ejercicios resueltos de integrales dobles

1. Calcular

1

2 2 24D

dx dy

x y , donde D es el recinto dado por 2 2 2 0x y x

SOLUCIÓN:

Si transformamos a coordenadas polares:

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2

2

1 1

x y r

x y x

r rCos

x y x

x y

Donde los limites son:

0 2 os2 2

r C

; dA rdrd

2

22 22

1 22 2 20

2 2 0

444

CosCos

D

dA rdrI r d

rx y

2 22 2

2 2

4 4 2 2 2 1I Cos d Cos d

2

2 2

2

2

2 2 1 2 2I Cos d Cos

2 2 2 2 0 0 22 2 2 2

I Cos Cos

2. Calcular 2 2x y

D

e dxdy

,donde D es la región acotada por la circunferencia

2 2 1x y y 2 2 9x y

SOLUCIÓN:


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

9 9 3

x y r x y r r

x y r x y r r

De donde los limites son:

1 3 0 2r ; dA rdrd

2 2 2 2

32 3 229 1 8 8

0

0 1 0 1

1 1 11 2 1

2 2 2

x y r r

D

I e dA e rdrd e d e e e e e e

8 1I e e

3. Calcular la integral doble

2 2

22 2

D

x y dx dy

x y , donde D es el anillo 2 21 4x y


2 2 2

2 2

2

1 4

1 4

1 2

x y r

x y

r

r


1 2 0 2r ; dA rdrd

2 22 2

2 2

2 20 12 2 2D

rCos rSen rdrx y dx dyI

x y r

22

2 2 22 2

0 1 0

1

1 2 1 2

2 2 2

Cos Cos rI Cos Sen rdrd d

2

2 22

0 0

0

1 4 4 3 23 3 3 32

8 8 2 16 4 16 8

Cos SenI Sen d d


2 2

2 21

D

x ydxdy

a b 0a , 0b , donde D es la

región limitada por la elipse 2 2

2 21

x y

a b

SOLUCION:


x raCos ; 2 2 2 2 2 2

2 21 1

r a Cos r b Seny rbSen r

a b


0 1 0 2r ; dA abrdrd

2 2 2 2 2 2

2

2 21 1

D D

r a Cos r b SenI abrdrd ab r rdrd

a b

13 2 22

2

00

0

1 1 20 2

3 3 3 3

r ab abI ab d ab


D

xy dxdy , donde D es un dominio limitado por la

elipse 2 2

2 21

x y

a b y situado en el primer cuadrante.


x raCos ; 2 2 2 2 2 2

2 21 1


a b



2 2

2 2 3 3( ) 22

D D D

a bI raCos rbSen abrdrd a b r Sen Cos drd r Sen drd

2

2 2 2 2 2 2124

0 00

2 2 4 08 16 16

a b a b a bI r Sen d Cos Cos Cos

2 2 2 2

1 116 8

a b a bI

6. Calcular la integral doble 2 2

2 24

D

dxdy

x y

a b

0a , 0b , donde D es la región

limitada por la elipse 2 2

2 21

x y

a b


x raCos ; 2 2 2 2 2 2

2 21 1


a b



2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 24 4

D D

dxdy abrdrdI

x y r a Cos r b Sen

a b a b

122

2 02 2 2 0

444D D

rdrd rdrdI ab ab ab r d

rr Cos Sen

2

0

5 2 2 5 2I ab ab

7. Calcular la integral doble 2 2

D

xydxdy

x y , donde D es el disco acotado por

2 2

2 21

x y

a b


x raCos ; 2 2 2 2 2 2

2 21 1


a b



3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2D D D

xy dxdy rCos rSen abrdrd r Cos Sen drdI ab

x y a r Cos b r Sen r a Cos b Sen

13

2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0

0

33

r Cos Sen d Cos Sen dabI ab

a Cos b Sen a Cos b Sen

1

2 2 2 2 203

Cos Sen dabI

a a Sen b Sen

2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 22

0

( ) ( )3 3

ab abI a b a Sen a b a Sen

b a b a

32

22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 23

2

( ) ( )3 3

ab aba b b a Sen a b a Sen

b a b a

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 23 3

ab abI a b a a a a b a

b a b a

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 23 3

ab aba b a a a a b a

b a b a

2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3

ab ab ab abI b a a b b a a b

b a b a b a b a

4 4

3 3

ab b a abI

b a b a b a

8. Calcular 2 2 2

D

a x y dxdy , donde D es la región limitada por la hoja de

Lemniscata 2

2 2 2 2 2x y a x y , 0x

Grafiquemos y transformamos a coordenadas polares:

2

2 2 2 2 2x y a x y ;

0 x a ; x rCos ;

y rSen ; 2 2 2r x y

22 24

04

a Cos

I a r rdrd

cos 2

3 32

4 42 2 2 2 32

4 40

1 12

3 3

a

I a r d a a Cos a d

3 3

4 2

4

1 2 13

aI Cos d

43 3

4

2 23 3

a CosI Cos

3 16 2 20

3 3 9

aI

9. Calcular 2 2

2 2

0 0

a a x

x y dydx

Transformamos a coordenadas polares.

2 2y a x ; 0 x a ; x rCos ; y rSen ; 2 2 2r x y

0 0 2r a

23 3 3

2 22

0 0 00 0

3 3 6

aa r a a

I r rdrd d

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