Elasticidad y resistencia de materiales Introduccin. Se pretende facilitar a los estudiantes de la asignatura la resolucin del suficiente nmero de problemas que le permita adquirir la metodologa y el hbito necesarios para resolver cualquier problema relacionado con elementos de una estructura y una mquina, y en algunos casos estructuras sencillas, siempre que la geometra y el material permitan la aplicacin de las hiptesis y principios de la elasticidad lineal. Para ello se har en cada tema un pequeo resumen de las bases tericas con las que han de estar familiarizado, as como las indicaciones metodolgicas que necesiten para la resolucin de los diversos tipos de problemas. Los sistemas de unidades a utilizar sern el tcnico o M.K.S.y el Sistema Internacional (SI) con especial atencin al segundo (ver resumen). El material ser considerado homogneo, istropo, continuo, elstico y sometido a pequeas deformaciones. El modelo terico geomtrico del slido elstico ser el prisma mecnico (engendrado por una seccin plana...) Cualquier estructura o elemento estructural se utilizar estableciendo: 1) El equilibrio de la totalidad (equilibrio esttico) o de cualquiera de sus partes (elstico) Ello obliga a que se verifiquen las ecuaciones: 7FX=0

! 0 F 7FY=0 7FZ=0 7MX=0 ! 0 M 7MY=0 7MZ=0 Ecuaciones de equilibrio que relacionan las fuerzas aplicadas y los esfuerzos (fuerzas internas) por medio de la geometra. 2) La compatibilidad de deformaciones de las diversas partes y de cualquiera de ellas con las ligaduras exteriores, que se traduce en ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES querelacionanlas deformaciones entre s por medio de la geometra del conjunto. Llegar a la expresin matemtica de esas ecuaciones requiere en ocasiones estudiar como se desplaza la estructura, planteando las ecuaciones que ligan los desplazamientos de puntos significativos de la estructura. La relacin entre esos desplazamientos y las deformaciones, permitirn finalmente obtener las ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES. 3) La relacin entre esfuerzos y deformaciones, se conocer como LEY DE COMPOTAMIENTO DEL MATERIAL pues en esta relacin intervienen las propiedades del material, considerado elstico. Los casos que pueden resolverse estableciendo slo las ecuaciones de equilibrio sern estticamente determinados o isostticos, y aquellos en los que, por ser el numero de incgnitas superior al de ecuaciones, hemos de recurrir a las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones, sern los problemas estticamente indeterminados o hiperestticos. Los tipos de acciones y las reacciones en las ligaduras correspondientes a los diversos tipos de apoyos, se corresponden con las estudiadas en MECNICA (Beer and Johnston). Los estados tensionales y de deformacin en el entorno de un punto, con la definicin de matriz de tensiones y de deformaciones, as como la relacin tensin-deformacin en los diversos materiales (ley de Hooke generalizada) se consideran conocidos del estudio previo resumido de la elasticidad. Al igual que los principios bsicos (rigidez relativa, superposicin...)

2sm2.sm kg2sm SISTEMAS DE UNIDADES MAGNITUDES FUNDAMENTALES LongitudFuerzaTiempo Sist. Tcnico MX.metro (m)kilopondio (Cha)segundo (s) Sist. Internacionalmetro (m)kilogramo (Kg)segundo (s) -SISTEMA INTERNACIONAL: LA FUERZA ES UNA MAGNITUD DERIVADA:EL NEWTON F = m . a 1 N = 1 Kg. 1 =1 CONVERSION: 1 Kp = lo que pesa1 Kg. Masa = m . g = 1 kg. . 9.8 APROXIMACION: -LAS FUERZASDEL SISTEMA TECNICO ( Kp) SE MULTIPLICAN POR 10 EN EL SISTEMA INTERNACIONAL (N) N Kp 10 1 < Kp N 1 , 0 1 < 1 Kp= 9.8 = 9.8 N 2.sm kg-LA TENSIONTAMBIEN ES UNA MAGNITUD DERIVADA: -CONVERSION APROXIMADA: Las TENSIONES2cmKpSE DIVIDEN POR 10=2mmN =MPa Ejemplo: Valores como 2.6002cmKppasan a ser260 Mpa. UNIDADES ACONSEJABLES EN RESISTENCIA DE MATERIALES FUERZA: 1 kN = 103 N FUERZA/LONGITUD: mkN FUERZA/SUPERFICIE: 2mkN MOMENTO:kN . m En elSISTEMA TECNICO: 2mKp aconsejable 2cmKp En elSIST. INTERNACIONAL:PamN!2 aconsejable Pa MPammN6210 ! !1 2cmKp = 2 21010mmN = 0,12mmN = 0,1MPa RESISTENCIA DE MATERIALES -Ciencia que estudia la relacin entre las fuerzas exteriores,las fuerzas internas esfuerzos y las deformaciones producidas por aquellas, en los elementos de una estructura de una mquina. -Elementos (barras, vigas, ejes.........)que estn unidos entre s formando la estructura y/a una fundacin. ESTRUCTURASESTRUCTURAS CONTINUAS ARTICULADASDE NUDOS RIGIDOS -Las ligaduras ms habituales son: -Se cubre un gran campo de aplicaciones con la geometra conocida como prisma mecnico recto en los que con frecuencia la seccin es constante. las dimensiones seccin son muy pequeas frente a la longitud de la lnea media. -La estructura en su conjunto y cada elemento ha de estar en equilibrio esttico: ) ! ! 0 ; 0OM F APOYO ARTICULADO MOVILAPOYO ARTICULADO FIJOEMPOTRAMIENTO -Enelasticidadseestudiaelslidodeformableelstico-quepuederomperseporalgunadesus secciones. -Para ello es necesario estudiar los esfuerzos que aparecen en las secciones transversales,planteando el equilibrio elstico de cualquiera de sus trozos. dAdFAFlima!((! ( 0W dAdT! X

W : Tensin Wn : Tensin Normal. X :Tensin Tangencial Cortante. W2 =Wn2+X2 dAdNn! W-La resultante de todas esas TENSIONES enel caso ms general ser: R=N + T y MR= MT +M Esfuerzo Esfuerzo TangencialMomentoMomento Normal CortanteTorsor Flector - objetivo!ENCONTRAR LA SECCION MAS SOLICITADAy, dentro de ella, EL PUNTO SOMETIDO A LAS TENSIONES MAXIMAS. -Se considera que la seguridad de una estructura es aceptable cuando las tensiones mximas no superan lo que denominaremos Condicin de Agotamiento del material, marcado por la norma correspondiente. -Adems de esa condicin de resistencia del material, se ha de verificar la Condicin de Deformacin, que hace aceptable una estructura cuando las deformaciones no superan losvalores mximos prescritos por las normas. TRACCION COMPRESION Tz Ty Mz My -Una barra est solicitada a traccin compresin cuando en sus secciones transversales acta nicamente la fuerza normal N, en la direccin del eje normal Z. -Si la fuerza normal N est dirigida en el sentido positivo del eje normal X estamos en un caso de traccin. -Si la fuerza normal N est dirigida en el sentido negativo del eje normal X estamos en un caso de compresin. -DIAGRAMA DE N: Fvert = 0 R+Q-P=0 R = P Q =20 kN(Problema Isosttico) -Equilibrio elstico 0 ' z 'a N = R = 20 kN. (compresin) a ' z 'l N = R + Q = 30 kN. (compresin) -Como seestudian la/s seccin/es de Nmax. :todo el tramo superior en queN= 30 kN (compresin) -Las tensiones encualquier seccin sern: Con las cargas mayoradas (de acuerdo con los coeficientes de ponderacin KS ) con los que introducimos la seguridad AN! W Q (10 kN)P ( 30 kN) (3 Tm.)aRbNZR(20 kN)ZR(20 kN)Q 20 kNN30 kN-La CONDICION DE RESISTENCIA ***AN! W e Wu(resistencia de clculo) N1N2..AN1N11PN2 N2 221PDEFORMACIONES -Dentro del campo ELASTICO y LINEAL se verifica la LEY DE HOOKE: , donde N (z)

-SiN = cte. -Que es el caso de los elementos de lascelosas estructuras articuladas, cuando las uniones se pueden considerar articuladas y las cargas actan slo en los nudos. Equilibrio del nudo: 7Fhor = 0 N1cos + N2 = Psen K 7Fvert = 0 N1sen = Pcos K N1 y N2 Equilibrio barras: en todas sus secciones N = cte IW! E A ENEl! ! !WIH l ll HI !(!! ! (lA Edz Nl0HH H ! ! !E AL NdzA EN l0 Equilibrio nudo A :N1sen 30 = P/2 N1 = P(compresin) N1cos 30 =N2 N2 = P 23 (traccin) Dada la simetra:N1 = N1 y N2 = N2 Equilibrio nudo C:N1 = N1 = P 2Pcos 60 + N3 = P N3 = 0 -La resolucin se complica en los casos HIPERESTATICOS, cuando no bastan las ecuaciones de equilibrio. RA + RB = Q (1) hiperestaticidad grado 1 Hay que acudir a las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Htotal = HAC + HCB = 0 (2) En (1) las incgnitas son fuerzas; en la (2) son deformaciones. 301L/2P/2A 23L/22'1'P/2BCP -Las relacionamos con la ley de comportamiento del material. EAl REAl NAC A ACAC

!

! Hsustituidas en (2) EAl REAl NCB B CBCB

! '! H 0 !

EAl REAl RCB B AC AEcuacin que con (1) nos resuelve el problema. EJERCICIO 1.1: A)Calcular el diagrama de esfuerzos axiles N y de tensiones W. B)Calculardesplazamientosenlasseccionestransversalesdelacolumnade acero de la figura. Datos: E = 200Gpa = 200 x 103 MPa = N/mm2 1)Equilibrio esttico: R=P1-P2+P3+ (q x 3) = 50-200+100+150=100 KN 2)Equilibrio elstico por tramos: Tramo0