Ejercicios Transformadas de Laplace

Matemáticas V Transformadas de Laplace

1 . Encuentra la solución a la ecuación diferencial y’2yy tet sujeta a y(0) y y(0) 0

-Transformando la ED:

-Sustituir condiciones iniciales, simplificando y encontrando a Y(s):

-Antitransformando a Y(s) se obtiene a y(t), por lo que:

-Aplicando convolución a la primer antitansformada y separación fraccional a la segunda:

-Por último, sumando, y(t) será entonces:


2. Encuentra la solución de la ecuación: si

-Transformando la ecuación integro-diferencial:

-Simplificando, sustituyendo condiciones iniciales y encontrando a Y(s):

-Antitransformando, se obtiene y(t):

3. ¿Cuál es la transformada del arco parábola que cae en el primer cuadrante?

Antitransformando a y(t), se obtiene Y(s):

Ahora, realizar las integrales por partes:


-Sumando los tres resultados de las integrales, se obtiene a Y(s):

4. Encuentra la solución a la ED: sujeta a y


-Simplificando y obteniendo a Y(s):

-Antitransformando, se encuentra la solución a la ED:

5. Encuentre solución al PVI : sujeto a que y


-Simplificando, sustituyendo y obteniendo a Y(s):


-De lo anterior, es posible conocer la expansión de la segunda fracción de Y(s), por tanto:

-Antitransformando, se obtiene y(t) y la solución del PVI:

6. Usar el teorema dado en este ejercicio para hallar:

-Primero, evaluar el límite por la derecha para :

Indeterminación. Aplicando la regla L’Hopital:

-El límite por la derecha existe, por lo tanto, es posible aplicar la transformada dada:


-Evaluando los límites de integración, se obtendrá el resultado:

7. Resolver la ED: sujeta a y , si f(t) es dada por la función periódica definida en un periodo como:


, donde el periodo es 2:

-Sustituyendo las c.i y el resultado anterior en la transformación de la ED:

-Donde la fracción se puede representar como una serie infinita:


-Por lo tanto, sustituyendo a la serie por la fracción se tiene:

-Ahora, expandir las fracciones con la multiplicación de la serie, obteniendo:

-Encontrar la antitransformada de la fracción: , debido a que es un factor común en los tres primeros términos de Y(s) y para después aplicar en cada serie obtenida las antitransformadas del primer caso del teorema de traslación en el eje t.

Antitransformando queda entonces:


-Encontrar la antitransformada de , el último término de Y(s):

-Volviendo a las antitransformadas de cada serie, se obtiene y(t):

-Ordenando términos de las series obtenidas en forma de sumatorias:


8. Resuelve las ED no homogéneas por medio de las transformadas de Laplace

a) si y

-Transformando la ED y sustituyendo condiciones iniciales:

-Encontrar la antitransformada para la primera fracción de Y(s), tomada de izq. A der:


-Ahora, encontrar la antitransformada para la segunda fracción de Y(s):

-Por último, antitransformar la tercer fracción de Y(s):


-Sumando los resultados de las tres fracciones, se obtiene el resultado de la ED:

b) con donde


, encontrar la transformada de g(x):

-Reescribiendo la transformación de la ED y sustituyendo condiciones iniciales:

-Antitransformando a Y(s), queda entonces:

-Encontrar las primeras dos antitransformadas que involucran una convolución. Para la primera se tiene entonces:

-Para la segunda, se involucra una función unitaria, por lo tanto:


-Sumando, se obtiene la solución a la ED y y(t):

9. Encuentra F(s) de las funciones dadas con el uso de algún teorema de transformación:

a) . Aplicando el teorema: “Derivada de una transformada”, con n=1:

b) . Expandiendo a f(t): .Aplicando el 2do caso del teorema de traslación en el eje t:


10. Encuentra a f(t) si:

a) . Primero, expandir la fracción: . Ahora, buscar f(t):

; donde:

Ahora: :

-Sumando los dos resultados, se obtiene la antitransformada:

b) . Primero, realizar una expansión a F(s):

. Ahora, antitransformando se obtiene :

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