Ejercicios Resueltos Hibbeler Grupo 12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS, GEOLOGA Y

CIVIL

ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

DINMICA (ICC-244)

PRIMERA PRCTICA

CINEMTICA DE PARTCULA Y CINEMTICA DE CUERPO RGIDO

GRUPO 12

Ttulo: INGENIERA MECNICA: DINMICA

Autor: R.C. Hibbeler Edicin: 12th

Docente: Ing. Cristian Castro Prez. Alumnos:

Ircaaupa Huaman, Angel. Orellana Huamn, Miguel Angel. Sosa Lozano, Elvis Jhoel. Soto Medrano, Katherine Sheylla.

AYACUCHO - PERU

2013

Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga UNSCH 2013

Primera Prctica de Dinmica (ICC - 244) - Grupo 12/Hibbeler

PRIMERA PRCTICA DE DNAMICA:

CINEMTICA DE PARTCULA:

PROBLEMA 1 (12.78): Las clavijas A y B estn restringidas a moverse en las ranuras elpticas debido al movimiento del enlace ranurado. Si el pasador se mueve con una velocidad constante de 10 m/s, determinar la magnitud de la velocidad y la aceleracin de la clavija A cuando x = 1 m. Solucin: a) Hallamos la magnitud de la velocidad de la clavija A, para x = 1m.

Reemplazamos x=1 en la ecuacin de la trayectoria: 2

2

22

14

(1)1

4

3

2

xy

y

y m

Derivando la ecuacin de la trayectoria con respecto al tiempo tenemos:

1(2 ) 2 0

4

1( ) 2 0

2

xx yy

xx yy

Como ,x yx v y v entonces:

1( ) 2 0................(1)

2x yxv yv

Reemplazamos 10 / 1xv m s x m en la ecuacin (1).

1 3(1)(10) 2 0

2 2

2.887 / 2.887 /

y

y

v

v m s m s

Finalmente determinamos la magnitud de la velocidad de la clavija:

4/



b) Hallamos la magnitud de la aceleracin de la clavija A, para x = 1m.

Obtenemos la segunda derivada de la ecuacin de la trayectoria:

2 2

1( ) 2( ) 0

2

1( ) 2( ) 0

2

xx xx yy yy

x xx y yy

Como ,x yx a y a entonces:

2 21 ( ) 2( ) 0.................(2)2

x x y yv xa v ya

Reemplazamos 3

0, 1; ; 10 2.8872

x x ya x y v v en la ecuacin (2).

2 2

2 2

1 3(10 0) 2 ( 2.887) 0

2 2

38.49 / 38.49 /

y

y

a

a m s m s

Finalmente determinamos la magnitud de la aceleracin de la clavija:

4

PROBLEMA 2 (12-80): La furgoneta se desplaza sobre la colina descrita por

3 2( 1.5(10 ) 15)y x ft . Si tiene una velocidad constante de 75 ft/s, determine las

componentes x e y de la velocidad y la aceleracin de la furgoneta cuando x = 50ft.

Solucin:

a) Hallamos las componentes x e y de la velocidad de la furgoneta para x=50ft.

Derivamos la ecuacin de la trayectoria con respecto al tiempo: 3 2

3

3

1.5(10 ) 15

3(10 )

3(10 )y x

y x

y xx

v xv

4 /



Para x=50ft tenemos: 33(10 )(50) ..............(1)y xv v

La magnitud de la velocidad est dada por la siguiente ecuacin:

22..................(2)x yv v v

Reemplazamos la ecuacin (1) en (2) y v=75ft/s:

2 2

75 0.15

74.2 /

x x

x

v v

v ft s

Reemplazamos 74.2 /xv ft s en la ecuacin (1):

33(10 )(50)( 74.2)

11.1 /

y

y

v

v ft s

b) Hallamos las componentes x e y de la aceleracin de la furgoneta para x=50ft.

Obtenemos la segunda derivada de la ecuacin de la trayectoria:

3

3 2

3(10 )( )

3(10 )( )y x x

y xx xx

a v xa

Pero 50 74.17 /xx ft v ft s entonces

tendremos: 3 23(10 ) ( 74.17) 50

(16.504 0.15 )..................(3)

y x

y x

a a

a a

De la figura (a) hallamos el ngulo cuando x=50ft

1 1 3 1

5050

tan tan 3(10 ) tan ( 0.15) 8.531x ft

x ft

dyx

dx

Por lo tanto, a partir del diagrama mostrado en la figura (a).

cos(8.531 ) (8.531 ) 0................(4)x ya a sen

Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) obtenemos:

/



PROBLEMA 3 (12.83): El carro de la montaa rusa desciende por la trayectoria helicoidal a velocidad constante de modo que las ecuaciones paramtricas

que definen su posicin son csenktx , ktcy cos

, bthz , donde c, h, b son constantes. Determine las magnitudes de su velocidad y aceleracin. Solucin: El vector posicin est dado por el vector r, que tiene como componentes en los ejes x, y, z r=(x, y, z); Donde:

csenktx i ktcy cos j

bthz k Derivamos las siguientes funciones para encontrar la velocidad en cada eje.

ktickdt

dxvx cos

cksenktjdt

dyvy

bkdt

dzvz

Sabemos el mdulo de la velocidad total est dada por:

222

zyx vvvV

Reemplazando obtenemos la velocidad:

222 )()()cos( bcksenktktckV

Derivando nuevamente la velocidad en funcin del tiempo encontraremos la aceleracin:

senktickdt

dvxxa

2

ktjckdt

dvyya cos

2

0dt

dvzza



Sabemos el mdulo de la velocidad total est dada por: 222

zyx aaaa Reemplazando obtenemos la aceleracin:

0)cos()( 2222 ktcksenktcka

PROBLEMA 4 (12.211): El movimiento del collar en A lo controla un motor en B, de modo que

cuando el collar est en piessA 3 sube a

spies /2 y su velocidad se reduce a 2/1 spies .

Determine la velocidad y aceleracin de un punto en el cable a medida que se jala hacia el motor B en este instante.

Solucin: Datos:

piessA 3 spiesvA /2

2/1 spiesaA

La longitud de la cuerda est dada por:

22 4 AB Ssl

Derivamos en funcin del tiempo:

ASs

B ss AA

)2()16(2

10 2/12 ; .ctel

Despejando obtenemos la velocidad de B en funcin de As

ASs

BV ss AAB

)()16( 2/12

Volvemos a derivar para obtener la aceleracin:

)]2()16)(2

1()16()[( 2

3

22/122

Ass

ASs

ABa ssss AAAAB



Ordenando;

2

12

2

2

3

2 )16(

)(

)16(

2( )

s

sssss

A

AA

A

A

BA

s

Aa

Reemplazamos los datos obtenemos:

ASs

BV ss AAB

)()16( 2/12

La velocidad:

)2)(3()163( 2/12 BV

La aceleracin:

2

12

2

2

3

2 )16(

)(

)16(

2( )

s

sssss

A

AA

A

A

BA

s

Aa

2

1

2

2

2

3

2 )16)3((

)1(3)2(

)16)3((

2)2)(3(( )

Ba

2/11.1 sftaB

PROBLEMA 5 (12.214): Si el camin viaja a una velocidad constante de 6 /Tv ft s ,

Determinar la velocidad de la caja por algn ngulo de la cuerda. La cuerda tiene una

longitud de 100 ft y pasa por encima de una polea de tamao insignificante en A.

Consejo: Relacionar las coordenadas

Tx y Cx y la longitud de la cuerda

y tomar la derivada respecto al

tiempo. Luego sustituir la relacin

trigonomtrica entre Cx y .



Solucin:

Datos:

sftvT /6

ftl 100

De la figura tenemos:

___

CAxl T

ctgxC 20

Por Pitgoras hallamos ____

CA

22____

2 20 CxCA

22____

20 CxCA

Reemplazamos el valor de ____

CA

2220 CT xxl .. (I)

Derivamos la ecuacin (I) en funcin del tiempo:

)20()()( 22

CT x

dt

d

dt

xd

dt

ld ; cteftl 100

Sabemos que:

sftT

v xT /6

CC xv

Reemplazando los datos tendremos en la ecuacin (II)

24004002

)20.2(1

ctg

ctgvCTv

21

).(6

ctg

ctgvC

; Adems:

2 21 cscctn

).().........2()20(2

10 2/122 IIxxx CCCTx



Entonces:

2csc

).(6

ctgvC

6csc

ctgvC

Finalmente:

sftvC /cos6

CINMATICA DE CUERPO RGIDO:

PROBLEMA 6 (16.10): Durante una rfaga de viento,

las palas del molino de viento tienen una aceleracin

angular de 2(0.2 ) /rad s , donde est en

radianes. Si inicialmente las cuchillas tienen un angular

velocidad de 5 rad/s, determinar la velocidad del punto

P, que se encuentra en la punta de una de las cuchillas,

justo despus de que la cuchilla ha convertido dos

revoluciones.

Solucin: Datos:

2(0.2 ) /rad s srad /5

ftrP 5.2

?Pv Tenemos:

dd Resolvemos la siguiente ecuacin para obtener la velocidad angular despus de dos

revoluciones.

dd 2.0



Integramos:

4

02.0d

srad /522.7

Finalmente hallamos la velocidad del punto P.

Sabemos que: PP rv

Reemplazamos los valores:

)5.2(522.7Pv

PROBLEMA 7 (16.38): El bloque se mueve hacia la izquierda con una velocidad

constante 0v . Determine la velocidad angular y la aceleracin angular de la barra como

una funcin de . Solucin: Las coordenadas de posicin, determinadas por su geometra, son:

cot [1]tan

ax a

Derivando la ecuacin 1 respecto al tiempo tenemos:

2csc [2]dx d

adt dt



Dado que la velocidad 0v se dirige hacia el x positivo, entonces: 0dx

vdt

.

Adems: d

wdt

De la ecuacin 2 tenemos:

2

0

20 0

2

csc ( )

csc

v a w

v vw sen

a a

Como: dw

dt , de la expresin anterior tenemos:

0 (2 cos ) [3]v d

sena dt

Como: 2 cos 2sen sen , y 20vd

w sendt a

, al sustituir estos valores en la

ecuacin 3 tenemos:

2 2 20 0 02 ( ) ( ) 2v v v

sen sen sen sena a a

PROBLEMA 8 (16.41): La manivela AB gira con una velocidad angular constante de

5 /rad s . Determine la velocidad del bloque C y la velocidad angular de la barra BC en el

instante en que 30 .



Solucin: Las coordenadas de posicin, determinadas por su

geometra, son:

0.6cos 0.3cos ........... 1

0.6 0.15 0.3 ........... 2

x

sen sen

Al igualar las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

20.6cos 0.3 2 4 0.75 3x sen sen

Derivando la ecuacin 3 respecto al tiempo tenemos:

2

0.15(2cos 4 2 )[ 0.6 ] [4]

2 4 0.75

dx sen dsen

dt dtsen sen

Como: C

dxv

dt y AB

dw

dt

, entonces de la ecuacin 4 tenemos:

2

0.15(2cos 4 2 )[ 0.6 ] [5]

2 4 0.75C AB

senv sen w

sen sen

En el instante 30 y 5 /ABw rad s remplazando en 5 tenemos:

2

0.15(2cos30 4 60 )[ 0.6 30 ](5)= 3.00 m/s

2 30 4 30 0.75C

senv sen

sen sen

Tomando la derivada de la ecuacin 2, tenemos:

0.6cos 0.3cos [6]6

d d

dt dt

Y como: BC

dw

dt

y AB

dw

dt

, entonces en la ecuacin 6 tenemos:

2cos( ) [7]

cosBC ABw w

/



En el instante 30 , y de la ecuacin 2: 30 , obtenemos en 7:

2cos30( )(5) = 10.0 rad/s

cos30BCw

Nota: El signo negativo indica que Cv se dirige en la direccin opuesta del eje x positivo.

PROBLEMA 9 (16.43): El extremo A de la barra se mueve a la izquierda a una velocidad

constante Av . Determine la velocidad angular y la aceleracin angular en funcin de su

posicin x

Solucin:

Relacionamos geomtricamente x en funcin de xsenr

Despejando x: sen

rx .[1]

Derivamos la ecuacion 1 respecto del tiempo, tenemos:

dtrsen

dr

dt

dx

2

cos [2]

Sabemos que: Avdt

dx , tambien

dt

d

De la geometria tenemos:

x

rsen ;

x

x r22

cos

Sustituyendo los valores en la ecuacion [2]:

))/(

/((

2

22

xr

xrxrv

dt

dxA

/



Ordenando, fialmente obtenemos la velocidad angular:

*Para obtener la aceleracion angular derivamos una vez ms la ecuacion [2]

22

2

sen

r

dt

xd

]cos))(cos1

[(2

22

2

2

2

dt

d

dt

d

sendt

xda

.[3]

Se sabe que 02

2

dt

xda ; porque tiene una velocidad constante

Tambin

2

2

dt

d; sustituimos estos valores en la ecuacion [3].

]cos)cos1

[(0 22

2

sensen

r

22

)cos

cos1(

sen

[4]

Finalmente sustituyendo ls valores, x

rsen ,

x

x r22

cos

y Avrxx

r)(

22 , en

la ecuacion [4].

PROBLEMA 10 (16.48): El hombre tira de la cuerda a una velocidad constante de 0.5m/s. Determine la velocidad angular y aceleracin angular de la viga AB cuando =60. El haz rota alrededor de A. Despreciar el espesor de la viga y el tamao de la polea.



Solucin: Las coordenadas de posicin: Aplicando la ley de cosenos:

cos)6)(6(266 222 s

22 )cos7272( ms

Tomando la derivada respecto al tiempo:

Aqu,

acta en sentido negativo de s. Cuando =60,

, as de la ecuacin (1) tenemos:

El signo negativo indica que acta en el sentido de giro contrario a s. De la derivada respecto al tiempo de la ecuacin (1) tenemos:

( )

Si es constante, . Cuando =60.

PROBLEMA 11 (16.138): El brazo de la gra gira con velocidad angular y acelaracin angular como se muestra en la figura. En ese mismo instante, el brazo se extiende con una velocidad constante de 0.5 ft/s, medido en relacin con el brazo. Determine la magnitud de la velocidad y la aceleracin en el punto B en ese instante.

/

/



Solucin:

*El sistema de referencia rotacional xyz est unido a AB, y coincide con el sistema de referencia fijo XY en el instante considerado, figura (a).

Por lo tanto, el movimiento del sistema XY con respecto al sistema xyz es:

/ /

Para el movimiento del punto B respecto al sistema xyz, tenemos:

/

/

Determinaremos la velocidad, aplicando la ecuacin de velocidad relativa:

/

/ La magnitud de vB, figura (b) es:

/



Determinaremos la aceleracin aplicando la ecuacin de la aceleracin relativa:

/ ( / )

( ) 4

4 /

La magnitud de aB, figura (c) es:

4 PROBLEMA 12 (16.143): En un instante dado, la barra AB tiene los movimientos angulares que se muestran. Determine la velocidad y aceleracion angulares de la barra CD en este instante.Hay un collarin en C. Solucin: Datos:

skradAB /5 2/12 skradAB

iftr AC 2/

ivV ACAC )( //

iaa ACAC )( //

Sabemos que la velocidad y aceleracion en A es cero, es decir:

0Av

0Aa

4/



Tenemos que:

ACACAc vxrvv // ivixkv ACc /)2()5(0

jivv ACc 10/ .[1]

Pero tambien:

CDCDc xrv ..[2]

Igulanos as ecuaciones [1] y [2]

)()(10/ CDCDAC rxkjiv

jsenir ooCD 60260cos2

jsenixkjiv ooCDAC 60260cos2)(10/ jijiv CDCDAC 732.110/ ..[3]

Comparando la ecuacion [3] Tenemos que ;

Por otro lado:

sftv AC /32.17)10(732.1/

Calculamos la aceleracin angular:

ACACACACAC avxxrxrxaa //// )(2

iaivxkixkxkixka ACACC )(])[()5(2]2)5[()5()2()12(0 // jviaa ACACC ]24)(10[]50)[( // .[4]

Pero sabemos tambin:

CDCDDCCDC xrxra2

/

.[5] Igualamos las ecuaciones [4] y [5]

CDCDDCCDACAC xrxrjvia2

/// ]24)(10[]50)[(

Remplazamos los valores:

)60260cos2()10()60260cos2()(]24)32.17(10[]50)[( 2/ jsenixjsenixkjiaoooo

CDAC

Agrupando las ecuaciones

jijia CDCDAC )32.17()100732.1(]24)32.17(10[]50)[( /

..[6]



Finalmente por comparacin obtenemos la aceleracin angular.

)32.17(]2432.1710[ CD *Por otro lado:

iia CDAC )100732.1(]50)[( /

ia AC )10024732.1(]50)[( / 2

/ /43.8 sfta AC

Ejercicios Resueltos Hibbeler Grupo 12

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