Ejercicios Resueltos Arturo

7/21/2019 Ejercicios Resueltos Arturo

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Universidad FidelitasCurso Ecuaciones Diferenciales

Algunos ejercicios resueltos

1. Pruebe que y(x) = Aex +Bxex (A y B constantes arbitrarias) es solucion de la ecuaciondiferencial y 2y +y = 0. Encuentre el valor de Ay un valor de B, tales que

y(0) =y (0) = 1.

Solucion

Para que la funcion dada sea solucion de la ecuacion diferencial debe satisfacerla, es decir alsustituirla debe provocar una identidad, entonces si

y(x) =Aex +Bxex

y(x) =Aex +B(ex +xex) =Aex +Bex +Bxex

y(x) =Aex +Bex +B(ex +xex) =Aex +Bex +Bex +Bxex =Aex + 2Bex +Bxex

ahora sustituyendo en la ecuacion diferencial dada

Aex + 2Bex +Bxex 2(Aex +Bex +Bxex) +Aex +Bxex

=Aex + 2Bex +Bxex 2Aex 2Bex 2Bxex +Aex +Bxex = 0

Como se comprueba la identidad se concluye que la funcion es solucion de la ecuaciondiferencial.

Por otra parte se necesitan los valores de Ay B de tal manera que y(0) =y (0) = 1. Bastacon calcular la imagen de 0 tanto en la funcion como en su primera derivada y que estas dencomo resultado 1 as

Paray obtenemos Ae0 +B0e0 = 1 =A = 1

Ae0 +Be0 +B0e0 = 1 =A +B = 1 =B = 1A =B = 11 = 0 as y = ex es lafuncion que es solucion de la ecuacion y que cumple que y(0) =y (0) = 1

2. Considere la ecuacion C y2 =xy+ Cque define a y como funcion implcita de x. Determine

si la ecuacion dada es solucion de la ecuacion diferencial y = y3 y

xy2 +x

Solucion

Primero despejamos la constante arbitraria C

Cy2 =xy +C=C y2 C=xy =C(y2 1) =xy =C= xy

y2 1.

Si derivamos a ambos lados tenemos

0 =(xy)(y2 1)(xy)(y2 1)

(y2 1)2 =0 =

(y+xy )(y2 1)xy2yy

(y2 1)2

=0 =y3 y+xy2y xy 2xy2y

(y2 1)2 =0 =y3 yxyxy2y

=xy +xy2y =y3 y =y (x+xy2) =y3 y =y = y3 y

x+xy2

Es claro que si sustituimos en la ecuaci on diferencial obtenemos y3 y

x+xy2 =

y3 y

x+xy2 y

concluimos que la ecuacion dada es solucion implcita de la ecuacion diferencial.


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3. Encuentre una ecuacion diferencial cuya solucion general es y= A cos(2x) +Bsen(2x)

Solucion

Como la solucion dada tiene dos constantes arbitrarias, derivamos dos veces dicha funcion

y=A cos(2x) +Bsen(2x) (1)

y =2A sen(2x) + 2Bcos(2x) (2)

y =4A cos(2x)4Bsen(2x) (3)

Ahora se debe a partir de esas ecuaciones desaparecer las constantes arbitrarias A y B

Primero multiplicamos por 4 la ecuacion (1) 4y = 4A cos(2x) + 4Bsen(2x) (4)

Ahora sumamos las ecuaciones (3) y (4)

y =4A cos(2x)4Bsen(2x)

+4y = 4A cos(2x) + 4Bsen(2x)

y + 4y= 0

As la ecuacion diferencial cuya solucion general esy = A cos(2x) + Bsen(2x) esy + 4y = 0

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

(a) y = x2yy

y+ 1Solucion

Esta ecuacion se puede reescribir comody

dx=

y(x2 1)

y+ 1 =

y+ 1

y dy= (x2 1)dxahora

integramos a ambos lados de esta ecuacion y+ 1

y dy=

(x2 1)dx=

1 +

1

y

dy =

(x2 1)dx=y + ln | y |=

x3

3 x+C

(b) ex+y

sen xdx+ (2y+ 1)ey2

dy = 0Solucion

Esta ecuacion la podemos reescribir como ex ey sen xdx+ (2y+ 1)ey2

dy = 0

=ex sen xdx=(2y+ 1)ey

2

ey dy =ex sen xdx= (2y+ 1)ey

2ydy

=

ex sen xdx=

(2y+ 1)ey

2ydy (*)

Ahora calculamos cada una de las integrales ex sen xdx= ex sen x

ex cos xdx

=ex

sen x

ex

cos x

ex

sen xdx

=ex sen xex cos x

ex sen xdx

As ex sen xdx= ex sen xex cos x

ex sen xdx

2

ex sen xdx= ex sen xex cos x

ex sen xdx

ex sen xdx=ex sen xex cos x

2 +C

u= sen x du= cos xdv= ex v= ex

u= cos x du= sen xdv= ex v= ex

Por otra parte (2y+ 1)ey

2ydy

=

eudu= eu +C=ey

2y +C

u= y2 ydu= (2y1)dx= (2y+ 1)dx= du= (2y+ 1)dx


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Por ultimo y regresando a (*)ex sen xex cos x

2 =ey

2y +Ces la solucion de la ecuacion diferencial.

(c) (5x+ 4y)dx+ (4x8y3)dy= 0

Solucion

Considere M(x, y) = 5x+ 4y y N(x, y) = 4x8y3; ademas

M

y = 4 y

N

x= 4 por lo que se concluye que la ecuaci on diferencial es exacta.

As existe una funcion U(x, y) tal que U(x, y)

x = 5x+ 4y, y

U(x, y)

y = 4x8y3.

Ahora integramos ambas derivadas parciales, es decir U(x, y)

x dx=

(5x+ 4y)dx=U(x, y) =

5x2

2 + 4xy+f(y)

U(x, y)

y dy=

(4x8y3)dy =U(x, y) = 4xy2y4 +g(x)

De lo anterior deducimos que U(x, y) = 4xy+5x2

2 2y4.

Por lo tanto la solucion general de la ecuacion diferencial es 4xy+5x2

2 2y4 =C

(d) (xe2x + 3xy2)dy+ [(1 + 2x)y3 +ye2x]dx= 0

Solucion

Considere M(x, y) = (1 + 2x)y3 +ye2x y N(x, y) =xe2x + 3xy2

M

y = 3(1 + 2x)y2 +e2x

N

x =e2x 2xe2x + 3y2 es claro que la ecuacion no es

exacta.

Busquemos un factor integranteSea h(x) =

My

Nx

N(x, y) =

3(1 + 2x)y2 +e2x (e2x 2xe2x + 3y2)

xe2x + 3xy2

=3y2 + 6xy2 +e2x e2x + 2xe2x 3y2

xe2x + 3xy2 =

6xy2 + 2xe2x

xe2x + 3xy2

=2

(3xy2 +xe2x)

xe2x + 3xy2

= 2; entonces

(x) =e2dx =e2x es el factor integrante buscado.

Multiplicamos ahora la ecuacion original por dicho factor

e2x[(xe2x + 3xy2)dy+ [(1 + 2x)y3 +ye2x]dx] =e2x 0

=(x+ 3xy2e2x)dy+ [(1 + 2x)e2xy3 +y]dx= 0

Ahora considere M1(x, y) = (1 + 2x)e2xy3 +y y N1(x, y) =x+ 3xy

2e2x, ademasM1

y = 3(1 + 2x)e2xy2 + 1 = 3y2e2x + 6xy2ex + 1

N1

x = 1 + y2(3e2x + 3x2e2x) = 1 + 3y2e2x + 6xy2e2x por lo que se concluye que la

ecuacion es exacta.

Para resolverla se debe encontrar U(x, y) tal que U(x, y)

x = (1 + 2x)e2xy3 +y, y

U(x, y)

y =x

+ 3xy2e2x

.Ahora integremos con respecto a y la derivada parcial con respecto a y

U(x, y) =

U(x, y)

y dy =

(x+ 3xy2e2x)dy= xy +xy3e2x +p(x)


4/6

=U(x, y) =xy +xy3e2x +p(x) (*)

Ahora derivamos (*) con respecto x

U(x, y)

x =y +y3(e2x + 2xe2x) +p(x) =y + (1 + 2x)y3e2x +p(x)

=y + (1 + 2x)y3e2x +p(x) = (1 + 2x)e2xy3 +y ==p(x) = 0 =p(x) =C

Por lo tanto xy+xy3e2x =Ces la solucion general de la ecuacion diferencial.

(e) (x2 + 4)y + 3xy = x

Solucion

La ecuacion se puede reescribir como y + 3x

x2 + 4y =

x

x2 + 4.

La ecuacion es claramente lineal de primer orden, se debe buscar un factor integrante

que en este caso particular viene dado por: e

3x

x2+4dx

Ahora resolvemos

3x

x2 + 4dx,

hacemos la sustitucion u= x2 + 4 =du = 2xdx= du

2

=xdx, entonces 3x

x2 + 4dx=

3

2

du

u =

3

2ln(x2 + 4) +C.

As e

3x

x2+4dx

=e3

2ln(x2+4) =eln(x

2+4)32 = (x2 + 4)

3

2 es el factor integrante buscado.

Ahora multiplicamos la ecuacion por el factor integrante

(x2 + 4)3

2 y + 3x(x2 + 4)1

2 y=x(x2 + 4)1

2

=

(x2 + 4)3

2 y

=x(x2 + 4)1

2

=

(x2 + 4)

3

2 y

dx=

x(x2 + 4)

1

2 dx

=(x2 + 4)3

2 y=

x(x2 + 4)12 dx

Ahora resolvemos

x(x2 + 4)

1

2 dx,

hacemos la sustitucion u= x2 + 4 =du = 2xdx= du

2 =xdx, entonces

x(x2 + 4)

1

2 =1

2

u

1

2 du=1

2

u3

2

32

=(x2 + 4)

3

2

3 +C

As (x2 + 4)3

2 y=(x2 + 4)

3

2

3

+C=y =1

3

+ C

(x2

+ 4)

3

2

(f) (ey 2xy)y =y2

Solucion

Primero reescribimos la ecuacion (ey 2xy)dy

dx = y2. Vamos a resolver la ecuacion

intercambiandox con y como si x fuera funcion de y; entonces

(ey 2xy)dy

dx=y2

= dx

dy =

ey

y2

2

y x

= dx

dy +2y x= ey

y2

Buscamos un factor integrante

e 2

ydy =e2 ln|y| =eln y

2

=y2


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Multiplicando la ecuacion por el factor integrate

y2 dx

dy+y2

2

y x= y2

ey

y2

=y2dx

dy+ 2yx = ey =(y2x) =ey =

(y2x)dy =

eydy =y2x= ey +C

(g)

dy

dx =

x+ 3y

3x+ySolucion

dy

dx=

x+ 3y

3x+y

= dy

dx=x

1 + 3 y

x

x

3 +y

x

= dydx

=1 + 3

y

x

3 +y

xLa ecuacion es una ecuacion diferencial homogenea; hacemos la sustitucion

u= y

x=y =ux, ademas y =ux+u. Sustituyendo en la ecuacion se tiene

ux+u=1 + 3u

3 +u =x

du

dx=

1 + 3u3 +u

u =xdu

dx=

1 + 3uu(3 +u)3 +u

=xdu

dx=

1 + 3u3uu2

3 +u =x

du

dx=

1u2

3 +u =

u+ 3

1u2du=

dx

x

=

u+ 3

1u2du=

dx

x

Calculemos usando fracciones parciales

u+ 3

1u2du

u+ 3

1u2 =

u+ 3

(1u)(1 +u)=

A

1u+

B

1 +u=

A(1 +u) +B(1u)

(1u)(1 +u) entonces

u+ 3 =A(1 +u) +B(1u)

Si u= 1 entonces 1 + 3 =B(11) =2 =2B ==B =1

Si u= 1 entonces 1 + 3 =A(1 + 1) =4 = 2A=A = 2

Entonces

u+ 3

1u2du=

2

1u

1

1 +u

du= 2 ln| 1u | ln| 1 +u | +C

Por ultimo 2 ln| 1u| ln| 1 +u |= ln| x | +C

= 2 ln1 y

x

ln 1 + yx

= ln| x | +C(h) ydx+x(ln xln y1)dy = 0, y(1) =e

Solucion

ydx+x(ln xln y1)dy= 0 =x(ln xln y1)dy=ydx = dy

dx=

y

x(ln xln y1)

= dy

dx=

y

x(ln yln x+ 1)=

dy

dx=

y

x

1

lny

x

+ 1

La ecuacion es una ecuacion diferencial homogenea; hacemos la sustitucion

u= y

x=y =ux, ademas y =ux+u. Sustituyendo en la ecuacion se tiene

ux+u= u

ln u+ 1=ux=

u

ln u+ 1u=

du

dx=

uu(ln u+ 1)

1 + ln u

=x dudx

= uu ln uu1 + ln u

=x dudx

= u ln u1 + ln u

=(1 + ln u)u ln u

du= dxx

=

(1 + ln u)

u ln u du=

dx

x


6/6

Ahora se calcula

(1 + ln u)

u ln u du. Hacemos la sustitucion

z= ln u=dz= 1

udu,entonces

(1 + ln u)

u ln u du=

1 +z

z dz=

1

z+ 1

dz= ln |z| z+C

= ln | ln u| ln u+C. Por ultimo se tiene que ln | ln u| ln u= ln |x| + C= ln

ln yx

ln yx

= ln |x| + Ces la solucion generalde la ecuacion diferencial.

Ahora se debe encontrar la solucion particular que cumpla que y(1) = e para estosustituimos en la solucion general antes encontrada

lnln e

1

ln e1

= ln |1|+C=01 = 0 +C=C=1As ln

ln yx

ln yx

= ln |x| 1 es la solucion buscada.(i) x+y2 +

1

x dx(2xy)dy = 0

Solucion

La solucion se reescribe como

x+y2 +

1

x

dx+ (x+y2)dy = 0

Hacemos el cambio de variable u= x+y =u = 1 +y = du

dx 1 =

dy

dx=dudx = dy

Ahora sustituyendo

(u 2 +1

x)dx + (u 2)(du dx) = 0 =(u 2)dx +

dx

x + (u 2)du (u 2)dx= 0

=

dx

x + (u

2)du

= 0 =(u

2)du

=

dx

x =

(u

2)du

= dx

x

= u2

2 2u= ln |x|=

(x+y)2

2 2(x+y) = ln |x|

(j) 2xyy = 4x2 + 3y2

Solucion

La ecuacion se reescribe como

2xyy = 4x2 + 3y2 =y = 4x2

2xy+

3y2

2xy =y = 2xy1 +

3

2xy

=y 3

2xy= 2xy1. Es claro que la ecuacion es de Bernoulli.

Multiplicamos la ecuacion por yyy

3

2xy2 = 2x, haciendo el cambio de variable z=y2 =z = 2yy =

z

2 =yy

Sustituyendo se tiene quez

2

3

2xz= 2x. Multiplicando por 2 se tiene que z

3

xz= 4x.

La ecuacion resultante es una ecuacion lineal de primer orden. Buscamos un factorintegrante

e 3

xdx =e3 lnx =eln x

3

=x3

Multiplicamos la ecuacion por el factor integrante

x3z 3x4z= 4x2 =(x3z) = 4x2 = (x3z)dx= 4x

2dx

=x3z=4

x +C=z=4x2 +C x3 =y2 =4x2 +C x3

Realizado por Prof: Arturo Vega Vasquez

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