INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES

PROBLEMAS DEL CURSO CERO DE MATEMATICAS

Elaborados por Domingo Pestana Galvan

y Jose Manuel Rodrıguez Garcıa

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Escuela Politecnica Superior

Departamento de Matematicas

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1) f(x) =

x2 − 11x + 18x3 − 2x2 + 3x− 6

, si x 6= 2 ,

−1 , si x = 2 .

2) g(x) =

5 +x2 + 6x + 9

x + 3, si x 6= −3 ,

−2 , si x = −3 .

3) h(x) =

x2 arctan8x

, si x 6= 0 ,

0 , si x = 0 .

4) u(x) =

{−| sen x| − 4 , si x < π ,

| cosx| − 5 , si x ≥ π .

5) v(x) =

{cos x , si x < 0 ,

|x2 + 5x− 1| , si x ≥ 0 .

6) w(x) =

{x2 − x + arctanx , si x < 0 ,

cos(3x2 − 5x) + 2x, si x ≥ 0 .

7) y(x) =

arctanx , si x ≤ 0 ,

sen(πx) , si 0 < x < 1 ,

|x2 − 5x + 4| , si x ≥ 1 .

Solucion: 1) f(x) es continua en R . 2) g(x) es continua en R \ {−3} y tiene en −3 una discontinuidadevitable. 3) h(x) es continua en R . 4) u(x) es continua en R . 5) v(x) es continua en R . 6) w(x) escontinua en R \ {0} 7) y(x) es continua en R .

4.7. Halla

1) lımx→1

arc sen(x2 − 2x + 1

x2 − 7x + 6

). 2) lım

x→0+cos

((1 + x2)−7/x3

).

Solucion: 1) arc sen 0 = 0. 2) cos 0 = 1.

4.8. Prueba que la funcion F (x) = g(f(x)) es continua en R , donde

f(x) =

{sen(πx) + 1 , si x < 5 ,

x2 − 24 , si x ≥ 5 ,g(x) =

{ex, si x < 0 ,

|x− 1| , si x ≥ 0 .

4.9. Prueba que la siguiente funcion es continua en R :

f(x) =

{0 , si x ≤ 0 ,

e−1/x, si x > 0 .

5. Derivadas

Halla las derivadas de las siguientes funciones:

5.1. f(x) = 2x3 − x2 − 5x + 21π.

Solucion: f ′(x) = 6x2 − 2x− 5.

5.2. g(x) = (log x)7.

Solucion: g′(x) =7(log x)6

x.

5.3. h(x) = ex sen x.

Solucion: h′(x) = ex(senx + cos x).

9

5.4. f(x) =x2 + 1x2 − 1

.

Solucion: f ′(x) =−4x

(x2 − 1)2.

5.5. g(x) = xex cos x.

Solucion: g′(x) = ex(cos x + x cos x− x sen x).

5.6. f(x) =√

cos x− e2x .

Solucion: f ′(x) =− sen x− 2e2x

2√

cos x− e2x.

5.7. g(x) =√

x− 1x + 1

.

Solucion: g′(x) =1

(x− 1)1/2(x + 1)3/2.

5.8. g(x) =√

x− 1√x + 1

.

Solucion: g′(x) =1

(√

x + 1)2√

x.

5.9. h(x) = sec√

x.

Solucion: h′(x) =1

2√

xsec

√x tan

√x.

5.10. u(x) = log sen x.

Solucion: u′(x) =cos x

sen x= cotan x.

5.11. v(x) =arc sen x

log x.

Solucion: v′(x) =x log x−√1− x2 arc sen x

x√

1− x2 (log x)2.

5.12. w(x) = arc sen ex.

Solucion: w′(x) =ex

√1− e2x

.

5.13. y(x) = arc cos(√

x).

Solucion: y′(x) =−1

2√

x− x2.

5.14. a(x) =sen x− cos x

sen x + cos x.

Solucion: a′(x) =2

(senx + cos x)2.

5.15. b(x) = 3arc sen√

1−x2 .

Solucion: b′(x) =− log 3√1− x2

3arc sen√

1−x2 , si x > 0;

b′(x) =log 3√1− x2

3arc sen√

1−x2 , si x < 0.

10

5.16. f(x) = 7√

(ex + log x)13.

Solucion: f ′(x) =137

(ex +

1x

)(ex + log x)6/7.

5.17. Halla la derivada de f(x) = xlog x, calculando primero la derivada de g(x) = log f(x).

Solucion: g(x) = (log x)2, g′(x) =2 log x

x, f ′(x) = 2xlog x−1 log x.

5.18. Halla la recta tangente a la grafica de la funcion G(x) = ex + log(x + 1) en el punto x = 0.

Solucion: y = G(0) + G′(0)(x− 0) = 1 + 2(x− 0) = 2x + 1.

5.19. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones y calcula su derivada en los puntos en que seanderivables:

1) f(x) = x1/7. 2) g(x) = arc cos x . 3) h(x) = |x2 − 4| .

Solucion: 1) f ′(x) =17

x−6/7 si x 6= 0. f ′(0) = ∞. 2) g′(x) = −1√1−x2 si x ∈ (−1, 1). g′+(−1) = g′−(1) = −∞.

3) h′(x) = 2x si x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞); h′(x) = −2x si x ∈ (−2, 2). No existen h′(−2) ni h′(2).

5.20. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones definidas a trozos y calcula su derivada en lospuntos en que sean derivables:

1) f(x) =

senx , si x ≤ 0 ,

x , si 0 < x < 2 ,

ex, si x ≥ 2 .

2) g(x) =

{0 , si x ≤ 0 ,

e−1/x, si x > 0 .

Solucion: 1) f ′(x) = cos x si x ∈ (−∞, 0); f ′(x) = 1 si x ∈ (0, 2); f ′(x) = ex si x ∈ (2,∞). f ′(0) = 1 y noexiste f ′(2). 2) g′(x) = x−2e−1/x si x ∈ (0,∞); g′(x) = 0 si x ∈ (−∞, 0). g′(0) = 0.

5.21. Halla las derivadas de las siguientes funciones usando la definicion de derivada:

a) 7 , b) 3x , c) 2x2 , d) x3 .

Solucion: a) 0 , b) 3 , c) 4x , d) 3x2 .

6. Representaciones graficas

6.1. Representa f(x) = x4 − x2.

Solucion: Decreciente en (−∞,−1/√

2 ) y en (0, 1/√

2 ), creciente en (−1/√

2 , 0) y en (1/√

2 ,∞); puntomaximo local x = 0, puntos mınimos absolutos x = ±1/

√2 ; convexa en (−∞,−1/

√6 ) y en (1/

√6 ,∞),

concava en (−1/√

6 , 1/√

6 ); puntos de inflexion x = ±1/√

6 .

6.2. Representa f(x) =x + 2

(x− 1)3.

Solucion: Asıntota horizontal y = 0 para x → ±∞, asıntota vertical en x = 1; creciente en (−∞,−7/2),decreciente en (−7/2, 1) y en (1,∞); punto maximo local x = −7/2; concava en (−5, 1), convexa en (−∞,−5)y en (1,∞); punto de inflexion x = −5.

6.3. Representa graficamente y =x2 − 1x2 + 1

.

Solucion: Asıntota horizontal y = 1 para x → ±∞; decreciente en (−∞, 0) y creciente en (0,∞); puntomınimo absoluto x = 0; concava en (−∞,−1/

√3 ) y en (1/

√3 ,∞), convexa en (−1/

√3 , 1/

√3 ); puntos de

inflexion x = ±1/√

3 .

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