Ejercicios propuestos

Soluciones de los ejercicios propuestos

1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales.

 a).-  

b).-  

c).-  

d).- 

 

a). – Solución

como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno

de los términos de las funciones, es decir si  

entonces 

por lo que para la función planteada en el ejercicio:

 

Recordando que la derivada de una función potencia   

es     y que en la derivada de una constante es cero tendremos

 es decir 

 b). – Solución

 Para este caso  

Distribuyendo la derivada tenemos:

 y utilizando directamente la fórmula para    la cual

es    :

 observamos que al derivar, por ejemplo,   

 obtenemos     por lo que :

 c). – Solución

 De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:

como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se

obtiene 

 

por lo tanto:

 

 d). – Solución

 

 

derivando cada término

Por lo que:

 

 2.- Obtener los siguientes problemas.

 a).- 

b).- 

c).- 

d).- 

 

Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:

 a).- Solución

   

 para obtener la solución tenemos dos caminos.

 1ero

en este caso si comparamos con la fórmula para derivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x2+1

derivando cada función obtendríamos:

 f´(x)=1

 y

g´(x)=2x

 sustituyendo en (A.1) tendríamos:

 

 simplificando:

 

 

2ada forma Como

 

ya que x2+1 nunca es cero, entonces:

podremos utilizar la fórmula:

 

 

donde  f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1

derivando cada función obtendríamos:

 

f´(x)=1

 y

sustituyendo en  A.2   obtenemos:

 

 

b).-Solución

  

 

aplicando la fórmula

tenemos:

 

 

del ejercicio anterior ya obtuvimos que:

 

y    entonces:

 

 

 

por lo tanto:

 

 c).- Solución

sustituyendo en la ecuación (A.1)

 

por lo tanto:

 d).- Solución

  

 aplicando la fórmula

tenemos:

 

 pero ya hemos calculado    del ejercicio a)

 

 

y la derivada de x3-x es:

 

 de lo que:

 

1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:

 

a).- 

b).-    

c).- 

d).- 

e).- 

 

 

a)      Solución

 

para la solución de estos problemas ocuparemos las siguientes fórmulas

 

 

utilizando C.5 y haciendo     tenemos

pero  

por lo que

 

simplificando

 

 

b)      Solución

 

utilizando C.5 y haciendo     tenemos:

 

utilizaremos la derivada de un cociente:

en este caso la f(x)= x2 cos x   y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)

por lo que solo falta calcular la derivada de  g(x)

sustituyendo en  la fórmula (B.2)

 

 

factorizando (2x+1)2 tendremos:

 

pero

 

por lo tanto:

 

finalmente al sustituir en b.1 tenemos:

 

 

 

c)      Solución

 

tomando, en la fórmula C.3, u=x y v=sen x

tenemos:

 

 

 

d)      Solución

 

aplicando directamente C.1 tenemos

 

 

e). solución

 

aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:

 

 

 

2.- Demuestre la fórmula 

 

 

como

 

 

 pero de la propiedad:

 

 

entonces 

derivando tenemos:

 

utilizando el hecho de que    y la derivada de un logaritmo natural tenemos:

simplificando, tenemos:

 

 

Derivadas trigonométricas

1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:

 

a).- 

b).-    

c).- 

d).- 

 

a)      Solución

 

 

aplicaremos la fórmula para derivar un producto de funciones:

 

tenemos:

 

pero:

 

por lo tanto:

 

 

 

b)      Solución

utilizaremos la derivada de un cociente:

en este caso la f(x)= x2 cos x   y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)

por lo que solo falta calcular la derivada de  g(x)

sustituyendo en  la fórmula (B.2)

 

 

factorizando (2x+1)2 tendremos:

 

pero

 

por lo tanto:

 

c)      Solución

 

 

haciendo u=csc 3x tenemos: 

 

aplicando la regla de la cadena

tenemos

 

 

pero v= csc 3x

 

recordando que

 

tenemos

sustituyendo en y´(x) tenemos:

 

d)      Solución

 

 

aplicando la fórmula (B.1) tenemos:

 

simplificando tenemos: