xy

z

124

482

1

6

12

x

y

z

x

y

z

124

482

1

6

12

Solucin:

Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en un punto de un slido:

[ ]

=6121842412

T

Se pide:- Dibujar, sobre el punto elstico de la figura, y en las caras ms alejadas del

origen de coordenadas, la direccin y sentido de cada una de las componentes tensionales que, sobre dichas, caras actan.

-Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado.

MPa

Ejercicio 1.1

Vector normal al plano:

( )

=

=

++=

75

18

31

31

31

31

6121842412

kji31u

*z

*y

*x

rrrr

Tensin normal:

( ) MPa67,63207518

31u*n ==+== rr

Tensin tangencial:

MPa39,949,4467,1322n2* === r

Ejercicio 1.2

Determinar las tensiones principales sabiendo que el tensor de tensiones viene definido por:

102530253040304020= MPa

Solucin:

zyzzx

zyyxy

zxxyx

=

102530253040304020= MPa

1

2 2 22

2 2 23 2

x y z

x y x z y z xy xz yz

x y z xy xz yz x yz y xz z xy

I

I

I

= + += + + = +

= 20 + 30 10 = 40 MPa

= -3025 MPa

= 89500 MPa

3 21 2 3 0I I I + =

0322

13 =+ III

MPaMPaMPa

8,515,263,65

3

2

1

===

Resultado:

En un problema bidimensional, el punto elstico de la figura se encuentra sometido al estado tensional que se indica. Se pide:a) Expresin del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,yb) Expresin del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,y(e (el eje x forma un ngulo de 35, en sentido antihorario, con el eje x).

40 MPa

15 MPa

25 MPa

x

y

La expresin, en x-y, del tensor de tensiones es:

[ ]

=25151540

T

La expresin de dicho tensor en ejes x-y la podemos obtener como:

[ ] [ ] [ ][ ]RTR'T T=

[ ]

=

35cos35sen35sen35cos

R

Siendo:

[ ]

=48,1067,3567,3552,4

'T

Ejercicio 1.3

Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C1, C2 y C3 para que la siguiente distribucin de tensiones puede existir en un slido en equilibrio:

( ) 0yCzxCyCC0zCyxC2

yz3xz32

21xy

z2

2y1x

==+====

SOLUCIN:Ecuaciones de equilibrio interno (X=Y=Z=0)

)cumplese(0zyx

0CzC0zyx

0CxC2yC20zyx

zzyzx

33yzyyx

111xzxyx

=+

+

===+

+

===+

+

C2 puede tomar cualquier valor, por lo que el estado tensional tendra la forma:

0000zC0

yzxzxy

z2

2yx

======

Ejercicio 1.4

El tensor de tensiones en un punto de un slido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz:

1.- Determinar de forma analtica:a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensionesb) Los valores de las tres tensiones principalesc) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principalesd) La tensin tangencial mxima que se produce en las proximidades del punto considerado

[ ]

=

0000202002050

T

600202050

7020502

2

1

===+=

IIa) b) Una de las tensiones principales (z) es nula. Las otras dos las calcularemos

resolviendo:

106002020

20500 21 ===

= IT

Por tanto, las tensiones principales son: 01060 321 === y

c) Como el eje z es una direccin principal ( ), las otras dos las calcularemos resolviendo:kurr =3

=

00

20202050

2

1

uu

Direccin principal 1: jiuaa rrr 4473089430

00

40202010

12

1 ,, =

=

Direccin principal 2: jiuaa rrr 8943044730

00

10202040

22

1 ,, +=

=

d) La tensin tangencial mxima ser: ( ) 30530252

102

602

1060 ==

= ,,max,,maxmax

Ejercicio 1.5

2.- Para el estado tensional relativo al plano x-y, determinar grficamente: e) El crculo de Mohr f) Las coordenadas (,) del polo de dicho crculo g) Los dos planos principales que se obtienen de dicho crculo h) Los dos planos sobre los que acta la tensin tangencial mxima i) Los planos, paralelos al eje z, sobre los que el vector tensin forma el mayor ngulo posible con la normal a dichos planos. j) El plano al que representa el polo del crculo de Mohr

Plano Y

Plano X 50

20

20

x

y

POLO

Plano Y

Plano X 50

20

20

x

y

POLO

Planoprincipal IPlano

principal II

Plano Y

Plano X

50

20

20

x

y

60

10

x

y

POLO

Planoprincipal IPlano

principal II

Plano demxima tensin tangencial

Plano demxima tensin tangencial

Plano Y

Plano X

50

20

20

x

y

35

25

x

y

35

POLO

Plano en el queel vector tensin formael mayor ngulo posiblecon la normal

Plano en el queel vector tensin formael mayor ngulo posiblecon la normal

POLO

Plano correspondienteal polo del crculo de Mohr

El vector desplazamiento en un punto genrico de un slido cargado viene dado (referido a un sistema cartesiano de referencia) por:

( ) ( )kazaxiazax rrr 2322 ++= donde a es una constante conocida. Se pide:

a) Expresin del tensor de deformaciones en un punto genrico del slido b) Es, fsicamente, posible este campo de desplazamientos? c) Qu lectura proporcionara una banda extensomtrica situada en la direccin de

la bisectriz del primer cuadrante del sistema cartesiano que se utiliza?

Ejercicio 2.2

a) El tensor de deformaciones se obtiene del campo de desplazamientos como sigue: ( )

( )( )

0yw

zv

aa3a2xw

zu

0xv

yu

a2xw

0xv

a2xu

az2ax3z,y,xww0z,y,xvv

az2ax2z,y,xuu

yz

xz

xy

z

y

x

=+

=

=+=+

=

=+

=

==

==

==

+====

==

El tensor de deformaciones es:

[ ]

=

a202/a0002/a0a2

D

b) Para que el campo de desplazamientos, o el de deformaciones que de l se derivan,sea fsicamente posible, debemos comprobar que se satisfacen las ecuaciones decompatibilidad de deformaciones:

+

=

=+

+

=

=+

+

+

=

=+

zyxzyxzxxz

zyxyxzzyyz

zyxxzyyxxy

xyxzyzzxzzx

xyxzyzyyzzy

xyxzyzxxyyx

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

;

;

;

En estas ecuaciones slo aparecen derivadas segundas de las deformaciones, por lo quese verifica automticamente al ser el campo deformaciones lneal. Por tanto, el campode desplazamientos dado es fsicamente posible.

c) El vector unitario de la bisectriz del primer cuadrante del es:

)( kjiurrrr ++=

31

El vector deformacin unitaria sera:

{ } [ ]{ }

=

==

2/a502/a5

31

31

111

a202/a0002/a0a2

uD* rr

La deformacin longitudinal correspondiente (la medida de la banda) es:

a35

2a5

2a5

31

31

111

2/a502/a531u* =

+=

== rr

En un pilar vertical de seccin cuadrada hueca, tal como se indica en la figura (cotas enmetros),

x

y

1 1 1 1

1111

x

y

1 1 1 1

1111

el tensor de deformaciones viene dado por:

[ ]( )

( ) 410200003203243

+

++= yx

yxxD

Calcular: a) la variacin de longitud del pilar, indicando si ste se alarga o se acorta,

sabiendo que, su altura inicial era de 5 m b) la variacin del ngulo, en el plano x,y, que se produce en el vrtice de la

seccin de coordendas (2,2), indicando si el ngulo final en dicho vrtice (que inicialmente era recto) aumenta o disminuye respecto de su valor inicial.

c) El cambio de volumen que experimenta el pilar, indicando si aumenta o disminuye el volumen inicial del mismo.

Ejercicio 2.3

a) nto)(alargamie105102102 344 mhh zz ====

b) ( ) ( ) 44 106410322 +=+= yxyxxy Para el punto (2,2), ( ) rad104102624 44xy =+= (el ngulo disminuye) c) ( ) 41063 +=++= xe zyxV

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 342

14

1

141

24

pilarV

m1036054dx106x3

52dx106x354dx106x3dVeV

=++

++++==

(el volumen del pilar aumenta)

dx

h

a

a

b

b

dV=a.h.dx dV=(a-b).h.dxdx

x

y

z

dx

h

a

a

b

b

dV=a.h.dx dV=(a-b).h.dxdxdx

h

a

a

b

b

dV=a.h.dx dV=(a-b).h.dxdx

x

y

z

Ejercicio 2.1Dado el tensor de deformaciones:

encontrar la deformacin unitaria segn la direccin:( ) 3/kjim rrrr ++=

[ ]mDm rr =mr

[ ]

=002000020000200010002000100030

,,,,

,,,D

000330

31

31

31

002000020000200010002000100030

31

31

31 ,

,,,,

,,,=

=m

dxPP

x

L

e

Determinar el desplazamiento relativo entre las dos seccionesextremas de la barra de la figura:

P = 50.000 N, E = 2x107 N/cm2e = 1 cm, b1= 5 cm, b2= 10 cm, L = 40 cmDatos:

Ejercicio 3.1

b1

b2

Consideremos una rebanada de longitud dx a una distancia x de laseccin b1. El canto ser:

1,

= + = +

= b b b

Lx b ax

a b bL

12 1

1

2 1

El rea (Ax) de la seccin escogida ser: (b1+a.x)eSi esta rebanada experimenta una elongacin du, su deformacin ser:

xAEP

dxdu

=

La elongacin total, u, que experimenta la barra ser:

u PA E

dx Pb ax e E

dx

u Pe E

dxb ax

PaeE

b ax

u Pa e E

b a Lb

x

L L

L

= = += + = +

= +

01

0

10 1

1

1

( )

ln

ln

1

100

lnb

LabEea

PdxAEPduu

L

x

L +=== 0

L

Substituting back for K,

u Pb bL

e E

bb

= ( )

ln2 1

2

1

e = 1 cm, b1= 5 cm, b2 = 10 cm, L = 40 cm,

P = 50.000 N, E = 2 x 107 N/cm2

u. .

cm= =50 000

10 540

1 2. 10

105

0 013867

.

( )ln ,

Sustituyendo el valor de a:

En el problema:

Ejercicio 4.1

Para la barra prismtica de la figura, que se encuentra sometida a la accin de su propio peso, determinar el campo de tensiones, de deformaciones, de desplazamientos y la energa elstica acumulada

VolumenPeso=

z

x

y

BD

Lg

00

0

00

======

xz

yz

xy

z

y

x

z

Tensiones:

z

x

y

bc

L

0

0

0

1

====

=

=

xz

yz

xy

z

y

x

zE

zE

zE

Deformaciones:z

z

z

Peso

===

zzAPesoA

z

z

( )[ ]22222

LyxzE

w

yzE

v

xzE

u

++=

=

=

Desplazamientos:

( )22

1 222 zEE z ==

Densidad de energa:

EALAdzz

EdVU

V

L 32

0

22

62 ===

Energa elstica almacenada en la barra:

Una placa rectangular se encuentra sometida a las acciones indicadas en la figura.Determinar la funcin de Airy que resuelve el problema.

x

y

L

h

22

1 1x

y

L

h

222

11 11

La funcin de Airy ser: 223223 gyfxycxdycxyybxax ++++++= fcybx

yxebyax

xgdycx

yxyyx =

=++==++=

= 22226262 22

2

2

Imponiendo que: en x=0, 112 += y

hx ; en x=0, 0=xy ; en y=0, 0=y Se obtienen las constantes del polinomio, resultando:

21312

26yy

h +=

Ejercicio 5.1:

Ejercicio 5.2:

Un tubo de pared gruesa tiene un radio interior 1r y exterior 2r y se encuentra sometido a una presin interior de valor p. Suponiendo que trabaja en condiciones de tensin plana, determinar el cambio de longitud que experimenta el radio interno del tubo al aplicar la presin p.Supngase conocidos los valores de E y del material.La distribucin de tensiones en el tubo es:[ ] [ ] p

rrrr

prprrr

pprprrrr 21

22

22

212

22

121

22

22

212

122

11+=+===

+

+==

+

+== 21

22

22

211

11121

22

22

21

rrrr

Epr

rrrrrrr

Ep

Er

lLlL DBCB 8060 ,, ==Por condiciones de equilibrio:

PFPF DBCB 8060 ,, =+=

De la geometra de la estructura:

Energa de deformacin:

( ) ( )[ ]AElP

AElP

AELF

AELFU DBDBCBCB

2332

22

36402

806022

,,, =+=

+=

Igualdad entre trabajo de las cargas externas y energa elstica almacenada:

AEPld

dPAELPU

WU

B

B

7280

3640 212

,

,

=

===

Calcular el desplazamiento vertical que experimenta el punto B del sistema articulado de la figura, formado por dos barras del mismo material (mdulo de elasticidad E) y la misma seccin transversal (rea=A).

Ec. (1)

C

P

lB

D

34

3

4

Ejercicio 6.1

Determinar los coeficientes de influencia, de la siguiente viga sometida a las acciones indicadas.

F1=P F2=2P

6 m3 m

2 m

sabiendo que est realizada con un material de mdulo de elasticidad Ey que el momento de inercia de su seccin transversal es I.

DATOS:

Ecuacin de la elstica:

( ) lxalxl

la-

EIxlFlad

axlx

lb

EIFlbxd

=

=

para 1 6

0 para 16

2

2

2

2

2

2

2

F

la

x

y b

Ejercicio 6.2

16 m2 m

x

y 4 m

3 m2 m

6 m

1 2

EI13,56

62

641

62461

2

2

2

2

11 =

=

EId

( )EI

-EI

d 183,36

36621

636261 2

2

2

21 =

=

F1=P F2=2P

16 m

2 m

x

y 4 m

1 2

EI13,83

62

631

62361

2

2

2

2

12 =

=

EId

EI14,5

63

631

63361

2

2

2

2

22 =

=

EId

3 m 3 m

Determinar, haciendo uso del concepto de coeficiente de influencia, la energaelstica almacenada por la siguiente viga sometida a las acciones indicadas.

EI13,5611 =d

EId 183,321 =

EI13,8312 =d EI

14,522 =d

( )[ ]22221121121 1

2222

121 dPdPPdPPdP

EIFFdWU ji

n

iij

n

j+++===

= =

EIPU

244,18 =

( ) PPdPdd =+= 22,11212111- Determinar el desplazamiento vertical experimentado por la seccin sobre la queacta la carga P.

6 m3 m

2 m

F1=P F2=2P

Ejercicio 6.3

Determinar, en funcin de los desplazamientos verticales (flechas) que experimentanlas secciones sobre las que se aplican las cargas exteriores, la energa elsticaalmacenada en la viga

niniii FdFdFdd +++= ........2211

njnjjj dkdkdkF +++= ........2211

En nuestro caso:

2221212

2121111

FdFddFdFdd+=+= EI

13,5611 =d EId183,321 =

EI13,8312 =d EI

14,522 =dResolviendo el sistema:

[ ]( ) [ ]212

211

0047602555022555030

ddEIPFddEIPF

,,,,

+====

EIk 3011 ,= EIk 2555012 ,= EIk 2555021 ,= EIk 00476022 ,=

Ec. (2)

Ejercicio 6.4

[ ][ ]221221

221221

21

2

1

2

1

0047605110302

0047602555025550302

21

ddddEI

ddddddEI

ddkWUj m

mjjm

,,,

,,,,

+=

=+=

=== = =

lLlL BDBC 8,06,0 ==

De la geometra de la estructura:

Resolver la estructura de la figura aplicando el P.T.V.

C

P

l B

D

3

43

4

C

P

l B

D

3

43

4

B

Desplazamiento virtual: B B

Ejercicio 6.5

CBCB L

cos=

DBDB L

cos=Deformacionesvirtuales:

C

P

l B

D

B

C

B

cos B

( )dVoldfdVolf

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

V V

+++++=

=+

rrrr

0=+ dfdVolfV V rrrr

( )( ) ( )DB

DBDBCB

CBCB

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

LAL

LAL

dVol

+=

=+++++

coscos

( ) ( ) 0=+ DBDB

DBCBCB

CB LALLA

L coscos

T.T.V.

Trabajo virtual fuerzas exteriores:

Trabajo virtual tensionesinternas:

( ) ( ) 0=+ DBDB

DBCBCB

CB LALLA

L coscos

coscoscoscos CBDBDBCB ==+ 0

Por condiciones de equilibrio, habamos obtenido previamente:

PFPF DBCB 8060 ,, =+=

CBCBDB 34

535

4==

CBCBDB FFF 34

6080 ==,,

Si multiplicamos por A los dos miembros de esta ltima ecuacin:

CBDBCBDB FFAA 34

34 ==

En el sistema articulado de la figura formado por tres barras deidntico material y siendo las reas de sus respectivas secciones transversales: A, para las barras BC y CD, y 2A para la barra BD, determinar, cuando, sobre l acta la carga P:a.- Las fuerzas axiles a las que se encuentran sometidas cada una de las barrasb.- La energa elstica que almacena el sistemac.- El desplazamiento vertical del nudo C y el horizontal del nudo D.

Ejercicio 6.6

B D

C

l l

l/2

P

reas:Barra BD: 2ABarras BC y CD: A

ASPECTOS GEOMTRICOS DE LA ESTRUCTURA ARTICULADA

B D

C

l l

l/2

P

VB VD

llCBCD

ll

118,1cos

565,262/arctan

===

=

=

NUDO B NUDO C

NBC=NCD por simetra

RESOLUCIN DE LA EXTRUCTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS:

B

VB

NBD

NBC

C

VB

NDCNBC

P

PPNPNN

PsenN

BD

BCDC

CD

====

=

cos118,1118,1

2

B D

C

RESOLUCIN DE LA ESTRUCTURA POR EL P.T.V.:

Desplazamientos virtuales:B y C no se desplazanD lo hace hacia su izquierdauna magnitud

B D

C

l l

l/2

P

VB VD

B D

C

D

cos

ll BDCD 2cos ==

( ) ( )( )

+=+=

=+=+=

BDCDBDCD

BDCDBDBDCDCD

NNlAlA

NAllA

N

lAl

lAl

lAlAW

cos2222

cos

222

cos22int

Trabajo fuerzas actuantes: Wext=0Trabajo fuerzas internas:

0coscos0int

=++==

BDCD

BDCDext

NNNNWW

AEPld

AElPPd 796,3898,1

21 2 ==

WU =NUDO C:

NUDO D:

( ) ( )EAlP

EAlP

EA

Plu BD

====2

222w

AElP

EAlP

EAlP

EAlPUUUU CDBCDB

2

22

2

898,12

)118,1()118,1(2

)118,1()118,1()2(2)2(

=

=++

+=++=

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:

AEPl

AEPl

PUd 796,32898,1 ==

=

Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la estructura articulada del problema anterior el desplazamiento vertical del punto C cuando acta la carga Q que se observa en la figura:

Ejercicio 6.7

QB D

C

l l

l/2

SISTEMA I

SISTEMA IIB D

C

l l

l/2

P

QB D

C

l l

l/2

( ) ( )= III uQdPEAlPu I =w

( ) ( )EA

lQuPQd III ==

AEPl

AEPl

PUdB 728,0364,02 ==

=

AElPU

2

3640,=

EJEMPLO DE APLICACIN DEL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO

Sabiendo que la expresin de la energa elstica almacenada en el sistemaarticulado de la figura (ver Ec. (1)) es:

determinar el valor del desplazamiento vertical queexperimenta el nudo B.

C

P

lB

D

3

43

4

Ejercicio 6.8

Determinar la mxima presin p manomtrica interna que puede soportar una vasijacilndrica de pared delgada de espesor e y radio R (R>>e) que contiene gas sabiendo que la tensin de plastificacin del material de la vasija es y . NOTA: Aplquese el criterio de plastificacin de Tresca

Las tensiones en la vasija son: epR

epR

z 2; == , por lo que las tres tensiones

principales resultan ser: 0;; 321 === z El criterio de Tresca resulta:

Re

pepRk

epR yy =====

222131

Ejercicio 7.1

Ejercicio 9-10-11.1

La seccin de la figura se encuentra sometida a un momento flector MXde 200kN.m y a un esfuerzo cortante QY de valor -2000 kN. Determinar las mximas tensiones normales y tangenciales que se producen en la seccin.

y

x

3005

0

60

250 Cotas en

mm

( )( )2/y60y GG( )( )( ) 2/y25060y250 GG

( )( )( )0

y2502550300 G=

+

mm200yG =

DETERMINACIN DEL C.D.G DE LA SECCIN:Tomando momentos estticos respecto del eje horizontal que pasa por G

x x

300

5

0

60

250 yG

yG /2Cotas enmm

G

x x

3005

0

60

250

200

75

75

Cotas enmm

M x = 200 KN.m

487

677

23

23x

mm10x50,210x44,8

10x13,310x44,810x81,7

)75)(50)(300(12/)50)(300(

)75)(250)(60(12/)250)(60(I

=++++=

+++=

Momento de inercia:

IyM mx

mx =

traccin = 200x106 N.mm (200) mm / 2.50 x108 mm4= 160 MPa

compresin = 200x106 N.mm (100) mm / 2.50 x108 mm4= 80 MPa

x x

300

5

0

60

250 200

75

25

Momento estticomximo:

En la fibra neutra:a0=60 mm

Qy

Q y = 2000 kN

Me= (300)(50)(75) + (60)(50)(25)

= 1,2 x 106 mm3

(200x103 N) (1,2x106 mm3)(2,50x108 mm4 (60) mm = 16 MPa max =

Cotas enmm

Flexin Cortante

80 MPa

160 MPaTraccin

Compresin

max=16 MPa

Fibraneutrax x

3005

0

60

250

G

Un rbol de 50 mm de dimetro y 0,7 m de longitud se encuentra sometido a la accin de un momento torsor de 1200 Nm. Calcular la mxima tensin tangencial que se produce y el ngulo que giran entre s las dos secciones extremas. NOTA: G=90 GPa

4944

1059,6133205,0

32mDIO

===

MPaIRM

O

z 89,481059,613025,01200

9max ===

radIGLM

O

z 0152,01059,6131090

7,0120099 =

==

871,023600152,0 ==

Ejercicio 12.1

Repetir el ejercicio 12.1 suponiendo que el rbol es un tubo con un dimetro externo de 50 mm e interno de 30 mm.

( ) ( ) 494444 1007,53432

03,005,032

mdDIO===

MPaIRM

O

z 17,561007,534025,01200

9 ===

radIGLM

O

z 0175,01007,5341090

7,0120099 =

==

123600175,0 ==

Ejercicio 12.2

El motor de un automvil proporciona una potencia de 100 caballos a 1800 rpm a un rbol de transmisin de 10 mm de radio. Calcular la mxima tensin tangencial que sufre el rbol.

El momento torsor al que se encuentra sometido el rbol es:

( ) ( )mN

srevradrev

hpwhp

angularVelocidadPotenciaM z .396min

6012

min1800

7,745100=

==

La mxima tensin tangencial es:

O

z

IRM= con 2

4RIO=

=252 MPa

Ejercicio 12.3