Ejercicios resueltos.
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA.
UNIVERSIDAD YACAMBÚ.
Bastidas Laura. ACP-133-00562
Teixeira Nelson. ACP-133-00729
Se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad
trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones.
Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones
algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar
por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.
RECORDEMOS
𝜋 rad= 180°
TEOREMA
1) lim𝑥→0
sen 𝑥
𝑥= 1
2) lim𝑥→0
1−cos 𝑥
𝑥= 0
1) E f(a) Que el punto x = a tenga imagen.
2) E lim𝑥→𝑎
f(x) Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3) f(x)= lim𝑥→𝑎
f(x) Que la imagen del punto coincida con el límite
de la función en el punto.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
Si al menos una de las condiciones se deja de cumplir, entonces la función no es continua.
Una asíntota, es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunascurvas y que se comporta como un límite hacia el cual la gráfica se aproximaindefinidamente, pero nunca lo toca y mucho menos lo salta.
En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, practicaremos las siguientes. Son rectas verticales asociadas a
la función, se encuentran presentesúnicamente en funciones racionales
de la forma 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)(al igual
que las horizontales), y su resultado
siempre debe ser +∞ ó -∞.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Se determinan haciendo que lavariable independiente “x” tienda alinfinito, lo que trae comoconsecuencia, que la función tienda aun valor determinado fijo, al quenunca va a llegar y mucho menossobrepasar.
1) Si 𝑓(𝑥)=
−4 𝑠𝑖 𝑥 − 2𝑥3
2𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
Hallar:
𝑎) lim𝑥→−2
f(x) 𝑏) lim𝑥→2
f(x)
Resolvemos.
𝑎) lim𝑥→−2
f(x)
lim𝑥→−2
+𝑥3
2= (−2)3
2= −8
2= -4
lim𝑥→−2
− -4 = -4
Entonces, como
lim𝑥→−2
+ f(x) = lim𝑥→−2
− f(x)
⟹ lim𝑥→−2
f(x) = -4
𝑏) lim𝑥→2
f(x)
lim𝑥→2
+ x-1 = 2-1 = 1
lim𝑥→2
−𝑥3
2= 23
2= 8
2= 4
Como lim𝑥→2
+ f(x) ≠ lim𝑥→2
− f(x)
entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
f(x) no existe.
2) Hallar
Resolvemos.
Sea 𝑦 = 𝑥 −𝜋
6⇒ 𝑥 = 𝑦 +
𝜋
6
Sea 𝑥 →𝜋
6⇒ 𝑦 → 0
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦
𝐶𝑜𝑠𝑦.𝑐𝑜𝑠𝜋
6−𝑠𝑒𝑛𝑦.𝑠𝑒𝑛
𝜋
6−
3
2
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦
𝐶𝑜𝑠𝑦.3
2−𝑠𝑒𝑛𝑦.
1
2−
3
2
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦
3
2𝐶𝑜𝑠𝑦−
3
2−1
2.𝑠𝑒𝑛𝑦
lim𝑥→
𝜋6
𝑆𝑒𝑛 𝑥 −𝜋6
𝐶𝑜𝑠𝑥 −32
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦
𝐶𝑜𝑠 𝑦.𝑐𝑜𝑠𝜋
6−
3
2
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦
32 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 −
12 𝑠𝑒𝑛𝑦
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦𝑦
32 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 −
12 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑦
lim𝑦→0
𝑆𝑒𝑛𝑦𝑦
32 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1
𝑦 −
12 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑦
lim𝑦→0
𝑠𝑒𝑛𝑦𝑦
32 lim
𝑦→0
𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1𝑦 −
12 lim
𝑦→0
𝑠𝑒𝑛𝑦𝑦
1
32. 0 −
12. 1
= 1
0−1
2
=1
−1
2
= -2
3) Hallar lim𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
4𝑥2
𝑆𝑒𝑎 𝜃 = 2𝑥𝑆𝑖 𝑥 → 0 ⇒ 𝜃 → 0
Resolvemos.
lim𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
(2𝑥)2
lim𝑥→𝜃
1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃2
lim𝑥→𝜃
1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)
lim𝑥→𝜃
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)
lim𝑥→𝜃
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)
lim𝑥→𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃. lim𝑥→𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃. lim𝑥→𝜃
1
1 + cos𝜃
1.1. 1
1+cos(0)
1
1+1=1
2
4) Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en -2
𝑓 𝑥=
𝑥3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2
𝑘𝑥2 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > −2
Como la función es continua en -2, entonces es continua por la derecha y por la izquierda de -2
f es continua por la derecha de -2, entonces:
𝑓 −2 = lim𝑥→−2
+ 𝑓(x)
lim𝑥→−2
+ 𝑘𝑥2 − 2𝑥(−2)3=
−8 = 𝑘 −2 2 − 2 −2
−8 = 4𝑘 + 4
4𝑘 = −8 − 4
4𝑘 = −12
𝑘 =−12
4
Resolvemos.
𝑘 = −3
5) Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación
𝑥𝑦2-𝑦2-4x-8= 0
Resolvemos.
“Despejamos y”
𝑥𝑦2-𝑦2-4x-8=0
⟹𝑥𝑦2-𝑦2 = 4𝑥 + 8
⟹𝑦2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8
𝑦2 =4𝑥 + 8
𝑥 − 1
𝑦 = ±4𝑥+8
𝑥−1
La gráfica de la función es la unión de las funciones:
𝑓(𝑥)=4𝑥+8
𝑥−1y 𝑔(𝑥)= −
4𝑥+8
𝑥−1
𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 y 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 son iguales:
4𝑥+8
𝑥−1≥ 0 ⟹
4(𝑥+2)
𝑥−1≥ 0
⟹𝑥+2
𝑥−1≥ 0
Raíces del numerador: x+2= 0 ⟹ 𝑥 = −2Raíces del denominador: x-1= 0 ⟹ 𝑥 = 1
+ + + - - - + + +−∞ +∞−𝟐 𝟏
X= -3 ⟹−3+2
−3−1=−1
−4= +
X= 0 ⟹0+2
0−1=
2
−1= -
X= 2 ⟹2+2
2−1= 4
1= +
𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 = (−∞, -2] U (1, +∞)
Asíntotas verticales (A.V)
El posible punto que origina A.V es x= 1
Como la función no esta definida en los puntos próximos y a la derecha de 1, entonces sólo calculamos los límites a la derecha de ambas funciones.
lim𝑥→1
+ 4𝑥 + 8 = 4.1 + 8 = 12 > 0 y lim
lim𝑥→1
+ 𝑥 − 1 = 1 − 1
lim𝑥→1
+f(x) = lim𝑥→1
+
4𝑥 + 8
𝑥 − 1
Por otro lado lim𝑥→1
+ g(x)= lim𝑥→1
+− f(x) = −∞
Entonces x= 1 es una Asíntota vertical.
= 0 positivamente, entonces:= lim
𝑥→1+
4𝑥+8
𝑥−1=
2
0= +∞
Asíntotas horizontales (A.H)
lim𝑋→±∞
f x = lim𝑋→±∞
4𝑥+8
𝑥−1= lim𝑋→±∞
4𝑥+8
𝑥𝑥−1
𝑥
= lim𝑋→±∞
4𝑥
𝑥+8
𝑥𝑥
𝑥−1
𝑥
= lim𝑋→±∞
4+8
𝑥
1−1
𝑥
= lim𝑋→±∞
lim𝑋→±∞
4+8
𝑥
lim𝑋→±∞
1−1
𝑥
= lim𝑋→±∞
lim𝑋→±∞
4 + lim𝑋→±∞
8
𝑥
lim𝑋→±∞
1 − lim𝑋→±∞
1
𝑥
=4
1= 2
lim𝑋→±∞
g(x)= lim𝑋→±∞
-f(x)= - lim𝑋→±∞
f(x)= -2
Entonces Y=-2 y Y=2 son A.H
Y
X
A.H
A.H
A.V
-2
-2
-2
2
1-1.
6) Sea g(x)= 2𝑥2 + 𝑥 Calcular: 𝑔′ 𝑥 por definición
Resolvemos.
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
2(𝑥 + ℎ)2+ 𝑥 + ℎ − (2𝑥2 + 𝑥)
ℎ
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
2 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥
ℎ
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥
ℎ
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
4𝑥ℎ + 2ℎ2 + ℎ
ℎ
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
ℎ(4𝑥 + 2ℎ + 1)
ℎ
𝑔′ 𝑥 = limℎ→0
4𝑥 + 2ℎ + 1 = 4𝑥 + 2 0 + 1 = 4𝑥 + 1
7) Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio
𝑓 𝑥 = −2, 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 32, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
Resolvemos.
Como la función es continua en su dominio, tenemos:
𝑎) lim𝑥→−1
𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim𝑥→−1
+ 𝑓 𝑥 lim𝑥→−1
− f(x)
lim𝑥→−1
+ (ax+b)= lim𝑥→−1
− (-2)
𝑎 −1 + 𝑏 = −2
−𝑎 + 𝑏 = −2
𝑏) lim𝑥→3
𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim𝑥→3
+ f(x)= lim𝑥→3
− f(x)
lim𝑥→3
+ 2= lim𝑥→3
− (ax+b)
2= a(3+b)
1
3a+b=2 2
Formamos un sistema de ecuaciones con 1 y 2
3
1 −𝑎 + 𝑏 = −23𝑎 + 𝑏 = 2
⇒ −3𝑎 + 3𝑏 = −63𝑎 + 𝑏 = 2
4b= -4
b= −4
4⇒ 𝑏 = −1
Sustituyendo b=1 en ecuación 2
3a+b= 2
3a+(-1)=2
3a-1=2
3a=2+1
3a=3
3a=3
3
a=1
Los valores son; a=1 y b=-1
No permitas que nadie diga que eres incapaz de hacer algo. Si tienes un sueño, debes conservarlo. Si quieres algo, sal a buscarlo, y punto. ¿Sabes?, las personas
que no logran conseguir sus sueños suelen decirle a los demás que tampoco podrán
cumplir los suyos. Con dedicación, todo se puede.
Esperamos habernos dado a entender, y servirles de ayuda, gracias.