EjerciciosTema sol

7/25/2019 EjerciciosTema sol

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Estadstica e Introduccin a la Econometra

Curso 2012-13

Ejercicios del Tema 6

Soluciones

1.- La siguiente tabla contiene los resultados de la prueba de aptitud para el acceso a la universidaden Estados Unidos (ACT) y la nota media en la universidad (GP A) de 8 estudiantes universitarios:

GP A AC T

2:8 213:4 243:0 263:5 273:6 293:0 252:7 253:7 30

Utilizando estos datos:a) Estime los parmetros del modelo

GP A= 0+1ACT+u

y presente los resultados en forma de ecuacin.b) El trmino constante se presta a interpretacin en este caso? Explique la respuesta.c) En cunto se predice que aumente la nota media en la universidad si el resultado del test de

aptitud aumenta en 5 puntos?d) Calcule los valores ajustados y los residuos para cada observacin y compruebe que la suma

de los residuos es cero.

e) Qu valor predice el modelo para la nota media para los individuos que han obtenido 20puntos en el test de aptitud?f ) Qu proporcin de la variacin de GP Ade estos 8 estudiantes se explica por ACT?

Solucin:

a) Tenemos que calcular

b1 = SxyS2xb0= y b1x

para eso vamos a calcular primero la media de AC T y deGPA;la varianza de AC Ty la covarianza entreACT y GP A

ACT = 25:875 GP A= 3:2125S2ACT = 8:125 SACT;GPA = 0:83035714

Los parmetros estimados son:

b1= 0:830357148:125 = 0:1022b0= y b1x= 3:2125 + 0:1022 25:875 = 0:5681

y por tanto[GP A= 0:5681 + 0:1022 ACT

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b) El trmino constante mide la prediccin para la variable dependiente cuando la variableexplicativa es cero, por tanto como en este ejercicio no tiene sentido que la puntuacin del test de aptitudsea cero, la constante no se presta a interpretacin.

c) El modelo estimado predice que si el resultado del test de aptitud aumenta en 5 puntos la notamedia de la universidad aumentar en 0:1022 5 = 0:511puntos.

d)

GP A AC T [GP A= 0:5681 + 0:1022 ACT bu= GP A [GP A2:8 21 2:7143 0:08573:4 24 3:0209 0:37913:0 26 3:2253 0:22533:5 27 3:3275 0:17253:6 29 3:5319 0:06813:0 25 3:1231 0:12312:7 25 3:1231 0:42313:7 30 3:6341 0:0659

La suma de los residuos es -0.0002 (no es exactamente cero por los errores de redondeo).e) El modelo predice que la nota media para los individuos que han obtenido 20 puntos en el test

de aptitud es 0:5681 + 0:1022 20 = 2:6121 puntos.

f ) Tenemos que calcular el R2

R2 = 1SC R

SC T

SC R =nXi=1

bu2i = 0:4347 y SC T =nXi=1

(yi y)2 = 1:0288 ) R2 = 1 0:43471:0288 = 0:5775. ACT explica el

57:75%de la variacin de GPA:

2.- Considere la funcin de consumo lineal estimada utilizando una muestra de ingresos (renta) yconsumos (cons) anuales (ambos medidos en dlares) para una muestra de 100 familias americanas:

dcons = 124:84 + 0:853 rentan

= 100; R2

= 0:692

a) Interprete el trmino constante de esta ecuacin y comente su signo y su magnitud.b) Interprete la pendiente de esta ecuacin.c) Cul es la prediccin para el consumo de una familia cuyos ingresos son de 30000dlares?d) Qu proporcin de la variacin en el consumo viene explicada por la renta?e) Suponga que utilizando la misma muestra medimos el consumo de las familias en miles de

dlares. Calcule los nuevos parmetros estimados del modelo y el R2: Si medimos ahora tambin losingresos en miles de dlares, cules seran los nuevos parmetros estimados del modelo y el R2?

Solucin:

a) La constante, 124:84, mide el consumo predicho para una familia con 0 dlares de renta.

Evidentemente esto no tiene ningn sentido, y reeja que esta funcin de consumo predice muy mal elconsumo para niveles muy bajos de renta.

b) La pendiente, 0:853; mide la propensin marginal al consumo. Es decir, se estima que si elingreso del hogar aumentara en un dlar el consumo aumentara en 0:853dlares.

c) La prediccin para el consumo de una familia cuyos ingresos son de 30; 000dlares es:

dcons= 124:84 + 0:853 30; 000 = 25; 465:16$

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d) El R2 mide la proporcin de la variacin en la variable dependiente explicada por la variableindependiente. En este caso la renta explica el 69:2%de la variacin en el consumo.

e) Sea consmel consumo en miles de dlares. La relacin entre la variable en miles de dlares yen dlares es:

consm=cons

1000

El cambio de unidades en la variable dependiente supone que hay que dividir las estimaciones para laconstante y para la pendiente por 1000;con lo que el modelo estimado es

\consm = 0:12484 + 0:000853 renta

n = 100; R2 = 0:692

El R2 no vara al cambiar las unidades de medida.Sea consm el consumo en miles de dlares. La relacin entre la variable en miles de dlares y en

dlares es:

rentam= renta

1000

El cambio de unidades en la variable dependiente supone que hay que multiplicar la estimacin parala pendiente por 1000; con lo que el modelo estimado es

\consm = 0:12484 + 0:853 rentam

n = 100; R2 = 0:692

El R2 no vara al cambiar las unidades de medida.

3.- En base a una muestra de de 935 individuos para los que se observa el salario mensual (wage) endlares y el resultado de un test de inteligencia (IQ) se han obtenido las siguientes estimaciones MCO:

[wage= 117 + 8:3IQ (1)[wage=

2628 + 778:5log(IQ) (2)\log(wage) = 5:9 + 0:0088IQ (3)\log(wage) = 2:94 + 0:83 log(IQ) (4)

a) Cul de estos modelo supone que un aumento de un punto en el test de inteligencia IQimplica una variacin de una cantidad constante en dlares en la media de wage? En base a ese modelo,estime la variacin en el salario medio ante un aumento de 10puntos en el resultado del test.

b) Cul de estos modelo supone que cada aumento de un punto en el test de inteligencia IQtiene el mismo efecto porcentual sobre wage? En base a ese modelo, calcule la variacin porcentual en elsalario predicho ante un aumento de 10puntos en el resultado del test.

c) Compare los resultados obtenidos en los apartados anteriores para un individuo cuyo salario

mensual coincide con el salario medio en la muestra (el salario medio en la muestra es 958dlares).d) Cul de estos modelos supone que el aumento de un 1% en el test de inteligencia IQ tienesiempre, en media, el mismo efecto porcentual sobre wage? En base a ese modelo, calcule la variacinporcentual estimada en el salario ante un aumento del 10 por ciento en el resultado del test. En estemodelo, obtenga el incremento salarial que experimentar un individuo que tenga el salario medio yel resultado de IQ medio de la muestra ante un aumento del 10% en el resultado del test (la mediadel resultado del test de inteligencia en la muestra 101). Compare este resultado con el obtenido en elapartado b) para dicho individuo.

e) Calcule las pendientes estimadas para cada modelo si medimos el salario en cientos de dlares.

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Solucin:

a) El modelo que supone que una variacin en una unidad en la variable explicativa implica unavariacin constante en la media de la variable dependiente es el modelo lineal en niveles (1). En esteejercicio, se estima que si I Qaumenta en 10 puntos el salario medio aumentar en 8:3 10 = 83dlares.

b) El modelo que supone que una variacin en una unidad en la variable explicativa supone uncambio porcentual constante en la variable dependiente es el modelo log-nivel (3). En este ejercicio, seestima que si IQaumenta en 10 el salario aumentar en media un 100 0:0088 10 = 8:8%.

c) Segn el modelo (1) el aumento del salario en dlares sera de 83 dlares y segn el modelo(3)del8:8%, que dado su salario equivale a 0:088 958 = 84:3 dlares (muy similar a la estimacin basadaen el modelo (1)).

d) El modelo que supone una variacin porcentual constante en la variable dependiente ante unincremento porcentual de la variable explicativa es el modelo en log-log, cuyas estimaciones se presentanen la ecuacin (4). Utilizando dichas estimaciones, se obtiene que ante un aumento de un 10% en elresultado del test, la variacin porcentual media en el salario ser de un 8:3%. Para un individuo con losvalores medios de las variables, un aumento de un 10%en el test supondr un aumento de0:1101 = 10:1puntos. Segn el modelo(4), ante este aumento en el resultado del test, el incremento en salario ser, enmedia, de un8:3%, que dado su salario equivale a0:083958 = 79:5dlares. Comparando los resultadoscon los obtenidos en el apartado b), ante un incremento del resultado del test similar (de 10 puntos) el

aumento en el salario medio en este apartado es similar, aunque ligeramente menor, que el que se estimautilzando el modelo (3).e) Si llamamos wage100al salario en cientos de dlares tenemos que

wage100 = wage

100

por tanto, en los modelos(1) y (2) tenemos que dividir la pendiente por 100. Es decir en el modelo (1) elcoeciente estimado de IQsera 8:3100 = 0:083; y en el modelo (2) el coeciente estimado de log(IQ) sera778:5100 = 7:785:

En los modelos (3)y (4) la pendiente no cambia ya que la variable wage est en logaritmos.

4.- Considere el siguiente modelo que relaciona el peso del beb al nacer (peso) con el consumo de

cigarrillos de la madre durante el embarazo (cigs

)peso= 0+1cigs+u

Utilizando una muestra de 1388nacimientos se han obtenido los siguientes resultados

dpeso = 3395:5(16:23)

14:57(2:56)

cigs

n = 1388; R2 = 0:0227

dondepesoest medido en gramos y cigs en nmero de cigarrillos diarios.a) Interprete la pendiente de esta ecuacin.b) Cul es el peso predicho si la madre no ha fumado durante el embarazo? y si la madre fuma

un paquete diario (cigs= 20)? Comente la diferencia.c) Implica necesariamente esta regresin simple que existe un efecto causal del hbito de fumar

de la madre sobre el peso del beb al nacer? Razone su respuesta.d) Para predecir un peso de 3 kilos y medio a qu tendra que ser igual cigs? Comente la

respuesta.

Solucin:

a) La pendiente, 14:57, mide la variacin en el peso medio ante un aumento de una unidad enel nmero de cigarrillos que fuma la madre durante el embarazo. El modelo predice que si las madresfumaran un cigarrillo ms al da los bebs pesaran en media14:57gramos menos.

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b)Si la madre no ha fumado durante el embarazo el peso predicho es de 3395:5gramos. Si la madreha fumado un paquete diario durante el embarazo el peso predicho es dedpeso= 3395:514:5720 = 3104:1gramos. El modelo estimado predice que fumar un paquete de tabaco al da durante el embarazo suponeuna prdida de peso para el beb de casi 300 gramos.

c) No, ya que hay muchos otros factores que inuyen en el peso del beb y que pueden estarcorrelacionados con el consumo de cigarrillos como la salud general de la madre, el consumo de alcohol uotras substancias, la renta, etc.

d) Para que el modelo prediga un peso de 3.5 kilos el consumo diario de cigarrillos debera sernegativo, lo cual no tiene ningn sentido. El modelo no sirve para ese rango de valores.

5.- Considere el siguiente modelo que relaciona el tiempo dedicado a dormir con el tiempo dedicadoal trabajo remunerado

sleep= 0+1totwrk+u

dondesleep son los minutos de sueo nocturno semanales y totwrk es el nmero de minutos de trabajoremunerado a la semana. Utilizando los datos del chero SLEEP75 del libro de Wooldridge:

a) Estime este modelo y presente en forma de ecuacin los parmetros estimados, los erroresestndar, el nmero de observaciones y el R2.

b) Interprete el trmino constante y la pendiente.

c) Qu porcentaje de la variacin del tiempo dedicado a dormir viene explicado por el tiempodedicado al trabajo?

d) Si aumenta en dos horas el tiempo semanal dedicado al trabajo, en cunto se estima quedisminuir el tiempo medio dedicado a dormir?

Solucin:

a)

Model 1: OLS, using observations 1-706Dependent variable: sleep

coefficient std. error t-ratio p-value---------------------------------------------------------

const 3586.38 38.9124 92.17 0.0000 *** totwrk -0.150746 0.0167403 -9.005 1.99e-018 ***

Mean dependent var 3266.356 S.D. dependent var 444.4134Sum squared resid 1.25e+08 S.E. of regression 421.1357R-squared 0.103287 Adjusted R-squared 0.102014F(1, 704) 81.08987 P-value(F) 1.99e-18

[sleep = 3586:4(38:91)

0:1507(0:0167)

totwrk

n = 706; R2 = 0:103

b) La constante,3586:3;mide la prediccin del tiempo dedicado al sueo para los individuos queno trabajan y por tanto el modelo predice que un individuo que no trabaja duerme 3586:3 minutos a la

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semana (59:7 horas). En cuanto a la pendiente, 0:1507, mide la variacin en tiempo dedicado al sueoante un aumento de una unidad en el tiempo dedicado al trabajo. El modelo predice que si el individuotrabaja un minuto ms a la semana dedicar 0:1507 minutos menos a dormir.

c) El R2 mide la proporcin de la variacin en la variable dependiente explicada por la variableindependiente. En este caso el tiempo dedicado al trabajo explica el 10:3% de la variacin en el tiempodedicado al sueo.

d) Si aumenta en dos horas el tiempo semanal dedicado al trabajo se estima que los individuosdedicarn, en media, 2 60 0:1507 = 18:084minutos menos a dormir.

6.- Para la poblacin de empresas de la industria qumica, sea rd los gastos anuales en I+D y saleslas ventas anuales (ambos expresados en millones de dlares).

a) Proponga un modelo de elasticidad constante que relacione el gasto en I+D con las ventas,Qu parmetro mide la elasticidad?

b) Utilizando los datos del chero RDCHEM del libro de Wooldridge, estime el modelo delapartado a) y presente en forma de ecuacin los parmetros estimados, los errores estndar, el nmerode observaciones y el R2.

c) Cul es la elasticidad estimada del gasto en I+D con respecto a las ventas? Explique conpalabras qu signica esta elasticidad.

d) Cmo variara el coeciente estimado de las ventas si estas se midieran en miles de dlares?

Razone su respuesta.

Solucin:

a) Para que la elasticidad sea constante el modelo tiene que ser lineal en logaritmos

log(rd) =0+1log(sales) +u

1 mide la elasticidad del gasto en I+D con respecto a las ventas.b)

Model 1: OLS, using observations 1-32Dependent variable: l_rd


const -4.10472 0.452768 -9.066 4.27e-010 ***l_sales 1.07573 0.0618275 17.40 3.20e-017 ***

Mean dependent var 3.602825 S.D. dependent var 1.734352Sum squared resid 8.407684 S.E. of regression 0.529392R-squared 0.909835 Adjusted R-squared 0.906829F(1, 30) 302.7216 P-value(F) 3.20e-17

\log(rd) = 4:105(0:453)

+ 1:076(0:0618)

log(sales)

n = 32; R2 = 0:91

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c) La elasticidad estimada es 1:076 y por tanto un aumento en las ventas del 1% supone unincremento en el gasto en I+D del 1:076%

d)Puesto que las ventas estn en logaritmos, el coeciente estimado de las ventas no cambia anteun cambio en las unidades de medida de las ventas.

7.- El chero CEOSAL2 del libro de Wooldridge contiene informacin sobre directores generales deempresas americanas. La variable salary es la remuneracin anual en miles de dlares y ceoten es elnmero de aos de antigedad en el puesto de director general.

a) Proponga un modelo para el que un aumento de un ao el cargo de director general supongasiempre el mismo aumento porcentual en el salario.

b) Estime el modelo del apartado a) y presente los parmetros estimados, los errores estndar,el nmero de observaciones y el R2 en una ecuacin.

c) Interprete la pendiente de esta ecuacin.

Solucin:

a)Para que un aumento en un ao el cargo de director general suponga siempre el mismo aumentoporcentual en el salario tenemos que considerar un modelo log-lineal

log(salary) =0+1coeten+u

b)

Model 1: OLS, using observations 1-177Dependent variable: l_salary


const 6.50550 0.0679911 95.68 4.84e-153 *** ceoten 0.00972363 0.00636448 1.528 0.1284

Mean dependent var 6.582848 S.D. dependent var 0.606059Sum squared resid 63.79531 S.E. of regression 0.603775R-squared 0.013163 Adjusted R-squared 0.007523

\log(salary) = 6:51(0:068)

+ 0:00972(0:00636)

ceoten

n = 177; R2 = 0:013

c) La pendiente de esta ecuacin supone que un aumento de 1 ao en el nmero de aos que llevaen la empresa el director general implica, en media, un aumento del salario del 100 0:00972 = 0:972%:

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