Ejercicios resueltos de automática

7/30/2019 Ejercicios resueltos de automtica

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Ejercicios resueltos de automtica - enunciado del ejercicio 1

Un sistema descrito por la ecuacin diferencial :

Es excitado por la seal x = 1+t. Determinar:

a) La respuesta transitoria del sistema

b) La respuesta estacionaria

c) La funcin ponderatriz

d) El amortiguamiento del sistema

e) La frecuencia natural de oscilacin.Respuesta al ejercicio 1

Las respuestas transitoria y estacionaria las obtenemos a partir de la resolucin de la

ecuacin diferencial. La solucin general de la ecuacin diferencial homognea nos da :

Una solucin particular de la completa la obtenemos por el mtodo de variacin de

constantes :

Tenemos as :

Derivando el resto nos queda :

y tenemos :

Con las ecuaciones (*) y (**) tenemos un sistema que nos dar los valores C 1 y C2.

Multiplicando (*) por 3 y sumndole

(**) resulta :


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Multiplicando (*) por 2 y sumndole (**) nos queda :

Podemos poner entonces :

Segn eso, la respuesta estacionaria valdr :

y la respuesta transitoria :

La funcin ponderatriz es la respuesta del sistema al impulso unitario aplicado en el

instante inicial. Para obtenerla consideramos :

La ecuacin caracterstica del sistema es :

s + 5s + 6 = 0 (s + 2)(s + 3) = 0

Puesto que tenemos dos raices reales distintas, el amortiguamiento del sistema ser

positivo y mayor que la unidad. Para calcularlo, junto con la frecuencia natural, por

teora sabemos que se tiene :


Sea el sistema de realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazoabierto es :


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Calcular :

a) los tres primeros coeficientes estticos de error.b) Los tres primeros coeficientes dinmicos de error.

c) El error estacionario del sistema al ser excitado por la seal x(t) = e-3t.Respuesta al ejercicio 2

Puesto que el sistema tiene realimentacin unitaria tendremos H(s) = 1, ysegn las definiciones podremos escribir :Coeficiente esttico de error de posicin

Coeficiente esttico de error de velocidad :

Coeficiente esttico de error de aceleracin

Para obtener los coeficientes dinmicos de error consideramos la funcin :

y a partir de ah tenemos :

El error estacionario del sistema vendr dado por :

donde representan los valores estacionarios de la excitacin yde sus derivadas. En nuestro caso, el valor estacionario de la excitacin y sus

derivadas es nulo por tenerse :


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As pues, el error estacionario ser nulo.


Obtener el lugar de las races de un sistema con funcin detransferencia :

y determinar el valor lmite de K para que sistema sea estable.Respuesta al ejercicio 3

En primer lugar escribimos la funcin de transferencia denotando suspolos y ceros :

1) Puesto que el nmero de ramas del lugar de las races es igual alnmero de polos de la funcin de transferencia en lazo abierto, para el

caso considerado tendremos 3 ramas.2) Los puntos del eje real, para K > 0, que pertenecen al lugar de las

races son < 0, pues cumplen que el nmero total de polos y ceros asu derecha es impar.

3) Los puntos de arranque son los polos de la funcin de transferencia

en lazo abierto, es decir : s = 0 ; s = - 2 + 2i ; s = - 2 2i . Como lafuncin de transferencia no tiene ceros finitos, los puntos de llegada est

en el infinito.4) El lugar de las races es simtrico respecto al eje real del plano s.

5) El nmero de asntotas es (n-m) = 3, don de n es el nmero de polosy m el de ceros. Los ngulos de estas asntotas con la parte positiva del

eje real son :

6) La interseccin de las tres asntotas tendr lugar sobre el eje real auna distancia dada por :

7) Los ngulos de salida de los polos complejos son :


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8) Los puntos de corte con el je imaginario los determinamos obteniendoprimero la ecuacin caracterstica del sistema :

y formando la tabla de Routh :

El valor crtico de K resulta de :

y por otro lado tenemos :

9) Puesto que no tenemos ceros finitos, en este caso no existen puntosde ruptura. Los valores lmites de K para los que el sistema sea estable

se obtienen sin dificultad a partir de los puntos de corte con el ejeimaginario, puesto que el caso desarrollado en dicho punto es

justamente la aplicacin del criterio de estabilidad de Routh. Por lo tanto,para que el sistema sea estable se deber cumplir 0 < K < 32, tal como

se deduce sin dificultad de la tabla.

El diagrama del lugar de las races puede dibujarse a partir de los datosobtenidos en los apartados anteriores.


La funcin de transferencia en lazo abierto de un sistema con

realimentacin unitaria viene dada por :

Determinar los valores de K que hacen al sistema estable.Respuesta al ejercicio 4

La funcin de transferencia del sistema en lazo cerrado, teniendo encuenta que la realimentacin es unitaria, ser :


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y la ecuacin caracterstica del sistema ser :

Para ver que valores de K hacen estable al sistema aplicamos el criteriode Routh. Sabemos que la condicin necesaria y suficiente para que un

sistema sea estable (para cualquier entrada acotada) es que suecuacin caracterstica posea todas sus races en el semiplano complejo

Re[s] < 0 y el criterio de Routh nos dice que esto es as si todos loscoeficientes de la tabla poseen el mismo signo. Veamos si ocurre esto :

Para que el sistema sea estable, los primeros coeficientes de la derechahan de ser todos positivos. Del coeficiente en s obtenemos :

Condicin mas restrictiva para K que la dada por el coeficiente en s .Del coeficiente en s resulta, despus de operar :

por simple inspeccin vemos que la raiz negativa nos da un valor de Kno interesante puesto que nos hace negativos otros coeficientes.

Tambin vemos que la raz positiva nos da un valor un valor aproximadopara K de K > 5020/99. As pues, los valores de K que hacen al sistema

estable sern los que cumplan :


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Sea el sistema (inicialmente en reposo) descrito por la ecuacin diferencial :

Determinar :

a) La funcin de transferencia del sistema.b) Las ecuaciones de estado

c) La respuesta del sistema al ser excitado por la seal u(t) = cos t.Respuesta al ejercicio 5

Para obtener la funcin de transferencia obtenemos la transformada de Laplacede la ecuacin que lo describe, ignorando los trminos debidos a las

condiciones iniciales.

Para obtener las ecuaciones de estado planteamos el sistema :

derivando

con lo que tendremos :

y de ese modo resulta el sistema :

La respuesta debido a la excitacin vendr por la transformada inversa deLaplace del producto de la transformada de la seal de excitacin por la funcin

de transferencia del sistema. Segn eso tendremos :


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Descomponiendo en fracciones simples tenemos :

y a partir de ah, tomando antitransformadas :


Determinar las condiciones que deben cumplir los parmetros b1, b2, c1 yc2 para que el sistema :

Sea observable pero no controlable.Respuesta al ejercicio 6

Se dice que un sistema es controlable o, respectivamente, observable si lasmatrices :

son, respectivamente, de rango completo (se dice que una matriz es de rangocompleto si su determinante es distinto de cero).

Para nuestro caso tendremos :


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As pues, para que el sistema sea observable pero no controlable se debercumplir :


Realizar la funcin de transferencia :

Respuesta al ejercicio 7Vamos a considerar el mtodo de descomposicin en cascada. Podemos poner

:

Y a partir de ah escribir ordenadamente :

Segn eso una representacin del sistema ser :


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Determinar mediante el lgebra de bloques la transmitancia del siguientediagrama :

Dibujar el diagrama de flujo equivalente del sistema y determinar denuevo la transmitancia por el mtodo de Mason.

Respuesta al ejercicio 8Para determinar la transmitancia mediante el lgebra de bloques vamos a

realizar los siguientes pasos :

1) Reducimos los bloques en cascada G1 y G2.2) Simplificamos los bloques en paralelo (eliminacin del lazo directo) G3 y

G4.3) Obtenemos la equivalencia del lazo sencillo de H1 con G1G2

Podemos as dibujar el sistema equivalente adjunto

Finalmente, slo tenemos que obtener la equivalencia del lazo sencilloresultante:


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El diagrama de bloques puede tambin ser representado como lo hacemos enel esquema siguiente :

De ese modo obtenemos sin dificultad el diagrama de flujo :

Para obtener la transmitancia por el mtodo de Mason o mtodo de laganancia, tenemos que las trayectorias directas con

sus transmitancias asociadas son:

M1 = 1.G1.G2.G3.1.1 = G1.G2.G3 ; M2 = 1.G1.G2.G4.1.1 = G1.G2.G4Los lazos que existen, con sus correspondientes transmitancias son:

L11 = G1.G2.H1 ; L21 = G1.G2.G3.1.(-H2) = -G1.G2.G3.H2 ; L31 = -G1.G2.G4.H2Para ningn caso tenemos lazos disjuntos dos a dos o ms, por lo que

resultar:

L12 = L22 = L32 = = 0 ; L13 = L23 = = 0 ; L14 = = 0De ese modo obtenemos para el valor :

Finalmente, vemos que todos los lazos tocan trayectorias directas, porconsiguiente, tendremos 1 = 1 ; 2 = 1 y el resultado final ser :

Y puede comprobarse que, evidentemente, se obtiene el mismo valor para latransmitancia por los dos mtodos empleados en su clculo.


Obtener la transmitancia del sistema representado por el diagrama de flujoadjunto:


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Respuesta al ejercicio 9Desarrollando el problema por la frmula de la ganancia, tenemos que las

trayectorias directas con sus transmitancias son:

M1 = t12.t23.t34.t45.t56 ; M2 = t12.t24.t45.t56Los lazos :

L11 = t23.t32 ; L21 = t24.t45.t52 ; L31 = t23.t34.t45.t52 ; L41 = t55

Los lazos disjuntos dos a dos :

L12 = t23.t32.t55No existen lazos disjuntos tres a tres o mas. Esto nos da para el valor :

= 1 - t23.t32 - t24.t45.t52 - t23.t34.t45.t52 - t55 + t23.t32.t55

Finalmente, tenemos que no hay partes disjuntas para las trayectorias directas;por lo tanto : 1 = 1 ; 2 = 1 y la funcin de transferencia ser :

Podemos tambin resolver el problema por el mtodo directo, siguiendo lossiguientes esquemas. Por eliminacin de los nodos x3 y x4, a partir del original,

resulta:

La eliminacin del autolazo en x2 nos da el esquema :


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La eliminacin del nodo x2 deja el diagrama en la forma :

Finalmente, la eliminacin conjunta de los autolazos del nodo x5 y, acontinuacin, dicho nodo, nos lleva al resultado final, que es una expresin

idntica a la obtenida por el mtodo de Mason.


Sea el sistema descrito por la ecuacin diferencial :

Con las condiciones iniciales y(0) = 0 ; y' (0) = 1 . Determinar :

a) La funcin de transferencia del sistemab) Las ecuaciones de estado

c) La funcin de transferencia a partir de las ecuaciones de estado.Respuesta al ejercicio 10

Para obtener la funcin de transferencia calculamos la transformada de

Laplace del sistema ignorando los trminos debidos a condiciones iniciales:

Para obtener las ecuaciones de estado hacemos:

en nuestro caso, aplicando la expresin general:


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y el sistema a formar ser :

La funcin de transferencia a partir de las ecuaciones de estado, se obtienecomo sigue :

y la expresin coincide con la obtenida al principio.


Un sistema tiene por funcin de transferencia:

Encontrar una representacin interna del mismo.Respuesta al ejercicio 11

Resolveremos el problema por dos mtodos. Primero: realizacin en cascada.Podemos poner:

Y a partir de ah tenemos:

Donde hemos puesto:


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Reagrupando matricialmente podemos escribir:

Segundo mtodo de resolucin: Descomposicin directa. Tenemos:

Y podemos hacer la identificacin

Con lo que tendremos:

Y a partir de ah:

Y en forma matricial:


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Un sistema tiene por ecuacin caracterstica:

Determinar los valores de K que hacen al sistema inestable.

Respuesta al ejercicio 12Para ver si el sistema es estable aplicamos el criterio de Routh Hurwitz. Ennuestro caso, disponemos los coeficientes de la ecuacin caracterstica en la

forma:

Para que este sistema sea estable se deber cumplir:

Por lo tanto, los valores de K comprendidos fuera del intervalo -4 < K < 4,hacen inestable al sistema.

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