CELEBRA ! CADA NUEVO DÍA CULTIVA ! TODO LO QUE RECIBISTE DE BUENO.
El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número ...
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El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número Pi. Con esta celebración
la comunidad docente y científica rinde homenaje al número, a las matemáticas y
a la ciencia en general.
PRESENTACIÓN
Cada día se genera más conocimiento en el mundo, pero por desgracia no es accesible para muchos, por lo que es necesario buscar nuevas formas para que todos lo tengan al alcance.
Bajo esta premisa se ha concebido este material, en donde se busca que tengas acceso de una manera fácil al conocimiento y te permita el logro de tus aprendizajes, para ser usados en la escuela y en la vida.
Por tal motivo, esta propuesta fusiona el material educativo por excelencia: “el libro” fusionado con los recursos multimedia que las nuevas tecnologías ofrecen, naciendo así el HIPERLIBRO.
Este concepto está pensado en tí, por lo que se presenta en formato de libro, pero de una forma dinámica, es decir, te permite acceso a otros recursos que estarán al alcance en tan solo un clic: como videos explicativos, audios, imágenes, simuladores, calculadoras entre otros, ofreciéndote la oportunidad de usar la red para seguir aprendiendo.
Te invito a que lo explores y que decidas el ritmo de tu aprendizaje, pero sobre todo que te sirva para adquirir más saberes, con la finalidad de que seas un mejor alumno y una mejor persona para el bien de tu escuela, el de tus familiares y tu comunidad.
Éxito.
Aristófanes Madrigal Uc Autor
Contenido I. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS ................................................................................. 1
PUNTO, RECTA Y PLANO ........................................................................................................... 2
Intro.......................................................................................................................................... 2
Valorando lo que sabes ............................................................................................................ 3
Aprendiendo ............................................................................................................................ 3
Evaluando tus aprendizajes ...................................................................................................... 5
ÁNGULOS ..................................................................................................................................... 6
Intro.......................................................................................................................................... 6
Valorando lo que sabes ............................................................................................................ 6
Aprendiendo ............................................................................................................................ 7
Definición de ángulo ............................................................................................................. 7
Clasificación de los Ángulos ................................................................................................. 8
Medición de ángulos ............................................................................................................ 9
Para saber más ................................................................................................................... 10
Sistemas de medición de ángulos ....................................................................................... 13
Manos a la obra ...................................................................................................................... 15
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 18
Conversión de grados sexagesimales a radianes .................................................................... 18
Manos a la obra ...................................................................................................................... 21
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 21
II. FIGURAS GEOMÉTRICAS ..................................................................................................... 22
Intro........................................................................................................................................ 22
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 23
Aprendiendo .......................................................................................................................... 23
Definición de polígono ....................................................................................................... 24
Clasificación de los polígonos ............................................................................................. 24
Para practicar ......................................................................................................................... 26
TRIÁNGULOS .......................................................................................................................... 27
Clasificación de los triángulos ............................................................................................. 27
Propiedades de los triángulos ............................................................................................ 29
Manos a la obra .................................................................................................................. 35
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 36
Construcción de triángulos ................................................................................................. 37
Manos a la obra ...................................................................................................................... 39
CUADRILÁTEROS ................................................................................................................. 39
Clasificación de los cuadriláteros........................................................................................ 39
Manos a la obra ...................................................................................................................... 41
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 42
POLIGONOS REGULARES .................................................................................................... 42
Elementos de un polígono .................................................................................................. 42
Propiedades de los polígonos regulares ............................................................................. 42
Manos a la obra ...................................................................................................................... 44
Perímetros y áreas de un polígono ..................................................................................... 45
Manos a la obra ...................................................................................................................... 49
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 52
CUERPOS GEOMÉTRICOS........................................................................................................ 52
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 56
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ..................................................................................... 56
Manos a la obra ...................................................................................................................... 59
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 61
III. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ........................................................................................ 62
TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS ............................................................................................... 62
Intro........................................................................................................................................ 62
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 64
Aprendiendo .......................................................................................................................... 64
Manos a la obra ...................................................................................................................... 66
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ................................................................................................ 67
Intro........................................................................................................................................ 67
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 67
Aprendiendo .......................................................................................................................... 68
Criterios de congruencia para triángulos ............................................................................ 69
Manos a la obra ...................................................................................................................... 72
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 74
IV. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ............................................................................................. 75
Intro........................................................................................................................................ 75
Valorando lo que sabes .......................................................................................................... 76
Aprendiendo .......................................................................................................................... 76
ESCALAS.................................................................................................................................. 77
Manos a la obra ...................................................................................................................... 80
Criterios de semejanza de triángulos ..................................................................................... 83
Para practicar ......................................................................................................................... 87
Manos a la obra ...................................................................................................................... 90
TEOREMA DE TALES ............................................................................................................... 91
Manos a la obra ...................................................................................................................... 95
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................... 96
CASOS DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES .......................................................... 96
Manos a la obra ...................................................................................................................... 98
TEOREMA DE PITÁGORAS. ...................................................................................................... 99
Identificación de tipos de triángulos conocidos sus tres lados ......................................... 104
Manos a la obra .................................................................................................................... 108
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................. 110
V. TRIGONOMETRÍA ............................................................................................................. 111
Intro...................................................................................................................................... 111
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS .............................................................................................. 112
Manos a la obra .................................................................................................................... 116
CIRCULO UNITARIO (TRIGONOMÉTRICO) ............................................................................. 118
Manos a la obra .................................................................................................................... 120
Uso de la calculadora para obtener las funciones trigonométricas. ................................. 120
Manos a la obra .................................................................................................................... 122
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ..................................................................... 123
Para saber más ................................................................................................................. 129
Problemas de aplicación con triángulos rectángulos........................................................ 129
Manos a la obra .................................................................................................................... 132
Para saber más ................................................................................................................. 134
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................. 134
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ............................................................................................ 135
Ley de senos ..................................................................................................................... 135
Ley de cosenos ................................................................................................................. 137
Para saber más ................................................................................................................. 139
Manos a la obra .................................................................................................................... 140
Evaluando tus aprendizajes .................................................................................................. 140
1
I. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
APRENDIZAJES ESPERADOS.
• Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva.
La palabra Geometría procede de raíces griegas y significa medida de la Tierra. De
acuerdo con la Real Academia Española, la geometría se define como el “Estudio de las
propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio”.
2
Existen varias ramas o tipos de Geometría
algorítmica.
Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas
de la extensión.
analítica.
Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis
matemático.
del espacio.
Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo
plano.
descriptiva.
Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del
espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de
los sólidos.
plana.
Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.
proyectiva.
Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.
En este libro se estudiará sobre la geometría plana, es decir, en dos dimensiones.
PUNTO, RECTA Y PLANO
Intro
Solo hay que mirar a nuestro alrededor para darnos cuenta de que mucho de lo que nos
rodea son puntos y líneas rectas. En la imagen de arriba puedes observar que las mesas,
sillas, cuadros, pared, piso y ventana están formadas por rectas. La mayoría de las
figuras geométricas tienen como contorno una línea recta.
3
Todas las figuras geométricas están formadas por ciertos componentes elementales,
entre ellos están el punto, la recta y el plano. Incluso se puede decir que tanto la recta y
el plano están formados por puntos, se puede hacer la analogía con los átomos ya que
todos los objetos están formados por estas diminutas partículas.
Valorando lo que sabes
Imagen de Memed_Nurrohmad en Pixabay
Aprendiendo
El punto no tiene dimensiones (0 dimensiones) y sirve para indicar una posición en el
plano o espacio, se representa con una letra mayúscula y gráficamente se puede
observar en la intersección de dos rectas, físicamente lo podemos asemejar a la punta
de un lápiz.
La línea recta o simplemente recta es una de las formas más usadas en Geometría, esta
se puede definir como una sucesión infinita de puntos que siguen una única dirección,
no tiene principio ni fin y solo tiene 1 dimensión, se puede asemejar a un hilo tenso o el
borde de una regla y está representada con una letra minúscula. En algunas ocasiones
se usan flechas para indicar que se extiende hasta infinito.
Rccta l Recta q Recta r
Punto A
Punto B
De la figura de la izquierda estima
APROXIMADAMENTE la cantidad de
puntos, rectas y curvas.
4
La recta tiene dos variantes: la semirecta y el segmento
Semirecta
Tiene principio, pero no tiene fin.
Se extiende hasta el infinito, pero en
un solo sentido.
El punto donde empieza se llama
Origen.
Se representa:
Segmento
Tiene principio y tiene fin
Es finita en los dos sentidos
Sus extremos se suelen nombrar
con letras mayúsculas.
La distancia entre los dos extremos
es la longitud del segmento
Se escribe con las letras de los
extremos con una raya arriba.
La línea curva es una sucesión infinita de puntos pero que cambian continuamente de
dirección.
Si se tienen dos puntos cualesquiera sobre una hoja de papel, piensa en las diferentes
maneras en las que se pueden unir estos puntos, seguramente encontrarás diferentes
maneras de hacerlo. Aquí te muestro dos formas.
Como te habrás dado cuenta, existe un número ilimitado de líneas que se pueden trazar
para unir dos puntos, pero solo una de ellas te da el camino más corto y esta es la línea
recta. Por lo tanto, si quieres trazar una recta solo necesitas tener dos puntos
El plano es un objeto ideal infinito que solo tiene dos dimensiones y puede contener
infinitos puntos y rectas, para trazar un plano se necesitan tres puntos no alineados, o
tener un punto y una recta, o dos rectas. Un plano se puede representar de forma física
en una hoja de papel o la superficie de una mesa y se designan mediante letras griegas
( 𝛼, 𝛽, 𝜋)
Origen
A B
M N
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅
A B
A B
A B
A B
Origen
Plano 𝛼
Plano 𝜋1
Plano 𝜋2
5
Evaluando tus aprendizajes
Puedes imprimir el crucigrama y resolverlo
O si lo prefieres puedes realizarlo en línea dando clic en el siguiente enlace.
https://puzzel.org/es/crossword/play?p=-MOcZLfxOQPxhEOlEsNB
6
ÁNGULOS
APRENDIZAJES ESPERADOS.
• Interpreta los elementos y las características de los ángulos.
• Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo.
• Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas.
Intro
El estudio de los ángulos les permitió a los hombres abrirse paso en el mundo, edificando
ciudades, construyendo herramientas y confeccionando su propia vestimenta. Todo esto
a partir de la comprensión de importancia de aquel pequeño punto en que se intersectan
dos rectas.
El 100% de las cosas que rodean a la humanidad están hechas a
partir de conocimientos geométricos y trigonometría.
Los ángulos están presentes en cada uno de los objetos que
nosotros vemos, tocamos o usamos. Hoy en día podemos ver
ángulos en casi cualquier parte de nuestro alrededor; por ejemplo,
desde colocar una pantalla en una cierta posición para tener el
mejor ángulo de visión o son usados para construir desde una
sencilla rampa hasta un moderno y complejo rascacielos.
Adaptado de: Importancia de los ángulos en la vida cotidiana https://tiposdeangulos.com/importancia-de-los-angulos-en-la-vida-cotidiana
Valorando lo que sabes
Relaciona la columna de la derecha con la columna de la izquierda colocando dentro del
paréntesis la letra que corresponda.
a) Ángulo llano
( )
b) Ángulo recto
( )
c) Ángulo agudo
( )
7
d) Ángulo obtuso
( )
e) Ángulos complementarios ( ) Son dos ángulos que suman 180°
f) Ángulos suplementarios ( ) Son dos ángulos que suman 90°
g) Vértice ( ) Es el punto donde se unen las dos semirectas
Aprendiendo
Definición de ángulo
Un ángulo es una porción del plano limitada por dos semirectas llamadas lados,
que comparten el mismo punto de origen, denominado vértice del ángulo.
La medida de un ángulo es considerada como la longitud del arco de circunferencia
centrada en el vértice y delimitada por sus lados, puede medirse en unidades como el
radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Un ángulo se puede nombrar de varias maneras,
una de ellas es por medio de letras griegas como
(𝛼, 𝛽, 𝜙, 𝜃)
Otra forma de nombrar a los ángulos es usando
las letras de los lados y vértices (donde la letra
del vértice debe quedar en medio)
Una tercera forma de nombrar a los ángulos es
usando números ya sea arábigos o romanos
Lado A
Lado B
Vértice Ángulo
𝛼 ∠ 𝛼 o ∢ 𝛼
𝐴
𝐵
𝐶
Se lee: ángulo alfa
∠ 𝐴𝐵𝐶 o ∢ 𝐴𝐵𝐶
Se lee: ángulo ABC
1 I
∠ 1 ∠ I
8
Clasificación de los Ángulos
Los ángulos se pueden clasificar según su abertura o medida en:
Nombre del
ángulo Figura Características
CONVEXO
(Mayor a 0° y menor a
180°)
Agudo
Mide menos de 90°
Recto
Mide 90°. El cuadrado
en el ángulo indica que
vale 90°
Obtuso
Mide más de 90° y
menos de 180°
Llano
Mide 180°
Cóncavo o entrante
Mayor a 180° y menor
a 360°
Completo
Mide 360°
Los ángulos se pueden clasificar según su posición en:
Nombre del ángulo Figura Característica
Consecutivos
Son aquellos que tienen un vértice y lado
común
Adyacentes
Son aquellos que tienen el vértice y un lado
común, y los otros lados situados uno en
prolongación del otro. Suman 180°
Opuestos por el
vértice
Son aquellos que tienen el vértice
común y sus lados son semirrectas
opuestas. Siempre tienen igual medida.
𝛼 𝛽
Lado
común
Vértice
común
2 1
Lado
común
Vértice
común
𝐼𝐼 𝐼
∠𝛼 + ∠𝛽 = 180°
∠𝐼 = ∠𝐼𝐼 ∠𝐴 = ∠𝐵
𝐵
𝐴
9
Los ángulos se pueden clasificar según su suma en:
Nombre del ángulo Figura Característica
Complementarios
Forman un ángulo recto, es decir,
suman 90°
Suplementarios
Forman un ángulo llano, es decir,
suman 180°
Medición de ángulos
En nuestra vida cotidiana algunas veces no solo es necesario medir longitudes,
además se deben de medir ángulos, un instrumento muy común en la escuela para
medir ángulos es el transportador que viene incluido en todos los juegos de
Geometría. Pero la medición de ángulos no se limita a ese instrumento. Por ejemplo,
el inclinómetro mide la inclinación de los ángulos respecto al suelo, el sextante
que es un instrumento que permite medir ángulos entre dos puntos por ejemplo entre
un astro y el horizonte.
Inclinómetro. De Jnn, CC BY 2.1 jp,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=578883
Uso del sextante.
https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante#/media/Archivo:Using_the_
sextant_edit1.gif
.
2 1
2 1
10
Ejemplos:
Sección 1
Mide al valor entero más cercano los siguientes ángulos usando el transportador y
de acuerdo con su medida di que tipo de ángulo es:
a) ∠𝐴𝐵𝐶 = 130° (ver) b) ∠𝑃𝑄𝑅 = 29° (ver)
Tipo de ángulo: ___Obtuso____ Tipo de ángulo: ___Agudo___
c) ∠𝑀𝑁𝑃 = 28° (ver) e) ∠𝑁𝑀𝑃 =
Tipo de ángulo: _ Agudo__ Tipo de ángulo: __Agudo__
d) ∠𝑀𝑃𝑁 = 90° (ver)
Tipo de ángulo: __Recto__
Sección 2
Usando el transportador traza los siguientes ángulos y de acuerdo con su medida di
que tipo de ángulo es
a) 32° (agudo)
b) 105° (obtuso)
c) 200° (entrante o cóncavo)
d) 330° (entrante o cóncavo)
Para saber más
A
B C
P
Q R
M
N P
Ver respuestas
11
Sección 3
Con base a la figura del transportador escribe el valor de los ángulos pedidos.
Sección 4
Obtén el valor de los ángulos
a) Si ∠1 𝑦 ∠2 son ángulos complementarios y el ∠2 = 38°. Determina el valor del ∠1
Como son complementarios los ángulos suman 90°,
asi: ∠1 + ∠2 = 90°, como ∠2 = 38° se sustituye el ángulo 2 en la ecuación
∠1 + 38° = 90° despejando ∠1
∠1 = 90° − 38°
∠𝟏 = 𝟓𝟐°
b) Sea ∠𝐴 𝑦 ∠𝐵 ángulos suplementarios, si el ∠𝐴 = 125°. Determina el valor del ∠𝐵
Como son suplementarios los ángulos suman 180°
asi: ∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°, como ∠𝐴 = 125° se sustituye el ángulo A en la ecuación
125° + ∠𝐵 = 180° despejando ∠𝐵
∠𝐵 = 180° − 125°
∠𝑩 = 𝟓𝟓°
c) Sea ∠𝑀 𝑦 ∠𝑁 ángulos suplementarios, si ∠𝑀 = 15° 30´. Determina el valor del ∠𝑁
Como son suplementarios los ángulos suman 180°
asi: ∠𝑀 + ∠𝑁 = 180°, como ∠𝑀 = 15° 30´ se sustituye el ángulo M en la ecuación
15° 30´ + ∠𝑁 = 180° despejando ∠𝑁
∠𝑁 = 180° − 15° 30´
Para restar sin calculadora seguimos el siguiente procedimiento
- Se van restando cada una de las columnas empezando por los segundos.
- Si los segundos restados es un número negativo, se suma 60'' y se resta 1' en la
siguiente columna a la izquierda.
- Si los minutos restados es un número negativo, se suma 60' y se resta 1° en la siguiente columna a la izquierda.
A
B
D
C
O
a) ∠𝐴𝑂𝐵 = 50°
b) ∠𝐴𝑂𝐷 = 150°
c) ∠𝐵𝑂𝐶 = 40°
d) ∠𝐶𝑂𝐷 = 60°
e) ∠𝐵𝑂𝐷 = 100°
f) ∠𝐴𝑂𝐶 = 90°
12
Como los minutos restados es negativo se suma 60' y se resta 1° en la siguiente columna a la izquierda.
Así: ∠𝑵 = 𝟏𝟔𝟒° 𝟑𝟎´
d) Si ∠1 𝑦 ∠2 son ángulos complementarios y el ∠1 = 25°10´30´´. Determina el valor
del ∠2
Como son complementarios los ángulos suman 90°,
asi: ∠1 + ∠2 = 90°, como ∠1 = 25°10´30´´ se sustituye el ángulo 1 en la ecuación
25°10´30´´ + ∠2 = 90° despejando ∠2
∠2 = 90° − 25°10´30´´
Como los segundos restados es un número negativo, se suma 60'' y se resta 1' en la siguiente columna a la izquierda
Si los minutos restados es un número negativo, se suma 60' y se
resta 1° en la siguiente columna a la izquierda
e) Si el complemento del ángulo 𝑥 es 2𝑥, ¿Cuál es el valor de 𝑥 en grados?
Como son complementarios los ángulos suman 90°,
asi: 𝑥 + 2𝑥 = 90 Resolviendo la ecuación
3𝑥 = 90 El 3 divide a 90
𝑥 =90
3= 𝟑𝟎°
f) Calcula el valor de dos ángulos suplementarios tal que un ángulo es 30° mayor que el otro. Si ∠𝐴 = 𝑥, entonces ∠𝐵 = 𝑥 + 30 ya que es 30° mayor que el otro ángulo
Como son suplementarios
∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°, sustituyendo el ángulo A y B
𝑥 + (𝑥 + 30) = 180 resolviendo la ecuación
2𝑥 + 30 = 180 cambiando 30 a la derecha
2𝑥 = 180 − 30
2𝑥 = 150 El 2 divide a 150
𝑥 = 75°
Así: ∠𝟐 = 𝟔𝟒°𝟒𝟗´𝟑𝟎´´
13
∠𝐴 = 𝑥 = 𝟕𝟓° y ∠𝐵 = 𝑥 + 30
∠𝐵 = 75 + 30 = 𝟏𝟎𝟓°
Sección 5
Calcula la medida de cada ángulo. Justifica
a) Si ∠𝛿 = 105°
b)
Sistemas de medición de ángulos
En la medida de ángulos se utilizan varias unidades, generalmente en el ámbito
escolar se usa el grado sexagesimal, pero en matemáticas la unidad angular más
usada es el radián, pero también existe el grado centesimal.
La razón por la cual existen varias formas de medir ángulos es que los mismos son a
menudo empleados en distintas áreas del conocimiento como en las ciencias
matemáticas (matemática, física, química, astronomía, entre otras), ciencias naturales
(geografía), arquitectura, ingeniería civil, dibujo, entre otras.
En atención al tipo de requerimiento que exige el desarrollo de cada una de estas
disciplinas, se aplica un mecanismo de medición específico, ejemplo: en la topografía
los ángulos son medidos bajo el sistema centesimal.
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide un círculo en 400 partes iguales, o bien, un ángulo recto
en 100 partes iguales, y a cada una de esas partes se le denomina grado centesimal
o gradián, y se simboliza con una «g» minúscula como superíndice del número, por
ejemplo, 35g.
A su vez, cada grado centesimal se subdivide en unidades más pequeñas
dividiéndolo en cien partes iguales, y dando lugar al minuto. Así, el minuto (m) en este
sistema es la centésima parte del grado (1g = 100m) y el segundo (s) la centésima
parte del minuto (1m = 100s).
El ∠𝛿 = ∠𝛾 por ser opuestos por el vértice, así 𝜸 = 𝟏𝟎𝟓°. Como ∠𝛼 es
adyacente y suplementario de ∠𝛿, se tiene que 𝛼 + 𝛿 = 180°, ya que
𝛿 = 105° se puede sustituir:
𝛼 + 105° = 180° despejando 𝛼 se tiene que
𝛼 = 180° − 105° = 75° y por ser opuesto con el vértice con 𝛽, entonces
𝛽 = 75°
65°
𝛼 + 65° + 90° = 180° ya que los tres ángulos completan un ángulo llano,
resolviendo la ecuación se tiene que 𝛼 = 25°. Como ∠𝛼 y ∠𝛽 son ángulos
adyacentes y suplementarios se tiene que 𝛼 + 𝛽 = 180°, despejando 𝛽 y
sustituyendo en la ecuación por 𝛼 = 25° , así 25 + 𝛽 = 180° despejando
𝛽 se tiene que 𝛽 = 180° − 25° = 155°
14
Ejemplos:
50g 10m 50s se lee: 50 grados centesimales 10 minutos y 50 segundos
225g 30m 225 grados centesimales y 30 minutos
0g 5m 15s 5 minutos y 15 segundos
12g 42s 12 grados centesimales y 42 segundos
Sistema Sexagesimal
Para el sistema sexagesimal un círculo o una vuelta completa se divide en 360
grados sexagesimales, se expresa con el símbolo °, por lo que se expresa como
360°.
Cada grado ° se divide en 60 partes llamadas minutos se expresa con ´
Y cada minuto se divide en 60 pequeñas partes llamadas segundos ´´
Así un ángulo se puede expresar en grados, minutos y segundos
30°10´50´´ se lee: 30 grados 10 minutos y 50 segundos
225°30´ 225 grados y 30 minutos
0°50´40´´ 50 minutos y 40 segundos
8°15´´ 8 grados y 15 segundos
Sistema Circular o radial
El sistema circular usa como unidad de medida el radián (rad). Un radián se define
como el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio.
El ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y sus
lados son radios de la circunferencia.
1°
1°=60´
1´=60´´
1 circulo = 360 grados
1 grado = 60 minutos
1minuto = 60 segundos
15
PARA SABER MAS
Manos a la obra
Ejercicio A
Mide al valor entero más cercano los siguientes ángulos usando el transportador y de acuerdo con
su medida di que tipo de ángulo es:
1) ∠ 𝐶𝐴𝐵 = 2) ∠𝑃𝑄𝑅 =
Tipo de ángulo: _______ Tipo de ángulo: ________
A
B
C P
Q
R
radio
1 radián Para cualquier tamaño de circunferencia el radián
siempre tendrá el mismo valor.
radián = ° ' . ”≈ 57.296°.
En una circunferencia hay 2𝜋
radianes por lo que
aproximadamente equivale a
6.28 radianes
16
3) ∠𝑃𝑄𝑅 = e 44) ∠𝑃𝑅𝑄 =
Tipo de ángulo: ________ Tipo de ángulo: ______ __
5) ∠𝑄𝑃𝑅 =
Tipo de ángulo: ________
Ejercicio B
Observa los ángulos formados por las líneas de las siguientes figuras y determina si son agudos,
rectos, obtusos, llanos, entrantes o completos.
1)
2)
3)
4)
5)
Ejercicio C
Usando el transportador traza los siguientes ángulos y de acuerdo con su medida di que tipo de ángulo es
1) 90°
2) 45°
3) 130°
4) 180°
5) 250°
P
R
N
Q
17
6) 310°
Ejercicio D
Con base a la figura del transportador escribe el valor de los ángulos pedidos.
Ejercicio E
Obtén el valor de los ángulos pedidos
Si ∠𝐴 𝑦 ∠𝐵 son ángulos complementarios.
1) Si el ∠𝐴 = 20°. Determina el valor del ∠𝐵
2) Si el ∠𝐵 = 30°10´. Determina el valor del ∠𝐴
3) Si el ∠𝐵 = 54°23´20´´. Determina el valor del ∠𝐴
4) Si la medida del ángulo A es el triple de la medida del ángulo B
5) Si la medida del ángulo A es la mitad de la medida del ángulo B
Si ∠𝑃 𝑦 ∠𝑄 son ángulos suplementarios.
6) Si el ∠𝑄 = 112°. Determina el valor del ∠𝑃
7) Si el ∠𝑃 = 56°14´. Determina el valor del ∠𝑄
8) Si el ∠𝑄 = 98°12´36´´. Determina el valor del ∠𝑃
9) Si la medida del ángulo P es el doble de la medida del ángulo Q
10) Si la medida del ángulo Q es 20° mayor que la medida del ángulo P
Ejercicio F
Calcula la medida de cada ángulo. Justifica tu respuesta
1) 2)
∢𝐴 = ∢𝑥 =
∢𝐵 = ∢𝑦 =
∢𝐶 = ∢𝑧 =
a) ∠𝐴𝑂𝐵 =
b) ∠𝐴𝑂𝐶 =
c) ∠𝐴𝑂𝐷 =
d) ∠𝐵𝑂𝐷 =
e) ∠𝐵𝑂𝐶 =
f) ∠𝐶𝑂𝐷 =
A
B D
C
O
32°
B 125°
A C
𝑥 𝑦
140°𝑧
18
Evaluando tus aprendizajes
Conversión de grados sexagesimales a radianes
Una vuelta completa en grados sexagesimales vale 360° y en radianes vale 2𝜋
radianes, por lo tanto:
360°= 𝟐𝝅 rad
Si dividimos cada miembro por 2
𝟑𝟔𝟎°
𝟐=
𝟐𝝅
𝟐 rad
𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 rad
Ejemplos:
Convierte de grados sexagesimales a radianes
a) 45°
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de colocar el valor del ángulo debajo de 180°)
45° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑
180°𝑥 = 𝜋(45°) Se despeja x
𝑥 =(45°)𝜋
180°=
45
180𝜋 Se simplifica
𝑥 =1
4𝜋 =
𝜋
4
Así 45° = 𝜋
4 rad
b) 110° 20´
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de colocar el valor del ángulo debajo de 180°)
110°20´ = 𝑥 𝑟𝑎𝑑
19
180°𝑥 = 𝜋(110°20´) Se despeja x
𝑥 =(110°20´)𝜋
180° Se divide
𝑥 ≈ 0.6129𝜋 rad≈ 1.925 rad
Así 110°20´≈ 1.925 rad
c) 315°30´1 ”
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3
315°30´18´´ = 𝑥 𝑟𝑎𝑑
180°𝑥 = 𝜋(315°30´18´´) Se despeja x
𝑥 =(315°30´18´´)𝜋
180° Se divide
𝑥 ≈ 1.7528𝜋 rad≈ 5.506 rad
Así 315°30´18´´≈ 5.506 rad
d) 200.42°
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3
200.54° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑
180°𝑥 = 𝜋(200.54°) Se despeja x
𝑥 =(200.54°)𝜋
180° Se divide
𝑥 ≈ 1.1141𝜋 rad≈ 3.5 rad
Así 200.54°≈ 3.5 rad
Convierte de radianes a grados sexagesimales
a) 2
3𝜋 𝑟𝑎𝑑
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de colocar el valor dado debajo de 𝜋)
𝑥° = 2
3𝜋
𝜋𝑥 = 180° (2
3𝜋) Se multiplica 180° por la fracción y se conserva 𝜋
20
𝜋𝑥 = 120𝜋 Se despeja x
𝑥 =120𝜋
𝜋= 120° Se “elimina” 𝜋, es decir, se divide 𝜋 entre 𝜋
Así 2
3𝜋 𝑟𝑎𝑑 =120°
b) 0.5 𝑟𝑎𝑑
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de colocar el valor dado debajo de 𝜋)
𝑥° = 0.5
𝜋𝑥 = 180°(0.5) Se multiplica 180° por 0.5
𝜋𝑥 = 90 Se despeja x
𝑥 =90
𝜋= 28°38´52.4´´
Así 0.5 rad = 28°38´52.4´´
c) 1.62 𝑟𝑎𝑑
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de colocar el valor dado debajo de 𝜋)
𝑥° = 1.62
𝜋𝑥 = 180°(1.62) Se multiplica 180° por 1.62
𝜋𝑥 = 291.6 Se despeja x
𝑥 =291.6
𝜋= 92°49´8.986´´ Así 1.62 rad = 92°49´8.986´´
d) 𝜋
9 𝑟𝑎𝑑
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 Aplicando el método de regla de 3 (asegúrate de colocar el valor dado debajo de 𝜋)
𝑥° = 𝜋
9
𝜋𝑥 = 180° (𝜋
9) Se multiplica 180° por la fracción y se conserva 𝜋
𝜋𝑥 = 20𝜋 Se despeja x
𝑥 =20𝜋
𝜋= 20°
Así 𝜋
9 rad = 20°
21
Manos a la obra
Convierte de grados sexagesimales a radianes
1) 150° 2) 300°20´
3) 78°30´18´´ 4) 204.50°
5) 420°30´ 6) 90.10°
Convierte de radianes a grados, minutos y segundos
1) 𝜋
4 rad 2) 6.28 rad
3) 1.5𝜋 rad 4) 0.34 rad
5) 3
5𝜋 rad 6) 2 rad
Evaluando tus aprendizajes
Calculadora de
rad a grados
y de grados a rad
22
II. FIGURAS GEOMÉTRICAS
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identifica, clasifica y caracteriza a las figuras geométricas. • Interpreta las propiedades de las figuras geométricas. • Significa las fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas
con el uso de materiales concretos y digitales.
Intro
En la naturaleza encontramos varias formas que asemejan figuras geométricas, pero la mayoría de las cosas u objetos creados por el hombre tienen la forma de alguna figura geométrica conocida, basta con echar una mirada a nuestro alrededor y veras que estamos rodeados por figuras y cuerpos geométricos, tanto en la casa, en la calle, en la escuela y en cualquier lugar a donde vayas. Observa las siguientes imágenes e identifica las figuras geométricas Seguramente reconociste rectángulos, cuadrados, círculos y triángulos.
23
Valorando lo que sabes
1. Escribe tres objetos de tu casa que tengan la forma de: a) Un rectángulo
b) Un cuadrado
c) Un círculo
d) Un triángulo
2. Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas
i. Los triángulos según la medida de sus ángulos se clasifican en equilátero,
isósceles y escaleno_____________
ii. En cualquier triángulo cada ángulo mide 60° ____________
iii. Cada ángulo de un rectángulo mide 90° _____________
iv. Los rombos tienes dos pares de lados paralelos_____________
v. La figura geométrica con siete lados se le llama eneágono ____________
vi. La suma de los ángulos internos de un pentágono es 540°___________
vii. Solo algunos cuadriláteros tienen cuatro vértices. _____________
viii. Al polígono con menor número de lados se le llama triángulo __________
3. Identifica las siguientes figuras geométricas y escribe su nombre
a) b) c)
d) e) f)
Aprendiendo
Una figura geométrica es la representación visual y funcional de un conjunto no
vacío y cerrado de puntos en un plano geométrico. Es decir, figuras que delimitan
superficies planas a través de un conjunto de líneas (lados) que unen sus puntos
de un modo específico. Dependiendo del orden y número de dichas líneas
hablaremos de una figura o de otra. Fuente: https://concepto.de/figuras-geometricas/#ixzz6ihkRskU3
En síntesis, las figuras geométricas son superficies delimitadas (cerradas)
por líneas rectas o curvas.
24
Definición de polígono
Las figuras geométricas delimitadas por líneas rectas se llaman polígonos
Todo polígono tiene que cumplir con tres condiciones:
i. Los segmentos se unen solo en sus extremos
ii. En un punto (vértice) solo se pueden encontrar dos segmentos
iii. Cada segmento solo toca a otros dos segmentos
Ejemplos:
De las siguientes figuras, usando las tres condiciones dadas indica cual es
polígono y cual no.
i) Los segmentos se unen solo en sus extremos
a) ii) En cada vértice solo hay dos segmentos
iii) Cada segmento solo toca a otros dos
segmentos.
Por lo tanto, si es un polígono.
i) Los segmentos se unen solo en sus extremos
b) A ii) En el punto A hay 4 segmentos, por lo que no
cumple con la condición
iii) Algunos segmentos tocan a más de dos
segmentos.
Por lo tanto, no es un polígono.
A los segmentos del polígono se le llaman lados y a los puntos donde se unen dos
lados se les llama vértices. La intersección de dos lados en un vértice forma un
ángulo. Una diagonal une dos vértices no consecutivos.
Clasificación de los polígonos
Los polígonos de acuerdo con su ángulo se clasifican en: convexos y cóncavos
Convexo: Si todos sus ángulos son menores a 180° y todas sus diagonales son
internas.
vértice
ángulo
diagonal
Todas las diagonales están dentro del
polígono (internos). Y cada ángulo es
menor de 180°
25
Cóncavo. Si uno o más de los ángulos son mayores a 180° y al menos una de
sus diagonales es externa.
Los polígonos de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos se clasifican en:
regulares e irregulares.
Regulares: Un polígono es regular si es equilátero y equiángulo, es decir, la
medida de sus lados es la misma y cada ángulo mide lo mismo.
Irregulares: Son aquellos polígonos que no cumplen con la igualdad de longitud
de sus lados y/o ángulos. Pueden ser equiláteros, pero no equiángulos o pueden
ser equiángulos, pero no equiláteros o ninguna de las dos.
Algunas diagonales están fuera del
polígono (externos). Y un ángulo es
mayor de 180°
Un cuadrado es un polígono regular ya que sus
lados tienen la misma longitud (equilátero) y
cada ángulo mide 90° (equiángulo)
Un rectángulo es un polígono irregular ya que,
aunque sus ángulos miden 90°, sus lados
tienen diferente longitud
El rombo de la figura es un polígono irregular
ya que, aunque sus lados miden lo mismo, sus
ángulos tienen diferente medida
El triángulo es irregular ya que sus lados y sus
ángulos tienen diferente medida
26
Para practicar
De los siguientes enunciados responde si es FALSO o VERDADERO
a) Los polígonos de acuerdo con su ángulo se clasifican en convexos y cóncavos
b) En un polígono una diagonal es un segmento que une dos lados consecutivos.
c) Un polígono irregular puede tener sus lados iguales
d) Los cuadrados son polígonos regulares
e) En un polígono cóncavo todas las diagonales son internas
f) En un polígono los puntos donde se une dos lados se llama ángulo
g) Los polígonos de acuerdo con la medida de sus lados y ángulos se clasifican
en regulares e irregulares
Los polígonos de acuerdo con el número de lados y vértices se clasifican
en:
Número de lados
y vértices Nombre Figura ilustrativa
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Eneágono
10 Decágono
27
12 Dodecágono
⋮ ⋮
∞ (infinito) Círculo
OJO: Cuando el número de lados crece a infinito entonces el polígono se convierte en
un círculo.
TRIÁNGULOS
El triángulo es el polígono con menor número de lados. Es muy usado en la
construcción de varias estructuras desde puentes hasta torres de comunicación, ya que
es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una
fuerza de compresión sobre cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres
vigas, automáticamente las dos vigas que parten de dicho vértice quedan sometidas a
dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sometida a un esfuerzo de
tracción. Cualquier otra forma geométrica que adopten los elementos de una estructura
no será rígida o estable mientras no se triangule. Texto tomado de https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0053-02/contenido/8_triangulacion.htm
Clasificación de los triángulos
De acuerdo con la medida de sus lados los triángulos se clasifican en:
Equilátero. Es aquel triángulo que tiene los tres lados de la misma longitud.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ Se lee: lado AB idéntico a lado AC e
idéntico a lado BC
A
B C
28
Isósceles. Es aquel triángulo que tiene dos lados de la misma medida.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ Se lee: lado AB idéntico al lado AC
Escaleno. Es el triángulo en el que la medida de sus lados es diferente
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
El símbolo ≠ significa diferente
De acuerdo con la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Acutángulo. Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos
Rectángulo. Es el triángulo que tiene un ángulo recto, por consiguiente, los otros
dos ángulos son agudos
El símbolo del cuadrado en el vértice B, indica que el
ángulo es recto, es decir mide 90°
Obtusángulo. Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90° y
menor de 180°.
Observa que el ángulo ABC es mayor de 90°
A
B C
A
B C
A
B C
C B
A
A
B C
29
Propiedades de los triángulos
Propiedad 1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°
Lo que significa que no se puede formar un triángulo si la suma de sus ángulos es
menor o mayor de 180°.
En la mayoría de las ocasiones solo se usará la palabra ángulo para referirse a
ángulo interno.
Ejemplos:
a) Traza un triángulo con ángulos ∠𝐷𝐸𝐹 = 45° ∠𝐷𝐹𝐸 = 80° ∠𝐸𝐷𝐹 = 55°
De acuerdo con la propiedad 1 la suma de los ángulos internos debe ser 180°
45° + 80° + 55° = 180° Sí se cumple la Propiedad 1
En este ejemplo como no se conoce la medida de ningún lado se pueden trazar
cualquier número de triángulos con estos ángulos.
Aquí se muestran 3 triángulos, pero pueden existir más, ya que están a
escala.
b) Traza un triángulo con ángulos ∠𝑀𝑁𝑃 = 46° ∠𝑁𝑀𝑃 = 85° ∠𝑀𝑃𝑁𝐹 = 52°
46° + 85° + 52° = 183°
183° > 180° Por lo tanto, no cumple con la propiedad 1 y no se forma triángulo.
c) Calcula el valor del ∠𝐵
De la propiedad 1 se tiene que ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°, si:
∠𝐴 = 38° y ∠𝐶 = 27° sustituimos en la ecuación de arriba
2
3 1
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
38°
B
27°
A
C
B
D
E F 80° 45°
55°
D
E F 80° 45°
55° D
E F 80° 45°
55°
30
38° + ∠𝐵 + 27° = 180° despejando el ángulo B
∠𝐵 = 180° − 38° − 27°
Así ∠𝑩 =115°
d) Calcula el valor del ∠𝐶 para el siguiente triángulo
De la propiedad 1 se tiene que ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°, si:
Si ∠𝐴 = 𝑥°, ∠𝐵 = 𝑥 + 10° y ∠𝐶 = 𝑥 − 6° sustituimos en la ecuación
𝑥 + (𝑥 + 10) + (𝑥 − 6) = 180 quitando los paréntesis
𝑥 + 𝑥 + 10 + 𝑥 − 6 = 180 sumando o restando términos semejantes
3𝑥 + 6 = 180 despejando x
3𝑥 = 180 − 6
3𝑥 = 174
𝑥 =174
3
𝑥 = 58°
Como el ángulo 𝐶 = 𝑥 − 6 sustituyendo 𝑥 = 58°
∠𝐶 = 58 − 6
Así ∠𝑪 = 𝟓𝟐°
Propiedad 2. La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360°
Ejemplos:
a) Calcula el valor del ángulo A
A
B C 𝑥 + 10° 𝑥 − 6°
𝑥
2
3 1 𝑧
𝑦
𝑥
∠𝑥 + ∠𝑦 + ∠𝑧 = 360°
A
B C
132°
C
150°
C
𝑥
31
Aplicando la propiedad 2
𝑥 + 112° + 140° = 360° Despejando x
𝑥 = 360° − 112° − 140°
𝑥 = 108°
Como el ∠𝑥 y el ∠𝐴 son suplementarios se tiene que
108° + 𝐴 = 180° Despejando el ∡𝐴
𝐴 = 180° − 108°
𝐴 = 72°
b) Calcula el valor de 𝑥 y 𝑦
Como el ángulo de 60° y el ángulo 𝑦 son suplementarios, se tiene que
60 + 𝑦 = 180 Despejando y
𝑦 = 180 − 60
𝑦 = 120°
De la propiedad 2 se tiene que
𝑦 + 2𝑥 + (𝑥 + 30) = 360 Sustituyendo 𝑦 por 120°
120 + 2𝑥 + 𝑥 + 30 = 360 Sumando términos semejantes
2𝑥 + 𝑥 = 360 − 120 − 30
3𝑥 = 210 Despejando 𝑥
𝑥 =210
3
𝑥 = 70°
Propiedad 3. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual al ángulo externo
no adyacente a ellos.
60°
3 1 𝑥 + 30
2𝑥
𝑦
A
B C
𝛼
𝛽 𝑥
∠𝛼 + ∠𝛽 = ∠𝑥
32
Ejemplos:
a) Calcula el valor del ángulo z
Aplicando la propiedad 3
36° + 28° = 𝑧
𝑧 = 64°
b) Calcula el valor del ángulo 𝛿 y 𝛽
Aplicando la propiedad 3
𝛽 + 30° = 116°
𝛽 = 116 − 30
𝛽 = 86°
Aplicando la propiedad 1
∠𝛽 + ∠𝛿 + 25° = 180° Sustituyendo 𝛽 = 86° en la ecuación
86° + ∠𝛿 + 25° = 180° despejando 𝛿
∠𝛿 = 180° − 86° − 25°
∠𝛿 = 69°
Propiedad 4. La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo será
mayor que la longitud del tercer lado.
Ejemplo:
¿Es posible formar un triángulo con estos lados?
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 18 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 53 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 32
36°
28°
𝑧
116°
𝛿
30°
𝛽
25°
A
B C
Para el cumplimiento de esta propiedad se
deben de cumplir las tres condiciones
1) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
2) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
3) 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
33
La primera condición
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
18 + 53 > 32 SI se cumple, ya que 71 es mayor que 32
71 > 32
La segunda condición
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ > 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
18 + 32 > 53 NO se cumple, ya que 50 (que es la suma) es menor que 53
50 < 53
OJO: Sin importar las letras de los vértices del triángulo, se debe cumplir que la suma
de cualquiera de los dos lados siempre será mayor que el otro lado. En caso de no
cumplirse, entonces no se podrá construir un triángulo.
Otros teoremas que tienes que saber sobre triángulos
a. El triángulo equilátero además de tener sus lados iguales
también tiene sus ángulos iguales (equiángulos) y cada uno
mide 60°.
b. El triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos con la misma medida
c. A cada ángulo le corresponde su lado opuesto, en donde a mayor ángulo del
triángulo le corresponde mayor lado y viceversa. Por lo tanto, a menor ángulo
del triángulo le corresponde menor lado y viceversa.
d. Para todo triángulo rectángulo es decir aquel triángulo que tiene un ángulo
que mide 90° los otros dos ángulos son agudos y suman 90°.
a
a
a
b b
a 𝛽 𝛽
𝛼
c
a
b
A
B C
Lado opuesto
del ángulo C
Lado opuesto del ángulo A
Lado opuesto
del ángulo B
c
𝛽
𝛼
𝛼 + 𝛽 = 90°
34
EJEMPLOS:
I. Verifica si los siguientes triángulos existen, en caso de que no existan explica la
razón.
a)
b)
c)
d)
e)
II. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando tu
respuesta.
a) Algunos triángulos equiláteros pueden ser obtusángulos
b) Algunos triángulos isósceles pueden ser obtusángulos
72°
64° 34°
A
B C
c=8
a=14
b=5
A
B C
A
B C 68° 68°
°
7 7
4
35°
°°
32°
°°
67°
55°
35°
De acuerdo con la propiedad 4 la suma de dos
lados siempre debe ser mayor que el tercer lado.
Al sumar 𝑏 = 5 con 𝑐 = 8 es menor que 𝑎 = 14
5 + 8 < 14
Entonces No existe triángulo
De acuerdo con la propiedad 1 la suma de los tres
ángulos internos debe sumar 180°.
Al sumar 𝐴 = 72°, 𝐵 = 34° y 𝐶 = 64° se tiene:
72° + 34° + 64° = 170°
Por lo que No existe triángulo
De acuerdo con el inciso b de otros teoremas, se
tienen dos ángulos con la misma medida,
entonces sus lados opuestos a los ángulos deben
ser iguales. Por lo que se cumple y se tiene un
triángulo isósceles.
De acuerdo con la propiedad 3 la suma de los
ángulos internos es igual al ángulo externo no
adyacente a ellos.
Al sumar 35° y 32° se tiene:
35° + 32° = 67°
Por lo que Sí existe triángulo
En todo triángulo rectángulo la suma de los ángulos distintos al recto debe sumar 90°
55° + 35° = 90°
Por lo que Sí existe triángulo
35
c) En todos los triángulos rectángulos los otros dos ángulos miden 45°
d) Algunos triángulos obtusángulos pueden ser escalenos
e) Se puede formar un triángulo con las siguientes medidas 3m,5m y 8m
III. Calcula lo que se te pide en cada caso, haciendo uso de las propiedades y
teoremas de los triángulos.
a) Para el triángulo isósceles de lado AB=3, AC= 3 y BC=4.6cm, con ángulo
B=40° Calcula el valor de los ángulos A y C
Primero trazamos el triángulo isósceles con las medidas dadas
En un triángulo isósceles hay dos lados y dos ángulos
iguales.
Si al lado AC le corresponde el ángulo opuesto B= 40°,
entonces al lado AB le corresponde el ángulo C que tiene
la misma medida que el ángulo B. Así:
∠𝐶 = 40°
De acuerdo con la propiedad 1 la suma de los ángulos
internos es de 180°
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° Sustituyendo
∠𝐴 + 40° + 40° = 180° Despejando ∠𝐴
∠𝐴 = 180° − 40° − 40°
∠𝐴 = 100°
b) El cuadrado ABCD se divide con una diagonal como se muestra en la figura.
Calcula el valor de los ángulos ∠𝐴𝐶𝐷 y ∠𝐶𝐷𝐴(∠2)
Para resolver no es necesario conocer los lados del cuadrado.
Se forman dos triángulos iguales (congruentes) y que son isósceles ya que tienen dos lados iguales.
Si se toma el triángulo de abajo se tiene que AC=CD por lo tanto ∠1 = ∠2, además el ∠𝐴𝐶𝐷 = 90°
Aplicando la propiedad, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180° por lo que si el ángulo ACD =90° entonces la suma de
∠1 + ∠2 = 90° Como son ángulos iguales entonces cada ángulo vale
∠1 = ∠2 = 45°
Manos a la obra
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta
a) Todos los triángulos equiláteros son acutángulos
b) Algunos triángulos escalenos pueden ser triángulos rectángulos
c) Algunos triángulos isósceles pueden tener sus tres ángulos de diferente
medida
3
C
A
4.6
3
B 40°
C
A B
D
1
2
36
d) Se puede formar un triángulo con los siguientes ángulos internos ∠1 =
22°30´ , ∠2 = 56° y ∠3 = 101°30´
e) Es posible formar el siguiente triángulo ∠𝐴 = 54°, ∠𝐵 = 86° y ∠𝐶 = 40° 𝑎 = 12,
𝑏 = 16, 𝑐 = 14 ( De preferencia traza el triángulo)
Para cada caso calcula la medida de los ángulos indicados
∡𝑥
∡𝑥
Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
∡𝑥
∡𝑥
Evaluando tus aprendizajes
𝑥
𝑥 − 20°
28°
𝑥
104° 𝐴
𝐵
𝐶
80°
𝑥
145°
𝑥 18°
37
Construcción de triángulos
Para construir un triángulo es necesario contar con un juego de geometría, o si no
al menos tener una regla, compás y transportador.
A continuación, se construirán triángulos dados algunos elementos
a) Dados 3 lados
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 4 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5
i. Traza el lado más largo preferentemente de manera horizontal (para este
caso sería el lado AB).
ii. Abre el compás con la medida del segundo lado (para este ejemplo sería el
lado BC) y tomando como centro un extremo del lado más largo traza un arco
por encima del segmento.
iii. Abre el compás con la medida del tercer lado (para este ejemplo sería el lado
AC) y tomando como centro el otro extremo del lado más largo traza un arco
por encima del segmento de tal manera que se cruce con el arco anterior.
iv. Une con dos segmentos el punto de intersección
i. ii
iii. iv.
Para trazar un triángulo equilátero o isósceles se siguen los pasos anteriores
b) Dados dos lados y un ángulo
𝑄𝑅̅̅ ̅̅ = 8 𝑄𝑆̅̅̅̅ = 5 ∡𝑅𝑄𝑆 = 45°
i. Traza el lado que contenga al ángulo dado preferentemente de manera
horizontal (para este caso pueden ser los lados QR o QS, ya que ambos
contienen Q)
ii. Con el transportador traza el ángulo tomando como centro uno de los
extremos del lado.
iii. Traza el segundo lado con la longitud indicada, tomando como inicio el primer
segmento y pasando por el punto que se marcó en el ángulo.
iv. Traza el tercer lado uniendo los extremos de los dos lados
AB=6 AB=6
AB=6 AB=6
38
i. ii.
iii. iv.
Dados un lado y dos ángulos
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 10 ∡𝐴𝐵𝐶 = 100° ∡𝐴𝐶𝐵 = 25°
i. Traza el único lado dado preferentemente de manera horizontal
ii. Con el transportador traza el ángulo que tenga de vértice uno de los extremos
del lado tomando como centro el extremo del lado (en este ejemplo se traza
el ángulo ACB) y une con un recta el punto del ángulo y el extremo del lado.
iii. Traza el segundo ángulo con el transportador en caso de que el ángulo no
sea parte del lado dado se tendrá que obtener el ángulo faltante, seguir el
paso ii.
iv. Extender los lados encontrados hasta que crucen en caso de ser necesario
i. ii.
iii. iv
Se obtiene el ∠𝐶𝐴𝐵 = 180° − 100° − 25°
∠𝐶𝐴𝐵 = 55°
Q QR=8
45° Q
S
R
QR=8 Q R
QR=8 Q R
S
QR=8
45° R
S
AC=10 A C AC=10 A C
B
AC=10 A C
B
AC=10 A C
B
39
Manos a la obra
Traza los siguientes triángulos dados los siguientes elementos
1) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 12 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 8 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 7
2) 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ = 7 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 4 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 9
3) 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ = 4 𝑅𝑆̅̅̅̅ = 6 ∡𝑅𝑄𝑆 = 60°
4) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 10 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5 ∡𝐴𝐵𝐶 = 100°
5) 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = 7 ∡𝑀𝑁𝑃 = 40° ∡𝑁𝑀𝑃 = 70°
6) 𝑅𝑆̅̅̅̅ = 9 ∡𝑅𝑆𝑇 = 95° ∡𝑅𝑇𝑆 = 35°
CUADRILÁTEROS
Entre los cuadriláteros más comunes están el cuadrado y el rectángulo, pero existen
otros cuadriláteros que seguramente has visto en la escuela.
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados muy diversificado su uso en varios
objetos de la vida cotidiana y en la mayoría de las cosas construidas; si se aprecia
en dos dimensiones tendrá la forma de un cuadrilátero, por ejemplo: la puerta, la
ventana, el móvil, la laptop, la mesa, entre otros.
Clasificación de los cuadriláteros
Los cuadriláteros se pueden clasificar en convexos y cóncavos.
Cuadrilátero convexo es aquel que todos sus ángulos son menores de 180° y las
diagonales son internas.
Cuadrilátero cóncavo es aquel que alguno de sus ángulos es mayor de 180° y al
menos una de sus diagonales no es interna
Una de las clasificaciones más usadas de los cuadriláteros es atendiendo al
paralelismo de sus lados.
Paralelogramos son aquellos que tienen dos pares de lados paralelos
No paralelogramos no tienen dos pares de lados paralelos y se subdividen en
trapecios y trapezoides.
40
PARALELOGRAMOS
Figura Nombre Características
Cuadrado
- 4 lados iguales
- Ángulos iguales (90°)
- Par de lados paralelos
- Diagonales perpendiculares e iguales
Rectángulo
- Dos pares de lados iguales
- Ángulos iguales (90°)
- Par de lados paralelos
- Diagonales iguales y oblicuas
Rombo
- 4 lados iguales
- 2 ángulos iguales agudos y dos ángulos obtusos
iguales
- Par de lados paralelos
- Diagonales perpendiculares y diferente
medida
Romboide
- Dos pares de lados iguales
- 2 ángulos iguales agudos y dos ángulos obtusos
iguales
- Par de lados paralelos
- Diagonales iguales y oblicuas
NO PARALELOGRAMOS
TRAPECIOS: Un par de lados paralelos
Figura Nombre Características
Trapecio
rectángulo
- Tiene dos ángulos rectos (90°)
- Un par de lados paralelos
Trapecio
isósceles
- Tiene dos lados iguales
Un par de lados paralelos
Trapecio
escaleno
- Tiene todos sus lados distintos
- Un par de lados paralelos
TRAPEZOIDES: Ningún lado es paralelo
Deltoide o
simétricos
- Par de lados consecutivos iguales
- Tienen un eje de simetría
- No tiene lados paralelos
a a
a
a a
b
b
a
a
a
a
a a
b
b
a
a a
a a
b b
a
41
Trapezoides o
asimétricos
- No tiene eje de simetría
- No tiene lados paralelos
Manos a la obra
Escribe el nombre de los siguientes cuadriláteros
Realiza la siguiente sopa de letras, las palabras pueden estar en horizontal, vertical,
diagonal y puede estar escrito en sentido inverso.
También puedes resolverlo en línea
https://puzzel.org/en/wordseeker/play?p=-MQiYzGoPCLAv_f40pQN
42
Evaluando tus aprendizajes
POLIGONOS REGULARES
Las figuras geométricas cuyos lados y ángulos son congruentes (tienen la misma
medida) se llaman polígonos regulares.
Para el caso de tres lados, la figura que es regular se llama triángulo equilátero, para
la figura de cuatro lados recibe el nombre de cuadrado.
A partir de los polígonos de cinco o más lados ya no tienen un nombre asignado, por
ejemplo, para el polígono de cinco lados se le llama pentágono regular, para el de
diez lados decágono regular.
Un polígono regular de 4 o más lados se puede dividir en igual números de triángulos
isósceles de igual área, teniendo como vértice común el centro del polígono
CUADRADO HEXÁGONO DECÁGONO
4 triángulos 6 triángulos 10 triángulos
Elementos de un polígono
Propiedades de los polígonos regulares
Medida de un ángulo interior
𝑎𝑖 =180°(𝑛 − 2)
𝑛 donde n es el número de lados
Ángulo interior
Ángulo exterior
Ángulo central
Diagonal
Apotema
43
La suma de los ángulos interiores
𝑆𝑖 = 180°(𝑛 − 2)
Medida de un ángulo exterior
𝑎𝑒 =360°
𝑛
La suma de los ángulos exteriores
𝑆𝑒 = 360°
OJO: La suma de los ángulos exteriores para cualquier polígono será de 360°
Medida de un ángulo central
𝑎𝑐 =360°
𝑛
Número de diagonales desde un vértice
𝑑 = 𝑛 − 3
Número TOTAL de diagonales
𝐷 =𝑛(𝑛 − 3)
2
A continuación, se muestran las diagonales trazadas desde un vértice de un
decágono regular y las diagonales desde todos los vértices.
d=7 diagonales D= 35 diagonales
Calcula lo que se te pide para cada polígono regular
Polígono Ángulo interior Suma de ángulos
interiores
ángulo
exterior
diagonales
desde un
vértice
total de
diagonales
Triángulo equilátero
𝑎𝑖 =180°(3 − 2)
3
𝑎𝑖 = 60°
𝑆𝑖 = 180°(3 − 2)
𝑆𝑖 = 180°
𝑎𝑒 =360°
3
𝑎𝑒 = 120°
𝑑 = 3 − 3
𝑑 = 0
𝐷 =3(3 − 3)
2
𝐷 = 0
44
Pentágono 𝑎𝑖 =
180°(5 − 2)
5
𝑎𝑖 = 108°
𝑆𝑖 = 180°(5 − 2)
𝑆𝑖 = 540°
𝑎𝑒 =360°
5
𝑎𝑒 = 72°
𝑑 = 5 − 3
𝑑 = 2
𝐷 =5(5 − 3)
2
𝐷 = 5
Octágono 𝑎𝑖 =
180°(8 − 2)
8
𝑎𝑖 = 135°
𝑆𝑖 = 180°(8 − 2)
𝑆𝑖 = 1080°
𝑎𝑒 =360°
8
𝑎𝑒 = 45°
𝑑 = 8 − 3
𝑑 = 5
𝐷 =8(8 − 3)
2
𝐷 = 20
Eneágono 𝑎𝑖 =
180°(9 − 2)
9
𝑎𝑖 = 140°
𝑆𝑖 = 180°(9 − 2)
𝑆𝑖 = 1260°
𝑎𝑒 =360°
9
𝑎𝑒 = 40°
𝑑 = 9 − 3
𝑑 = 6
𝐷 =9(9 − 3)
2
𝐷 = 27
Polígono de 18 lados
𝑎𝑖 =180°(18 − 2)
18
𝑎𝑖 = 160°
𝑆𝑖 = 180°(18 − 2)
𝑆𝑖 = 2880°
𝑎𝑒 =360°
18
𝑎𝑒 = 20°
𝑑 = 18 − 3
𝑑 = 15
𝐷 =18(18 − 3)
2
𝐷 = 135
Manos a la obra
Calcula lo que se te pide para cada polígono regular
Polígono Ángulo interior Suma de ángulos
interiores
ángulo
exterior
diagonales
desde un
vértice
total de
diagonales
Cuadrado
Hexágono
Heptágono
Decágono
45
Perímetros y áreas de un polígono
Para calcular el perímetro de un polígono se suman las medidas de todos sus lados.
Nombre Figura Perímetro Área
Triángulo equilátero
𝑃 = 3𝑙
𝐴 =√3
4𝑙2
Triángulo isósceles (conociendo su altura)
𝑃 = 2𝑙 + 𝑏 𝐴 =𝑏 ∙ ℎ
2
Triángulo escaleno (conociendo su altura)
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝐴 =𝑏 ∙ ℎ
2
Cualquier triángulo (sin conocer su altura)
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝐴 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
Semiperimetro
𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
Cuadrado
𝑃 = 4𝑙 𝐴 = 𝑙2
Rectángulo
𝑃 = 2𝑏 + 2ℎ 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
Rombo
𝑃 = 4𝑎 𝐴 =𝐷 ∙ 𝑑
2
𝑙 𝑙
𝑙
𝑙 𝑙
𝑏
ℎ
𝑏
𝑎 𝑐 ℎ
𝑎
𝑏
𝑐
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝑏
ℎ
𝑏
ℎ
𝑎 𝑎
𝑎 𝑎
𝐷
𝑑
46
Romboide
𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
Trapecio
𝑃 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝐵 𝐴 =ℎ ∙ (𝐵 + 𝑏)
2
Polígono regular de 5 o más lados
𝑃 = 𝑛 ∙ 𝑙
Donde 𝑛 es el número de lados
𝐴 =𝑃 ∙ 𝑎
2
Donde 𝑎 es la apotema
Círculo
𝐶 = 2𝜋𝑟 𝐴 = 𝜋𝑟2
Ejemplos
I. Calcula el área sombreada
a)
b)
ℎ
𝑏
𝑎 𝑎
𝑏
ℎ
𝑏
𝐵
𝑎 𝑐
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
𝑟
𝑎
24cm
5cm 10cm
2cm
4cm
47
c)
d)
II. En las figuras que se muestran a continuación, los cuadriláteros ABCD son cuadrados
de lado “a”. ¿Hallar las áreas sombreadas?
a)
b)
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de perímetros y áreas
1) Este terreno se vendió en $200.00 pesos el metro cuadrado
a) ¿Cuál es el área del terreno?
b) ¿Cuál es su precio de venta?
c) ¿Qué cantidad de malla mínima se necesitará para
cercar totalmente el terreno?
2m 1m
A D
C B
A D
C B
𝑎
𝑎
48 m
48 m
24m
24m
48
a) b) y c)
2) ¿Qué figura tiene mayor área un cuadrado de 6cm de lado o un círculo de 6cm de
diámetro? Justifica matemáticamente tu respuesta
3) Calcular el área lateral de la llanta si el diámetro del rin es 15 pulgadas y el de la
llanta 18 pulgadas
6𝑐𝑚
6𝑐𝑚
Área del cuadrado
𝐴 = 𝑙2
𝐴 = 62
𝐴 = 36 𝑐𝑚2
Área del círculo
𝐴 = 𝜋𝑟2 r = 3cm
𝐴 = 𝜋(3)2 = 9𝜋 𝑐𝑚2
𝐴 = 28.27 𝑐𝑚2
49
4) Calcula la superficie total de una lata de refresco que tiene de radio 3 cm y de altura
12 cm. La superficie de la lata está formada por la base y la tapa que son círculos y el cuerpo de la
lata que al cortarla ( o desenrollarla) se tendrá un rectángulo en donde el largo es la medida
de la circunferencia y el alto es la altura de la lata.
Manos a la obra
I. Calcula el área sombreada
1)
2) 3)
4) OA = 4cm, BC=2cm. O es el centro de
ambos círculos.
5)
12cm
12cm
6cm
6cm
6cm
4cm
1cm
8cm
8 cm
O B C
A
12 m
8m
50
II. En las figuras que se muestran a continuación, los cuadriláteros ABCD son cuadrados de lado “a”. ¿Hallar las áreas sombreadas?
1)
Calcula el área de la región sombreada si M y N son puntos medios
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de perímetros y áreas
1) Un jardín tiene la siguiente forma si se va a sembrar pasto en la parte indicada
a) Calcula el área del jardín que tendrá pasto
b) Calcula el área total del jardín
c) ¿Qué longitud deberá tener la cerca para
cubrir la parte con pasto?
2) Un portón de lámina se construirá con un rectángulo y un triángulo isósceles
como se muestra en la figura el siguiente diseño.
a) Calcula la cantidad mínima de lámina que se usará
para realizar el portón.
b) Calcula la longitud total de las barras (marcadas de
negro) que se usará
3) Determina lo que se te pide realizando las operaciones correspondientes
El plano de mi casa
a) Largo de la habitación B
b) Ancho de la habitación D
c) Largo de la habitación G
d) Área de la casa
e) Perímetro del pasillo
f) Área de la habitación mayor
g) Área de la habitación F
h) Perímetro de las habitaciones
F y G
3 m
𝑎
1cm
𝑎
2
𝑎
2
𝑎
B C
A D
M
N
A B
C
A B
C D D
𝑎
pasto
12m
8m
4m
9m
4 m
3 m 2.4m
51
4) ¿Cuál será el área de contacto para una llanta de 18 pulgadas de diámetro
en su parte exterior y el ancho de 7 pulgadas?
5) Se desea construir una mesa de forma de triángulo equilátero. ¿Cuánto debe
medir cada lado si la superficie de la mesa debe ser de 1m2 ?
6) Un portón de lámina se construirá con un rectángulo y un triángulo isósceles como se muestra en la figura el siguiente diseño.
c) Calcula la cantidad mínima de lámina que se
usará para realizar el portón.
d) Calcula la longitud total de las barras (marcadas
de negro) que se usará
7) ¿Cuál será el costo de la puerta, si cuesta 180 pesos el m2?
8) Una barda de 2.50 m de alto por 40 m de largo se debe pintar de un solo lado.
a) ¿Qué cantidad de cubetas se deben comprar si se estima un rendimiento
de tan solo el 50% de acuerdo con las especificaciones técnicas de
cubrimiento? Nota: Una cubeta trae 19 litros de pintura
7 pulg
4 m
3 m 2.4m
2m
0.8m
52
9) Se va a forrar con papel lustre la siguiente máscara con forma de un
hexágono regular. Calcular el área forrada.
10) Calcula el área de un terreno
con la siguiente forma y medidas
Evaluando tus aprendizajes
CUERPOS GEOMÉTRICOS
Un área de estudio de la Geometría espacial son los cuerpos geométricos. La
mayoría de los objetos creados por el hombre tienen una forma geométrica.
DATOS
Radio de cada círculo 2 cm
Triángulo equilátero de 6 cm de lado
Rectángulo de 8 cm de ancho y 1 cm de alto
Lado del hexágono 12 cm y apotema de 10.4 cm
53
Nombre Figura Características Volumen
Cubo
Poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales.
𝑉 = 𝑙3
Tetraedro
Poliedro cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales.
𝑉 = √2
12𝑙3
Prisma triangular
Prisma cuyas bases son triángulos equiláteros. 𝑉 =
√3
4. 𝑙2. ℎ
Prisma cuadrangular
Prisma cuyas bases son cuadrados. 𝑉 = 𝑙2. ℎ
Pirámide triangular
Pirámide que tiene un triángulo de base. Compuesto por 4 caras, la base triangular y tres triángulos que confluyen en el ápice de la pirámide.
𝑉 =√3
4. 𝑙2. ℎ
Esfera
Conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera. Figura geométrica descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro.
𝑉 =3
4. 𝜋. 𝑟2
Cilindro
Figura tridimensional que se forma cuando una recta, llamada generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje.
𝑉 = 𝜋. 𝑟2. ℎ
𝑙
𝑙 𝑙
𝑙
𝑙
𝑙
ℎ
𝑙
ℎ
𝑙
ℎ
𝑟
𝑟
ℎ
54
Ejemplos:
Calcula el volumen de los siguientes Cuerpos Geométricos
𝑉 = (5)(2)(1) = 10𝑢3
Como la base es triángulo rectángulo ya que está indicado el
ángulo recto, Se calcula el área.
𝐴𝑏 =(𝑏)(ℎ)
2=
(4)(3)
2=
12
2
𝐴𝑏 = 6𝑢2
Para calcular el volumen se multiplica el área de la base por la altura
𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ
𝑉 = (6)(6)
𝑉 = 36𝑢3
Como la base es un pentágono regular. Se calcula el área de la base.
𝐴𝑏 =𝑃 ∙ 𝑎
2
𝑃 = 5𝑙 = 5(3) = 15 𝑎 = 2
𝐴𝑏 =(15) ∙ (2)
2=
30
2
𝐴𝑏 = 15 𝑢3
Como la base es un rectángulo. Se calcula el área de la base.
𝐴𝑏 = (8)(6) = 48
Volumen de cualquier pirámide
𝑉 =1
3𝐴𝑏 ∙ ℎ
𝑉 =1
3(48) ∙ (10) = 160
𝑉 = 160𝑐𝑚3
Cono
Superficie de revolución generada por hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
𝑉 =𝜋. 𝑟2. ℎ
3
ℎ
𝑟
55
Ejercicios:
Calcula el volumen de los siguientes Cuerpos Geométricos
Al tener altura, anchura y profundidad los cuerpos geométricos se miden en
unidades cúbicas y varios de ellos están conformados por figuras geométricas.
Por ejemplo, el prisma se obtiene el volumen calculando el área de la base que
puede ser cualquier figura geométrica y se multiplica por la altura.
56
Evaluando tus aprendizajes
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Algunas consideraciones:
- El centro de una circunferencia se
representa generalmente con la
letra O
Un segmento de recta que pase
por el centro de la circunferencia
será el diámetro
Ángulos de una circunferencia
diámetro
áng lo central
áng loinscrito
áng losemi inscrito
ángulo interior
ángulo exterior
𝛼 =𝐴�̂�
2
𝛼 =𝐴�̂� − 𝐶�̂�
2
𝛼 = 𝐴�̂� 𝛼 =𝐴�̂�
2
O
57
Ejemplos:
Calcula el ángulo 𝛼 para los incisos a, b y c
a) 𝐴�̂� = 100° y 𝐶�̂� = 38°
Para un ángulo interior la fórmula es:
𝛼 =𝐴�̂� + 𝐶�̂�
2=
100° + 38°
2=
138°
2
𝛼 = 69°
b) 𝐴�̂� = 98° y 𝐶�̂� = 30°
Para un ángulo exterior la fórmula es:
𝛼 =𝐴�̂� − 𝐶�̂�
2=
98° − 30°
2=
68°
2
𝛼 = 34°
c) 𝐴�̂� = 120°
Para un ángulo inscrito la fórmula es:
𝛼 =𝐴�̂�
2=
120°
2
𝛼 = 60°
d) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es el diámetro de la circunferencia, si 𝛼 = 24° Calcula el valor del ∠𝛽
𝛼 =𝐴�̂� + 𝐶�̂�
2
A O
B 𝛼 𝛽
Como el ∠𝛼 = 30° es un ángulo inscrito, usando la fórmula
𝛼 =𝐵�̂�
2 despejando el arco 𝐵�̂� se tiene 𝐵�̂� = 2𝛼, sustituyendo
𝐵�̂� = 2(24°) = 48°
Como el ∠𝛽 es un ángulo central, usando la fórmula
𝛽 = 𝐵�̂� 𝑎𝑠í 𝛽 = 48°
C
58
e) O es el centro y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es el diámetro de la circunferencia ¿Calcula el valor
del ∠𝐶𝑂𝐷?
f) En la circunferencia de centro O y diámetro de TQ. Calcula el valor del
ángulo OPR
A O B
D
C
64°
34°
Como el ∠𝐶𝐴𝐷 = 64° es un ángulo inscrito, usando la fórmula
∠𝐶𝐴𝐷 =𝐶𝐵�̂�
2 despejando el arco 𝐶𝐵�̂� se tiene 𝐶𝐵�̂� = 2𝐶𝐴𝐷,
sustituyendo
𝐶𝐵�̂� = 2(64°) = 128°
Como 𝐶𝐵�̂� + 𝐶𝐴�̂� = 360° se despeja 𝐶𝐴�̂�
𝐶𝐴�̂� = 360° − 𝐶𝐵�̂�
𝐶𝐴�̂� = 360° − 128° = 232°
Como ∠𝐶𝑂𝐷 es un ángulo central, usando la fórmula
∠𝐶𝑂𝐷 = 𝐶𝐴�̂�
∠𝐶𝑂𝐷 = 232°
Como el ∠𝑇𝑅𝑄 = 70° es un ángulo inscrito, usando la fórmula
∠𝑇𝑅𝑄 =𝑇�̂�
2 despejando el arco 𝑇�̂� se tiene 𝑇�̂� = 2(∠𝑇𝑅𝑄),
sustituyendo
𝑇�̂� = 2(70°) = 140°
Como el ∠𝑇𝑂𝑃 = 𝑇�̂� ( ya que es un ángulo central )
∠𝑇𝑂𝑃 = 140°
Como el ∠𝑇𝑂𝑄 es un ángulo llano así:
∠𝑇𝑂𝑄 = ∠𝑇𝑂𝑃 + ∠𝑃𝑂𝑄 = 180° Despejando ∠𝑃𝑂𝑄
∠𝑃𝑂𝑄 = 180° − ∠𝑇𝑂𝑃
∠𝑃𝑂𝑄 = 180° − 140°
∠𝑃𝑂𝑄 = 40°
La suma de los ángulos internos de
un triángulo suma 180°
∠𝑃𝑂𝑄 + ∠𝑂𝑃𝑅 + 90° = 180°
Despejando ∠𝑂𝑃𝑅 y sustituyendo ∠𝑃𝑂𝑄 = 40°
∠𝑂𝑃𝑅 = 180° − 90° − 40°
∠𝑂𝑃𝑅 = 50° P
O Q
R
40°
R
O
P
T Q
59
g) Si el punto O es el centro de la circunferencia. Calcular el valor del 𝐶�̂� si
∠𝐶𝐷𝐸 = 80° y ∠𝐴𝑂𝐵 = 162°
Manos a la obra
1) Calcula el valor del ángulo x
2) Calcula el valor del ángulo 𝛼, sí 𝐺�̂�=140º y 𝐸�̂�=28º
3) Calcula el valor del ángulo central 𝛽 si ∠𝛼 = 25°
A
O B
C D E
Como el ∠𝐴𝑂𝐵 = 162° es un ángulo central, usando la fórmula
∠𝐴𝑂𝐵 = 𝐴𝐶�̂�
𝐴𝐶�̂� = 162°
Como 𝐴𝐶�̂� + 𝐴𝑃�̂� = 360° se despeja 𝐶𝐴�̂�
𝐴𝑃�̂� = 360° − 𝐴𝐶�̂� Se sustituye 𝐴𝐶�̂� = 162°
𝐴𝑃�̂� = 360° − 162° = 198°
Como ∠𝐶𝐷𝐸 es un ángulo externo, usando la fórmula
∠𝐶𝐷𝐸 =𝐴𝑃�̂� − 𝐶�̂�
2
Sustituyendo los valores
80° =198°−𝐶�̂�
2 Despejando
160° = 198° − 𝐶�̂�
𝐶�̂� = 198° − 160°
𝐶�̂� = 38°
P
60
4) Si ∠𝛼 = 24° y 𝐶�̂� = 38° , ¿Cuánto mide el arco 𝐴�̂�?
5) Calcula el valor de los ángulos 𝛼 y 𝛽
6) Calcula el valor del ángulo 𝛼, si 𝐵�̂� = 60°
7) Calcula el valor del arco 𝐸�̂� sí ∠𝛼 = 44° y 𝐶�̂� = 76°
8) El ángulo ACD mide 12° y el arco BC mide 100°, la medida del ángulo x es:
9) Calcula la medida del ∠𝐴𝐵𝐶
61
10) El punto O es el centro, 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ son diámetros de la circunferencia. Si
el ángulo DOC mide 84°. Calcule el arco BC
Evaluando tus aprendizajes
Dadas las siguientes afirmaciones indica si son falsas o verdaderas.
1)
a) O es el centro de la circunferencia ___________
b) El segmento FD es el diámetro de la circunferencia
______________
c) El ángulo x es un ángulo interno_____________
2)
a) El segmento AD es el diámetro de la
circunferencia ___________
b) El ángulo EDA es un ángulo inscrito__________
c) El segmento AF es una cuerda__________
Respuestas
F
62
III. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
APRENDIZAJES ESPERADOS
Caracteriza y clasifica a las configuraciones espaciales triangulares según sus disposiciones y sus relaciones. Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante distintos medios.
TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS
Intro
Dividir cualquier polígono en triángulos se le llama triangulación de polígonos, esta
acción tiene varias aplicaciones, aquí se presentan alguna de ellas.
Una de las más conocidas y usadas desde la antigüedad es para calcular áreas, sobre
todo de terrenos que tienen formas de polígonos irregulares, ya que solo con conocer
las longitudes de los lados de todos los triángulos se puede obtener el área de cada uno
de ellos usando la Fórmula de Herón.
63
En la cartografía digital o numérica la triangulación es usada para aproximar de la mejor
forma posible a la superficie real del terreno que se pretenda representar.
Vista perspectiva de un terreno
Autor: Priego de los Santos José Enrique
En el problema de la galería de arte o del museo se busca que el número de
videocámaras de vigilancia sea lo más pequeño posible pero que cada parte de la galería
pueda ser visible por al menos una de ellas. Por lo tanto, la colocación de las cámaras
debe ser estratégica. Para dar respuesta a esta interrogante se usó las matemáticas y
en 1975 se creó un teorema que suele llamarse el teorema del vigilante que tiene como
base la triangulación de polígonos, publicándose la solución de este en la revista Journal
of Combinatory Theory en 1975.
Colocación de cámaras en un edificio Imagen de ABelem07 - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=42607440
A1
A2
A3
A4
Atotal = A1+A2+A3+A4
Para
saber mas
Para
saber mas
64
Valorando lo que sabes
Divide el siguiente polígono en la cantidad mínima de triángulos.
Ver respuesta
Imagen de Pedro Sánchez
Aprendiendo
Cualquier polígono con cuatro lados o más se pueden trazar triángulos que cubran toda
su superficie, a este proceso se le llama triangulación.
La triangulación de un polígono es la descomposición de éste en triángulos utilizando
para ello el conjunto máximo de diagonales que no se intersectan. Por lo general la
triangulación de polígonos no es única, por ejemplo, el hexágono de la figura puede ser
triangulado de diferentes formas como se muestra.
Ejemplos de Triangulación de un polígono
De Jespa - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=56565953
El número máximo de triángulos que se puede trazar en un triángulo simple esta dado
por:
𝑛 − 2 donde n es el número de vértices del polígono.
El número de diagonales que se trazan esta dado por:
𝑛 − 3 donde n es él número de vértices del polígono.
65
Ejemplos:
I. Determina el número de diagonales y triángulos que se pueden trazar en los
siguientes polígonos
Polígono Número de triángulos
(n-2) Número de diagonales
(n-3)
Trapecio 4 − 2 = 2 4 − 3 = 1
Triangulo 3 − 2 = 1 3 − 3 = 0
Heptágono 7 − 2 = 5 7 − 3 = 4
Decágono 10 − 2 = 8 10 − 3 = 7
Polígono de 16 lados 16 − 2 = 14 16 − 3 = 13
II. Triangula los siguientes polígonos de dos formas distintas
a)
b)
c)
d)
66
Manos a la obra
I. Determina el número de diagonales y triángulos que se pueden trazar en los
siguientes polígonos
Polígono Número de triángulos (n-2) Número de diagonales (n-3)
Rectángulo
Pentágono
Octágono
Eneágono
Polígono de 20 lados
II. Triangula los siguientes polígonos de dos formas distintas
1)
2)
3)
4)
67
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Intro
En la industria todos los días se necesita producir miles y a veces millones de piezas
o partes que sean iguales entre sí. Desde un librero hasta un coche se necesita unir
piezas que debe ser idénticas para que encajen exactamente en otras piezas y así
se puedan producir cientos o miles de estos productos que son réplicas del original.
Por ejemplo, en la figura se tiene un librero que tiene varias piezas iguales, si alguna de esa piezas fuera diferente en forma o más pequeña o grande no sería posible armarlo.
En nuestra vida diaria también usamos objetos o cosas que deben ser identificas en
forma y tamaño, tal es el caso de una hoja de papel, si estos tuvieran diferente
medida y deseamos imprimir o sacar una copia fotostática, las hojas se quedarían
atascadas o no entrarían en la impresora o fotocopiadora; por lo que los fabricantes
a la hora de producirlas deben garantizar que todas las hojas sean iguales en forma
y tamaño.
En matemáticas las figuras geométricas que son idénticas entre si se les llama
congruentes.
Valorando lo que sabes
I. Observa los siguientes triángulos indica que par de triángulos son
congruentes (iguales)
A G E
B D
F
C
a) ____ y _____
b) ____ y _____
c) ____ y _____
68
II. Dibuja del mismo color aquellas figuras geométricas congruentes en la
mándala.
¿Qué tipo de figuras encontraste?
¿Hay figuras que no son geométricas? Dibújalas
Aprendiendo
Se dice que una figura geométrica es congruente con otra c ando son “exactamente
iguales”, es decir, tienen la misma forma, sus lados tienen la misma longitud y
la medida de sus ángulos son iguales. Si se sobrepone una figura sobre otra
coincidirían.
Para expresar que una figura es congruente con otra, en Geometría se usa el símbolo.
≅ Como se observa en los siguientes rectángulos podemos concluir que el rectángulo ABCD es congruente con el rectángulo QRST, debido a que sus lados y ángulos tienen la misma medida.
≅
A B
C D
Q R
S T
69
Para el caso del cuadrado ABCD podemos decir que es NO ES congruente con el
cuadrado QRST, aunque su ángulos son iguales (todos miden 90°), sus lados no lo
son.
≅
Para los triángulos ABC y FGH si se cumple la congruencia ya que sus lados son
iguales y sus ángulos son iguales, aunque tengan diferente posición.
≅
Las marcas en el triángulo muestran cuales son los lados congruentes(iguales)
Teselado ROMBITRIHEXAGONAL Autor: R. A. Nonenmacher
Para hacer posible este tipo de diseños es necesario que todas las figuras
empleadas sean congruentes.
Criterios de congruencia para triángulos
Para determinar la congruencia entre dos triángulos cualquiera no es necesario conocer
la medida de todos sus lados y ángulos, solo se necesitan tres elementos determinados
de cada uno de ellos. A partir de estos elementos definimos los siguientes criterios de
congruencia:
A B
C D
Q R
S T
A
B C
H
F
G
Un teselado regular o teselado con
polígonos regulares es un teselado del
plano que emplea un solo tipo de polígonos
regulares. Estos patrones geométricos han
sido ampliamente utilizados con fines
decorativos desde la antigüedad. Solo son
posibles teselados regulares empleando
triángulos equiláteros, cuadrados y
hexágonos regulares. El primer tratamiento
matemático sistemático del tema fue el de
Kepler.
70
Criterio LAL
Si dos lados y el ángulo
comprendido de un triángulo son
respectivamente congruentes con
dos lados y el ángulo comprendido
de otro triángulo, entonces los dos
triángulos son congruentes.
Criterio ALA
Si dos ángulos y el lado
comprendido de un triángulo son
respectivamente congruentes con
dos ángulos y el lado comprendido
de otro triángulo, entonces los dos
triángulos son congruentes.
Criterio LLL
Si los tres lados de un triángulos
son congruentes con los tres lados
de otro triángulo, entonces los dos
ángulos son congruentes.
Ejemplos:
Los triángulos mostrados a continuación son congruentes, indica que criterio se
cumple. (Nota: las marcas mostradas tómese como lados o ángulos congruentes).
a)
b)
A
B
C
D
E
F
H
G
I
J
K
L
P
Q
R
S
T
U
Como se tienen dos lados
congruentes y un ángulo
comprendido congruente
entonces se cumple el criterio LAL
Como se tienen tres lados
congruentes entonces se cumple
el criterio LLL
71
Determina si los triángulos dados son congruentes y en caso de serlo menciona que
criterio de congruencia cumple.
a) ∠𝐾 = ∠𝑇 , ∠𝐿 = ∠𝑈 , 𝐽�̅� = 𝑆𝑈̅̅ ̅̅
b) ∠𝐵 = ∠𝐹 , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐸𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐹𝐺̅̅ ̅̅
c)
B
A
C
D Solución:
Como el ángulo ∠𝐶𝐵𝐷 ≅ ∠𝐶𝐵𝐴 y el ∠𝐵𝐶𝐷 ≅ ∠𝐴𝐶𝐵
Además, el lado BC es común para ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐵𝐶𝐷 por lo
que se cumple el criterio ALA, siendo así congruentes los
triángulos.
J
K
L
JS
U
T Solución: El criterio ALA menciona que el
lado debe quedar comprendido
entre los dos ángulos por lo que
parece que no cumple el criterio.
Sin embargo, si dos ángulos son
congruentes entonces el tercer
ángulo también es congruente.
Por lo que si se cumple el criterio
ALA.
Así el ∆𝐽𝐾𝐿 ≅ ∆𝑆𝑇𝑈 ya que
cumplen con el criterio ALA. J
K
L
J
S
U
T
Solución: El criterio LAL menciona que el ángulo
debe quedar comprendido entre los dos
lados y en este caso el ángulo no está
incluido entre los dos lados conocidos.
por lo que no se cumple el criterio
Así el ∆𝐴𝐵𝐶 𝑦 ∆𝐸𝐹𝐺 no se puede saber
si son congruentes.
B
A
C
J
F
E
G
J
F
E
G
JB
A
C
J
72
d)
e) El triángulo ABC es equilátero. Determine si existe congruencia entre el ∆𝐴𝐶𝐷
y ∆𝐴𝐵𝐷
Manos a la obra
I. Para cada pareja de triángulos, determina si hay suficiente información para decidir
si los triángulos son congruentes. Si son congruentes determine qué criterio cumple.
1)
2)
3)
P Q
R
S
T
Solución:
Como el lado 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ≅ 𝑄𝑇̅̅ ̅̅ y el 𝑄𝑆̅̅̅̅ ≅ 𝑄𝑅̅̅ ̅̅
Además, los ∠𝑃𝑄𝑅 y ∠𝑆𝑄𝑅 son opuestos por el
vértice por lo que tienen el mismo valor, luego
entonces se cumple el criterio LAL de congruencia.
A
B C D
Solución:
Como el ∠𝐶𝐷𝐴 mide 90° entonces el ∠𝐴𝐷𝐵 también mide 90°, además por ser equilátero el ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐵𝐷 = 60°. Por lo tanto, el ∠𝐶𝐴𝐷 =∠𝐵𝐴𝐷 = 30°
Luego entonces se cumple el criterio ALA de
congruencia.
A
B C D 60° 60°
73
II. Prueba lo que se te pide en cada numeral.
1. Al cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 se le traza la diagonal 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ para formar dos triángulos.
Determina si los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐵𝐶𝐷 son congruentes y que criterio de
congruencia cumple
2. Prueba si los triángulos dados son congruentes y en caso de serlo menciona
que criterio de congruencia cumple.
a) ∠𝐾 ≅ ∠𝑇 , 𝐾𝐿̅̅ ̅̅ ≅ 𝑇𝑆̅̅̅̅ , 𝐽𝐾̅̅ ̅ ≅ 𝑇𝑈̅̅ ̅̅
3. El punto P es el punto medio del segmento 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ . Prueba si los triángulos son
congruentes y bajo qué criterio de congruencia. Si 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ y ∠𝐴 ≅ ∠𝐸
4. El ∆𝐴𝐵𝐶 es equilátero y P es el punto medio del lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Prueba si los
triángulos rectángulos son congruentes y en caso de serlo indica que criterio
se cumple.
5. Sea U el punto medio de los lados 𝑃𝑆̅̅̅̅ y 𝑄𝑇. Prueba la congruencia de los
triángulos 𝑃𝑄𝑈 y 𝑆𝑇𝑈.
A B
C D
L
K
J
JS
U
T
A
D
A E P
A B
C
P
P
T
S
Q
R
U
74
6. Prueba que el ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 . Si sabemos qué ∠𝐴 ≅ ∠𝐷, ∠𝐴𝐶𝐵 ≅ ∠𝐷𝐹𝐸 y
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
7. ABCDE es un pentágono regular y 𝐴𝐺̅̅ ̅̅ biseca al ∠𝐸𝐴𝐵.
Prueba que ∆𝐵𝐶𝐺 ≅ ∆𝐸𝐷𝐺
Biseca: Que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Evaluando tus aprendizajes
A C
B
D
E
F
A
B
C D
E
G
75
IV. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
APRENDIZAJES ESPERADOS
Significa los criterios de semejanza de triángulos constructivamente mediante distintos medios. Interpreta visual y numéricamente al Teorema de Tales en diversos contextos y situaciones cotidianas.
Intro
Como se observa en la siguiente imagen, las dos figuras están a escala se puede
observar que las medidas de los lados de la figura 2 es el doble de la figura 1 . Por
lo que decimos que las figuras son semejantes.
Figura 1 Figura 2
76
No solo en matemáticas se usan las figuras semejantes, sino en cualquier área que
se necesite representar a menor o mayor tamaño un objeto, por ejemplo, en la
construcción para la elaboración de planos de una casa, edificio o puente, en el
diseño, para el dibujo de las partes de un producto, en la mecánica automotriz, para
ensamble de las partes del auto, en la biología, para el dibujo de las especies de
animales o plantas a escala, en la geografía para la elaboración de mapas.
En este apartado se tratará sobre la semejanza de triángulos, usando los criterios de
semejanza y se resolverá problemas de aplicación.
Valorando lo que sabes
a) Aumenta la figura al triple de su tamaño
b) Disminuye la figura al 50% de su tamaño
RESPUESTAS
Aprendiendo
Decimos que dos figuras son CONGRUENTES cuando tienen la misma forma y
tamaño, aunque tengan diferente posición.
77
ESCALAS
Dos figuras son SEMEJANTES cuando tienen la misma forma, pero diferente
tamaño, sin embargo, las medidas están en proporción.
En matemáticas una proporción es la igualdad entre dos razones.
Una figura es proporcional a otra si al dividir sus lados correspondientes se obtiene
el mismo valor.
Las razones 𝑎
𝑏 𝑦
𝑐
𝑑 son proporcionales si:
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 con 𝑏 ≠ 0 y 𝑑 ≠ 0
Además de escribirlo en fracciones las razones se pueden expresar como:
𝒂
𝒃= 𝒂: 𝒃 se lee: "𝑎 es a 𝑏”
Esta forma de escribir la fracción con dos puntos, es utilizada para las escalas
usadas en dibujos o planos.
Por ejemplo, en el caso de las fotografías anteriores podemos verificar si son
semejantes si sus lados son proporcionales.
Comprobando:
Foto 1 4
3.2= 0.8 Foto 2
3
2.4= 0.8
Por lo que se cumple que 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Si a la segunda figura la giramos 90° a la
derecha y la sobreponemos sobre la primera
coinciden exactamente
La segunda figura tiene la misma forma, pero es de
menor tamaño, es decir, las figuras están a escala. La
segunda figura está reducida en un 50% en relación con
la primera figura. Es decir, están en un escala de 1:2
4 cm
3.2
cm
3 cm
2.4
cm
FOTO 1 FOTO 2
78
También se puede verificar aplicando la regla de tres, visto en
proporcionalidad directa. 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Sustituyendo valores (arriba se deben de escribir las medidas de la segunda imagen)
3
4 =
2.4
3.2
Multiplicando cruzado
3
4 =
2.4
3.2
3.2(3) = 4(2.4)
9.6 = 9.6
Como se cumple la igualdad se dice que los lados son proporcionales y por tanto las fotos
son semejantes, es decir, están a escala.
La escala para las fotografías anteriores está en la relación 3:4 (se lee 3 es a 4), es decir, la
segunda fotografía es 3
4=0.75 veces menor que la fotografía original.
NOTA: Para obtener la escala primero se toma cualquier lado de la segunda figura o
imagen, se escribe dos puntos (que significa razón) y luego se escribe el valor del lado
correspondiente de la primera figura.
Veamos el siguiente ejemplo.
Prueba que los triángulos son semejantes
En este caso como se tienen tres lados se puede verificar que se cumpla la proporcionalidad,
para ello se deben de relacionar los lados correspondientes. Se escribe en el numerador los
lados del segundo triángulo y en el denominador los lados del primer triángulo
8
4=
6
3=
10
5
Dividiendo cada fracción se tiene
2 = 2 = 2
Hay ocasiones en que al dividir el numero obtenido es un número decimal
infinito
Por lo que se puede usar la multiplicación cruzada para determinar si se
cumple la igualdad.
3
4
5
4
8
6 10
54
79
Para ello se toma por pares 4
8=
3
6
4(6) = 3(8)
24 = 24 Si cumple
Tomando otra pareja 4
8=
5
10
4(10) = 5(8)
40 = 40 Si cumple
Tomando la última pareja 3
6=
5
10
3(10) = 5(6)
30 = 30 Si cumple
Por lo tanto, los lados son proporcionales y los triángulos son semejantes.
La escala del segundo triángulo es de 8:4 (se lee: “8 es a 4”), simplificando quedaría
como 2:1 es decir, 2
1= 2 por lo que el segundo triángulo es el doble de tamaño que
el triángulo original.
En cada caso traza la figura geométrica que cumpla con la razón mostrada
a) 2:3
El rectángulo que se dibujará será menor que el rectángulo original, ya que está en la razón
2:3, es decir, 2
3= 0. 6̅, que significa que sus lados serán 0. 6̅ menor que el lado original.
2
3× 6 =
12
3= 4 La base del rectángulo
Se multiplica cada lado por la razón 2
3
Base = 6 unidades
Altura=3 unidades 6
4
3
4 4
4
2
4
80
2
3× 3 =
6
3= 2 La altura del rectángulo
Verificando el resultado dividimos cada lado del segundo rectángulo entre cada lado del
primer rectángulo. Recuerda que en el numerador va la medida de la figura obtenida y en el
denominador de la figura original.
4
6=
2
3= 0. 6̅ Por lo que se cumple
b) 3:1
El rectángulo que se dibujará será mayor que el triángulo original, ya que está en la razón
3:1, es decir, 3
1= 3, que significa que sus lados serán 3 veces mayor que el lado original
3
1× 3 =
9
1= 9 La base del triángulo
3
1× 2 =
6
1= 6 La altura del triángulo
Verificando el resultado dividimos cada lado del segundo triángulo entre cada lado del
primer triángulo. Recuerda que en el numerador va la medida de la figura obtenida y en el
denominador de la figura original.
9
3=
6
2= 3 Por lo que se cumple
Manos a la obra
I. Determina si los siguientes polígonos son semejantes verificando la
proporcionalidad de cada lado dado y escribe la escala.
1)
Se multiplica cada lado por la razón 3
Base = 3 unidades
Altura=2 unidades
3
4
2
4
9
4
6
4
3 cm
1.8
cm
81
2)
3)
4)
5)
V. En cada caso traza la figura geométrica que cumpla con la razón
mostrada
a) 3:1
5 cm
3
cm
7.5 cm
4
.5 c
m
4 cm
3
.2 c
m
5 cm
7.5 cm 3.7 cm
82
b) 3:2
c) 1:4
d) 2:5
VI. Resuelve los siguientes problemas
1) En un mapa escala 1:300000 la distancia que separa dos ciudades es de 5 cm. ¿A
qué distancia real se encuentran ambas ciudades? Dar el resultado en metros.
2) Las piezas de un reloj se dibujan con una escala de 20:1. Si un engrane tiene un
diámetro de 0.4cm. ¿Cuál es el diámetro del engrane del reloj en el dibujo?
3) Determina si las dos fotografías están a escala es decir si son semejantes. Se dan
las medidas de cada fotografía.
83
Criterios de semejanza de triángulos
En el caso de la semejanza de triángulos al igual que en la congruencia de triángulos
no es necesario conocer el valor de todos sus lados y ángulos para determinar si
son semejantes, solo con tener algunos elementos es suficiente.
Lados correspondientes u homólogos son lados que se oponen a ángulos iguales o
lados comprendidos entre ángulos iguales.
Ejemplos
Para los siguientes triángulos determina los lados homólogos.
Primero tenemos que identificar los ángulos congruentes, observamos que el ∠𝐴 = ∠𝐷 por
ser ángulos rectos.
El ∠𝐵𝐶𝐴 = ∠𝐷𝐶𝐸 por ser opuestos por el vértice.
Si se conocen dos ángulos y estos son congruentes entonces el tercer ángulo también es
congruente. Así el ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐸𝐷
Con la información anterior damos respuesta
Paralelismo de lados Para expresar que una figura es semejante con otra, en Geometría se usa el símbolo.
D
F
E
H
G I
El homologo de 𝐷𝐹 ̅̅ ̅̅ ̅es 𝐺𝐻̅̅ ̅̅
El homologo de 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ es 𝐺𝐼̅̅ ̅
El homologo de 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ es 𝐻𝐼̅̅̅̅
A
B
C D
E
El homologo de 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅es ____
El homologo de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es ____
El homologo de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es ____
A
B
C D
E
El homologo de 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅es 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
El homologo de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
El homologo de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ es 𝐶𝐸̅̅ ̅̅
~
84
Criterio LLL
Si los tres lados de un triángulo son
proporcionales con los lados
homólogos de otro triángulo
entonces los triángulos son
semejantes.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ =𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐹̅̅ ̅̅ =𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
Criterio AA
Si dos ángulos de un triángulo son
respectivamente congruentes con
dos ángulos de otro triángulo,
entonces los triángulos son
semejantes.
∠𝐺 = ∠𝐽 y ∠𝐻 = ∠𝐾
Criterio LAL
Dos triángulos son semejantes si tienen
dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual.
∠𝑄 = ∠𝑇 , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ =𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐹̅̅ ̅̅
I. Prueba si los triángulos son semejantes (~) indicando que criterio
cumple
a) 𝐻𝐼̅̅̅̅ = 10 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ = 8 𝑋𝑍̿̿ ̿̿ = 6 𝑌𝑍̅̅̅̅ = 7.5 ∠𝐺𝐻𝐼 = 70° ∠𝑋𝑍𝑌 = 70°
Escribiendo los valores dados
Por los datos dados se puede aplicar el criterio LAL
Verificando si los lados correspondientes son proporcionales
𝑋𝑍̅̅ ̅̅
𝐻𝐺̅̅ ̅̅=
𝑌𝑍̅̅ ̅̅
𝐻𝐼̅̅̅̅ Sustituyendo los valores
D
E
F
G
H
I
J
K
L
P
Q
R
T
A
B
C
S
U
H
G I
Z
X Y
H
G I
8 10
Z
X Y
70° 70° 7.5
0 6
85
6
8=
7.5
10
0.75 = 0.75 Se cumple la proporcionalidad
Ahora se comprueba que los ángulos correspondientes sean iguales.
∠𝐺𝐻𝐼 = ∠𝑋𝑍𝑌 = 70°
Por lo tanto, se cumple el criterio LAL y decimos que el ∆𝐻𝐺𝐼~∆𝑋𝑌𝑍
II.
El ángulo ACB es opuesto por el vértice con el ángulo DCE por lo tanto son iguales (ver
ángulos marcados de verde)
Además, el ángulo BAC es recto e igual al ángulo CDE (ángulos marcados de café)
Por lo tanto, se cumple el criterio AA y decimos que ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐶𝐷𝐸
III. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 9 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 15 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 12 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 6 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 10 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 8
Separamos los dos triángulos y colocamos los valores correspondientes
A
B
C D
E
A
B
C D
E
A
B
C
E
D
A
B
C C
E
D 15
12 9
6 8
10
86
Se verifica la proporcionalidad de los lados correspondientes
𝐷𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅=
𝐶𝐸̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅=
𝐷𝐸̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Se Sustituyen los valores de cada lado
10
15=
8
12=
6
9
Simplificando a su mínima expresión
2
3=
2
3=
2
3
Como al simplificar las fracciones se obtienen los mismos valores, eso indica que los
lados correspondientes son proporcionales y por tanto se cumple el criterio LLL y
decimos que ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐶𝐷𝐸
IV. 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 8 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ = 10 𝑆𝑇̅̅̅̅ = 14 𝑆𝑈̅̅ ̅̅ = 18 ∠𝑄 = 27° ∠𝑆 = 27°
Escribiendo los valores dados
Se verifica la proporcionalidad de los lados correspondientes
𝑆𝑇̅̅̅̅
𝑃𝑄̅̅ ̅̅=
𝑆𝑈̅̅ ̅̅
𝑄𝑅̅̅ ̅̅
Se Sustituyen los valores de cada lado
14
8=
18
10
Simplificando a su mínima expresión
7
4≠
9
5
P
Q R
T
S U
P
Q R
T
S U 10
8
27° 18
14
27°
87
Como se observa las razones son distintas por lo que los lados no son
proporcionales. Por lo tanto, los ∆𝑃𝑄𝑅~∆𝑆𝑇𝑈 no son semejantes.
Para practicar
Dibuja el ∆𝐴𝐵𝐶 con ∠𝐴 = 42° ∠𝐵 = 50° y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3𝑐𝑚, ahora dibuja el ∆𝐷𝐸𝐹 con
∠𝐷 = 42° ∠𝐸 = 50° y 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 6𝑐𝑚
Completa la tabla con las medidas de cada triángulo
∠𝐶 ∠𝐷
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐹̅̅ ̅̅=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅=
¿Son los ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆𝐷𝐸𝐹 semejantes?__________________
OJO: En un triángulo si se traza una paralela a uno de los lados, entonces se forman dos
triángulos que son semejantes entre sí.
CASO 1
B
A C
B
A C N
M 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ Se lee:
El lado BC es paralelo
al lado MN
B
A C N
M
Se tiene que:
∠𝐶 = ∠𝑁
∠𝐵 = ∠𝑀
Se cumple el criterio AA
∴ ∆𝐴𝑀𝑁~∆𝐴𝐵𝐶
88
CASO 2
CASO 3
Ejemplos:
a) Si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ con 𝑃𝑄 = 5, 𝐴𝐶 = 7.6, 𝑃𝐵 = 6.2. Calcular el valor del lado 𝐵𝑄
B
A C
Se tiene que:
∠𝐴 = ∠𝑃
∠𝐶 = ∠𝑄
Se cumple el criterio AA
∴ ∆𝑃𝐵𝑄~∆𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ Se lee:
El lado AC es
paralelo al lado PQ
Q P
B
A C
B
A C
B
A C R
S 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝑅𝑆̅̅̅̅ Se lee:
El lado AB es
paralelo al lado RS
B
A C R
S
Se tiene que:
∠𝐴 = ∠𝑅
∠𝐵 = ∠𝑆
Se cumple el criterio AA
∴ ∆𝑅𝑆𝐶~∆𝐴𝐵𝐶
B
A C
P Q
B
A C
P Q
Anteriormente se comprobó que si se traza una
paralela a uno de los lados del triángulo los dos
triángulos resultantes son semejantes. Por
tanto, se puede resolver usando la
proporcionalidad de los lados.
89
b) Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝑅𝑆̅̅̅̅ con 𝐴𝐵 = 20, 𝑅𝑆 = 13, 𝐴𝐶 = 14. Calcular el valor del lado 𝐴𝑅
c) Si 𝐴𝐶 ∥ 𝑃𝑄. Con 𝐴𝑃 = 5, 𝑃𝐵 = 10 y 𝑄𝐶 = 4. Calcúlese el valor de 𝐵𝑄
d) Si 𝑀𝑁 ∥ 𝑃𝑄. Con 𝑀𝐿 = 5, 𝐿𝑄 = 6.4 y 𝑁𝐿 = 5.4. Calcúlese el valor de 𝑃𝐿
e) Si 𝑌𝑍 ∥ 𝑆𝑇. Con 𝑌𝑆 = 𝑥 + 2, 𝑌𝑅 = 𝑥, 𝑍𝑇 = 4, 𝑅𝑇 = 8.5 Calcúlese el valor de 𝑥
f) Supóngase que las rectas que parecen paralelas lo son; calcular el valor de x
B
A C
P Q
B
A C R
S
M
L N
Q
P
Como el lado MN es paralelo al lado PQ
entonces el ∠𝑀 = ∠𝑄 y el ∠𝑁 = ∠𝑃
por lo que cumple con el criterio AA y los
∆𝐿𝑀𝑁 y ∆𝐿𝑃𝑄 son semejantes.
R
S T
Z Y
7
4
12
5R
𝑥
90
Manos a la obra
I. En los siguientes ejercicios calcule el valor de x. Supóngase que las rectas que
parecen paralelas lo son.
1) 2) 3)
II.
1) Si 𝑍𝑋 ∥ 𝑅𝑆, 𝑅𝑋 ∥ 𝑇𝑆. Prueba que el ∆𝑅𝑋𝑍 y ∆𝑅𝑇𝑆 son semejantes
2) Si 𝑀𝑁 ∥ 𝐷𝐸. Calcúlese el valor de NE
3) Si 𝑀𝑁 ∥ 𝑃𝑄. Con 𝑀𝐿 = 6, 𝐿𝑃 = 7 y 𝑁𝐿 = 8. Calcúlese el valor de 𝐿𝑄
4) Dibuja un triángulo rectángulo ABC que tenga de base 4cm y altura 3cm.
Ahora dibuja otro triángulo rectángulo JKL que tenga base 8cm y altura 6cm.
Verifica la proporcionalidad de los lados correspondientes y di si los triángulos
son semejantes.
7
4
12
5R
𝑥
9
R 𝑥
𝑥 9
8
.
M
L N Q
P
91
TEOREMA DE TALES
Una versión de la historia dice que la pirámide de Keops en Egipto fue medida por Thales
de Mileto por medio de la sombra que proyectaba. Y que afirmaba que tanto la sombra
de la pirámide como la de su cuerpo eran proporcionales. (para saber más sobre Tales
de Mileto)
El teorema de Tales se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos
y establece que:
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes
en la otra.
Se cumple
𝑎
𝑎´=
𝑏
𝑏´=
𝑐
𝑐´
De acuerdo con el teorema de Tales de Mileto (por lo general solo llamado el
teorema de Tales) menciona que dados dos rectas transversales cortadas por
paralelas los segmentos comprendidos entre esas paralelas son proporcionales; por
lo que este teorema es aplicable también a los triángulos si este tiene un segmento
paralelo a uno de los lados (ver figura)
Si 𝑃𝑄 ∥ 𝐴𝐶 por el teorema de Tales se cumple que
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
𝐶𝑄̅̅ ̅̅=
𝑃𝐵̅̅ ̅̅
𝑄𝐵̅̅ ̅̅
Pero también se cumple la siguientes proporcionalidades. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝑃𝐵̅̅ ̅̅=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐵𝑄̅̅ ̅̅ y
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝑃̅̅ ̅̅=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝑄̅̅ ̅̅
Por lo que este teorema ayuda a encontrar el valor de un lado de una manera
más sencilla.
B
A C
P Q
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎´
𝑏´
𝑐´
92
Resolviendo el ejemplo 𝑐 de semejanza de triángulos, pero ahora usando el
teorema de Tales.
Si 𝐴𝐶 ∥ 𝑃𝑄. Con 𝐴𝑃 = 5, 𝑃𝐵 = 10 y 𝑄𝐶 = 4. Calcúlese el valor de 𝐵𝑄
Escribiendo los valores en el triángulo
Sustituyendo los valores
5
4=
10
𝑥
Resolviendo (se multiplica cruzado)
5
4=
10
𝑥
5𝑥 = 4(10)
5𝑥 = 40
𝑥 =40
5
𝑥 = 8
Como se observa el proceso de resolución es más sencillo que separando en dos
triángulos, como se hizo anteriormente.
Ejemplos:
a) Encontrar el valor de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ . Ver figura.
B
A C
P Q
B
A C
P Q
𝑥
Por el teorema de Tales se tiene la proporcionalidad entre los lados.
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
𝐶𝑄̅̅ ̅̅=
𝐵𝑃̅̅ ̅̅
𝐵𝑄̅̅ ̅̅
A B
C
D
E
9
5
3 Como los lados AC y DE son paralelos entonces los lados son proporcionales y podemos usar el Teorema de Tales Así:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐶𝐸̅̅ ̅̅
93
Tomando en cuenta que: 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ + 𝐸𝐵̅̅ ̅̅
Como 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 3 y 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ = 5
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 3 + 5 Sustituyendo los valores
9
8=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
3 Multiplicando cruzado
8𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 9(3)
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ =27
8
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 3.375
b) Si 𝑌𝑍 ∥ 𝑆𝑇. Con 𝑆𝑌 = 𝑥, 𝑅𝑌 = 𝑥 − 1, 𝑅𝑇 = 10 y 𝑅𝑍 = 4.5 . Calcúlese el
valor de 𝑆𝑅
Como: 𝑆𝑅̅̅̅̅ = 𝑆𝑌̅̅̅̅ + 𝑌𝑅̅̅ ̅̅ Sustituyendo
𝑆𝑅̅̅̅̅ = 𝑥 + 𝑥 − 2 Sumando o restando términos semejantes
𝑆𝑅̅̅̅̅ = 2𝑥 − 1
Usando la proporcionalidad de los lados
𝑆𝑅̅̅ ̅̅
𝑅𝑇̅̅ ̅̅=
𝑅𝑌̅̅ ̅̅
𝑅𝑍̅̅ ̅̅ Sustituyendo
2𝑥−1
10=
𝑥−1
4.5 Multiplicando cruzado y resolviendo para x
4.5(2𝑥 − 1) = 10(𝑥 − 1)
9𝑥 − 4.5 = 10𝑥 − 10 Pasando a la izquierda la x y a la derecha el número
9𝑥 − 10𝑥 = −10 + 4.5
−𝑥 = −5.5 Multiplicando ambos lados por -1
𝑥 = 5.5
Como 𝑆𝑅 = 2𝑥 − 1 Sustituyendo 𝑥 = 5.5
𝑆𝑅 = 2(5.5) − 1
𝑆𝑅 = 10
R
S T
Z Y
Como los lados ST y YZ son paralelos entonces los lados son proporcionales y podemos usar el Teorema de Tales
94
Para cada triángulo calcular el valor de x. Supóngase que las rectas que parecen
paralelas lo son.
a)
b)
c)
2
5
.
7
𝑥
Como hay lados paralelos entonces se cumple el Teorema de Tales Así:
2
𝑥=
7
5 Multiplicando cruzado
7𝑥 = 2(5)
7𝑥 = 10
𝑥 =10
7
5
16
6
8
𝑥
>
Como hay lados paralelos entonces se cumple el Teorema de Tales Así:
16
13=
5
𝑥 Multiplicando cruzado
16𝑥 = 13(5)
16𝑥 = 65
𝑥 =65
16
6
𝑥
4
5
Como hay lados paralelos entonces se cumple el Teorema de Tales Así:
𝑥
9=
6
4 Multiplicando cruzado
4𝑥 = 9(6)
4𝑥 = 54
𝑥 =54
4= 13.5
95
d)
Manos a la obra
Mediante el Teorema de Tales realiza lo que se te pide.
Use el siguiente triangulo para los ejercicios 1, 2, 3 y 4. Considerando que AB∥CD.
1) Si PC = 12 cm, PB = 6cm, BD = 2 cm, Calcule el lado AC
2) Si CD = 7 cm, PA = 2 cm, AC = 5 cm. Calcule el lado AB
3) Si PC = 16 cm, BD = 6 cm, AB = 9 cm, PD = 24 cm. Calcula el lado CD
4) Si PA = 3𝑥, AB = 3𝑥 − 2, AC = 𝑥 + 2, CD = 4𝑥 − 1. Determina PC
Use el siguiente triángulo para los ejercicios 5, 6 y 7. Considere que AB∥CD
5) Si BP = 6 cm, CP = 4 cm, CD = 3 cm. Calcula AB
6) Si AP = 𝑥 + 13, BP = 10 cm, PC = 4 cm, PD = 𝑥 + 4, Calcula AP
7) SI BP = 16 cm, CP = 14 cm, DP = 12 cm. Calcula AD
2𝑥 − 2
𝑥 6
8
Como hay lados paralelos entonces se cumple el Teorema de Tales Así:
2𝑥−2
14=
𝑥
8 El 14 se obtiene sumando 6 y 8
8(2𝑥 − 2) = 14𝑥
16𝑥 − 16 = 14𝑥 Ordenando términos semejantes
16𝑥 − 14𝑥 = 16
2𝑥 = 16
𝑥 =16
2= 8
P
A
A B
C D
A
B
C
D
P
96
Evaluando tus aprendizajes
CASOS DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Para resolver situaciones reales en donde involucren triángulos semejantes se
puede también usar el teorema de Tales.
Situación
Se desea conocer la altura de asta bandera de la escuela para saber cuánto de
cuerda se debe de usar para subir la bandera.
Resolución.
Si no es posible medir la altura, ya sea porque no se cuenta con un flexómetro o una
escalera para subirse y alcanzar la parte más alta. Se puede resolver usando la
semejanza de triángulos.
Cuando el sol proyecta una sombra de cualquier objeto esta es proporcional con la sombra de otro objeto.
(ver figura)
Así que para calcular la altura del asta bandera podemos apoyarnos con un objeto , puede ser un palo o
cualquier objeto que se conozca o sea fácil medir su longitud, además se debe medir la longitud de la sombra
del palo y la sombra del asta bandera.
Supongamos que se tiene una vara de 1m, y que la longitud de la sombra de la vara es de
0.8m y la sombra proyectada por el asta bandera es de 3.2 m
Como se observa en la figura se tienen dos ángulos
correspondientes iguales y la base es
proporcional, por lo que se cumple el criterio ALA
por tanto se asegura que los triángulos son
semejantes.
a a´
97
Ejemplos
Un poste de 2 metros proyecta una sombra de 2.8m ¿Cuál será la altura de un edificio que
proyecta una sombra de 14m?
No es necesario realizar el dibujo solo con dibujar dos triángulos con los valores dados para poder
realizar la proporcionalidad de los lados.
Relacionando los lados correspondientes
ℎ
2=
14
2.8
Multiplicando cruzado
2.8ℎ = 14(2)
ℎ =28
2.8
𝒉 = 𝟏𝟎𝒎
Para medir el ancho de un cerro se construyeron los siguientes triángulos
semejantes, en los cuales se tiene que AC=80m, CD=35m, DE=42m. ¿Cuál es el
ancho del cerro?
𝐴𝐶
𝐴𝐵=
𝐶𝐷
𝐷𝐸
80
𝐴𝐵=
35
42
35𝐴𝐵 = 80(42)
𝐴𝐵 =3360
35
𝐴𝐵 = 96𝑚
3.2m 0.8m
h
1m
Relacionando los lados correspondientes ℎ
1=
3.2
0.8
Multiplicando cruzado
0.8ℎ = 3.2(1)
ℎ =3.2
0.8
𝒉 = 𝟒𝒎
h
14m
14m
2m
2.8m
A
5B
5
D
C
5
E
5
98
Para medir la anchura de un río se utiliza un arreglo de triángulos rectángulos como
se muestra en la figura. Si 𝐴𝑂 = 30𝑚, 𝐶𝐷 = 28𝑚, 𝑂𝐶 = 10𝑚. Calcula el ancho del
río representado por el lado AB
𝐴𝑂
𝑂𝐶=
𝐴𝐵
𝐶𝐷 Sustituyendo los valores
30
10=
𝐴𝐵
28 Multiplicando cruzado
10𝐴𝐵 = 30(28)
𝐴𝐵 =840
10
𝐴𝐵 = 84𝑚
Manos a la obra
I. Determina el valor de x. Supóngase que las rectas que parecen paralelas lo son.
1) 2) 3)
5) 5) 6)
7) 8)
9
7
11
9
𝑥
13
4
15
𝑥
18
10
𝑥
7
𝑥
2.4
3.2
3.2 𝑥
9
4
𝑥
2
8
A
5
O
5
B
5
C
5
D
5
Como se observa en la figura existen
dos parejas de ángulos que son
congruentes por lo que se cumple el
criterio AA y por tanto los triángulos
son semejantes.
𝑥
20
6
10
99
1. Un pino proyecta una sombra de 8 metros a la misma hora un poste de 1.5 metros
proyecta una sombra de 2m. Calcula la altura del pino. Suponiendo que el pino y el
poste son perpendiculares al terreno.
2. Para calcular la anchura de un río se usan dos triángulos semejantes
3. Luisa está ubicada a 1m de un barda vertical de 2 metros de alto. Si levanta la
vista puede observar la parte más alta de una casa que se encuentra a 15m de la
barda. Los ojos de Luisa están a una altura de 1.6m. Calcula la altura del edificio.
4. Calcula la separación de los dos postes de luz que se muestra en la figura
TEOREMA DE PITÁGORAS.
El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más famosos de las matemáticas y
tiene aplicación en muchas áreas tanto de las matemáticas, así como fuera de ella.
Atribuido al filósofo y matemático de la antigua Grecia Pitágoras de Samos. (para
saber más de Pitágoras de Samos).
Realiza lo que se te pide.
Toma una hoja de papel puede ser de tu cuaderno o una hoja tamaño carta.
1. Traza una diagonal sobre la hoja, como veras se formaron dos triángulos.
2. Responde falso o verdadero los siguientes enunciados
24
10
18
1.6𝑚
2.8𝑚
4.8𝑚 𝑑
100
a) Los dos triángulos son congruentes______
b) Los dos triángulos son rectángulos ______
3. Ahora toma un triángulo de la hoja y mide los tres lados en centímetros.
Lado mayor (c):
Lado menor (base (b) :
Lado mediano (altura (a):
4. Calcula el perímetro y el área del triángulo
Perímetro:
Área:
5. Ahora sustituye los valores del lado menor (b) y del lado mediano (a) en la pagina web
del siguiente link: https://www.teoremadepitagorasonline.com/ y al finalizar oprime
calcular.
Nota: solo se sustituyen dos valores las medidas de a y b. para h se escribe 0
6. Verifica que los valores obtenidos ¿son muy aproximados a los que tu obtuviste?
7. ¿Por qué crees que no fue necesario escribir el valor del lado mayor, para hacer algunos
cálculos por ejemplo para hallar el valor del perímetro?
El teorema de Pitágoras se enuncia así.
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los
cuadrados de los catetos.
(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
Para el triángulo se puede escribir de la siguiente manera
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
La hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto
Identifica la hipotenusa y los catetos para los siguientes triángulos
𝑎 cateto
𝑏 hipotenusa
𝑐 cateto
𝑎
𝑏
𝑐 a y b: catetos
c: hipotenusa
𝑐
𝑎
𝑏
101
Determina el valor de la hipotenusa para los siguientes triángulos
a) 𝑒 = 9 𝑓 = 12 𝑑 =?
b) 𝑠 = 5 𝑡 = 4 𝑢 =?
𝑎 = 7 𝑐 = 7.5 𝑏 =?
𝑠 cateto
𝑡 cateto
𝑢 hipotenusa
𝑑 hipotenusa
𝑒 cateto
𝑓 cateto
𝑗 cateto
𝑘 hipotenusa
𝑙 cateto
𝑡 s
𝑢
𝑒 𝑑
𝑓
𝑘
𝑗
𝑙
𝑒 𝑑
𝑓
𝑑2 = 𝑒2 + 𝑓2
Se obtiene la raíz cuadrada de cada lado de la
igualdad así:
𝑑 = √𝑒2 + 𝑓2
Sustituyendo:
𝑑 = √(9)2 + (12)2
𝑑 = √81 + 144
𝑑 = √225
𝑑 = 15
𝑡 s
𝑢
𝑢2 = 𝑠2 + 𝑡2
𝑢 = √𝑠2 + 𝑡2
Sustituyendo:
𝑑 = √(5)2 + (4)2
𝑑 = √25 + 16
𝑑 = √41
102
Determina el valor del cateto para los siguientes triángulos
Para calcular el valor de cualquier cateto es necesario despejar el teorema de Pitágoras
(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
Despejando
(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
−(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 = −(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 + (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
Se multiplica por (-1) todos los términos
(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 − (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
Para quitar el cuadrado del miembro de la izquierda se obtiene la raíz cuadrada de
ambos lados.
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 − (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
a) 𝑑 = 10 𝑓 = 8 𝑒 =?
𝑐
𝑎
𝑏
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2
𝑏 = √𝑎2 + 𝑐2
Sustituyendo:
𝑏 = √(7)2 + (7.5)2
𝑏 = √49 + 56.25
𝑏 = √105.25
𝑏 ≈ 10.26
𝑒 𝑑
𝑓
𝑒 = √𝑑2 − 𝑓2
Sustituyendo:
𝑒 = √(10)2 − (8)2
𝑒 = √100 − 64
𝑒 = √36
𝑒 = 6
103
b) 𝑠 = 8 𝑢 = 11 𝑡 =?
c) 𝑎 = 15 𝑏 = 11 𝑐 =?
d) Una escalera de 2.4m está apoyada sobre una pared. Determine que altura puede
alcanzar si la parte inferior tiene una separación de 0.6m de la pared.
e) A un terreno rectangular de
100m de largo por 60m de
ancho se le traza una diagonal
para dividirlo en partes
iguales. Calcula la longitud de
la diagonal.
𝑡 s
𝑢
𝑡 = √𝑢2 − 𝑠2
Sustituyendo:
𝑡 = √(11)2 − (8)2
𝑡 = √121 − 64
𝑒 = √57
𝑒 ≈ 7.55
𝑐 𝑎
𝑏
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
Sustituyendo:
𝑐 = √(15)2 − (11)2
𝑐 = √225 − 121
𝑐 = √104
𝑐 ≈ 10.19
2.4𝑚
ℎ
0.6𝑚
Como se está buscando el valor de un cateto
ℎ = √(2.4)2 − (0.6)2
Sustituyendo:
𝑐 = √5.76 − 0.36
𝑐 = √5.4
𝑐 = 2.32
Como se está buscando el valor de la hipotenusa
𝑏 = √𝑎2 + 𝑐2
Sustituyendo:
𝑏 = √(100)2 + (60)2
𝑏 = √10000 + 3600
𝑏 = √13600
𝑏 ≈ 116.62
104
f) Una estructura metálica tiene forma de un triángulo equilátero y cada lado
mide 3m. Calcula la altura de la estructura
Identificación de tipos de triángulos conocidos sus tres lados
Conocidos los tres lados de un triángulo con el teorema de Pitágoras es posible
determinar si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
Para ello se debe tomar el mayor lado como el lado c.
Si:
1) 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 el triángulo es rectángulo
2) 𝑐2 > 𝑎2 + 𝑏2 el triángulo es obtusángulo
3) 𝑐2 < 𝑎2 + 𝑏2 el triángulo es acutángulo
Ejemplos:
Determina de que tipo son los siguientes triángulos
a) Los lados miden 3, 4 y 5
𝑐 = 5 𝑎 = 3 𝑏 = 4
Sustituyendo
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
25 = 25
Por lo tanto, es un triángulo rectángulo
b) Los lados miden 6, 8 y 10
𝑐 = 10 𝑎 = 7 𝑏 = 8
Sustituyendo
102 = 72 + 82
El lado mayor siempre será c.
El lado a y b se puede elegir de
forma indistinta
La altura de un triángulo equilátero divide al
triángulo en dos triángulos rectángulos. Por lo que
es posible usar el Teorema de Pitágoras.
ℎ = √32 − 1.52
Sustituyendo:
ℎ = √9 − 1.25
ℎ = √7.75
ℎ = 2.78
𝑒 = 6
1.5 𝑚
105
100 = 49 + 64
100 = 113
100 < 113
Por lo tanto, es un triángulo acutángulo
c) Los lados miden 16, 13 y 9
𝑐 = 16 𝑎 = 13 𝑏 = 9
Sustituyendo
162 = 132 + 92
256 = 169 + 81
256 = 250
256 > 250
Por lo tanto, es un triángulo obtusángulo
Para los triángulos rectángulos, además del teorema de Pitágoras existen otros teoremas
de semejanzas. A continuación, se presenta uno de los más usados.
La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo forma dos
triángulos rectángulos que son semejantes entre ellos y al triangulo mayor.
ℎ
𝐴
𝐶
𝐵 𝐷
Se cumple que:
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴𝐶𝐷
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐶𝐵𝐷
∆𝐴𝐶𝐷~∆𝐶𝐵𝐷
𝐴 𝐵
𝐶
𝐴
𝐶
𝐷 𝐷
𝐶
𝐵
106
Ejemplos:
Para el triángulo rectángulo ABC y con h como altura trazada hacia la hipotenusa
a) Calcula 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 26 y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 10
Dibujamos los dos triángulos que se relacionan
Relacionamos los dos lados correspondientes (observa los ángulos para guiarte)
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝐵𝐶
𝐵𝐷
26
10=
10
𝐵𝐷
Realizando multiplicación cruzada
26𝐵𝐷 = 10(10)
𝐵𝐷 =100
26
𝐵𝐷 ≈ 3.84
b) Calcula 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , si 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 8 y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 18
Dibujamos los dos triángulos que se relacionan
Relacionamos los dos lados correspondientes (observa los ángulos para guiarte)
ℎ
𝐴
𝐶
𝐵 𝐷
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝐶
𝐵 26
10 10
𝐷
𝐶
𝐵 𝐴
𝐶
𝐷
18
8
18
107
𝐴𝐷
𝐶𝐷=
𝐶𝐷
𝐵𝐷
𝐴𝐷
18=
18
8
Realizando multiplicación cruzada
8𝐴𝐷 = 18(18)
𝐴𝐷 =324
8
𝐴𝐷 = 40.5
c) Calcula 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , si 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 6, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 7.7
El lado correspondiente de BD debe ser CD. Pero como es un valor desconocido se
puede usar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto CD.
Así
𝐶𝐷 = √(7.7)2 − (6)2
𝐶𝐷 = √23.29
𝐶𝐷 ≈ 4.82
Usando la proporcionalidad de los lados
𝐶𝐷
𝐵𝐷=
𝐴𝐷
𝐶𝐷
Sustituyendo los valores
4.82
𝐵𝐷=
6
4.82
Multiplicando cruzado y resolviendo la ecuación
6𝐵𝐷 = (4.82)(4.82)
𝐵𝐷 =23.23
6
𝐵𝐷 = 3.87
𝐴
𝐶
𝐷 𝐷
𝐶
𝐵 6
7.7
108
Manos a la obra
I. Identifica los catetos y la hipotenusa para los siguientes triángulos
1)
2)
3)
4)
5)
II. Calcula el valor del cateto en cada caso.
1) 𝑎 = 10 𝑏 = 6 𝑐 =?
2) 𝑚 = 15 𝑛 = 8 𝑝 =?
3) 𝑝 = 7 𝑞 = 12 𝑟 =?
lado nombre
𝑠
𝑡
𝑢
lado nombre
𝑎
𝑏
𝑐
lado nombre
𝑗
𝑘
𝑙
lado nombre
𝑑
𝑒
𝑓
lado nombre
𝑚
𝑛
𝑝
𝑡 s
𝑢
𝑐
𝑎
𝑏
𝑗
𝑘
𝑙
𝑒 𝑑
𝑓
𝑝
𝑛
𝑚
109
4) 𝑎 = 4 𝑏 = 5 𝑐 =?
5) 𝑑 = 14 𝑒 = 12 𝑓 =?
III. Calcula el valor de la hipotenusa para cada caso.
1) 𝑝 = 8 𝑞 = 6 𝑟 =?
2) 𝑎 = 12 𝑏 = 15 𝑐 =?
3) 𝑚 = 8 𝑛 = 7 𝑝 =?
4) 𝑟 = 7.5 𝑠 = 6.5 𝑡 =?
5) 𝑐 = 14 𝑎 = 9 𝑏 =?
IV.
a) Determine la cantidad de malla que se necesita para cercar un terreno
en forma de triángulo rectángulo de 25m de largo y 12 metros de
ancho.
b) Se desea alcanzar una ventana que está a tres metros de altura será
posible lograrlo con una escalera de 3.2 m si por seguridad la parte
inferior de la escalera debe estar a 0.7m separada de la pared.
Justifica tu respuesta
c) Un explorador sale de un pueblo y camina 1km directamente al Norte
y después camina 2km al oeste. Si debe regresar por el camino más
corto al poblado ¿Qué distancia mínima debe de recorrer?
d) La diagonal de una superficie cuadrada es de 70.71 calcule el valor
de cada lado.
V. Determina de que tipo son los siguientes triángulos
1) Los lados miden 3, 4 y 5
2) Los lados miden 12, 8 y 5
3) Los lados miden 10, 10 y 12
4) Los lados miden 7, 9 y 11
5) Los lados miden 15, 12 y 9
VI. Para el triángulo rectángulo PQR y con h como altura trazada hacia la
hipotenusa
ℎ
𝑃
𝑄
𝑅 𝑆
110
1) Calcula 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ si 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ = 17 y 𝑆𝑅̅̅̅̅ = 5
2) Calcula 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ si 𝑄𝑆̅̅̅̅ = 10 y 𝑆𝑅̅̅̅̅ = 4
3) Calcula 𝑆𝑅̅̅̅̅ si 𝑃𝑆̅̅̅̅ = 8 y 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 11
4) Calcula 𝑄𝑆̅̅̅̅ si 𝑆𝑅̅̅̅̅ = 3 y 𝑃𝑆̅̅̅̅ = 14
5) Calcula 𝑃𝑆̅̅̅̅ si 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ = 22 y 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ = 8
Evaluando tus aprendizajes
111
V. TRIGONOMETRÍA
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Caracteriza a las relaciones trigonométricas según sus disposiciones y sus propiedades.
• Interpreta y construyen relaciones trigonométricas en el triángulo. • Analiza al círculo trigonométrico y describen a las funciones angulares, realiza
mediciones y comparaciones de relaciones espaciales.
Intro
Etimológicamente, trigonometría significa medida de los triángulos, proviene de las
palabras griegas trigono (triángulo) y metría (medida).
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga de calcular los
elementos de los triángulos, que estudia la relación que existe entre sus lados y sus
ángulos. Se ocupa, por tanto, de las funciones asociadas a los ángulos,
denominadas funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, secante, cosecante
y cotangente.
𝑠𝑒𝑛 𝑥
∅
𝑡𝑎𝑛 𝑥 =𝑐. 𝑜
𝑐. 𝑎
112
La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia, por
ejemplo, en fenómenos ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo, para medir
distancias entre planetas; en la geodesia, en las telecomunicaciones y en otros tantos
campos.
Para saber más sobre el uso de la trigonometría en las telecomunicaciones
https://telecomunicacionesdeandarporcasa.wordpress.com/2014/03/31/trigonometri
a-y-telecomunicaciones-la-informacion-vista-desde-el-dominio-de-la-frecuencia/
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La razón es el cociente o la división de dos cantidades se expresa como 𝑎
𝑏 o como
𝑎: 𝑏
Para cualquier triángulo rectángulo existen 6 razones
Si tomamos como referencia el ángulo A entonces podemos nombrar a los lados del
triángulo anterior de la siguiente manera.
Abreviando los lados del triángulo
Cateto opuesto: c.o
Cateto adyacente: c.a
Hipotenusa: hip
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
𝑐
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑡𝑜
𝑜𝑝
𝑢𝑒𝑠
𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑨
𝑐.𝑜
ℎ𝑖𝑝
ℎ𝑖𝑝
𝑐.𝑜
𝑐.𝑎
ℎ𝑖𝑝
ℎ𝑖𝑝
𝑐.𝑎
𝑐.𝑜
𝑐.𝑎
𝑐.𝑎
𝑐.𝑜
113
Para identificar los lados del triángulo rectángulo, se sugiere el siguiente orden.
1. Identifica primero la hipotenusa, que es el lado opuesto al ángulo recto.
2. Se sigue con el cateto opuesto, que es el lado opuesto al ángulo agudo dado
3. Por último el cateto adyacente, es el lado que está al lado del ángulo dado.
Dado el ángulo identifica los lados del triángulo rectángulo.
a)
b)
c)
A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo
se llaman razones o funciones trigonométricas.
Así se definen 6 funciones trigonométricas ya que existen seis razones entre los
lados, como se mostró anteriormente.
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
k Cateto opuesto
l Cateto adyacente
m Hipotenusa
a Cateto opuesto
b Cateto adyacente
c Hipotenusa
s Cateto adyacente
t Cateto opuesto
u Hipotenusa
𝑘
𝑙 𝐾
𝑐
𝑎
𝑏
𝑡 𝑠
𝑢
𝐴
T
114
Las funciones trigonométricas se abrevian de la siguiente manera
seno: sen cosecante: csc
coseno: cos secante: sec
tangente: tan o tg cotangente: cot o ctg
Entonces las 6 funciones trigonométricas quedan de la siguiente manera
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑐. 𝑜
ℎ𝑖𝑝 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝
𝑐. 𝑜
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =𝑐. 𝑎
ℎ𝑖𝑝 sec 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝
𝑐. 𝑎
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =𝑐. 𝑜
𝑐. 𝑎 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑐. 𝑎
𝑐. 𝑜
Como se observa las funciones seno y cosecante, coseno y secante, tangente y
cotangente son recíprocos entre sí, es decir, los lados son los mismos solo que
invertidos.
Ejemplo:
Calcula las seis funciones trigonométricas para los siguientes triángulos rectángulos
a)
b)
Para el ángulo B
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =8
10 csc 𝐵 =
10
8
𝑐𝑜𝑠 𝐵 =6
10 sec 𝐵 =
10
6
𝑡𝑎𝑛 𝐵 =8
6 cot 𝐵 =
6
8
Para el ángulo C
𝑠𝑒𝑛 𝐶 =6
10 csc 𝐶 =
10
6
𝑐𝑜𝑠 𝐶 =8
10 sec 𝐶 =
10
8
𝑡𝑎𝑛 𝐶 =6
8 cot 𝐶 =
8
6
Para el ángulo P
𝑠𝑒𝑛 𝑃 =4
4√2 csc 𝑃 =
4√2
4
𝑐𝑜𝑠 𝑃 =4
4√2 sec 𝑃 =
4√2
4
𝑡𝑎𝑛 𝑃 =4
4 cot 𝑃 =
4
4
Para el ángulo Q
𝑠𝑒𝑛 𝑄 =4
4√2 csc 𝑄 =
4√2
4
𝑐𝑜𝑠 𝑄 =4
4√2 sec 𝑄 =
4√2
4
𝑡𝑎𝑛 𝑄 =4
4 cot 𝑄 =
4
4
𝐷
𝐶
𝐵
10
6
8
4√2
4
4
𝑃
𝑄
𝑅
115
c) En este caso no se conoce el valor la hipotenusa, por lo tanto, se
usa el Teorema de Pitágoras para calcular el lado faltante.
d) En este caso no se conoce el valor de un cateto, por lo tanto, se usa
el Teorema de Pitágoras para calcular el lado faltante.
Si se conoce los valores de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente se puede
obtener los valores de cosecante, secante y cotangente ya que son recíprocos y viceversa.
Para el ángulo A
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =5
13 csc 𝐴 =
13
5
𝑐𝑜𝑠 𝐴 =12
13 sec 𝐴 =
13
12
𝑡𝑎𝑛 𝐴 =5
12 cot 𝐴 =
12
5
Para el ángulo B
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =12
13 csc 𝐵 =
13
12
𝑐𝑜𝑠 𝐵 =5
13 sec 𝐵 =
13
5
𝑡𝑎𝑛 𝐵 =12
5 cot 𝐵 =
5
12
Para el ángulo E
𝑠𝑒𝑛 𝐸 =8
10 csc 𝐸 =
10
8
𝑐𝑜𝑠 𝐸 =6
10 sec 𝐸 =
10
6
𝑡𝑎𝑛 𝐸 =8
6 cot 𝐸 =
6
8
Para el ángulo G
𝑠𝑒𝑛 𝐺 =6
10 csc 𝐺 =
10
6
𝑐𝑜𝑠 𝐺 =8
10 sec 𝐺 =
10
8
𝑡𝑎𝑛 𝐺 =6
8 cot 𝐺 =
8
6
𝐴
𝐶
𝐵
12
5
10
8
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √(ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 − (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √(10)2 − (8)2
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √100 − 64
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √36 = 6
𝐹
𝐺
𝐸
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2 + (𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √(12)2 + (5)2
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √144 + 25
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √169 = 13
116
Determinar las razones pedidas.
Si 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =2
5 entonces csc 𝐵 =
5
2
Si tan 𝐶 =3
4 entonces cot 𝐶 =
2
5
Si sec 𝐴 =3
2 entonces cos 𝐴 =
2
3
Si cot 𝑃 =1
2 entonces tan 𝑃 =
2
1= 2
Manos a la obra
I. Identifica los lados del triángulo rectángulo para el ángulo indicado y
escríbelo en cada tabla.
1)
2)
3)
II. Dados dos lados de un triángulo rectángulo escribe que funciones
trigonométricas serían posible obtener para el ángulo indicado.
1)
lado nombre
𝑚
𝑛 Cateto adyacente
𝑝
lado nombre
𝑎
𝑏
𝑐
lado nombre
𝑑
𝑒
𝑓
𝑃
𝑝
𝑛
𝑚
𝐴
𝑐
𝑎
𝑏
𝐷
𝑓
𝑒
𝑑
𝐴
𝑐
𝑏
117
2)
3)
III. Para las siguientes funciones trigonométricas halla su función reciproca.
1) 𝑠𝑒𝑛 𝐴 =1
3
2) 𝑡𝑎𝑛 𝐵 =4
3
3) sec 𝐶 = 2
4) csc 𝑃 =3
2
5) cot 𝑄 =5
4
IV. Calcula las seis funciones trigonométricas para el ángulo indicado de los
siguientes triángulos rectángulos
1)
2)
𝑑
𝑓
𝐸
𝑃
𝑝
𝑞
10
8
𝐸
6
𝐶
4
118
3)
4)
CIRCULO UNITARIO (TRIGONOMÉTRICO)
El círculo unitario es un círculo con radio igual a 1 y cuyo centro se fija en el sistema
de coordenadas cartesianas.
Dado un punto 𝑃 (𝑎, 𝑏) ubicado en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano
IV cuadrante III cuadrante II cuadrante
1
𝑃(𝑎, 𝑏)
𝑎
𝑏 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑏
1
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑎
1= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎
1
𝑃(−𝑎, 𝑏)
−𝑎
𝑏 𝛼
1
𝑃(−𝑎, −𝑏)
−𝑎
−𝑏 𝛼
1
𝑃(𝑎, −𝑏)
𝑎
−𝑏 𝛼
I cuadrante
0°, 360°
90°
180°
270°
𝐴 𝐵
9
√106
5
𝑅
𝑄
8
4
119
segundo cuadrante tercer cuadrante cuarto cuadrante
Por lo tanto, se puede conocer el signo que tendrá la función seno y coseno para
ángulos entre 0° y 360°.
Indica los signos para las siguientes funciones trigonométricas
Función trigonométrica cuadrante signo Función trigonométrica cuadrante signo
sen 40° I + sen 150° II +
cos 100° II - sen 220° III -
cos 323° IV + cos 250° III -
sen 347° IV - Cos 82° I +
El circulo unitario nos permite conocer los valores para los diversos ángulos de las
funciones trigonométricas seno y coseno.
Dado el valor del ángulo 𝛼. Determina las funciones seno y coseno
𝛼 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑏 cos 𝛼 = 𝑎
0 1 0 0 1
90° 0 1 1 0
180° -1 0 0 -1
270° 0 -1 -1 0
360° 1 0 0 1
Para saber un poco más sobre el círculo unitario y como se obtuvieron los valores observa
el siguiente video
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑏
1
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛼 =−𝑎
1= −𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =−𝑏
1
𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛼 =−𝑎
1= −𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 = −𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =−𝑏
1
𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑎
1= 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎
120
Manos a la obra
Usa el simulador para obtener los valores para ángulos que son múltiplos de 30°,
45° y 60° a estos ángulos se les llaman ángulos especiales. Y completa la siguiente
tabla.
𝛼 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑏 cos 𝛼 = 𝑎
30°
45°
60°
120°
135°
150°
210°
225°
240°
300°
315°
330°
De acuerdo con el círculo unitario se puede concluir lo siguiente:
• La función seno y coseno pueden tomar valores entre -1 y 1
• El signo de seno está relacionado con el signo del eje y
• El signo de coseno está relacionado con el signo del eje x
• La función seno y coseno toma el mismo valor absoluto para ángulos de
45°, 135°, 225° y 315°
Uso de la calculadora para obtener las funciones trigonométricas.
Las calculadoras científicas permiten hallar el valor de las 6 funciones trigonométricas. 3
de manera directa (seno, coseno y tangente) y las otras tres de forma indirecta
(cosecante, secante y cotangente).
Para encontrar el valor de una función trigonométrica se escribe de la siguiente manera
121
seno
coseno
tangente
Aquí se muestra cómo se debe teclear en la calculadora.
a) sen 98°
b) tan 300°
c) cos 30° 8´ 42´´
Es necesario que la calculadora este en modo de grados sexagesimales indicado en la
calculadora con la letra D o con DEG
Calcula las siguientes funciones trigonométricas. Dar la respuesta con 4 decimales
a) 𝑠𝑒𝑛 80° = 0.9848
b) 𝑡𝑎𝑛 130.5° = −1.1708
c) 𝑐𝑜𝑠 322° = 0.7880
d) cos 330° =√3
2= 0.8660
e) 𝑠𝑒𝑛 250°20´30´´ = −0.9417
Compara los resultados de los incisos a, c, d con el simulador del circulo unitario Ahora se obtendrá el valor del ángulo, dada la función trigonométrica
a) Si 𝑐𝑜𝑠 𝐴 =1
2 calcular el valor del ángulo A
Cuando se desea encontrar el valor del ángulo, se debe de despejar el ángulo.
Así:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠−1 (1
2)
sin
cos
n
tan
Ángulo
sin 9 8 = 0.990268068
tan 3 0 0 = - √𝟑
cos 3 0 8 , ,, °
, ,, ° 4 2 , ,,
°
0.8647
122
En la calculadora se teclearía así:
Así el valor del ∡𝐴 = 60°
b) Si tan 𝛽 = 2.5 Calcular el valor del ∠𝛽
Despejando ∠𝛽
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1(2.5)
Para convertir a grados, minutos y segundos
Así el valor del ∡𝛽 = 68° 11´54.93´´
EJERCICIOS
Calcula los ángulos de las siguientes funciones trigonométricas expresado en grados
minutos y segundos
a) cos 𝐴 =√3
2 𝐴 =30°
b) 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 0.8 𝐵 = 53°7´48.368´´
c) tan 𝜃 =3
5 𝜃 = 30°57´49.52´´
d) 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 1 𝐶 = 90°
e) cos 𝛼 = −0.5 𝛼 = 120°
Manos a la obra
Calcula las siguientes funciones trigonométricas usando la calculadora
a) 𝑐𝑜𝑠 255°
b) 𝑠𝑒𝑛 306° 13´ 50´´
c) 𝑐𝑜𝑠 88.3°
d) tan 138°20´
e) sen 10.8°
f) tan 480°
shift 2ndF
hift
o cos ( 1 ÷ 2 ) =
60
shift tan 2 ∙ 5 = 68.19859051
shift ° , ,,
68°11´54.93´´
123
Calcula los ángulos de las siguientes funciones trigonométricas y expresa el
resultado en grados minutos y segundos
a) cos 𝑃 =√3
4
b) 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = −1
c) tan 𝜃 =5
3
d) 𝑠𝑒𝑛 𝐷 = 0.56
e) cos 𝛼 = 0.764
Para saber más
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
La trigonometría tiene como principal objetivo resolver situaciones que pueden ser
modeladas por un triángulo.
Las situaciones más sencillas de modelar son aquellas que incluyen triángulos
rectángulos. Determinar las medidas de los lados y ángulos de un triángulo se conoce
como resolución del triángulo.
Con frecuencia, en la resolución de triángulos debemos considerar ángulos formados
por la horizontal y la línea de visibilidad de un observador. Cuando la línea de visibilidad
está por encima de la horizontal, se le llama ángulo de elevación, y si está por debajo se
llama ángulo de depresión.
Línea horizontal 0
0= Ángulo de
elevación
X X=Ángulo de
depresión
124
Se pueden presentar dos casos para resolver triángulos rectángulos.
Caso 1. Dado un lado y un ángulo agudo.
a) Resuelve el siguiente triángulo
𝑏 𝐴
Procedimiento
1. Como siempre se conoce el ángulo recto se halla el valor del ángulo faltante restando a 90° el ángulo agudo. Así:
90° − ∠𝐴
Para hallar los lados faltantes se usan las funciones
trigonométricas seno, coseno o tangente.
2. Se busca el valor de los dos lados faltantes, para
este caso como se conoce el valor del cateto
adyacente (b) al ángulo 𝐴, se debe encontrar el valor
del cateto opuesto y la hipotenusa
cos 𝐴 =𝑏
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 tan 𝐴 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑏
Para este caso, estas serían las funciones para usar ya
que solo se tendría una sola incógnita porque el valor
de b se conoce.
Se puede corroborar si los lados son correctos usando
el teorema de Pitágoras.
1. Se busca el valor del ángulo faltante
∠𝐵 = 90° − 36°
∠𝐵 = 54°
2. Hallando las medidas de los lados 𝑎 y 𝑐 usando las
funciones trigonométricas.
Para calcular el valor de c, se usa cos 𝐴 =𝑐.𝑎
ℎ𝑖𝑝
Como 𝐴 = 36°, 𝑐. 𝑎 = 8 e ℎ𝑖𝑝 = 𝑐
𝑏 = 8 36° 𝐴
𝐵
𝐶
𝑐 𝑎
125
b) Resuelve el siguiente triángulo. Si ∠𝐸 = 24° 𝑑 = 14
se sustituye
cos 36° =8
𝑐
Despejando 𝑐
𝑐 =8
cos 36°
𝑐 = 9.888
Para calcular el valor de a se aplica tan 𝐴 =𝑎
𝑏
Sustituyendo 𝐴 = 36° 𝑦 𝑏 = 8
tan 36° =𝑎
8
Despejando 𝑎
𝑎 = 8𝑡𝑎𝑛36°
𝑎 = 5.812
Comprobando por el teorema de Pitágoras
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(9.888)2 = (5.812)2 + (8)2
97.772 ≈ 97.779
Por lo que sí es correcta la solución
𝐹
𝐸
𝐷
1. Se busca el valor del ángulo faltante
∠𝐹 = 90° − 24°
∠𝐹 = 66°
2. Hallando las medidas de los lados 𝑒 y 𝑓 usando las
funciones trigonométricas.
Para calcular el valor de 𝒆 se usa 𝑠𝑒𝑛 𝐸 =𝑒
𝑑
Como 𝐸 = 24° y 𝑑 = 14 se sustituye
sen 24° =𝑒
14
Despejando 𝑒
𝑒 = 14𝑠𝑒𝑛 24°
𝑒 = 5.694
𝑒
𝑓
126
Caso 2. Dados dos lados
a)
Para calcular el valor de 𝒂 usamos cos 𝐸 =𝑓
𝑑
cos 24° =𝑓
14
Despejando 𝑓
𝑓 = 14 cos 24°
𝑓 = 12.789
Comprobando por el teorema de Pitágoras
𝑑2 = 𝑒2 + 𝑓2
(14)2 = (5.694)2 + (12.789)2
196 ≈ 195.98
Por lo que sí es correcta la solución
𝑐
𝑎
Procedimiento
1. Calcular el lado faltante con el teorema de Pitágoras:
ℎ𝑖𝑝2 = 𝑐𝑎2 + 𝑐𝑜2
2. Se usan las funciones trigonométricas seno, coseno y
tangente para calcular el valor de los ángulos agudos. Para
este caso
Se puede corroborar si los ángulos son correctos sumando
los dos ángulos agudos y que la suma sea 90°
1. Usando el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐 = √122 + 92
𝑐 = √144 + 81
𝑐 = √225
𝑐 = 15
𝑎 = 12
𝑏 = 9
𝐴
𝐵 𝐶
127
b)
2. Hallando las medidas de los ángulos agudos
Para calcular el valor de ∠𝐴 se usa tan 𝐴 =𝑎
𝑏
Sustituyendo
tan A =12
9
𝐴 = 𝑖𝑛𝑣 𝑡𝑎𝑛12
9
∠𝐴 = 53° 7´48.368´´
Para calcular el valor de ∠𝐵 se usa tan 𝐵 =𝑏
𝑎
Sustituyendo
tan B =9
12
𝐵 = 𝑖𝑛𝑣 𝑡𝑎𝑛9
12
∠𝐵 = 36° 52´ 11.63´´
Comprobando con la suma igual a 90°
∠𝐴 + ∠𝐵 = 90°
53° 7´48.368´´ + 36° 52´ 11.63´´ = 90°
Por lo que se cumple
𝐽 𝐾
𝑙 = 5√7
𝑗 = 9
𝐿 1. Usando el teorema de Pitágoras para calcular el cateto
𝑘2 = 𝑙2 − 𝑗2
𝑘 = √(5√7)2 − 92
𝑐 = √175 − 81
𝑐 = √94
𝑐 = 9.695
2. Hallando las medidas de los ángulos agudos Para
calcular el valor de ∠𝐽 se usa sen 𝐽 =𝑗
𝑙
Sustituyendo
sen J =9
5√7
𝐽 = 𝑖𝑛𝑣 𝑠𝑒𝑛9
5√7
∠𝐽 = 42° 52´ 11.67´´
128
c)
Para calcular el valor de ∠𝐾 se usa cos 𝐾 =𝑙
𝑗
Sustituyendo
cos K =9
5√7
𝐾 = 𝑖𝑛𝑣 𝑐𝑜𝑠9
5√7
∠𝐵 = 47° 7´ 48.33´´
Comprobando con la suma igual a 90°
∠𝐽 + ∠𝐾 = 90°
42° 52´ 11.67´´ + 47° 7´ 48.33´´ = 90°
Por lo que se cumple
𝑑 = 5
𝐷
𝐸 𝐹
1. Usando el teorema de Pitágoras para calcular el cateto
𝑒2 = 𝑓2 − 𝑑2
𝑒 = √(10)2 − (5)2
𝑒 = √100 − 25
𝑒 = √75
𝑒 = 5√3
2. Hallando las medidas de los ángulos agudos Para
calcular el valor de ∠𝐷 se usa 𝑠𝑒𝑛 𝐷 =𝑑
𝑓
Sustituyendo
sen D =5
10
𝐷 = 𝑖𝑛𝑣 𝑠𝑒𝑛5
10
∠𝐷 = 30°
Para calcular el valor de ∠𝐸 se usa cos 𝐸 =𝑑
𝑓
Sustituyendo
cos E =5
10
𝐸 = 𝑖𝑛𝑣 𝑐𝑜𝑠5
10
∠𝐸 = 60°
Se cumple que ∠𝐷 + ∠𝐸 = 90 ya que 30° + 60° = 90°
129
Para saber más
Problemas de aplicación con triángulos rectángulos
Cuando se tienen problemas de aplicación sobre triángulos rectángulos.
1. Como primer paso es conveniente bosquejarlo incluyendo los datos proporcionados para
tener mayor claridad e identificar que piden calcular.
2. Dibujar el triángulo rectángulo incluyendo lados y ángulos dados.
3. Identificar si es el caso dados dos lados o el caso dado un lado y un ángulo agudo.
4. Hallar el valor solo de lo que te piden la mayoría de las veces no es necesario resolver todo
el triángulo
Ejemplos:
a) Un ingeniero civil se aleja 30 metros de un edificio y mide el ángulo de elevación a
la parte más alta de este, siendo de 28°30´ registrando. Calcula la altura del edificio.
Como se observa en la figura se forma un triángulo rectángulo.
30𝑚
28°30´
ℎ
28°30´ 30𝑚
ℎ
La función que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es la función tangente
tan 28° 30´ =ℎ
30
Despejando h
ℎ = 30𝑡𝑎𝑛28° 30´
ℎ = 16.29𝑚
𝑐. 𝑎
𝑐.𝑜
130
b) Determina el ángulo de elevación del sol si un poste de 3m proyecta una sombra de 2.8m
c) En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 220 m de altura,
a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un
ángulo de 45.2° desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo
de 30° desde el otro extremo ¿Cuál será la longitud del túnel?
La función que relaciona el cateto opuesto y el
cateto adyacente es tangente.
tan 30° =200
𝑟1
Despejando 𝑟1
𝑟1 =200
tan 30°
𝑟1 = 346.41 𝑚
La función que relaciona el cateto opuesto y el
cateto adyacente es tangente.
tan 45.2° =200
𝑟2
Despejando 𝑟2
𝑟2 =200
tan 45.2°
𝑟2 = 198.61 𝑚
𝑟2 𝑟1
𝑐. 𝑎
3𝑚
2.8𝑚
𝑐.𝑜
La función que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es la función tangente
tan 𝛼 =3
2.8 Despejando 𝛼
𝛼 = 𝑖𝑛𝑣 𝑡𝑎𝑛 (3
2.8)
𝛼 = 46.97° Ángulo de elevación del sol
Ángulo de
elevación 𝛼
𝑄 𝑃
30° 45.2°
𝑅
22
0𝑚
𝑆
𝑃
𝑅
𝑆
22
0𝑚
30°
𝑅
𝑃 𝑆 45.2°
22
0𝑚
𝑟1 𝑟2
131
La longitud del túnel será la suma de la longitud de 𝑟1 y 𝑟2
Longitud del túnel = 𝑟1 + 𝑟2
Longitud del túnel = 346.41 𝑚 + 198.61 𝑚
Longitud del túnel=545 𝑚
d) Una mesa octagonal de 1m de lado se desea conocer su área para poder forrarla.
Calcula el área de la mesa.
La función que permite calcular la altura ℎ es tangente
tan 22.5° =0.5
ℎ
ℎ =0.5
tan 22.5
ℎ = 1.207𝑚
1𝑚
Se traza la altura ℎ del triángulo isósceles,
esta biseca al ángulo A y forma un ángulo
recto con la base del triángulo, formando
dos triángulos rectángulos congruentes.
0.5𝑚
Primero se trazan diagonales para
triangular el octágono en 8
triángulos isósceles congruentes
1𝑚
Ahora se calcula el valor del ángulo A del
triángulo isósceles.
1𝑚 1𝑚
A
∠𝐴 =360°
8
∠𝐴 = 45°
1𝑚
𝐴
La altura del triángulo es
la apotema del octágono. ℎ
45°
22.5° 𝐴
ℎ
132
e) Una bandera está en la orilla de una torre de 15m de altura, para acceder a la torre
hay una fosa de 10 m de ancho. Si se mide un ángulo de 7° entre la parte más alta
de la bandera y la base del asta de la bandera. Calcular la longitud del asta.
Manos a la obra
I. Resuelve los siguientes triángulos rectángulo con los datos proporcionados.
𝐷
𝐸 𝐹 𝑑
𝑓
𝑒
1) 𝑒 = 10, 𝑓 = 8
2) ∠𝐹 = 35°, 𝑓 = 6
3) 𝑑 = 14, ∠𝐹 = 32°
4) 𝑑 = 5, 𝑓 = 4
5) 𝑑 = 22, 𝑓 = 18
𝐵
𝐴 𝐶 𝑏
𝑐 𝑎
6) 𝑎 = 8, 𝑏 = 11.5
7) ∠𝐶 = 32.4°, 𝑎 = 6
8) 𝑎 = 14, ∠𝐴 = 41°
9) 𝑏 = 15, 𝑐 = 12
10) ∠𝐶 = 40°, 𝑏 = 9
11)
Se calcula el área del triángulo isósceles
𝐴 =𝑏 ∙ ℎ
2
𝐴 =1(1.207)
2
𝐴 = 0.603 𝑚2
Para calcular el área del octágono se multiplica el área del triángulo isósceles por 8
𝐴𝑂 = 8(0.603)
𝐴𝑂 = 4.828 𝑚2
10 𝑚
15
𝑚
7°
tan 𝜃 =15
10
𝜃 = 𝑖𝑛𝑣 tan 1.5
𝜃 = 56.31°
15
𝑚
10 𝑚
𝜃
ℎ
10 𝑚
56.31°
7° tan 63.31 =ℎ
10
ℎ = 10 tan 63.31
ℎ = 19.89𝑚
Longitud del asta bandera
19.89𝑚 − 15𝑚 = 4.89𝑚
133
II. Calcula lo que se te pide en cada ejercicio de aplicación
1. Calcula el ángulo de elevación del sol si la altura de un poste de 2 m proyecta
una sombra de 2.5 m
2. Para calcular la altura de un pino se mide el ángulo de elevación, siendo de 52.4°
desde una distancia de 15m de la base del pino. ¿Cuál es la altura del pino?
3. Una escalera de 3m de largo se apoya su parte superior sobre una pared vertical
¿Qué altura alcanzará la escalera si el ángulo que se forma entre la base de la
escalera y el suelo es de 78°?
4. Se debe poner una malla protectora sobre un techo que tiene forma de un
pentágono regular si cada lado mide 6m. ¿Cuál es la cantidad mínima de malla
que se requiere?
5. Un cerro mide 120m de ancho, dos observadores que están a los extremos
miden el ángulo de elevación hacia la parte más alta del cerro, como se ve en la
figura. Calcula la altura del cerro.
6. En un faro de 20m que está sobre un peñasco de 30m junto al mar, se encuentra
un observador que mide el ángulo de depresión de 51° de un barco ¿A qué
distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco?
7. Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 45° nos
alejamos 10m en línea recta y se mide el ángulo de elevación nuevamente siendo
ahora de 32.3° ¿Cuál es la altura del edificio?
120 m
38° 30° ℎ
30m
20m 51°
45° 32.3°
10 m
134
8. Una estructura tiene la forma de un triángulo isósceles que mide 0.8 m en sus
lados iguales y 0.6m en su tercer lado. Calcula la medida de sus ángulos.
9. Desde la punta A de una torre, el ángulo de depresión de la punta C de otra torre
que dista 25m de la primera es de 22°. Si la torre más pequeña mide 30m. Calcula
la altura de la torre mayor?
10. Calcula el perímetro y el área de un croquis de un terreno de la figura.
Para saber más
Evaluando tus aprendizajes
14 m
30°
7.8 m
135
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos son oblicuos, es decir, no tiene
ángulo recto. Este tipo de triángulos se resuelven mediante la ley de senos, de cosenos
o de tangentes.
Ley de senos
La razón que existe entre un lado de un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo
opuesto a dicho lado es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos
restantes.
La ley de senos se utiliza cuando:
• Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
• Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC, b = 15 cm, ∠ 𝐵 = 42° y ∠ 𝐶 = 76° . Calcula la medida de los
lados y ángulos restantes
Solución:
A
B
c
42° C
a 76°
Para obtener ∠𝐴 , se aplica ∠A + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°
despejando,
∠𝐴 = 180° − ∠𝐶 − ∠𝐵 = 180° − 42° − 76° =
62°
Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a
dicho lado, también de proporciona el ángulo C, por
tanto, se puede determinar la medida del lado c,
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
Al sustituir ∠𝐶 = 76°, ∠ 𝐵 = 42° 𝑌 𝑏 = 15 𝑐𝑚, se determina que,
𝑐
𝑠𝑒𝑛 76°=
15
𝑠𝑒𝑛 42°
a
B
b
C
A c
Ley de senos:
𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
136
2. En el triángulo MNP, ∠ 𝑃 = 76°, 𝑝 = 12𝑐𝑚 𝑦 𝑚 = 8 𝑐𝑚. Resuelve el triángulo.
Solución
De la expresión anterior se despeja c,
𝑐 =(15)(𝑠𝑒𝑛 76°)
𝑠𝑒𝑛 42°=
(15)(0.9703)
0.6691= 21.75 𝑐𝑚
Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵 donde
𝑎
𝑠𝑒𝑛 62°=
15
𝑠𝑒𝑛 42°
Al despejar a:
𝑎 =(15)(𝑠𝑒𝑛 62°)
𝑠𝑒𝑛 42°=
(15)(0.8829)
0.6691=
𝑎 = 19.8 𝑐𝑚
P
M
n m = 8 cm
N p = 12cm
76°
Con los datos del problema, se calcula el valor de ∠ 𝑀 con la siguiente relación:
𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝑀=
𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝑃
Al despejar 𝑠𝑒𝑛 𝑀 y sustituir los valores, se obtiene:
𝑠𝑒𝑛 𝑀 = 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑃
𝑝=
(8)(𝑠𝑒𝑛 76°)
12=
(8)(0.97029)
12= 0.6469
Entonces:
∠𝑀 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (0.6469)
∠𝑀 = 40° 18´
Por otro lado,
∠𝑁 = 180° − ∠𝑃 − ∠𝑀 = 180° = 76° − 40° 18´ = 63° 42´
Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n:
𝑛
𝑠𝑒𝑛 𝑁=
𝑝
𝑠𝑒𝑛 𝑃
137
3. En el triángulo ABC, ∠ 𝐴 = 46°, ∠𝐵 = 59° 𝑦 𝑎 = 12 𝑐𝑚. Determina los elementos
restantes del triángulo.
Solución
En el triángulo:
∠𝐶 = 180° − ∠𝐴 − ∠𝐵 − 180° − 46° − 59° = 75°
Para hallar el valor del lado c se utiliza la relación:
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶=
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴 donde 𝑐 =
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
(12)(𝑠𝑒𝑛75°)
𝑠𝑒𝑛 46°=
(12)(0.9659)
0.7193= 16.11𝑐𝑚
Asimismo, para obtener el valor del lado b se utiliza la relación:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴 donde 𝑏 =
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐴=
(12)(𝑠𝑒𝑛59°)
𝑠𝑒𝑛 46°=
(12)(0.8571)
0.7193= 14.3𝑐𝑚
Finalmente, los elementos restantes son:
∠𝐶 = 75° , 𝑐 = 16.11 𝑐𝑚 𝑦 𝑏 = 14.3 𝑐𝑚
Ley de cosenos
El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados
de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo
opuesto al lado buscado.
Al despejar n,
𝑛 =𝑝 𝑠𝑒𝑛 𝑁
𝑠𝑒𝑛 𝑃=
(12)(𝑠𝑒𝑛 63°42´)
𝑠𝑒𝑛 76°=
(12)(0.8965)
0.9703= 11.09 𝑐𝑚
Por consiguiente:
∠𝑀 = 40°18´, ∠𝑁 = 63° 42´ 𝑦 𝑛 = 11.09 𝑐𝑚
C
b
A c B
a=12 cm
59° 46°
a
B
b
C
A c
Ley de cosenos:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
138
Al despejar
La ley de cosenos se utiliza cuando:
• Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.
• Se tiene el valor de los 3 lados.
EJEMPLOS
1. Para el triángulo ABC, 𝑎 = 15𝑐𝑚, 𝑐 = 18𝑐𝑚, ∠𝐵 = 70°. Resuelve el triángulo.
Solución
C
b
A c=18cm B
a=15 cm
70°
Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula:
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
Donde,
𝑏 = √(15)2 + (18)2 − 2(15)(18) cos 70° =
𝑏 = √225 + 324 − 2(15)(18)(0.34202) =
𝑏 = √364.3
𝑏 = 19.09𝑐𝑚
Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de ∠𝐴 :
cos 𝐴 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐=
(19.09)2 + (18)2 − (15)2
2(19.09)(18)=
364.43 + 324 − 225
687.24= 0.6743
Donde: ∠𝐴 = 𝑎𝑟𝑐 cos 0.6749 = 47° 36´
Por último, se determina la medida de ∠𝐶:
∠𝐶 = 180° − ∠𝐴 − ∠𝐵 = 180° − 47°36´ − 70° = 62°24´
Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son:
𝑏 = 19.09𝑐𝑚, ∠𝐴 = 47°36´𝑦 ∠𝐶 = 62°24´
139
2. Resuelve el triángulo ABC, si 𝑎 = 50, 𝑏 = 45, 𝑐 = 32,
Solución
Para obtener ∠𝐴:
cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐=
(45)2 + (32)2 − (50)2
2(45)(32)=
2025 + 1024 − 2500
2880= 0.1906
Donde:
∠𝐴 = 𝑎𝑟𝑐 cos 0.1906 = 79°
Para obtener ∠𝐵:
cos 𝐵 =𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2
2𝑎𝑐=
(50)2 + (32)2 − (45)2
2(50)(32)=
2500 + 1024 − 2025
3200= 0.4684
Donde:
∠𝐵 = 𝑎𝑟𝑐 cos 0.4684 = 62°4´
Para calcular ∠𝐶:
∠𝐶 = 180° − ∠𝐴 − ∠𝐵 = 180° − 79° − 62°4´ = 38°56´
Para saber más
C
a= 50
B c=32 A
a=45 cm
140
Manos a la obra
Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos.
a) ∠𝐴 = 30° ∠𝐵 = 45° 𝑐 = 12
b) ∠𝐵 = 40° ∠𝐶 = 75° 𝑎 = 6
c) ∠𝐶 = 75° ∠𝐴 = 38° 𝑏 = 8
d) 𝑎 = 5 𝑏 = 6 𝑐 = 8
e) 𝑎 = 10 𝑏 = 8 𝑐 = 8
f) 𝑎 = 15 𝑏 = 7 𝑐 = 13
g) 𝑎 = 10 𝑏 = 8 ∠𝐶 = 30°
h) 𝑏 = 12 𝑐 = 17 ∠𝐴 = 53°
i) 𝑎 = 8 𝑐 = 16 ∠𝐵 = 100°
j) 𝑎 = 5 𝑏 = 17 ∠𝐵 = 130°
k) 𝑏 = 8 𝑐 = 11 ∠𝐶 = 68°
Evaluando tus aprendizajes
Calculadora de
Triángulos
141
Respuestas
Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
a) Algunos triángulos equiláteros pueden ser obtusángulos
Falso, ya que todos sus ángulos miden 60°
b) Algunos triángulos isósceles pueden ser obtusángulos
Verdadero, para ejemplificarlo se tiene ∠𝐴 = 20°, ∠𝐵 = 20° 𝑦 ∠𝐶 = 140° se puede
observar que tiene dos ángulos iguales y un ángulo es obtuso por lo que es isósceles y
obtusángulo.
c) En todos los triángulos rectángulos los otros dos ángulos miden 45°
Falso, ya que, aunque algunos triángulos rectángulos sus ángulos agudos pueden medir
45° cada uno, no se aplica para todos los triángulos rectángulos porque se pueden tener
medidas diferentes de 45° como el siguiente ejemplo de un triángulo rectángulo.
∠𝐴 = 30°, ∠𝐵 = 60° 𝑦 ∠𝐶 = 90°
d) Algunos triángulos obtusángulos pueden ser escalenos
Verdadero, para verificarlo se tiene el siguiente ejemplo
Se puede observar que todos sus lados tienen diferente medida
e) Se puede formar un triángulo con las siguientes medidas 3m,5m y 8m
Falso. Ya que la suma de los lados más cortos suma 8 y no sería posible formar un
triángulo, porque la suma de dos lados siempre debe ser mayor que el tercer lado
Triángulo
Rectángulo Trapecio
Rombo
36°
B
29°
A
C
B
115°
12.3
8
6.6
8
5 3
Triángulo
isósceles
Octágono
romboide
