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EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA Matemática Básica y Matemática para Ciencias de la Salud MATEMATICA53.WEBNODE.CL

Claudio Gaete Peralta

2013

Claudio Gaete Peralta matematica53.webnode.cl

CLAUDIO GAETE PERALTA

MATEMATICA53.WEBNODE.CL

TABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOS

INTRODUCCION ................................................................................................................... 3

ECUACIONES ........................................................................................................................... 4

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................... 8

FUNCIONES .............................................................................................................................. 9

EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................. 18

LIMITES .................................................................................................................................... 20


CONTINUIDAD .................................................................................................................... 24


DERIVADAS ............................................................................................................................ 28


EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA

3

INTRODUCCION

Estos apuntes fueron diseñados con el fin de complementar el aprendizaje matemático junto con lo visto en clases. Se presentan diversos ejercicios resueltos y propuestos, principalmente para carreras de Ciencias de la Salud.



ECUACIONES

1. Resuelva la ecuación �� !� "�� # = 1.

Solución: Como el discriminante de &' + & + 1 es negativo y el coeficiente que acompaña a &' es

positivo, tenemos que &' + & + 1 > 0 para todo número real. De esta forma, no hay restricciones

previas para resolver la ecuación. Resolviendo, tenemos

&' + 5& + 6&' + & + 1 = 1/∗ (&' + & + 1) &' + 5& + 6 = &' + & + 1

5& + 6 = & + 1 4& = −5 & = − 54

Lo que resuelve el ejercicio ∎

2. Resuelva la ecuación '�4#'� # = � 5�4' Solución: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones

• 2& + 1 ≠ 0 → & ≠ − #'

• & − 2 ≠ 0 → & ≠ 2

Con esto, tenemos que de existir una solución, ésta no puede ser − #' ni 2. Procedamos a

resolver la ecuación. Multiplicando cruzado, tenemos que:

(2& − 1)(& − 2) = (2& + 1)(& + 3) 2&' − 4& − & + 2 = 2&' + 6& + & + 3 −5& + 2 = 7& + 3 −1 = 12& − ##' = & ∎


5

3. Resuelva la ecuación (& + ;)' − (& − ;)' = (; + <)', donde ;, < son números reales no nulos.

Solución:

(& + ;)' − (& − ;)' = (; + <)' &' + 2;& + ;' − (&' − 2;& + ;') = (; + <)' &' + 2;& + ;' − &' + 2;& − ;' = (; + <)' 4;& = (; + <)' & = (; + <)'4; ∎

4. Resuelva la ecuación '5� − 5& = 710 − 32&

Solución: En primer lugar, como restricción, tenemos que & ≠ 0. La idea principal es poder

quitar los denominadores de esta ecuación. Fijándonos en los coeficientes de cada denominador,

tenemos que

>. ?. > (3,2,10) = 301 De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30&, seremos capaces de eliminar los

denominadores y trabajar con una ecuación que será más sencilla

23& − 5& = 710 − 32& / ∗ 30&

20 − 150 = 21& − 45 −130 = 21& − 45 −85 = 21& − 8521 = &

1 Note que no se consideró el coeficiente que acompañó a &.



5. Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuación.resolver una ecuación.resolver una ecuación.resolver una ecuación. Resuelva la ecuación "E�4FE #' + 'E�4GE 5 − 5E�4!E G = 0

Solución: Tenemos que

6;' − 7; + 12 + 2;' − 4; + 3 − 3;' − 5; + 4 = 0 6(; − 3)(; − 4) + 2(; − 1)(; − 3) − 3(; − 1)(; − 4) = 0/∗ (; − 3)(; − 4)(; − 1) 6(; − 1) + 2(; − 4) − 3(; − 3) = 0

6; − 6 + 2; − 8 − 3; + 9 = 0 5; − 5 = 0 5; = 5 ; = 1 Con lo que habremos resuelto la ecuación. Sin embargo, esta no puede ser solución, pues,

tenemos que ; = 1 anula la expresión IJ − KI + L, que forma parte de un denominador en la

ecuación que acabamos de resolver. De esta forma, la ecuación no tiene solución ∎

6. La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres años Fernando tenía un tercio de la edad que tendrá Pedro en nueve años más. ¿Cuánto será la suma de las edades en dos años más?

Solución: Denotemos por T, U las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente.

Tenemos que

I. T = V'

II. T − 3 = #5 (U + 9)

Reemplazando la primera ecuación en la segunda, tenemos que


7

U2 − 3 = 13 (U + 9) U2 − 3 = U3 + 3 U2 − U3 = 6/∗ 6

3U − 2U = 36 U = 36

Reemplazando este valor en la primera ecuación, tenemos que T = 18. De esta forma, las

edades actuales de Fernando y Pedro son 18 y 36 años respectivamente. Por lo tanto, en dos

años más, sus edades serán de 20 y 38 años y así, sumarán 58 años ∎

7. Resuelva la ecuación #'(�4#) + '(�4#)� = #G(� 5) Solución: En primer lugar, como restricciones, tenemos que & ≠ 1, & ≠ −3.

La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuación más sencilla. Si

multiplicamos a ambos lados por (& − 1)'(& + 3) habremos quedado libres de incógnitas en los

denominadores y de esta forma podríamos empezar a resolver la ecuación. Si el lector(a) no

queda conforme y desea además sacar los coeficientes de los denominadores, será necesario

multiplicar a ambos lados por el mínimo común múltiplo entre 2 y 4

>. ?. > (2,4) = 4

De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por 4(& − 1)'(& + 3) podremos

trabajar solamente con numeradores y no con denominadores:

12(& − 1) + 2(& − 1)' = 14(& + 3) / ∗ 4(& − 1)'(& + 3)

2(& − 1)(& + 3) + 8(& + 3) = (& − 1)' 2(&' + 2& − 3) + 8& + 24 = (&' − 2& + 1) 2&' + 4& − 6 + 8& + 24 = &' − 2& + 1 &' + 14& + 17 = 0 Las raíces de esta ecuación son &# = 4#G √#'X' y &' = 4#G4√#'X' , lo que resuelve el problema ∎



EJERCICIOS PROPUESTOS

A. Resuelva las siguientes ecuaciones i. (& + 1)5 − (& + 1)5 = 6&(& − 3) ii. 7(18 − &) = 6(3 − 5&) − (7& + 21) − 3(2& + 5) iii. 3 − �' − 1 − �5 = 7 − & + �' iv. −[−2 − \3 − (& − 2&)] + 4^ = 4 − 5& v. !� ! + "� " − #(� ")� = 3 B. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos alumnos leen? C. El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. ¿Qué edad tendré en dos años más? D. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55 años. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. Calcular las edades.


9

FUNCIONES

8. Considere la función c(&) = E� de� f , donde ;, <, ? y g son números reales y ? ≠ 0. Determine el Dominio y Recorrido de esta función. Solución: En primer lugar, debemos notar que c es una función racional, luego su

denominador debe ser distinto de cero. Así, tenemos que

?& + g ≠ 0 & ≠ − g? Con esto, tenemos que hi>c = j − k− fel. Para determinar el recorrido, hagamos m = c(&) y

despejemos & en función de m

m = ;& + <?& + g / (?& + g) m(?& + g) = ;& + < m?& + mg = ;& + <

m?& − ;& = < − mg &(m? − ;) = < − mg

& = < − mgm? − ;

Donde la división puede ser realizada siempre que m? − ; ≠ 0, es decir m ≠ Ee. Así, jn?c = j − kEel ∎

9. Dada la función c(&) = ;&' + <& + ?, con ;, < y ? números reales, con ; ≠ 0. Determine dominio y recorrido de dicha función. Solución: En primer lugar, debemos notar que el dominio de esta función es siempre j.

Para determinar el dominio de esta función, debemos analizar dos casos:

Caso 1: I > 0. En este caso, el recorrido de la función será 2

jn?c = oc p− <2;q , ∞ +o

2 Realice la gráfica de la función para entender geométricamente lo que se está haciendo.

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Caso 2: I s 0. En este caso, el recorrido de la función será

10. La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo según

donde t es la concentraciónpara que haga efecto durante milígramos por litro? . Grafique la problema.

Solución: Notemos que la gráfica de la

parábola va hacia abajo. Además, tenemos que el vértice es

Con esto, tenemos que la porción de

Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de

y se da al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la

concentración del medicamente es

Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro

resolver la ecuación

es decir,

CLAUDIO GAETE


En este caso, el recorrido de la función será

jn?c $ v2∞, c/2 d'E0v ∎

La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo según

t/w0 $ 2w' ( 6w

concentración del calmante en el suero medida en milígramospara que haga efecto durante t horas. ¿En qué instante la concentración

Grafique la función e interprete resultados en el contexto del

gráfica de la función es una parábola con a $ 21. Además, tenemos que el vértice es

x $ /2 <2; , t/2 <

2;0 0 $ /3, t/30 0 $ /3,90

porción de gráfica de la función es

Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de 9 milígramos por litro

al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la

entración del medicamente es 0 y t y 6.

Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro

8 $ 2w' ( 6w

w' 2 6w ( 8 $ 0


La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su

milígramos por litro concentración es de 8

e interprete resultados en el contexto del

s 0, por lo que esta

9 milígramos por litro

al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la

Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos


11

Debemos tener en cuenta que las raíces de una ecuación cuadrática se determinan por la

fórmula

w = −< ± √<' − 4;?2;

En este caso, ; = 1, < = −6 y ? = 8, por lo que, reemplazando dichos valores, tenemos que las

raíces de t(w) son

w# =4 y w' =2 ∎

11. Considerelafunción{(&) = √3& + 5.Determinesiestafunciónesbiyectivaono.Encasoafirmativo,encuentrelafuncióninversa{4#.Solución: En primer lugar, debemos tener en cuenta que hi>c = |− !5 , ∞ +|.

Recordemos que una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. Veamos primero la

inyectividad. Sean }, ~ ∈ hi>c tales que {(}) = {(~). Es decir,

√3} + 5 = √3~ + 5/()'3} + 5 = 3~ + 5/−53} = 3~ /: 3} = ~Por lo que la función es inyectiva. La sobreyectividad es clara, en vista de que no hay un

codominio especificado3.

Para determinar la función inversa, hagamos m = {(&). Con esto, tenemos que

m = √3& + 5 /()' m' = 3& + 5 m' − 5 = 3& m' − 53 = &

Por lo que {4#(&) = ��4!5 ∎

3 Queda como ejercicio para el lector, determinar el recorrido de la función.



12. Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1,0).

Solución: Primero, debemos recordar que la ecuación de la recta que pasa por el punto (;, <) y tiene pendiente > viene dada por la fórmula

m − < = >(& − ;) Haciendo los reemplazos respectivos, tenemos que la ecuación buscada es

m − 0 = 3(& − 1)

Es decir, m = 3& − 3 (Ecuación principal de la recta) o bien 3& − m − 3 = 0 (Ecuación general de

la recta) ∎

13. Dé un ejemplo de una recta que sea perpendicular a la recta del ejercicio anterior.

Solución: Dos rectas con pendientes ># y >', respectivamente, son perpendiculares, si el

producto de sus pendientes es −1. De esta forma, la pendiente > de la recta buscada debe

cumplir con 3> = −1

es decir, > = − #5. Con esto, tenemos que una recta perpendicular a la recta del ejercicio anterior sería de la

forma

y = − #5 & + � , � ∈ j ∎

14. Encuentre el punto de intersección de las rectas m = 2& − 3 e m = #G & + #'. Solución: En vista de que estas rectas no son paralelas (pues sus pendientes son distintas),

ambas rectas se intersectan (en un único punto).

Resolvamos la ecuación 2& − 3 = 14 & + 12 2& − 14 & = 12 + 3 74 & = 72 & = 72 ∗ 47 & = 2 Reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, tenemos que y = 1. Así, el punto de intersección es (2,1) ∎


13

15. Determine el valor de � para que la recta �& + (� + 1)m + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3& – 2m – 11 = 0 Solución: Sean �# , �' rectas dadas por �#: �& + (� + 1)m + 3 = 0 y �': 3& – 2m – 11 = 0

Para determinar la pendiente de la recta �#, despejamos m :

�& + (� + 1)m + 3 = 0 (� + 1)m = −�& − 3 m = − �� + 1 & − 3� + 1

Siempre que � ≠ −1. Así, la pendiente de �# es − �� #. Análogamente, la pendiente de �' es 5'.

Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser −1, es

decir, − �� + 1 ∗ 32 = −1

�� + 1 = 23

3� = 2(� + 1) 3� = 2� + 2 � = 2

Con esto, tenemos que si � = 2, las rectas serán perpendiculares ∎

16. La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que � denota la natalidad por cada 1.000 personas y � representa el tiempo medido en años desde 1995. a) Determine la función lineal de natalidad4. b) Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad esperada para el año 2015?

4 Note que como la natalidad disminuye linealmente en función del tiempo, la pendiente debe ser negativa.



Solución: a) Como � depende linealmente de �, tenemos que � = �(�) = >� + � Para determinar los valores de > y �, debemos tener en cuenta que si en 1995 (es decir, � = 0) hubo 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces reemplazando en la ecuación,

tenemos que

35 = > ∗ 0 + �

35 = �

Además, en el año 2000 (es decir, � = 5) hubo 33 nacimientos por cada 1.000 habitantes,

entonces reemplazando en la ecuación, tenemos que

33 = > ∗ 5 + 35

−2 = > ∗ 5

− 25 = >

Con esto, tenemos que � = �(�) = − 25 � + 35 b) Dado que � = �(�) = − '! � + 35 reemplazando � = 20, tenemos que

� = − 25 ∗ 20 + 35 = −8 + 35 = 27 Así, la natalidad para el año 2015 será de 27 personas por cada 1.000 habitantes ∎

17. Resuelva la siguiente ecuación 2� # ∗ 3�4! = 6 Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que

log(2� # ∗ 3�4!) = log 6 log(2� #) + log(3�4!) = log 6

(& + 1) log 2 + (& − 5) log 3 = log 6


15

& log 2 + log2 + &log3 − 5 log3 = log6 & log 2 + &log3 = log6 + 5 log3 − log2 &(log 2 + log 3) = log6 + 5 log3 − log 2 & = log 2 + log3log 6 + 5 log 3 − log 2 = log6log 14582 = log 6log 729

Lo que resuelve el ejercicio ∎

18. Resuelvalasiguienteecuación logG(& + 1) + logG(&) = 12

Solución: En primer lugar debemos notar que tenemos dos restricciones, debido al dominio de

la función logaritmo:

• & + 1 > 0 • & > 0 Intersectando ambas condiciones, llegamos a que & > 0. De encontrar una solución, debe

entonces, ser positiva.

logG(& + 1) + logG(&) = 12 logG\(& + 1)(&)] = 12

(& + 1)(&) = 4#' &' + & = 2 &' + & − 2 = 0

Lo que nos da una ecuación cuadrática, cuyas raíces son &# = 1 y &' = −2. En vista de que & > 0, tenemos que la solución a nuestra ecuación es & = 1 ∎

19. SeanA,� > 0.Sic = A(1 + r)�,demuestreque� = �� 4��(# �) .Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que



log ? = logA(1 + �)� log ? = log� + log(1 + �)�

log ? − log � = � log(1 + �)/:log(1 + �) log c − log Alog(1 + �) = �

Con lo que se tiene la igualdad. ∎

20. Una Isapre calcula que el número de sus afiliados �(w) , después de t años, está dada por : �(w) = 100.000(0,04)�,!� a) ¿Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre? b) ¿Cuántos afiliados tendrá después de 3 años? c) ¿Al cabo de cuántos años habrán 30.000 afiliados? Solución: a) A(0) = 100.000 b) A(3) = 100.000(0,04)�,!∗5 = 100.000(0,04)#,! ≈ 25.298 c) Para esto, resolvemos la ecuación

30.000 = 100.000(0,04)�,!�/: 100.000 0,3 = (0,04)�,!� Aplicando logaritmo, tenemos

log 0,3 = 0,5w log(0,04) log 0,3log 0,04 = 0,5w/: 0,5

0,324 ≈ w ∎


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21. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardíaca en adultos y se obtuvo los siguientes resultados

Dosis administrada en mg 0,5 0,75 1 1,25 Disminución frecuencia cardíaca (latidos por minuto) 9,05 10,075 11,1 12,125

Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine

a) La función que representa el problema b) Interprete la pendiente de la recta en términos de la tasa de cambio c) Si se administran 2 mg, ¿Cuál es la disminución en la frecuencia cardíaca? d) ¿Para qué dosis la frecuencia cardíaca disminuye en 10 latidos por minuto?

Solución:

a) Denotemos por F a la frecuencia cardíaca, la cual depende linealmente de la cantidad de

medicamento en milígramos, que denotaremos por C. De este modo, tenemos la

siguiente relación T = T(t) = >t + �

Además la pendiente de esta recta será > = #�,�F!4�,�!�,F!4�,! = #,�'!�,'! = 4,1. Para calcular el valor

de �, usando la tabla vemos que, por ejemplo

9,05 = 4,1 ∗ 0,5 + � 7 = �

De este modo, T(t) = 4,1t + 7

b) El valor de la pendiente se interpreta del siguiente modo: por 1 mg de medicamento,

hay una disminución en la frecuencia cardíaca de 4,5 latidos por minuto.

c) T(2) = 4,1 ∗ 2 + 7 = 15,2 d) 10 = 4,1 ∗ t + 7. Luego, t = 0, 73170�� ∎



EJERCICIOS PROPUESTOS A. Dada las siguientes funciones, calcule los valores indicados

• c(2), c(1), c(0), si c(&) = �� #� 5 • ℎ �#'� , ℎ(−1), ℎ(#5), si ℎ(&) = (5&5 + &' + #F)' • { �#G� , {(7), {(−7) , si {(&) =

�� &G + 5, ¡ & ≤ 0

√�� # , ¡ 0 s & s 7##� , ¡ & > 7

¢

B. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de acuerdo a �(&) = −(& − 2)' + 1 donde &, representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica. a) Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva. b) ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima? c) Realice la gráfica de la función e interprete en el contexto del problema.

C. Graficar la función c(&) = 5&' + 6& − 3, indicando su vértice, zona de crecimiento y decrecimiento, cortes con el eje X e Y, si es posible. D. Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 3& + 2m − 1 = 0 y pasa por el punto (−1, '5 ). Grafique esta recta.


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E. Determine cuál de las siguientes parábolas corta al eje X. Fundamente su respuesta a) m = &' + 9& + 18 b) m = −&' − 8& + 20 c) m = &' − 15& + 54 d) m = 2&' + 8& + 7 e) Todas cortan al eje ¦ F. Resuelva la ecuación log'(7& − 1) − log'(3& + 5) = 1. G. El valor de reventa V de un equipo radiográfico se comporta de acuerdo a la ecuación V = 750.000e4�,�!¨, en que t son los transcurridos desde el momento de la compra. a) ¿Cuál es el valor original del equipo radiográfico? b) ¿Cuál es el valor esperado de reventa, después de 5 años? c) ¿Después de cuántos años el valor de reventa será de $250.000? H. Encuentre el valor numérico de

n�� #' + log5 127 + log! √125 − logF ª 1343«

I. Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el número de estudiantes infectados después de t días, se pronostica por �(w) = 30001 + 2999n4�,X�!� ¿En qué período de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?



LIMITES

22. Determine el valor de los siguientes límites: a) lim�→# √�4#�4# Solución:

lim�→# √& − 1& − 1 = lim�→# √& − 1& − 1 ∗ √& + 1√& + 1 = lim�→# & − 1(& − 1)¬√& + 1 = lim�→# 1√& + 1 = 12 b) lim�→X √�« 4'�4X Solución:

lim�→X √&« − 2& − 8 = lim�→X ®√&« − 2& − 8 ∗ √&'« + 2√&« + 4√&'« + 2√&« + 4¯ = lim�→X & − 8(& − 8) ∗ (√&'« + 2√&« + 4) = lim�→X 1√&'« + 2√&« + 4 = 112

c) lim�→45 ��4�4#'�� G� 5 Solución:

lim�→45 &' − & − 12&' + 4& + 3 = lim�→45 (& − 4)(& + 3)(& + 1)(& + 3) = lim�→45 & + 4& + 1 = − 12

d) lim�→41 √� 542�241

Solución:

lim�→4# √& + 5 − 2&' − 1 = lim�→4# ®√& + 5 − 2&' − 1 ∗ √& + 5 + 2√& + 5 + 2¯ = lim�→4# & + 5 − 4(& − 1)(& + 1)¬√& + 5 + 2 = = lim�→4# & + 1(& − 1)(& + 1)¬√& + 5 + 2 = lim�→4# 1(& − 1)¬√& + 5 + 2 = − 18 ∎


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23. Suponga que el tamaño de una población en el instante w es �(w) = ;w� + w , w ≥ 0

Siendo ; y � constantes positivas. Suponga que el tamaño límite de la población es lim�→± �(w) = 1,24 × 10"

y que en el instante w = 5, el tamaño de la población es la mitad del tamaño límite. Utilice la información anterior para determinar el valor de las constantes ; y �. Solución: 1,24 × 10" = lim�→± �(w) = lim�→± ;w� + w = lim�→± ;�w + 1 = ; Por lo que 1,24 × 10" = ;. Además, sabemos que �(5) = 1,24×106

' = 0,62 × 10". Es decir,

25� + 5 = 0,62 × 10" 250,62 × 10" = � + 5 4,032258065 × 104! = � + 5 5 ≈ � ∎ 24. Determine la existencia de lim�→# c(&), donde c(&) = ³|�4#| G4'��4#


c(&) =��√1 − & + 4 − 2&' − 1 , ¡ & s 1

√& − 1 + 4 − 2&' − 1 , ¡ & > 1¢

Analizando los límites laterales, tenemos



lim�→#µ c(&) = lim�→#µ √1 − & + 4 − 2&' − 1 = lim�→#µ ®√1 − & + 4 − 2&' − 1 ∗ √1 − & + 4 + 2√1 − & + 4 + 2¯ = lim�→#µ (1 − & + 4 − 4)(& + 1)(& − 1)(√1 − & + 4 + 2 = lim�→#µ 1 − &(& + 1)(& − 1)(√1 − & + 4 + 2 = lim�→#µ −(& − 1)(& + 1)(& − 1)(√1 − & + 4 + 2 = lim�→#µ −1(& + 1)(√1 − & + 4 + 2 = − 18 Mientras que

lim�→#¶ c(&) = lim�→#¶ √& − 1 + 4 − 2&' − 1 = lim�→ ®√& − 1 + 4 − 2&' − 1 ∗ √& − 1 + 4 + 2√& − 1 + 4 + 2¯ = lim�→#µ (& − 1 + 4 − 4)(& + 1)(& − 1)(√& − 1 + 4 + 2 lim�→#¶ & − 1(& + 1)(& − 1)(√& − 1 + 4 + 2 = lim�→#¶ 1(& + 1)(√& − 1 + 4 + 2) = 18 En vista de que los límites laterales son distintos, lim�→# c(&) no existe ∎


23


Calcule el valor de los siguientes límites (si es que existen) A. lim�→� |�|� B. lim�→'F √�« 45�4'F C. lim�→± √& + 1 − √& D. lim�→± �· �� '�¸� 5�¹ # E. lim�→# c(&), donde c(&) = º ��4#�4# , ¡ & s 1

√&« + & + 2, ¡ & > 1¢

F. lim�→� �#4√#4�



CONTINUIDAD

25. Considere la función c(&) =

��

&' − & + 1, & ≤ 5√& − 1 − √9 − && − 5 , 5 s & ≤ 9

&' − 11& + 18& − 9 , & > 9¢

Estudie la continuidad en j de c. Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos & = 5 y & = 9, en vista de que en el

resto de los puntos, la función es continua.

• Continuidad en & = 5: Haciendo uso de límites laterales, tenemos que lim�→!µ c(&) = lim�→!µ &' − & + 1 = 25 − 5 + 1 = 21

Mientras que

lim�→!¶ c(&) = lim�→!¶ √& − 1 − √9 − && − 5 = lim�→!¶ ®√& − 1 − √9 − && − 5 ∗ √& − 1 + √9 − &√& − 1 + √9 − &¯ =

lim�→!¶ (& − 1) − (9 − &)(& − 5)¬√& − 1 + √9 − & = lim�→!¶ 2& − 10(& − 5)¬√& − 1 + √9 − & = lim�→!¶ 2(& − 5)(& − 5)¬√& − 1 + √9 − & =

lim�→!¶ 2¬√& − 1 + √9 − & = 22 + 2 = 12

En vista que los límites laterales son distintos, lim�→! c(&) no existe y por lo tanto, c no es

continua en & = 5.

• Continuidad en & = 9: Nuevamente, haciendo uso de los límites laterales, tenemos que

lim�→�µ c(&) = lim�→�µ √& − 1 − √9 − && − 5 = √84 = √22


25

Por otro lado,

lim�→�¶ c(&) = lim�→�¶ &' − 11& + 18& − 9 = lim�→�¶ (& − 9)(& − 2)& − 9 = lim�→�¶ & − 2 = 7

En vista que los límites laterales son distintos, lim�→� c(&) no existe y por lo tanto, c no es

continua en & = 9 ∎

26. Dada la siguiente función {(&) =

�� &5 − ;5& − ; , ¡ & > 1

√&« − √;«& − ; , ¡ & s 1¢

Defina { de modo que sea continua en & = 1. Solución: Debemos definir el valor de {(1) para que la función sea continua en x = 1. Para esto, se debe cumplir que {(1) = lim�→#µ {(&) = lim�→#¶ {(&) Ahora bien,

• lim�→#µ {(&) = lim�→#µ √�« 4 √E«�4E = lim�→#µ p √�« 4 √E«�4E ∗ √��« √�« √E« √E�«√��« √�« √E« √E�« q = lim�→#µ �4E(�4E)� √��« √�« √E« √E�« � =

= lim�→#µ 1√&'« + √&« √;« + √;'« = 11 + √;« + √;'«

• lim�→#¶ {(&) = lim�→#¶ �«4E«�4E = 1 + ; + ;' Luego, necesitamos que5 11 + √;« + √;'« = 1 + ; + ;' (1 + ; + ;') �1 + √;« + ³;'« � = 1

1 + √;« + ³;'« + ; + ; √;« + ; ³;'« + ;' + ;' √;« + ;' ³;'« = 1 ³;'« + ; + ; √;« + ; ³;'« + ;' + ;' √;« + ;' ³;'« = 0

5 El lector observador se dará cuenta que ; = 0 es una solución inmediata de la ecuación, sin la necesidad

de hacer mayores cálculos.



√;« �√;« + ³;'« + ; + ;√;« + ³;G« + ;' + ;'√;« � = 0 Entonces, uno puede ver que una solución a esta ecuación debe cumplir que √;« = 0, es decir, ; = 0. Con esto, la función

{(&) =��&5 − 1& − 1 , si& > 11, ¡& = 1√&« − 1& − 1 , si& < 1

¢

Es continua en & = 1∎

27. Calculeelvalordelim�→±ª; + && − ;

Solución: Por continuidad de la función raíz, tenemos que

lim»→±ª; + && − ; = ª lim�→± ; + && − ; = ¼ lim�→± ;& + 11 − ;& = ª lim�→±11 = 1∎28. Dadalafunción

ℎ(&) = º&' − 4& + 3& − 3 , ¡& ≠ 35, ¡& = 3 ¢

Determinesilafunciónℎescontinuaen& = 3.Solución: Para que la función sea continua en & = 3, debe de ocurrir que lim�→5ℎ(&) = ℎ(3) = 5Ahora bien, tenemos que lim�→5 ℎ(&)=lim�→5 &2−4&+3&−3 = lim�→5 (�4#)�45)�45 = lim�→5(& − 1) = 2 ≠ 5

Por lo tanto, ℎno es continua en & = 5 ∎


27


A. Considere la función c(&) =

�� √& − 1& − 1 , ¡ 0 s & s 1

; , ¡ & = 112 &5 + & − 1, ¡ & > 1

¢ Determine el valor de ; para que la función sea continua en & = 1 B. Dada la función

{(&) = ��& + &'|&| , ¡ & ≠ 0

0, ¡ & = 0¢

Determine si { es o no continua en & = 0.



DERIVADAS

29. Dada la función c(&) = √& , encuentre el valor de c´(2) mediante su definición. Solución: Tenemos que

c´(2) = lim�→' c(&) − c(2)& − 2 = lim�→' √& − √2& − 2= lim�→' ®√& − √2& − 2 ∗ √& + √2√& + √2¯ = lim�→' & − 2(& − 2)¬√& + √2 = lim�→' 1√& + √2 = 12√2 ∎ 30. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la función c(&) = √& , en el punto (2,1)

Solución: Recordemos lo siguiente

Ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto (?, c(?))

j�: m − c(?) = c´(?)(& − ?) Ecuación de la recta normal a una función f(x) en el punto (?, c(?))

j�: m − c(?) = − 1c´(?) (& − ?) Con esto, por el ejercicio anterior, tenemos que c´(2) = #'√'. Luego,

j�: m − c(2) = c´(2)(& − 2)


29

m − √2 = 12√2 (& − 2) m = 12√2 & − 1√2 + √2

Mientras que j�:m − c(2) = − 1c´(2) (& − 2) m − √2 = −2√2(& − 2)

m = −2√2& + 5√2 ∎

31. Encuentreladerivadadelafunciónℎ(&) = n� # ∗ ln(3&' + 2)Solución: Haciendo uso de la fórmula del producto y de la regla de la cadena, tenemos que

ℎ´(&) = e� # ∗ ln(3&' + 2) + | "�5�� 'v e� #∎32. Calculeunpolinomiodesegundogrado¾(&) = ;&' + <& + ?,con¾(−1) = 6, ¾´(1) = 8, ¾´´(0) = 4.Solución: Tenemos que

• ¾´(&) = 2;& + < → 8 = ¾´(1) = 2; + < • ¾´´(&) = 2; → 4 = ¾´´(0) = 2; → 2 = ;. • 6 = ¾(−1) = ; − < + ?. (*)

Con toda esta información, tenemos que < = 4 y así, en (*) tenemos que ? = 8. De esta forma, el

polinomio buscado es ¾(&) = 2&' + 4& + 8 ∎

33. Unbiólogorealizóunexperimentosobrelacantidaddeindividuosenunapoblacióndeparameciumenunmedionutritivoyobtuvoelmodelo {(w) = ln(w' − 2w + 5)dondewsemideendíasy{(w)eselnúmerodeindividuosenelcultivo.Hallarladerivadadelafunción{.



Solución: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que

{´(w) = '�4'¨�4'� ! ∎

34. Un equipo de investigación médica determina que w días después del inicio de una epidemia �(w) = 10w5 + 5w + √w personas estarán infectadas. ¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día?


�´(w) = g�gw = 30w' + 5 + 12√w En w = 9 se tiene que

f¿f� ≈ 2435, 16. Esto significa que pasados 9 días la población de

bacterias está aumentando a una razón aproximada de 2435, 16 por día. ∎ 35. Sea c(&) = &' + ;& + <. Hallar los valores de ; y < tales que la recta m = 2& sea tangente a la gráfica de c en el punto de coordenadas (2, 4).

Solución: Como la recta m = 2& tiene pendiente igual a 2, entonces necesitamos que c´(2) = 2, es decir

4 + ; = 2 → ; = −2

Además, como el punto (2,4) pertenece a la gráfica de la función, tenemos que

4 = c(2) = 4 − 4 + < → < = 4 ∎ 36. Hallar los extremos relativos, zonas de crecimiento, decrecimiento, convexidad y concavidad de la función c(&) = ln(&' + & + 1) Solución: En primer lugar, hi>c = j puesto que &' + & + 1 > 0 para todo número real, ya que su

discriminante es negativo y el coeficiente que acompaña a &' es positivo. Ahora, buscamos los

puntos críticos:

c´(&) = 2& + 1&' + & + 1 = 0 ↔ 2& + 1 = 0 ↔ & = − 12

Además, tenemos que c´(&) > 0 si y solamente si & > − #' por lo que la función es creciente en el

intervalo v− #' , ∞|. Análogamente, la función es decreciente en el intervalo v−∞, − #'|. Derivando

nuevamente, tenemos que


31

c´´(&) = 2(&' + & + 1) − (2& + 1)'(&' + & + 1)' = 2&' + 2& + 2 − 4&' − 4& − 1(&' + & + 1)' = −2&' − 2& + 1(&' + & + 1)'

Luego, c´´(&) > 0 ↔ −2&' − 2& + 1 > 0 ↔ 2&' + 2& − 1 < 0 ↔ 2�& − 4' √#'G � �& − 4'4√#'G � < 0 ↔ ®& − −1 + √32 ¯®& − −1 − √32 ¯ < 0 ↔ & ∈ Á−1 − √32 ,−1 + √32 Â

Por lo que la función es convexa en el intervalo v4#4√5' , 4# √5' | y así, cóncava en j − v4#4√5' , 4# √5' | Notemos que los puntos de inflexión son &# = 4#4√5' y &' = 4# √5' , pues en estos puntos,

c´´(&) = 0∎




A. Derive la función c(&) = (4& + 3&')5'+√n� + & (Ayuda: Use la fórmula de la suma de funciones, junto con la regla de la cadena) B. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función {(&) = √n� + & en el punto (0,1). C. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función c(&) = �� #5� ! + ln & en el punto (1, 5X) D. Derive la función c(&) = (4&' + 7)! ln(7 + & + &X). (Ayuda: Use la fórmula del producto de funciones, junto con la regla de la cadena) E. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la función U(w) = 500 p1 + 4w50 + w'q donde w se mide en horas. Hallar a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos. F. Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalos en donde es creciente y decreciente, los intervalos en donde es cóncava y convexa, los puntos en donde alcanza sus máximos y mínimos locales y un bosquejo de la gráfica. • c(&) = &5 − 3& + 3 • c(&) = &G − 32& + 48 • c(&) = &�« • c(&) = &' + '�

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