Mientras deriva, tenga presente que:Mientras deriva, tenga presente que:Mientras deriva, tenga presente que:

por lo tanto decimos por lo tanto decimos y=y(x)y=y(x)por lo tanto decimos por lo tanto decimos y=y(x)y=y(x)



24 xy Ahora derivamos esta funciónAhora derivamos esta funciónAhora derivamos esta funciónAhora derivamos esta función

)4()( 2xdx

dy

dx

d Aplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada

en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igualAplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada

en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igual

)4(42

1)( 2

2x

dx

d

xy

dx

d

)2(42

1)(

2x

xy

dx

d

24)(

xy

dx

d

y

xy

dx

d )(

Cancelamos y ordenamosCancelamos y ordenamosCancelamos y ordenamosCancelamos y ordenamos

Derivamos la segundaDerivamos la segunda expresiónexpresión

Derivamos la segundaDerivamos la segunda expresiónexpresión

Derivamos usando la regla deDerivamos usando la regla de la cadenala cadena

Derivamos usando la regla deDerivamos usando la regla de la cadenala cadena

Sustituimos en el radical la variable Sustituimos en el radical la variable yySustituimos en el radical la variable Sustituimos en el radical la variable yy

x


Es la solución “Derivada Tradicional”Es la solución “Derivada Tradicional”Es la solución “Derivada Tradicional”Es la solución “Derivada Tradicional”



Aprendamos a derivarAprendamos a derivar implicitamenteimplicitamente

Aprendamos a derivarAprendamos a derivar implicitamenteimplicitamente

922 yxEsto significa que no esEsto significa que no es

necesario aislar necesario aislar yyEsto significa que no esEsto significa que no es

necesario aislar necesario aislar yy



922 yxRecuerda que no esRecuerda que no es

necesario aislar necesario aislar yyRecuerda que no esRecuerda que no es

necesario aislar necesario aislar yy



922 yx Aplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igual

Aplicamos la notación de derivadaAplicamos la notación de derivada en ambos lados del signo igualen ambos lados del signo igual

)9()( 22

dx

dyx

dx

d

Derivamos usamos propiedades…Derivamos usamos propiedades…

Teniendo siempre presente que: Teniendo siempre presente que: y=y(x)Derivamos usamos propiedades…Derivamos usamos propiedades…

Teniendo siempre presente que: Teniendo siempre presente que: y=y(x)0)(22 ydx

dyx

)(2 ydx

dy x2

Uso la propiedad de la adición para Uso la propiedad de la adición para 2x2xUso la propiedad de la adición para Uso la propiedad de la adición para 2x2x

Uso la propiedad de la multiplicación para Uso la propiedad de la multiplicación para 2y2yUso la propiedad de la multiplicación para Uso la propiedad de la multiplicación para 2y2y

y

xy

dx

d

2

2)(

y

xy

dx

d )(

Cancelando los números Cancelando los números 22 obtenemos: obtenemos: Cancelando los números Cancelando los números 22 obtenemos: obtenemos:

Es la solución “Derivada Implícita”Es la solución “Derivada Implícita”Es la solución “Derivada Implícita”Es la solución “Derivada Implícita”

Debemos aislar:Debemos aislar:Debemos aislar:Debemos aislar: )(ydx

d

Ahora comparemos Ahora comparemos ambas derivadasambas derivadas

Ahora comparemos Ahora comparemos ambas derivadasambas derivadas




922 yx

)9()( 22

dx

dyx

dx

d

0)(22 ydx

dyx

)(2 ydx

dy x2

y

xy

dx

d

2

2)(

y

xy

dx

d )(



Hemos comprobado que ambas derivadas son igualesHemos comprobado que ambas derivadas son igualesHemos comprobado que ambas derivadas son igualesHemos comprobado que ambas derivadas son iguales¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?¿Cuál es la ventaja de saber derivar implícitamente?

Derive en forma “tradicional”Derive en forma “tradicional”Derive en forma “tradicional”Derive en forma “tradicional”

Veamos el siguiente caso:Veamos el siguiente caso:Veamos el siguiente caso:Veamos el siguiente caso:

Aislar Aislar yy es muy difícil y casi imposible en algunos casos es muy difícil y casi imposible en algunos casosAislar Aislar yy es muy difícil y casi imposible en algunos casos es muy difícil y casi imposible en algunos casos

yxy 4Quiz No 3 – (20 puntos)Quiz No 3 – (20 puntos)Quiz No 3 – (20 puntos)Quiz No 3 – (20 puntos)

Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004 Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004 Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004 Sección 16851 entregar 29 Nov. y secc 16736 entregar 30 Nov. 2004

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