Ejercicios ResueltosMétodos

Extremos no restrictos con dos variablesMétodo de Lagrange Matriz Jacobiana Condiciones de Kuhn Tucker

Realizado Por:Angel MoqueteC.I. 19585770Sección: SAIA 3GPorlamar 16 de Enero

del 2016Prof. Alejandra Torres

Extremos no restrictos con dos variables

Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f(x; y) sujetos a una restricción g(x; y) = 0. Para ello debe plantearse la ecuación vectorial:

∇f = λ g El valor λ se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para determinar los valores de las ∇variables del dominio que satisfacen la ecuación vectorial y la restricción. Si existen varias restricciones, se plantean varios multiplicadores.

La ecuación representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función:

Hallar el valor máximo y mínimo de este sobre el borde de la pantalla

2 𝑥4+3 𝑦 4=32

Solución

Sea g(x;y)= ∇f = λ g∇ ≠(0;0) => = => y = x v x= 0

Extremos no restrictos con dos variablesContinuaciónPara obtener el resultado anterior dividimos ambas ecuaciones abarcadas por las llave, por lo cual debemos considerar aparte el caso en que Y =0, para cual ambas división no seria posible.Analizando todos los casos posibles tenemos:Y=x=>2 + 3 + 2 + = 32=> X==> y =Con estos valores tenemos f(x;y)

Extremos no restrictos con dos variablesContinuaciónLos Otros dos casos son:X=0 =>= 0,55X=0 =>= 0,5Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0,44 y el máximo valor será 0,55.

Método de Lagrange

Condición necesaria: (*

)

(*)Observemos que la condición equivale a pedir que se satisfaga la restricción.

Método de Lagrange Continuación

Resolvemos:

Obtenemos:

Condición suficiente:

definida positiva

es un mínimo condicionado o restringido

Resultado

Matriz Jacobiana

La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como: F(x_1,x_2,x_3)=(x_1,5x_3,4x_2^2 – 2x_3)

Es:

Condiciones de Kuhn Tucker archivo

Considere el problema 

máximo x 1, x 2 [- (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2] con sujeción a x 1 + x 2 ≤ 4 y x 1 + 3 x 2 ≤ 9, 

se observa en la siguiente figura. 

Condiciones de Kuhn Tucker archivoContinuación

Solución L (x 1, x 2) = - (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2 - λ 1 (x 1 + x 2 - 4) - λ 2 (x 1 + 3 x 2 - 9) .  Las condiciones de Kuhn-Tucker son  2 (x 1 - 4) - λ 1 - λ 2 = 0  -2 (X 2 - 4) - λ 1 - 2 3λ  =  0  x 1 + x 2 ≤ 4, λ 1 ≥ 0 y λ 1 (x 1 + x 2 - 4) = 0  x 1 + 3 x 2 ≤ 9, λ 2 ≥ 0, y λ 2 (x 1 + 3 x 2 - 9)  =  0.