Ejercicios resueltos coulomb
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http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=111
Ley de Coulomb Ejercicios Resueltos
La siguiente figura muestra tres partículas cargadas:
¿Qué fuerza electrostática, debida a las otras dos cargas, actúa sobre q1?
Considere que:
q1= -1.2 μC
q2= 3.7 μC
q3= -2.7 μC
r12= 15 cm
r13= 10 cm
θ= 32°
Recordemos que μ (micro) significa 10 elevado a la menos 6
o sea que -1.2 μC es igual a -1.2x10^-6 C
Por la Ley de Coulomb sabemos que la fuerza que va a ejercer la carga q2 sobre q1 es igual
a:
F12= K (q1q2)/(r12)²
donde la constante k= 9x10⁹ Nm²/C²
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F12= 1.776 N
Ahora calculamos la fuerza que ejerce la carga q3 sobre la carga q1:
F13= K(q1q3)/r13
F13= 2.484 N
Nota: Al realizar los cálculos de la fuerza, no tomamos en cuenta el signo de las cargas, ya
que por ahora sólo nos interesa la magnitud de dicha fuerza.
Ahora vamos a descomponer los vectores obtenidos (F12 y F13) en sus correspondientes
componentes rectangulares:
La componente en x de F12 es igual a la magnitud de la fuerza que obtuvimos anteriormente,
es decir Fx12= 1.77 N
Y la componente F13x= F13 sen 32°
Fx= Fx12 + Fx13= 3.09 N
Ahora obtenemos las componentes en Y:
Fy= F12y + F 13y
La componente en y de F12= 0
Fy= 0 + (-F13 cos 32°)
Fy= -2.10 N
la fuerza resulta negativa porque la carga q1 y q3 tienen el mismo signo
por lo tanto se repelen.
La fuerza total ejercida por las cargas q2 y q3 sobre q1 se obtiene:
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F= √(3.09²)+(- 2.10²)
F= 3.74 N
Anillo
Un anillo de radio R tiene su masa M uniformemente distribuida. Determine la fuerza gravitacional que ejerce el anillo sobre una masa punto m, situada en el eje del anillo y a una distancia h del centro (la
densidad lineal del anillo es ,
donde .)
Figura 1Solución
El diferencial de masa dM produce una fuerza sobre la masa m, cuya magnitud es
(1),
Y se dirige hacia dM como se indica en la figuras 2a y 2b.
Figura 2a
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Otro diferencial de masa en el lado opuesto del anillo produce una fuerza similar dF, de tal manera que solo permanece la componente Y, es decir,
Fx = 0,
y,
dFy = .
Sustituyendo dF e integrando se tiene que
(2)
Figura 2b
Como,
dM= ,
(como se puede observar en la figura 3), es una constante, y cada elemento dM se ejecuta a la misma distancia r, la fuerza sobre la masa m será
Como la masa del anillo es M=2
r= ,
Figura 3
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La fuerza sobre la masa m en P también se puede escribir como
,(3)
Observe (figura 4), que para h>0, la fuerza se dirige hacia el anillo con
sentido - y que para h<0, la fuerza también se dirige hacia el anillo con
sentido + .
Por otra parte, la ecuación (3) de la fuerza resultante pudo obtenerse directamente de la ecuación (2), pues y r son en este caso constantes, y por lo tanto
,(3)
Figura 4
Observe tambi´n de la ecuación (3) que cuando h=0, la masa m se encuentra en el centro del anillo y la fuerza gravitacional es cero, como se indica en la figura 5.
Figura 5
Ejercicio Barra
Hallar la atracción gravitacional entre una masa puntual m y una barra de longitud L, con una densidad lineal de masa . la masa puntual se encuentra a una disntacia h del extremo de la barra.
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Solución
La fuerza sobre la masa m debido al elemento dM, de acuerdo con lo anterior, esta dado por:
Consideremos la barra como un cuerpo longitudinal, y en este caso la ecuación anterior se convierte en,
con , en vez de , y x en vez de r.
La magnitud de la fuerza se tiene de la integral
Como la masa M de la barra es , tenemos finalmente,
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Ejercicios Varilla de longitud 2L
Hallar la fuerza de atraccción entre una masa puntual m y una barra de longitud 2L. La masa se encuentra colocada a una distancia h del punto medio de la barra como en la figura.
Solución.
Figura 1
La fuerza de atracción entre un elemento de masa dM y la masa m, está dada por
y en función de sus componentes fig(2),
Con,
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Figura 2(a) Figura 2(b)
Evaluemos cada una de estas fuerzas:
:
y cambiando variables:
, , ;
Resulta,
Recuerde que,
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y como la masa de la varilla es , se puede escribir como
Evaluemos ahora,
:
al realizar el cambio de variables,
resulta que
En muchos problemas, y este es un caso, la simetría de la figura evita realizar algunas integrales. En las figuras 2(a) y 2(b) nos podemos dar
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cuenta como la componente de la fuerza debido a un elemento de masa situado al lado derecho, la cancela la componente de un elemento igual, situado al lado izquierdo.
___________________________________________________________________-_
Problema resuelto 2
Dos masas iguales M están separadas una distancia 2a como en la figura. Una tercera masa m se suelta desde un punto P sobre el bisector perpendicular de las masas. Halle la fuerza y la aceleración de la tercera masa en P y en Q.
SoluciónEn la figura inferior se muestran las fuerzas que ejercen las masas M sobre la tercera. Se puede notar que,
,
que las componentes x se cancelan, y que las componentes en y se refuerzan, donde:
Entonces,
en P = y
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en Q = 0
Veremos que el concepto de campo gravitatorio g en un punto del espacio es lo mismo que el de aceleración debido a la gravedad en dicho punto, y puede visualizarse como la fuerza por unidad de masa, es decir,
Observe que las aceleraciones entonces están dadas por :
en P = ,y
en Q = = 0
Si consideramos ya no dos masa sino 4 o 6, etc., podemos observar
que de nuevo la componente desaparece por simetría. El ejercicio se puede generalizar ya no a un número par de masas sino a un anillo, es decir, a una distribución continua de masa. De nuevo podemos tomar elementos simétricos, y una vez más se
encuentra que sera cero. En este caso ya no se toman masas puntuales sino elementos de masa dM,que producen, una fuerza gravitacional dF cuya magnitud es
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,
Con componentes:
,
y
Problema Resuelto 1
Cuatro masas iguales son colocadas en la esquinas de un cuadrado de longitud l. Encuentre la fuerza gravitacional en la masa del orígen debida a las restantes masas.
Solución En la figura se ilustran las fuerzas ejercidas por las masas m1, m2 y m3 sobre la masa m0, donde:
m0= m1 = m2 = m3 = m
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La fuerza gravitacional F tiene componentes en los ejes X y Y, cuya sumatorias nos dan:
,
,
,
,
La fuerza gravitacional sobre la masa del origen será:
,
dirigida 45º con el eje + x