Ejercicios resueltos

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Antes de comenzar debes tener en cuenta los siguientes consejos:1. Organiza tu lugar de trabajo. Éste debe ser un lugar despejado,

limpio y con buena iluminación.2. Evita las distracciones: televisor, messenger abierto, facebook…

la novia o el novio.3. A medida que desarrolles tus ejercicios, anota en una columna

las dificultades que vas teniendo. Un truco es que no mires el siguiente paso hasta que definitivamente no encuentres el camino a seguir.

4. Identifica si tu dificultad es sobre factorización, racionalización, operaciones con fraccionarios u otros.

5. Analiza el ejercicio, especialmente donde tuviste la dificultad. No memorices el paso puesto que para cada ejercicio es diferente. ANALIZA LOS CASOS Y CUÁNDO SE APLICAN.

6. Es importante estar sereno y tranquilo. Tomarse el tiempo para estudiar, respirar profundamente y nunca darse por vencido.

coscot csc

1 cos

senx xx x senx

x

Primer ejercicio:

Establece si la siguiente expresión es o no es identidad

cos cos 1

1 cos

senx x xsenx

x senx senx

2 2cos cos 1 cos 1

1 cos

sen x x x x sen x

x senx senx

2 2 2cos cos cos cos

1 cos

sen x x x x x

x senx senx

2 2 2cos cos cos cos

1 cos

sen x x x x x

x senx senx

2 2 2cos 1 cos cos

1 cos

x sen x x x

x senx senx

Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias

Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad.

Efectuamos propiedad distributiva en cos 1 cosx x

¡Cuidado con el signo!

Analizando el numerador, se debe buscar un modo de eliminar la expresión . 2sen x

Esta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo. Aquí agrupamos los dos primeros términos.

¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis arriba. 2 cos cossen x x x

2 2cos 1 cos cos

1 cos

x x x

x senx senx

2 2cos cosx x

senx senx

3 2 2cos cos cos

1 cos

x x x

x senx senx

2 3 2cos cos cos

1 cos

x x x

x senx senx

2 2 2cos cos cos cos

1 cos

x x x x

x senx senx

¿Sabes porq

ué?

Cambiamos la expresión por 2 1sen x 2cos x

Multiplicamos los dos primeros términos 2cos cosx x

Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…

Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda

Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que

!!!ES IDENTIDAD¡¡¡

Segundo ejercicio:

Establece si la siguiente expresión es o no es identidad

cos tan2 tan

cos

senx x xx

x

cos1 1 cos 2 tan

cos

senx x senxx x

x

2 tancos

senx senxx

x

22 tan

cos

senxx

x

2 tan 2 tanx x

Cambiamos la expresión tanx por su equivalente

Simplicando la expresión nos queda senx.cos1 cos

x senxx

Sumando…

!!!ES IDENTIDAD¡¡¡

Tercer ejercicio.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

2 23cos 2x sen x

2 23 1 2sen x sen x

2 23 3 2sen x sen x

23 2 2sen x

22 2 3sen x

22 1sen x

22 1sen x

Aplicamos la propiedad fundamental2 2cos 1sen x x

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

Simplificación de términos semejantes

Propiedad uniforme. Tratamos de dejar sola la expresión2sen x

Simplificación…

Multiplicando por (-1) a ambos lados de la igualdad

2 1

2sen x

2 1

2sen x

1

2senx

2

2senx

1 2

2x sen

3 5 7, , ,

4 4 4 4x

Despejando…

Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

Y nos queda…

Racionalizando…

Recordemos que la incógnita es el ángulo x. Aplicamos la inversa…

Como las raíces son positivas y negativas, ¡¡¡éstas sonlas soluciones!!!

Cuarto ejercicio.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

24cos cos 0x x

cos 4cos 1 0x x

cos 0 4cos 1 0x x

Factorizando: ¡FACTOR COMÚN!

Y nos quedan dos soluciones:

Despejando en ángulo x en cada una, nos darán:

Recuerda poner tu calculadora en

Radianes

1cos 0

3,

2 2

x

x

1

1cos

41

cos4

1.3181

x

x

x rad

Quinto ejercicio.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

2 cos 0senx x

2 cossenx x

2 22 1sen x sen x

2 24 1sen x sen x

222 22 1sen x sen x

2 24 1sen x sen x

25 1sen x

Despejamos 2senx

Aplicamos la propiedad fundamental. Pues:2 2

2 2

2

cos 1

cos 1

cos 1

x sen x

x sen x

x sen x

Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad

Y nos queda…

Juntamos términos semejantes

Y simplificamos…

2 1

5sen x

1 1

5x sen

1

5senx

0.46 , 0.46x rad rad

Despejando…

Raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad

Despejando la incógnita, es decir, en ángulo x

En este caso, no hay un ángulo notable por lo que necesitamos la ayuda de la calculadora en modo radianes

¡¡¡SOLUCIONES!!!