Universidad Técnica Particular de Loja

CALCULO INTEGRAL

Por::Pablo Torres

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

EJERCICIO PLANTEADO:

Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x del punto (1,3) al punto (2,6), para ello utilizar las formulas de la distancia y de la Longitud (las soluciones deben ser las mismas para ambas fórmulas):

Con respecto a X :

Con respecto a Y :

dxxfLb

a 2)('1

dxyfLd

c 2)('1

GRAFICA:

Y = 3X

DESARROLLO: Primero resolvemos la distancia con la formula:

Para ello tomamos P1(1,3) y P2(2,6) y resolvemos:

212

212 )()( yyxxd

10

21

2221

2221

)3()1(

)36()12(

PP

PP

PP

Solución.

DESARROLLO: Ahora resolvemos la longitud con la formula:

Como es con respecto a X:: y = 3x es igual a f(x) = 3x, derivamos: f (x) = 3xf ’(x) = 3

Tenemos los puntos (1,3) y (2,6) entonces a = 1 y b = 2, y resolvemos

dxxfLb

a 2)('1

10

10102

)1(10)2(101010312

1

2

1

2

1

2

L

xdxL

Solución.

DESARROLLO: Ahora resolvemos la longitud con la formula:

Como es con respecto a Y:: y = 3x despejamos y nos queda:

Tenemos los puntos (1,3) y (2,6) entonces c = 3 y d = 6, y resolvemos

dxyfLd

c 2)('1

3

1)('

3

1)(

3

1

yf

yyfyx

10

10102

)3(103

1)6(10

3

110

3

1

9

10

9

11

3

11

6

3

6

3

6

3

6

3

2

L

ydydydyL

Solución.

CONCLUSION:

Podemos sacar como conclusión que el ejercicio si se lo puede realizar con ambas formulas dadas, como son la de la distancia y la de la Longitud con respecto a X y con respecto a Y

TEOREMAS EMPLEADOS: Fórmula distancia entre dos puntos:

212

212 )()( yyxxd

Derivada de un numero por una constante:

nxfxnxf )(')()(

Fórmula de la longitud de una recta o arco:

dxxfLb

a 2)('1

TEOREMAS EMPLEADOS: Rescribir antes de integrar

)()(

)()(

aFbF

CaFCbF

TEOREMA 4.9: El teorema Fundamental del Calculo

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de f en el intervalo [a, b] entonces:

b

a

b

aCxFdxxf )()(