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$: EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA · PDF filedescomposición en fracciones parciales, sin olvidar por parte del estudiante que hay problemas donde$
UNET, Dpto. Electrónica, Nuc. Inst. y Control. Tito González, [email protected], 15 Oct 2009.Ejercicios Resueltos de Transformada Inversa de Laplace. 1 / 10

Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA INVERSADE LAPLACE

INTRODUCCION.

A continuación, se desarrolla la solución de tres problemas simples pero característicosdesde el punto de vista operativo de la Transformada Inversa de Laplace con el objeto de establecer las trestécnicas básicas para la aplicación de esta clase de transformación, que se desprenden de la necesariadescomposición en fracciones parciales, sin olvidar por parte del estudiante que hay problemas dondepuede ser imprescindible aplicarlas todas para poder llegar a la solución final.

Por otra parte, cada uno de los ejercicios se acompaña de sus respectivas gráficas tanto en eldominio de la frecuencia compleja “S” o mapa de polos y ceros, como en el dominio del tiempo o respuestadel sistema, para mostrar la relación que hay entre la ubicación de los polos y la forma de la respuesta entiempo

Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están adisposición del publico en otro apartado, para que el interesado en el área experimente y modifique losparámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script.

Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TILE01, el cualsignifica: Transformada Inversa de Laplace Ejercicio 01, de manera tal de no perder el enlace entre elejercicio resuelto y la codificación en Matlab.


( ) ( )( )( )( )

( ){ } ( )( )( )( )

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )

( ) ( )( )( )( )

F sS

S S SSolución

F sS

S S S

F s kS

kS

kS

F s f t k k k

k SS

S S S

DescomposiciónFraccionesParciales

para b c

t t tformade la

respuestae e e

=+

+ + +

=+

+ + +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=+

++

++

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= = + +

= + ⋅+

+ + +

− −

− −= = =

− − − −

23 1 5

23 1 5

3 1 5

32

3 1 5

1 1

1 1 1 2 37

3 1 5

11

32 3

5

1

:

L L

L L

Ldeterminacón de los coeficientes

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

++ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− +− + − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= = =

= + ⋅+

+ + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

++ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− +− + − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= − = −

= − = −

S S

S S

SS S

k k

k SS

S S SS

S S

k

3 3

1 1

21 1

21 5

3 23 1 3 5

12 2

14

14 0 25

12

3 1 52

3 51 2

1 3 1 5

.

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ){ } ( )

2 2

35 5

3 3

1

12 4

18

18 0125

52

3 1 52

3 15 2

5 3 5 1

32 4

38

38 0 375

14

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= = =

= + ⋅+

+ + +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

++ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− +− + − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=−

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= − = − =

= =

= − = −

− −

.

.

:

k

k SS

S S SS

S S

k k

Sustituyendo Tenemos

F s f t

S S

eL 3 518

38

t t te e+ −− −

Ejercicio: TILE01

Obtenga la Transformada Inversa de Laplace, , para la siguiente función haciendo uso( ){ } ( )L - F s f t1 =de tablas y propiedades.


( ) ( )

( ){ } ( )

( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

G sS S

Solución

G sS S

G s AS

AS

AS

kS

G s g t A t A t A u t k e

A ddS

SS S


parpar

tformade la

respuesta

S

=+

=+

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + + ++

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= = + + +

=−

⋅+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −

− −

− −

−

−=

64

64

4

11 1

64

3

1 13

1 1 13

22

3 167

11

22 3 1

4

1

1 1

1 13

30

:

!

L L

L L

Ldetreminación de los coeficientes

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )

( )

=+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = = =

=−

⋅+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=+ −

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= −

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= − = − = − =

=−

=

−

−= =

= =

−

1 1 64

32

15

12 1

64

1 64

0 4 1 6

464

64

38 0 375

13 1

01

2

2 1

2 13

30 0

2 20

20

2 2

3

3 1

SA

A ddS

SS S

ddS S

AS

S SA

A d

S

S S

S S

.

!

.

! ( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ( )( )[ ]( )

( )

dSS

S SddS S

ddS

ddS S

A ddS S

S S

SS

S S S

S S

3 13

30

2

20 0

3 20

2

40

64

12

64

12

64

12

64

12

0 4 2 4 1 6

41

212

−= = =

= =

⋅+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= −+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+ − + −

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ){ }

44

12

124

12

124

12

316

332 0 09375

4 64

6 64

664

332 0 09375

40

3 30

3 3

1 34

34

3 1

1

S

AS

A

k SS S S

k

Sustituyendo tenemos

G s g

S

S

S S

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

= ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= = =

= + ⋅+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

=−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=−

= − = − =

=

=

=

= − = −

−

.

.

:

L ( ) ( )t t t u t e t= − + − −32

38

332

332

2 4

Ejercicio: TILE02



( ) ( )( )( )

( ){ } ( )( ) ( )[ ]

( ){ } ( ) ( )[ ]( ){ } ( ) ( )

( ) ( )( )

H sS

S S S

Solución

H sS

S S

H s kS

MS

H s h t k M sen t

k SS

S S


parpar

t tformade la

respuestae e

=+

+ + +

=+

+ + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+

+ ∠+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

= = + +

= + ⋅+

+

− −

− −

− − −

7 12 6 73

7 1

2 3 8

2 3 8

88

21

2

2

1 12 2

1 1 12 2

714

11

2 3

1

:

L L

L L

L

ϕ

ϕ

determinación de los coeficientes

7

( )[ ]( )

( )[ ]( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )

( )( )

( )

+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

− +

− + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − = − =

∠ = + + ⋅+

+ + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

++

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=− + +

− + +

∠ =− +

= −

= − + = − +

3 8

2 1

2 3 64 657

65 01077

3 81

2 3 8

7 12

7 3 8 13 8 2

7 2

2 2 22 1

2 22 2 3 8 3 8

S

S j S j

k

M SS

S S

SS

jj

M

7 7

7

.

ϕ

ϕ ( )( )

( )( )

( ){ } ( ) ( )

jj

jj

rad M

Sustituyendo tenemos

H s h t sen te et t

81 8

14 561 8

716 6 91 716 012

765

7168

8 0121 2 3

− +=

− +− +

= ∠ ° = ∠ = ∠

= = − + +− − −

. . . .

:

. .

ϕ

L

Ejercicio: TILE03


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