Ejercicios Resueltos: Estimaci on de ecuaciones simult...

Ejercicios Resueltos: Estimacion de ecuaciones simultaneas

Roman Salmeron Gomez

Universidad de Granada2011

1. Consideremos el modelo de ecuaciones simultaneas dado por las dos ecuaciones siguientes:

Y1t = α0 + α1Y2t + α2X1t + α3X2t + α4X3t + u1t,

Y2t = β0 + β1X3t + β2X4t + u2t,

donde:

Y1 es el consumo familiar mensual (medido en miles de euros).

Y2 es la renta familiar mensual (medida en miles de euros).

X1 es una variable ficticia que toma el valor 1 si la familia en cuestion tiene alguntipo de deuda y 0 en otro caso.

X2 es el numero de hijos de cada familia.

X3 es el numero de individuos de la familia que trabajan.

X4 es el nivel de estudios de los trabajadores de cada familia.

Aborde la estimacion de dichas ecuaciones a partir de la siguiente informacion muestralobtenida a partir de 16 observaciones:

Y1 Y2 cte X1 X2 X3 X4

Y1 63’39 94’44 29’9 21’3 40 47’6 54’3Y2 147’26 46’2 30’2 56’2 73’1 84’1cte 16 11 18 24 28X1 11 14 15 19X2 36 30 33X3 40 42X4 60

Puesto que la renta familiar aparece al mismo tiempo como explicada (segunda ecuacion) y explicativa(primera ecuacion), es evidente que nos encontramos ante un modelo de ecuaciones simultaneas.

En dicho modelo podemos distinguir dos variables endogenas (consumo y renta) y cinco exogenas(constante, deuda, hijos, trabajadores y estudios).

Para obtener la forma estructural del ejemplo anterior pasamos todas las variables a un miembro:

−Y1t + α0 + α1Y2t + α2X1t + α3X2t + α4X3t + u1t = 0,−Y2t + β0 + β1X3t + β2X4t + u2t = 0,

1

las cuales reescribimos matricialmente obteniendo la forma estructural del modelo:

(Y1t Y2t) ·(−1 0α1 −1

)+ (1 X1t X2t X3t X4t) ·

α0 β0

α2 0α3 0α4 β1

0 β2

+ (u1t u2t) = (0 0),

donde identificamos

yTt = (Y1t Y2t), xT

t = (1 X1t X2t X3t X4t), uTt = (u1t u2t),

Γ =(−1 0α1 −1

), B =

α0 β0

α2 0α3 0α4 β1

0 β2

.

La forma reducida, yTt = xT

t Π + vTt , se expresa como:

(Y1t Y2t) = (1 X1t X2t X3t X4t) ·

α0 + α1β0 β0

α2 0α3 0

α4 + α1β1 β1

α1β2 β2

+ (v1t v2t),

ya que

Π = −BΓ−1 = −

α0 β0

α2 0α3 0α4 β1

0 β2

·(−1 0−α1 −1

)=

α0 + α1β0 β0

α2 0α3 0

α4 + α1β1 β1

α1β2 β2

.

Es decir, hemos expresado las variables endogenas en funcion de las predeterminadas:

Y1t = (α0 + α1β0) + α2X1t + α3X2t + (α4 + α1β1)X3t

+α1β2X4t + v1t,

Y2t = β0 + β1X3t + β2X4t + v2t.

Como paso previo, y necesario, a la estimacion de las ecuaciones vamos a identificar las mismas.

Para identificarlas bajo restricciones de nulidad sera necesario conocer la matriz:

A =(

ΓB

)=

−1 0α1 −1α0 β0

α2 0α3 0α4 β1

0 β2

.

Ademas, es claro que N = 2 y k = 5. Para la primera ecuacion se tiene que:

A1 = β2 −→ rg(A1) = 1 = N − 1,

2

N1 = 2 −→ N1 − 1 = 1k1 = 4 −→ k − k1 = 1

}−→ k − k1 = N1 − 1.

Mientras que para la segunda:

A2 =

−1α2

α3

−→ rg(A2) = 1 = N − 1,

N2 = 1 −→ N2 − 1 = 0k2 = 3 −→ k − k2 = 2

}−→ k − k2 > N2 − 1.

Es decir, la primera ecuacion es exactamente identificada y la segunda sobreidentificada.

De igual forma se podrıan identificar las ecuaciones mediante restricciones de linealidad puesto que lasrestricciones de nulidad son un caso particular de estas.

Para la primera ecuacion:

Φ1 = (0 0 0 0 0 0 1) −→{rg(Φ1) = 1 = N − 1Φ1A = (0 β2)→ rg(Φ1A) = 1 = N − 1 .

Mientras que para la segunda:

Φ2 =

1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0

−→ rg(Φ2) = 3 > 1 = N − 1,

Φ2A =

−1 0α2 0α3 0

→ rg(Φ2A) = 1 = N − 1.

Es decir, como no podıa ser de otra forma, la primera ecuacion es exactamente identificada y la segundasobreidentificada.

Puesto que la primera ecuacion es exactamente identificada, el metodo idoneao para su estimacion esel de mınimo cuadrados indirectos.

En tal caso, habra que estimar en primer lugar la forma reducida

Π =(XT X

)−1XT y,

para luego plantear el sistema:

Π

−1γh

0

= −(βh

0

).

Por tanto, como

Π =

1′6928 −0′5860 0′1407 −0′7002 −0′1916−0′5860 0′4374 −0′0916 0′2327 0′02240′1407 −0′0916 0′0944 −0′1051 −0′0150−0′7002 0′2327 −0′1051 0′4161 0′0196−0′1916 0′0224 −0′0150 0′0196 0′0935

·

29′9 46′221′3 30′240 56′2

47′6 73′154′3 84′1

=

0′0238 1′11380′4268 −0′11320′2138 0′09380′6872 0′83720′1601 0′2801

,

3

a partir de 0′0238 1′11380′4268 −0′11320′2138 0′09380′6872 0′83720′1601 0′2801

·(−1α1

)= −

α0

α2

α3

α4

0

,

que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

−0′0238 + 1′1138α1 = −α0 −→ α0 = 0′0238− 1′1138 · 0′5716 = −0′6128,

−0′4268− 0′1132α1 = −α2 −→ α2 = 0′4268 + 0′1132 · 0′5716 = 0′4915,

−0′2138 + 0′0938α1 = −α3 −→ α3 = 0′2138− 0′0938 · 0′5716 = 0′1602,

−0′6872 + 0′8372α1 = −α4 −→ α4 = 0′6872− 0′8372 · 0′5716 = 0′2087,

−0′1601 + 0′2801α1 = 0 −→ α1 =0′16010′2801

= 0′5716,

se obtiene la siguiente estimacion de la primera ecuacion por mınimos cuadrados indirectos:

Y1t = −0′6128 + 0′5716Y2t + 0′4915X1t + 0′1602X2t + 0′2087X3t.

Como es sabido, esta ecuacion podrıa ser tambien estimada por MC2E. A modo de ejemplo, paramostrar que se obtiene la misma solucion y que este segundo metodo es mas complicado que el primero,vamos a estimarla por MC2E. En tal caso:

δ1,MC2E =(ZT

1 Z1

)−1

ZT1 y1,

donde Z1 =(Y2t cte X1t X2t X3t

)T

e y1 = Y1t. Donde Y2t se obtiene a partir de la estimacion de laforma reducida:

Y2t = 1′1138− 0′11321t + 0′0938X2t + 0′8372X3t + 0′2801X4t.

En tal caso:

ZT1 Z1 =

Y2t cte X1t X2t X3t

Y2t

cteX1t

X2t

X3t

a b c d eb 16 11 18 24c 11 11 14 15d 18 14 36 30e 24 15 30 40

,

y

ZT1 y1 =

Y1t

Y2t

cteX1t

X2t

X3t

f

29′921′340

47′6

,

4

donde

f = Y t2tY1t = (1′1138cte− 0′11321t + 0′0938X2t + 0′8372X3t + 0′2801X4t)tY1t

= 1′1138ctetY1t − 0′1132Xt1tY1t + 0′0938Xt

2tY1t + 0′8372Xt3tY1t + 0′2801Xt

4tY1t

= 1′1138 ∗ 29′9− 0′1132 ∗ 21′3 + 0′0938 ∗ 40 + 0′8372 ∗ 47′6 + 0′2801 ∗ 54′3 = 89′7036,e = Y t

2tX3t = (1′1138cte− 0′11321t + 0′0938X2t + 0′8372X3t + 0′2801X4t)tX3t

= 1′1138 ∗ 24− 0′1132 ∗ 15 + 0′0938 ∗ 30 + 0′8372 ∗ 40 + 0′2801 ∗ 42 = 73′0994,d = Y t


= 1′1138 ∗ 18− 0′1132 ∗ 14 + 0′0938 ∗ 36 + 0′8372 ∗ 30 + 0′2801 ∗ 33 = 56′1997,c = Y t


= 1′1138 ∗ 11− 0′1132 ∗ 11 + 0′0938 ∗ 14 + 0′8372 ∗ 15 + 0′2801 ∗ 19 = 30′1997,b = Y t

2tcte = (1′1138cte− 0′11321t + 0′0938X2t + 0′8372X3t + 0′2801X4t)tcte

= 1′1138 ∗ 16− 0′1132 ∗ 11 + 0′0938 ∗ 18 + 0′8372 ∗ 24 + 0′2801 ∗ 28 = 46′1996,a = Y t

2tY2t = · · · = 138′0651.

Luego, sin mas sustituir estos valores en las matrices anteriores y aplicar la formula de estimacionpor mınimos cuadrados en dos etapas veremos que la estimacion obtenida coincide con la de mınimoscuadrados indirectos:

δ1,MC2E =

138′0651 46′1996 30′1997 56′1997 73′099446′1996 16 11 18 2430′1997 11 11 14 1556′1997 18 14 36 3073′0994 24 15 30 40

−1

·

89′7036

29′921′340

47′6

=

1′1912 −2′0108 0′2149 −0′1651 −0′9272−2′0108 4′6942 −0′9028 0′3887 0′90510′2149 −0′9028 0′4708 −0′1178 0′0607−0′1651 0′3887 −0′1178 0′1149 0′0265−0′9272 0′9051 0′0607 0′0265 1′1337

·

89′703629′921′340

47′6

=

0′5715−0′61280′49150′16020′2087

.

Por tanto, la estimacion de la primera ecuacion por mınimos cuadrados en dos etapas sera:

Y1t = −0′6128 + 0′5715Y2t + 0′4915X1t + 0′1602X2t + 0′2087X3t.

Puesto que la segunda ecuacion es sobreidentificada, el metodo indicado para su estimacion es el demınimo cuadrados en dos etapas. Luego habra que tener en cuenta la expresion

δ2,MC2E =(ZT

2 Z2

)−1

ZT2 y2,

donde Z2 = (cte X3t X4t)T e y1 = Y2t. Con ello,

ZT2 Z2 =

cte X3t X4t

cteX3t

X4t

16 24 2824 40 4228 42 60

,

5

y

ZT2 y2 =

Y2t

cteX3t

X4t

46′273′184′1

,

Entonces:

δ2,MC2E =

0′9034 −0′375 −0′1591−0′375 0′25 0′0001−0′1591 0′0001 0′0909

· 46′2

73′184′1

=

0′94550′95

0′2955

.

Luego, la estimacion de la segunda ecuacion sera:

Y2t = 0′9455 + 0′95X3t + 0′2955X4t.

Adviertase que puesto que en esta segunda ecuacion no hay variables endogenas en el segundo miembro,no hay que sustituir sus estimaciones obtenidas a partir de la forma reducida, por lo que realmente sele ha aplicado los mınimos cuadrados ordinarios.

2. Dado el modelo:

Y1t = a1Y2t + a2X1t + u1t,

Y2t = b1Y1t + b2X2t + b3X3t + u2t,

donde se sabe que:

XtX =

2 0 00 1 00 0 4

, Π =

2 1′55 8

1′5 3

.

Se pide:

a) Identificar el modelo.

b) Estimar cada ecuacion del modelo usando el metodo de mınimos cuadrados indirectos.Si en algun caso no es posible, razone los motivos.

Para identificar el modelo son necesarias las matrices Γ y B de la forma estructural del modelo, por loque el primer paso que hay que dar es calcular dicha forma:

(Y1t Y2t) ·(−1 b1a1 −1

)+ (X1t X2t X3t) ·

a2 00 b20 b3

+ (u1t u2t) = (0 0),

donde se ha tenido en cuenta que hay dos variables endogenas (N = 2) y tres predeterminadas (k = 3).

Entonces, si identificamos las ecuaciones bajo restricciones de nulidad sera necesaria la matriz:

A =(

ΓB

)=

−1 b1a1 −1a2 00 b20 b3

,

de forma que la para la primera ecuacion se tiene que:

A1 =(b2b3

)−→ rg(A1) = 1 = N − 1,

N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 1→ k − k1 = 2

}→ k − k1 > N1 − 1,

6

mientras que para la segunda:

A2 = a2 −→ rg(A2) = 1 = N − 1,N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 2→ k − k2 = 1

}→ k − k2 = N2 − 1,

es decir, la primera ecuacion es sobreidentificada y la segunda exactamente identificada. Por tanto, elmodelo sera sobreidentificado.

Con respecto a la estimacion del modelo por MCI, puesto que dicho metodo se puede aplicar solo aecuaciones exactamente identificadas, en este caso no podremos estimar la primera ecuacion por estemetodo.

Para la estimacion de la segunda se tendrıa que resolver el sistema determinado por:

Π ·(

b1−1

)= −

0b2b3

,

es decir, 2 1′55 8

1′5 3

· ( b1−1

)= −

0b2b3

,

que conduce al sistema

2b1 − 1′5 = 0 → b1 = 0′75,5b1 − 8 = −b2 → b2 = 8− 5 · 0′75 = 4′25,

1′5b1 − 3 = −b3 → b3 = 3− 5 · 1′5 = −4′5.

Luego, la estimacion buscada es:

Y2t = 0′75Y1t + 4′25X2t − 4′5X3t.

3. Dado el modelo:

Y1t = a1Y2t + a2X1t + u1t,

Y2t = b1Y1t + b2X2t + b3X3t + u2t,

donde se sabe que:

XtX =

2 0 00 1 00 0 4

, Π =

2 1′55 8

1′5 3

.

Estimar cada ecuacion del modelo razonando el uso del metodo seleccionado.

Como se puede observar este ejercicio engloba al anterior, por lo que usaremos los calculos ya realizados.

El primer paso serıa identificar cada una de las ecuaciones. Ya sabemos que la primera es sobreidentifi-cada y la segunda exactamente identificada. Por tanto, los metodos idoneos para la estimacion de cadauna serıan, respectivamente, los metodos de mınimos cuadrados en dos etapas y de mınimos cuadradosindirectos.

Puesto que la segunda ya esta estimada, vamos a proceder a estimar la primera. Para conseguir talobjetivo habra que calcular el estimador:

δ1,MC2E =(Zt

1Z1

)−1

Zt1y1,

7

donde Z1 = (Y2t X1t) e y1 = Y1t. Ademas, Y2t se obtiene a partir de la estimacion de la forma reducida:

Y2t = 1′5X1t + 8X2t + 3X3t.

Para poder calcular el estimador anterior, es necesario obtener la matrizXtY . Como Π = (XtX)−1XtY ,

es claro que:

XtY = XtX · Π =

2 0 00 1 00 0 4

· 2 1′5

5 81′5 3

=

4 35 86 12

.

En tal caso:

Zt1Z1 =

Y2t X1t

Y2t

X1t

(a bb 2

)y Zt

1y1 =Y1t

Y2t

X1t

(c4

)donde teniendo en cuenta que Xt

itXjt = 0, ∀i 6= j, se tiene que:

a = Y t2tY2t = (1′5X1t + 8X2t + 3X3t)t(1′5X1t + 8X2t + 3X3t) =

= 1′52Xt1tX1t + 64Xt

2tX2t + 9Xt3tX3t = 2′25 · 2 + 64 · 1 + 9 · 4 = 104′5,

b = Y t2tX1t = (1′5X1t + 8X2t + 3X3t)tX1t = 1′5Xt

1tX1t = 1′5 · 2 = 3,

c = Y t2tY1t = (1′5X1t + 8X2t + 3X3t)tY1t

= 1′5Xt1tY1t + 8Xt

2tY1t + 3Xt3tY1t = 1′5 · 4 + 8 · 5 + 3 · 6 = 64.

Luego:

δ1,MC2E =(

104′5 33 2

)−1( 644

)=

1200·(

2 −3−3 104′5

)(644

)=(

0′581′13

),

y por tanto:Y1t = 0′58Y2t + 1′13X1t.

4. Las relaciones entre las variables endogenas, Y1t e Y2t, y las predeterminadas, X1t, X2t yX3t, quedan expresadas en el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

Y1t = α1Y2t + α2X1t + α3X2t + u1t,

Y2t = β1Y1t + β2X3t + u2t.

Se dispone de los siguientes resultados muestrales:

Y tY =(

180 120120 100

), XtX =

10 0 00 5 00 0 10

, XtY =

10 2020 1030 20

.

Se pide:

a) Identificar las ecuaciones del modelo analizando las condiciones de orden y de rangopara la forma estructural.

b) Identificar la primera ecuacion del modelo teniendo en cuenta que α1 = 2α3.

c) Estimar, sin considerar la restriccion anterior, la primera y segunda ecuacion por losmetodos que considere oportunos.

8

Como es sabido, para identificar las ecuaciones es necesario conocer la forma estructural del modelo.Para la primera ecuacion se tiene que:

(Y1t Y2t) ·(−1α1

)+ (X1t X2t X3t) ·

α2

α3

0

+ u1t = 0,


(Y1t Y2t) ·(

β1

−1

)+ (X1t X2t X3t) ·

00β2

+ u2t = 0.

Luego la forma estructural del modelo es:

(Y1t Y2t) ·(−1 β1

α1 −1

)+ (X1t X2t X3t) ·

α2 0α3 00 β2

+ (u1t u2t) = (0 0).

Gracias a la anterior forma estructural se tiene que:

A =(

ΓB

)=

−1 β1

α1 −1α2 0α3 00 β2

,

por lo que la primera ecuacion es exactamente identificada ya que:

A1 = β2 −→ rg(A1) = 1 = N − 1,N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 1→ k − k1 = 1

}→ k − k1 = N1 − 1,

y la segunda sobreidentificada ya que:

A2 =(α2

α3

)−→ rg(A2) = 1 = N − 1,

N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 1→ k − k2 = 2

}→ k − k2 > N2 − 1.

Para identificar la primera ecuacion del modelo teniendo en cuenta que α1 = 2α3 habra que usar elmetodo de restricciones lineales. Ademas, no se puedo obviar que la restriccion de nulidad presenteen dicha ecuacion, α4 = 0, tambien hay que considerarla como restriccion de linealidad. Teniendo encuenta estas premisas, en este caso:

Φ1 =(

0 1 0 −2 00 0 0 0 1

).

Puesto que

Φ1 ·A =(α1 − 2α3 −1

0 β2

)=(

0 −10 β2

),

donde se ha tenido en cuenta que α1 = 2α3, es claro que rg (Φ1 ·A) = 1 = N − 1. Y como rg(Φ1) =2 > N − 1, entonces la ecuacion es sobreidentificada.

Finalmente, puesto que la primera ecuacion es exactamente identificada, el metodo idoneo para suestimacion es el de mınimos cuadrados indirectos. Luego, para obtener dicha estimacion habra queresolver el sistema:

Π ·(−1α1

)= −

α2

α3

0

,

9

donde:

Π =

10 0 00 5 00 0 10

−1

·

10 2020 1030 20

=

0′1 0 00 0′2 00 0 0′1

· 10 20

20 1030 20

=

1 24 23 2

.

Es decir, el sistema queda: 1 24 23 2

· ( −1α1

)= −

α2

α3

0

,

lo cual se traduce en el sistema de ecuaciones:

−1 + 2α1 = −α2 → α2 = 1− 2 · 1′5 = −2,−4 + 2α1 = −α3 → α3 = 4− 2 · 1′5 = 1,−3 + 2α1 = 0 → α1 = 3/2 = 1′5.

Luego, la estimacion de la primera ecuacion por MCI es:

Y1t = 1′5Y2t − 2X1t +X2t.

Para la segunda ecuacion usaremos el metodo de MC2E ya que es sobreidentificada. En tal caso:

δ2,MC2E =(Zt

2Z2

)−1

Zt2y2,

donde Z2 = (Y1t X3t) e y2 = Y2t. Ademas, a partir de la estimacion de la forma reducida se obtieneque:

Y1t = X1t + 4X2t + 3X3t.

En tal caso,

Zt2Z2 =

Y1t X3t

Y1t

X3t

(a bb 10

)y Zt

2y2 =Y2t

Y1t

X3t

(c

20

)donde teniendo en cuenta que Xt


a = Y t1tY1t = (X1t + 4X2t + 3X3t)t(X1t + 4X2t + 3X3t) =

= Xt1tX1t + 16Xt

2tX2t + 9Xt3tX3t = 10 + 16 · 5 + 9 · 10 = 180,

b = Y t1tX3t = (X1t + 4X2t + 3X3t)tX3t = 3Xt

3tX3t = 3 · 10 = 30,

c = Y t1tY2t = (X1t + 4X2t + 3X3t)tY2t

= Xt1tY2t + 4Xt

2tY2t + 3Xt3tY2t = 20 + 4 · 10 + 3 · 20 = 120.

Luego:

δ2,MC2E =(

180 3030 10

)−1( 12020

)=

1900·(

10 −30−30 180

)(12020

)=(

0′6660

),

y, por tanto, la estimacion por MC2E de la segunda ecuacion es:

Y2t = 0′666Y1t.

10

5. Intriligator (1978) considera un modelo del mercado de dinero en el que la demanda dedinero depende del tipo de interes y de la poblacion, mientras que el tipo de interesdepende de la cantidad de dinero, el tipo de descuento y el exceso de reservas. Se suponeque el mercado esta en equilibrio. Las relaciones son lineales pero no tienen terminoconstante. Se pide:

a) Formular el modelo. Obtener las formas estructural y reducida expresandolas enterminos matriciales.

b) Estudiar la identificacion de las relaciones del modelo.

Teniendo en cuenta la siguiente notacion:

Tt: tipo de interes en el instante t.

Dt: demanda de dinero en el instante t.

Pt: poblacion en el instante t.

Ct: cantidad de dinero en el instante t.

TDt: tipo de descuento en el instante t.

Rt: exceso de reservas en el instante t.

El modelo a considerar serıa el siguiente:

Dt = α1Tt + α2Pt + u1t,

Tt = β1Dt + β2TDt + β3Rt + u2t,

donde se ha tenido en cuenta que el mercado esta en equilibrio, D ≡ C.

Se trata por tanto de un modelo de ecuaciones simultaneas con dos variables endogenas (D y T ) y trespredeterminadas (P , TD y R), es decir, N = 2 y k = 3.

La forma estructural desde un punto de vista matricial responde a la expresion:

yttΓ + xt

tB + utt = 0,

donde, en este caso, ytt = (Dt Tt) y xt

t = (Pt TDt Rt).

En efecto, para la primera ecuacion se tiene que:

(Dt Tt) ·(−1α1

)+ (Pt TDt Rt) ·

α2

00

+ u1t = 0,


(Dt Tt) ·(

β1

−1

)+ (Pt TDt Rt) ·

0β2

β3

+ u2t = 0.

Por tanto, la expresion matricial de la forma estructural es:

(Dt Tt) ·(−1 β1

α1 −1

)+ (Pt TDt Rt) ·

α2 00 β2

0 β3

+ (u1t u2t) = (0 0).

A partir de la forma estructural se obtiene la forma reducida mediante la expresion:

ytt = xt

t ·Π + vtt ,

11

donde:

Π = −B · Γ−1 = −

α2 00 β2

0 β3

· ( −1 β1

α1 −1

)−1

= − 11− α1β1

α2 00 β2

0 β3

· ( −1 −β1

−α1 −1

)

=1

1− α1β1

α2 α2β1

α1β2 β2

α1β3 β3

.

Luego, la forma reducida es:

Dt =α2

1− α1β1· Pt +

α1β2

1− α1β1· TDt +

α1β3

1− α1β1·Rt + v1t,

Tt =α2β1

1− α1β1· Pt +

β2

1− α1β1· TDt +

β3

1− α1β1·Rt + v2t.

En cuanto a la identificacion de las ecuaciones, usaremos los metodos conocidos bajo restricciones denulidad. En tal caso, la primera ecuacion es sobreidentificada ya que:

A1 =(β2

β3

)−→ rg(A1) = 1 = N − 1,

N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 1→ k − k1 = 2

}→ k − k1 > N1 − 1,

mientras que la segunda es exactamente identificada ya que:

A2 = α2 −→ rg(A2) = 1 = N − 1,N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 2→ k − k2 = 1

}→ k − k2 = N2 − 1.

6. Considerar el siguiente modelo:

Y1t = β11Y2t + γ11X1t + u1t,

Y2t = β21Y1t + γ22X2t + γ23X3t + u2t,

con la siguiente matriz de las sumas de los productos cruzados:

Y1t Y2t X1t X2t X3t

Y1t 200 60 4 10 20Y2t 60 40 0 0 10X1t 4 0 10 0 0X2t 10 0 0 20 0X3t 20 10 0 0 5

Estimar la segunda relacion utilizando los mınimos cuadrados indirectos. Explicar cuandoes conveniente este metodo.

El metodo de MCI se puede aplicar cuando tras identificar una ecuacion esta es exactamente identificada.

Teniendo en cuenta que la forma estructural del modelo responde a la siguiente expresion:

(Y1t Y2t) ·(−1 β21

β11 −1

)+ (X1t X2t X3t) ·

γ11 00 γ22

0 γ23

+ (u1t u2t) = (0 0),

se tiene que la estimacion por MCI buscada se obtiene al resolver el sistema:

Π ·(β21

−1

)= −

0γ22

γ23

,

12

donde

Π =

10 0 00 20 00 0 5

−1

·

4 010 020 10

=

0′1 0 00 0′05 00 0 0′2

· 4 0

10 020 10

=

0′4 00′5 04 2

.

Por tanto: 0′4 00′5 04 2

· ( β21

−1

)= −

0γ22

γ23

,

que conduce al sistema de ecuaciones:

0′4β21 = 0 → β21 = 0,0′5β21 = −γ22 → γ22 = 0,

4β21 − 2 = −γ23 → γ23 = 2.

Entonces, la estimacion buscada es:Y2t = 2X3t.

7. Dado el modelo:

Y1t = γ12Y2t + β11X1t + β13X3t + u1t,

Y2t = γ21Y1t + β22X2t + u2t,

y la siguiente matriz de las sumas de los productos cruzados:

Y1t Y2t X1t X2t X3t

Y1t 50 20 3 10 8Y2t 20 40 0 7 20X1t 3 0 8 0 0X2t 10 7 0 5 0X3t 8 20 0 0 3

Se pide:

a) Identificar el modelo.

b) Estimar cada una de las ecuaciones del modelo por el metodo que considere masapropiado.

En el modelo anterior hay dos variables predeterminadas (N = 2 : Y1t, Y2t) y tres predeterminadas(k = 3 : X1t, X2t, X3t). Ademas, es claro que:

Γ =(−1 γ21

γ12 −1

), B =

β11 00 β22

β13 0

.

De modo que:

A =

−1 γ21

γ12 −1β11 00 β22

β13 0

.

13

Entonces, para la identificacion de cada variable se tiene que:

A1 = β22 −→ rg(A1) = 1 = N − 1,N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 2→ k − k1 = 1

}→ k − k1 = N1 − 1,

A2 =(β11

β13

)−→ rg(A2) = 1 = N − 1,

N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 1→ k − k2 = 2

}→ k − k2 > N2 − 1.

Esto es, la primera ecuacion es exactamente identificada y la segunda sobreidentificada. Por tanto, elmodelo es sobreidentificado.

Puesto que la primera ecuacion es exactamente identificada, el metodo idoneo para su estimacion es elde MCI. El primer paso para conseguir dicho objetivo sera estimar la forma reducida:

Π = (XtX)−1XtY =

8 0 00 5 00 0 3

−1

·

3 010 78 20

=

0′375 02 1′4

2′666 6′666

.

Luego, para estimar la primera ecuacion hay que resolver el sistema determinado por: 0′375 02 1′4

2′666 6′666

· ( −1γ12

)= −

β11

0β13

,

es decir:

−0′375 = −β11 → β11 = 0′375,

−2 + 1′4γ12 = 0 → γ12 =2

1′4= 1′43,

−2′666 + 6′666γ12 = −β13 → β13 = 2′666− 6′666 · 1′43 = −6′86.

Por tanto, la estimacion buscada es:

Y1t = 1′43Y2t + 0′375X1t − 6′86X3t.

En el caso de la segunda ecuacion, que es sobreidentificada, el metodo a usar para su estimacion es elde MC2E mediante el estimador:

δ2,MC2E =(Zt

2Z2

)−1

Zt2y2,

donde Z2 =(Y1t X2t

)e y2 = Y2t con Y1t = 0′375X1t + 2X2t + 2′666X3t.

Entonces, a partir de:

Zt2Z2 =

Y1t X2t

Y1t

X2t

(a bb 5

)y Zt

2y2 =Y2t

Y1t

X2t

(c7

)donde, teniendo en cuenta que Xt


a = Y t1tY1t = (0′375X1t + 2X2t + 2′666X3t)t(0′375X1t + 2X2t + 2′666X3t) =

= 0′3752Xt1tX1t + 4Xt

2tX2t + 2′6662Xt3tX3t = 0′375 · 8 + 20 + 2′6662 · 3 = 42′458,

b = Y t1tX3t = (0′375X1t + 2X2t + 2′666X3t)tX2t = 2Xt

2tX2t = 2 · 5 = 10,

c = Y t1tY2t = (0′375X1t + 2X2t + 2′666X3t)tY2t

= 0′375Xt1tY2t + 2Xt

2tY2t + 2′666Xt3tY2t = 2 · 7 + 2′666 · 20 = 67′333,

14

es claro que:

δ2,MC2E =(

42′458 1010 5

)−1( 67′3337

)=

(0′0445 −0′0891−0′0891 0′3781

)(67′333

7

)=(

2′3748−3′3496

).

Por tanto, la estimacion por MC2E de la segunda ecuacion es:

Y2t = 2′3748Y1t − 3′3496X2t.

8. Dado el modelo:

Y1t = γ12Y2t + β11X1t + β13X3t + u1t,

Y2t = γ21Y1t + β22X2t + β23X3t + u2t,

y la siguiente matriz de las sumas de los productos cruzados:

Y1t Y2t X1t X2t X3t

Y1t 50 20 3 10 8Y2t 20 40 0 7 20X1t 3 0 8 0 0X2t 10 7 0 5 0X3t 8 20 0 0 3

Se pide:

a) Identificar el modelo con la restriccion β11 = 3β13.

b) Estimar la segunda ecuacion del modelo por el metodo que considere mas apropiado.

Para identificar la primera ecuacion hay que tener presente que le afecta la restriccion β11 = 3β13, porlo que habra que realizar la identificacion bajo restricciones lineales.

Puesto que no aparece la variable X2t, se tiene que:

Φ1 =(

0 0 1 0 −30 0 0 1 0

),

y como la forma estructural del modelo responde a la siguiente expresion:

(Y1t Y2t) ·(−1 γ21

γ12 −1

)+ (X1t X2t X3t) ·

β11 00 β22

β13 β23

+ (u1t u2t) = (0 0),

se tiene que:

Φ1 ·A =(β11 − 3β13 −3β23

0 β22

)=(

0 −3β23

0 β22

).

Entonces, como rg(Φ1 ·A) = 1 = N−1 y rg(Φ1) = 2 > N−1, la primera ecuacion esta sobreidentificada.

Por otro lado, identificando la segunda ecuacion bajo restricciones de nulidad:

A2 = β11 −→ rg(A2) = 1 = N − 1,N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 2→ k − k2 = 1

}→ k − k2 = N2 − 1,

se obtiene que esta es exactamente identificada (y en consecuencia, el modelo es sobreidentificado).

15

En tal caso, el metodo idoneo para estimarla es el de MCI. Dicho metodo consiste en resolver el sistemade ecuaciones determinado por: 0′375 0

2 1′42′666 6′666

· ( γ21

−1

)= −

0β22

β23

,

es decir:

0′375γ21 = 0 → γ21 = 0,2γ21 − 1′4 = −β22 → β22 = 1′4,

2′666γ21 − 6′666 = −β23 → β23 = 6′666.

Entonces: Y2t = 1′4X2t + 6′666X3t.

9. A partir de la siguiente informacion:

Π =

4 5 12 6 25 1 0

, XTX =

20 0 00 5 00 0 4

,

obtenga estimadores consistentes de los parametros de las ecuaciones que lo permitan enel siguiente modelo de ecuaciones simultaneas:

Y1t = α2Y2t + α3X1t + u1t,

Y2t = β1 + β2Y1t + β3X2t + u2t,

Y3t = γ1 + γ2Y1t + γ3X1t + γ4X2t + u3t.

Para identificar el modelo son necesarias las matrices Γ y B de la forma estructural del modelo, por loque el primer paso que hay que dar es calcular dicha forma:

(Y1t Y2t Y3t) ·

−1 β2 γ2

α2 −1 00 0 −1

+ (cte X1t X2t) ·

0 β1 γ1

α3 0 γ3

0 β3 γ4

+ (u1t u2t u3t) = (0 0 0),

donde se ha tenido en cuenta que hay tres variables endogenas (N = 3) y tres predeterminadas (k = 3).

Entonces, si identificamos las ecuaciones bajo restricciones de nulidad sera necesaria la matriz:

A =(

ΓB

)=

−1 β2 γ2

α2 −1 00 0 −10 β1 γ1

α3 0 γ3

0 β3 γ4

,

de forma que la para la primera ecuacion se tiene que:

A1 =

0 −1β1 γ1

β3 γ4

−→ rg(A1) = 2 = N − 1,N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 1→ k − k1 = 2

}→ k − k1 > N1 − 1,


A2 =(

0 −1α3 γ3

)−→ rg(A2) = 2 = N − 1,

N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 2→ k − k2 = 1

}→ k − k2 = N2 − 1,

16

y la tercera:N3 = 2→ N3 − 1 = 1k3 = 3→ k − k3 = 0

}→ k − k3 < N3 − 1.

Es decir, la primera ecuacion es sobreidentificada, la segunda exactamente identificada y la tercerasubidentificada.

De cara a la estimacion de cada una de ellas se pueden usar, respectivamente, los metodos de MC2E, MCIy MCO. Si bien, como se nos pide que usemos solo metodos que proporcionen estimadores consistentes,la tercera no sera estimada.

Para estimar la primera ecuacion en primer lugar hay que completar la informacion muestral:

XtY = XtX · Π =

20 0 00 5 00 0 4

· 4 5 1

2 6 25 1 0

=

80 100 2010 30 1020 4 0

.

En tal caso, el estimador sera:

δ1,MC2E =(Zt

1Z1

)−1

Zt1y1,

donde Z1 =(Y2t X1t

)e y1 = Y1t con Y2t = 5cte+ 6X1t +X2t.


Zt1Z1 =

Y2t X1t

Y2t

X1t

(a bb 20

)y Zt

1y1 =Y1t

Y2t

X1t

(c

80



a = Y t2tY2t = (5cte+ 6X1t +X2t)t(5cte+ 6X1t +X2t) =

= 25ctetcte+ 36Xt1tX1t +Xt

2tX2t = 25 · 20 + 36 · 5 + 4 = 684,

b = Y t2tX1t = (5cte+ 6X1t +X2t)tX1t = 6Xt

1tX1t = 6 · 5 = 30,

c = Y t2tY1t = (5cte+ 6X1t +X2t)tY1t

= 5ctetY1t + 6Xt1tY1t +Xt

2tY1t = 5 · 80 + 6 · 10 + 20 = 480.

Entonces:

δ1,MC2E =(

684 3030 20

)−1( 48080

)=

112780

·(

20 −30−30 684

)(48080

)=(

0′56343′1549

).

Por tanto, la estimacion por MC2E de la primera ecuacion es:

Y1t = 0′5634Y2t + 3′1549X1t.

Para estimar la segunda ecuacion por MCI simplemente hay que resolver el sistema: 4 5 12 6 25 1 0

· β2

−10

= −

β1

0β3

,

17

es decir:

4β2 − 5 = −β1 → β1 = 5− 4 · 3 = −7,2β2 − 6 = 0 → β2 = 3,

2β2 − 1 = −β3 → β3 = 1− 5 · 3 = −14.

Entonces: Y2t = −7 + 3Y1t − 14X2t.

10. Dado el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas:

Y1t = α1Y2t + α2X1t + α3X3t + u1t,

Y2t = β1Y1t + β2X2t + β3X3t + u2t,

estimar cada ecuacion por el metodo que considere mas oportuno teniendo en cuenta lasiguiente informacion muestral:

Y1 Y2 X1 X2 X3

Y1 25 10 4 10 1Y2 10 20 7 15 2X1 4 7 10 0 0X2 10 15 0 5 0X3 1 2 0 0 2

La forma estructural de la primera es:

(Y1t Y2t) ·(−1α1

)+ (X1t X2t X3t) ·

α2

0α3

+ u1t = 0,

mientras que la de la segunda:

(Y1t Y2t) ·(

β1

−1

)+ (X1t X2t X3t) ·

0β2

β3

+ u2t = 0.

Por tanto, la expresion matricial de la forma estructural es:

(Y1t Y2t) ·(−1 β1

α1 −1

)+ (X1t X2t X3t) ·

α2 00 β2

α3 β3

+ (u1t u2t) = (0 0).

En tal caso, la primera ecuacion sera exactamente identificada ya que:

A1 = β2 −→ rg(A1) = 1 = N − 1,N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 2→ k − k1 = 1

}→ k − k1 = N1 − 1,

al igual que la segunda:

A2 = α2 −→ rg(A2) = 1 = N − 1,N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 2→ k − k2 = 1

}→ k − k2 = N2 − 1.

Por tanto, como ambas ecuaciones son exactamente identificadas, usaremos para su estimacion el meto-do de mınimos cuadrados indirectos.

18

El primer paso para conseguir dicho objetivo sera estimar la forma reducida:

Π = (XtX)−1XtY =

10 0 00 5 00 0 2

−1

·

4 710 151 2

=

0′4 0′72 3

0′5 1

.

Luego, para estimar la primera ecuacion hay que resolver el sistema determinado por: 0′4 0′72 3

0′5 1

· ( −1α1

)= −

α2

0α3

,

que tiene por solucion:

−0′4 + 0′7α1 = −α2 → α2 = 0′4− 0′7 · 0′666 = −0′0666,

−2 + 3α1 = 0 → α1 =23

= 0′666,

−0′5 + α1 = −α3 → α3 = 0′5− 0′666 = −0′1666.

Para estimar la segunda ecuacion: 0′4 0′72 3

0′5 1

· ( β1

−1

)= −

0β2

β3

,

que tiene por solucion:

0′4β1 − 0′7 = 0 → β1 =0′70′4

= 1′75,

2β1 − 3 = −β20 → β2 = −21′75+

3 = −0′5,

0′5β1 − 1 = −β3 → β3 = 1− 0′5 · 1′75 = 0′125.

Por tanto, la estimacion de cada ecuacion del modelo es:

Y1t = 0′666Y2t − 0′0666X1t − 0′1666X3t,

Y2t = 1′75Y1t − 0′5X2t + 0′125X3t.

11. Dado el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas, junto a su correspondiente informa-cion muestral:

Y1t = β12Y2t + α11X1t + u1t,

Y2t = β21Y1t + α21X1t + α22X2t + u2t,

Y3t = β31Y1t + β32Y2t + α33X3t + u3t.

Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3

Y1 2 1 0’5 0’5 1 0Y2 8 2 1 2 4Y3 1 0 0 2X1 1 0 0X2 2 0X3 2

a) Identifique el modelo.

b) Estime la primera ecuacion del modelo por el metodo que considere mas oportuno.

c) Suponiendo que 2β31 = β32, indique de forma razonada el metodo que utilizarıa paraestimar la tercera ecuacion.

19

En este caso se tiene claramente que:

Γ =

−1 β21 β31

β12 −1 β32

0 0 −1

, B =

α11 α21 00 α22 00 0 α33

,

por lo que:

A =

−1 β21 β31

β12 −1 β32

0 0 −1α11 α21 00 α22 00 0 α33

.

A partir de la matriz anterior, teniendo en cuenta que N = 3 = k, identifiquemos cada una de lasecuaciones anteriores:

A1 =

0 −1α22 00 α33

−→ rg(A1) = 2 = N − 1,N1 = 2→ N1 − 1 = 1k1 = 1→ k − k1 = 2

}→ k − k1 > N1 − 1,

A2 =(

0 −10 α33

)−→ rg(A2) = 1 < N − 1,

N2 = 2→ N2 − 1 = 1k2 = 2→ k − k2 = 1

}→ k − k2 = N2 − 1,

A3 =(α11 α21

0 α22

)−→ rg(A3) = 2 = N − 1,

N3 = 3→ N3 − 1 = 2k3 = 1→ k − k3 = 2

}→ k − k3 = N3 − 1.

Se tiene que la primera ecuacion es sobreidentificada, la segunda subidentificada y la tercera exactamenteidentificada. Por tanto, el modelo es subidentificado.En funcion de la identificacion realizada, el metodo idoneo para estimar la primera ecuacion es el demınimos cuadrados en dos etapas. Esto es:

δ1,MC2E =(Zt

1Z1

)−1

Zt1y1,

donde Z1 =(Y2t X1t

)e y1 = Y1t.

Para obtener la expresion de Y2t es necesario calcular la estimacion de la forma reducida:

Π = (XtX)−1XtY =

1 0 00 2 00 0 2

−1

·

0′5 1 01 2 00 4 2

=

0′5 1 00′5 1 00 2 1

.

En tal caso: Y2t = X1t +X2t + 2X3t.Entonces, a partir de:

Zt1Z1 =

Y2t X1t

Y2t

X1t

(a bb 1

)y Zt

1y1 =Y1t

Y2t

X1t

(c

0′5



a = Y t2tY2t = (X1t +X2t + 2X3t)t(X1t +X2t + 2X3t) =

= Xt1tX1t +Xt

2tX2t + 4Xt3tX3t = 1 + 2 + 4 · 2 = 11,

b = Y t2tX1t = (X1t +X2t + 2X3t)tX1t = Xt

1tX1t = 1,

c = Y t2tY1t = (X1t +X2t + 2X3t)tY1t

= Xt1tY1t +Xt

2tY1t + 2Xt3tY1t = 0′5 + 1 + 2 · 0 = 1′5.

20

Entonces:

δ1,MC2E =(

11 11 1

)−1( 1′50′5

)=

110·(

1 −1−1 11

)(1′50′5

)=(

0′10′4

).


Y1t = 0′1Y2t + 0′4X1t.

Finalmente, para decidir que metodo usar para estimar la ecuacion tercera con la restriccion 2β31 = β32

hay que identificarla. Usaremos por tanto identificacion bajo restricciones lineales, de manera que:

Φ3 =

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 02 −1 0 0 0 0

,

donde se ha tenido en cuenta tambien que en dicha ecuacion no aparecen las variables X1t y X2t.

Entonces, como rg(Φ3) = 3 > 2 = N − 1 y rg(Φ3 ·A) = 2 = N − 1 ya que

Φ3 ·A =

α11 α21 00 α22 0

−2− β12 2β21 + 1 2β31 − β32

=

α11 α21 00 α22 0

−2− β12 2β21 + 1 0

.

Por tanto, la ecuacion esta sobreidentificada y entonces el metodo adecuado para su estimacion es elde mınimos cuadrados en dos etapas.

12. Dado el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas, junto a su correspondiente informa-cion muestral:

Y1t = β11Y2t + β12X1t + u1t,

Y2t = β21Y1t + β22X2t + β23X3t + u2t,

Y3t = β31Y1t + β32Y2t + β33X3t + u3t.

Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3

Y1 2 0 5 0’5 1 0Y2 0 6 2 1’5 2 1Y3 5 2 1 0 5 2X1 0’5 1’5 0 1 0 0X2 1 2 5 0 2 0X3 0 1 2 0 0 2

a) Identifique el modelo suponiendo que β32 = −2β33.

b) Estime la primera ecuacion por MC2E.

c) Estime la segunda ecuacion por MCI.

En este caso, la expresion matricial de la forma estructural es:

(Y1t Y2t Y3t) ·

−1 β21 β31

β1 −1 β32

0 0 −1

+ (X1t X2t X3t) ·

β12 0 00 β22 00 β23 β33

+ (u1t u2t u3t) = (0 0 0),

por lo que:

A =

−1 β21 β31

β1 −1 β32

0 0 −1β12 0 00 β22 00 β23 β33

.

21

Entonces ya tenemos las herramientas necesarias para identificar el modelo. Puesto que se nos imponeuna restriccion lineal, β32 = −2β33, usaremos los metodos conocidos bajo restricciones lineales.

Ası, la primera y tercera ecuacion son sobreidentificadas ya que:

Φ1 =

0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

→ rg(Φ1) = 3 > 2 = N − 1,

Φ1 ·A =

0 0 −10 β22 00 β23 β33

→ rg(Φ1 ·A) = 2 = N − 1.

Φ3 =

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 1 0 0 0 2

→ rg(Φ3) = 3 > 2 = N − 1,

Φ3 ·A =

β12 0 00 β22 0β11 2β23 − 1 β32 + 2β33

=

β12 0 00 β22 0β11 2β23 − 1 0

→ rg(Φ3 ·A) = 2 = N − 1.

Mientras que la segunda es exactamente identificada:

Φ2 =(

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

)→ rg(Φ2) = 2 = N − 1,

Φ2 ·A =(

0 0 −1β12 0 0

)→ rg(Φ2 ·A) = 2 = N − 1.

Por tanto, el modelo es sobreidentificado.

Adviertase que en la primera ecuacion se ha tenido en cuenta que no aparecıan las variables Y3t, X2t yX3t, en la segunda faltan Y3t y X1t, y en la tercera, ademas de la restriccion lineal, faltan las variablesX1t y X2t.

Para identificar la primera ecuacion por MC2E antes es necesario estimar la forma reducida:

Π = (XtX)−1XtY =

1 0 00 2 00 0 2

−1

·

0′5 1′5 01 2 50 1 2

=

0′5 1′5 00′5 1 2′50 0′5 1

.

En tal caso, el estimador sera:

δ1,MC2E =(Zt

1Z1

)−1

Zt1y1,

donde Z1 =(Y2t X1t

)e y1 = Y1t con Y2t = 1′5X1t +X2t + 0′5X3t.


Zt1Z1 =

Y2t X1t

Y2t

X1t

(a bb 1

)y Zt

1y1 =Y1t

Y2t

X1t

(c

0′5

)

22

donde, teniendo en cuenta que XtitXjt = 0, ∀i 6= j, se tiene que:

a = Y t2tY2t = (1′5X1t +X2t + 0′5X3t)t(1′5X1t +X2t + 0′5X3t) =

= 1′52Xt1tX1t +Xt

2tX2t + 0′52Xt3tX3t = 2′25 · 1 + 2 + 0′25 · 2 = 4′75,

b = Y t2tX1t = (1′5X1t +X2t + 0′5X3t)tX1t = 1′5Xt

1tX1t = 1′5 · 1 = 1′5,

c = Y t2tY1t = (1′5X1t +X2t + 0′5X3t)tY1t

= 1′5Xt1tY1t +Xt

2tY1t + 0′5Xt3tY1t = 1′5 · 0′5 + 1 + 0′5 · 0 = 1′75.

Entonces:

δ1,MC2E =(

4′75 1′51′5 1

)−1( 1′750′5

)=

(0′4 −0′6−0′6 1′9

)(1′750′5

)=(

0′4−0′1

).


Y1t = 0′4Y2t − 0′1X1t.

Para estimar la segunda ecuacion por MCI simplemente hay que resolver el sistema: 0′5 1′5 00′5 1 2′50 0′5 1

· β21

−10

= −

0β22

β23

,

es decir:

0′5β21 − 1′5 = 0 → β21 = 3,0′5β21 − 1 = −β22 → β22 = 1− 0′5 · 3 = −0′5,

−0′5 = −β23 → β23 = 0′5.

Entonces: Y2t = 3Y1t − 0′5X2t + 0′5X3t.

13. Consideremos el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas:

Y1t = γ21Y2t + β11X1t + β21X2t + u1t,

Y2t = γ12Y1t + β32X3t + u2t.

Y supongamos que se han obtenido la siguiente informacion muestral:

Y1 Y2 X1 X2 X3

Y1 12 6 3 0 2Y2 6 16 2 4 1X1 3 2 4 0 2X2 0 4 0 1 1X3 2 1 2 1 3

Se pide estimar el modelo.

23

Se deduce claramente que se tienen dos variables endogenas (N=2: Y1 e Y2), tres predeterminadas (k=3:X1, X2 y X3) y que

Y TY =(

12 66 16

),

Y TX =(

3 0 22 4 1

),

XTX =

4 0 20 1 12 1 3

.

Aunque como se ha comentado, MCO se puede aplicar a ecuaciones no identificadas, vamos previamentea identificar el modelo.

Para ello escribimos matricialmente la forma estructural

(Y1t, Y2t)(−1 γ12

γ21 −1

)+ (X1t, X2t, X3t)

β11 0β21 00 β32

+ (u1t, u2t) = (0, 0),

de donde se obtiene que

A =

−1 γ12

γ21 −1β11 0β21 00 β32

.

Pasamos a estudiar la identificacion de cada ecuacion usando los metodos de identificacion por rango ycondicion de orden:

Primera ecuacion.Usando el metodo de identificacion por rango se tiene que rg (A1) = 1 siendo

A1 =(

Γ0

B0

)= β32.

Como N − 1 = 1, entonces la ecuacion es identificable.Usando la condicion de orden, k − k1 = 3 − 2 = 1 = 2 − 1 = N1 − 1, se sigue que la ecuacionesta exactamente identificada.

Segunda ecuacion.En esta ocasion

A2 =(

Γ0

B0

)=(β11

β21

),

por lo que rg (A2) = 1 = N − 1, y entonces la ecuacion es tambien identificable.Usando la condicion de orden, k − k2 = 3 − 1 = 2 > 1 = 2 − 1 = N2 − 1, luego la ecuacionesta sobreidentificada.

Una vez identificado el modelo, pasamos a su estimacion por MCO ecuacion a ecuacion, para lo cualtendremos en cuenta la siguiente expresion:

δh,MCO =(ZT

h Zh

)−1ZT

h yh, (1)

para h = 1, 2.

24

Primera ecuacion.En este caso, (1) tiene la forma

δ1,MCO =(ZT

1 Z1

)−1ZT

1 y1, (2)

donde

Z1 =(

Y1

X1

)=

Y2t

X1t

X2t

, y1 = Y1t.

Con ello:

ZT1 Z1 =

Y2t X1t X2t

Y2t

X1t

X2t

16 2 42 4 04 0 1

y ZT1 y1 =

Y1t

Y2t

X1t

X2t

630

.

Por tanto, (2) queda:

δ1,MCO =

16 2 42 4 04 0 1

−1 630

= −14

4 −2 −16−2 −6 8−16 8 60

630

=

−4′5318

.

Esto es:

δ1,MCO =

(γ21)MCO(β11

)MCO(

β21

)MCO

=

−4′5318

,

luego la ecuacion estimada es:

Y1t = −4′5Y2t + 3X1t + 18X2t.

Segunda ecuacion.Para la segunda ecuacion, (1) tiene la forma

δ2,MCO =(ZT

2 Z2

)−1ZT

2 y2, (3)

donde

Z2 =(

Y2

X2

)=(

Y1t

X3t

), y2 = Y2t.

Con ello:

ZT2 Z2 =

Y1t X3t

Y1t

X3t

(12 22 3

)y ZT

2 y2 =Y2t

Y1t

X3t

(61

).

Por tanto, (3) queda:

δ2,MCO =(

12 22 3

)−1( 61

)=

132

(3 −2−2 12

)(61

)=(

0′50

).

Esto es:

δ2,MCO =

((γ12)MCO(β32

)MCO

)=(

0′50

),

luego la ecuacion estimada es:Y2t = 0′5Y1t.

25

A continuacion vamos a estimar por MCI el modelo anterior.

Recordemos que por este metodo solo se pueden estimar las ecuaciones exactamente identificadas, luegosolo podemos estimar la primera ecuacion. Sin embargo, estimaremos las dos ecuaciones para ver querealmente el metodo falla.

El primer paso es estimar la forma reducida, usando para ello la ecuacion:

Π =(XT X

)−1XT Y, (4)

esto es

Π =

4 0 20 1 12 1 3

−1 3 20 42 1

=

14

2 2 −22 8 −4−2 −4 4

3 20 42 1

=

0′5 2′5−0′5 80′5 −4

.

Luego la estimacion de la forma reducida es:

Y1t = 0′5X1t − 0′5X2t + 0′5X3t,

Y2t = 2′5X1t + 8X2t − 4X3t.

La segunda etapa consiste en resolver el sistema de ecuaciones dado por:

Πγh = −βh, h = 1, 2.

Primera ecuacion.Para la primera ecuacion se tiene:

Πγ1 = −β1,

esto es: 0′5 2′5−0′5 80′5 −4

( −1γ21

)= −

β11

β21

0

,

lo cual nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

−0′5 + 2′5γ21 = −β11,

0′5 + 8γ21 = −β21,

−0′5− 4γ21 = 0.

De forma que al resolverlo obtendremos γ1,MCI :

γ1,MCI =

−0′1250′8125

0′5

,

con lo que la ecuacion estimada queda:

Y1t = −0′125Y2t + 0′8125X1t + 0′5X2t.

26

Segunda ecuacion.Para la segunda ecuacion Πγ2 = −β2 queda: 0′5 2′5

−0′5 80′5 −4

( γ12

−1

)= −

00β32

,

lo cual nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

0′5− 2′5γ12 = 0,−0′5− 8γ12 = 0,

0′5 + 4γ21 = −β32.

De forma que al resolverlo obtenemos dos soluciones distintas para γ12:

γ12 = 5, γ12 = −16.

A continuacion procedemos a estimar el sistema por MC2E. Recordemos que vimos que la primeraecuacion es exactamente identificada y la segunda sobreidentificada.

Como MC2E puede aplicarse tanto a ecuaciones exactamente identificadas como a sobreidentifica-das, vamos a aplicarle dicho metodo a ambas ecuaciones. Ası de esta forma comprobaremos que paraecuaciones exactamente identificadas los metodos de MCI y MC2E coinciden.

Pasamos a estimar cada ecuacion usando:

δh,MC2E =(ZT

h Zh

)−1

ZTh yh, (5)

donde Zh =(Yh Xh

)para h = 1, 2.

Primera ecuacion.Tras la estimacion de la forma reducida se tiene que:

Y1t = γ21Y2t + β11X1t + β21X2t,

donde Z1 =(Y2t|X1t, X2t

)T

e y1 = Y1t.

Con ello:

ZT1 Z1 =

Y2t X1t X2t

Y2t

X1t

X2t

a b cb 4 0c 0 1

y ZT1 y1 =

Y1t

Y2t

X1t

X2t

d30

,

A continuacion calcularemos a, b, c y d:

a = Y T2t Y2t = (2′5X1t + 8X2t − 4X3t)

T (2′5X1t + 8X2t − 4X3t)= (2′5)2 ·XT

1tX1t + 82 ·XT2tX2t + 42 ·XT

3tX3t + 2 · 2′5 · 8 ·XT1tX2t

−2 · 2′5 · 4 ·XT1tX3t − 2 · 8 · 4 ·XT

2tX3t

= 6′25 · 4 + 64 · 1 + 16 · 3 + 40 · 0− 20 · 2− 64 · 1 = 33,

b = Y T2tX1t = (2′5X1t + 8X2t − 4X3t)

TX1t

= 2′5 ·XT1tX1t + 8 ·XT

2tX1t − 4 ·XT3tX1t = 2′5 · 4 + 8 · 0− 4 · 2 = 2,

c = Y T2tX2t = (2′5X1t + 8X2t − 4X3t)

TX2t

= 2′5 ·XT1tX2t + 8 ·XT

2tX2t − 4 ·XT3tX2t = 2′5 · 0 + 8 · 1− 4 · 1 = 4,

d = Y T2tY1t = (2′5X1t + 8X2t − 4X3t)

TY1t

= 2′5 ·XT1tY1t + 8 ·XT

2tY1t − 4 ·XT3tY1t = 2′5 · 3 + 8 · 0− 4 · 2 = −0′5.

27

Por tanto:

ZT1 Z1 =

33 2 42 4 04 0 1

, ZT1 y1 =

−0′530

.

Y con ello:

δ1,MC2E =(ZT

1 Z1

)−1

ZT1 y1 =

33 2 42 4 04 0 1

−1 −0′530

=

164

4 −2 −16−2 17 8−16 8 128

−0′530

=

−0′1250′8125

0′5

,

esto esY1t = −0′125Y2t + 0′8125X1t + 0′5X2t,

que coincide con la expresion obtenida al estimar la primera ecuacion por MCI.Segunda ecuacion.Tras la estimacion de la forma reducida se tiene que:

Y2t = γ12Y1t + β32X3t,

donde Z2 =(Y1t|X3t

)T

e y2 = Y2t.

Con ello:

ZT2 Z2 =

Y1t X3t

Y2t

X3t

(a bb 3

)y ZT

2 y2 =Y2t

Y1t

X3t

(c1

).

A continuacion calcularemos a, b y c:

a = Y T1t Y1t = (0′5X1t − 0′5X2t + 0′5X3t)

T (0′5X1t − 0′5X2t + 0′5X3t)= (0′5)2 ·XT

1tX1t + (0′5)2 ·XT2tX2t + (0′5)2 ·XT

3tX3t

−2 · 0′5 · 0′5 ·XT1tX2t + 2 · 0′5 · 0′5 ·XT

1tX3t − 2 · 0′5 · 0′5 ·XT2tX3t

= 0′25 · 4 + 0′25 · 1 + 0′25 · 3− 0′5 · 0 + 0′5 · 2− 0′5 · 1 = 2′5,

b = Y T1tX3t = (0′5X1t − 0′5X2t + 0′5X3t)

TX1t

= 0′5 ·XT1tX3t − 0′5 ·XT

2tX3t + 0′5 ·XT3tX3t = 0′5 · 2− 0′5 · 1 + 0′5 · 3 = 2,

c = Y T1tY2t = (0′5X1t − 0′5X2t + 0′5X3t)

TX2t

= 0′5 ·XT1tY2t − 0′5 ·XT

2tY2t + 0′5 ·XT3tY2t = 0′5 · 2− 0′5 · 4 + 0′5 · 1 = −0′5.

Por tanto,

ZT2 Z2 =

(2′5 22 3

), ZT

2 y2 =(−0′5

1

).

Y con ello:

δ2,MC2E =(ZT

2 Z2

)−1

Z2y2 =(

2′5 22 3

)−1( −0′51

)=

135

(3 −2−2 2′5

)(−0′5

1

)=(−11

),

esto es γ12,MC2E = −1 y β32,MC2E = 1, y por tanto, la segunda ecuacion estimada por MC2E es

Y2t = −Y1t +X3t.

28

Finalmente, volvamos a estimar el modelo usando la siguiente expresion equivalente del estimador porMC2E:

δh,MC2E =(

ΠTh XT Yh YT

h Xh

XTh Yh XT

h Xh

)−1(ΠT

h XT yh

XTh yh

). (6)

Para poder aplicar dicha expresion necesitamos recordar que

Π =

0′5 2′5−0′5 80′5 −4

.

Para la primera ecuacion se tiene que Yh = Y2t, Xh = (X1t X2t), X = (X1t X2t X3t) e yh = Y1t. Ental caso:

XTYh =

XT1tY2t

XT2tY2t

XT2tY2t

=

241

=⇒ ΠTXTYh = (2′5 8 − 4) ·

241

= 33,

Y Th Xh = (Y T

2tX1t YT2tX2t) = (2 4), XT

h yh =(XT

1tY1t

XT2tY1t

)=(

30

),

XTh Xh =

(XT

1tX1t XT1tX2t

XT2tX1t XT

2tX2t

)=(

4 00 1

),

XT yh =

XT1tY1t

XT2tY1t

XT2tY1t

=

302

=⇒ ΠTXTYh = (2′5 8 − 4) ·

302

= −0′5,

donde se ha tenido en cuenta que Πh representa el estimador MCO de los parametros de la formareducida de la regresion entre las variables endogenas que hay en el segundo miembro de la ecuacion hy todas las variables predeterminadas.

Entonces, la expresion (6) para la primera ecuacion queda expresada como

δ1,MC2E =

33 2 42 4 04 0 1

−1 −0′530

=

−0′1250′8125

0′5

.

Para la segunda ecuacion se tiene que Yh = Y1t, Xh = X3t e yh = Y2t. En tal caso:

XTYh =

XT1tY1t

XT2tY1t

XT2tY1t

=

302

=⇒ ΠTXTYh = (0′5 − 0′5 0′5) ·

302

= 2′5,

Y Th Xh = Y T

1tX3t = 2, XTh Xh = XT

3tX3t = 2, XTh yh = XT

3tY2t = 1,

XT yh =

XT1tY2t

XT2tY2t

XT2tY2t

=

241

=⇒ ΠTXTYh = (0′5 − 0′5 0′5) ·

241

= −0′5.

Entonces, la expresion (6) para la segunda ecuacion queda expresada como

δ2,MC2E =(

2′5 22 3

)−1( −0′51

)=(−11

).

29

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