Ejercicios Resueltos Ecuaciones Diferenciales

Click here to load reader

  • date post

    12-Nov-2014
  • Category

    Documents

  • view

    136
  • download

    7

Embed Size (px)

Transcript of Ejercicios Resueltos Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios resueltos de ecuaciones diferencialesHugo Lombardo Flores 13 Abril 2011

11.1

Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones lineales y reducibles a estas.

1.dy + 2y = 0 dxDefinimos el factor integrante.

p(x) = 2

factor integrante: e 2dx = e2x multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.dy 2x e2x d =0 x + 2e

el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a: separamos variables e integramos.d 2x dx [e y ] d 2x dx [e y ]

=0

=0

dx + c

e2x y = c y = ce2x

2. forma lineal.

dy = 3y dxdy dx

3y = 0

p(x) = 3

Factor integrante: e 3dx =e3x multiplicamos por factor integrante. 1

dy 3x e3x d y=0 x 3e

dy 3x y dx [e

= 0 dx + c

e3x y = c y = ce3x

3.3

dy + 12y = 4 dxdy dx 4 3

pasamos la ecuacion a la forma lineal.+ 4y =

p(x) = 4

Factor integrante: e

4dx

=e4x

dy 4 4x 4x e4x d x + 4e y = 3 e d 4x 4x e dx + c dx [e y ] = 1 4x e4x y = 4 e +c

y=

1 4

+ ce4x

4. forma lineal

y = 2y + x2 + 5

y 2y = x2 + 5

Factor integrante: e

2dx

= e2x

e2x y 2e2x y = e2x x2 + 5e2x d 2x y ] = e2x x2 + 5 e2x + c dx [e5 2x 2x e 1 (2x2 + 2x + 1) + C e2x y = 2 4e

y = x 2

2

x 2

1 4

+

5 2

+ ce2x

5.

y dx 4(x + y 6 )dy = 0 y dx = 4(x + y 6 )dydx dy

=

4(x+y 6 ) y

;

dx dy

=

4x y

+

4y 6 y

2

denimos la forma lineal.dx dy

4x y

= 4y 54

Factor integrante: e4

1 y dy

; e4 log(y) ; elog(y) ; y 4 =1 4x y4 y

1 y4

1 dx y 4 dy

=

1 5 y 4 4y

d 1 dy [ y 4 x]

= 4y

d 1 dy [ y 4 x] 1 y4 x

= 4 y dy

= 2y 2 + C

x = 2y 6 + cy 4

6.

xy + y = ex1 y +x y= ex x

Factor integrante:e1 x dx

= elog x = xxex x

x xy + x y= d dx [xy ]

= ex

Integramos:

d dx [xy ]

=

ex dx + c

xy = ex + c y = ex x1 + cx1

7.xdy dx

dy 2 +y = 2 dx yy x

+

=

2 xy 2

...(1)

hacemos la sustitucion: u = y 1n donde n = 2u = y 1(2) = y 3 ;u1/3 = y

Derivamos esta ultima.1 2/3 du 3u dx

=

dy dx

3

Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.1 2/3 du 3u dx

+

u1/3 x

=

2(u1/3 )2 x

2/3 Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por 1 . 3u du dx

+ 3u x =

6 x

Esta es una ecuacion lineal. Denimos el factor integrante.e31 x dx

= e3 log x = elog x = x3

3

Multiplicamos por factor integrante.3u 36 x3 du dx + 3x x = x x d 3 dx [x u]

= 6x2

integramos.

d 3 dx [x u]

= 6 x2 + c

x3 u = 2x3 + c u = 2 + cx3

Sustituimos u = y 3y 3 = 2 + cx3dy + y 3/2 = 1; condicion y (0) = 4 8. y 1/2 dx dy dx

+

y 3/2 y 1/2

=

dy 1 dx y 1/2

+ y = y 1/2

u = y 1n ; n = 1/2; u = y 1(1/2) = y 3/2 u2/3 = y2 1/3 du 3u dx

=

dy dx

Sustituimos.2 1/3 du 3u dx

+ u2/3 = (u2/3 )1/2

1/3 Multiplicamos la ecuacion por 2 3u du dx 3 +2 u= 3 2

La ecuacion se redujo a una lineal. 3 3 Factor integrante: e 2 dx = e 2 x 4

3 3 2x u = e2x e 2 x du dx + e 2 23 d 2 x u] dx [e 2x =3 2e 3

3

3

3

3 d 2 x u] dx [e 3

=

3

3 3 2 x dx 2e

+c

e 2 xu = e 2 x + c u = 1 + ce 2 x3

Sustituimos u = y 3/2y 3/2 = 1 + ce 2 x 43/2 = 1 + ce 2 0 81=c c=73 3

Solucion general.

Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y (0) = 4

Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.y 3/2 = 1 + 7e 2 x3

Solucion particular.

9.y + u = y 1n ; donde n = 2 entonces: u = y 12 ; u = y 1 ; u1 = y

2 y = 2xy 2 x

u u2 d dx =

dy dx

sustituimos en la ecuacion.u 2 1 u2 d = 2x(u1 )2 dx + x u

multiplicamos por u2du dx 2 x u = 2x 2 esta es una ecuacion lineal con p(x) = x obtenemos el factor integrante.

e2

1 x dx

= elog x

2

= x 2

u 2 2 2 x2 d 2x dx x xu = x d 2 u] dx [x

= 2x1

integramos. 5

d 2 u] dx [x

=

2x1 dx + c

x2 u = 2 log x + c u = 2x2 log x + cx2

sustituimos u = y 1 y la solucin es entonces:y=1 2x2 log x+cx2

10, sea. n = 1/2

y + xy = xy 1/2

u = y 1n ; u = y 1(1/2) ; u = y 3/2 ; y = u2/3dy dx 1/3 =2 3u

sustituimos en la ecuacion.2 1/3 3u 1/3 multiplicamos por 2 3u du dx 3 +2 xu = 3 2x

+ xu2/3 = x(u2/3 )1/2

que es una ecuacion lineal con p(x) =e23

3 2x

Factor integrante: xdx3 2

= e4x3 2 xu3

3

2

e4x

3

2

du dx

+ e4x

= e4x2

3

2

3 2x

2 d 3 4x u dx e

3 =2 xe 4 x dx + c

2 d 3 4x u dx e 3 2

=

3 2

3

xe 4 x dx + c2

3

2

e4x u = e4x + c u = 1 + ce 4 x3 2

sustituimos u = y 3/2y 3/2 = 1 + ce 4 x3 2

6

1.2

Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.

1.(2x 1)dx + (3y + 1)dy = 0 M (x, y ) = 2x 1; N (x, y ) = 3y + 1M y

Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion=N x M y

=0;

N x

=0

son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta. Ahora tomamos una funcion fx (x, y ) = M (x, y )fx (x, y ) = 2x 1

integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g (y )M x

= 2 xdx dx + g (y )

f (x, y ) = x2 x + g (y )... (1)

Esta funcion la derivamos con respecto de y.f y

= g (y )

igualamos con N(x,y)g (y ) = 3y + 1

integramos respecto a y g (y ) = 3 ydy + dy + c3 2 g (y ) = 2 y +y+c

sustituimos la funcion en (1).3 2 x2 x + 2 y +y =c

esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion. 2.(seny ysenx)dx + (cosx + xcosy y )dy = 0 M (x, y ) = seny ysenx; N (x, y ) = cosx + xcosy yM y N x

= cosy senx = senx + cosy

7

tomamos fx (x, y ) = seny ysenx integramos con respecto a x

M y

=

N x

por lo tanto es una ecuacion exacta. fx (x, y )dx = (seny ysenx)dx

f (x, y ) = xseny y (cosx) + g (y )...(1)

derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y)fy (x, y ) = cosx + xcosy + g (y ) = cosx + xcosy y g (y ) = y

integramos respecto de y g (y ) = ydy + c1 2 y +c g (y ) = 2

sustituimos en (1)2 f (x, y ) = xseny + ycosx 1 2y

nos queda la solucion implicita.2 xseny + ycosx 1 2y = c

3.

(3x2 y + ey )dx = (x3 + xey 2y )dy M (x, y ) = 3x2 y + ey ; N (x, y ) = x3 + xey 2y My (x, y ) = 3x2 + ey Nx (x, y ) = 3x2 + ey

My (x, y ) = Nx (x, y ) entonces es una ecuacion diferencial exacta. Integramos fx (x, y ) con respecto de x, y obtenemos una funcion g (y ) de constante de integracion. f (x, y ) = (3x2 y + ey )dx f (x, y ) = x3 y + xey + g (y )... (1)

Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y)fy (x, y ) = x3 + xey + g (y ) = x3 + xey 2y g (y ) = 2y

8

Integramos respecto de yg (y ) = 2

y dy + c

g (y ) = y 2 + c

sustituimos en (1)x3 y + xey y 2 = c... solucion implicita.

4.

(6xy 2y 2 )dx + (3x2 4xy )dy = 0 My (x, y ) = 6x 4y , Nx (x, y ) = 6x 4y

la ecuacion es exacta. integramos fx (x, y ) respecto a x.

f (x, y ) = (6xy 2y 2 )dx

f (x, y ) = 3x2 y 2xy 2 + g (y )...(1)

derivamos respcto de yfy (x, y ) = 3x2 4xy + g (y )

igualamos con N(x,y)3x2 4xy + g (y ) = 3x2 4xy

g (y) = 0

integramos respecto de yg (y ) = c

sutituimos en la ecuacion (1)3x2 y 2xy 2 = c

5.

(2y 2xy 3 + 4x + 6)dx + (2x 3x2 y 2 1)dy = 0

con la condicion y (1) = 0My = 2 6xy 2 = NX

Una vez comprobada que sea exacta. integramos fx (x, y ) respecto a x

f (x, y ) = (2y 2xy 3 + 4x + 6)dx

f (x, y ) = 2xy 3x2 y 3 + 2x2 + 6x + g (y )...(1)

9

derivamos respecto a y:fx (x, y ) = 2x 3x2 y 2 + g (y )

igualamo con N (x, y ) integramos:g ( y ) = y + c

2x 3x2 y 2 + g (y ) = 2x 3x2 y 2 1 g (y ) = 1

sustituimos en (1)2xy x2 y 3 + 2x2 + 6x y = c... solucion implicita.

para y (1) = 02(1)2 + 6(1) = c c = 4

entonces la solucion particular al caso y(-1)=0 es:2xy x2 y 3 + 2x2 + 6x y = 4

6.(xy sin x + 2y cos x)dx + 2x cos xdy = 0;

Use el factor integrante (x, y ) = xyMy (x, y ) = x sin x + 2 cos x Nx (x, y ) = 2x sin x + 2 cos x NX = M y

la ecuacion es no exacta, en este ejemplo se nos dio el factor integrante, por lo tanto procedemos a multiplicar toda la ecuacion por el factor integrante.xy (xy sin x + 2y cos x)dx + xy (2x cos x)dy = 0 (x2 y 2 sin x + 2xy 2 cos x)dx + (2x2 y cos x)dy = 0

comprobamos que esta ecuacion sea exacta.My (x, y ) = 2yx2 sin x + 4xy cos x NX (x, y ) = 4xy cos x 2x2 y sin x MY = NX por lo tanto esta ecuacion es exacta y la resolvemos como tal.

10

fx (x, y ) = x2 y 2 sin x + 2xy 2 cos x

integramos respecto a x: f (x, y ) = (x2 y 2 sin x + 2xy 2 cos x)dx f (x, y ) = x2 y 2 cos x + g (y )...(1)

derivamos respecto a y:fy (x, y ) = 2x2 y cos x + g (y )

igualamos con Nx2x2 y cos x + g (y ) = 2x2 y cos x g (y ) = 0

integramos respecto a y:g (y ) = c

sustituimos en (1)f (x, y ) = x2 y 2 cos x + c

22.1

Ecuaciones de orden superiorEcuaciones diferenciales de orden superior reducibles a primer orden.

1. y = 2x2 Integramos ambos lados de la ecuacion: y = 2 x2 dx + c2 3 x + c1 y =3

Volvemos a integrar: y =2 3

(x3 + c1 )dx + c2

1 4 y = (2 3 )( 4 )x + xc1 + c2

Solucion:4 y=1 6 x + c1 x + c2

11

2. y = sen(kx) Integramos ambos lados de la ecuacion: y = sen(kx)dx + c1 y = kcos(kx) + c1 y = k cos(kx)dx + c1 dx + c2 y = k 2 sen(kx) + xc1 + c2 y = k 2 sen(kx)dx + c1 xdx + c2 dx + c32 y = k 3 cos(kx) + 1 2 c1 x + c2 x + c3 1 3. y = x Integrando:

y

=

1 x dx

+ c1

y = log x + c1 y = log xdx + c1 dx + c2 y = x log x x + c1 x + c2 y = x log xdx xdx + c1 xdx + c2 dx + c3 y=x2 2 (log x 1 2 1 2 1 2 ) 2 x + c1 2 x + c2 x + c3

4. y = x + sin x Integrando: y = xdx + y y

sin xdx + c1 + c1 dx + c2

2 =1 2 x cos x + c1 1 y = 2 x2 dx cos xdx 1 3 x sin x + c1 x + c2 =6

5. y = x sin x, y (0) = 0 y (0) = 0 y (0) = 2 Resolvemos la ecuacion diferencial integrando tres veces: y = x sin xdx + c! y = sin x x cos x + c1 y = sin xdx x cos xdx + c1 dx + c2 y = cos x (cos x + x sin x) + c1 x + c2 y = cos xdx cos xdx x sin xdx + c1 xdx + c2 dx + c32 y = sin x sin x (x cos x + sin x) + 1 2 c1 x + c2 x + c3 2 y = 3 sin x + x cos x + 1 2 c1 x + c2 x + c3

12

2.2

Reducibles a primer orden

1. xy + y = 0 Deniendo:p(x) =dy dx

dp dx

=

d2 y dx2

xp + p = 0

nos queda una ecuacion lineal homogenea de orden 1 de variables separables.1 x dx 1 = p dp 1 1 x dx = p dp + c1

log x = log p + log c11 ) log x = log( cp

Aplicando exponencial a ambos lados de la ecuacion.x=c1 p dy dx

hacemos p(x) =x=c! dy/dx

x = c1 dx dy

integrando:1 x dx

=

1 c1

dy + c2

log x =

valor positivo. 2.(x 1)y y =0 Denimos:p(x) =dy dx

y = c1 log x + c2 . La constante de integracion conviene que tome

1 c1 y

+ c2

dp dx

=

d2 y dx2

(x 1)p p = 0

Dividimos entre (x 1)x1 x1 p

1 x1 p

=0

p dp dx

1 x 1 p

=0 =0

nos queda una ecuacion lineal homogenea.1 x 1 p dp 1 dx = x1 p 1 1 p dp = x1 dx

integrando:1 p dp

=

1 x1 dx

+ c1

13

log(p) = log(x 1) + log(c1 ) log(p) = log[c1 (x 1)] p = c1 (x 1)

haciendo p =dy dx

dy dx

= c1 (x 1)

dy = c1 (x 1)dx

integrando:

dy = c1 (x 1)dx + c2

2 y = c1 1 2 x x + c2

3.2.3 Ecuaciones lineales homogeneas.

1.y + y 2y = 0 Resolvemos la ecuacion caracteristica asociada.m2 + m 2 = 0 (m + 2)(m 1) = 0 m1 = 2 m2 = 1

Suponemos una solucion y = emxy1 = e2x y2 = ex y (x) = c1 e2x + c2 ex

2.y 2y + y = 0

Ecuacion caracteristica asoiada m2 2m + 1 = 0(m 1)2 = 0 m1,2 = 1

solucion y = emxy1 = ex y2 = y1 y2 = e

e

p(y )dy 2 y1

dx

x

e e2x dx

2x

y2 = ex x

solucion.y (x) = c1 ex + c2 xex

3. 4y 8y + 5y = 0 14

Ecuacion caracteristica.4m2 8m + 5 = 0 m1,2 = m1,2 = 8 6480 8 1 1 2i1

solucion.

y = c1 ex ei 2 x + c2 ex ei 2 x y = ex (c1 ei 2 x + c2 ei 2 x )1 1

1

4.3y 2y 8y = 0 Ecuacion caracteristica:3m2 2y 8 = 0 (3m + 4)(m 2) m1 = 2 m2 = 4 3 y1 = e2x y2 = e 3 x4

1 y = ex (c1 cos 1 2 x + c2 sen 2 x)

Solucion propuesta de la forma, y = emx

Solucion:y (x) = c1 e2x + c2 e 3 x4

5.y v 10y + 9y = 0 Ecuacion caracteristica.m5 10m3 + 9m = 0 m(m4 10m2 + 9) = 0 m1 = 0 (m2 9)(m2 1) m2,3 = 3 m4,5 = 1

Entonces tenemos las soluciones:y1 = e0 = 1 y2 = e3x y3 = e3x y4 = ex y5 = ex

Solucion:y (x) = c1 + c2 e3x + c3 e3x + c4 ex + c5 ex

6. y + 4y + 3y = 0 y (0) = 2 y (0) = 3 Ecuacion caracteristica.m2 + 4m + 3 = 0

15

m1,2 =

4 36 2

m1,2 = 2 3i

Solucion:y (x) = e2x (c1 cos 3x + c2 sin 3x) y (x) = e2x (3c1 sin 3x + 3c2 cos 3x) 2e2x (c1 cos 3x + c2 sin 3x)

Resolveremos para los casos y (0) = 2 y y (0) = 3 particularmente. Para y (0) = 22 = e0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) 2 = c1

Para y (0) = 33 = e0 (3c1 sin 0 + 3c2 cos 0) 2e0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) 3 = 3c2 2c1 3 = 3c2 2(2) 3 + 4 = 3c2 c2 =1 3

Por lo tanto la solucion para el caso en general es:y (x) = e2x (2 cos 3x +4 4

1 3

sin 3x)

d y d y 7. dx 4 7 dx2 18y = 0 Ecuacion caracteristica:

m4 7m2 18 = 02.4 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden

2.4.1 Coecientes indeterminados.1.y + 3y + 2y = 6

Resolvemos la ecuacion homogenea asociadayh = y + 3y + 2y = 0

Ecuacion caracteristica:m2 + 3m + 2 = 0 (m 1)(m 2) m1 = 1 m2 = 2 yh = c1 ex + c2 e2x

Ahora resolvemos la parte no homogena suponiendo una solucion particular. 16

en este caso la parte no homogenea es 6, lo que nos sugiere usemos una solucion de la forma Ayp = A y yp p

=0 =0

Sustituimos en la ecuacion original.0 + 3(0) + 2A = 6 A=3

Entonces la solucion es y (x) = yh + ypy (x) = c1 ex + c2 e2x + 3

2. y + y = sin x Resolvemos primer la ecuacion homogenea asociada.y +y =0

La ecuacion caracteristica de esta ecuacion es. m2 = 1 m1,2 = 1 m1,2 = i donde = 0 y = 1 m1,2 = i yh = c1 ex cos x + c2 ex sin x yh = c1 cos x + c2 sin x m2 + 1 = 0

Ahora buscamos una solucion particular, para sin x nos proponen una solucion de la forma A sin x + B cos x, sin embargo podemos observar que esta ya es una solucion de la ecuacion homogenea asociada y + y = 0, entonces segun la regla de multiplicacion para este caso, debemos multiplicar por xn donde n es el numero de enteros positivos que elimina la duplicacion.yp = Ax sin x + Bx cos x y yp p

= A sin x + Ax cos x + B cos x Bx sin x = A cos x + A cos x Ax sin x B sin x Bx cos x B sin x = 2A cos x 2B sin x Ax sin x Bx cos x

Sustituimos en la ecuacion original2A cos x 2B sin x Ax sin x Bx cos x + Ax sin x + Bx cos x = sin x 2A cos x 2B sin x = sin x 2A = 0 entonces A = 0 2B = 1 entonces B = 1 2

Sustituyendoyp = 1 2 x cos x

17

y (x) = yh + yp y (x) = c1 cos x + c2 sin x 1 2 x cos x

3. y 10y + 25y = 30x + 3 Resolvemos la ecuacuion homogenea asociada.m2 10m + 25 = 0 m1,2 = 5 yh = c1 e5x + c2 xe5x

La solucion particular propuesta para 30x + 3 es Ax + Byp = Ax + B y yp p

=A =0

sustituimos en la ecuacion10(A) + 25(Ax + B ) = 30x + 3 25A = 30...(1) entonces A = 25B 10A = 3...(2)6 25B 10( 5 )=3 6 5

25B = 3 + 12 B= yp =3 5 6 5x

+

3 5

y (x) = yh + yp y (x) = c1 e5x + c2 xe5x + 6 5x +3 5 2 4. 1 4 y + y + y = x 2x Resolvemos la ecuacion homogenea asociada. 1 4y + y + y = 0 1 2 4m + m + 1 = 0

m1,2 = 2 yh = c1 e2x + c2 xe2x

Ahora suponemos una solucion particular para el caso de f (x) =x2 2x yp = Ax2 + Bx + C yp = 2Ax + B yp = 2A

Sustituimos en la ecuacion original.1 2 4 (2A) + 2Ax + B + Ax + Bx + C = 1 2 2 2 A + B + Ax + 2Ax + Bx + C = x

x2 2x 2x

18

A=1 2A + B = 2 B =22=01 2A 1 2A

+B+C =0 +C =01 2

1 C = 1 2A = 2

yp = x2

y (x) = yh + yp y (x) = c1 e2x + c2 xe2x + x2 1 2

5. y + 3y = 48x2 e3x Se resuelve la parte homogenea. y +3y=0m2 + 3 = 0 m1,2 = 3 m1,2 = 3i yh = c1 cos 3x + c2 sen 3x

suponemos una solucion particular para 48x2 e3xyp = e3x (Ax2 + Bx + C ) y yp p

= 3e3x (Ax2 + Bx + C ) + e3x (2Ax + B ) = 9e3x (Ax2 + Bx + C ) + 3e3x (2Ax + B ) + 3e3x (2Ax + B ) + e (2A) = 9e3x (Ax2 + Bx + C ) + 3e3x (4Ax + 2B ) + e3x (2A)3x

Susituimos en la ecuacion.9e3x (Ax2 + Bx + C ) + 3e3x (4Ax + 2B ) + e3x (2A) + 9e3x (Ax2 + Bx + C ) + 3e3x (2Ax + B ) = 48x2 e3x 9e3x Ax2 + 9e3x Bx + 9e3x C + 12e3x Ax + 6e3x B + 2e3x A + 9e3x Ax2 + 9e3x Bx + 9e3x C + 6e3x Ax + 3e3x B = 48x2 e3x 9A + 9A = 48 18A = 488 A = 3

B=0 C=0

6.y y = 3 y -y =0m2 m = 0 m(m 1) = 0 m1 = 0 m2 = 1

19

yh = c1 e0x + c2 ex = c1 + c2 ex

En este caso podemos ver claramente que existe ya una solucion que es c1 igual con 3 entonces por la regla de multiplicidad. la solucion propuesta yp = Axyp = Ax y yp p

=A =0

Sustituyendo en la ecuacion. 0 A = 3 entonces, A = 3yp = 3x y (x) = yh + yp y (x) = c1 + c2 ex + 3x

7. y 6y = 3 cosx Ecuacion homogenea asociada yh = y 6y = 0m3 6m2 = 0 m2 (m 6) = 0 m1,2 = 0 m3 = 6 yh = c1 + c2 x + c3 e6x

La solucion particular propuesta para 3 cosx es yp1 = A yp2 = Bcosx + Csenxsin embargo en la solucion yp1 se repite la constante, entonces la multiplicamos por x de acuerdo a la ley de multiplicidad nos queda.yp1 = Ax2yp = Ax2 + Bcosx + Csenx y y yp p p

= 2Ax Bsenx + Ccosx = 2A Bcosx Csenx = Bsenx Ccosx

Susituyendo en la ecuacion original.Bsenx Ccosx 12A + 6Bcosx + 6Csenx = 3 Cosx 12A = 3 ; A = 1 4 6B C = 1...(1) 6C + B = 0...(2)

Igualando 1 y 2B= C= yp =6 37 1 37 1 3 2x

+

6 37 cosx

y (x) = c1 + c2 x +

1 37 senx 2 c3 e6x 1 4x

+

+

6 37 cosx

+

1 37 senx

20

9.y + 2y + y = senx + 3cos2xyh = y + 2 y + y = 0 m2 + 2m + 1 = 0 (m + 1)2 = 0 m1,2 = 1 yh = c1 ex + c2 xex

Solucion particularyp = Acosx + Bsenx + Ccos2x + Dsen2x yp = Asenx + Bcosx 2Csen2x + 2Dcos2x yp = Acosx Bsenx 4Ccos2x 4Dsen2x

sustituyendo.AcosxBsenx4Ccos2x4Dsen2x2Asenx+2Bcosx4Csen2x+ 4Dcos2x + Acosx + Bsenx + Ccos2x + Dsen2x = senx + 3cos2x 3Ccos2x 3Dsen2x 2Asenx + 2Bcosx 4Csen2x + 4Dcos2x = senx + 3Cos2x 3C + 4D = 3...(1) 3D 4C = 0...(2) C= D=9 25 12 25

2A = 1 ; A = 1 2 2B = 0 ; B = 01 y (x) = c1 ex + c2 xex 2 cosx + 9 25 cos2x

+

12 25 sen2x

2.5

Variacion de parametro.

1. y + y = sec x Resolvemos la parte homogenea de la ecuacion esta es yh = y + y = 0 Para la ecuacion homogenea asociada, resolvemos la ecuacion caracteristica.m2 + 1 = 0 m2 = 1 = 1 ; m1,2 = i

m1,2

m1,2 = i ; donde = 0 = 1

21

yh = c1 cosx + c2 senx

Ahora identicamos y1 = cosx y y2 = senx y las derivamos.y1 = cosx y2 = senx y1 = senx y2 = cosx

A continuacion calculamos el Wronskiano:W = y1 y1 y2 cosx = y2 senx senx = [(cosx)(cosx)] [(senx)(senx)] = cosx cos2 x + sen2 x = 1

W1 =

0 y2 0 senx = = [(0)(cosx)] [(senx)(secx)] = f (x) y2 secx cosx senxsecx = senx cosx = tanx 0 cosx 0 = = [(cosx)(secx) (0)(senx)] = f (x) senx secx cosxsecx = cosx cosx = 1 = tanx = tanx ; u1 = tanxdx = [ln(cosx)] = ln(cosx) 1 1 2 u2 = W dx = x W = 1 = 1; u2 = yp = u1 y1 + u2 y2 yp = ln(cosx)cosx + xsenx y (x) = yh + yp y (x) = c1 cosx + c2 senxi + cosxln(cosx) + xsenx y1 y1

W2 =

u1 =

W1 W

2. y + y = senx Resolvemos yh = y + y = 0m2 + 1 = 0 m2 = 1 = 1 ; m1,2 = i

m1,2

Donde:=0y=1 yh = ex (c1 cosx + c2 senx) yh = e0x (c1 cosx + c2 senx)

22

yh = c1 cosx + c2 senx

Denimos y1 , y2y1 = cosx ; y1 = senx y2 = senx ; y2 = cosx

Calculamos el Wronskiano.W = cosx senx W1 = W2 = senx = cos2 x + sen2 x = 1 cosx 0 senx cosx senx senx = sen2 x cosx 0 = senxcosx senx

Ahora calculamos u1 , u2 .x = sen2 x u1 = sen 1 1 u1 = sen2 xdx = x 2 4 sen2x2

u2 = senxcosx = senxcosx 1 2 u2 = senxcosxdx = 1 2 sen x1 1 2 yp = u1 y1 + u2 y2 = ( x 2 4 sen2x)cosx + 2 sen x(senx) 1 1 3 yp = 1 2 xcosx 4 cosxsen2x + 2 sen x

y (x) = yp + yh1 1 3 xcosx 1 y (x) = c1 cosx + c2 senx + 2 4 cosxsen2x + 2 sen x

3. y + y = cos2 x Ecuacion homogenea asociada yh = y + y = 0 Esta ecuacion tiene solucion de la forma:yh = c1 cosx + c2 senx

Denimos y1 , y2y1 = cosx ; y1 = senx y2 = senx ; y2 = cosx

Calculamos los Wronskianos: 23

W =

cosx senx

senx = cos2 x + sen2 x = 1 cosx

W1 =

0 senx = senxcos2 x cos2 x cosx cosx senx 0 = cos3 x cos2 x

W2 =

Denimos u1 , u2u1 = senxcos2 x = senxcos2 x 1

cos3 x cos3 x u1 = senxcos2 xdx = = 3 3 u2 = u2 = cos3 x = cos3 x 1 sen3 x 3 (senx)

cos3 xdx = senx

yp = u1 y1 + u2 y2 =

cos3 x sen3 x (cosx) + senx 3 3 cos4 x sen4 x + sen2 x 3 3 sen4 x cos4 x + sen2 x 3 3

yp =

y (x) = c1 cosx + c2 senx +

4.y y = cosh x Ecuacion homogenea asociada y y = 0m2 1 = 0 m2 = 1; m1,2 = 1 = 1 yh = c1 ex + c2 ex

Denimos y1 , y2y1 = ex ; y1 = ex y2 = ex ; y2 = ex

Calculamos los Wronskianos: 24

W =

ex ex

e x = ex (ex ) ex (ex ) = 1 1 = 2 ex 0 e x = ex (coshx) = ex coshx coshx ex W2 = ex ex 0 = ex coshx coshx

W1 =

Calculamos u1 y u2u1 = u1 =1 2 ex coshx 2 1 x =2 e coshx

2x ex coshxdx = 1 (2e2x x 1) 8e

u2 = u2 = 1 2

ex coshx 1 x e coshx = 2 21 ex coshxdx = 2 [

x e2x + ] 2 4 x e2x ) 4 8

2x yp = ex [ 1 (2e2x x 1)] + (ex )( 8e

1 x yp = 8 e (2e2x x 1) +

ex xex + 4 8 xex ex + 4 8

x y (x) = c1 ex + c2 ex + 1 (2e2x x 1) + 8e

4. y + 3y + 2y =

1 1 + ex

Ecuacion homogenea asociada yh = y + 3y + 2y = 0m2 + 3m + 2 = 0 (m + 2)(m + 1) = 0 m1 = 2 m2 = 1 yh = c1 e2x + c2 ex

Denimos y1 , y2 .y1 = e2x ; y1 = 2e2x y2 = ex ; y2 = ex

Calculamos Wronskianos: 25

W =

e2x 2e2x

e x = (e2x )(ex ) (ex )(2e2x ) = e3x + 2e3x = ex e3x W1 = 01 1+ex

ex e x x = e 1 + ex 01 1+ex

W2 =

e2x 2e2x

=

e2x 1 + ex

Calculamos u1 ,u2e x ex = u1 = 1e+ 3x u1 = e2x ex (e3x )(1 + ex ) = 1 e2x (1 + ex ) = 1 + e x

e2x

1 dx = ex + ln(ex + 1) 1 + ex

e2x 1 e2x ex = = x u2 = 1 + 3 x 3 x x e (e )(1 + e ) e +1 u2 = 1 dx = x + ln(ex + 1) +1

e x

yp = (e2x )[ex + ln(ex + 1) 1] + [x + ln(ex + 1)](ex ) yp = ex + e2x ln(ex + 1) e2x + xex + ex ln(ex + 1) y (x) = c1 e2x + c2 ex ex + e2x ln(ex + 1) e2x + xex + ex ln(ex + 1)

5.3y 6y + 6y = ex secxyh = 3y 6y + 6y = 0 3m2 6m + 6 = 0 a = 3 , b = 6 , c = 6

Denimos y1 , y2m1,2 = (6) (6)2 4(3)(6) 6 = 2(3) 6 36 72 =1 6 36 =1i 6

=1,=1 yh = ex (c1 cosx + c2 senx)

Deniendo y1 , y2 26

y1 = ex cosx ; y1 = ex cosx ex senx y2 = ex senx ; y2 = ex senx + ex cosx

Calculamos los WronskianosW = ex cosx ex senx = (ex cosx)(ex senx + ex cosx) x x e cosx e senx e senx + ex cosx (ex senx)(ex cosx ex senx) = ex (cosxsenx + cos2 x cosxsenx + sen2 x)x

W = ex (cos2 x + sen2 x) = ex W1 = 0 e secxx

senx ex senx = (ex senx)(ex secx) = ex ( )= e senx + ex cosx cosx x e tanxx

W2 =

ex cosx e cosx ex senxx

cosx 0 ) = ex = (ex cosx)(ex secx) = ex ( ex secx cosx

Calculamos u1 , u2u1 = ex tanx = tanx ex

u1 = tanxdx = (lncosx) = lncosx u2 = u2 = ex =1 ex dx = x

yp = lncosx(ex cosx) + x(ex senx) y (x) = ex (c1 cosx + c2 senx) + ex cosxlncosx + xex senx2.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler

x2 y 2 y = 0

Suponemos una solucin de la forma y = xm .y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Sustituimos en la ecuacin original.x2 [(m 1)mxm2 ] 2(xm ) = 0

27

x2 [(m 1)mxm x2 ] 2(xm ) = 0 (m 1)mxm 2xm = 0 xm [(m 1)m 2] = 0 xm (m2 m 2) = 0

asi obtenemos la ecuacion auxiliarm2 m 2 = 0 (m + 1)(m 2) = 0 m1 = 1 ; m2 = 2

Son races reales y distintas, asi que la solucin es:y = c1 x1 + c2 x2

2.

x2 y + y = 0

Suponemos la solucion y = xmy = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Sustituimos en la ecuacinx2 [(m 1)mxm2 ] + xm = 0 (m 1)mx2 xm x2 + xm = 0 (m2 m)xm + xm = 0 xm (m2 m + 1) = 0

Ecuacin auxiliarm2 m + 1 = 0 1 m1,2 = 2 1 2 3i

donde: =

1 2

=

1 2

31 1

y = c1 x 2 + 2

3i

+ c2 x 2 2

1

1

3i

28

Usando la identidad,xi = (elnx )i = eilnx

con la formula de Euler, es lo mismo quexi = cos(lnx) + isen(lnx) xi = cos(lnx) isen(lnx)

entoncesxi + xi = cos(lnx) + isen(lnx) + cos(lnx) isen(lnx) = 2cos(lnx) xi xi = cos(lnx) + isen(lnx) cos(lnx) + isen(lnx) = 2isen(lnx)

si y = C1 x+i + C2 xiy1 = x (xi + xi ) = 2x cos(lnx) y2 = x (xi xi ) = 2x isen(lnx)

se concluye quey1 = x cos(lnx) y = x sen(lnx)

As la solucion general esy = x [c1 cos(lnx) + c2 sen(lnx)] 1 1 y = x 2 [c1 cos( 1 2 3lnx) + c2 sen( 2 3lnx)]

3. Suponemos la solucin:

x2 y + xy + 4y = 0

y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Sustituimos en la ecuacin.x2 [(m 1)mxm2 ] + x(mxm1 ) + 4(xm ) = 0 xm (m2 m + m + 4) = 0 xm (m2 + 4) = 0 m2 = 4

29

m1,2 = 4 m1,2 = 2i =0=2 y = x0 (c1 cos2lnx + c2 sen2lnx) y = c1 cos2lnx + c2 sen2lnx

4. Solucion propuesta.

x2 y 3xy 2y = 0

y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Sustituimos.x2 [(m 1)mxm2 ] 3x(mxm1 ) 2(xm ) = 0 xm [(m2 m) 3m 2] = 0 xm (m2 4m 2) = 0 m1,2 = 2 6 y = c2 x2+ 6

+ c1 x2

6

5. Solucin propuesta.

25x2 y + 25xy + y = 0

y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Sustituimos.25x2 [(m 1)mxm2 ] + 25x(mxm1 ) + xm = 0 xm [25m2 25m + 25m + 1] = 0

30

25m2 + 1 = 0 1 1 = i 25 5 1 5

m1,2 =

= 0, =

1 1 y = x0 (c1 cos lnx + c2 sen lnx) 5 5 1 1 y = c1 cos lnx + c2 sen lnx 5 5

6. Solucion propuesta.

x2 y + 5xy + y = 0

y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2 x2 [(m 1)mxm2 ] + 5x(mxm1 ) + xm = 0 xm (m2 m + 5m + 1) = 0 m2 + 4 m + 1=0 3 m1,2 = 2 y = c1 x2+ 3 + c2 x2 3

Sustituimos.

7.

xy 4y = x4

Solucin propuesta.y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Hacemos la ecuacion de la forma de Cauchy Euler, para esto la multiplicamos por x. Resolvemos la parte homogenea. Sustituimosyh = x2 y 4xy = 0 x2 [(m 1)mxm2 ] 4x(mxm1 ) = 0 x2 y 4xy = x5

31

Resolvemos por variacion de parmetros. Para esto tenemos que escribir la ecuacion en la forma estandar P (x)y +Q(x)y = f (x)

xm (m2 m 4m) = 0 m(m 5) = 0 m1 = 0 m2 = 5 yh = c1 x0 + c2 x5 yh = c1 + c2 x5

Dividimos la ecuacin original entre xy = x3 y 4x

x5 = 5x4 0 = 5x4 5x4 0 x5 W1 = 3 = 0 x 8 = x 8 x 5x4 1 0 W2 = = x3 0 x3 Calculamos u1 , u2 x8 1 4 u1 = 5x4 = 5 x 1 1 5 4 u1 = 5 x dx = 25 x 1 x3 = u2 = 5x 4 5x 1 1 u2 = 1 5 x dx = 5 lnx 1 5 1 yp = 25 x (1) + 5 lnx(x5 ) 5 1 5 x +x yp = 25 5 lnx y (x) = yh + yp 5 1 5 x +x y (x) = c + c2 x5 25 5 lnx W = 1 0

identicamos f (x) = x3 Denimos y1 , y2 y1 = 1 , y1 = 0 y2 = x5 , y2 = 5x4

7.

x2 y xy + y = 2x

Solucion propuesta.y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Resolvemos la ecuacion homogenea asociada.x2 [(m 1)mxm2 ] x(mxm1 ) + xm = 0 m2 m m + 1 = 0 m2 2m + 1 = 0

Sustituimos en la ecuacin original.

yh = x2 y xy + y = 0

32

Ponemos la ecuacin en la forma estandar1 y x y + 1 x2 y

(m 1)2 m1,2 = 1 yh = c1 x + c2 xlnx

2 =x 2 Identicamos f (x) = x Identicamos y1 = x , y2 = xlnx y y1 = 1 , y2 = lnx + 1

x lnx = (x)(lnx + 1) (lnx)(1) = xlnx + x lnx = xlnx 1 lnx + 1 x lnx + x = xln x + x = xln(1) + x = x 0 lnx 2 2 W1 = 2 = (lnx)( x )= x lnx lnx + 1 x x 0 2 W2 = 2 = xx 0 = 2 1 x Calculamos u1 , u2 2 lnx lnx u1 = x x = 2x 2 lnx +1 u1 = 2 x2 = lnx x 2 u2 = x 1 u2 = 2 x = 2lnx +1 yp = y1 u1 + y2 u2 = x( lnx x ) + xlnx(2lnx) = lnx + 1+ W =

Calculamos los Wronskianos

8.

x2 y 2xy + 2y = x4 ex

Solucin propuesta.y = xm y = mxm1 y = (m 1)mxm2

Calculamos el Wronskiano

2 2 2 x y +x y x 2y = x e Denimos y1 , y2 , f (x) = x2 ex y1 = x2 ; y1 = 2x y2 = x ; y2 = 1

Convertimos la ecuacion original a la forma estandar

x2 y 2xy + 2y = 0 xm (m2 m 2m + 2) = 0 m2 3m + 2 = 0 (m 2)(m 1) = 0 m1 = 2 , m2 = 1 yh = c1 x2 + c2 x

Solucionamos la ecuacion homogenea

x2 [(m 1)mxm2 ] 2x(mxm1 ) + 2xm = x4 ex

33

x2 x = x2 2x2 = x2 2x 1 0 x W1 = 2 x = 0 x 3 e x = x 3 e x x e 1 x2 0 W2 = = x4 ex 2x x2 ex Calculamos u1 , u2 x3 ex = xex u1 = x2x u1 = xe dx = ex (x 1) 4 x e u2 = x = x 2 e x x 2 2 x u2 = x e dx = ex (x2 2x + 2) yp = u1 y1 + u2 y2 = [ex (x 1)]x2 + [ex (x2 2x + 2)]x yp = x2 ex (x 1) + xex (x2 2x + 2) y (x) = yp + yh y (x) = c1 x2 + c2 x + x2 ex (x 1) + xex (x2 2x + 2) W =

9.

31.

Soluciones en series de potenciasy xy = 0

Sutituyendo y =

n n=0 cn x n=2 (n

y la segunda derivada y = n n=0 cn x ) n+1 n=0 cn x

n2 n=2 (n1)ncn x

1)ncn xn2 x ( 1)ncn xn2

=0 =0

n=2 (n

Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.2(1)c2 x0 2c2 n=3 n=3

n(n 1)cn xn2

n+1 n=0 cn x n+1 n=0 cn x

=0

n(n 1)cn xn2

=0

hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n + 1 para la segunda serie, de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente. Sutituimos2c2 2c2 n=3 k=1 (k

n(n 1)cn xn2 + 2)(k + 1)ck+2 xk

n+1 n=0 cn x

=0 =0

k k=1 ck1 x

2c2

k=1 [(k

+ 2)(k + 1)ck+2 ck1 ]xk = 0

(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0 ck+2 = ck1 (k + 2)(k + 1)

34

Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, con el valor de k como enteros positivos. Ahora2c2 = 0 ; c2 = 0 k = 1 , c3 = k = 2 , c4 = k = 3 , c5 = c2 = 5(4)c0 3(2) 1 =6 c0 1 12 c1

c1 = 4(3)1 20 c2

= 0 c2 = 0 = =1 180 c0 1 504 c1

k = 4 , c6 = k = 5 , c7 =

c3 = 6(5) c4 = 7(6)

1 1 30 ( 6 )c0 1 1 42 ( 12 )c1

k = 6 , c8 = k = 7 , c9 =

c5 = 0 c5 = 0 8(7)1 1 72 ( 180 )c0

c6 = 9(8)

=

1 12960 c0

k = 8 , c10 = k = 9 , c11 =

c7 = 10(9)

1 10(9)(504) c1

c8 = 0 c8 = 0 11(10)

Sustituyendo coecientes en la suposicion originaly= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 + c7 x7 + c8 x8 + c9 x9 + c10 x10 + c11 x11 + ..., y= 1 1 1 1 1 3 4 6 c0 +c1 x+0+ 1 c x + c x +0+ c x + 504 c1 x7 +0+ 12960 c0 x9 + 90(504) c1 x10 +0 0 1 0 6 12 1803 y = c0 (1 + 1 6x + 1 6 180 x

+

1 9 12960 x )

+ c1 (x +

1 4 12 x

+

1 7 504 x

+

1 10 90(504) x )

2 Sutituyendo:y= y = y =

y + x2 y + xy = 0 n n=0 cn x n1 n=1 cn nx n2 n=2 (n 1)ncn x

En la ecuacin original n=2 (n

1)ncn xn2 + x2

n1 n=1 cn nx

+ x[

cn x n ] = 0

35

Hacemos k = n 2 para la primera serie, yk = n +1para la segunda y tercera series.2c2 x0 + 6c3 x k=2 (k + 2 1)(k + 2)ck+2 xk+22 + k=2 ck1 (k 1)xk1+1 + k1+1 c0 x =0 k=2 ck1 x 2c2 + 6c3 x + c0 x k=2 (k + 1)(k + 2)ck+2 xk + ck1 (k 1)xk + ck1 xk = 0 2c2 + 6c3 x + c0 x k=2 [(k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1 (k 1) + ck1 ]xk = 0 (k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1 (k 1) + ck11

n2 + n=1 cn nxn+1 + n=0 cn xn+1 = n=2 (n 1)ncn x 0 n2 2c2 x + 6c3 x n=4 (n 1)ncn x + n=1 cn nxn+1 + c0 x1

0

n+1 n=1 cn x

=0

Entonces tenemos 2c2 = 0 ; c2 = 06c3 + c0 = 0 1 c0 c3 = 6

kck1 (k + 1)(k + 2) Sustituyendo k = 2, 3, 4, ... en la formula se obtiene 2c1 c4 = 3(4) =1 6 c1 3c2 c5 = 4(5) = 0 c2 = 0 4c3 2 1 c6 = 5(6) = 15 ( 1 6 c0 ) = 45 c0 5c4 5 1 5 = 42 ( 6 c1 ) = 136 c1 c7 = 6(7) 6c5 6 c8 = 7(8) = 56 (0) = 0 7c6 7 1 7 = 72 ( 45 )c0 = 72(45) c0 c9 = 8(9) 8c7 4 5 5 c10 = 9(10) = 45 ( 136 c1 ) = 45(34) c1 9c8 9 = 110 (0) = 0 c11 = 10(11) 10c9 5 7 7 c12 = 11(12) = 66 ( 72(45) c0 ) = 66(72)(9) c0 ck+2 =[(k1)+1]ck1 (k+1)(k+2)

=

Por tanto, 3.

y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 + c7 x7 + c8 x8 + c9 x9 + ... 1 4 5 5 1 6 7 7 y = c1 [ 6 x + 136 x7 + 9(34) x10 ] c0 [ 45 x + 72(45) x9 + 66(72)(9) x12 ] y 2xy + y = 0

Sutituyendo:y= y = y =

n2 n1 2x + n=0 cn xn = 0 n=2 (n 1)ncn x n=1 cn nx n2 n 2 n=1 cn nx + n=0 cn xn = 0 n=2 (n 1)ncn x n2 2c2 n=3 (n 1)ncn x 2 n=1 cn nxn + c0 n=1 cn xn = 0

En la ecuacin original

n n=0 cn x n1 n=1 cn nx n2 n=2 (n 1)ncn x

2c2 k=1 (k + 2 1)(k + 2)ck+2 xk+22 2 k=1 ck kxk + c0 k=1 ck xk = 0 2c2 + c0 k=1 (k + 1)(k + 2)ck+2 xk + k=1 ck kxk + k=1 ck xk = 0 k k k 2c2 + c0 k=1 (k + 1)(k + 2)ck+2 x 2ck kx + ck x = 0 2c2 + c0 k=1 (k + 1)(k + 2)ck+2 xk 2ck kxk + ck xk = 0

Hacemos k = n 2 para la serie uno y k = n para las dos y tres.

36

De esta igualdad se concluye que2c2 + c0 = 0 c2 = 1 2 c0 (k + 1)(k + 2)ck+2 xk 2ck kxk + ck xk = 0 [(k + 1)(k + 2)ck+2 2ck k + ck ]xk = 0 (k + 1)(k + 2)ck+2 2ck k + ck (2k + 1)ck ck+2 = (k + 1)(k + 2) Sustituyendo k = 1, 2, 3, 4, ... c3 = c4 =5c2 3(4) 3c1 2(3)

=1 2 c15 = 24 c0

=

5 1 12 ( 2 c0 )

c5 = c6 = c7 = c8 = c9 =

7c3 4(5)

=

7 1 20 ( 2 c1 )

=

7 40 c1

9c4 5(6) 11c5 6(7)

= =

9 5 30 ( 24 c0 ) 11 7 42 ( 40 c1 )

1 = 16 c0 11 6(40) c1

=

13c6 7(8) 15c7 8(9)

= =

13 1 56 ( 16 c0 )

13 = 56(16) c0

15 11 72 ( 6(40) c1 )

=

161 72(240) c1

c10 =

17c8 9(10)

17(13) = 9(10)(56)(16) c0

c11 = y = c11 3 2x

18c9 10(11) 11 7 240 x

= +

1 161 55 ( 8(240) )c1 161 9 72(240) x

+

7 5 40 x

+

+

161 11 55(8)(240) x

c0

5 4 24 x

+

1 6 16 x

+

13 8 56(16) x

+

17(13) 10 90(56)(16) x

4. Sutituyendo:

(x2 + 2)y + 3xy y = 0

y= y = y = (x2 + 2) x2 n=2 (n

n n=0 cn x n1 n=1 cn nx

n=2 (n

1)ncn xn2 n1 n=1 cn nx n=1

1)ncn xn2 + 3x 0

n n=0 cn x

=0 =

n2 +2 n=2 (n 1)ncn x

n2 + n=2 (n 1)ncn x

3cn nxn

n n=0 cn x

37

n n=2 (n 1)ncn x n=2 (n

+

n=2

2(n 1)ncn xn2 +

n=1

3cn nxn n=2

n n=0 cn x

=0

1)ncn xn +

n=2

2(n 1)ncn xn2 + 3c1 x c1 x n=2 cn xn = 0

3cn nxn c0 +

3c1 x + c0 + c1 x n=2 (n 1)ncn xn + 2(2 1)2c2 x22 + 2(3 1)3c3 x32 n=4 2(n 1)ncn xn2 + n=2 3cn nxn n=2 cn xn = 0 3c1 x + c0 + c1 x + 4c2 + 12c3 x n=2 (n 1)ncn xn + n=4 2(n 1)ncn xn2 + n n n=2 3cn nx n=2 cn x = 0

Hacemos k = n 2 para la segunda serie y k = n para las demas3c1 x + c0 + c1 x + 4c2 + 12c3 x 2)ck+2 xk+22 + 4c1 x + c0 + 4c2 + 12c3 x k k=2 (k 1)kck x + k=2 2(k k k 3 c kx c k k=2 k=2 k x = 0

+ 2 1)(k + =0

k k=2 [(k 1)kck + 2(k + 1)(k + 2)ck+2 + 3ck k ck ]x

De esta igualdad se obtiene4c1 + 12c3 = 0 1 c3 = c3 c0 + 4c2 = 0 0 c2 = c4 (k 1)kck + 2(k + 1)(k + 2)ck+2 + 3ck k ck 3kck + ck (k 1)kck [3k + 1 k 2 k ]ck [4k + 1 k 2 ]ck ck+2 = = = 2(k + 1)(k + 2) 2(k + 1)(k + 2) 2(k + 1)(k + 2) Sustituyendo valores de k = 2, 3, 4, 5, ... 0 c2 = c4 1 c3 = c3 42)c2 1 11 = 11 c4 = (6+1 2(3)(4) 24 ( 4 c0 ) = 96 c0(12+19)c3 1 1 1 = 20 2(4)(5) 40 c3 = 2 ( 3 c1 ) = 6 c1 31(11) 16)c4 31 11 = 31 c6 = (16+1 2(5)(6) 60 c4 = 60 ( 96 c0 ) = (60)(96) c0 25)c5 44 11 1 11 c7 = (20+1 = 2(6)(7) 84 c5 = 21 ( 6 c1 ) = 126 c1 11(31) 36)c6 59 11(31) c8 = (24+1 = 112 ( 60(96) c0 ) = 112(60)(96) c0 2(7)(8) 31(11) 6 11(31) 1 2 11 4 1 3 8 y = c0 [ 4 x + 90 x + 60(96) x + 112(60)(96) x ] + c1 [ 3 x

c5 =

5 +1 6x +

11 7 126 x ]

41.

Transformada de Laplacef (t) L{f (t)} = 0

1, 0 t < 1 1, t1 10

est f (t)dt = = es |1 0+st

est (1) +

1

est (1)

est s |1

38

= e s [ e s ] + =es s

s(1)

s(0)

es(1) s

es() s

1 s

+

es s 1 s

+

0 s

=

2es s

2.f (t) = t, 1, 0t