6

FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS

6.1 Se considera la forma bilineal:

→2x2x2x2 MM:f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Brazat·ATrazaA·Brazat·2B,AfB,A −=→ .

a) Estudiar si la forma bilineal f es simétrica (SIN CALCULAR LA MATRIZ).

b) Hallar la matriz de la forma bilineal f.

(Enero 1998)

Resolución

a) Hay que comprobar si ( ) ( )A , BfB , Af = ∀A,B ∈M2x2. Teniendo en cuenta que

( ) ( ) ( )Btraza · AtrazaBAtraza2)B , A(f −⋅=

( ) ( ) ( )Atraza · BtrazaA Btraza2)A , B(f −⋅=

De donde se deduce que ( ) ( )A , BfB , Af = ( ) ( )A BtrazaB Atraza ⋅=⋅⇔ .

Sean A=

dcba

, B=

tzyx

∈M2x2, entonces

dtcydzcxbtaybzax

tzyx

dcba

B·A

++++

=

= ⇒ ( ) dtcybzaxB Atraza +++=

++++

=

=

tdzbtczaydxbycxa

dcba

tzyx

A·B ⇒ ( ) tdzbyaxaA Btraza +++=

como la ( ) ( )ABtrazaBAtraza ⋅=⋅ , la forma bilineal es simétrica.

b) Matriz de la forma bilineal en la base usual de M2x2,

=

=

=

==

1000

, 0100

,0010

,0001

B 4321 eeee ,

( )( )( )( ) 1f

0f0f1f

−====

41

31

21

11

e , ee , ee , ee , e

( )( )( ) 0f

2f0f

===

4 2

32

22

e ,ee , ee , e

( )( )( ) 1f

0f0 , f

===

44

43

33

e , ee , eee

−

−

=

1001002002001001

A

■

6.2 Dada la forma cuadrática:

ϕ : 3→

(x y z)t→ ϕ [(x y z)] = 2x2 + y2 + z2 + 2 a·y·z

a) Hallar la matriz A asociada a ϕ .

b) Indicar para qué valores de a, ϕ es definida positiva.

c) Para a = 3, diagonalizar ortogonalmente la forma cuadrática, calculando la matriz de paso correspondiente, e indicando la relación entre A y la matriz diagonal resultante.

(Septiembre 1998)

Resolución:

a) ( )[ ] ( )

=+++=ϕ

zyx

1a0a10002

zyxz·y·a2zyx2zyx 222t ,

de donde se deduce que la matriz de la forma cuadrática es

=

1a0a10002

A

b) Cálculo de los valores propios:

( )[ ]22 a21 201a0

a10002

0IA −λ+λ−λ−==λ−

λ−λ−

⇔=λ−

a12

a44420a122

22 ±=+−±

=λ⇒=−+λ−λ

De donde los valores propios de A son :

<⇔>−=λ−>⇔>+=λ

>=λ

1a0a11a0a1

02

3

2

1

Para que todos los valores propios sean positivos, y por lo tanto que ϕ sea definida positiva, -1< a <1.

c) Si

−=λ=λ=λ

⇒

=⇒=

242

130310002

A3a

3

2

1

,

para diagonalizar ortogonalmente se necesita una base ortonormal de vectores propios:

•

==⇒

=−−=+−

=

−−=λ

001

vB 0zy30z3y

,000

zyx

130

310000

:2 )2(1 1u

•

==⇒

==

=

−−

−=λ

110

vB zy0x

,000

zyx

330

330002

: 4 (4)2 2u

•

−==⇒

−==

=

−=λ

110

vB zy

0x,

000

zyx

330330004

: 2 (-2)3 3u

Los vectores

1-10

, 110

, 001

constituyen una base proipia ortogonal al ser

vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, pero se necesita una base ortonormada y como

1=1u 2=2u 2=3u

se obtiene la base

=

21-

210

,

21

210

, 001

*B

que es una base ortonormal de vectores propios, en esta base la nueva matriz de la forma cuadrática es:

−=

200040002

D

La matriz de paso de la base inicial a B* es :

−

=

21

210

21

210

001P

cumpliéndose D = Pt ·A·P (Semejanza ortogonal). ■

6.3 Dada la forma: q((x1 x2 x3)t) = ax12 + ax2

2 + ax32 + 6x1·x2 + 8x1·x3.

Clasificarla para los distintos valores del parámetro ∈a e indicar su signatura.

(Enero 1999)

Resolución:

a) Clasificación con el método de los valores propios:

0a04

0-a343-a

0IA =λ−

λλ

⇔=λ− ⇔

( ) ( ) [ ] ( )[ ]( ) 0a25aa9a16a 23 =λ−−λ−=λ−−λ−−λ−

a1 =λ ; ( ) 025a 2 =−λ− 5a ±=λ−

5a2 −=λ

5a3 +=λ

De donde se deduce que:

• Si 5a −< ⇒ 0 0 0 321 <λ∧<λ∧<λ ⇒ Definida negativa S = (0, 3).

• Si 5a −= ⇒ 0 0 0 321 =λ∧<λ∧<λ ⇒ Semid. negativa S = (0, 2).

• Si 0a5 <<− ⇒ 0 0 0 321 >λ∧<λ∧<λ ⇒ Indefinida S = (1, 2).

• Si 0a = ⇒ 0 0 0 321 >λ∧<λ∧=λ ⇒ Indefinida S = (1, 1).

• Si 5a0 << ⇒ 0 0 0 321 >λ∧<λ∧>λ ⇒ Indefinida S = (2, 1).

• Si 5a = ⇒ 0 0 0 321 >λ∧=λ∧>λ ⇒ Semid. positiva S = (2, 0).

• Si 5a > ⇒ 0 0 0 321 >λ∧>λ∧>λ ⇒ Definida positiva S = (3, 0).

Lo cual se puede resumir gráficamente mediante el siguiente cuadro:

-5 50

Def. negativa Indefinida Indefinida Def. positiva

Semidef. negativa Semidef. positivaIndefinida

-5 50

Def. negativa Indefinida Indefinida Def. positiva

Semidef. negativa Semidef. positivaIndefinida ■

6.4 Diagonalizar ortogonalmente la forma cuadrátrica

( ) xxx At=ϕ , siendo

=

300021012

A

Clasificar ϕ .

(Enero 1999)

Resolución

Vectores y valores propios de la matriz A:

( )[ ]144 3300

021012

IA 2 −+λ−λλ−=λ−

λ−λ−

=λ−

13

2

12164=

−±=λ

2m ,31m ,1

2

1

==λ==λ

• Para 11 =λ

==+

⇒

=

0x0xx

000

xxx

200011011

3

21

3

2

1

⇒

−==01

1span)1(V 1u

• Para 32 =λ

12

3

2

1

xx000

xxx

000011011

=⇒

=

−

− ⇒

=

==

100

, 011

span)3(V 32 uu

B = {u1, u2, u3} es una base propia ortogonal, siendo

1 2 2 === 321 uuu

de donde

100

,

02

12

1

,

02

12

1

'B

=

=

−== 321 vvv

es una base de propia ortonormada en la que la matriz asociada a ϕ es

=

300030001

D , siendo

PAPPAPD t1 == − ,

donde

−=

100

02

12

1

02

12

1

P que es una matriz ortogonal. ϕ es definida positiva

ya que todos sus autovalores son mayores estrictamente que 0. ■

6.5 Sea la forma cuadrática ϕ : 3→ tal que la matriz asociada a ϕ en la base usual tiene como vectores propios u = (0 1 0)t, v = (1 1 -1)t, w = (1 0 1)t asociados respectivamente a los autovalores 2 (doble) y 1. Se pide:

a) Diagonalizar ϕ por el método de valores propios obteniendo la base correspondiente.

b) Clasificar ϕ . Signatura de ϕ .

c) Expresión matricial de ϕ en la base usual.

(Enero 2000)

Resolución:

a) La matriz de ϕ en la base B*, base de propia ortonormada, es

=

100020002

D

La base

=

−=

==

101

,1

11

,010

'B wvu es propia pero no ortonorma,ya

que u y v no son ortogonales (proceden de un mismo valor propio 2=λ ). Utilizando Gran-Schmidt para ortogonalizarlos:

==

010

uu'

λ+=

λ+

−=λ+=

1-1

1

0

0

111

u'vv'

−=⇒−=λ⇔=λ+⇔=⟩⟨

101

1010 v'v', u' .

Como 2y2,1 === w'v'u' , se toman

==

−==

==

210

21

,

210

21

,010

w'w'w*

v'v'v*

u'u'u* ,

con lo que la base de propia ortonormada B* es

=

−=

==

210

21

,

210

21

, 010

*B w*v*u*

b) Como 010202 321 >=λ∧>=λ∧>=λ la forma cuadrática es definida positiva, y su signatura es (3,0).

c) Como P APD t= , siendo

−=

21

210

0012

12

10

P . Además P es ortogonal

(Pt = P-1), se obtiene

D = P-1 A P = Pt A P ⇒ A = P D Pt ⇒

=

−

−=

103-0403-01

21

210

21

210

21

010

1-00020002

21

210

0012

12

10

A

La expresión matricial en la base usual es

( ) z·x3z21y2x

21

zyx

103-0403-01

21 zyx)x( 222 −++=

=ϕ .

■

6.6 Consideremos la forma cuadrática sobre 3 dada por ( ) 21 x·x4x =ϕ , donde

( ) ∈= t321 x xxx 3.

a) Calcular la matriz de ϕ en la base canónica de 3 y la matriz de ϕ en la base

( )

=

−=

== t

tt

1,0,0,021

21,0

21

21B 321 uuu .

b) Siendo f la forma polar de ϕ , calcúlese ( )yx,f para ( )t022=x e ( )t200=y .

c) Diagonalizar ϕ con el método de los autovalores, hallando la base en la que la matriz de la forma cuadrática es diagonal, dando su expresión en dicha base y la matriz de cambio de base.

d) Clasificar ϕ . Signatura de ϕ .

(Septiembre 2000)

Resolución:

a) La expresión de la forma cuadrática ϕ en la base canónica es ( ) ·xx4 21=ϕ x , de donde se deduce que la matriz de la forma cuadrática ϕ y de su forma

polar f en la base canónica es

=

000002020

A1 . Teniendo en cuenta que la

relación existente entre matrices asociadas a la misma forma cuadrática en distintas bases es P A PA 1

t2 = , siendo A2 la matriz de ϕ en la base B y P la

matriz de paso de la base inicial a la base B, es decir

−=

100

021

21

021

21

P ,

de donde

=

−

−==

100

021

21

021

21

000002020

100

021

21

021

21

P A PA 1t

2

=

−=

−

−

000010001

100

021

21

021

21

000011011

que es la matriz de la forma cuadrática ϕ en la base B.

b) La forma polar f de la forma cuadrática ϕ es

( ) ( ) ( ) ( )[ ] =ϕ−ϕ−+ϕ= yxyxy ,x 21 f

= ( ) ( )[ ]21212211 yy4xx4yx yx421

−−++ = 1221 yx2yx2 + .

Otra forma de calcular la expresión de f es trabajando matricialmente:

( ) ( ) 21

3

2

1

321 ·xx4xxx

000002020

x xx =

=ϕ x ⇒

⇒ f ( ) ( ) 1221

3

2

1

321 ·yx2·yx2yyy

000002020

x xx +=

=y ,x

de donde se deduce que

f ( ) ( ) ( ) 0000

022200

000002020

022 =

=

=y ,x

esto indica que x e y son conjugados.

c) Para diagonalizar la forma cuadrática se calculan los valores y vectores

propios de la matriz

=

000002020

A1 .

( ) 04000

0202

0A 21 =−λλ−⇒=

λ−λ

λ−⇒=Ιλ− ,

de donde se deduce que los valores propios de la matriz son

2,2,0 321 −=λ=λ=λ .

Los correspondientes subespacios propios son

• ⇒

==

⇒

=

=λ

0x20x2

000

xxx

000002020

:01

2

3

2

1

1

⇒ ( ) ( ) 1y 100 siendo , 100

span 0V 1t

1 ==

= vv .

•

⇒=−

=+−⇒

=

−−

−=λ

0x20x2x2

000

xxx

200022022

:23

21

3

2

1

2

⇒ ( ) ( ) 2 y 011 siendo ,011

span 2V t ==

= 22 vv .

•

⇒=

=+⇒

=

−=λ

0x20x2x2

000

xxx

200022022

:23

21

3

2

1

3

( ) ( ) 2y 01-1 siendo ,01-1

span 2V t ==

=− 33 vv .

De donde se deduce que la base ortonormada buscada es

B’=

−=

=

=

02

12

1

,

02

12

1

,100

3

3

2

2

1

1

vv

vv

vv . La matriz de la forma

cuadrática en la base B’ es

−=

200020000

D

( ) ( ) 23

22

3

2

1

321 )x'(2)'x(2x'x'x'

200020000

x' x'x' −=

−=ϕ x ,

siendo la matriz de paso de la base inicial a la base B’

−=

0012

12

10

21

210

P

d) Como la matriz tiene valores propios positivos y negativos, la forma cuadrática es indefinida, siendo signatura (ϕ)= (1,1).Como el determinante de la matriz es cero, la forma cuadrática es degenerada.

■