Ejercicios Semanas Unidos

DINAMICA

GRUPO N 04

CINEMATICA PARTICULA

DINAMICA

TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA

NOTA : ALUMNO: GRUPO Nº 04

CONTROL DE LECTURA Nº: CODIGO: FECHA: 18/04/2012 CLAVE:

AUTOR: BEDFORD FOWLER PAGINA Nº: 65 PROBLEMA Nº: 2.107

Con los datos del problema (colocando variables)

1) Un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de v0 mi/h en A, a v1 mi/h

en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración t segundos después de que pasa por el

punto A?

SOLUCION

Utilizando la regla de la cadena obtenemos:

Dado que cambio de velocidad es constante, la aceleración será constante por

consiguiente integramos y obtenemos:

Donde c es constante de integración:

Para s = 0, v (0) =

Reemplazando el valor de la velocidad en la ec (1).

De la ec (1) despejamos la aceleración:

Calculamos la distancia desde A hasta B

Y la velocidad en el punto B dada es:

Reemplazando en la ec (2) el valor de la velocidad y de la constante c, tenemos:

La velocidad en función del tiempo es:

Si integramos con respecto al tiempo la ec (3), vamos a obtener la ecuación del

desplazamiento.

Ahora halamos la aceleración

Pero por teoría sabemos que:

Ahora bien: Donde ρ es el radio de curvatura.

, derivando respecto al tiempo tenemos:

Reemplazando en ec (4)

[ ]

| | √ [[ ]

]

Con los datos del problema (sin variables)

2) Un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40 mi/h en A, a 60

mi/h en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2 s después de que pasa por el punto

A

SOLLUCION

Utilizando la regla de la cadena obtenemos:

Dado que cambio de velocidad es constante, la aceleración será constante por

consiguiente integramos y obtenemos:

Donde c es constante de integración:

Para s = 0, v (0) =

Reemplazando el valor de la velocidad en la ec (1).

De la ec (1) despejamos la aceleración:

Calculamos la distancia desde A hasta B

Y la velocidad en el punto B dada es:

Reemplazando en la ec (2) el valor de la velocidad y de la constante c, tenemos:

La velocidad en función del tiempo es:

Si integramos con respecto al tiempo la ec (3), vamos a obtener la ecuación del

desplazamiento.

Dos segundos después que pasa por el punto A, el automóvil tiene un recorrido y

velocidad de:

S(2) = 132.94pies

Ahora para hallar la aceleración tangencial analizamos de la siguiente forma:

La primera parte de la colina termina en.

Por lo que el coche en t=2s todavía se encuentra en la primera parte de la colina, por

consiguiente el radio de curvatura ρ = 120pies.

Pero por teoría sabemos que:

Ahora bien: Donde ρ es el radio de curvatura.

, derivando respecto al tiempo tenemos:

Reemplazando en ec (4)

Y

|a| = 46.63 pies/s2

COMPROBACIÓN

Para comprobar reemplazamos los datos del problema anterior:

V0 = 40mi/h V1 = 60mi/h

T = 2s Ρ = 120pies

Ө = 30º p= 120pies r= 100pies b= 80pies

La aceleración será:

a= 7.8m/s2

La aceleración total:

[ ]

[ ]

Ahora el módulo de la aceleración total es:

| | √

|α| = 46.63pies/2

DINAMICA TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA




Con los datos del problema (colocando variables): 1) Una embarcación que busca tesoros arqueológicos navega a “a” nudos y sigue la

trayectoria , con en radianes (1 nudo = 1 milla náutica, o 1852m, por

hora). Cuando , determine la velocidad de la embarcación (a) en

coordenadas polares; (b) en coordenadas cartesianas.

Solución: a) Coordenadas polares

Hallamos la velocidad ( ):

⁄

⁄ a ⁄ ⁄

Vector posición :

La velocidad en función de :

…..(1)

……. (2)

Para pequeño: . Actuando en ….. (3)

Remplazar (3) en (2):

(

)

….. (4) Remplazando (4) en (1):

Comparando:

….. (5)

Trabajando con :

….. (6)

Remplazamos los valores en la Ecuación:

[ ] [ (

)]

[ (

)]

……(7)

Como , para →

(

)

(

)

(

)

√

Remplazamos el valor de

en (5) y(6):

√

√

√

√

b) Coordenadas cartesianas

Descomponiendo:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

r=vector

posición

En coordenadas cartesianas la velocidad:

[

√

√ ]

[

√

√ ]

Con los datos del problema (sin variables):

2) Una embarcación que busca tesoros arqueológicos navega a 4 nudos y sigue la

trayectoria , con en radianes (1 nudo = 1 milla náutica, o 1852m, por

hora). Cuando , determine la velocidad de la embarcación (a) en

coordenadas polares; (b) en coordenadas cartesianas.

Solución: La velocidad a lo largo de su trayectoria es:

(

) ⁄

(a)Su trayectoria es La velocidad es:

⁄

La velocidad, se puede descomponer en sus dos componentes:

(

)

(

)

(

)

(

)

Sabemos que , Ahora sustituimos:

(

)

(

)

(

)

(

)

√ ⁄

⁄

Hallamos y :

⁄

⁄

(b) Por geometría, los componentes cartesianos son:

⁄ ⁄

COMPROBACIÓN: Para:

a=4 b=10 c=2

Parte (a):

√

√ ⁄

√ ⁄

Parte (b):

DINAMICA

GRUPO N 04

NEWTON PARTICULA

DINAMICA

TEMA: NEWTON-PARTICULA




EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

Una masa “m” gira alrededor de un

poste vertical en una trayectoria

horizontal de radio R. Si la

magnitud de su velocidad es V.

¿Cuáles son las tensiones en las

cuerdas A y B?

DESARROLLO

∑

∑

∑

Para las fuerzas tangenciales:

∑

Para las fuerzas normales:

∑

Para las fuerzas en “b”:

∑

Resolviendo (I) - (III):

Resolviendo (II) - (IV):

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

Una masa m de 10 kg gira

alrededor de un poste vertical en

una trayectoria horizontal de radio

R=1 m. Si la magnitud de su

velocidad es V=3 m/s. ¿Cuáles son

las tensiones en las cuerdas A y B?

DESARROLLO

∑

∑

∑

Para las fuerzas tangenciales:

∑

Para las fuerzas normales:

∑

Para las fuerzas en “b”:

∑

Resolviendo (I) - (II):

Reemplazando TB en (I):

COMPARACIÓN

Para:

aº=35º

bº=55º

V=3

m/s

R= 1 m

m= 10

kg

Hallando TA:

Hallando TB:

DINAMICA

TEMA: NEWTON PARTICULA




EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

La barra lisa mostrada gira en el

plano horizontal con velocidad

angular constante

(revoluciones por minuto). Si el

collar A de m lb se suelta en

pie sin velocidad radial, ¿cuál es la

magnitud de su velocidad cuando

llega al extremo de la barra?

DESARROLLO

La velocidad angular es:

(

) (

)

⁄

Como la barra es lisa, entonces no existen fuerzas radiales;

aplicamos la 2da

ley de newton:

∑

Como la masa es constante, la que varia es la aceleración radial;

por lo tanto la aceleración radial debe ser igual a cero:

…… (1)

Usando la regla de la cadena:

….(2)

Remplazamos (2) en (1):

∫

∫

∫

(

)

(

)

(

)

(

)√

La velocidad es igual:

((

)√ ) (

)

| | √((

)√ )

( (

))

| | √(

)

(

)

| | √(

)

⁄

EJERCICIO 01 (SIN

VARIABLES)

La barra lisa mostrada gira en el

plano horizontal con velocidad

angular constante

(revoluciones por minuto). Si el

collar A de 2 lb se suelta en

pie sin velocidad radial, ¿cuál es la

magnitud de su velocidad cuando

llega al extremo de la barra?

DESARROLLO

La velocidad angular es:

(

) (

) ⁄

Como la barra es lisa, entonces no existen fuerzas radiales;

aplicamos la 2da

ley de newton:

∑

Como la masa es constante, la que varia es la aceleración radial;

por lo tanto la aceleración radial debe ser igual a cero:

…… (1)

Usando la regla de la cadena:

….(2)

Remplazamos (2) en (1):

∫

∫

∫

(

)

(√ )

La velocidad es igual:

| | √

| | ⁄

COMPARACIÓN

Para:

=60

r=1

R=2

m= 2

Hallando | | :

| | √(

)

⁄

| | √(

)

⁄

| | √ ⁄

| | √ ⁄

| | ⁄

DINAMICA

GRUPO N 04

ENERGIA-PARTICULA

DINAMICA

TEMA: ENERGIA-PARTICULA




EJERCIO 01 (CON

VARIABLES)

Las masas de los tres bloques son

ignore la masa de la barra que

mantiene a C en reposo. La friccion

es insignificante. Aplicando el

PRINCIPIO DE TRABAJO Y

ENERGIA de A y B por separado,

determine la magnitud de sus

velocidades cuando se hayan

movido s mm.

DESARROLLO

Realizando el diagrama de cuerpo libre se obtiene:

Dado que la polea es una sola se deduce que

Llamemos z= s mm, que en metros es 0.s m.

El principio de trabajo y energía para el peso A es:

∫

Y para el peso B seria:

∫

igualando las dos ecuaciones se obtiene:

Por lo tanto:

√

EJERCIO 01 (SIN

VARIABLES)

Las masas de los tres bloques son

ignore la

masa de la barra que mantiene a C

en reposo. La friccion es

insignificante. Aplicando el

PRINCIPIO DE TRABAJO Y

ENERGIA de A y B por separado,

determine la magnitud de sus

velocidades cuando se hayan

movido 500mm.

DESARROLLO

Realizando el diagrama de cuerpo libre se obtiene:

Dado que la polea es una sola se deduce que

Llamemos b= 500mm, que en metros es 0.5m.

El principio de trabajo y energía para el peso A es:

∫

Y para el peso B seria:

∫

igualando las dos ecuaciones se obtiene:

Por lo tanto:

√

Reemplazando con los datos del problema:

√

COMPROBACIÓN:

remplazando los valores de:

√

DINAMICA

TEMA: ENERGIA-PARTICULA NOTA :

ALUMNO: GRUPO Nº 04



EJERCIO 02 (CON

VARIABLES)

El sistema está en reposo en la

posición mostrada, con el collarín

A de W lb descansando sobre el

resorte (k = P lb/pie), cuando una

fuerza constante de T lb se aplica

al cable. ¿Cuál es la velocidad del

collarín cuando se ha desplazado

d pies?

DESARROLLO

Dado que el sistema está en reposo calculamos el alongamiento

inicial del resorte como sigue

Si

Dónde: w es el peso del anillo

alongamiento inicial del resorte debido al peso del anillo

Cuando el collar se eleva d pies, el estiramiento es:

(

)

Además la fuerza horizontal constante que actúa sobre el cable una

distancia igual a:

√ √

Ahora hallamos el trabajo realizado por todas las fuerzas del

sistema

La fuerza horizontal T lb, como esta fuerza es constante el trabajo

se calcula mediante la formula

(√ √ )

Fuerza en el resorte Fs, en la posición inicial el resorte esta

comprimido (por la acción del peso) y

[

(

)

]

peso W , como el peso actúa en sentido opuesto a su

desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Trabajo total. Es la sumatoria de todas las fuerzas cuando el

bloque es desplazado d pies es entonces

∑ (√ √ )

[

(

)

]

Para determinar la velocidad después de desplazarse el sistema d

pies, aplicamos el principio de trabajo y energía.

∫ ∑

Si podemos determinar una función escalar de la posición V tal que

∑

Entonces también podemos evaluar la integral que define el

trabajo:

∫ ∑

∫

De donde

Lo que significa que la suma de la energía y la función V (trabajo)

es constante:

De la ecuación 2 podemos deducir también que:

∑

Del enunciado v1= 0, reemplazamos en ec.1 y tenemos,

(√ √ ) [

(

)

]

√

[ (√ √ ) [

(

)

] ]

EJERCIO 02 (SIN

VARIABLES)

El sistema está en reposo en la posición mostrada, con el collarín A de 12 lb descansando sobre el resorte (k = 20lb/pie), cuando una fuerza constante de 30 lb se aplica al cable. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando se ha desplazado 1 pie?

DESARROLLO

Dado que el sistema está en reposo calculamos el alongamiento

inicial del resorte como sigue

Si

Dónde: w es el peso del anillo

alongamiento inicial del resorte debido al peso del anillo

Cuando el collar se eleva 1pie, el estiramiento es:

Además la fuerza horizontal constante que actúa sobre el cable una

distancia igual a:

√ √

Ahora hallamos el trabajo realizado por todas las fuerzas del

sistema

La fuerza horizontal T = 30lb, como esta fuerza es constante el

trabajo se calcula mediante la formula

Fuerza en el resorte Fs, en la posición inicial el resorte esta

comprimido (por la acción del peso) y

[

]

peso W , como el peso actúa en sentido opuesto a su

desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Trabajo total. Es la sumatoria de todas las fuerzas cuando el

bloque es desplazado 1 pie es entonces

∑

Para determinar la velocidad después de desplazarse el sistema

1pie, aplicamos el principio de trabajo y energía.

∫ ∑

Si podemos determinar una función escalar de la posición V tal que

∑

Entonces también podemos evaluar la integral que define el

trabajo:

∫ ∑

∫

De donde

Lo que significa que la suma de la energía y la función V (trabajo)

es constante:

De la ecuación 2 podemos deducir también que:

∑

Del enunciado v1= 0, reemplazamos en ec.1 y tenemos,

√

COMPROBACIÓN

Reemplazamos los valores de

√

[ (√ √ ) [

(

)

] ]

√

[ (√ √ ) [

(

)

] ]

√

P

DINAMICA

GRUPO N 04

CANTIDAD DE

MOVIMIENTO- PARTICULA

DINAMICA

TEMA: ENERGIA-PARTICULA


CONTROL DE LECTURA Nº: CODIGO: FECHA:09/05/2012 CLAVE:

AUTOR: BEDFORD FOWLER PAGINA Nº:190 PROBLEMA Nº: 5.2

EJERCIO 01 (CON

VARIABLES)

Un vehículo de w libras acelera del reposo a p millas por hora en t segundos. (a) ¿Qué impulso se aplica al vehículo durante el tiempo t? (b) Si se supone como primera aproximación que la fuerza tangencial ejercida sobre el vehículo es constante, ¿cuál es la magnitud de la fuerza?

DESARROLLO

PARTE a) Del ejercicio la masa del vehículo es

La aceleración en pies/s

Ahora hallamos la velocidad

∫

∫

Dado que parte del reposo, = 0,

Reemplazando en la ec (1),

Usando la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento

∫ ∑

∫ ∑

PARTE b) El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa sobre un cuerpo entre t1 y t2 es

∑

EJERCIO 01 (SIN

VARIABLES)

Un vehículo de 2000 lb acelera

del reposo a 300 mi/h en 6 s.

(a) ¿Qué impulso se aplica al

vehículo durante los 6 s?

(b) Si se supone como primera

aproximación que la fuerza

tangencial ejercida sobre el

vehículo es constante, ¿cuál es la

magnitud de la fuerza?

DESARROLLO

PARTE a)

Del ejercicio la masa del vehículo es

La aceleración en pies/s

Ahora hallamos la velocidad

∫

∫

Dado que parte del reposo, = 0,

Reemplazando en la ec (1),

Por la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento

∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

PARTE b)

El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa

sobre un cuerpo entre t1 y t2 es

∑

COMPROBACIÓN:

PARTE a)

∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

PARTE b)

𝑤 𝑙𝑏

𝑝 𝑚𝑖

𝑡 𝑠

DINAMICA

TEMA: CANTIDAD DE MOVIMIENTO




EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

El peso combinado de la motocicleta

y el conductor es de 300lb. El

coeficiente de fricción cinética entre

los neumáticos de la motocicleta y el

camino es Suponga que el conductor parte del

reposo y hace patinar la rueda trasera

motriz. La fuerza normal entre la

rueda trasera y el camino es de 250N

(a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza de

fricción sobre la rueda trasera en

5s?

(b) Si se ignoran otras fuerzas

horizontales. ¿Qué velocidad se

alcanza en 5s?

DESARROLLO

Trazando el diagrama de cuerpo libre:

∑

∫

∫

∫

⁄

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

El peso combinado de la motocicleta

y el conductor es de lb. El

coeficiente de fricción cinética entre

los neumáticos de la motocicleta y el

camino es Suponga que el conductor parte del

reposo y hace patinar la rueda trasera

motriz. La fuerza normal entre la

rueda trasera y el camino es de N

a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza

de fricción sobre la rueda

trasera en ?

b) Si se ignoran otras fuerzas

horizontales. ¿Qué velocidad

se alcanza en ?

DESARROLLO

Trazando el diagrama de cuerpo libre:

∑

∫

∫

∫

⁄

COMPARACIÓN

Para:

:

∫

=

∫

∫

⁄

DINAMICA

TEMA: ENERGIA-PARTICULA NOTA :




EJERCIO 03 (CON

VARIABLES)

La caja mostrada tiene una masa

de M kilogramos y los

coeficientes de fricción entre ella

y la superficie inclinada son; μs

yμk estático y cinético

respectivamente. La caja parte del

reposo y el malacate ejerce una

tensión T newtons.

(a) ¿Qué impulso se aplica a la

caja durante t segundos en

movimiento?

(b) ¿Cuál es la velocidad de la

caja después de t segundos?

DESARROLLO

DCL

PARTE A

Sumatoria de fuerzas en dirección del movimiento del malacate (eje

“x”)

∑

Del ejercicio

→

Del DLC

Ahora bien

∑

Por definición de impulso sabemos que, “el impulso de una fuerza

resultante se define como el producto de esta fuerza y el intervalo

de tiempo”, matemáticamente se tiene

∫ ∑

∫

∫ ∑

( )

PARTE B

De la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento

∫ ∑

Dado que parte del reposo , para , y

∫

( )

𝜃

EJERCIO 03 (SIN

VARIABLES)

La caja mostrada tiene una masa

de 120 kg Y los coeficientes de

fricción entre ella y la superficie

inclinada son; μs =0.6 Y μk = 0.5.

La caja parte del reposo y el

malacate ejerce una tensión T =

1220 N.

(a) ¿Qué impulso se aplica a la

caja durante el primer segundo de

movimiento?

(b) ¿Cuál es la velocidad de la

caja después de 1 s?

DESARROLLO

DLC

PARTE a)

Sumatoria de fuerzas en dirección del movimiento del malacate (eje

“x”)

∑

Del ejercicio

T = 1120N, m=120kg

→

Del DLC

Ahora bien

∑

∑

Por definición de impulso sabemos que, “el impulso de una fuerza

resultante se define como el producto de esta fuerza y el intervalo

de tiempo”, matemáticamente se tiene

∫ ∑

∫

∫ ∑

PARTE b)

De la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento

∫ ∑

Dado que parte del reposo , para , y

∫

COMPROBACIÓN

PARTE a)

∫ ∑

( μ )

∫ ∑

[ ]

∫ ∑

121.7N.s

PARTE b)

( μ )

( )

𝑀 𝑘𝑔

μ

μ

𝑁

𝑠

𝑚 𝑠

θ

DINAMICA

TEMA: CANTIDAD DE MOVIMIENTO




EJERCICIO 04 (SIN

VARIABLES)

Un joven que pesa “a” lb está

sentado en un carro de “b” lb y

quiere simular una propulsión

de reacción lanzando ladrillos

desde el carro. Ignore las

fuerzas horizontales sobre las

ruedas. Si tiene “n”ladrillos de

“c”lb cada uno y los lanza con

una velocidad horizontal de

“d” pie/s respecto al carro,

determine la velocidad

alcanzada

(a) si lanza uno a la vez;

(b) si los lanza juntos.

DESARROLLO

PARTE a)

Para el primer ladrillo

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

Para el segundo ladrillo:

[ ] [ ]

[

] (

) [

]

[ ] (

) [ ]

[ ] (

)

[ ]

Para el tercer ladrillo:

[ ] [ ]

[

] [

]

[

]

[ ] [

]

[ ]

[ ] [

]

[ ]

Para el cuarto ladrillo:

[ ] [ ]

[

] [

]

[

]

[ ] [

] [ ]

[ ] [

]

[ ]

Para el “n” ladrillo:

[ ]

∑

PARTE b)

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

EJERCICIO 04 (SIN

VARIABLES)

Un joven que pesa 80 lb está sentado en un carro de 20 lb y quiere simular una propulsión de reacción lanzando ladrillos desde el carro. Ignore las fuerzas horizontales sobre las ruedas. Si tiene tres ladrillos de 10 lb cada uno y los lanza con una velocidad horizontal de 10 pie/s respecto al carro, determine la velocidad alcanzada (a) si lanza uno a la vez; (b) si los lanza juntos.

DESARROLLO

PARTE a) Para el primer ladrillo

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

Para el segundo ladrillo:

[ ] [ ]

[

] [

]

[ ] [ ]

[ ] (

) [ ]

Para el tercer ladrillo:

[ ] [ ]

[

] [ ] [

]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

PARTE b)

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

COMPARACIÓN

Para:

PARTE a)

∑

∑

PARTE b)

DINAMICA

GRUPO N 04

VIBRACIONES

DINAMICA TEMA: VIBRACIONES




EJERCIO 01 (CON

VARIABLES)

Determine la frecuencia natural de vibración de la masa respecto a su posición de equilibrio.

DESARROLLO

DCL

Ahora hacemos sumatoria de fuerzas en x’ igual a cero ya que el

sistema esta estático en su posición de equilibrio hallamos la

frecuencia natural circular.

∑

√

De esta relación también podemos despejar la elongación del

resorte “x”

Ahora se puede determinar fácilmente la frecuencia natural dado

que es el numero de ciclos que tiene lugar por segundo es

evidente que se relaciona con la frecuencia natural circular

mediante la siguiente formula

√

√

EJERCIO 01 (SIN

VARIABLES)

Determine la frecuencia natural de vibración de la masa respecto a su posición de equilibrio si la masa es 4kg, Ө=20º y la constante del resorte es 64N/m.

DESARROLLO

Sabemos que la frecuencia natural “w” circular es

√

Remplazando datos tenemos

√

Ahora que tenemos w podemos calcular la frecuencia f

COMPROBACIÓN:

Para comprobar remplazamos los datos en la solución del problema con variables

Para

Ahora calculamos la frecuencia

√

Remplazando datos

√





EJERCIO 02 (CON

VARIABLES)

Para determinar los momentos de

inercia de un astronauta, se une una

plataforma horizontal a una barra

vertical de acero. El momento de

inercia de la plataforma respecto a

L es de akg-m-, y la frecuencia

natural de las oscilaciones

torsionales de la plataforma

descargada es de b Hz. Con el

astronauta en la plataforma, la

frecuencia natural de las

oscilaciones torsionales es de c Hz.

¿Cuál es el momento de inercia del

astronauta respecto a L?

DESARROLLO

La frecuencia natural de la plataforma de carga es:

√

Despejamos k:

( )

⁄

La frecuencia natural de la plataforma cargada es:

√

(

)

(

)

El momento de inercia del astronauta es:

EJERCIO 02 (SIN

VARIABLES)

Para determinar los momentos de

inercia de un astronauta, se une una

plataforma horizontal a una barra

vertical de acero. El momento de

inercia de la plataforma respecto a

L es de 7.5 kg-m-, y la frecuencia

natural de las oscilaciones

torsionales de la plataforma

descargada es de 1 Hz. Con el

astronauta en la plataforma, la


oscilaciones torsionales es de 0.520

Hz. ¿Cuál es el momento de inercia

del astronauta respecto a L?

DESARROLLO

La frecuencia natural de la plataforma de carga es:

√

Despejamos k:

( )

⁄

La frecuencia natural de la plataforma cargada es:

√

(

)

(

)


COMPROBACIÓN:

Para los valores de :

a=7.5

b=1

c=0.520


DINAMICA

TEMA: VIBRACIONES




EJERCIO 03 (CON

VARIABLES)

El péndulo mostrado consiste en un

disco homogéneo de M en kg,

unido a una barra esbelta de m en

kg. ¿Cuál es la frecuencia natural

de las pequeñas vibraciones del

péndulo?

DESARROLLO

Podemos escribir la energía cinética de la barra y del disco

[(

) (

)]

Donde:

m=masa de la varilla

M=masa del disco

L=longitud de la barra

R=radio de la esfera

Ahora calculamos la energía potencial de la barra y la esfera

Ahora si sumamos la energía cinética y potencial será

constante(por ley de conservación de la energía)

[(

)

]

[

]

Si derivamos la ecuación anterior respecto al tiempo tenemos

[[(

) (

)]

[ ]

]

Dándole la forma de la ecuación general

[

[ ]

[(

) (

)]

]

Por tratarse de oscilaciones pequeñas , así hallamos la

frecuencia natural circular

√[ ]

[(

) (

)]

Ahora para la frecuencia aplicamos la relación entre la frecuencia

natural circular (w) y la frecuencia natural f

√

[(

) (

)]

[ ]

EJERCIO 03 (SIN

VARIABLES)

El péndulo mostrado consiste en

un disco homogéneo de 1 kg

unido a una barra esbelta de 0.2

kg. ¿Cuál es la frecuencia natural

de las pequeñas vibraciones del

péndulo?

DESARROLLO

Podemos escribir la energía cinética de la barra y del disco

[(

)

]

Ahora calculamos la energía potencial de la barra y la esfera

Si derivamos la ecuación anterior respecto al tiempo tenemos

[(

)

]

√

COMPROBACIÓN:

√

[( ) (

)]

[ ]

√

[( ) (

)]

[

]

Donde:

m=0.2kg

M=1kg

L=0.06m

R=0.05m

g=9.81m/s2





EJERCIO 04 (CON

VARIABLES)

El radio del disco mostrado es

y su momento de

inercia es .

Y . El cable no

se desliza respecto al disco. La

coordenada x mide el

desplazamiento de la masa respecto

a la posición en que el resorte no

está estirado.

¿cuales son el periodo y la


vibraciones verticales de la masa

respecto a su posición de

equilibrio?

DESARROLLO

√

√

√

√

EJERCIO 04 (SIN

VARIABLES)

El radio del disco mostrado es

y su momento de

inercia es .

Y . El cable no

se desliza respecto al disco. La

coordenada x mide el

desplazamiento de la masa respecto

a la posición en que el resorte no

está estirado.

¿Cuales son el periodo y la


vibraciones verticales de la masa

respecto a su posición de

equilibrio?

DESARROLLO

√

√

COMPROBACIÓN:

N/m

REEMPLAZAMOS:

√

√

√

√

√

√

√

DINAMICA

TEMA: VIBRACIONES




EJERCIO 05 (CON

VARIABLES)

La plataforma P de kg mostrada

descansa sobre cuatro rodillos.

Éstos se pueden representar como

cilindros homogéneos de kg

con r mm de radio; k=bN/m. ¿Cuál

es la frecuencia natural de las

vibraciones horizontales de la

plataforma respecto a su posición

de equilibrio?

DESARROLLO

La energía cinética es la suma de la energía cinética de la

plataforma P y de los cilindros homogéneos.

(

)

(

)

(

)

La energía potencial es la energía almacenada en el resorte:

Sabemos que:

y

Dado que es sistema es conservativo, T+V=const. Sustituimos en

la relación de la energía cinética y se reduce:

(

) (

) (

)

(

)

Derivamos con respecto al tiempo:

(

) [(

)

{(

) (

) }]

(

) (

) [(

) (

) ]

(

) [(

)(

) ]

Hay dos posibles soluciones:

(

) (

)(

)

(

) (

)

Dividimos entre (

):

(

)

( )

(

)

Pero R=r mm=0.001(r)m

(

)

La primera puede ser ignorada, a partir de la cual la ecuación del

movimiento es:

√

√

Para un cilindro homogéneo:

Entonces:

√

√

Simplificamos y :

√

√

⁄

La frecuencia es:

√

EJERCIO 05 (SIN

VARIABLES)

La plataforma P de 22kg mostrada

descansa sobre cuatro rodillos.

Éstos se pueden representar como

cilindros homogéneos de 1 kg con

30 mm de radio; k=900N/m. ¿Cuál

es la frecuencia natural de las

vibraciones horizontales de la

plataforma respecto a su posición

de equilibrio?

DESARROLLO

La energía cinética es la suma de la energía cinética de la

plataforma P y de los cilindros homogéneos. Llamaremos por

referencia a la plataforma con el subíndice P y a los rodillos con el

subíndice B:

(

)

(

)

(

)

La energía potencial es la energía almacenada en el resorte:

Sabemos que:

y

Dado que es sistema es conservativo, T+V=const. Sustituimos en

la relación de la energía cinética y se reduce:

(

) (

) (

)

(

)

Derivamos con respecto al tiempo:

(

) [(

)

{(

) (

) }]

(

) (

) [(

) (

) ]

(

) [(

)(

) ]

Hay dos posibles soluciones:

(

) (

)(

)

(

) (

)

Dividimos entre (

):

(

)

( )

(

)

Pero R=0.03m

(

)

(

)

La primera puede ser ignorada, a partir de la cual la ecuación del

movimiento es:

√

Para un cilindro homogéneo:

Entonces:

√

√

⁄

La frecuencia es:

COMPROBACIÓN:

Para los valores de :

=22

=1

b=900

La frecuencia es:

√

√

√

DINAMICA

TEMA: VIBRACIONES NOTA :




EJERCIO 06 (CON

VARIABLES)

Los momentos de inercia de los

engranes A y B mostrados son lA

elB El engrane Aestá conectado a

un resorte torsional con k constante.

¿Cuál es la frecuencia natural de las

pequeñas vibraciones angulares de

los engranes?

DESARROLLO

El sistema es conservador, denotemos las velocidades de rotacion

por respectivamente. La energía cinetica de los engranajes

es:

Y la energia potencial de torsion es:

Pero:

(

)

Entonces:

( (

)

)

Sabemos que:

Y tomamos la derivada con respecto a tiempo:

(

) ( (

) )

(

) ( (

) )

Ignorando la posible solución

Entonces:

Donde:

√

√

( (

)

)

La frecuencia es:

(

)√

( (

)

)

EJERCIO 06 (SIN

VARIABLES)


engranes A y B mostrados son lA=

0.025 kg.m2, lB= 0.100 kg-m2, El

engrane A está conectado a un

resorte torsional con k = 10N-m/rad

constante. ¿Cuál es la frecuencia

natural de las pequeñas vibraciones

angulares de los engranes?

DESARROLLO

El sistema es conservador, denotemos las velocidades de rotacion

por respectivamente. La energía cinetica de los engranajes

es:

Y la energia potencial de torsion es:

Pero:

(

)

Entonces:

( (

)

)

( (

)

)

Sabemos que:

Y tomamos la derivada con respecto a tiempo:

(

) ( (

) )

Ignorando la posible solución

Entonces:

Donde:

√

La frecuencia es:

COMPROBACIÓN:

Para los valores de

(

)√

( (

)

)

(

)√

( ( )

)

(

)√

( ( )

)

DINAMICA





EJERCIO 07 (CON

VARIABLES)


engranes A y B mostrados son

e el

engrane A esta conectado a un

resorte torsional con

En , el resorte torsional no

esta estirado y el engrane B tiene

velocidad angular antihoraria de

Determine la posicion

angular antihoraria del engrane B

respecto a su posicion de equilibrio

en funcion del tiempo.

DESARROLLO

( (

)

) ( (

)

)

√

( ( )

)

(

) (

)

( )

√

( ( )

)

( )

√

( ( )

)

(

√

( ( )

))

EJERCIO 07 (SIN

VARIABLES)


engranes A y B mostrados son

e el engrane A esta

conectado a un resorte torsional con

En , el resorte torsional no

esta estirado y el engrane B tiene


Determine la posicion

angular antihoraria del engrane B

respecto a su posicion de equilibrio

en funcion del tiempo.

DESARROLLO

(

)

√

(

)

COMPROBACIÓN:

( (

)

) ( (

)

)

√

( ( )

)

√

( )

√

( ( )

)

(

√

( ( )

))

DINAMICA





EJERCIO 08 (CON

VARIABLES)

La constante de amortiguamiento

del oscilador mostrado es eN-s/ m.

¿Cuáles son el periodo y la

frecuencia natural del sistema?

Compárelos con el periodo y la

frecuencia natural del sistema no

amortiguado.

Donde la constante del resorte es

kN/m,

DESARROLLO

Nos piden su frecuencia natural, dado que tiene un amortiguador

hallaremos primero las frecuencias naturales circulares del

resorte y amortiguador, para luego hallar obviamente la

frecuencia natural.

DLC

Frecuencia natural circular del resorte y frecuencia de

amortiguamiento

∑

Donde √

Hallamos la frecuencia natural circular

√

De manera similar para el amortiguador o frecuencia

amortiguada

Como podemos ver , por lo que el movimiento es

subcritico o sobre amortiguado

k

√

√

Ahora el periodo

√

Si comparamos con el sistema sin amortiguador tenemos

La frecuencia en el sistema sin amortiguador seria

√

Y el periodo

√

EJERCIO 08 (SIN

VARIABLES)

La constante de amortiguamiento

del oscilador mostrado es e = 20 N-

s/ m. ¿Cuáles son el periodo y la

frecuencia natural del sistema?

Compárelos con el periodo y la

frecuencia natural del sistema no

amortiguado.

DESARROLLO

Nos piden su frecuencia natural, dado que tiene un amortiguador

hallaremos primero las frecuencias naturales circulares del resorte

y amortiguador, para luego hallar obviamente la frecuencia

natural.

DLC

Frecuencia natural circular del resorte y frecuencia de

amortiguamiento

∑

Donde √

Hallamos la frecuencia natural circular

√

√

De manera similar para el amortiguador o frecuencia amortiguada

Como podemos ver , por lo que el movimiento es subcritico

o sobre amortiguado

√

√ √ √

Ahora calculamos el periodo



Y el periodo

COMPROBACIÓN:

Para:

Las frecuencias con amortiguador

√

√


√

√

Ahora el periodo con amortiguador

√

√


Y el periodo sin amortiguador

√

√

𝑒

𝑘 𝑁 𝑚

𝑀 𝑘𝑔

DINAMICA





EJERCIO 09 (CON

VARIABLES)

En la Fig. la barra esbelta homogénea tiene L pies de longitud y pesa w lb. La resistencia aerodinámica y la fricción en el soporte ejercen un momento resistente sobre la barra de magnitudy( ) pie-lb, donde ( es la velocidad angular de la barra en s. (a)¿Cuáles son el periodo y la frecuencia natural de las pequeñas vibraciones de la barra? (b)¿Cuánto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibración disminuya a la mitad de su valor inicial?

DESARROLLO

PARTE a)

∑ .

De la ecuación anterior la ecuación (lineal izada) de movimiento es

Esto es de la forma de la ecuación de un sistema con amortiguamiento donde

√

Y la frecuencia del amortiguamiento es

Suponemos que , por lo que el movimiento es

subcritico o sobre amortiguado

√

√

Ahora la frecuencia y el periodo

√

√

PARTE b)

Nos piden la amplitud en la mitad de su valor inicial, dado que la

amplitud es

proporcional a hacemos

EJERCIO 09 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. 10.42 la barra esbelta

homogénea tiene 4 pies de longitud

y pesa 10 lb. La resistencia

aerodinámica y la fricción en el

soporte ejercen un momento

resistente sobre la barra de

magnitud 0.5 ( ) pie-lb,

donde ( es la velocidad

angular de la barra en s.

(a)¿Cuáles son el periodo y la

frecuencia natural de las pequeñas

vibraciones de la barra?

(b)¿Cuánto tiempo pasa antes de

que la amplitud de la vibración

disminuya a la mitad de su valor

inicial?

DESARROLLO

PARTE a)

∑ .

La ecuación (lineal izada) de movimiento es

Esto es de la forma de la ecuación de un sistema con

amortiguamiento donde

√

√

Y la frecuencia del amortiguamiento es

Como podemos ver , por lo que el movimiento es subcritico

o sobre amortiguado

√

√

Con los datos anteriormente obtenidos ya podemos hallar

fácilmente la frecuencia natural y el periodo tal como nos piden en

el ejercicio

PARTE b)

La amplitud en la mitad de su valor inicial, dado que Como la

amplitud es

proporcional a

COMPROBACIÓN:

PARTE a)

Para la frecuencia natural

√

√

(

)

Para el periodo

√

√

(

)

PARTE b)

El tiempo que pasa antes de que la amplitud de la vibración disminuya a la mitad de su valor

inicial

DINAMICA





EJERCIO 10 (CON

VARIABLES)

El disco homogéneo mostrado pesa

“P” lb y su radio es R pie. Rueda

sobre la superficie plana. k = “a”

lb/pie y c = “h” lb-s/pie. Determine

la frecuencia natural de las

pequeñas vibraciones del disco

respecto a su posición de equilibrio.

DESARROLLO

Elegimos un sistema de coordenadas con el origen en el centro del

disco. es el ángulo de rotación.

Las fuerzas horizontales que actúan en el disco son

∑

∑

Por la segunda ley de newton:

∑

El momento alrededor del centro de masa del disco es:

∑

Por la ecuación del movimiento angular:

Donde el momento de inercia es:

Entonces:

Pero:

A partir de la ecuación del movimiento:

(

)

La ecuación general es:

Comparando:

(

)

(

)

La amortiguación es sub-critica, por lo tanto la frecuencia es:

√

√(

) (

)

EJERCIO 10 (SIN

VARIABLES)


100 lb y su radio es R = 1 pie.

Rueda sobre la superficie plana. k =

100 lb/pie y c = 3 lb-s/pie.

Determine la frecuencia natural de

las pequeñas vibraciones del disco

respecto a su posición de equilibrio.

DESARROLLO


disco. es el ángulo de rotación.

Las fuerzas horizontales que actúan en el disco son

∑

∑


(

)

∑

El momento alrededor del centro de masa del disco es:

∑

Por la ecuación del movimiento angular:

Donde el momento de inercia es:

⁄

Pero:

Entonces:

A partir de la ecuación del movimiento:

La ecuación general es:

Comparando:

La amortiguación es sub-critica, por lo tanto la frecuencia es:

√

COMPROBACIÓN:

P=100 lb

R=1 pie

a=100 lb/pie

h=3 lb.s/pie

g=32.2 pie/s2

√(

) (

)

DINAMICA





EJERCIO 11 (CON

VARIABLES)


y su radio es . Rueda

obre la superficie plana y . El

resorte no está estirado en t=0 y el

disco tiene una velocidad angular

horaria de ¿cuál es la

velocidad angular del disco cuando

t=ms?

DESARROLLO

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Donde

El sistema es un amortiguamiento subcritico:

Donde:

√

⁄

⁄

(

)

.

EJERCIO 11 (SIN

VARIABLES)


y su radio es .

Rueda obre la superficie plana

y .

El resorte no está estirado en t=0 y

el disco tiene una velocidad angular

horaria de ¿cuál es la

velocidad angular del disco cuando

t=3s?

DESARROLLO

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Donde

El sistema es un amortiguamiento subcritico:

Donde:

√

⁄

⁄

(

)

.

COMPROBACIÓN:

.

.

t=ms= 3s

Donde

Donde:

√

⁄

⁄

(

)

.

DINAMICA




AUTOR: BEDFORD FOWLER PAGINA Nº: 10.57 PROBLEMA Nº: 518

EJERCIO 12 (CON

VARIABLES)

En la figura, el oscilador resorte-

masa amortiguado está inicialmente

en reposo con el resorte no estirado.

En t=0 se aplica una fuerza

constante de P N a la masa.

a) ¿Cuál es la solución

(particular) de estado

permanente?

b) Determine la posición de la

masa en función del tiempo

DESARROLLO

Escribiendo la segunda ley de Newton para la masa, la ecuación

del movimiento es:

Que podemos escribir como:

….. (1)

a) Buscamos una solución particular de la forma , que es

constante. Lo sustituimos en la ecuación (1):

b) Comparamos la ecuación (1) con la ecuación del movimiento

Obtenemos:

⁄

√

⁄

El sistema estáAmortiguado subcrítico yla solución

homogéneaestá dada porla ecuación:

….. (2)

Para resolver, hallamos con la siguiente ecuación:

√ √(√

)

(

)

√

√

⁄

La solución general es:

( √

√

)

Derivamos en función del tiempo:

(

√

√

)

(√

√

√

√

)

Para t=0, x=0, y ⁄

√

√

√


(

√

√

√

)

EJERCIO 12 (SIN

VARIABLES)

En la figura, el oscilador resorte-

masa amortiguado está inicialmente

en reposo con el resorte no estirado.

En t=0 se aplica una fuerza

constante de 1.2 N a la masa.

a) ¿Cuál es la solución (particular)

de estado permanente?

b) Determine la posición de la

masa en función del tiempo

DESARROLLO

Escribiendo la segunda ley de Newton para la masa, la ecuación

del movimiento es:

Que podemos escribir como:

….. (1)

a) Buscamos una solución particular de la forma , que es

constante. Lo sustituimos en la ecuación (1):

b) Comparamos la ecuación (1) con la ecuación del movimiento

Obtenemos:

⁄

√ ⁄

El sistema está Amortiguado subcrítico y la solución homogénea

está dada por la ecuación:

….. (2)

Para resolver, hallamos con la siguiente ecuación:

√ √ ⁄ La solución general es:

Derivamos en función del tiempo:

Para t=0, x=0, y ⁄ → 0=B+1, y 0=-B + 1.73A. Entonces

los valores son: A=-0.57735 y B=-0.5.


COMPROBACIÓN:

Para los valores de:

P=12

a=12

b=6

m=3

a) ¿Cuál es la solución (particular) de estado permanente?

b) Determine la posición de la masa en función del tiempo

(

√

√

√

)

(

√

√

√

)

(

√

√

√

)

(

√

√

√

)

DINAMICA





EJERCIO 13 (CON

VARIABLES)

Un cilindro de “m” kg está

montado sobre una barra en un

túnel de viento con su eje

transversal a la dirección del flujo.

Sin flujo, una fuerza vertical de “b”

N aplicada al cilindro lo deflexiona

“x”mm. Con flujo de aire en el

túnel, los vórtices someten al

cilindro a fuerzas laterales

alternantes. La velocidad del aire es

de “V” m/s, la distancia entre

vórtices es de “a” mm y la

magnitud de las fuerzas laterales es

de “c” N. Si las fuerzas laterales se

modelan con la función oscilatoria

F(t) = “c”senwotN, ¿cuál es la

amplitud del movimiento lateral de

estado permanente del cilindro?

DESARROLLO

En intervalo de tiempo entre la aparición de los vórtices es:

El periodo sinusoidal seria 2t

(

)

Frecuencia:

La frecuencia circular es:

(

)

La constante del resorte es:

La frecuencia natural del cilindro es:

√

√

De lo cual:

(

√

)

√

De la ecuación:

De la ecuación, la amplitud es:

(√ )

(

)

EJERCIO 13 (SIN

VARIABLES)

Un cilindro de 1.5 kg está montado

sobre una barra en un túnel de

viento con su eje transversal a la

dirección delflujo. Sin flujo, una

fuerza vertical de 10N aplicada al

cilindro lo deflexiona 0.15 mm.Con

flujo de aire en el túnel, los vórtices

someten al cilindro a fuerzas

laterales alternantes. La velocidad

del aire es de 5 mis, la distancia

entre vórtices es de 80 mm y la

magnitud de las fuerzas laterales es

de 1 N. Si las fuerzas laterales se

modelan con la función oscilatoria

F(t) = (1.0) senwotN, ¿cuál es la

amplitud del movimiento lateral de

estado permanente del cilindro?

DESARROLLO

En intervalo de tiempo entre la aparición de los vórtices es:

El periodo sinusoidal seria 2t

Frecuencia:

La frecuencia circular es:

La constante del resorte es:

La frecuencia natural del cilindro es:

√

√

De lo cual:

De la ecuación:

De la ecuación, la amplitud es:

COMPROBACIÓN:

[ ]

DINAMICA





EJERCIO 14 (CON

VARIABLES)

La masa de la Figura es de m kg. k

= k N/m y c= c N-s/m. La base está

sometida a un desplazamiento

oscilatorio de frecuencia circular

= rad/s. La amplitud de estado

permanente del desplazamiento de

la masa respecto a la base se mide y

se obtiene el valor de amm. ¿Cuál

es la amplitud del desplazamiento

de la base?

DESARROLLO

El desplazamiento es igual:

La aceleración de la masa respecto a la base es ⁄ por lo

que su aceleración respecto al marco de referencia inercial es

⁄ ⁄ .La segunda ley de Newton para la masa

es:

(

)

Podemos escribir la ecuación como:

Donde:

El desplazamiento de la masa respecto a la base es:

√

√(

)

( )

√(( )

) (

)

√

√

√

√

EJERCIO 14 (SIN

VARIABLES)

La masa de la Figura es de 100 kg.

k = 4 N/m y c= 24 N-s/m. La base

está sometida a un desplazamiento

oscilatorio de frecuencia circular

=0.2 rad/s. La amplitud de estado

permanente del desplazamiento de

la masa respecto a la base se mide y

se obtiene el valor de 200 mm.

¿Cuál es la amplitud del

desplazamiento de la base?

DESARROLLO

El desplazamiento es igual:

La aceleración de la masa respecto a la base es ⁄ por lo

que su aceleración respecto al marco de referencia inercial es

⁄ ⁄ .La segunda ley de Newton para la masa

es:

(

)

Podemos escribir la ecuación como:

Donde:

⁄

⁄

El desplazamiento de la masa respecto a la base es:

√

√

√

COMPROBACIÓN:

c=24

k=4

m=100

=0.2

a=200

√

√

√

√

DINAMICA





EJERCIO 15 (CON

VARIABLES)

La coordenada del sismógrafo

mostrado mide el movimiento local

horizontal del suelo. La coordenada

Ximide la posición de la masa

respecto al marco del sismógrafo.

El resorte no está estirado cuando

x=0. La masa “m” kg, la constante

del resorte es “k” N/m y c=pN.s/m.

Suponga que el sismógrafo está

inicialmente en reposo y que en t=0

se somete a un movimiento

oscilatorio del terreno

Xi=bsenhtmm. ¿Cuál es la amplitud

de la respuesta de estado

permanente de la masa?

DESARROLLO

Donde:

La amplitud es:

√

√( )

( )

EJERCIO 15 (SIN

VARIABLES)

La coordenada del sismógrafo

mostrado mide el movimiento local

horizontal del suelo. La coordenada

Ximide la posición de la masa

respecto al marco del sismógrafo.

El resorte no está estirado cuando

x=0. La masa 1 kg, k=10 N/m y

c=2 N.s/m. Suponga que el

sismógrafo está inicialmente en

reposo y que en t=0 se somete a un

movimiento oscilatorio del terreno

Xi=10 sen2t mm. ¿Cuál es la

amplitud de la respuesta de estado

permanente de la masa?

DESARROLLO

Donde:

La amplitud es:

√

√

COMPROBACIÓN:

√(

)

( )

√( )

[

]

DINAMICA





EJERCIO 16 (CON

VARIABLES)

La frecuencia del oscilador resorte-

masa mostrado es de m.00Hz. El

oscialador se introduce en un barril

de aceite y su frecuencia es

entonces de n. ¿ cuál es el

decremento logaritmico de las

vibraciones de la masa en tal

condicion

DESARROLLO

De la ecuación:

√

Despejando

d=√

Por lo tanto el decremento logarítmico será:

√

EJERCIO 16 (SIN

VARIABLES)

La frecuencia del oscilador resorte-

masa mostrado es de 4.00Hz. El

oscialador se introduce en un barril

de aceite y su frecuencia es

entonces de 3.80Hz. ¿ cuál es el

decremento logaritmico de las

vibraciones de la masa en tal

condicion?

DESARROLLO

De la ecuación:

√

Despejando

d=7.85 rad/s


COMPROBACIÓN:

De la ecuación:

√

Despejando

d=7.85 rad/s


DINAMICA

GRUPO N 04

CINEMATICA -SOLIDO

DINAMICA TEMA: CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO




EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

En la Fig. P6.2, el peso A parte del

reposo en t = O y cae con una

aceleración constante de am/ s2,

ocasionando que el disco gire.

(a) ¿Cuál es la aceleración angular

del disco?

(b) ¿Cuántas revoluciones ha girado

el disco en t segundos?

DESARROLLO

Parte a)

El disco esta sometido a rotación respecto a un eje fijo que pasa

por su centro. Por lo que el disco tiene un movimiento circular

La aceleración tangencial del disco es la misma que la

aceleración de la cuerda dado que está enrollada al

disco y es tangente a éste. Por tanto la aceleración angular del

disco es:

Parte b)

El objetivo es hallar el ángulo que a girado el disco desde t=0s

hasta t segundos

Primero hallamos la velocidad “w” angular del disco

La velocidad angular del disco se determina a partir de

, ya que esta ecuación relaciona α, t y w. integrando, con

la condición que nos dan en el problema (parte del reposo), α=0

en t=0, obtenemos.

∫

∫

Usando este resultado, la posición angular puede hallarse con

Ya que la ecuación relaciona , w y t.

Integrando, con la condición inicial que el problema nos da de

forma implícita =0 en t=0

∫ ∫

Luego el número de revoluciones que a dado el disco en t

segundos es

EJERCICIO 01 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. P6.2, el peso A parte del

reposo en t = O y cae con una

aceleración constante de 2 m/ s2,

ocasionando que el disco gire.

(a) ¿Cuál es la aceleración angular

del disco?

(b) ¿Cuántas revoluciones ha girado

el disco en t 1 s?

DESARROLLO

Parte a)

El disco esta sometido a rotación respecto a un eje fijo que pasa

por su centro. Por lo que el disco tiene un movimiento circular

La aceleración tangencial del disco es la misma que la

aceleración de la cuerda dado que está enrollada al

disco y es tangente a éste. Por tanto la aceleración angular del

disco es:

Parte b)

El objetivo es hallar el ángulo que a girado el disco desde t=0s

hasta t=1s, para luego calcular las revoluciones en t=1s

Primero hallamos la velocidad angular del disco “w”

La velocidad angular del disco se determina a partir de , ya que esta ecuación relaciona α, t y w. integrando, con

la condición que nos dan en el problema α=0 en t=0, obtenemos.

∫

∫

Usando este resultado, la posición angular puede hallarse con

Ya que la ecuación relaciona , w y t.

Integrando, con la condición inicial que el problema nos da de

forma implícita =0 en t=0

∫ ∫

Luego el numero de revoluciones que a dado el disco en t=1s es

COMPROBACIÓN:

PARA LOS VALORES DE:

PARTE A)

PARTE B)

DINAMICA

TEMA: CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO NOTA :




EJERCICIO 02 (CON

VARIABLES)

En la figura, la rueda

catalina de de la

bicicleta gira a .

¿cuál es la velocidad

angular del engrane de

Cmm?´

DESARROLLO

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

En la figura, la rueda catalina de

120 de la bicicleta gira a

. ¿cuál es la velocidad

angular del engrane de 45mm?

DESARROLLO

COMPROBACIÓN:

DINAMICA





EJERCICIO 03 (CON

VARIABLES)

El disco mostrado gira con

velocidad angular constante

antihoraria de w rad/s. ¿Cuál es la

velocidad y aceleración del punto A

con respecto al sistema coordenado

que se muestra?

DESARROLLO

HALLANDO LA VELOCIDAD

Hallamos la magnitud del radio vector del punto A.

√ √

Su posición angular inicial es.

(

)

Ahora hallamos la velocidad del punto A, usando la relación entre

la velocidad angular y la velocidad tangencial del disco dado a que

la velocidad angular w rad/s (constante)

( √ )

Convirtiendo a pies/s tenemos que la velocidad es

( √ )

Ahora que ya tenemos la magnitud de la velocidad del punto A

pasamos a hallar sus componentes de ésta en los ejes x e y.

Por dato sabemos que el punto A se mueve en sentido antihorario

por lo que su signo lo consideraremos como negativo.

( √

√

)

HALLANDO LA ACELERACION

Para calcular la aceleración usamos , dado que la

velocidad es constante

Convirtiendo a pies/s

La aceleración expresada vectorialmente en sus componentes es

(

)

EJERCICIO 03 (SIN

VARIABLES)

El disco mostrado gira con

velocidad angular constante

antihoraria de 10 rad/s. ¿Cuál es la

velocidad y aceleración del punto A

con respecto al sistema coordenado

que se muestra?

DESARROLLO

HALLANDO LA VELOCIDAD

Hallamos la magnitud del radio vector del punto A.

√

Su posición angular inicial es.

(

)

Ahora hallamos la velocidad del punto A, usando la relación

entre la velocidad angular y la velocidad tangencial del disco

dado a que la velocidad angular w=10rad/s (constante)

Convirtiendo a pies/s tenemos que la velocidad es

Ahora que ya tenemos la magnitud de la velocidad del punto A

pasamos a hallar sus componentes de ésta en los ejes x e y.

Por dato sabemos que el punto A se mueve en sentido

antihorario por lo que su signo lo consideraremos como

negativo.

HALLANDO LA ACELERACION

Para calcular la aceleración usamos , dado que la

velocidad es constante

Convirtiendo a pies/s

La aceleración expresada vectorialmente en sus componentes es

COMPROBACIÓN:


PARA LA VELOCIDAD

( √

√

)

Remplazamos

( √

√

)

PARA LA ACELERACIÓN

( √

√

)

Remplazando

( √

√

)

DINAMICA





EJERCICIO 04 (CON

VARIABLES)

La placa rectangular mostrada

oscila con brazos de igual longitud.

Determine el vector de velocidad

angular de (a) la placa rectangular;

(b) la barra AB.

DESARROLLO

Denotamos las esquinas superiores de la placa por B y B’, y

la distancia entre estos puntos (la longitud de la placa) por L.

Denotamos los puntos de suspensión por A y A’, la distancia

que los separa por L’. Por inspección, puesto que los brazos

son de igual longitud, y puesto que L = L’, el figura AA'B´B

es un paralelogramo. Por definición, los lados opuestos de un

paralelogramo permanecen paralelas, y desde el lado fijo AA

no gira, entonces BB no puede girar, de modo que la placa no

gira y:

De forma parecida, por inspección la velocidad angular de la

barra AB es:

⁄

Por la regla de la mano derecha, la dirección esta en el eje z

(fuera de la hoja del papel)

EJERCICIO 04 (SIN

VARIABLES)

La placa rectangular mostrada

oscila con brazos de igual longitud.

Determine el vector de velocidad

angular de (a) la placa rectangular;

(b) la barra AB.

DESARROLLO

Denotamos las esquinas superiores de la placa por B y B’, y

la distancia entre estos puntos (la longitud de la placa) por L.

Denotamos los puntos de suspensión por A y A’, la distancia

que los separa por L’. Por inspección, puesto que los brazos

son de igual longitud, y puesto que L = L’, el figura AA'B´B

es un paralelogramo. Por definición, los lados opuestos de un

paralelogramo permanecen paralelas, y desde el lado fijo AA

no gira, entonces BB no puede girar, de modo que la placa no

gira y:

De forma parecida, por inspección la velocidad angular de la

barra AB es:

⁄

Por la regla de la mano derecha, la dirección esta en el eje z

(fuera de la hoja del papel)

COMPROBACIÓN:


De forma parecida, por inspección la velocidad angular de la barra AB es:

⁄

⁄

DINAMICA





EJERCICIO 05 (CON

VARIABLES)

En la Figura el disco gira respecto

al eje z a “m” rad/s en dirección

horaria. Determine las velocidades

de los puntos A, B y C.

DESARROLLO

La velocidad de A viene dada por:

⁄

( ) (

)

La velocidad de B viene dada por:

⁄

|

|

|

|

La velocidad de C viene dada por:

⁄

|

|

|

|

EJERCICIO 05 (SIN

VARIABLES)

En la Figura el disco gira respecto

al eje z a 50 rad/s en dirección

horaria. Determine las velocidades

de los puntos A, B y C.

DESARROLLO

La velocidad de A viene dada por:

⁄

( )

La velocidad de B viene dada por:

⁄

|

|


⁄

|

|

COMPROBACIÓN:


R=100 mm

m=50 rad/s

aº=45º

bº=45º

La velocidad de A:

La velocidad de B:


DINAMICA




AUTOR: BEDFORD FOWLER PAGINA Nº: PROBLEMA Nº:

EJERCICIO 06 (CON

VARIABLES)

El automovil de la figura se mueve

hacia la derecha a y sus

neumaticos tienen de

diametro

1. ¿Cuál es la velocidad angular

de sus neumaticos?

2. ¿Que punto sobre el neumatico

tiene la maxima velocidad

respecto al camino y cual es la

magnitud de esta velocidad?

DESARROLLO

Convertimos a

Desarrollo de 1:

Por lo tanto:

Desarrollo de 2:

El punto de máxima velocidad se

encuentra en la parte superior

EJERCICIO 06 (SIN

VARIABLES)

El automovil de la figura se mueve

hacia la derecha a y sus

neumaticos tienen de

diametro

3. ¿Cuál es la velocidad angular

de sus neumaticos?.

4. ¿Que punto sobre el neumatico

tiene la maxima velocidad

respecto al camino y cual es la

magnitud de esta velocidad?

DESARROLLO

Convertimos a

Desarrollo de 1:

Por lo tanto:

Desarrollo de 2:

El punto de máxima velocidad se encuentra en la parte

superior

COMPROBACIÓN:

SI

Desarrollo de 1:

Por lo tanto:

Desarrollo de 2:

DINAMICA





EJERCICIO 07 (CON

VARIABLES)

El disco mostrado rueda sobre la superficie plana. El punto A se mueve hacia la derecha a v pie/s. (a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del disco? (b)Use la Ec. (6.6) para determinar las velocidades de los puntos B, C y D.

DESARROLLO

Parte a)

Disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana

estacionaria con velocidad angular antihoraria (Fig. 6.21).

Rodar implica que la velocidad del disco en su punto de contacto

B respecto a la superficie es cero. A (el centro del disco).

Respecto a B, el punto A se mueve en una trayectoria circular de

radio R.

En el sistema coordenado que se muestra, la velocidad de A

respecto a C es Como la velocidad de B es cero,

la de A es

⁄

Como dato tenemos que el vector velocidad

angular del disco es

( )

Parte b)

VELOCIDAD DE B

Dado a que el disco circular de radio 2pies que rueda sobre una

superficie plana estacionaria con velocidad angular antihoraria,

al rodar implica que la velocidad del disco en su punto de

contacto B respecto a la superficie es cero

VELOCIDAD EN C

La velocidad del centro del disco está dada en función de su

velocidad angular por , el vector de

velocidad angular del disco es , y el vector de posición de C

respecto al centro es . La velocidad de C es

( )

VELOCIDAD EN D

Hallamos el

( )

( )

( )

EJERCICIO 07 (SIN

VARIABLES)

El disco mostrado rueda sobre la

superficie plana. El punto A se

mueve hacia la derecha a 6 pie/s.

(a) ¿Cuál es el vector de velocidad

angular del disco?

(b)Use la Ec. (6.6) para determinar

las velocidades de los puntos B, C y

D.

DESARROLLO

Parte a)

Disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana

estacionaria con velocidad angular antihoraria (Fig. 6.21).

Rodar implica que la velocidad del disco en su punto de

contacto B respecto a la superficie es cero. A (el centro del

disco). Respecto a B, el punto A se mueve en una trayectoria

circular de radio R =2pies.

En el sistema coordenado que se muestra, la velocidad de A

respecto a C es Como la velocidad de B es cero,

la de A es

⁄

Como dato tenemos que el vector velocidad

angular del disco es

Parte b)

Ecuación 6.6

VELOCIDAD DE B

Dado a que el disco circular de radio 2pies que rueda sobre una

superficie plana estacionaria con velocidad angular antihoraria,

al rodar implica que la velocidad del disco en su punto de

contacto B respecto a la superficie es cero

VELOCIDAD EN C

La velocidad del centro del disco está dada en función de su

velocidad angular por , el vector de

velocidad angular del disco es , y el vector de

posición de C respecto al centro es . La velocidad de

C es

VELOCIDAD EN D

Hallamos el

( )

COMPROBACIÓN:


Parte a)

Parte b)

Velocidad de C

( )

Remplazando

DINAMICA





EJERCICIO 08 (CON

VARIABLES)

La barra mostrada AB gira a

⁄ en dirección horaria.

Determine las velocidades

angulares de las barras BC y CD.

DESARROLLO

La velocidad angular de la barra Ab es ⁄ . El

radio vector de AB es ⁄ . La velocidad en el punto

B es:

⁄ [

]

( )

⁄

El radio vector de BC es ⁄ . La

velocidad en el punto C es:

⁄ [

]

[ ]

[ ]

⁄

El radio vector de DC es ⁄ . La velocidad en

el punto C es:

⁄ [

]

⁄

Igualamos las dos expresiones de la velocidad en C ( ), y

separamos sus componentes:

1.

…..(1)

2.

…(2)

Remplazo (2) en (1):

(

) ⁄

(

) ⁄ .

Remplazo el valor de en (2):

(

)

(

) ⁄

(

) ⁄ .

EJERCICIO 08 (SIN

VARIABLES)

La barra mostrada AB gira a

⁄ en dirección horaria.

Determine las velocidades

angulares de las barras BC y CD.

DESARROLLO


radio vector de AB es ⁄ . La velocidad en el

punto B es:

⁄ [

]

( )

⁄

El radio vector de BC es ⁄

. La velocidad en el punto C es:

⁄ [

]

[ ]

[ ]

⁄

El radio vector de DC es ⁄ . La

velocidad en el punto C es:

⁄ [

]

⁄

Igualamos las dos expresiones de la velocidad en C ( ), y


3.

…..(1)

4.

…(2)


⁄

⁄ .

Remplazo el valor de en (2):

⁄

⁄ .

COMPROBACIÓN:


a=350

b=200

c=300

velocidad angular de la barra BC:

(

) ⁄ .

(

) ⁄ .

⁄ .

velocidad angular de la barra CD:

(

) ⁄ .

(

) ⁄ .

⁄ .





EJERCICIO 09 (CON

VARIABLES)

La barra AB mostrada gira a

⁄ en dirección antihoraria.

Determine la velocidad del punto

C.

DESARROLLO


radio vector de AB es ⁄ . La velocidad en

el punto B es:

⁄ [

]

⁄

El radio vector de B con respecto a C es:

⁄

⁄

La velocidad en el punto C es:

[

]

⁄

El radio vector de C con respecto a D es:

⁄

La velocidad en el punto D es:

[

]

⁄

[ ]

⁄

El radio vector de E con respecto a D es:

⁄


⁄ [

]

⁄

Igualamos las dos expresiones de la velocidad en D ( ), y


Componentes i

…..(1)

Componentes j

…..(2)


(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) ⁄

Remplazo en (1):

( (

)

(

) )

Remplazamos , en la ecuación de la velocidad de C:

⁄

(

(

(

(

)

(

) )

)

)

(

(

(

(

)

(

) )

)

)

⁄

EJERCICIO 09 (SIN

VARIABLES)

La barra AB mostrada gira a

⁄ en dirección antihoraria.

Determine la velocidad del punto

C.

DESARROLLO

La velocidad angular de la barra Ab es ⁄ . El radio vector

de AB es ⁄ . La velocidad en el punto B es:

⁄ [

]

⁄

El radio vector de B con respecto a C es:

⁄

⁄

La velocidad en el punto C es:

[

]

⁄

El radio vector de C con respecto a D es:

⁄


[

]

⁄

[ ]

⁄

El radio vector de E con respecto a D es:

⁄


⁄ [

]

⁄

Igualamos las dos expresiones de la velocidad en D ( ), y separamos

sus componentes:

Componentes i

…..(1)

Componentes j

…..(2)


⁄

Remplazo en (1):

⁄

Remplazamos , en la ecuación de la velocidad de C:

⁄

( ) ( ) ⁄

⁄

⁄

⁄

COMPROBACIÓN:


=4

p=600

q=300

r=200

s=400

t=500

(

(

(

(

)

(

) )

)

)

(

(

(

(

)

(

) )

)

)

⁄

(

(

(

( )

( )

)

)

)

(

(

(

( )

( )

)

)

)

⁄

⁄

DINAMICA





EJERCICIO 10 (CON

VARIABLES)

Los discos mostrados ruedan sobre

la superficie plana. La velocidad

angular del disco izquierdo es de

“w” rad/s en dirección horaria.

¿Cuál es la velocidad angular del

disco derecho?

DESARROLLO

La velocidad del centro del disco izquierdo es:

⁄

|

|

La velocidad del punto de fijación de la barra en el disco izquierdo

es:

⁄

|

|

El vector de posición de la barra que conecta los discos es:

⁄

Donde:

√

Entonces:

⁄ √

La velocidad del punto de fijación en el disco derecho es:

⁄

|

√

|

( √ )

La velocidad del punto R, también podemos expresarlo como:

⁄

|

|

Igualando las ecuaciones:

√

√

√

(

√

)

EJERCICIO 10 (SIN

VARIABLES)

Los discos mostrados ruedan sobre

la superficie plana. La velocidad

angular del disco izquierdo es de 2

rad/s en dirección horaria. ¿Cuál es

la velocidad angular del disco

derecho?

DESARROLLO

La velocidad del centro del disco izquierdo es: ⁄

|

|

La velocidad del punto de fijación de la barra en el disco

izquierdo es: ⁄

|

|

El vector de posición de la barra que conecta los discos

es: ⁄

Donde:

(

)

La velocidad del punto de fijación en el disco derecho es: ⁄

|

|

La velocidad del punto R, también podemos expresarlo

como: ⁄

|

|

Igualando las ecuaciones:

COMPROBACIÓN:

w=2 rad/s

a=1 pie

b=3 pies

c=1 pie

(

√

)

√

DINAMICA





EJERCICIO 11 (CON

VARIABLES)

El disco de la figura rueda sobre la

superficie curva.la barra gira a

en dirección anti horaria.

Determine la velocidad del punto A

DESARROLLO

El radio vector desde el punto de unión de la izquierda de la

barra hacia el centro del disco es

La velocidad de el centro del disco es:

⌊

⌋ ⌊

⌋

El radio vector desde el punto de contacto con el disco y la curva

superficie hacia el centro del disco es ). La

velocidad de el punto de contacto del disco con la superficie

curva es cero, puesto que:

⌊

⌋

Comparando:

⌊

⌋

El radio vector desde el centro del disco al punto

A es La velocidad del punto A es:

⌊

⌋ ⌊

⌋ ⌊

⌋

EJERCICIO 11 (SIN

VARIABLES)

El disco de la figura rueda sobre la

superficie curva.la barra gira a

10rad/s en dirección anti horaria.

Determine la velocidad del punto A

DESARROLLO

El radio vector desde el punto de unión de la izquierda de la

barra hacia el centro del disco es

La velocidad de el centro del disco es:

⌊

⌋

El radio vector desde el punto de contacto con el disco y la curva

superficie hacia el centro del disco es ). La

velocidad de el punto de contacto del disco con la superficie

curva es cero, puesto que:

⌊

⌋

Comparando:

El radio vector desde el centro del disco al punto

A es La velocidad del punto A es:

⌊

⌋

COMPROBACIÓN:

⌊

⌋

⌊

⌋

Comparando:

⌊

⌋ ⌊

⌋ ⌊

⌋

⌊

⌋

DINAMICA





EJERCICIO 12 (CON

VARIABLES)

En la Fig. la rueda dentada grande

está fija. La barra AB tiene una


“wAB” rad/ s. ¿Cuáles son las

velocidades angulares de las barras

CD y DE?

DESARROLLO

El vector distancia AB es:

⁄

La velocidad lineal del punto B es:

⁄

|

|

Pero:

El vector distancia de B a C es:

⁄

La velocidad de C es:

⁄

|

(

)

|

El vector distancia de C a D es:

⁄

El vector distancia de D a E es:

⁄

La velocidad de D es:

⁄

|

|

Pero:

⁄

|

|

Igualando las componentes:

EJERCICIO 12 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. la rueda dentada grande

está fija. La barra AB tiene una

velocidad angular antihoraria de 2

rad/ s. ¿Cuáles son las velocidades

angulares de las barras CD y DE?

DESARROLLO

El vector distancia AB es:

⁄

La velocidad lineal del punto B es:

⁄

|

|

Pero:

El vector distancia de B a C es:

⁄

La velocidad de C es:

⁄

|

|

El vector distancia de C a D es:

⁄

El vector distancia de D a E es:

⁄

La velocidad de D es:

⁄

|

|

Pero:

⁄

|

|

Igualando las componentes:

COMPROBACIÓN:

wAB=2rad/s

a=10 pulg

b=4 pulg

c=16 pulg

d=10 pulg

DINAMICA

GRUPO N 04

INERCIA-SOLIDO

DINAMICA TEMA: INERCIA-SOLIDO



AUTOR: BEDFORD FOWLER PAGINA Nº:9.19 PROBLEMA Nº: 445

EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

¿Cuál es el momento de inercia del

cuerpo rígido del Prob. Nº 9.18

respecto al eje que pasa por el

origen y el punto (a, -b, c) m?

DESARROLLO

Estrategia: Determine las componentes de un vector unitario

paralelo al eje y use la Ec. (9.17).

Las componentes de un vector unitario “e”, que pasa por el

origen y el punto (4, -4, 7) es:

√

√

√

√

Sea la matriz de inercia del prob. 9.18

[

]

La matriz de inercia en el problema 9.18 es

[ ] [

] [

]

Aprovechando de la propiedad de simetría de la matriz de

inercia del prob. 9.18, el nuevo momento de inercia respecto al

eje que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) es

Ahora calculamos el vector unitario “e” en sus tres componentes

como lo requiere la expresión anterior

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

√

√

√

Remplazando en la ecuación de inercia tenemos

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ]

EJERCICIO 01 (SIN

VARIABLES)

¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo rígido del Prob. Nº 9.18 respecto al eje que pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) m?

DESARROLLO

Estrategia: Determine las componentes de un vector unitario

paralelo al eje y use la Ec. (9.17).

Las componentes de un vector unitario “e”, que pasa por el origen

y el punto (4, -4, 7) es:

√


[ ] [

] [

]

Aprovechando de la propiedad de simetría de la matriz de inercia

del prob. 9.18, el nuevo momento de inercia respecto al eje que

pasa por el origen y el punto (4, -4, 7) es



[ ]

[ ]

[ ]

Remplazando en la ecuación anterior obtenemos

COMPROBACIÓN:

Remplazamos en la ecuación de inercia del sólido, obtenida en el problema sin variables y pasamos a

remplazar para comprobar si coincide la respuesta con la del ejercicio desarrollado con datos.

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ] [

√ ] [

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ] [

√ ] [

√ ]

DINAMICA

TEMA: INERCIA-SOLIDO NOTA :




EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

Cual es el momento de inercia del

cuerpo rigido del problema 9.20

respecto al eje que pasa por el origen

y el punto (-a,b,c)

DESARROLLO

Las componentes de un vector unitario “e”, que pasa por el

origen y el punto (-a, b, c) es:

√

√

√

√

Sea la matriz de inercia del prob. 9.20

[

]


[ ] [

] [

]

el nuevo momento de inercia respecto al eje que pasa por el

origen y el punto (-a, b, c) es



[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

√

√

√

Remplazando en la ecuación de inercia tenemos

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ]

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

Cual es el momento de inercia del

cuerpo rigido del problema 9.20

respecto al eje que pasa por el origen

y el punto (-1,5,2)

DESARROLLO


[ ] [

] [

]

√

Aprovechando de la propiedad de simetría de la matriz de

inercia del prob. 9.20, el nuevo momento de inercia respecto al

eje que pasa por el origen y el punto (-1, 5, 2) es



[ ]

[ ]

[ ]

Remplazando en la ecuación anterior obtenemos:

COMPARACIÓN

[

] [

]

Remplazamos en la ecuación de inercia del solido, obtenida en el problema sin variables y pasamos a

remplazar para comprobar si coincide la respuesta con la del ejercicio desarrollado con datos.

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ] [

√ ] [

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ]

[

√ ] [

√ ]

[

√ ] [

√ ] [

√ ] [

√ ]

DINAMICA





EJERCICIO 03 (CON

VARIABLES)

En la Fig. la masa de la barra

esbelta homogénea es de “m” kg.

Determine sus momentos y

productos de inercia en el sistema

coordenado que se muestra.

DESARROLLO

(

)

Debido a la delgadez de la barra:

(

)

Puesto que la barra es delgada, los productos de inercia desaparecen

∫

∫

∫

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉

La masa del elemento horizontal es:

(

)

(

)


⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉

Utilizamos el teorema del ejes paralelos para transferir el momento

de inercia: Para el elemento vertical de las coordenadas del centro

de O de comunicación son (dx, dy, dz) = (0, 0,5a, 0) m.

(

)

(

)

(

)

(

)

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉

Para el elemento horizontal (dx, dy, dz) = (0.5b, 0, 0) m. Por el

teorema de los ejes paralelos:

(

)

(

)

(

)

(

)

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉

Sumando los dos momentos de inercia de las dos divisiones de la

barra:

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉⌉

EJERCICIO 03 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. la masa de la barra

esbelta homogénea es de 6 kg.

Determine sus momentos y



DESARROLLO

Debido a la delgadez de la barra:


∫

∫

∫

⌈ ⌉ ⌈

⌉

La masa del elemento horizontal es:


⌈ ⌉ ⌈

⌉


de inercia: Para el elemento vertical de las coordenadas del centro

de O de comunicación son (dx, dy, dz) = (0, 0,5, 0) m.

(

)

(

)

⌈ ⌉ ⌈

⌉

Para el elemento horizontal (dx, dy, dz) = (1, 0, 0) m. Por el teorema

de los ejes paralelos:

(

)

(

)

⌈ ⌉ ⌈

⌉

Sumando los dos momentos de inercia de las dos divisiones de la

barra:

⌈ ⌉ ⌈

⌉

COMPROBACIÓN

m=6 kg

a=1 m

b=2 m

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉⌉

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉⌉

⌈ ⌉ ⌈

⌉

DINAMICA





EJERCICIO 04 (SIN

VARIABLES)

La placa rectangular delgada

de “m” kg de la figura está en

el plano x-y. Determine sus

momentos y productos de

inercia en el sistema


DESARROLLO

(

) (

)

(

) (

)

Por lo tanto los momentos de inercia de la placa son:

(

) (

)(

)

(

) (

)(

)

EJERCICIO 04 (SIN

VARIABLES)

La placa rectangular delgada

de 4 kg de la figura está en el

plano x-y. Determine sus

momentos y productos de

inercia en el sistema


DESARROLLO

Por lo tanto los momentos de inercia de la placa son:

COMPARACIÓN

a=300 mm

b=600 mm

m=4 kg





EJERCICIO 05 (CON

VARIABLES)

La placa triangular delgada de m lb

de la figura está en el plano x-y.

Determinar sus momentos y


coordenada que se muestra.

DESARROLLO

Los momentos de inercia de la superficie de la placa son:

El área de la placa:

La masa es:

⁄

Los momentos de la placa y producto de inercia son:

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

EJERCICIO 05 (SIN

VARIABLES)

La placa triangular delgada de 30 lb

de la figura está en el plano x-y.

Determinar sus momentos y


coordenada que se muestra.

DESARROLLO

Los momentos de inercia de la superficie de la placa son:

El área de la placa:

La masa es:

⁄


(

⁄

)

(

⁄

)

(

⁄

)

COMPROBACIÓN:


m=30

a=6

b=4


(

) (

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)





EJERCICIO 06 (CON

VARIABLES)

Determine la matriz de inercia

de la placa delgada de M slug en

el sistema coordenado que se

muestra.

DESARROLLO

La estrategia es determinar los momentos y productos de la placa

delgada sólida de radio “a” alrededor del origen y luego restar los

momentos y productos de la placa circular de radio “b” hueca. La

densidad de masa es

Al estar la masa expresada en slug, convertimos los radios mostrados

en el gráfico de pulgadas a pies

Ahora bien podemos calcular el espesor de la placa en función con su

densidad de la siguiente forma

Donde T: espesor de la placa

A: área de la placa circular-área de la placa circular hueca

M=masa, V=volumen

[ ]

[ ]

[ ]

Donde T es el espesor (desconocido) de la placa. Los momentos y

productos de inercia de una placa delgada de radio R son:

Para un radio de a pulgadas de placa delgada sólida,la masa de la

placa sera igual a la densidad de la placa multiplicada por su

volumen

Por lo que la masa es

Reemplazando

[ ]

a) Ahora pasamos a remplazar en las expreciones descritas

anteriormente para hallar los momentos y productos de inercia

[

[ ]

]

[

[ ]

]

Ahora las coordenadas de la placa circular de radio igual a

pies son

Luego la masa de la placa circular de radio será

[

[ ]]

b) Los momentos y productos de inercia de la placa circular más pequeña de radio igual a

pies, será

[

[ ]

]

[[

[ ]

]

[

[ ]] ]

[[

[ ]

]

[

[ ]] ]

La matriz de inercia de la placa circular de radio pies y el recorte circular de radio

pies es

[ ] [

] [

]

[ ] [

( )( )

]slug.pies2

EJERCICIO 06 (SIN

VARIABLES)

Determine la matriz de inercia de la placa delgada de 0.6 slug en el sistema coordenado que se muestra.

DESARROLLO

La estrategia es determinar los momentos y productos de una placa

delgada sólida alrededor del origen y luego restar los momentos y

productos de la corte. La densidad de masa es

Al estar la masa expresada en slug, convertimos los radios mostrados

en el gráfico de pulgadas a pies

6pulg=0.5pies

3pulg=0.25pies

1.25pulg=0.125pies

Ahora bien podemos calcular el espesor de la placa en función con su

densidad de la siguiente forma

[ ]

Donde T es el espesor (desconocido) de la placa. Los momentos y

productos de inercia de una placa delgada de radio R son:

Para un radio de 6 pulgadas de placa delgada sólida,la masa de la

placa sera igual a la densidad de la placa multiplicada porsu volumen

Por lo que la masa es

Reemplazando

Ahora pasamos a remplazar en las expreciones descritas

anteriormente para momento de inercia y producto y obtenemos

Ahora las coordenadas de la placa circular de radio igual a 0.125pies

son

Luego la masa por la placa circular de radio sera

Los momentos y productos de inercia de la placa circular más

pequeña de radio igual a 0.125 pies, será

La matriz de inercia de la placa circular de radio 0.5pies y el recorte

circular de radio 0.125pies es

[ ] [

]

[

]

[ ] [

]slug.pies2

COMPROBACIÓN:


M=0.6

a=6

b=1.5

c=3

Remplazando los datos encontrados anteriormente nos da como resultado, tal como

esperábamos

[ ] [

] [

]

[ ] [

]slug.pies2





EJERCICIO 07 (CON

VARIABLES)

En el Ej. 9.32 los momentos y

productos de inercia del cuerpo

compuesto formado por las barras

AB y BC se determinaron en el

sistema coordenada de la Fig.

Determine los productos y

momentos de inercia del cuerpo en

un sistema coordenada x' y' paralelo

con su origen en el centro de masa

del cuerpo.

DESARROLLO

(EJEMPLO 9.32: El aguilón AB de la grúa de la Fig. tiene una

masa de kg y el pescante BC tiene una masa de kg y es

perpendicular a AB. Modelando cada uno como una barra esbelta

y tratándolos como un sólo cuerpo, determine los momentos y

productos de inercia del cuerpo en el sistema coordenada que se

muestra)

Centro de masa de AB = (

)

Centro de masa de BC = (

)

Centro de masa del sistema:

(

)

Para el aguilón AB (respecto a su centro de masa):

Debido a la simetría:

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉

Para el aguilón BC (respecto a su centro de masa):


⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈

⌉⌉⌉⌉


de inercia: aguilón AB las coordenadas al centro de masa son:

( (

)

)

( (

)

)

(

)

(

) (

)

(

)

[

]

(

)

⌈(

)

(

)

⌉

[

]

(

) (

)

(

)

(

)

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈⌈

[ [

]]

[

]

⌉

⌉⌉⌉⌉⌉⌉

Para el aguilón BC

( (

)

(

) )

( (

)

)

(

)

Por el teorema de los ejes paralelos:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

) {

⌈(

)

(

)

⌉}

(

) (

)

(

)

(

)

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈

[

]

⌈(

)

(

)

⌉⌉⌉⌉⌉⌉⌉

Sumando los dos momentos de inercia de los dos aguilones:

⌈ ⌉

EJERCICIO 07 (SIN

VARIABLES)

En el Ej. 9.32 los momentos y

productos de inercia del cuerpo

compuesto formado por las barras

AB y BC se determinaron en el

sistema coordenada de la Fig.

Determine los productos y

momentos de inercia del cuerpo en

un sistema coordenada x' y' paralelo

con su origen en el centro de masa

del cuerpo.

DESARROLLO

(EJEMPLO 9.32: El aguilón AB de la grúa de la Fig. tiene una

masa de 4800 kg y el pescante BC tiene una masa de 1600 kg y es

perpendicular a AB. Modelando cada uno como una barra esbelta

y tratándolos como un sólo cuerpo, determine los momentos y

productos de inercia del cuerpo en el sistema coordenada que se

muestra)

Centro de masa de AB = (9,0)

Centro de masa de BC = (18,-3)

Centro de masa del sistema:

Para el aguilón AB (respecto a su centro de masa):


⌈ ⌉ ⌈

⌉

Para el aguilón BC (respecto a su centro de masa):


⌈ ⌉ ⌈

⌉


de inercia: aguilón AB las coordenadas al centro de masa son (dx,

dy, dz) = (2.25, -0.75, 0) m.

(

)

(

) ⌈ ⌉

⌈ ⌉ ⌈

⌉

Para el aguilón BC (dx, dy, dz) = (-6.75, 2.25, 0) m. Por el

teorema de los ejes paralelos:

(

)

(

) ⌈ ⌉

⌈ ⌉ ⌈

⌉


⌈ ⌉ ⌈

⌉

COMPROBACIÓN:


Remplazamos los valores:

Para AB:

[

]

[

]

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈⌈

[ [

]]

[

]

⌉

⌉⌉⌉⌉⌉⌉

Para el aguilón BC

[

]

{

⌈(

)

(

)

⌉}

⌈ ⌉

⌈⌈⌈⌈⌈⌈

[

]

⌈(

)

(

)

⌉⌉⌉⌉⌉⌉⌉


⌈ ⌉

Reemplazando datos tenemos:

⌈ ⌉ ⌈

⌉ y ⌈ ⌉ ⌈

⌉

Por lo tanto:

⌈ ⌉ =⌈

⌉ ⌈

⌉

⌈ ⌉ ⌈

⌉

DINAMICA

GRUPO N 04

CINETICA-NEWTON-

SOLIDO

DINAMICA TEMA: CINETICA-NEWTON-SOLIDO




EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

En el Probo 7.1, ¿cuál es la máxima

fuerza F que se puede aplicar si el

refrigerador permanece en contacto

con el piso en A y B? (Suponga que

es positiva.)

DESARROLLO

DCL

La fuerza máxima que se le puede aplicar al refrigerador es cuando

este esta apunto de voltearse, es decir cuando la reacción en A es

nula.

NA=0

∑

∑

∑

á

á

Remplazamos en la ecuación anterior y obtenemos el valor

máximo de la fuerza aplicada al refrigerador.

á

EJERCICIO 01 (SIN

VARIABLES)

En el Probo 7.1, ¿cuál es la máxima

fuerza F que se puede aplicar si el

refrigerador permanece en contacto

con el piso en A y B? si su peso es

de 980N.

DESARROLLO

DCL

La fuerza máxima que se le puede aplicar al refrigerador es

cuando este esta apunto de voltearse, es decir cuando la

reacción en A es nula.

NA=0

∑

∑

Remplazamos el peso

Ahora hacemos sumatoria de momentos con respecto al centro de

masa,

∑

COMPROBACIÓN:

Remplazamos datos

𝐶 𝑚 𝑏 𝑚

𝑚

𝑁 𝑚𝑠

𝑘𝑔

TEMA: CINETICA-NEWTON-SOLIDO




EJERCICIO 02 (CON

VARIABLES)

En la figura 7.3 la masa combinada

de la persona y la bicicleta es ; ; ¿Cuál es la aceleración máxima que

se puede alcanzar sin que la rueda

frontal se separe del terreno?

Despreciar la fuerza horizontal

ejercida en la rueda delantera sobre

el terreno

DESARROLLO

∑

∑

∑

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

En la figura 7.3 la masa combinada

de la persona y la bicicleta es ; ; Cuál es la aceleración máxima que

se puede alcanzar sin que la rueda

frontal se separe del terreno?

Despreciar la fuerza horizontal

ejercida en la rueda delantera sobre

el terreno

DESARROLLO

∑

∑

∑

COMPROBACIÓN:

∑

𝑚 𝑘𝑔

𝑏 𝑚𝑚

𝑐 𝑚

𝑚𝑚





EJERCICIO 03 (CON

VARIABLES)

En la Fig. el gancho de frenaje

del avión de “W” lb ejerce la

fuerza F y ocasiona que el

avión desacelere a “a”. Las

fuerzas horizontales ejercidas

por las ruedas de aterrizaje

son insignificantes. Determine

F y las fuerzas normales

ejercidas sobre las ruedas

DESARROLLO

DCL

∑

∑

∑

(

)

(

)

EJERCICIO 03 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. el gancho de frenaje

del avión de 14000lb ejerce la

fuerza F y ocasiona que el

avión desacelere a 6g.Las

fuerzas horizontales ejercidas

por las ruedas de aterrizaje

son insignificantes. Determine

Fy las fuerzas normales

ejercidas sobre las ruedas.

DESARROLLO

DCL

∑

∑

∑

COMPROBACIÓN:

COMPROBACIÓN

W=14000 lb

a=6g=193.2 pie/s2

=30º

P=8 m

q=1.5 m

r=11 m

s=6 m

g=32.2 pie/s2

TEMA: CINETICA-NEWTON-SOLIDO NOTA :




EJERCICIO 04 (CON

VARIABLES)

La grúa mostrada se mueve hacia la

derecha con aceleración constante,

y la carga de “m” kg se mueve sin

oscilar.

(a) ¿Cuál es la aceleración de la

grúa y la carga?

(b) ¿Cuáles son las tensiones en los

cables unidos a Ay B?

DESARROLLO

∑

∑

Sumatoria de momentos respecto al centro de masa:

∑

Entonces:

EJERCICIO 04(SIN

VARIABLES)

La grúa mostrada se mueve hacia la

derecha con aceleración constante,

y la carga de 800 kg se mueve sin

oscilar.

(a) ¿Cuál es la aceleración de la

grúa y la carga?

(b) ¿Cuáles son las tensiones en los

cables unidos a Ay B?

DESARROLLO

∑

∑

Sumatoria de momentos respecto al centro de masa:

∑

Entonces:

COMPROBACIÓN:

Comprobación

m=800 kg

p=5º

q=1 m

r=1.5 m

g= 9.81 m/s2





EJERCICIO 05 (CON

VARIABLES)

Modele el brazo ABC mostrado

como un cuerpo rígido. Su masa es

de “m” kg y el momento de inercia

de masa respecto a su centro de

masa es “I”kg-m2, Si el punto A

está en reposo y la aceleración

angular del brazo es de

rad/s2antihoraria, ¿qué fuerza

ejerce el cilindro hidráulico sobre el

brazo en B? (Sobre el brazo actúan

dos cilindros hidráulicos, uno a

cada lado del vehículo. Se debe

determinar la fuerza total ejercida

por los dos cilindros.)

DESARROLLO

| |

El ángulo entre la fuerza en B y la horizontal es:

√

√

La ecuación rotacional es:

∑

| |

√

√

| |

√ ( )

√

[ ( ) ]

EJERCICIO 05 (SIN

VARIABLES)

Modele el brazo ABC mostrado

como un cuerpo rígido. Su masa es

de 300 kg y el momento de inercia

de masa respecto a su centro de

masa es I= 360 kg-m2, Si el punto

A está en reposo y la aceleración

angular del brazo es de 0.6

rad/s2antihoraria, ¿qué fuerza ejerce

el cilindro hidráulico sobre el brazo

en B? (Sobre el brazo actúan dos

cilindros hidráulicos, uno a cada

lado del vehículo. Se debe

determinar la fuerza total ejercida

por los dos cilindros.)

DESARROLLO

El ángulo entre la fuerza en B y la horizontal es:

(

)

La ecuación rotacional es:

∑

COMPROBACIÓN:

COMPROBACIÓN

a=1.8 m

b=1.4 m

c=0.3 m

d=0.8 m

e=0.7 m

I=360 kg.m2

m=300 kg

=0.6 rad/s2

√

[ ( ) ]

√

[ ( ) ]





EJERCICIO 06 (CON

VARIABLES)

Para bajar el puente giratorio

mostrado, los engranes que lo

levantan se desacoplan y una

fracción de segundo después otro

conjunto de engranes que lo bajan,

se acoplan. En el instante en que los

engranes que lo levantan se

desacoplan, ¿cuáles son las

componentes de la fuerza ejercida

por el puente sobre su soporte en

O? El puente giratorio pesa aklb, su

momento de inercia de masa

respecto a O es lo = bslug-pie2, y

las coordenadas de su centro de

masa en el instante en que los

engranes se desacoplan son = c

pies, = d pies.

DESARROLLO

D.C.L:

El momento respecto al punto O:

⁄

La aceleración, respecto al centro d la masa es:

[

]

Por la segunda ley de Newton:

Para El eje “x”:

∑

(

)(

)

Para el eje “y”

∑

(

)

(

) (

)

[

]

EJERCICIO 06 (SIN

VARIABLES)

Para bajar el puente giratorio

mostrado, los engranes que lo

levantan se desacoplan y una

fracción de segundo después otro

conjunto de engranes que lo bajan,

se acoplan. En el instante en que los

engranes que lo levantan se

desacoplan, ¿cuáles son las


por el puente sobre su soporte en

O? El puente giratorio pesa 360

klb, su momento de inercia de masa

respecto a O es lo = 1.0 x 107 slug-

pie2, y las coordenadas de su centro

de masa en el instante en que los

engranes se desacoplan son = 8

pies, = 16 pies.

DESARROLLO

El momento respecto al punto O:

⁄ La aceleración, respecto al centro d la masa es:

[

]

Por la segunda ley de Newton:


∑

(

)

Para el eje “y”

∑

(

)

COMPROBACIÓN:

COMPROBACIÓN:


a=360

b=1.0x107

c=8

d=16


∑

(

)(

)

Para el eje “y”

∑

(

)

(

) (

)

[

]

[

]

TEMA: : CINETICA-NEWTON-SOLIDO




EJERCICIO 07 (CON

VARIABLES)

El brazo BC de la figura tiene una

masa de kilogramos y su momento

de inercia de masa respecto a su

centro de masa es de kg-m2. Si B

está en reposo y el brazo BC tiene

una velocidad angular antihoraria

constante de en el instante

mostrado, determine el par y las


sobre el brazo BC en B.

DESARROLLO

SOLUCION

Como la aceleración angular del brazo BC es cero, la suma de los

momentos respecto al punto fijo B debe ser cero. Vamos a ser

MB el par ejercido por el soporte en B. Entonces

[

]

Ahora calculamos el par de fuerzas en B

Por la segunda ley de Newton ,

donde , son las aceleraciones de centros de masa.

Por cinemática del solido

Donde la aceleración angular es cero a partir del enunciado del

problema. Sustituir en la segunda ley de Newton para obtener las

reacciones en B:

Remplazamos

Remplazamos

EJERCICIO 07 (SIN

VARIABLES)

El brazo BC de la figura tiene una

masa de 12 kg Y su momento de

inercia de masa respecto a su centro

de masa es de 3 kg-m2. Si B está en

reposo y el brazo BC tiene una

velocidad angular antihoraria

constante de 2 rad/ s en el instante

mostrado, determine el par y las


sobre el brazo BC en B.

DESARROLLO

Como la aceleración angular del brazo BC es cero, la suma de los

momentos respecto al punto fijo B debe ser cero. Vamos a ser

MB el par ejercido por el soporte en B. Entonces

[

]

Antihorario


Por la segunda ley de Newton ,

donde , son las aceleraciones de centros de masa.

Por cinemática del solido

Donde la aceleración angular es cero a partir del enunciado del

problema. Sustituir en la segunda ley de Newton para obtener las

reacciones en B:

Remplazamos

COMPROBACION

MB el par ejercido por el soporte en B


𝑎 𝑚

𝑏 𝑚

𝑀 𝑘𝑔

𝑣 𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝐼 𝑘𝑔 𝑚

𝑔 𝑚 𝑠

DINAMICA

TEMA: : CINETICA-NEWTON-SOLIDO NOTA :




EJERCICIO 08 (CON

VARIABLES)

En la Fig. P7.29, el disco escalonado

pesa W lb y su momento de inercia

de masa es I= I slug-pie2. Si se libera

del reposo, ¿cuánto tarda el centro

del disco en caer D pies? (Suponga

que la cuerda permanece vertical.)

DESARROLLO

DESARROLLO:

El momento respecto al centro de masa es:

De la ecuación del movimiento angular:

Desde el diagrama de cuerpo libre y segunda ley de newton:

∑

Donde es la aceleración desde el centro de masa

Sustituimos en la ecuación anterior:

(

)

( (

)

)

( )

El tiempo requerido para caer una distancia D es:

√

√

Para

(

) y

√

√ ( (

)

( ))

( )

EJERCICIO 08 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. P7.29, el disco escalonado

pesa 40 lb y su momento de inercia

de masa es I= 0.2 slug-pie2. Si se

libera del reposo, ¿cuánto tarda el

centro del disco en caer 3 pies?

(Suponga que la cuerda permanece

vertical.)

DESARROLLO

El momento respecto al centro de masa es:

De la ecuación del movimiento angular:

Desde el diagrama de cuerpo libre y segunda ley de newton:

∑

Donde es la aceleración desde el centro de masa

Sustituimos en la ecuación anterior:

(

)

( (

)

)

( )

(

( )

)

⁄


√

√

⁄

√

COMPROBACIÓN


a=4

b=8

W=40

I=0.2

D=3


√

√ ( (

)

( ))

√

√ ( (

)

( ))

( )

√





EJERCICIO 09 (CON

VARIABLES)

En t=0, una esfera de masa m y

radio R (i= 2/5mR2) sobre una

superficie plana tiene una

velocidad angular w0Ylavelocidad

de su centro es cero. El

coeficiente de fricción cinética

entre la esfera y la superficie es

uk.t ¿Cuál es la velocidad máxima

que el centro de la esfera

alcanzará y cuánto tarda en

alcanzarla?

DESARROLLO

∑

∑

∑

(

)

Pero:

[ (

) ]

(

)

(

)

(

)

EJERCICIO 09 (SIN

VARIABLES)

En t=0, una esfera de masa

10 kgy radio 1.5 m (I=

2/5mR2) sobre una superficie

plana tiene una velocidad

angular w0=40 rad/s y la

velocidad de su centro es

cero. El coeficiente de

fricción cinética entre la

esfera y la superficie es

uk=0.06. ¿Cuál es la velocidad

máxima que el centro de la

esfera alcanzará y cuánto

tarda en alcanzarla?

DESARROLLO

∑

∑

∑

Pero:

[ ]

COMPROBACIÓN


m=10 kg

R=1.5 m

w0=40 rad/s

uk=0.06

g=9.81 m/s2





EJERCICIO 10(CON

VARIABLES)

El disco cilíndrico de

mostrado esta en reposo cuando la

fuerza F se aplica a una cuerda

enrollada a su alrededor. Los

coeficientes estático y cinético de

fricción entre el disco y la

superficie es igual

.Determine la aceleración angular

del disco si (a) ,

(b)

DESARROLLO

DCL


disco en la posición de reposo, con el eje paralelo al plano x.

El momento en el centro de masa es:

Por lo cual:

Aplicando la segunda ley de newton: donde es la

aceleración del centro de masa.

[

]

Para: y

Para un disco, el momento de inercia respecto al eje polar es

, partir de la cual:

Para (a):

Para (b):

La fuerza de rozamiento es:

EJERCICIO 10 (SIN

VARIABLES)

El disco cilíndrico de

mostrado esta en reposo cuando la

fuerza F se aplica a una cuerda

enrollada a su alrededor. Los

coeficientes estático y cinético de

fricción entre el disco y la

superficie es igual a 0.2.

Determine la aceleración angular

del disco si (a) ,

(b)

DESARROLLO

DCL


disco en la posición de reposo, con el eje paralelo al plano x.


Por lo cual:

Aplicando la segunda ley de newton: donde es la

aceleración del centro de masa.

[

]

Para: y

Para un disco, el momento de inercia respecto al eje polar es


Para (a):

Para (b):


COMPROBACIÓN



Para (a):

Para (b):


DINAMICA





EJERCICIO 11 (CON

VARIABLES)

La escalera de m kg se libera del

reposo en la posición mostrada.

Modélela como una barra esbelta

e ignore la fricción. En el instante

que se libera, determine (a) la

aceleración angular; (b) la fuerza

normal que ejerce el piso sobre la

escalera.

DESARROLLO

El vector ubicado en el centro de masa:

(

) (

)

Denotamos las fuerzas en la parte superior e inferior de la escalera

por P y N:

Las ubicaciones de los vectores A y B:

Los vectores:

(

) (

)

(

) (

)


[

(

) (

)

]

[

(

) (

)

]

Por la ecuación del movimiento:

((

) ) …… (1)


…. (2)

….. (3)

Donde y son las aceleraciones del centro de masa.

La velocidad angular es cero (0) puesto de que se libera desde el

reposo:

[

(

) (

)

]

(

) (

)

( (

) ) (

) ⁄

A partir de la cual (

)

Similarmente:

[

(

) (

)

]

(

) (

)

(

) ( (

) ) ⁄

A partir de la cual (

)

Sustituimos en la ecuación (1), (2) y (3)

En (2):

((

) )

En (3):

[ (

) ]

[(

) ]

( [(

) ])

Remplazo en (1):

(

)

(

) [ ((

) )] ( [(

) ])

[(

) ]

(

)

[

]

[

]

[

]

⁄

Remplazo el valor de , para calcular:

Valor de P:

((

) )

((

) )(

[

])

[

]

Valor de N:

(

[

])

EJERCICIO 11(SIN

VARIABLES)

La escalera de 18 kg se libera del

reposo en la posición mostrada.

Modélela como una barra esbelta

e ignore la fricción. En el instante

que se libera, determine (a) la

aceleración angular; (b) la fuerza

normal que ejerce el piso sobre la

escalera.

DESARROLLO

El vector ubicado en el centro de masa:

(

) (

)

(

) (

)

Denotamos las fuerzas en la parte superior e inferior de la escalera

por P y N:

Las ubicaciones de los vectores A y B:

Los vectores:


[

] [

]

Por la ecuación del movimiento:

…… (1)


…. (2)

….. (3)

Donde y son las aceleraciones del centro de masa.

La velocidad angular es cero (0) puesto de que se libera desde el

reposo:

[

]

⁄

A partir de la cual

Similarmente:

[

]

⁄

A partir de la cual

Sustituimos en la ecuación (1), (2) y (3)

En (2):

En (3):

Remplazo en (1):

[ ]

⁄

Remplazo el valor de , para calcular:

Valor de P:

Valor de N:

COMPROBACIÓN


m=18

l=4

La aceleración angular:

[

]

⁄

[

]

⁄

⁄ Valor de P:

[

]

[

]

Valor de N:

(

[

])

(

[

])





EJERCICIO 12 (CON

VARIABLES)

En la Fig. P7 .381a barra

esbelta de kg y el disco

cilíndrico de kg se liberan

del reposo con la barra

horizontal. El disco rueda

sobre la superficie curva. ¿Cuál

es la aceleración angular de la

barra en ese instante?

DESARROLLO

El momento respecto al centro de masa del disco es

De la ecuación de momento angular

Por la segunda ley de Newton

Puesto que el disco gira

Según la cinemática de cuerpos solidos tenemos

De las dos expresiones obtenemos

Para la cual

El momento respecto al centro de masa es

(

) (

)

A partir del cual

(

) (

)

Aplicando la segunda ley de Newton

Donde es la aceleración del centro de masa de la barra. La

condición cinemática de la barra es

( (

) ) (

)

Para la cual

(

)

De una forma similar, a partir de la

cual

De donde:

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores para obtener tres ecuaciones

con tres incógnitas:

( ) (

)

(

)

Sumando las ecuaciones 1y 2

( ) (

)

(

)

( ) (

) (

)

Sumando las ecuaciones (2) y (4)

( ) (

) (

)

[

(

) (

) (

) ]

De la ec. (2) despejamos

[

(

)(

) (

) ]

Ahora sumamos (1), (2) y (3)

( ) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

Despejando tenemos

[( ) (

)

(

)]

[( ) (

)

(

)]

EJERCICIO 12 (SIN

VARIABLES)

En la Fig. P7 .381a barra

esbelta de 0.1 kg y el disco

cilíndrico de 0.2 kg se liberan

del reposo con la barra

horizontal. El disco rueda

sobre la superficie curva. ¿Cuál

es la aceleración angular de la

barra en ese instante?

DESARROLLO

El momento respecto al centro de masa del disco es

De la ecuación de momento angular

Donde

(

)

Por la segunda ley de Newton

Donde ,

Puesto que el disco gira

Según la cinemática de cuerpos solidos tenemos

Remplazando datos

Remplazamos

Ahora el momento respecto al centro de masa es

(

) (

)

Sustituyendo los datos dados en el ejercicio

(

) (

)

A partir del cual

Donde

(

)

Remplazando

Aplicando la segunda ley de Newton

Donde , Es la aceleración del

centro de masa de la barra. La condición cinemática de la barra es

Para la cual

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemos

De una forma similar, a partir de la

cual

De donde:

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores para obtener tres ecuaciones

con tres incógnitas:

Finalmente al resolver

COMPROBACIÓN

Sustituir los valores numéricos conocidos:

(

)

(

)





EJERCICIO 13(CON

VARIABLES)

En la figura 7.41 la barra

esbelta de y el disco de

se liberan del reposo en

la posición mostrada. Si el

disco rueda ¿Cuál es la

aceleración angular de la barra

en ese instante?

DESARROLLO

∑

∑

∑

∑

∑

EJERCICIO 13 (SIN

VARIABLES)

En la figura 7.41 la barra

esbelta de y el disco de

se liberan del reposo en la

posición mostrada. Si el disco

rueda ¿Cuál es la aceleración

angular de la barra en ese

instante?

DESARROLLO

∑

∑

∑

∑

∑

COMPROBACIÓN

a = 1m

b = 0.25m

c = 40º

x=4kg

y=1kg

∑

∑

∑

∑

∑

DINAMICA





EJERCICIO 14 (CON

VARIABLES)

.

En la Figura la masa

combinada de la motocicleta y

conductor es de kg. Cada

rueda de kg tiene un

radio de “d” mm y un

momento de inercia de masa=I

kg-m2. El motor impulsa las

ruedas traseras. Si la rueda

trasera ejerce una fuerza

horizontal de “e” N sobre el

camino y no se ignora la fuerza

horizontal que ejerce la rueda

frontal sobre el camino,

determine (a) la aceleración de

la motocicleta; (b) las fuerzas

normales que ejercen la rueda

trasera y frontal sobre el

camino. (Se muestra la

posición del centro de masa de

la motocicleta sin incluir las

ruedas)

DESARROLLO

ESTRATEGIA: Aislamos las ruedas y dibujamos tres diagrama de

cuerpo libre. El motor de la motocicleta impulsa la rueda trasera

ejerciendo un par sobre ella.

DESARROLLO:

DCL:

En los diagramas de cuerpo libre se muestra, m rueda= kg ym

=[ – ]kg. Sea “a”la aceleración de la motocicleta hacia la

derecha y dejar que sea α la aceleración angular de las ruedas de las

agujas del reloj. Nótese que:

Rueda delantera:

∑

∑

∑

Ruedas traseras:

∑

∑

∑

Motocicleta:

∑

∑

∑

Recordando que , desarrollo el sistema de ecuaciones:

( )

EJERCICIO 14 (SIN

VARIABLES)

En la Figura la masa

combinada de la motocicleta y

conductor es de 160 kg. Cada

rueda de 9 kg tiene un radio de

330 mm y un momento de

inercia de masa=0.8 kg-m2. El

motor impulsa las ruedas

traseras. Si la rueda trasera

ejerce una fuerza horizontal de

400 N sobre el camino y no se

ignora la fuerza horizontal que

ejerce la rueda frontal sobre el

camino, determine (a) la

aceleración de la motocicleta;

(b) las fuerzas normales que

ejercen la rueda trasera y

frontal sobre el camino. (Se

muestra la posición del centro

de masa de la motocicleta sin

incluir las ruedas)

DESARROLLO

ESTRATEGIA: Aislamos las ruedas y dibujamos tres diagrama de

cuerpo libre. El motor de la motocicleta impulsa la rueda trasera

ejerciendo un par sobre ella.

DCL:

En los diagramas de cuerpo libre se muestra, m rueda= = 9kg ym

=160 –9(2)= 142kg. Sea “a” la aceleración de la motocicleta hacia la

derecha y dejar que sea α la aceleración angular de las ruedas de las

agujas del reloj. Nótese que:

Rueda delantera:

∑

….(1)

∑

…..(2)

∑

…(3)

Ruedas traseras:

∑

….(4)

∑

…..(5)

∑

…. (6)

Motocicleta:

∑

Remplazo (1) y (4)

…….. (7)

∑

….. (8)

∑

..(9)

Remplazo (7), en:

Remplazo (7) para calcular y

Trabajo con la ecuación (9):

Realizo un sistema de ecuaciones con (8):

{

Finalmente remplazo y hallo los valores de:

COMPROBACIÓN


d=300

e=400

p=723

q=649

r=1500

Rueda delantera:

∑

….(1)

∑

…..(2)

∑

…(3)

Ruedas traseras:

∑

….(4)

∑

….. (5)

∑

…. (6)

Motocicleta:

∑

Remplazo (1) y (4)

…….. (7)

∑

….. (8)

∑

..(9)

Remplazo (7), en:

Recordando que , desarrollo el sistema de ecuaciones:

( )

DINAMICA TEMA: CINETICA-NEWTON-SOLIDO




EJERCICIO 15 (SIN

VARIABLES)

El engrane anular mostrado está

fijo. La masa el momento de inercia

de masa del engrane central

son La masa y el

momento de inercia de masa de

cada engrane periférico son

Si se aplica un par Mspie-

lb al engrane central, ¿cuál es la

aceleración angular resultante en

los engranes periféricos, y cuál es

la fuerza tangencial ejercida sobre

el engrane central por cada engrane

periférico?

DESARROLLO

DCL

CONVERSIÓN DE PULGADAS A PIES

PARA EL ENGRANAGE CENTRAL

∑

Donde R: radio del engranaje central,

F: la fuerza tangencial que ejercen los engranajes periféricos sobre

el engranaje central.

PARA LOS ENGRANAGES PERIFERICOS

∑

Donde:

r: radio de los engranajes periféricos

G: fuerza tangencial que ejerce el engranaje anular sobre los

esféricos.

: Aceleración angular resultante de los ejes periféricos

∑

Donde: es la aceleración tangencial ejercida por los engranajes

periféricos respecto al centro de masa

Teniendo en cuenta la cinemática del solido

Ahora tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones, por

consiguiente es posible hallar la solución de estas ecuaciones

Ahora despejamos las aceleraciones de los engranajes esféricos

Remplazamos en las tres primeras ecuaciones y tenemos

(

)

(

)

Al resolver el sistema de ecuaciones tenemos

(

)

(

)

(

)

EJERCICIO 15 (SIN

VARIABLES)

El engrane anular mostrado está

fijo. La masa el momento de inercia

de masa del engrane central son

ms=22slug,Is = 4400 slug-pie2. La

masa y el momento de inercia de

masa de cada engrane periférico

son mp = 2.7 slug, Ip = 65 slug-pie2.

Si se aplica un par M = 600 pie-lb

al engrane central, ¿cuál es la

aceleración angular resultante en

los engranes periféricos, y cuál es

la fuerza tangencial ejercida sobre

el engrane central por cada engrane

periférico?

DESARROLLO

CONVERSIÓN DE PULGADAS A PIES

20pulg=1.667pies

7pulg=0.583pies

34pulg=2.83pies

PARA EL ENGRANAGE CENTRAL

∑

Donde R: radio del engranaje central,

F: la fuerza tangencial que ejercen los engranajes periféricos sobre

el engranaje central.

Remplazando datos

PARA LOS ENGRANAGES PERIFERICOS

∑

Donde:

r: radio de los engranajes periféricos

G: fuerza tangencial que ejerce el engranaje anular sobre los

esféricos.

: Aceleración angular resultante de los ejes periféricos

Remplazamos

∑

Donde: es la aceleración tangencial ejercida por los engranajes

periféricos respecto al centro de masa

Teniendo en cuenta la cinemática del solido

Ahora tenemos tres incógnitas y tres ecuaciones, por consiguiente

es posible hallar la solución de estas ecuaciones

Resolviendo tenemos

COMPROBACIÓN:

Donde

(

)

(

)

𝑚𝑠 𝑠𝑙𝑢𝑔

𝐼𝑠 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒

𝑚𝑃 𝑠𝑙𝑢𝑔

𝐼𝑝 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒

𝑀𝑆 𝑝𝑖𝑒 𝑙𝑏

𝑅 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑟

𝑎

DINAMICA

GRUPO N 04

CINETICA-ENERGIA-

SOLIDO

DINAMICA TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS




EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

Durante una actividad Extra vehicular, un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras, ejerciendo una fuerza constante T en Newtons. El momento de inercia de masa del astronauta y su equipo respecto al centro de masa común es de I en kg.m2. Usando el principio del trabajo y la energía, determine su razón de giro en revoluciones por segundo cuando él ha girado n revoluciones desde su orientación inicial. Donde a esta en metros

DESARROLLO

El momento con respecto al centro de masa generado

por la fuerza T es

Ahora aplicamos el teorema del trabajo y energía

, debido a que parte de reposo

∫

Por dato tenemos que

Remplazando en la ecuación anterior del trabajo

tenemos

Ahora para la energía

Ahora remplazando U y T2 en la ecuación 1 tenemos

Donde

√

Pasando a rps tenemos que la velocidad angular w es

√

EJERCICIO 01 (SIN

VARIABLES)

Durante una actividad extravehicular, un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras, ejerciendo una fuerza constante T = 20 N. El momento de inercia de masa del astronauta y su equipo respecto al centro de masa común es de 45 kg-m2. Usando el principio del trabajo y la energía, determine su razón de giro en revoluciones por segundo cuando él ha girado 1/4 de revolución desde su orientación inicial.

DESARROLLO

El momento con respecto al centro de masa

generado por la fuerza T es

Remplazando T tenemos

Ahora aplicamos el teorema del trabajo y energía

, debido a que parte de reposo

∫

Por dato tenemos que

Remplazando en la ecuación anterior del trabajo

tenemos

Ahora para la energía

Por dato sabemos que

Remplazando en la ecuación anterior tenemos

Ahora remplazando U y T2 en la ecuación 1 tenemos

(

)

Donde

Pasando a rps tenemos que la velocidad angular w es

COMPROBACIÓN:

Remplazamos en la ecuación obtenida en el ejercicio con variables y comparamos

√

√

DINAMICA

TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS NOTA :




EJERCICIO 02 (CON

VARIABLES)

Los engranes giran libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia son y .Los engranes están en reposo al aplicar un par constante al engrane . Ignorando la fricción, use el principio del trabajo y energía para las velocidades angulares cuando el engrane A ha girado .

DESARROLLO

Desde el principio del trabajo y la energía:

Donde = 0 ya que el sistema parte del reposo. El trabajo realizado es

∫

El engrane B gira en una dirección positiva, el engrane A gira en dirección negativa,

. El ángulo recorrido por el engrane B es:

(

) (

)

Entonces:

(

)

La energía cinética es:

(

)

(

)

Donde: (

)

(

) ( (

)

) (

)

√

( )

( )( (

)

)

(

)

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

Los engranes giran libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia son y .Los engranes están en reposo al aplicar un par constante al engrane . Ignorando la fricción, use el principio del trabajo y energía para las velocidades angulares cuando el engrane A ha girado .

DESARROLLO

Desde el principio del trabajo y la energía:

Donde = 0 ya que el sistema parte del reposo. El trabajo realizado es

∫

El engrane B gira en una dirección positiva, el engrane A gira en dirección negativa,

. El ángulo recorrido por el engrane B es:

(

)

Entonces:


(

)

(

)

Donde: (

)

(

) ( (

)

)

√

(

)

COMPARACIÓN

√

( )

( ) ( (

)

)

(

)

𝑅𝐴 𝑥 𝑚𝑚 𝑅𝐴 𝑚𝑚

𝑅𝐵 𝑦 𝑚𝑚 𝑅𝐵 𝑚𝑚

𝐼𝐴 𝐴 𝑘𝑔 𝑚 𝐼𝐴 𝑘𝑔 𝑚

𝐼𝐵 𝐵 𝑘𝑔 𝑚 𝐼𝐵 𝑘𝑔 𝑚

𝑀 𝐶 𝑁 𝑚 𝑀 𝑁 𝑚

𝑛 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.

DINAMICA





EJERCICIO 03 (CON

VARIABLES)

Las poleas pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia de masa son , e

. Las poleas están en reposo cuando un par constante M en N-m se aplica a A. ¿Cuál es la velocidad angular de A después de m revoluciones? los radios de los discos mostrados en el grafico están en metros.

DESARROLLO

Al girar la rueda A en sentido antihorario, las ruedas B y

C también giran en el mismo sentido y con la misma

velocidad .

Si tienen la misma velocidad lineal, entonces podemos

relacionar las velocidades angulares de las tres ruedas,

por comodidad las dejaremos en función de la velocidad

angular de A, ya que es esta la que nos piden en el

ejercicio.

(

)

Por el principio de trabajo y energía

La energía cinética inicial dado a que las poleas empiezan a girar de reposo La energía cinética es

(

)

(

)

(

)

(

) [ (

)

((

)

)

]

El trabajo

∫

Donde M es el par constante que empieza a girar a la polea A Por dato sabemos que Remplazando en la ecuación anterior

Remplazamos los valores del trabajo y energía en la ecuación 1 y tenemos

(

) [ (

)

((

)

)

]

√

[ ( )

(( )

)

]

EJERCICIO 03 (SIN

VARIABLES)

Las poleas pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia de masa son , e . Las poleas están en reposo cuando un par constante M= 2 N-m se aplica a A. ¿Cuál es la velocidad angular de A después de 10revoluciones?

DESARROLLO

Al girar la rueda A en sentido antihorario, las ruedas B y

C también giran en el mismo sentido y con la misma

velocidad .

Si tienen la misma velocidad lineal, entonces podemos

relacionar las velocidades angulares de las tres ruedas,

por comodidad las dejaremos en función de la velocidad

angular de A, ya que es esta la que nos piden en el

ejercicio.

(

)

Por el principio de trabajo y energía

La energía cinética inicial dado a que las poleas empiezan a girar de reposo LA ENEGIA CINETICA ES

(

)

(

)

(

)

(

)

[ (

)

((

)

)

]

EL TRABAJO ES

∫

Donde M=2 N-m es el par constante que empieza a girar a la polea A Por dato sabemos que Remplazando en la ecuación anterior

Remplazamos los valores del trabajo y energía en la ecuación 1 y tenemos

√

Donde

COMPROBACIÓN

Remplazamos en la ecuación de la velocidad angular en A, del ejercicio con variables

√

[ ( )

(( )

)

]

√

[ ( )

(( )

)

]

√

DINAMICA





EJERCICIO 04 (CON

VARIABLES)

Modele el brazo ABC de la figura como un solo cuerpo rígido. Su masa es m kg Y el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es I en kg-m2. Partiendo del reposo con su centro de masa x metros arriba del suelo (posición1), los cilindros hidráulicos empujan el brazo ABC hacia arriba. Cuando está en la posición mostrada (posición 2), su velocidad angular antihoraria es de w0 rad/s. ¿Cuánto trabajo efectúan los cilindros hidráulicos sobre el brazo al moverlo de la posición 1 a la posición 2? Si las distancias dadas en la figura están en metros.

DESARROLLO

Para resolver este problema aplicamos el teorema del trabajo y energía

POSICION 1

POSICION 2

La distancia de A al centro de masa

√

El momento de inercia en A

PARA EL TRABAJO

El trabajo efectuado por el brazo ABC de la posición 1 a la

posición 2 es el trabajo realizado por los cilindros menos el

trabajo realizado por el peso del brazo.

PARA LA ENERGIA CINETICA

Dado a que parte del reposo.

[ ]

Ahora remplazamos en la ecuación 1

[ ]

[ ]

EJERCICIO 04 (SIN

VARIABLES)

Modele el brazo ABC de la figura como un solo cuerpo rígido. Su masa es de 300 kg Y el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es I= 360 kg-m2. Partiendo del reposo con su centro de masa 2 m arriba del suelo (posición1), los cilindros hidráulicos empujan el brazo ABC hacia arriba. Cuando está en la posición mostrada (posición 2), su velocidad angular antihoraria es de l.4 rad/s. ¿Cuánto trabajo efectúan los cilindros hidráulicos sobre el brazo al moverlo de la posición 1 a la posición 2?

DESARROLLO

Para resolver este problema aplicamos el teorema del

trabajo y energía

PARA EL TRABAJO

El trabajo efectuado por el brazo ABC de la posición 1 a la

posición 2 es el trabajo realizado por los cilindros menos el

trabajo realizado por el peso del brazo.

PARA LA ENERGIA CINETICA

Dado a que parte del reposo.

Ahora remplazamos en la ecuación 1

POSICION 1

POSICION 2

LA DISTANCIA DE AB

√

EL MOMENTO DE INERCIA EN A

Remplazando en la ecuación 2

COMPARACIÓN

Remplazamos en la ecuación obtenida para el trabajo del cilindro (en el ejercicio con

variables).

[ ]

[ ]

1661+3973.05

5634 N.m





EJERCICIO 05 (CON

VARIABLES)

La masa del disco cilíndrico homogéneo mostrado es m y su radio es R. El disco está en reposo cuando se le aplica un par M constante horario. Use el trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha rodado una distancia b.

DESARROLLO

(

)

(

)

(

)

√

EJERCICIO 05 (SIN

VARIABLES)

La masa del disco cilíndrico homogéneo mostrado es 5 kg y su radio es 0.2 m. El disco está en reposo cuando se le aplica un par 10 N.m constante horario. Use el trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha rodado una distancia 0.4 m.

DESARROLLO

(

)

(

)

(

)

(

)

COMPROBACIÓN:

M=10 N.m

b=0.4 m R=0.2 m m=5 kg

√

√





EJERCICIO 06 (CON

VARIABLES)

En la figura 8.21 el disco escalonado pesa y su momento de inercia es . Si se libera del reposo ¿cuál es la velocidad angular cuando el centro de masa ha caído ?

DESARROLLO

El trabajo realizado por el peso del disco es:

(

) ( ⁄ ) (

)

Igualamos el trabajo a la energía cinética final

Usamos la relación:

(

)

Y resolviendo para :

√

EJERCICIO 06 (SIN

VARIABLES)

En la figura 8.21 el disco escalonado pesa 40lb y su momento de inercia es I=0.2slug-pie2. Si se libera del reposo ¿cuál es la velocidad angular cuando el centro de masa ha caído 3 pies?

DESARROLLO

El trabajo realizado por el peso del disco es:

(

) ( ⁄ ) (

)

Igualamos el trabajo a la energía cinética final

Usamos la relación:

(

)

Y resolviendo para :

COMPROBACIÓN:

√

√

𝐴 𝑙𝑏 𝑙𝑏

𝐼 𝐵𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒

𝐶 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑠





EJERCICIO 07 (CON

VARIABLES)

El disco cilíndrico homogéneo de m kilogramos mostrado está en reposo cuando se aplica la fuerza F a una cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando que el disco ruede. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha girado n revoluciones. si r esta en metros

DESARROLLO

Por el teorema del trabajo y energía

Donde T1 = 0 puesto que el disco inicialmente está en

reposo.

AHORA PARA

(

) (

)

Dado a que el disco tiene movimiento plano general.

Donde

Y

, tenemos

(

) (

) (

)


La distancia recorrida por el disco en n revoluciones es

Como la cuerda se desenrolla, la fuerza F, actúa a través

de una distancia

Ahora calculamos el trabajo realizado por la fuerza F

∫

,

(

) (

) (

)

(

) [

]

√

EJERCICIO 07 (SIN

VARIABLES)

El disco cilíndrico homogéneo de 100 kg mostrado está en reposo cuando se aplica la fuerza F = 500 N a una cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando que el disco ruede. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha girado una revolución.

DESARROLLO

Por el teorema del trabajo y energía

Donde T1 = 0 puesto que el disco inicialmente está en

reposo.

AHORA PARA

(

) (

)

Dado a que el disco tiene movimiento plano general.

Donde

Y

, tenemos

(

) (

)


La distancia recorrida por el disco en una revolución es

Como la cuerda se desenrolla, la fuerza F, actúa a través

de una distancia

Ahora calculamos el trabajo realizado por la fuerza F

∫

,

√

COMPROBACION

Remplazando

√

√





EJERCICIO 08 (CON

VARIABLES)

En la Fig., al disco cilíndrico homogéneo de “m” slug se le imparte una velocidad angular horaria de “w” rad/s con el resorte sin estirar. La constante del resorte es “k” lb/pie. Si el disco rueda, ¿cuánto se moverá su centro hacia la derecha?

DESARROLLO

(

)

√

EJERCICIO 08(SIN

VARIABLES)

En la Fig., al disco cilíndrico homogéneo de 1slug se le imparte una velocidad angular horaria de 2 rad/s con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 3 lb/pie. Si el disco rueda, ¿cuánto se moverá su centro hacia la derecha?

DESARROLLO

(

)

[

]

COMPROBACION

R=1 pie w=2 rad/s m=1 slug

k=3 lb/pie

√

√





EJERCICIO 09 (CON

VARIABLES)

En el Probo 8.30, determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando ésta ha alcanzado la posición vertical si la barra y el disco están conectados por un pasador liso en A. (PROBLEMA 8.30: La barra esbelta mostrada pesa “P” lb y el disco cilíndrico “p” lb. El sistema se libera del reposo con la barra horizontal. Determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando esté vertical si la barra y el disco están soldados en A.)

DESARROLLO

(

)

(

)

(

)

(

)

√

EJERCICIO 09 (SIN

VARIABLES)

En el Probo 8.30, determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando ésta ha alcanzado la posición vertical si la barra y el disco están conectados por un pasador liso en A. (PROBLEMA 8.30: La barra esbelta mostrada pesa 30 lb y el disco cilíndrico 20 lb. El sistema se libera del reposo con la barra horizontal. Determine la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando esté vertical si la barra y el disco están soldados en A.)

DESARROLLO

(

)

COMPROBACIÓN:

P=30 lb p=20 lb a=4 pies

g=32.2 pie/s2

√

√





EJERCICIO 10 (CON

VARIABLES)

En la Figura la caja de lb es jalada por el malacate hacia arriba sobre el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es . El momento de inercia de masa del tambor en que está enrollado el cable, incluido éste, es , El motor ejerce un par M = b pie-lb constante sobre el tambor. Si la caja parte del reposo, use el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad cuando se ha desplazado d pies.

DESARROLLO

Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL)

Hallamos el valor de la normal:

Como la caja se mueve de 2 pies, el tambor gira un ángulo:

Por lo que el trabajo realizado es:

(

)

(

)

(

)

Sabemos que la velocidad es:

La energía cinética final es:

(

)

(

)

Igualamos el trabajo a la energía cinética final para despejar :

(

)

√ (

)

⁄

Ahora calculamos el valor de la velocidad:

[⌈⌈⌈ √ (

)

]⌉⌉⌉

⁄

EJERCICIO 10 (SIN

VARIABLES)

En la Figura la caja de 100lb es jalada por el malacate hacia arriba sobre el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es . El momento de inercia de masa del tambor en que está enrollado el cable, incluido éste, es , El motor ejerce un par M = 40 pie-lb constante sobre el tambor. Si la caja parte del reposo, use el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad cuando se ha desplazado 2 pies.

DESARROLLO

Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL)

Hallamos el valor de la normal:

Como la caja se mueve de 2 pies, el tambor gira un ángulo:

Por lo que el trabajo realizado es:

(

)

(

)

(

)

Sabemos que la velocidad es:

La energía cinética final es:

(

)

(

)

Igualamos el trabajo a la energía cinética final para despejar :

√

Ahora calculamos el valor de la velocidad:

⁄

COMPROBACIÓN:

Para los valores de

La velocidad es:

[⌈⌈⌈ √ (

)

]⌉⌉⌉

⁄

[⌈⌈⌈ √ (

)

]⌉⌉⌉

⁄

⁄





EJERCICIO 11 (CON

VARIABLES)

En la figura cada una de las barras

esbeltas de pesa y la

placa rectangular pesa Si el

sistema se libera del reposo en la

posición mostrada. ¿Cuál será la

velocidad de la placa cuando las

barras estén verticales?

DESARROLLO

Hacemos el diagrama de cuerpo libre:

El trabajo realizado es:

Donde:


(

) (

) [

(

)]

Usamos:

(

) (

) [

(

)]

Sustituyendo:

EJERCICIO 11 (SIN

VARIABLES)

En la figura cada una de las barras

esbeltas de pesa y la placa

rectangular pesa 20lb. Si el sistema se

libera del reposo en la posición

mostrada. ¿Cuál será la velocidad de la

placa cuando las barras estén

verticales?

DESARROLLO

Hacemos el diagrama de cuerpo libre:

El trabajo realizado es:

Donde:


(

) (

) [

(

)]

Usamos:

Sustituyendo:

COMPROBACIÓN:

Sustituyendo:

𝐵𝑙𝑏 𝑙𝑏

𝐶𝑙𝑏 𝑙𝑏

𝑋

𝐴 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑠





EJERCICIO 12 (CON

VARIABLES)

La polea A mostrada pesa lb, y . Si el sistema parte del reposo, ¿cuál es la velocidad del peso de lb cuando ha caído x pies?

DESARROLLO

Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL):

Cuando cae la masa C a una distancia x, el centro de la polea se eleva ½ x. la energía potencial es:

(

)

[

]

La velocidad angular de la polea B es:

La velocidad angular de la polea A es:

La velocidad del centro de la polea A es:

La energía cinética total es:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

[

]

Aplicando la conservación de la energía a las posiciones inicial y final:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

√ [

]

[

] ⁄

EJERCICIO 12 (SIN

VARIABLES)

La polea A mostrada pesa 4 lb, y . Si el sistema parte del reposo, ¿cuál es la velocidad del peso de 16 lb cuando ha caído 2 pies?

DESARROLLO

Realizamos el diagrama de cuerpo libre (DCL):

Cuando cae la masa C a una distancia x, el centro de la polea se eleva ½ x. la energía potencial es:

(

)

La velocidad angular de la polea B es:

La velocidad angular de la polea A es:

La velocidad del centro de la polea A es:

La energía cinética total es:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

Aplicando la conservación de la energía a las posiciones inicial y final:

√

⁄

COMPROBACIÓN:

Para los valores de: a=12 b=8

x=2 La velocidad es:

√ [

]

[

] ⁄

√ [

]

[

] ⁄

√

⁄

⁄





EJERCICIO 13 (CON

VARIABLES)

La escalera de mostrada se

libera del reposo con La pared y el piso son lisos.

Modelando la escalera como una

barra esbelta, utilice la

conservación de energía para

determinar la velocidad angular de

la barra cuando

DESARROLLO

Elegimos el punto de referencia a nivel del suelo.

La energía potencial en la posición inicial es:

(

)

La energía potencial en la posición final es:

(

)

Las coordenadas del centro de rotación será: donde en la posición final

La distancia del centro de rotación del centro de la barra de masa

es

La velocidad angular acerca de este centro de es (

) donde

es la velocidad del centro de masa de la escalera.

La energía cinética de la escalera es:

(

) (

) (

) (

)

Donde: (

)

El principio de conservación de la energía:

; (

)

(

) (

) (

)

EJERCICIO 13 (SIN

VARIABLES)

La escalera de mostrada se

libera del reposo con La

pared y el piso son lisos. Modelando la

escalera como una barra esbelta,

utilice la conservación de energía para

determinar la velocidad angular de la

barra cuando

DESARROLLO

Elegimos el punto de referencia a nivel del suelo.

La energía potencial en la posición inicial es:

(

)

La energía potencial en la posición final es:

(

)

Las coordenadas del centro de rotación será: donde en la posición final

La distancia del centro de rotación del centro de la barra de

masa es

La velocidad angular acerca de este centro de es (

)

donde es la velocidad del centro de masa de la escalera.

La energía cinética de la escalera es:

(

) (

) (

) (

)

Donde: (

)

El principio de conservación de la energía:

; (

)

(

) (

)

Resolviendo:

COMPROBACIÓN:

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

𝜃 𝐴

𝜃 𝐵

𝐿 𝑚





EJERCICIO 14 (CON

VARIABLES)

El momento de inercia de masa de la polea mostrada es de kg-m. El sistema se libera del reposo. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del cilindro cuando ha caído m.

DESARROLLO

Elegimos un sistema de coordenadas con el eje “y” positivo hacia arriba; también dibujamos el DCl:

Por el principio de Trabajo y energía, donde ya que el sistema se libera desde el reposo. El trabajo realizado por el peso de la izquierda es:

∫

El trabajo realizado por el peso del derecho es:

∫

Dado que la polea es de uno a uno, a partir de lo cual:


Dado que la polea es de uno a uno, .Por cinemática:

Entonces:

(

)

(

)

Remplazamos los valores en el principio de trabajo y energía:

(

)

(

)

√

EJERCICIO 14 (SIN

VARIABLES)

El momento de inercia de masa de la polea mostrada es de 0.2 kg-m. El sistema se libera del reposo. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del cilindro cuando ha caído 1 m.

DESARROLLO

Elegimos un sistema de coordenadas con el eje “y” positivo hacia arriba; también dibujamos el DCl:

Por el principio de Trabajo y energía, donde ya que el sistema se libera desde el reposo. El trabajo realizado por el peso de la izquierda es:

∫

El trabajo realizado por el peso del derecho es:

∫

Dado que la polea es de uno a uno, y a partir de lo cual:


Dado que la polea es de uno a uno, .Por cinemática:

Entonces:

(

)

Remplazamos los valores en el principio de trabajo y energía:

√ ⁄

COMPROBACIÓN:

Para los valores de: a=150

La velocidad es:

√

√

√

√ ⁄

DINAMICA

GRUPO N 04

CINÉTICA - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - SÓLIDO

DINAMICA TEMA: CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO




EJERCICIO 01 (CON

VARIABLES)

Un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras ejerciendo una fuerza Newtons, donde t está en segundos. La masa combinada del astronauta y su equipo es de m kilogramos, Y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa común es de I en kg-m2, Modelando al astronauta y a su equipo como un cuerpo rígido, use el principio del impulso angular y el momento angular para determinar cuánto tarda su velocidad angular en alcanzar el valor de w2 rad/s.

DESARROLLO

Aplicando el principio de impulso y momento angular

∫ ∑

Donde ω1 = 0, ya que el astronauta está inicialmente en reposo. La distancia normal desde la línea de empuje hacia el centro de masa es d metros, donde

∫

∫

(

)

Ordenando:

Resolviendo

Donde A=1, B=2, C=

√

EJERCICIO 01 (SIN

VARIABLES)

Un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras ejerciendo una fuerza T = 2(1 + t) N, donde t está en segundos. La masa combinada del astronauta y su equipo es de 122 kg, Y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa común es de 45 kg-m2, Modelando al astronauta y a su equipo como un cuerpo rígido, use el principio del impulso angular y el momento angular para determinar cuánto tarda su velocidad angular en alcanzar el valor de 0.1 rad/s.

DESARROLLO

Aplicando el principio de impulso y momento angular

∫ ∑

Donde ω1 = 0, ya que el astronauta está inicialmente en reposo. La distancia normal desde la línea de empuje hacia el centro de masa es R = 0,3 m, donde

∫

(

)

Ordenando Donde b=1, c=-15.

Resolviendo

√ Dado que la solución negativa no tiene sentido aquí,

COMPROBACIÓN:

√

Por tratarse de tiempo, magnitud escalar, tomamos el valor positivo

𝑑 𝑚

𝑎





EJERCICIO 02 (CON

VARIABLES)

Un volante unido a un motor

eléctrico está en reposo. En t =0 el

motor ejerce un par = a e-bt

N-m

sobre el volante, cuyo momento de

inercia de masa es de ⁄

(a) ¿Cuál es la velocidad angular del

volante en t = 10 s?

(b) ¿Cuál es la máxima velocidad

angular que alcanzará?

DESARROLLO

(a) Desde el principio del impulso momento y momento angular,

∫ ∑

Donde = 0, ya que el motor arranca desde el reposo.

∫

[ ]

[ ]

A partir de qué

[ ]

(b) Una inspección de la función impulso angular muestra que la

velocidad angular del volante es una función monótona creciente

del tiempo, de modo que el mayor valor se produce cuando

.

[ ]

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

Un volante unido a un motor

eléctrico está en reposo. En t =0 el

motor ejerce un par = 200 e-0.1t

N-m

sobre el volante, cuyo momento de

inercia de masa es de ⁄

(a) ¿Cuál es la velocidad angular del

volante en t = 10 s?

(b) ¿Cuál es la máxima velocidad

angular que alcanzará?

DESARROLLO

(a) Desde el principio del impulso momento y momento angular,

∫ ∑

Donde = 0, ya que el motor arranca desde el reposo.

∫

[ ]

[ ]

– –

A partir de qué

(b) Una inspección de la función impulso angular muestra que la

velocidad angular del volante es una función monótona creciente

del tiempo, de modo que el mayor valor se produce cuando

.

[ ]

COMPARACIÓN

a=200

b=0.1

I=10

(a)

[ ]

[ ]

(b)

DINAMICA

TEMA: CINÉTICA-CANTIDAD DE MOVIMIENTO-SÓLIDO NOTA :




EJERCICIO 03 (CON

VARIABLES)

Se muestra la fuerza que un bastón ejerce sobre una pelota de golf de F. La pelota tiene diámetro y se puede modelar como una esfera homogénea. El bastón toca la pelota durante t segundos, y la magnitud de la velocidad del centro de masa de la pelota después del golpe es de . ¿Qué velocidad angular adquiere la pelota?

DESARROLLO

Momento lineal:

El momento angular

Donde I es el momento de inercia con respecto al centro de masa Como la esfera es homogénea, su momento de inercia es

, donde r =d/2, r= radio y d= diámetro

Remplazamos

EJERCICIO 03 (SIN

VARIABLES)

Se muestra la fuerza que un bastón ejerce sobre una pelota de golf de 1.62 onzas. La pelota tiene 1.68 pulgadas de diámetro y se puede modelar como una esfera homogénea. El bastón toca la pelota durante 0.0006 s, y la magnitud de la velocidad del centro de masa de la pelota después del golpe es de 160 pie/s. ¿Qué velocidad angular adquiere la pelota?

DESARROLLO

Momento lineal:

El momento angular

Convirtiendo las unidades dadas

Remplazamos

Resolviendo

COMPARACIÓN

𝑚 𝑜𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑘𝑔 𝑑 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑥 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑡

𝑣 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠





EJERCICIO 04 (CON

VARIABLES)

En la figura P.8.51. La fuerza ejercida

sobre la bola por el taco es horizontal.

Determine el valor de para el cual

la bola rueda sin resbalar. (Suponga

que la fuerza media de fricción

ejercida sobre la bola por la mesa es

insignificante)

DESARROLLO

Desde el principio del impulso y momento angular tenemos:

∫

Donde , porque la bola se encuentra inicialmente parada.

El principio de impulso y momento lineal:

∫


La bola es una esfera homogénea

Sustituyendo:

(

)

EJERCICIO 02 (SIN

VARIABLES)

En la figura P.8.51. La fuerza ejercida

sobre la bola por el taco es horizontal.

Determine el valor de para el cual

la bola rueda sin resbalar. (Suponga

que la fuerza media de fricción

ejercida sobre la bola por la mesa es

insignificante)

DESARROLLO

Desde el principio del impulso y momento angular tenemos:

∫


El principio de impulso y momento lineal:

∫


La bola es una esfera homogénea

Sustituyendo:

COMPARACIÓN

R=10

(

)

(

)





EJERCICIO 05 (CON

VARIABLES)

Una persona de pie sobre una plataforma en rotación sostiene un peso en cada mano. Suponga que el momento de inercia de masa de la persona y la plataforma es de slug-pie2, que el momento de inercia de masa de cada peso de M lb respecto a su propio centro de masa es de slug-pie2. Si la velocidad angular de la persona con sus brazos extendidos es w rev/ s, ¿cuál es su velocidad angular w2 cuando ella recoge los brazos? (Los patinadores usan esta maniobra para controlar su velocidad angular durante las rotaciones alterando las posiciones de sus brazos.)

DESARROLLO

Por la conservación del momento angular

Ahora como el momento angular se conserva hacemos

EJERCICIO 05 (SIN

VARIABLES)

Una persona de pie sobre una plataforma en rotación sostiene un peso en cada mano. Suponga que el momento de inercia de masa de la persona y la plataforma es de 0.3 slug-pie2, que el momento de inercia de masa de cada peso de 8lb respecto a su propio centro de masa es de 0.0008 slug-pie2• velocidad angular de la persona con sus brazos extendidos es w=1rev/ s, ¿cuál es su velocidad angular w2 cuando ella recoge los brazos? (Los patinadores usan esta maniobra para controlar su velocidad angular durante las rotaciones alterando las posiciones de sus brazos.)

DESARROLLO

Por la conservación del momento angular

[ (

) ]

[ (

) ]

Ahora como el momento angular se conserva hacemos

COMPARACIÓN

[ (

) ]

[ (

) ]

𝐼𝑃

𝑚

𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠

𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑏 𝑝𝑢𝑙𝑔

𝜔 𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝐼𝑀 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒





EJERCICIO 06 (CON

VARIABLES)

La barra esbelta mostrada gira

libremente en un plano horizontal

respecto a un eje vertical en O. La

barra pesa y su longitud es de

El deslizador A pesa . Si

la velocidad angular de la barra es

y la componente

radial de la velocidad A es cero

cuando ¿cuál es la

velocidad angular de la barra cuando

? El momento de inercia

de masa de A respecto a su centro de

masa es insignificante, es decir

considere a como una partícula.

DESARROLLO

De la definición del momento angular, sólo la posición radial de

la corredera será necesario tomar en cuenta al aplicar el principio

de la conservación del momento angular; esto es cuando la

velocidad de la corredera en cuando no cambia el

momento angular de la barra.

(

)

(

)

Convirtiendo:

Reemplazando datos:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(( )

(

)

( )

(

)

)

EJERCICIO 06 (SIN

VARIABLES)

La barra esbelta mostrada gira

libremente en un plano horizontal

respecto a un eje vertical en O. La

barra pesa y su longitud es de

El deslizador A pesa . Si

la velocidad angular de la barra es

y la componente

radial de la velocidad A es cero

cuando ¿cuál es la

velocidad angular de la barra cuando

? El momento de inercia

de masa de A respecto a su centro de

masa es insignificante, es decir

considere a como una partícula.

DESARROLLO

De la definición del momento angular, sólo la posición radial de

la corredera será necesario tomar en cuenta al aplicar el principio

de la conservación del momento angular; esto es cuando la

velocidad de la corredera en cuando no cambia el

momento angular de la barra.

(

)

(

)

Convirtiendo:

Reemplazando datos:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

COMPARACIÓN

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

𝑥 𝑙𝑏

𝑦 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑧 𝑙𝑏

𝑚 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑎 𝑝𝑖𝑒 𝑏 𝑝𝑖𝑒𝑠

DINAMICA





EJERCICIO 07 (CON

VARIABLES)

El viento ocasiona que el barco de ilustrado se mueva lentamente a y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de la masa del barco respecto a su centro de masa es de y el coeficiente de restitución del impacto es ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto?

DESARROLLO

⁄

(

) (

)

El momento angular se conserva alrededor de P

El coeficiente de restitución es:

Donde es la componente vertical de la velocidad de P después del impacto. La velocidad

Resolviendo las ecuaciones

[ ⁄ ] ⁄

Resolviendo las ecuaciones (1) y (3) se obtiene:

[ ]

[ ]

[ ]

⁄

EJERCICIO 07 (SIN

VARIABLES)

El viento ocasiona que el barco de ilustrado se mueva lentamente a y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de la masa del barco respecto a su centro de masa es de y el coeficiente de restitución del impacto es ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto?

DESARROLLO


El coeficiente de restitución es:

Donde es la componente vertical de la velocidad de P después del impacto. La velocidad

Resolviendo las ecuaciones

(

)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (3) se obtiene:

(

)

COMPARACIÓN

a=600 b=1

I= e=0.2 d=52 f=150

[ ]

⁄

[ ]

⁄

DINAMICA





EJERCICIO 08 (CON

VARIABLES)

El viento ocasiona que el barco de 600 ton ilustrado se mueva lateralmente a v pie/s y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de masa del barco respecto a su centro de masa es de I slug-pie2, y el coeficiente de restitución del impacto es e. ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? En el Prob 8.60, si la duración del impacto del barco con el muelle es de t s, ¿cuál es el valor medio de la fuerza ejercida por el impacto sobre el barco?

DESARROLLO


El coeficiente de fricción es

Donde v’p es la componente vertical de la velocidad de P después de que el impacto. Las velocidades v’ y v están relacionados por

[

]

Fp será la fuerza media ejercida sobre el buque por el apilamiento. Aplicamos el teorema de momento lineal y impulso.

[ [

] ]

Resolviendo, obtenemos

[ [

] ]

EJERCICIO 08 (SIN

VARIABLES)

El viento ocasiona que el barco de 600 ton ilustrado se mueva lateralmente a 1 pie/s y golpee el muelle fijo en P. El momento de inercia de masa del barco respecto a su centro de masa es de 3 x 108 slug-pie2, y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.2. ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? En el Probo 8.60, si la duración del impacto del barco con el muelle es de 10 s, ¿cuál es el valor medio de la fuerza ejercida por el impacto sobre el barco?

DESARROLLO


Convirtiendo 600 ton=1322 774.65 lb = 41079.96 slug

El coeficiente de fricción es

Donde v’p es la componente vertical de la velocidad de P después de que el impacto. Las velocidades v’ y v están relacionados por

–

(

)

Fp será la fuerza media ejercida sobre el buque por el apilamiento. Aplicamos el teorema de momento lineal y impulso.

Resolviendo, obtenemos

COMPROBACIÓN

[ [

] ]

[ [

] ]

𝑡 𝑠

𝑚 𝑣 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠

𝑣 𝑝𝑖𝑒 𝑠

𝑒

𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝐼





EJERCICIO 09 (CON

VARIABLES)

Una rueda que se puede modelar

como un disco cilíndrico homogéneo

de a slug rueda a pie/ s sobre una

superficie horizontal hacia un escalón

de h pulg. Si la rueda permanece en

contacto con el escalón y no resbala

mientras rueda sobre él, ¿cuál es la

velocidad de la rueda una vez que

está sobre el escalón?

DESARROLLO

Aplicamos la conservación del momento angular alrededor de O

para analizar el impacto con el paso.

( ) (

)

(

) [

] (

) [

] (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

[(

)

(

) ]

( )

⁄

A continuación, se aplica el trabajo y la energía en el "escalón"

en el paso.

[

(

)

] [

(

)

]

[

[

] (

)

]

[

[

] (

)

]

[

] [

]

[

] [

]

[

]

(

[(

)

(

) ]

( )

)

(

)

(

[(

)

(

) ]

( )

)

√( [(

)

(

) ]

( )

)

⁄

EJERCICIO 09 (SIN

VARIABLES)

Una rueda que se puede modelar

como un disco cilíndrico homogéneo

de 1 slug rueda a 10 pie/ s sobre una

superficie horizontal hacia un escalón

de 6 pulg. Si la rueda permanece en

contacto con el escalón y no resbala

mientras rueda sobre él, ¿cuál es la

velocidad de la rueda una vez que

está sobre el escalón?

DESARROLLO

Aplicamos la conservación del momento angular alrededor de O

para analizar el impacto con el paso.

( ) (

)

[

] (

) [

] (

)

(

)

(

)

(

)

⁄

A continuación, se aplica el trabajo y la energía en el "escalón"

en el paso.

[

(

)

] [

(

)

]

[

[

] (

)

]

[

[

] (

)

]

[

] [

]

[

] [

]

[

]

(

)

√

⁄

COMPARACIÓN

h=6

R=18

√( [(

)

(

) ]

( )

)

⁄

√( [(

)

(

) ]

( )

)

⁄

⁄





EJERCICIO 10 (CON

VARIABLES)

En la figura 8.74, la velocidad del

centro de masa de la gimnasta de

es y su

velocidad angular es cero justo

antes de que sujete la barra en A.

En la posición mostrada, su


respecto a su centro de masa es

Si se modela

como un cuerpo rígido, ¿cuál es la

velocidad de su centro de masa y

su velocidad angular justo antes

de que sujete la barra?

DESARROLLO

Convirtiendo:

Calculando él y el √

|

|

Resolviendo la ecuación, y relacionando

La velocidad

EJERCICIO 10 (SIN

VARIABLES)

En la figura 8.74, la velocidad del

centro de masa de la gimnasta de

es y su

velocidad angular es cero justo

antes de que sujete la barra en A.

En la posición mostrada, su


respecto a su centro de masa es

Si se modela

como un cuerpo rígido, ¿cuál es la

velocidad de su centro de masa y

su velocidad angular justo antes

de que sujete la barra?

DESARROLLO

Convirtiendo:

Calculando él y el

|

|

Resolviendo la ecuación, y relacionando obtenemos que

y .

La velocidad

COMPROBACIÓN

|

|

Resolviendo la ecuación, y relacionando obtenemos que y .

La velocidad

𝐴𝑙𝑏 𝑙𝑏

𝑚𝑖 𝑛𝑗 𝑖 𝑗 𝐶 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝𝑖𝑒 𝑝 𝑞 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑝𝑢𝑙𝑔





EJERCICIO 11 (CON

VARIABLES)

La placa rectangular homogénea

de mostrada libera del

reposo (fig. a) y cae antes

de que la cuerda unida a la

esquina A se tense (fig. b)

suponiendo que la componente

vertical de la velocidad de A es

cero justo después de que la

cuerda se tensa, determine la

velocidad angular de la placa y la

magnitud de la velocidad de la

esquina B en ese instante.

DESARROLLO

Utilizamos trabajo y energía para determinar la velocidad de la

placa descendente justo antes de la cadena se ponga tensa:

Resolviendo √

√

El momento de inercia de la placa es:

[ ]

El momento angular sobre A se conserva:

La velocidad de A después:

|

|

La componente j de es cero

Resolviendo la ecuación 1 y 2

La velocidad de B es:

|

|

EJERCICIO 11 (SIN

VARIABLES)

La placa rectangular homogénea

de mostrada libera del

reposo (fig. a) y cae

antes de que la cuerda unida a la

esquina A se tense (fig. b)

suponiendo que la componente

vertical de la velocidad de A es

cero justo después de que la

cuerda se tensa, determine la

velocidad angular de la placa y la

magnitud de la velocidad de la

esquina B en ese instante.

DESARROLLO

Utilizamos trabajo y energía para determinar la velocidad de la

placa descendente justo antes de la cadena se ponga tensa:

Resolviendo


[ ]



|

|



Y


|

|

COMPROBACIÓN


[ ]



|

|



Y


|

|

𝑚 𝑘𝑔 𝑘𝑔

𝑎 𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑝 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑞 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑟 𝑚𝑚 𝑚𝑚





EJERCICIO 12 (CON

VARIABLES)

La barra esbelta de m lb mostrada cae

del reposo en la posición vertical y

golpea el tope liso en B. El coeficiente

de restitución del impacto es e, la

duración del impacto es s y b = b

pie. Determine la fuerza media

ejercida sobre la barra en B debido al

impacto.

DESARROLLO

Elegimos un sistema con el origen de coordenadas en A y el eje

de las “x” paralelo a la superficie plana y el eje “y” hacia arriba.

La estrategia consiste en:

a) Usamos el principio del trabajo y la energía, par calcular la

velocidad antes del impacto

Pero sabemos que

…(1)

La distancia al centro de masa de la barra es

El trabajo realizado por la barra es:

(

)


Sabemos que

(

)

Remplazamos en (1)

(

)

(

)

√

√

⁄

Donde el signo negativo en la raíz cuadrada es elegido para

ser compatibles con la elección de las coordenadas.

b) Con el coeficiente de restitución, calculamos la velocidad

después del impacto.

Donde y son las velocidades de la barra a una

distancia b de un impacto, antes y después. Dado que la

proyección de B es inmóvil antes y después del impacto

. Entonces:

Sabemos que y

( √

)

(√

) ⁄

c) El principio de impulso del momento angular, nos ayudará

a determinar la fuerza media de impacto.

∫

∫

Donde es la fuerza ejercida sobre la barra en B, de tal

que:

( )

( )

√

EJERCICIO 12 (SIN VARIABLES)

La barra esbelta de 10lb mostrada cae

del reposo en la posición vertical y

golpea el tope liso en B. El coeficiente

de restitución del impacto es e = 0.6,

la duración del impacto es 0.1 s y b =

1 pie. Determine la fuerza media

ejercida sobre la barra en B debido al

impacto.

DESARROLLO

Elegimos un sistema con el origen de coordenadas en A y el eje

de las “x” paralelo a la superficie plana y el eje “y” hacia arriba.

La estrategia consiste en:

a) Usamos el principio del trabajo y la energía, par calcular

la velocidad antes del impacto

Pero sabemos que

…(1)

La distancia al centro de masa de la barra es

El trabajo realizado por la barra es:

(

)


Sabemos que

(

)

Remplazamos en (1)

(

)

(

)

⁄ Donde el signo negativo en la raíz cuadrada es elegido para

ser compatibles con la elección de las coordenadas.

b) Con el coeficiente de restitución, calculamos la velocidad

después del impacto.

Donde y son las velocidades de la barra a una

distancia b de un impacto, antes y después. Dado que la

proyección de B es inmóvil antes y después del impacto

. Entonces:

Sabemos que y

⁄

c) El principio de impulso del momento angular, nos ayudará

a determinar la fuerza media de impacto.

∫

∫

Donde es la fuerza ejercida sobre la barra en B, de tal

que:

( )

COMPARACIÓN

L=3

e=0.6

b=1

m=10

g=32.2

( )

√

(

)

√

Ejercicios Semanas Unidos

Documents

Transcript of Ejercicios Semanas Unidos