EL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS REALESPresenta:

Jorge Villanueva Estrada

Los números reales R

Los números Naturales (N)

Es un conjunto de números enteros y es

ordenado

N = {1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}

“El cero, a veces, se excluye del conjunto

de

los números naturales.”

Permiten realizar las 4 operaciones

básicas: suma, resta, multiplicación y

división, además de operaciones que

combinadas

Los números Naturales (N)

Cero: cantidad nula

Conjunto de números Primos: estoselementos pueden definirse comoaquellos números que no tienen masdivisores que ellos mismos y la unidad

P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}

Conjunto de números compuestos: losnúmeros compuestos son múltiplos deaquellos que son sus factores.

C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}

Los números Naturales (N)

Conjunto de números compuestos:

ejemplo: 12 es un múltiplo de 2, 3, 4 y 6

1

2

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4

6 6

Los números Naturales (N)

y sus operaciones

AdiciónLos términos se

llaman sumandos

y el resultado suma

a + b = c

SustracciónLos términos de la resta son: Minuendo y Sustraendo. Al resultado se llama Diferencia. a - b = c

CLAUSURATIVA a + b € N

ASOCIATIVA (a + b) + c = a + (b + c)

CONMUTATIVA a + b = b + a

MODULATIVA a + 0 = a

El resultado de restar dos números

naturales no siempre es otro

número natural.

No es Conmutativa: a - b ≠ b - a

2 − 5 € N

5 − 2 ≠ 2 − 5

Los números Naturales (N)

y sus operaciones

MULTIPLICACIÓ

N

Los términos se

llaman factores

y el resultado

producto

a· b = c

DIVISION

CLAUSURATIVA a · b € N

ASOCIATIVA (a · b) · c = a · (b · c)

CONMUTATIVA a · b = b · a

MODULATIVA a · 1 = a

No es Conmutativa: a ÷ b ≠ b ÷ a

2 ÷ 5 € N

5 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 5

DISTRIBUTIVA a · (b + c) = a · b + a · c

El resultado de dividir dos números

naturales no siempre es otro número

natural.

Cero dividido entre cualquier número da cero0 ÷ 5 = 0

Ejemplos de aplicación de

números naturales.Se realiza un conteo de los alumnos que se inscribieron a la carrera de administración en los últimos 3 años

2011 16

2012 31

2013 45

¿Cuantos alumnos teníamos en total en el año 2012?

¿Cuantos alumnos tenemos en total en el año 2013?

¿Cual es el promedio de alumnos que se inscribieron por año? 45 alumnos / 3 años = 15

0 16 15 14

2011 2012 2013

0 + 16 + 15 = 31

2011 2012 2013

0 + 16 + 15 + 14 = 45

2011 2012 2013

Números Enteros (Z)

En el sistema de los números naturales ecuaciones deltipo X + 1 = 0, no tienen solución, así como otrassituaciones de la vida real como, deudas, depresiones delterreno, nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajocero, que no es posible representarlas con tales números.

Surge así la necesidad de extender el sistema de losnúmeros naturales a un nuevo sistema en el que talesecuaciones y situaciones sean posibles.

En general los números enteros es la unión de losnúmeros enteros positivos y los números enterosnegativos:

Z = {…,-11, -10,-9…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…,9, 10, 11,…}

Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos,pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la delos naturales.

Operaciones con números

enteros

Video de solución de

problemas http://www.youtube.com/watch?v=Sj9rThGLz9Q

Ejemplos de aplicación de

números enteros.Pedro es un estudiante desea reconocer los posibles

gastos que va a realizar el siguiente mes, tomando

en cuenta lo siguiente:

$2500 inscripción, $2000 mensualidad, pero el gana

al mes $1700 y lleva solamente trabajado un mes,

cuanto dinero tiene que conseguir para poder seguir

estudiando

1700 + X + (– 2500) + (– 2000) = 0

1700 – 2500 – 2000 + X = 0

-2800 + X = 0

X = 2800

-4500 = -2000 + -2500 0 1700 + X =

4500

Números Racionales (Q)

En general los números racionales son los quese pueden expresar como cociente de dosnúmeros enteros. El conjunto de los númerosracionales está compuesto por los númerosenteros y por los fraccionarios. Se puedensumar, restar, multiplicar y dividir (salvo porcero) y el resultado de todas esas operacionesentre dos números racionales es siempre otronúmero racional.

Además de que se puede aplicar el sistemadecimal

http://www.youtube.com/watch?v=E5abcq22aE8

Números Racionales (Q) y sus

operaciones

Ejemplos de aplicación de

números racionales.

2do paso realizar la suma de todos los

elementos

Examen 0

Tareas 3 3/10

Participación 2 2/10

Exposición 2_ 2/10

Total 8.5 7/10

Números Irracionales (I)Lo primero que se puede decir acerca de un número irracional es

que no se puede expresar como una fracción. Esta es la

característica que lo define como irracional.

Como todo número racional tiene una expresión decimal que

contiene, o bien un número finito de cifras decimales, o bien un

número infinito de cifras formadas por la repetición periódica de

un número finito de cifras, se puede concluir que un número

irracional tiene, en su expresión decimal, una cantidad infinita de

cifras no periódicas.

En otras palabras, todo número irracional tiene la característica

siguiente: “Su expresión decimal no puede escribirse

completa jamás, porque jamás se terminaría de escribir una

cantidad infinita de cifras decimales.”

Esto hace que sean números realmente difíciles de manejar si se

quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total

exactitud no se les puede manipular en operaciones aritméticas

por su misma naturaleza.

http

://ww

w.y

outu

be.c

om

/watc

h?v=

YL

uU

vD

_rV

L8

Números Irracionales (I)Algunos números irracionales son

√ Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc.)

√99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc.)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

πPi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de

cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

eEl número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han

calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los

primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

Ejemplos de aplicación de

números irracionales.Se quiere conocer la longitud de la mitad de una circunferencia de radio

de 20 m, para poder estimar la distancia que se recorrerá en una carrera,

sabiendo las siguientes equivalencias :

Sistemas

Decimal Circular

360 = 2π rad

Y la formula para obtener la longitud de un arco es

S= r

= Angulo central en radianes

r= Radio S

Solución:

Si 360 = 2π rad

180= π

S=(π)20m=62.831…mr

Números reales (R)

El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es

el de los números reales, de modo que todos los números Naturales,

Enteros, Racionales, Irracionales) son Reales. Estos números ocupan la

recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los

números reales están definidas las mismas operaciones que entre los

racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).

Los números Naturales (1,2,3,4…)son un

subconjunto de los números enteros.

Los Enteros (…-2, -1, 0, 1, 2,…)son un

subconjunto de los números racionales.

Los números racionales y los números

Irracionales I son un subconjunto de los

números reales , , ,π, 1/2

Números imaginarios (I)

Los Números Imaginarios son las raíces pares de cantidades negativas.

Por lo que la ecuación X2= –1 no tiene solución en el sistema de los números reales, si se quiere dar un valor a la X, tal que X2= –1 , éste no puede ser un valor real, no tiene sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Por lo que se define un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios.

UNIDAD IMAGINARIA

La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es el numero √ –1 (la raíz cuadrada de menos uno) y se representa por la letra “i”. En matemáticas se usa i (de imaginario)

en conclusión

√ –1=i

http

://ww

w.y

outu

be.c

om

/watc

h?v=

hoV

Ew

hN

-UP

c

Números imaginarios (I)

Ejemplo √-4 = √4 * √-1 = 2i PROPIEDAD INTERESANTE

La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad

interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores

diferentes cuando la multiplicas:

i * i = -1, -1 * i = -i, -i * i = 1, 1 * i = i

EXPRESION DE UN NÚMERO IMAGINARIO

La unidad imaginaria es √-1= i, con este concepto

y los números reales se puede expresar un

numero imaginario, como un numero real

multiplicado por la unidad imaginaria.

RESPRESENTACION DE LOS NUMEROS

IMAGINARIOSLos números Imaginarios se pueden representar en un eje

imaginario o ejes de la y (ordenada), que además es

perpendicular al eje real o de las x (abscisa).

ADICION Y SUSTRACCION DE NUMEROS

IMAGINARIOS i

Ejemplo de potencias de la unidad imaginaria i:

Hallar el valor de i30 primero se divide 30 entre 4 y se determina el residuo 30/4= 7.5 30-(7*4) 30-28=2 residuo

Por lo tanto i30 = i2 = -1

i21 = i1 = √-1

i16 = i4 = -1

i19 = i3 = -i

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA i

Estas son de gran utilidad, en Exponentes básicos de i:

i= √-1

i2= - 1

i3= - i

i4= - 1

Para saber que valor corresponde a una potencia de i, se

divide el exponente de la potencia dada por 4 y se

determina el residuo. Luego a la i le aplicamos ese

residuo como exponente y comparamos con los

exponentes básicos. Se explica en el siguiente ejemplo

MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS

IMAGINARIOS iPara multiplicar números imaginarios se reduce ala forma bi y se operan

algebraicamente teniendo en cuenta las potencias de la Unidad

Imaginaria.

Ejemplo para (√-64) ( √-100)

Solución:

1. De la forma bi

√-64 = √64(√ - 1) = 8i;

√- 100 = √100(√ - 1) = 10i

2. Se operan algebraicamente teniendo en

cuenta las potencias de la Unidad

Imaginaria.

√-64 x √- 100 = 8i x 10i

= 80i2 = 80(- 1) = -80

• (√-121)( √-144)

• (4√-4)( 5√-16)

• √-49 ÷ √-1

• (2√-4 + 5√-9)(3√-16)

Números complejos

Expresión de la forma a + bi, en donde a y b son

números reales e i es imaginario. Estos números se

pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una

estructura algebraica de las llamadas cuerpo en

matemáticas. En física e ingeniería los números

complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y

ondas electromagnéticas.

Representación Grafica de los

Números ComplejosLos números complejos de la

forma a + bise escriben como

una pareja ordenada de la

forma(a, b)y cada pareja

ordenada representa un punto

en el plano. Llamado Plano

Complejo.

El eje X se llama eje real y el Y,

eje imaginario. Los números

complejos se representan

gráficamente en dos formas:

Mediante un punto

Mediante un vector

REPRESENTACION MEDIANTE UN

PUNTOPara representar un número complejo mediante un punto,

se expresa el número en forma de pareja ordenada y se

ubica en el

plano complejo

Ejemplo: Represente mediante un punto el numero

complejo 3 + 4i en un Plano complejo

REPRESENTACIÓN MEDIANTE UN

VECTOREs el segmento que se traza desde el origen

del plano hasta el punto generado, se

denomina Vector

1. Represente mediante un punto los siguientes números complejos

-2 – 6i

3 + 2i

5 – 7i

2. Represente en forma vectorial los siguientes números complejos

7 + 6i

-4 – 3i

Operaciones con Números

Complejos

(5 + 2 i) · (2 − 3 i)

= 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

http://www.youtube.com/watch?v=rODxTOsz

PJs

División de números

complejos

Efectué las siguientes divisiones:

a. (9 - 3i) ÷ (-5 – 4i)

b. (√3 + √-16) ÷ (√5 + √-49)

c. (-5√3 + 2√3i) ÷ (-4√11 + 5√3i)