Ejercicios Resueltos de Sistemas Electromecanicos

Gua de problemasresueltos en

SistemasElectromecnicos

Sistemas Electromecnicos, Gua I:Materiales y Circuitos Magnticos

1

GUA I: MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNTICOS

1. Un reactor tiene los siguientes datos V = 380 [V], f = 50 [Hz], prdidas de foucalt PF = 60 [W], prdidas por histresis PH = 190 [W]. a) Determine las prdidas en el fierro si la frecuencia de alimentacin cambiase a 60 [HZ]. b) La seccin neta del ncleo es de 40 [cm2], el devanado tiene 400 vueltas y el espesor de cada chapa es de 0,5 [mm]. En qu porcentaje puede aumentarse la tensin aplicada sin sobrecalentar el reactor al usar chapas de 0,35 [mm] para el ncleo?

Resolucin:

a) Se sabe que las prdidas totales en el fierro estn dadas por las prdidas de foucalt, ms las prdidas por histresis, ambas dependientes de la frecuencia de alimentacin segn:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] MHzf

TBCP

MmmHz

fTBCP

PPP

HH

FF

HFT

50

1

5.0

50

1

2

222

=

=

+=

(1)

Adems:

qfNV

B ef44,4

= (2) Reemplazando:

[ ] [ ]

[ ] MHzf

qfNV

CP

MmmHz

fqfN

VCP

efHH

efFF

50

44,4

5.0

50

44,4

2

222

=

=

(3)


2

[ ] [ ]

[ ] MfHzqNV

CP

MmmHzqN

VCP

efHH

efFF

50

144,4

5.0

50

144,4

2

222

=

=

(4)

Se tiene entonces que las prdidas de foucalt son independientes de la frecuencia, no as las por histresis, que son inversamente proporcionales a la frecuencia. Entonces:

[ ][ ]WPP

WPP

HH

FF

3.1586050

60

5060

5060

=

===

(5)

De aqu se obtiene que las nuevas prdidas totales en el fierro son:

][3.218606060 WPPP HFT =+= (6) b) Para no sobrecalentar el reactor, las prdidas totales deben mantenerse constantes (250[W])

Se sabe que:

qBfNVef 44,4= (7) Ahora bien, despejando B y reemplazndolo en (1.2), dado que una variacin en el espesor

de las chapas, slo afecta a las prdidas de foucalt, se tiene:

MfqfN

VCP efFF 5.0

50

44,4

222

= (8)

De este modo las prdidas de foucalt, reemplazando los datos iniciales, son:

62222

4 1093,75.05.0

5050

10405040044,4 =

= efFefFF VMCM

VCP (9)

Y las prdidas por histresis:

62 1093,7 = efHH VMCP (10) Con lo que se tiene, que CHM=165,93 y CFM=52,42


3

Luego, para evitar sobrecalentamiento, las prdidas no deben ser mayores a 250 [W], es decir:

[ ]VVV

VMCVMCPPP

ef

ef

efHefFHFT

62,405

)93,1655.0

35.042,52(1093,7250

1093,75.035.01093,7'''

262

622

62

=+

=

+

=+=

(11)

Finalmente, se puede aumentar el voltaje efectivo en un 6,74%.

2. Un reactor tiene un devanado con 128 vueltas y un ncleo con una seccin transversal de 40 [cm2], y largo medio 70 [cm]. El material del ncleo tiene la caracterstica de la figura. El ncleo tiene un entrehierro de 0,2[mm]. El reactor se conecta en serie con una fuente de tensin sinusoidal de 50 [Hz] para limitar la corriente.

Figura 1. Curva de magnetizacin

a) Si la tensin en el reactor es de 68 [Vef], cunto vale la corriente? b) Si la corriente que circula por el reactor es de 2,1 [Aef], cunto vale la tensin inducida?


4

Resolucin: a) Se sabe que:

qBfNV 44,4= (12) Con lo que se obtiene que B = 0,6[T], luego vamos a la figura, y de ah se obtiene que la

intensidad de campo H = 1,6 [A/cm]. Adems:

][829.4774641046.0

70 m

ABH aire === (13)

Luego:

aireairemm LHLHIN max += (14) Con lo que Imax = 1,62[A], Ief = 1.146[A]

b) Por ley de Ampere, se tiene que:

airemm LBLHvAIN

][14.38021.21280+=== (15)

Como vemos, se tienen 2 incgnitas, dado que, si bien Hm est relacionado con B, no se conoce la funcin matemtica que los relaciona. Una opcin es considerar que la solucin se encuentra en la zona lineal, lo que inducira un determinado error. Otra opcin, es iterar buscando los valores de Hm y B que cumplen con (15). Luego con Hm = 3[A/cm]:

][15.3690002.01041703 7 vAIN =+= (16)

Luego con Hm = 3.2[A/cm]:

][34.3860002.010402.1702.3 7 vAIN =+= (17)

Se observa que casi se cumple la relacin. Luego supongamos B = 1.01[T], entonces:

][70.114004.001.15012844.4 VVef = (18)


5

3. Un reactor tiene prdidas totales en el ncleo por 100 [W] cuando es alimentado con una tensin alterna de 220 [Vrms] y 50 [Hz].

a) Si se cambia la alimentacin por una fuente de 110 [Vrms], 100 [Hz], como cambian las prdidas en el ncleo. Justifique. b) Si las prdidas se distribuyen originalmente como 60% por corrientes parsitas y 40% por histresis, calcule las prdidas totales para la nueva condicin de (a).

Resolucin: a) Se sabe que:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] MHzf

TBCP

MmmHz

fTBCP

PPP

HH

FF

HFT

50

1

5.0

50

1

2

222

=

=

+=

(19)

De esto se tiene:

fBP

fBP

H

F

~

~2

22

(20)

Adems:

qfNV

B ef44,4

= (21)

Por lo tanto, si ffyV

V efef 2'2' == , entonces las prdidas de foucalt son:

( )( )

4'

4~2

4

~'

''~'22

22

22

FF

F

F

PP

fBfBP

fBP

=

(22)


6

Y las prdidas por histresis: ( )

( )

8'

8~2

4

~'

''~'222

2

HH

H

H

PP

fBfBP

fBP

=

(23)

Por lo tanto, las prdidas totales bajan, dado que ambas bajan. b) Con los datos iniciales: [ ]

[ ]WPPWPP

TH

TF

40%4060%60

====

(24)

Luego, utilizando (16.3) y (17.3):

[ ][ ]

[ ]WPWP

WP

T

H

F

20

54081'

156041'

===

==

(25)

4. El sistema magntico representado en la figura, tiene las curvas de magnetizacin de que se seala. Determine:

a) La corriente requerida en el devanado para producir un flujo total de = 0.2510-3[Wb]. b) La reluctancia total del sistema en el punto de operacin de a). c) La permeabilidad relativa r para cada material, bajo estas condiciones. d) La reluctancia para cada tipo de material magntico.


7

25mm

25m

m

30mm

25mm

Figura 2. Sistema Magntico.

Figura 3. Curva de Magnetizacin.


8

Resolucin: a) Por conservacin de flujo:

===+

=

2211

2211

0

0

ABABABAB

Bdivr

(26)

Por lo tanto el flujo se conserva, las inducciones cambian con el rea. Acero:

][500][8.0103112.0

1025.03

3

mAHcurvaT

AB a

a

==== (27)

Fierro:

][700][4.010625.01025.0

3

3

mAHcurvaT

AB f

f

==== (28)

De la figura se extrae que los largos medios para el acero y fierro son: lma = 0.055[m], lmf =

0.2175[m]. Por Ley Ampere:

][254.0][360.0

)(

AIAI

lHlHIN

ef

mffmaa

==

+= (29)

b) La reluctancia total esta dada por:

][7200001025.0

180

3 WbVAINFMMT

T ==== (30)

c) La permeabilidad relativa: Para el acero:


9

12731041

5008.01

7 === oa

ara H

B (31)

Para el fierro

4551041

7004.01

7 === of

fra H

B (32)

d)

][1100001025.05.27

3 WbVAlHF maaMMa

a ==== (33)

][6090001025.025.152

3 WbVAlHF maaMMa

a ==== (34)

5. El ncleo de la figura posee un devanado de 680 vueltas. La caracterstica de magnetizacin del material se muestra tambin en la figura.

a) Si la bobina se alimenta con 110 [Vef], 50 [Hz], determine el valor mximo de la corriente por el devanado. b) Se aumenta la tensin a 220 [Vef]. Cunto vale la induccin mxima?, Cmo vara la corriente magnetizante? c) Idntico a (b), suponiendo que existe un entrehierro de 0,5 [mm]. d) Se conecta una resistencia de 20 [] en serie con el devanado y se aplica una tensin continua de 12 [V]. Determine el estado magntico del material. e) Idntico a (d), considerando un entrehierro de 0,5[mm].


10

1,5

79,4 H [AV/m]

B [T]

500 0

15000 0

V

I

N

16 [cm]12 [cm]

3 [cm]

Figura 4. Sistema magntico y Curva de Magnetizacin

Resolucin: e) Se sabe que:

BqfNVef 44,4= (35) De este se obtiene, al despejar B y calcular (con q = 610-4 [m2]), que B = 1.214 [T]. Para

dicho valor de B , H vale:

===mABBH

m

43.6415000

0 (36) Luego, por ley de mpere:

][17.444.043.646801

mAI

LHIN

===

(37)

f) De (23) se tiene que dado que Vef se duplica, tambin lo hace B , luego B = 2.428 [T].

Con ello se trabaja en la parte de saturacin de la grfica.

][53.1556

)45.1(500

10

mAH

BH

=

= (38)


11

Luego utilizando (25), se obtiene que I = 1.007[A].

g) En sistemas magnticos, en la frontera de 2 materiales de distinta permeabilidad, las inducciones normales son iguales, adems se considera la induccin tangencial en el aire igual a cero. De este modo, la induccin sigue manteniendo el mismo valor. Luego, aplicando ley de mpere para determinar el efecto sobre la corriente:

][429.2005.056.193373244,053.1556680

0

AII

LBLHLHLHIN airemmaireairemm

=+=

+=+=

(39)

h) Un reactor puede ser modelado como una inductancia, dado que la tensin es continua,

entonces se comporta como un cable. Luego la tensin inducida es 0, sin embargo, la corriente es distinta de cero.

][6.02012 A

RVI === (40)

Luego, ocupando ley de mpere podemos calcular el valor de H. Con el podemos deducir desde la curva de magnetizacin que se encuentra en estado de saturacin.

][033.245.127,92710450045.1

27.92744.0

6,0680

72 THB

mA

LINH

m =+=+=

===

(41)

i) Igual a la pregunta anterior, la corriente es la misma. Suponiendo se encuentra en la zona de

no saturacin. Aplicando ley de mpere:

][97,0

01

01

TLL

INB

LBLBIN

a

m

m

amm

=+

=

+=

(42)

El material, como se supuso se encuentra en zona de no saturacin.


12

6. El ncleo de la figura tiene en su columna central un devanado con 50 vueltas. El material tiene una permeabilidad relativa constante de 4000. La dispersin magntica es despreciable. (El espesor es 3 [cm])

a) Determine el circuito magntico equivalente e indique el valor de los parmetros. b) Determine el flujo en la columna de la derecha si la corriente en el devanado es de 2 [Aef]. c) Calcule la inductancia del devanado. d) Calcule la inductancia si el devanado est ubicado en la columna del lado izquierdo.

Figura 5. Sistema Magntico

Resolucin: a) El circuito magntico equivalente es el siguiente:

Figura 6. Circuito Magntico

Los largos medios son: l1 = 0.22[m], l2 = 0.08[m], l3 = 0.3[m]. Y las reas: A1 = 0.0006[m2], A2 = 0.0012[m2], A3 = 0.0006[m2] . Entonces las reluctancias son:


13

][992061061044000

3.0

][1322710121044000

08.0

][727511061044000

22.0

473

33

472

22

471

11

WbVA

Al

WbVA

Al

WbVA

Al

===

===

===

(43)

b) El flujo es::

)( 321

313332 +

+=+= TIN (44)

Con I = 2 [A]:

][766.03 mWb= (45) c) Para calcular la inductancia es necesario conocer la reluctancia total del sistema:

][75.55198

// 231

31231 Wb

VAT =++

=+= (46)

Luego:

][0453.075.55198

5022 HNLT

=== (47)

d) Para calcular la nueva inductancia es necesario conocer la nueva reluctancia total del sistema:

][93.84421

//' 132

32132 Wb

VAT =++

=+= (48)

Luego:

][0296.093.84421

50'22

HNLT

=== (49)


14

7. El reactor de la figura tiene un ncleo con permeabilidad infinita y dos entrehierros de g = 1 [mm] cada uno. El devanado tiene 100 vueltas. Las prdidas en el fierro y en el cobre son despreciables. La bobina es alimentada con 220[Vef], 50 [Hz].

a) Determine el circuito magntico y el valor mximo del flujo en la columna central. b) Determine el circuito elctrico equivalente y el valor de la reactancia. c) Grafique v(t) e i(t), pata t: 0 40 [ms]. Cuantifique amplitudes, periodos y desfase. d) Repita los 3 puntos anteriores si el entrehierro de la izquierda se hace igual a g = 0 [mm].

Figura 7. Sistema Magntico

Resolucin:

a) El circuito magntico equivalente es el siguiente:


Donde Req = Rizq //Rder. Los valores de dichas reluctancias estn dadas por:


15

[ ] ( )( )

[ ]1izqderizqeqizq

3217

3

0izq

2210482

//

1017135,0103;4420970018,0104

101

====

====

H

AdondeHA

g

der

(50)

Adems el flujo magntico mximo, por la columna central, vale:

[ ]WbfN

Vef 01,044,4

== (51)

b) El circuito elctrico equivalente es el que sigue:

Figura 9. Circuito Elctrico

El valor de la inductancia se calcula como:

[ ]HNLeq

045,022104810022 === (52)

De (33) entonces se tiene que: [ ]=== 14045,0502 LX (53)

c) Ahora bien, se sabe que:


16

][3112220][22216

][9016

][0220

VVyAI

AXj

VI

VV

===

=

(54)

De este modo:

Figura 10. Formas de Onda V(t) e I(t)

d) Dado que se considera un entrehierro de 0 [mm], entonces la reluctancia de la izquierda es cero, lo que cortocircuita el reactor, tenindose una reluctancia equivalente igual a cero. Esto implica una inductancia L infinita, lo que a su vez se traduce una corriente tambin igual a cero. El flujo por la columna central no cambia, sin embargo, todo ese flujo se va por la columna izquierda.-

8. Sea un ncleo de permeabilidad infinita provisto de un entrehierro y 2 bobinas caracterizadas por los parmetros R1 = R2


17

Figura 11. Ncleo

Resolucin: a) Si I1 es C.A.:

01221 LLLL === (55) Luego los flujos enlazados son:

)()(

210221211

210122111

IILLILIIILLILI

+=+=+=+=

(56)

Con el interruptor cerrado:

tV

== 22 0 (57)

De este se deduce que 2 es constante, si se considera 2 = 0:

0;0)( 02102 =+= LIIL (58) Luego:

12

21 0II

II==+

(59)

Por LCK:

1213 2 IIII == (60)


18

9. El reactor de la figura est construido con un ncleo de hierro cuya permeabilidad puede ser considerada infinita, a excepcin de la columna achurada que est construida con acero con la caracterstica mostrada en la figura. Este reactor es alimentado con una tensin alterna de 55,5 [Vrms] y frecuencia 50 [Hz].

a) Determine la densidad de flujo mxima ( B ) a la cual opera la columna de acero. b) Calcule la amplitud de la corriente por el devanado.

Figura 12. Sistema magntico

Resolucin: b) Se sabe que:

][110255010044,4

5,5544,4

4 TfAN

VB ef === (61)

Como el flujo magntico por la columna izquierda es igual a la suma de los flujos por las

otras 2 columnas (seccin de acero y entrehierro), y no hay ms fuentes de flujo, entonces de esto se desprende que el flujo por la seccin de acero es menor al flujo de la fuente (dado que el rea es constante), por lo tanto es menor a 1[T], y se encuentra en zona lineal (no saturada). Esto nos permite resolver el problema por reluctancia.



19

[ ][ ]132acero

157

3

0g

10400025,0001,0

1010

1059,10025,0104

105,0

===

===

HA

l

HA

g

a

acero

(62)

Y la magnitud de la induccin por el acero es, aplicando divisor de corriente:

][8,0 13 TBBacerog

g += (63)

c) Por redundancia se considera slo una de las reluctancias, en este caso la del acero. De este

modo ocupando ley de mpere:

aceroacero lHIN = (64) Luego, se sabe que:

===mABH

a

aceroacero 800001,0

8,0 (65) Conocidos el valor mximo del campo, el nmero de vueltas y el largo de la seccin de acero, se tiene finalmente que:

][8,0100

1,0800 AI == (66)

10. El sistema magntico de la figura tiene un ncleo con la caracterstica de magnetizacin mostrada en la figura. Considere adems que este reactor tiene prdidas despreciables en el fierro y es alimentado con una tensin de 50 [Hz].

a) Cundo se puede afirmar que el ncleo est saturado? b) Dibuje el circuito magntico equivalente (sin cuantificar). c) Qu parte del ncleo se satura primero? d) Dibuje el circuito elctrico equivalente (sin cuantificar). e) Calcule la reactancia. f) Si el devanado trabaja con una induccin B = 1 [T]: i. Calcule el valor efectivo de la tensin inducida E. ii. Determine la corriente efectiva I. iii. Determine la tensin efectiva V.


20


Resolucin: a) Se afirma que el ncleo est saturado cuando alcanza un valor de induccin B = 1,5 [T]. b) Si el ncleo no est saturado, de la figura se desprende que fe . De esta forma, el

ncleo no aporta reluctancia al camino magntico, estando las reluctancias relacionadas nicamente a los entrehierros. De esta forma el circuito magntico equivalente es:


Donde Req = R1 //R3

c) El mayor flujo se produce en la columna izquierda (abrazada por el devanado), por lo tanto, y dado que la seccin transversal es igual en todo el ncleo, la mayor induccin se produce en dicha columna, lo que implica que ser la primera en saturarse.

d) El reactor puede ser modelado como una inductancia, por lo tanto, el circuito equivalente

es:


21

Figura 16. Circuito Elctrico

e) Asumiendo que el ncleo no est saturado, la inductancia es:

31

22

//==NNL

eq

(67)

Como ya mencionamos, las reluctancias estn asociadas nicamente a los entrehierros.

[ ][ ]1547 3

0

33

1547

3

0

11

1096,71020104

102

1098,31020104

101

===

===

HA

g

HA

g

(68)

Luego Req = R1 //R3 = 55 1065,21098,332 = [H-1]

De aqu se obtiene, utilizando (42), es L= 151 [mH]. Entonces la reactancia queda:

][4,4710151502 3 === LX (69) f) El devanado funciona con una induccin ][1 TB =

i.- ][8,8810205020044,444,4 4 VqBfNEef === (70)

ii.-

][87,14,478,88 A

X

EI === (71)


22

iii.-

+= ERIV (72)

|IR| = 93,7[V]

|E| = 88,8[V]

Figura 17. Diagrama Fasorial

][1,12922

VERIV =+=

(73)

11. El sistema magntico de la figura tiene la resistencia Rad conectada en serie con el devanado 1 y se aplica una tensin de 220 [Vef], 50 [Hz]. Considere prdidas

despreciables en el ncleo y fe con el devanado 2 abierto. N1 = 100, N2 = 200, R1 = 10 [] (devanado 1), R2 = 20 [] (devanado 2)

a) Qu valor debe tener Rad para obtener V2 = 200 [Vef]? b) Grafique v1(t) e i1(t) especificando magnitud y ngulo.



23

Resolucin:

a) Sea:.


][75.623)()(

][5.42005044.4

200

21

212

1

2121

2

mWbg

gg

mWb

==+=+=

==

(74)

La tensin inducida es:

][1501075.61005044.4 31 efVE == (75) Luego se tiene el siguiente circuito elctrico:


Luego:

][161212

1

21

21

2

VEVV

VEV

r

r

===+

(76)

La reactancia es:


24

][781.265392

1

1

021

21

21

21 =+=+= H

Agggg

T (77)

][83.11

][68.372

====

LX

mHNL

L

T

(78)

Luego:

][679.1283.11

15011 AX

EIL

=== (79)

][697.2697.12

][697.12679.12

161

1

11

=====+

RRIVRR

ad

rad

(80)

b) Del diagrama fasorial se extrae que:

97.42161150)( 1 ===

rVEtg (81)

Finalmente:

)502(67.122)(

)502(2202)(

1

1

radtsenti

tsentv

==

(82)

Sistemas Electromecnicos, Gua II:Transformadores

1

GUA II : TRANSFORMADORES

1. El transformador de la figura tiene una tensin primaria de 115 [Vef] y debe entregar una tensin secundaria de Vs = 500 [Vef]. La frecuencia de la red es de f = 50 [Hz]. El material del ncleo puede ser usado con Bmax = 1.4 [T] y tiene un factor de apilamiento k1 = 0.95. Los devanados pueden trabajar con una densidad de corriente de J = 2 [A/mm2]. El factor de utilizacin de cada ventana del ncleo es k2 = 0.45 (rea de cobre / rea de la ventana)

Figura 1. Transformador, medidas en [cm].

a) Determine las vueltas Np y Ns de los devanados. b) Determinar la potencia nominal del transformador. c) Considerando que la resistividad del cobre es de = 210-8 [m], estime las prdidas totales en los devanados cuando operan a corriente nominal. Suponga que los extremos de la bobina son semicirculares.

Resolucin:

a) Se tiene que:


2

BqNfVef 44.4= (1) Donde:

][00342.0][2.3466 221 mcmkq === (2) Despejando N y evaluando para el primario:

][10800342.04.15044.4

11544.4

vueltasqBf

VN pefp === (3)

De la misma forma para el secundario, utilizando Vsef = 500 [V], o bien:

][470108115500 vueltasN

VV

N ppef

sefs === (4)

b) El rea de la ventana est dada por:

][0018.0][1863 22 mcmAAA spv ===+= (5) Definamos Aci como el rea del conductor "i", entonces:

ci

i

AIJ = (6)

De donde se obtiene que:

css

cpp

AJIAJI

==

(7)

Figura 2. Ventana


3

Usando mpere en la ventana de la figura:

pspp

sppp

ININ

ININlH

0

=== rr (8)

Adems segn el factor de apilamiento:

22

22

kANAAkAN

kAN

AAkAN

csssscss

cppppcpp

==

== (9)

Reemplazando (9) en (5), y usando (7):

vsspp

ssppv

csscppv

AkJININJkIN

JkIN

A

kAN

kAN

A

2

22

22

=++=

+=

(10)

Usando esto ltimo con (8):

vpp AkJIN 2 2= (11) Despejando Ip, se obtiene:

][7.1

][5.72

0018.045.010810

12

2

6

2

AINNI

AAkNJI

pp

ss

v

pp

==

=== (12)

Luego la potencia nominal del transformador es:

][8507.1500 VAIVIVS sspp ==== (13) c) Las prdidas en el cobre son del tipo I2R, donde:


4

=ci

i

AlR (14)

Con: Aci corresponde al rea del conductor "i"; Ai corresponde al rea del devanado "i". Despejando de (9) Aci y reemplazando en (14):

mii

ii

i

i

i

ii lAk

NlAkN

AkNlR

222

=== (15) Las prdidas son:

s

mssssssprd

p

mppppppprd

AklNIRIP

AklN

IRIP

2

222

_

2

222

_

==

== (16)

Usando de (10):

JkNI

AJk

NIA sss

ppp

22

== (17) Con (8), Ap = As , por lo tanto:

mssssprd

mppppprd

lJNIPlJNIP

_

_

==

(18)

Considerando el esquema de la figura del enunciado:

][36.010)]75.03(226[

][45.010)]75.05.13(226[2

2

ml

ml

ms

mp

=++==+++=

(19)

Entonces:

][1.26][5.1136.0)102)(102(4707.1

][6.1445.0)102)(102(1085.768

_

68_

WPWP

WP

Totales

sprd

pprd

=====

(20)


5

2. El reactor de la figura est hecho con lminas de acero elctrico M-15. las curvas de magnetizacin y de prdidas de este acero se muestran en las figuras siguientes. El devanado se excita con una tensin sinusoidal para producir una induccin en el acero de B(t) = 1.4sen(377t). El factor de apilamiento del ncleo es 0.94. la densidad del acero es 7.65 [gr/cm3], N = 200 [vueltas]. Determine:

Figura 3. Reactor (medidas en pulgadas) y Circuito Simplicado

a) El voltaje aplicado en el tiempo b) El valor mximo de la corriente magnetizante Im. c) El valor efectivo de la corriente magnetizante (ayuda: regraficar la caracterstica B H en escala lineal). d) Las prdidas en el ncleo. e) Se representa el reactor por el circuito elctrico simplificado de la figura. e.1) Cunto vale Rfe? e.2) Cunto vale la corriente de vaco I0?


6

Figura 4. Curva de Magnetizacin

Figura 5. Prdidas en el Ncleo


7

Resolucin: a) Por Faraday:

)cos( tBANtBAN

tN

tV =

==

= (21) Donde:

][377

][00242.0]lg[76.394.022 22

segrad

mpuA

====

(22)

Entonces:

)377cos(4.255)()377cos(4.137700242.0200)(

ttVttV

==

(23)

b) Por ley de Ampere:

mm LHNI = (24)

Donde Lm = 28 [pulg] = 0.7112 [m]; ][4.1 TB = ; segn curva B-H, ][25 mAH =

][09.0200

7112.025 AIm == (25)

c) La caracterstica B-H en escala lineal:


8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

H [AV/m]

B [T

]

Figura 6. Curva Lineal de Magnetizacin

Considerando que con ][4.1 TB = el material no est totalmente saturado, lo que implica que la corriente magnetizante es aproximadamente sinusoidal

][063.02

AII mmef == (26)

d) De la curva de prdidas, se tiene que con ][4.1 TB = :

][1kgWPc = (27)

De tal forma:

MasaPPrdidas c = (28)

Donde :


9

][23.1725]lg[28.1052)694.022(2)294.028(

][65.7

32

3

cmpuVolumencmgr

VolumenMasa

==+===

(29)

Donde :

][198.13198.131][198.1365.725.17WPrdidas

KgMasa==

== (30)

e) Se tiene que:

fe

effe P

VR

2

= (31) Donde:

][6.1802

4.2552

VVVef === (32)

Luego:

][3.2471198.136.180 2 ==feR (33)

Anteriormente se obtuvo:

][063.0 AImef = (34) Por su parte, la corriente a travs de la resistencia del fierro es:

][073.03.2471

6.180 ARV

Ife

effe === (35)

Luego, sumando fasorialmente las corrientes se obtiene que:

][096.0220 AIII mfe =+= (36)


10

3. Un transformador monofsico de 100 [kVA], 13200/230 [V], 50 [Hz], fue sometido a un ensayo en cortocircuito con corriente nominal, midindose 528 [V] y 1590 [W]. Ensayado en vaco con tensin nominal se middi 4.5 [A] y 318 [W].

a) Determine los parmetros del circuito equivalente T y exprselos en (pu), en referidos al devanado de alta tensin, y en referidos al devanado de baja tensin b) Para una carga de 80 [kVA], cos() = 0.8 capacitivo, determine las corrientes en las ramas del circuito equivalente y exprselas en (pu), en [A] referidas al lado de alta tensin y en [A] referidas al lado de baja tensin. c) Exprese las prdidas nominales en (pu) y determine el rendimiento nominal del transformador. d) Determine la regulacin del transformador para las condiciones indicadas en b). e) Si la red es de 60 [Hz] y 13.2 [kV]. Determine las nuevas prdidas del fierro nominales, suponiendo que las medidas a 50 [Hz] son 2/3 PH y 1/3 PF.

Resolucin: a) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensin:

Figura 7. Ensayo de Cortocircuito

][016.010100

1590)(

][040.013200

528)()(

3_ pu

SP

r

puvz

n

ncue

cce

===

=== (37)

Entonces:

][037.0)()()( 22 purzx eee == (38)

Las impedancias base:


11

][53.010100

230

][174210100

13200

3

22

3

22

===

===

b

bsbs

b

bpbp

SVZ

SV

Z (39)

Luego, las impedancias en el lado de alta:

][5.64)(][9.27)(==

==bpee

bpee

ZxXZrR

(40)

Y en el lado de baja:

][0196.0)(][0085.0)(==

==bsee

bsee

ZxXZrR

(41)

Ensayo en vaco se alimenta desde baja tensin:

Figura 8. Ensayo de Vaco

Referido al lado de baja tensin

][4.1663182302

0

2

===P

VR snfe (42)

Potencia reactiva en vaco:

][985)318()5.4230( 220 VARQ == (43) ][7.53

9852302

0

2

===Q

VX snm (44)

Referido al lado de alta tensin:


12

][9.176)230

13200(7.53)('

][1.548)230

13200(4.166)('

22

22

===

===

kVV

XX

kVV

RR

sn

pnmm

sn

pnfefe

(45)

En (pu):

][10153.07.53)(

][31453.0

4.166)(

puZXx

puZR

r

bs

mm

bs

fefe

===

=== (46)

b) Corriente en la carga, considerando ][0230

*VVs = y = arcos(0.8) = 36.9

][9.363480230

9.361080 3

*

*arg

*A

V

SI

s

ac

s === (47)

Figura 9. Circuito T equivalente

Cada de tensin en la rama de magnetizacin:

][9.02.229)0196.00085.0(21

***VVjIV ssi =++= (48)

Corriente magnetizante:


13

][1.893.4907.539.02.229

' *

*A

Xj

VI

m

i

m === (49)

Corriente por Rfe:

][9.04.14.166

9.02.229' **

AR

VI

fe

i

fe === (50) La suma de (49) y (50) no da la corriente I':

][1.715.4'''

***AIII fem =+= (51)

Luego la corriente primaria vista desde baja tensin:

][2.366.3461.715.49.36348''

***AIII sp =+=+= (52)

Refiriendo ahora dichas corrientes al lado de alta tensin, segn:

13200230''

1

2 INNII == (53)

Entonces:

][2.3604.6

][9.0024.0

][1.89075.0

][9.3606.6'

*

*

*

*

AI

AI

AI

AI

p

fe

m

s

===

=

(54)

La corriente de base de alta tensin es:

][58.713200

10100 3 AIbp == (55) Luego las corrientes en (pu) son:


14

][2.36797.058.7

2.3604.6)(

][9.00032.058.7

9.0024.0)(

][1.890099.058.7

1.89075.0)(

][9.368.058.7

9.3606.6)(

*

*

*

*

*

*

*

*

puI

Ii

puI

Ii

puI

Ii

puI

Ii

bp

p

p

bp

fe

fe

bp

m

m

bp

s

s

===

===

===

===

(56)

c) Considerando que el ensayo de cortocircuito se realiz a corriente nominal, las prdidas de

cobre nominales en (pu) son:

][0159.010100

1590)( 3_ pup ncu == (57) Considerando que el ensayo de vaco se realiz a tensin nominal, las prdidas del fierro en (pu) son:

][00318.010100

318)( 3_ pup nfe == (58) Luego el rendimiento estar dado por:

%1.9800318.00159.01

1

___

_

_

_ =++=++== ncunfentilntil

nentrada

nsalidan PPP

PPP (59)

d) La regulacin est dada por:

)()())cos(( senxr een += (60) Adems se tienen las siguientes relaciones para corrientes distintas a la nominal:

)()(

)()cos(

)(

)()(

)cos(

____

sen

ZV

IZX

ZV

IZR

senV

IXV

IR

bs

ns

sbs

e

bs

ns

sbs

e

ns

se

ns

se +=+= (61)


15

%735.0))6.0(037.08.0016.0(435348

))()())cos(((_

=+=

+=

senxrII

eens

s

(62)

e) Se tiene:

.44.4

cteAN

VBf == (63) Luego las prdidas de foucalt son constantes a cualquier frecuencia segn:

2)( BfkP FF = (64)

Sin embargo, las prdidas por histresis no lo son:

BkBBfkBfkP HHHH ')(

2 === (65) Dependen de la induccin, pero:

65

65

6050

50

60

60

50

60

50

60605050

=====

H

H

Hz

Hz

Hz

Hz

HzHzHzHz

PP

ff

BB

fBfB (66)

Considerando los datos del enunciado:

][283][177)318

65(

32

][10631831

6060_60

60

60

WPPPWP

WPHFnfe

H

F

=+=

==

== (67)

4. De los ensayos de vaco y cortocircuito de un transformador monofsico de 20 [kVA], 2400/240 [V], 60 [Hz] se obtuvo: con el devanado de alta tensin abierto V0 = 240 [V], I0 = 1.066 [A], P0 = 126.6 [W]; con el devanado de baja tensin cortocircuitado Vcc = 57.5 [V], Icc = 8.34 [A], Pcc = 284 [W]. Determine:

a) Los parmetros del circuito equivalente referidos al lado de baja tensin. b) La regulacin y el rendimiento para plena carga con factor de potencia de la carga 0.8


16

inductivo.

Resolucin: c) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensin:

Figura 10. Ensayo de Cortocircuito

][014.02400

102034.8

2841)(

][024.02400

102034.8

5.571)(

2

3

2222

2

3

2

puVS

IP

ZIP

r

puVS

IV

ZIVz

pn

n

cc

cc

bpcc

cce

pn

n

cc

cc

bpcc

cce

====

==== (68)

Entonces:

][019.0)()()( 22 purzx eee == (69)

Ensayo en vaco se alimenta desde baja tensin:

Figura 11. Ensayo de Vaco

Referido al lado de baja tensin

][4556.126

2402

0

20 ===

PVR fe (70)

Potencia reactiva en vaco:


17

][222)6.126()066.1240( 220 VARQ == (71)

][2592222402

0

20 ===

QVX m (72)

La impedancia base de baja tensin es:

][88.22000024022 ===

n

snbs S

VZ (73)

El circuito visto desde baja tensin es:

][9.363480230

9.361080 3

*

*arg

*A

V

SI

s

ac

s === (74)


Considerando:

][259][455

][027.02)(

2'

][020.02

2'

==

====

====

m

fe

bseepp

bseeps

XR

ZxXXX

ZrRRR

(75)

b) La regulacin, con cos() = 0.8 ind. ( = 36.9), est dada por:

%26.26.0019.08.0014.0)()())cos((

=+=+=

n

een senxr

(76)


18

Para obtener el rendimiento a plena carga consideremos:

][9.36240

1020

][0240

3

*

*

AI

VV

s

s

==

= (77)


La tensin en la rama de magnetizacin es:

][2.07.242

]90027.0020.0[9.363.830240)(

*

***

VV

XjRIVV

i

ssssi

=++=++=

(78)

Luego la corriente en la rama de magnetizacin:

][4.6008.1

][2.053.0455

2.07.242

][8.8994.090259

2.07.242

***

*

*

*

*AIII

AR

VI

AXj

VI

fem

fe

i

fe

m

i

m

=+=

===

===

(79)

Con esto:

][2.373.84'***

AIII sp =+= (80)

Ahora las potencia activa tanto en el cobre, el fierro y la carga son:


19

][3.15987)9.36cos(3.83240)cos(][8.12745553.0

][9.280020.08.83020.03.84''

arg

22

2222

WIVPWRIP

WRIRIP

ssac

fefefe

ssppcu

======

=+=+=

(81)

Entonces con esto ltimo el rendimiento es:

%5.97arg

arg =++= fecuacac

PPPP (82)

Nota: Se sabe que Sn = VpnIpn , lo que nos lleva a que:

n

pn

pn

pnbp S

VIV

Z2

== (83) Anlogo para el secundario.

5. Un transformador monofsico de 50 [kVA], 7630/220 [V], 50 [Hz], tiene tensin de cortocircuito de 3.6% y prdidas de cobre nominales de 2.5%..

a) Demostrar que (pcu n) = (re) y que (vcc) = (zcc). b) Calcule los valores en de la resistencia y la reactancia de cortocircuito referidas al devanado de alta tensin.. c) El transformador tiene el 80% de la tensin nominal en el primario y entrega corriente nominal a una carga capacitiva pura. c.1) Determine la tensin en el secundario en [V]. c.2) Determine la regulacin del transformador. c.3) Dibuje el diagrama fasorial.

Resolucin: a) Definiendo la impedancia base como:

n

nb I

VZ = (84) Entonces se tiene que:


20

])[(

)(2

__ purZ

R

IVR

VIRI

SP

p eb

e

n

n

e

nn

en

n

ncuncu ===== (85)

Figura 14. Circuito Simplificado del Ensayo CC

Segn la figura anterior:

])[(

)( puzZZ

VZI

VVv cc

b

cc

n

ccn

n

cccc ==== (86)

b) Se tiene:

][025.0100

5.2)()(

][036.0100

6.3)()(

_ pupr

puvz

ncue

cccc

===

=== (87)

][026.0)()()( 22 purzx ecc == (88) La impedancia base de alta tensin es:

][11641050

76303

22

===n

pnbp S

VZ (89)

Entonces los parmetros en primarios:

][3.301164026.0)(][1.291164025.0)(===

===bp

bpee

ZxXZrR

(90)

c) Se tiene el siguiente circuito simplificado:


21

Figura 15. Circuito Simplificado

Trabajando en (pu) se tiene que (vp') = 0.8 [pu] e (ip') = 1. Por LVK:

)]()())[('()'(**

cepp xjxjriv += (91)

)](0026.0[025.008.01

)]()[()(

)'()'( *

*

c

ce

p

p

xj

xxjr

vi

++=+=

(92)

Calculando el mdulo de la corriente y despejando:

88826.0)(

)](0026.0[025.08.01

2

==

++=

c

c

xx

(93)

c.1) La tensin en el secundario es:

][27.181

90826.0881220)]()['(

*

**

VV

xjIVV

c

cpsnc

===

(94)

c.2) Consideremos la regulacin como:

0

0

s

ss

VVV = (95)

Donde Vs0 corresponde a la tensin en el secundario en vaco, y Vs corresponde a la tensin en el secundario con carga. De este modo:


22

%24.38.0220

7.1818.0220

V '

c

0

=====

'VV'V

VVV

p

cp

s

ps

(96)

c.3) Diagrama fasorial:

Figura 16. Circuito Simplificado

Con esto se tiene:

Figura 17. Diagrama Fasorial

Notar que la tensin del secundario es mayor que la del primario, esto es consecuencia de la carga capacitiva, se tiene regulacin negativa

6. Dos transformadores monofsicos de 400 [kVA] cada uno, con igual relacin de transformacin operan en paralelo alimentando a una carga de 300 [kW] con factor de potencia 0.8 capacitivo. Las impedancias de los transformadores son Za = 0.5 + j0.8 [] y Zb = 0.75 + j4 []. Calcule la potencia entregada por cada transformador.

Resolucin:


23

a) Consideremos el siguiente circuito equivalente de la situacin que se presenta:

Figura 18. Circuito Equivalente Simplificado

Se tiene que 9.36)8.0cos( == ar y que:

][9.363759.368.0*

kVAPS cc == (97) Por LVK:

****VVVV cba === (98)

Entonces, considerando las potencias:

][9.36375**

**

**

*****

*****

*****

kVAIVIVS

IVIVS

IVIVS

cccc

bbbb

aaaa

=======

(99)

Las corrientes por cada transformador son:

***

***

4.1719.0

97.382.0

cab

acb

cba

bca

IZZ

ZII

IZZ

ZII

=+=

=+= (100)

As las potencias, reemplazando (99.3) son:


24

][5.1925.71*4.1719.0*

][87.405.307*97.382.0*

*****

*****

kVAIVIVS

kVAIVIVS

cbb

caa

======

(101)

7. El transformador de la figura es alimentado a travs de una resistencia R = 100 [] con la tensin rectangular de la figura. El ncleo tiene caracterstica B H de la figura.

a) Grafique la corriente del primario I1(t) con t enntre 0 y 0.2 [s] b) Determine el valor efectivo de la tensin V2. Ayuda: Cuantifique y grafique B(t). Datos: A = 40 [cm2], Lfe = 20 [cm], N1 = 500, N2 = 50, R = 100 []:

Figura 19.

Resolucin:


25

a) Cuando el transformador no se encuentra en estado de saturacin la inductancia magnetizante Lm tiende a . Entonces la corriente del primario sea igual a cero, y la tensin primaria E1 igual a V1.

Es necesario saber si el transformador est en estado de saturacin o no en un semiperiodo. Para esto, se debe calcular el tiempo que tarda en cambiar de -1.5[T] a 1.5[T], a travs de:

tANtVB

tBAN

tNtV =

==

)(

)(1

1111 (102)

Entonces, considerando Br como 1.5[T], entonces la variacin de B es de 2Br, luego:

1

1

1

1

0 11

22

)(

12

VANBt

ANtVB

ttVAN

B

rr

t

r

==

= (103)

Entonces evaluando, t = 0.03[s]. Considerando que un semiperiodo dura 0.05[s], el transformador alcanza a saturarse en un semiperiodo.

As, cuando el trafo no est saturado:

005.1

1 === IHB

fe (104)

Cuando el trafo est saturado:

][211 ARVI == (105)

Para realizar los grficos, se debe considerar

122211 101)()( VV

tBANtV

tBANtV =

== (106)

=

][1.008.0][05.003.0];[2][08.005.0][03.00;0

1 ststAstst

I (107)

Se tiene entonces:


26

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100t[ms]

V2[V]

I1[V]

B[T]

V2[V]

1.5

-1.5

200

-200

2

-2

20

-20

Figura 20. Grficas

b) El valor efectivo de V2(t) es:

][75.7]03.02003.020[1.0

1)(1 220

222 VttVT

VT

ef =+== (108)

8. Las dimensiones lineales del transformador A son el doble de las correspondientes al transformador B. Ambos transformadores tienen igual nmero de vueltas, lminas de igual espesor en el ncleo, la misma induccin de trabajo, igual densidad de corriente y la misma frecuencia. El dimetro de los conductores tambin est en relacin 2 a 1. Determine:


27

a) Las potencias nominales B

A

PP .

b) Las reactancias de magnetizacin B

A

XX .

c) Las resistencias del fierro feB

feA

RR

.

Resolucin: a) Para conocer la relacin de potencias nominales es necesario conocer las relaciones de las

tensiones del primario y entre las corrientes del primario de uno y otro transformador. Segn:

4244,4

44,4 2

1

1

1

1 ===

==

B

B

B

A

B

A

BB

AA

qq

qq

VV

BqfNV

BqfNV (109)

4)()2(

)()(

2

2

2

2

1

1

1

1 ====

==

cB

cB

cB

cA

cB

cA

B

A

cBB

cAA

radioradio

radioradio

SS

II

SJISJI

(110)

De este modo:

16

1

1

1

1

1

1

111

111 ==

==

B

A

B

A

B

A

BBB

AAA

II

VV

PP

IVPIVP

(111)

b) Las reactancias de magnetizacin estn dadas por:

2212

2

2

2

22

22

====

==

==

feA

feB

B

A

feB

Bfe

feA

Afe

mB

mA

feB

Bfe

BmB

feA

Afe

AmA

ll

qq

lq

N

lq

N

LL

lq

NNL

lq

NNL

(112)

Entonces:

2 ==

mB

mA

mB

mA

LL

XX

(113)

c) Segn las prdidas del fierro, con "cfe" definido como las prdidas del fierro por unidad de

volumen:


28

82

3 ===

==

B

A

feA

feA

BfefeA

AfefeA

VolVol

PP

VolcPVolcP

(114)

As la relacin entre las resistencias del fierro:

2814 22

1

21

21

21

===

=

=

feA

feB

B

A

feA

feA

feB

BfeA

feA

AfeA

PP

VV

RR

PVR

PVR

(115)

9. Un generador alimenta a una industria mediante el circuito de la figura. El transformador T2 est compuesto por 3 transformadores monofsicos de 333 [kVA], Z = 0.00145 + j0.0078 [] referida al lado de baja tensin. La lnea de distribucin tiene una impedancia ZL = 0.14 + j0.5 [] por fase. La resistencia de cortocircuito del transformador T1 es despreciable. Cul es el valor mximo que puede tener la reactancia de cortocircuito de T1 (en %) si la regulacin mxima admisible es de 10 % cuando la industria trabaja a plena carga con factor de potencia 0.9?

Figura 21. Sistema de Distribucin

Resolucin: a) La impedancia de cortocircuito de un transformador monofsico de T2 referida al lado de

alta tensin es:

][78.0145.0240

34160

)0078.000145.0(240

34160

'

2

*2

*2 +=

+=

= jjZZ (116)

El transformador est en delta estrella, es decir:


29

LLsfasep VNN

V 1

2= (117) Entonces, el circuito equivalente por fase referido al lado de la lnea de distribucin

(4160[Vll]) resulta:

jZT1 j0.51 j0.780.14 0.145

Zc

In

41603

ZL Z2

Figura 22. Circuito Equivalente Referido a Lnea de Distribucin

Donde la corriente nominal es:

][8.13841603

10V3

6

LLn

3 === nnS

I (118)

Segn la ecuacin de regulacin:

sen(sVXI(

VRI

TnTn11

cos += (119) Donde RT = 0.285[], V1 = 2402[V], XT = XT1+1.29 [].

][1.2

436.02402

)29.1(8.1389.0

2402285.08.1381.0

1

1

=

++=T

T

X

X (120)

Llevndolo a porcentaje, se tiene antes que:

][3.178.138

2402 ===fb

fbb I

VZ (121)

De este modo:


30

%1.12100% 11 ==b

TT Z

XX (122)

10. Un grupo formado por 3 transformadores monofsicos idnticos de 100 [kVA], 2400/120 [V] conectados delta estrella es alimentado a travs de una lnea de impedancia Z = 0.8 + j0.3 [] por fase. La tensin al comienzo de la lnea es 2400 [V] entre lneas. La prueba de uno de los transformadores con su lado de aja tensin en cortocircuito ha entregado Vcc = 52 [V], Icc = 41.6 [A], Pcc = 950 [W].

a) Calcule la tensin entre lneas del secundario cuando se suministra corriente nominal a una carga trifsica con factor de potencia unitario. b) Calcule las corrientes en el primario y en el secundario del transformador y en los conductores de la lnea cuando se produce un cortocircuito trifsico en los terminales del secundario. c) Efecte los clculos anteriores usando el sistema por unidad.

Resolucin: a) Primero se debe obtener el circuito equivalente por fase:

Figura 23. Circuito Equivalente por Fase

Donde:

1202400

2

1 =NN (123)


31

Reflejando la impedancia de carga *CZ en el primario, resulta:

Figura 24. Circuito Equivalente por Fase Reflejado en el Primario

Donde:

2

2

1

*

1

22

2

12

1

1

*'

===

NNZ

NNI

NNV

IVZ CC (124)

Debido a que el primario est en delta, entonces:

3

'**

1

*

C

TOTAL

ZZZ

+= (125)

Del ensayo de cortocircuito, con alimentacin desde lado primario, se obtiene la magnitud de

*1Z , su parte real con la ecuacin de potencia y su parte imaginaria:

[ ]=== 25.16.41

52*1

CC

CC

IVZ (126)

[ ]=== 55.06.41

950221

CC

CC

IPR (127)

[ ]== 12.121211 RZX (128)


32

Finalmente la impedancia es: [ ]

[ ]+=+=

37.018.03

12.155.0

*1

*1

jZ

jZ

(129)

La carga tiene factor de potencia unitario:

2

2

1

*''

==

NNRRZ CCC (130)

Resultando el circuito equivalente por fase:

Figura 25. Circuito Equivalente por Fase

La carga est alimentada con corriente nominal I1:

( ) [ ]AVS

IInLL

nn 2.7224003

1010033

3

1

311 ==== (131)

Usando LVK:

++=

3

'*1

**1

*1

C

Lnn

RZZIV

2.72

3

'*1

*

*1

*1 =+

+=

C

L

n

n RZZ

VI

(132)

Reemplazando:


33

( ) ( )3

'37.018.03.08.0

03

2400

2.72CRjj ++++

= (133)

El mdulo de dicha corriente es:

( )22 37.03.03

'18.08.0

32400

2.72

++

++=

CR (134)

Con lo que se obtiene: [ ]= 6.54'CR

2= (135) Entonces, se tiene que las tensiones de fase del secundario suponiendo Dy0:

[ ]VRIV Cn 2131436.5422.72

3''

*1

*2 === (136)

[ ]VNNVV 21143

240012021314

3

'1

2

*2

*2 === (137)

Y la tensin entre lneas del secundario:

[ ]VVV LL 28197303*2

*2 =+= (138)

b) Circuito equivalente por fase, al producirse un cortocircuito en los terminales del

secundario:

Figura 26. Circuito Equivalente por Fase, Cortocircuito de Terminales del Secundario


34

Se tiene entonces que la corriente por los conductores de lnea del lado del primario es:

( ) ( ) [ ]AjjZZ

VI

L

34116737.018.03.08.0

03

2400

3*1

*

*1

*1 =+++

=

+= (139)

Figura 27. Equivalencia de Corrientes

Por equivalencia segn la figura, en los devanados del primario circula una corriente:

[ ]AII 64674303

*1

*1 == (140)

Y en los devanados del secundario:

[ ]ANNIIS 6413480120

2400646742

1

*1

*=

== (141)

c) En (pu) se tiene:

[ ]puV 01*1 =

(142)

Impedancia base del primario:

[ ]=== 2.19101003

24003

2

3

21

1n

nLLb S

VZ (143)

Luego las impedancias en (pu) son:


35

[ ]pujZ

ZZ

b

L

L 21045.02.193.08.0

1

*

*=+==

(144)

[ ]pujZ

ZZ

b

64021.02.19

37.018.033 1

*1

*1

=+==

(145)

Figura 28. Circuito Equivalente por Fase en (pu).

Luego la corriente por los conductores de la lnea (lado del primario):

[ ]puZ

Z

VI

L

341.1664021.021045.0

01

3*1

*

*1

*1 =+

=

+

=

(146)

Como se est trabajando en (pu) resulta:

[ ]puIII == *1*1*2 (147) Considerando las corrientes bases:

[ ]AV

SI

nLL

nb 2.7224003

1010033

3

1

31 === (148)

[ ]AII bb 7.41311 == (149)

( ) [ ]AVSI nLLnb 3.83312033 10100333

2

32 === (150)

Comprobando las corrientes obtenidas anteriormente son:

i. en lnea del primario:


36

[ ]AIII b 3411622.72341.161*1

*1 ==

= 51)

ii. En devanados del primario:

[ ]AIII b 64671307.41341.16301*1

*1 ==

= 52)

iii. En devanados del secundario:

[ ]AIII bSSS 34134163.833341.16**

==

= (153) Nota: Las pequeas diferencias se deben a la aproximacin y no uso de decimales.

11. La figura simboliza a un transformador trifsico de 3 devanados con el primario en conexin estrella, un secundario en delta y el otro secundario (terciario) en estrella. Este transformador alimenta a 2 rectificadores controlados, tal como se muestra en la figura, en lo que se conoce como rectificador de 12 pulsos, equipo muy utilizado en el control de alta potencia.

a) Haga el conexionado completo del transformador, especificando cmo van las bobinas en el ncleo, considerando una conexin del tipo Yd11 (P-S) e Yy0 (P-T). b) Determine la relacin de transformacin entre P-S y P-T para que las tensiones secundarias tengan igual valor, c) Cul es el ngulo de desfase entre las tensiones de los secundarios?

Figura 29. Transformador Trifsico


37

Resolucin: a) Entre primario P y secundario S, suponiendo configuracin Yd11:

Figura 30. Diagrama Fasorial entre P y S

Entre primario P y secundario T (terciario), suponiendo configuracin Yy0:

Figura 31. Diagrama Fasorial entre P y T

Las conexiones son como se muestra a continuacin:

Figura 32. Conexiones


38

b) Se requiere la siguiente condicin:

TLLSLL VV = (154)

Considerando las siguientes relaciones de S y T con respecto a P:

SLL

PLL

S

P

VV

NN =3

S

PSLLPLL N

NVV 3= (155)

TLL

PLL

T

P

VV

NN = (156)

Reemplazando VPLL en la segunda relacin, resulta:

TLL

S

PSLL

T

P

VN

NV

NN

3

= (157)

Considerando la condicin requerida, TLLSLL VV = , se llega a la relacin entre las vueltas en los devanados del secundario y el terciario:

S

P

T

P

NN

NN 3=

TS NN 3= (158)

c) Al observar los diagramas fasoriales de la parte a) se observa que, el ngulo entre

*aSV y

*aTV es 30.

12. Un transformador monofsico de 50 [kVA], 7620/200 [V], 50 [Hz] tiene una impedancia de cortocircuito reflejada al devanado de alta tensin Zcc = 23+j58 [] y es alimentado con 7.62 [kV] en el primario.

a) Determine la corriente (en [A]) que circula por el primario cuando en el secundario se conecta un condensador de 3180 [F].


39

b) Determine la tensin de salida en la carga (en [V]) con la carga del punto a). c) Tres de estos transformadores se conectan formando un banco trifsico con conexin tringulo en el lado de alta tensin y conexin estrella en el lado de baja tensin. El banco trifsico es conectado a una red de 7.62 [kV] y alimenta una carga resistiva trifsica en conexin estrella de 2 [] por fase. Determine: i. El circuito equivalente por fase referido al lado de baja tensin. ii. La tensin en la carga. iii. Las corrientes (magnitud) entregadas por la red de alimentacin

Resolucin: a) Consideremos el siguiente circuito equivalente simplificado:

Figura 33. Circuito Equivalente

Se tiene entonces que la impedancia del condensador es:

][1103180502

11

6 === CX c (159)

Luego la impedancia del condensador reflejada al primario:

][1452200

76201' 22

22

21

22

21

21 =====

VVX

XVV

PVX c

c

c (160)

La corriente por el primario es entonces:

][8946.5)145258(23

07620'

*

*1

*A

jXjZ

VI

ccc

=+== (161)

b) Luego la tensin que cae en el condensador es:


40

][17928901452896.54)'('**

VXjIV cc === (162) Es necesario ahora reflejar esta tensin al secundario, para ello:

][108.2087620200''

1

2 VVNNVV ccc === (163)

c) Consideremos la figura:

Figura 34. Circuito Delta Estrella

Pasndolo a equivalente estrella estrella:


Luego, el circuito equivalente por fase:


41


Luego, referido a baja tensin:

040.0016.03

'

7620200)5823(

3

33

'

*

22

1

2

*

2

1

2**

jZ

jNNZ

NNZZ

cc

cc

cccc

+=

+=

=

=

(164)

Luego la tensin que cae en la carga se obtiene con un divisor de tensin, y es de:

][4.198040.0)2016.0(

220022

VVc =++= (165)

Y por ltimo la corriente de entrada. Para ello calculamos primero la corriente que pasa

por la carga, y que es la corriente que entrega el secundario del trafo.

][2.992

4.198' AR

VI c === (166)

Finalmente la corriente por las lneas de alta tensin:

][5.4

376202002.99

3

'1

2 ANNII =

=

= (167)


42

13. Dibuje el diagrama de conexiones de un transformador trifsico:

a) Yd1. b) Dy11. c) Yz5

Resolucin: Segn VDE 0532 se tiene que la primera letra indica la forma de conexin del pimario (D:

Delta, Y: estrella). La segunda determina la forma de conexin del secundario (d: delta, y: estrella, z: zigzag). Y finalmente el nmero "a" indica 30a de desfase entre las tensiones del primario y secundario.

Entonces se tiene:

a) Yd1: Estrella Delta con 30 de desfase.

b) Dy11: Delta Estrella con desfase de 330 (-30).

c) Yz5: Estrella Zigzag con 150 de desfase.

Sistemas Electromecnicos, Gua III:Fuerzas Electromagnticas

1

GUA III : FUERZAS ELECTROMAGNTICAS

1. El ncleo de la figura 1 tiene una permeabilidad del fierro infinita y seccin transver-sal de 9 [cm2]. El devanado tiene 250 [vueltas] y una resistencia de 7,5 []. Las dos partes del ncleo estn separadas una distancia de X = 1 [mm]. a) Se conecta a una fuente de 40 [V] de CC. Determine la fuerza total que acta sobre la parte mvil. b) La bobina se conecta a una fuente de 100 [Vef] y 60 [Hz]. Determine el valor de la in-duccin mxima en la bobina. Determine el valor medio de la fuerza desarrollada, comente el signo de la fuerza de origen elctrica en los puntos a) y b).

Figura 1. Ncleo

Resolucin:

a) Se sabe que la fuerza elctrica est dada por:

xife

= 21 (1)

Donde i se puede determinar por Ley de Ohm:

][33,55,7

40 ARVI === (2)


2

Luego est dado por:

AH NNBA N o === (3) Posteriormente, aplicando Ley de mpere:

xINH

2= (4)

De este modo:

2

20

02

2

2

xAIN

x

xAIN

=

= (5)

Finalmente fe queda:

2

220

41

xAINfe

= (6) Ahora evaluando, se tiene que |fe| = 502[N]. b) Consideremos el siguiente circuito elctrico equivalente.

Figura 2. Circuito Equivalente

Luego se sabe que la inductancia L puede determinarse segn:

][352

022

mHx

ANNL ===

(7)


3

Por consiguiente:

][2,131035602 3 === LX L (8) Con esto la corriente I, y la tensin VL son:

][4,6059,62,135,7

0100 Aj

I =+= (9)

][6,2987 VXjIV LL == (10)

Luego la induccin mxima es:

][45,11092506044,4

8744,4

4 TANf

VB L === (11) Ahora bien

)()(

)(45,1)()(

tsenBANt

tsentsenBtB

===

(12)

Luego, usando Ley de mpere y la ecuacin (12).

NxtsenBi 2)(

0= (13)

Con esto fe queda, considerando que no depende de x.

0

22 )()(1))((

21

21

tsenABtsenBN

tsenBNAxif

oe ==

= (14) Luego:

][5,754

])[(1509 2

NfNtsenf

e

e

==

(15)


4

2. La figura muestra la seccin transversal de un actuador magntico, cilindrico. El mbolo, de seccin A = 15[cm2], se desliza libremente por un agujero circular en la carcaza. El devanado tiene 3000 vueltas y el material magntico puede ser considerado perfecto. ( fe=).

Figura 3. Actuador magntico

a) Determine el valor de la inductancia como funcin de la distancia x. b) Si por el devanado circula una corriente continua de 1.5 [A], calcule la fuerza magntica ejercida sobre el mbolo cuando x = 4 [mm].

Resolucin: a) La inductancia est dada por:

T

NxL =2

)( (16)

Dado que fe , aireT = :

][1069.1

)(

2

0

2

Hx

Ax

NxLA

xo

T

===

(17)

b) La fuerza magntica es:

2

22

222

21)

(

21

21

xANI

xAN

xI

xLIf ooe

==

= (18)


5

Por lo tanto:

][22.1192004.0

101510430005.121

2

4722

Nfe == (19)

3. El rel que se muestra en la figura 3 est hecho de un material magntico de y tiene un embolo mvil cuyo material tambin tiene permeabilidad infinita. La altura del embolo es mucho mayor que la longitud del entrehierro (h >> g). Datos: N = 1000 [vueltas], g = 0,002 [m], d = 0,15[m], l = 0,1[m], i = 10[A].

Figura 4. Rel

a) Calcule la energa magntica almacenada Wmag como funcin de la posicin del embolo (0 < x < d). b) Calcule la fuerza sobre el embolo como funcin de x cuando se mantiene constante la corriente de la bobina en 10 [A].

Resolucin: c) Se sabe que:

gAN

xL2

)( 0

2 = (20) Donde A es una funcin de x, de la forma:

)1()(dxdlxdlA == (21)


6

Por lo tanto L(x) queda:

)1(2

)( 0

2

dx

gdlN

xL = (22) La energa magntica est dada por:

)1(4

)(

21 20

22

dx

gIdlN

IxLWmag == (23) Finalmente:

dxJxWmag


7

a) Determinar expresiones para las inductancias propias y mutuas en funcin de r. b) Determine el torque. c) Seale como debe modificarse la construccin fsica del aparato para lograr.

i) 0=

r

sL ii) 0=

r

rL

Resolucin: a) Estator:

lNANLs

22 == (27)

Ahora bien si r es 0 , entonces Ls es mximo, cuando es /2 es mnimo. Por lo tanto:

2020 )2cos( ssrsss LLLLL


8

)()2()(

)(21

022

22

22

rrsrsrrrss

r

rsrs

r

rr

r

ss

r

senLiisenLiLiT

LiiLiLiET

+=+

+=

= (33)

c) Con:

.0 cteLL ss ==

(34)


Con:

)cos(

)2cos(

00

0

21

rrsrs

sr

rs

r

r

r

r

LLLL

LLL

LL

==

+=

=

(35)

x

is



9

5. En el sistema mono excitado de la figura el rotor gira a una velocidad en estado estacionario r. El devanado es alimentado con corriente alterna ( i(t) = imaxsen(et) ). Hallar la velocidad a la cual debe ser impulsado la parte rotatoria para obtener movimiento continuo (Tmedio 0).

Figura 8. Sistema monoexcitado

Resolucin: a) La condicin para movimiento continuo Te 0 implica que e = r. Luego el rotor debe ser

impulsado a r. Esto se demuestra a continuacin. Sea (t) el ngulo del rotor para un tiempo t, expresado segn:

)0()( += tt r (36)

Se define tambin el torque elctrico:

= ),(iETe (37)

Dado que L1 = Lsen(2), y desarrollando (31):

)2()( 22 sentseniLT re = (38) Luego el torque medio:

)()))0((2()((21 222

0 ttsentsenLiT rree += (39)

Usando la propiedad trigonomtrica sen2(t)= (1-cos2(t))/2, y desarrollando se obtiene que:

)())0()((2(8 2

0

2

ttsenLiT rere += (40)


10

Pero, dado que el torque medio es distinto de 0, r = e.

0)0(0))0(2(4

)())0(2(8

2

20

2

=

=

ssisenLiT

tsenLiT

e

re

(41)

6. En el transductor de la figura se tiene N1 = 50 [vueltas] e igual a N2, g = 1 [mm], el radio es de 10 [cm] y el largo axial es de 15 [cm]. Determine:

a) Inductancia L11. b) El torque desarrollado si las corrientes por las bobinas son iguales a i1 = i2 = 2 [Adc].

Figura 9. Tranductor

Resolucin: a)

0

21

11

2

lRg

NL

T

T

==

(42)

As:


11

][742

02

111 mHg

lRNL == (43)

b) Primero se necesita determinar la forma del campo en el entrehierro:

Figura 10. Campo en el entrehierro

][126.02

2 Tg

INB ro == (44) Luego la inductancia mutua es:

Figura 11. Campo en el entrehierro

Entonces el flujo en la bobina del rotor debido a la corriente por el estator es:


12

)21(

)(

21

21

=== ++

RLB

RLBRLBkRLB (45)

Luego el flujo:

)21(2

102121

== RLg

INNN rer (46)

Entonces la inductancia es:

][3.49

)21(

)21(2

21

2121

0

21

2121

mHL

LL

RLg

NNII

L re

==

===

(47)

Entonces:

Figura 12. Inductancia y Torque elctrico


13

Donde el torque est dado por:

][126.0

2))21((

212212

2121

mNT

LIL

L

IT

LiiT

==

=

=

(48)

con entre 0 y

7. El actuador rotatorio de la figura tiene un devanado de 100 [vueltas] y una reluctancia que puede aproximarse por la funcion: ]1)[2cos(102103)( 55

Hrr = .

Si el rotor es mantenido en posicin r = 30 por una cuerda (como se muestra en la figura) y el devanado es alimentado por una tensin alterna de 100 [Vrms], 50 [Hz]. Calcule la tensin (fuerza) promedio a que es sometida la cuerda.


Resolucin: a) Si se aplica una tensin alterna a los terminales del devanado se establecer un flujo

sinusoidal independiente de la posicin del rotor:


14

)502cos(2)(

)502(2100

tt

tsent

V

=

==

(49)

Dicho flujo si bien vara en funcin del tiempo, es constante respecto de cambios en la

posicin del rotor. Sabemos que para condicin de flujo constante:

r

me

ET

= (50)

222

2 21

21

21

NLiLEm

=== (51) Reemplazando (40) en (39):

)2(10221 5

2

2

2

2

rr

e senNNT

== (52)

Ahora reemplazando la expresin de flujo de (38):

)2()100(cos2104)( 22

2

5

re sentNtT

= (53)

Luego el torque elctrico medio:

= Tre ttTsenNT 0 2225

)100(cos1)2(

104 (54)

Donde T es el periodo de cos2(100t), esto es T = 10 [ms]. Es sabido que el valor medio de dicha funcin es 1/2.

][755,1)2(

10222

5

NmsenN

T re == (55)

Dado que el brazo es de 5 [cm]:


15

][2,70)60cos(

1,35105755,1

2

NF

F

F

ncuerda

n

==

== (56)

8. El actuador de la figura tiene una seccin de 2 x 2 [cm2] y un entrehierro de 1 [mm] cuando los elementos del ncleo estn juntos. El devanado es de 200 [vueltas] y 5 [] de resistencia. Si se alimenta el devanado con 20 [Vdc], calcule la mxima masa que se puede colgar para que siga junto.

M

Figura 14. Electro-imn

Resolucin:

La corriente por el devanado es:

][4 ARVI == (57)

Con esto podemos obtener la energa:.

xANIA

xINNIE

ABNIIE

oom

m

41)

2

(21

21

21

22 ==

== (58)

La fuerza es entonces:


16

][4,80

41

2

22

Nx

AINx

Ef ome ==

= (59)

El signo negativo indica que la fuerza es de atraccin. As, se puede colgar una masa de peso menor o igual a fe

][2,8 KgMfgM e == (60)

Sistemas Electromecnicos, Gua IV:Tensiones Inducidas y Campos Magnticos en Devanados

1

GUA IV : TENSIONES INDUCIDAS Y CAMPOS MAGNTICOS EN DEVANADOS

1. Una mquina tiene un devanado de 2 polos distribuidos en 24 ranuras en el estator. El rotor tiene un devanado monofsico alimentado con corriente continua a travs de a- nillos deslizantes y produce una induccin magntica sinusoidal con un valor mximo Bm = 0,7 [T]. El estator tiene un largo axial de 30 [cm] y un radio de 15 [cm]. El rotor es impulsado a 1500 [rpm]. Determinar: a) Velocidad del campo respecto del rotor. b) Frecuencia de las tensiones inducidas en el estator. c) Nmero de vueltas Nr en cada ranura del estator necesarias para obtener una tensin efectiva de 670 [V] por fase. d) Valor efectivo de la tensin Vb-a mostrada en la figura considerando una tensin efectiva por fase de 670 [V]

Figura 1. Devanado

Resolucin:

a) El campo gira junto con el rotor.

0/ =rotorcampov (1) b) La frecuencia del estator est dada por:


2

][5060215001

602

sradpp mecmecest ==== (2)

Por consiguiente:

][252

Hzf estest == (3)

c) La tensin por fase es:

)(2)(' tsenBfNRltV distaa = (4) Donde:

4312

242

===mp

zq (5)

][15][12

2electelectradz

p === (6) Luego:

958,0

21

21

1 =

=

senq

qsenf dist (7)

Entonces la tensin efectiva es:

BfNRlV distefecaa 221

' = (8) Luego despejando N y resolviendo (8):

][100 vueltasN = (9) Finalmente:

][25

vueltaspq

NN r == (10) d) Se tiene:


3

2406700670 '' == bbaa VV (11) Con lo que:

][67060670

'

'''

VVVVV

efecab

bbaaab

==+=

(12)

2. Un devanado de estator trifsico de una capa, tiene dos ranuras por polo y por fase, dos pares de polos y cada bobina tiene 20 vueltas: a) Calcular el nmero de vueltas efectivas por fase para la fundamental y para la 3 armnica. b) Un devanado excitado con corriente continua en el rotor que gira a 1500 [rpm] produce una distribucin de flujo sinusoidal en el espacio de valor mximo 0.2[Wb]. Calcular el valor efectivo de la tensin inducida en cada fase del estator. En qu forma difieren las tensiones inducidas en las tres fases?

Resolucin:

a) Se conoce que.

ndistbobnefect fNpqN __ = (13) Donde

qmpzz

pnsenqnqsenf ndist

2;2)2/()2/(

_

==

=

(14)

][30][62

2elieliradqmqmp

p ==== (15) Luego para la fundamental:

][28.77966.02022

966.0

1_

1_

vueltasNf

efect

dist

===

(16)

Y para la 3 armnica:


4

][56.56707.02022

707.0

1_

3_

vueltasNf

efect

dist

===

(17)

b) Considerando un par de polos n = 1500[rpm] luego:

][50][50260

211 Hzfs

radnp === (18) Por consiguiente:

][2.0);( 11 Wbcontsen =+= (19)

Entonces:

)cos(2.0

)(2.0

111

11

+==

+==tN

tV

tsenNN

ef

efef

(20)

Luego el valor efectivo inducido en cada fase del estator:

][17162.044.42

22.0

2

2.01

11 VNfNfN

V efefef

ef ====

(21)

Debido a que los ejes magnticos de las bobinas del estator de las 3 fases estn desfasados

en 120, las tensiones inducidas en estas fases tambin estn desfasadas en 120

3. Una mquina tiene un devanado trifsico de 2 polos en el estator, distribuido en 24 ranuras con Ne = 25 [vueltas] en cada una. El radio del rotor es de 10 [cm], el largo axial es de 50 [cm] y el entrehierro tiene un ancho de 1 [mm]. El devanado del estator es alimentado por una corriente trifsica de 10 [Aef] y 50 [Hz]. En el rotor se tienen 2 bobinas concentradas 1-1 y 2-2 de Nr = 10 [vueltas] cada una. Tal como se muestra en la figura.


5

Figura 2. Mquina

a) Calcule el factor de devanado para la fundamental del devanado del estator. b) Calcule la induccin mxima fundamental producida para una fase del estator. c) Calcule la expresin del campo fundamental resultante del devanado trifsico Bres(,t) cuando el valor mximo fundamental producido por una fase es de B1max=1,2[T]. d) El roto est detenido y se tiene el campo del punto c): d.1) Calcule el valor efectivo de las tensiones en el rotor V1-1 y |V1-1+V2-2|. d.2) Cul es la frecuencia de dichas tensiones? e) Determine la frecuencia de las tensiones inducidas en la bobina 1-1 cuando el rotor gira a: e.1) 3000 [rpm] e.2) -3000[rpm]

Resolucin: a) Tenemos:

42

][152

==

==

mpzq

zp

elect

(22)

Luego:

958,0

2

2

1 =

=

nsenq

nqsenfdev (23)


6

b) Se sabe que:

][08,142

1

01 Tfg

qINB dev

este ==

(24)

c) La induccin magntica resultante de un devanado trifsico es un campo giratorio:

)(23),( 1 tsenBtBres = (25)

Dado que = 2f = 314 [rad/s]:

)314(8,1),( tsentBres = (26)

d) Tensin en 1-1:

][40022

1'11 VBNRlV resrefec == (27)

V1-1 y V2-2 estn desfasados en 90, ya que las bobinas lo estn tambin entre s en 90. Entonces

][5662 '11'22'11 VVVV ==+ (28)

Y la frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor es:

][506030001

60 Hzpf === (29)

e) Cuando el rotor gira a 3000 [rpm], el campo est estacionario con respecto al rotor, de este

modo:

00 '22'11 === VVfr (30) Ahora bien, cuando el rotor gira a la misma velocidad en sentido opuesto, el campo gira a

= 6000 [rpm] respecto del rotor. Por lo tanto:

][10060

' Hzpfr == (31)


7

4. Determine el nmero de vueltas efectivas de un devanado trifsico conexin estrella, de una capa, de 4 polos, de 2 ranuras por polo y por fase para la fundamental y quinta armnica. Cada bobina tiene 60 vueltas. Dibuje el conexionado del devanado

Figura 3. Mquina

Resolucin: a) El factor de distribucin est dado por::

)2/()2/(

_

nsenqnqsenf ndist = (32)

Donde:

][302

22eliqmqmp

pz

p ==== (33) Luego:

259.0)2/305(2)2/3052(

966.0)2/301(2)2/3012(

5_

1_

==

==

sensenf

sensenf

dist

dist

(34)

El nmero total de vueltas por fase es:

][240 vueltasNpqN bobT == (35)


8

Las vueltas efectivas son entonces:

][16.62

][84.231

5_5_

1_1_

vueltasNfNvueltasNfN

Tdistef

Tdistef

====

(36)

Y el nmero de ranuras:

][24

6

222 ranuraspz ===

(37)

b) Para realizar el conexionado del devanado es necesario conocer:

][3]/[2

][2

fasesmfasexpoloranurasq

poloparesp

===

Yconexin

ranuraszeli

][24][30

==

(38)

Figura 4. Conexionado Extendido


9

Figura 5. Conexionado Circular

5. La mquina de la figura tiene el rotor alimentado con una corriente continua Ir = 10 [A] mediante anillos deslizantes. El rotor es impulsado por otra maquina motriz a una velocidad de 3000 [rpm].

Figura 6. Mquina

a) Grafique el campo del rotor.. b) Calcule la amplitud de la componente de trecera armnica del campo del rotor.. c) Cunto vale la tensin inducida en el rotor? d) Dibuje la tensin inducida en el estator. En la misma figura dibuje adems la fundamental y 3 armnica de tensin. Especifique.


10

e) Vef 1 estator? f) Determine la inductancia del rotor.

Resolucin: c) Utilizando ley de mpere:

gBgHNI rr 2

20== (39)

Despejando (23) se tiene que:

][75,02 TpgNI

B rro == (40) Luego la grfica queda:

Figura 7. Campo del Rotor

d) Se sabe que:

][32,034

3

4

13

1

TBBB

BB

===

=

(41)

e) Dado que no existe una corriente distinta a la del rotor que produzca un campo, entonces el

flujo por el rotor es constante, luego la tensin inducida en el rotor es 0.


11

f) Se tiene:

][201][50

]/[50260

2

11

1

1

msf

T

Hzf

sradp

===

== (42)

][67,61][1503

33

13

msf

T

Hzff

====

(43)

La amplitud del Vestator es:

][36034

][10804

][2,8482

3

1

1

VVV

VVV

VBNRlV

estatorestator

estatorestator

sestator

==

====

(44)

g)

][7642

11 V

VV estatorefectestator == (45) h) La reluctancia es:

lRg

oT

2= (46)

De este modo la reluctancia es:

][2962

2

2

mHg

lRNL

NL

orr

T

rr

===

(47)


12

6. Demuestre que un devanado bifsico alimentado por corrientes bifsicas produce un campo giratorio. Considere que el devanado bifsico tiene sus ejes magnticos desplazados en 90 [eli], de acuerdo a:

)cos(2

)(),( tiNtFMM aefa = (48)

)(2

)(),( sentiNtFMM befb = (49)

Donde las corrientes bifsicas estn expresadas por:

)cos()( tItia = (50) )()( tsenItib = (51)

Resolucin: a) Consideremos

)2

cos(2

)(),( = tiNtFMM befb (52)

)2

cos()( = tItib (53) Entonces:

)cos(2

)cos(),( tINtFMM efa = (54)

)2

cos(2

)2

cos(),(

=

tINtFMM

ef

b (55)

La FMM resultantes es:

),(),(),( tFMMtFMMtFMM ba += (56) Usando en (54) y (55):

)]cos()[cos(21))cos(cos( yxyxyx ++= (57)


13

Resulta:

)]cos()[cos(4

),( tt

INtFMM efa ++= (58)

)]cos()[cos(4

),( tt

INtFMM efb ++= (59)

Reemplazando en (56):

)]cos(2)cos()[cos(4

),( ttt

INtFMM ef ++++= (60)

Donde:

)cos()cos( tt +=+ (61) Entonces:

)cos(2

)]cos(2[

4

),( t

INt

INtFMM efef == (62)

El cual corresponde aun campo giratorio de frecuencia ][s

rad .

7. La figura muestra un molino usado para la molienda de cobre, el que es movido por un motor sincrnico de 70 polos con un devanado trifsico en el estator. El variador de frecuencia entrega en su salida corrientes trifsicas de frecuencia variable.

a) Cunto vale el nmero pares de polos? b) Escriba la expresin del campo fundamental producido por una fase del estator, despreciando las armnicas y considerando que el valor mximo de la induccin 0,8 [T]. Cuantifique. c) Escriba la expresin del campo fundamental resultante del devanado trifsico. Cuantifique. d) Qu frecuencia f0 debe generar el convertidor para que el molino gire a 9 [rpm]. (Nota: En un motor sincrnico el motor gira siempre a la misma velocidad del campo giratorio.)


14

Figura 8. Molienda de cobre.

Resolucin: b) El nmero de pares de polos es:

352

70 ==p (63) c)

])[2()35(8,0

)2()(

01

Ejercicios Resueltos de Sistemas Electromecanicos

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