EJERCICIOS RESUELTOS1. En la combinacin de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 ser:

2. Si se desean ordenar 6 libros en un estante, pero slo hay espacio para 3 libros. Calcular el nmero de resultados posibles de acomodar dichos libros sin importar el orden. Solucin: Como se pide calcular : entonces

3. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Slo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans. S se repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

4. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete, Barcelona, Crdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, cuntas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2008/09) El vendedor puede elegir la primera ciudad que visitar de entre las 5. Elegir la segunda ciudad que visitar de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad tiene 3 opciones. Para la cuarta, 2. Y para la ltima, 1. As que puede elaborar 5 4 3 2 1 = 120 rutas distintas.

Podemos que

utilizar

tambin

la

frmula

de

las

permutaciones

y

decir

5. Cuntos nmeros de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero) existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2007/08) Vamos a calcular cuntos nmeros existen de 3 cifras, y luego restaremos la cantidad de los que tienen las 3 cifras iguales. Podemos elegir la primera cifra de entre 9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Las siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 10posibilidades cada una (los 10 guarismos). As que existen 9 10 10 = 900 nmeros de 3 cifras. De stos, un total de 9 tienen todas su cifras repetidas (111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999). As que la cantidad de nmeros pedida es de 900 9 = 891 6. En una carrera de maratn intervienen 3 espaoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pdium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, cuntos pdiums distintos pueden darse al acabar la carrera? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2006/07) Tenemos un total de 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 12 corredores. El primer puesto lo puede alcanzar cualquiera de los 12 corredores. El segundo est al alcance de 11 corredores, y el tercero puede ser para cualquiera de los 10 restantes. As que existen 12 11 10 = 1320 distintos pdiums posibles. Tambin repeticin podemos utilizar la frmula de las variaciones sin

7. Cuntos nmeros de 5 cifras son divisibles por 5? Para que un nmero sea divisible por cinco debe acabar en 0 5, as que: Podemos elegir la primera cifra de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no cuenta como nmero de 5 cifras). Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier guarismo). Tambin podemos elegir de entre 10 la tercera y la cuarta cifra. La ltima cifra solo puede ser 0 5, lo que nos da solo 2 posibilidades. As que existe un total de 9 10 10 10 2 = 18000 nmeros de 5 cifras divisibles por 5.

8. El juego de la lotera primitiva consiste en una cuadrcula con los nmeros del 1 al 49. El jugador debe escoger 6 nmeros de entre ellos y marcarlos. Luego debe esperar a que la combinacin que ha marcado coincida con la ganadora. De cuntas maneras distintas es posible rellenar un formulario de lotera primitiva? Aplicamos la frmula , lo que nos da

lo que arroja un total de 13 983 816 distintas combinaciones. 9. Lanzamos sobre una mesa 3 dados y observamos su puntuacin. Cuntas tiradas distintas podemos obtener? Una posible tirada sera 3-5-5, otra sera 2-6-3, etc. Adems, dara lo mismo sacar 26-3 que 6-2-3 que 3-2-6. Se trata de hallar las combinaciones con repeticin de 6 elementos (las 6 caras del dado, los nmeros del 1 al 6) tomadas de 3 en 3 (las 3 tiradas, o las 3 posiciones). As que n = 6 y m = 3. Esto tiene la misma solucin que las combinaciones sin repeticin de m + n -1 = 6 + 3 1 = 8 elementos tomados de 3 en 3. Calculamos: = 56 posibles combinaciones. 10. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar? m=9 a=3 b=4 c=2 a+b+c=9

S entran todos los elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

11. Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000? S entran todos los elementos. S importa el orden. No se repiten los elementos.

EJERCICIOS RESUELTOS

12. En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas? S entran todos los elementos. S importa el orden. S se repiten los elementos.

13. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

14. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar? No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

15. De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

16. A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

17. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Slo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans. S se repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

18. Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

19. Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices? Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vrtices. No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. Son , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

20. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 5 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si: 1. Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

21. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

22. Resolver las ecuaciones combinatorias: 1.