“Año de la Diversificación Productiva y del

Fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUMBESFACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

ESCUELA DE INGENIERÍA FORESTAL Y MEDIO AMBIENTE

EJERCICIOS PROPUESTOS

ASIGNATURA : ESTADISTICA GENERAL

DOCENTE : Mg. Est Juan Blas Perez

ESTUDIANTE :

DIOSES PUELLES, JEISON

TUMBES – PERU

20

EJERCICIOS PROPUESTOS

DISTRIBUCION BINOMIAL

EJERCICIO Nº01

Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada

cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se

marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

B (10 , 15

) p = 15 q =

45

30.2%

EJERCICIO Nº02

1. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara

10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres

ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una

ocasión?

B (10, 14

)  p = 14 q = 3

4

EJERCICIO Nº03

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores

controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores

controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha

observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico

para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de

conductores es suficientemente importante como para estimar que la

proporción de infractores no varía al hacer la selección

Soluciones:

A. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan

cometido alguna de las dos infracciones.

B. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores

controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

EJERCICIO Nº04

La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es

p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.

¿Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación

típica?

EJERCICIO Nª05

En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar

y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces.

Calcular la media y la desviación típica.

B (10, 1/3)  p = 1/3 q = 2/3

EJERCICIO Nº06

Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una

proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro

laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la

probabilidad de los siguientes sucesos?

Soluciones:

A. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100 ,0.03) p=0.03q=0.97

B. Al menos dos tengan efectos secundarios.

0020

EJERCICIO Nº07

Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 5 por minuto. Si la distribución del número de llamadas es de Poisson, calcular la probabilidad de recibir menos de cuatro llamadas en un determinado minuto.

X = el número de llamadas por minuto que se reciben.λ= 5

P(X=x)= λxe− x

x !

Nos piden la probabilidad:

P(X<4) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404= 0,2650

EJERCICIO Nº08

Una prisión de máxima seguridad reporta que el número de intentos de escape por mes sigue una distribución aproximadamente poisson con una media de 1,5 intentos/mes. Calcule:

x=3λ=1.5

a. Probabilidad de tres intentos de escape durante el próximo mes.

P(x) = e -1.5  (1.5)3

3 ! = 12.55%

b. Probabilidad de al menos un intento de escape el próximo mes.

P(x) = e -1.5  (1.5)0

0 ! = 22.31%

                                                  100%-22.31%= 77.69%

EJERCICIO Nº09

El número medio de pacientes admitidos por día en la sala de emergencias de un hospital pequeño es 2,5. Si solo hay cuatro camas disponibles en dicha sala ¿cuál es la probabilidad de que un día cualquiera el hospital no tenga camas suficientes para acomodar los pacientes que lleguen?

λ = 2.5               P (x) = e-2.5 (2.5)4

4 ! = 13.36%

r=13.36%x = 4

EJERCICIO Nº10

Las últimas estadísticas de salud, afirman que en la zona del oriente antioqueño se presenta una alta incidencia de cáncer de estómago (120 casos por cada 100,000 habitantes). Suponga que se realizan exámenes a 1000 habitantes del municipio de Guarne y se asume que para éstos la tasa de incidencia es la misma que para toda la región del oriente antioqueño.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas examinadas tenga cáncer?

x = 0                                               np = λ = 1.2

n = 1000                                          P(x) = e-1.2 (1.2)0

0 ! = 0.301 = 30.1%                    

p = 120 / 100000

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 personas tengan cáncer?

x = 2                                                 P(x) = e-1.2 (1.2)2 / 2! = 0.2168 = 21.68%np = 1.2                                           

x = 1                                                 P(x) =  e-1.2 (1.2)1 / 1! = .3614 = 36.14%np = 1.2

x = 0                                                 P(x) =  e-1.2 (1.2)0 / 0! = .301 = 30.1%np = 1.2

        21.68%+36.14%+30.1%= 87.92%        100-87.92%= 12.08%

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8 personas tengan cáncer?

x = 7                                                 p(x) = e-1.2 (1.2)7 / 7! = .000214 = .0214%np = 1.2

x = 6                                                 p(x) = e-1.2 (1.2)6 / 6! = .0012 = .12%np = 1.2

x = 5                                                 p(x) = e-1.2 (1.2)5 / 5! = .0062 =.62%np = 1.2

x = 4                                                 p(x) = e-1.2 (1.2)4 / 4! = .0260 = 2.60%np = 1.2

x = 3                                                 p(x) = e-1.2 (1.2)3 / 3! = . 0867 =8.67%np = 1.2

x = 2                                                 P(x) = e-1.2 (1.2)2 / 2! = .2168 = 21.68%np = 1.2                                           

x = 1                                                 P(x) =  e-1.2 (1.2)1 / 1! = .3614 = 36.14%np = 1.2

x = 0                                                 P(x) =  e-1.2 (1.2)0 / 0! = .301 = 30.1%np = 1.2

30.1% + 36.14% + 21.68% + 8.67% + 2.60% + .62% + .12% + .0214% = 99.996%100% - 99.996% = .004%

d) Si efectivamente, entre las 1000 personas examinadas se encuentra que al menos 8 tienen cáncer, ¿podría afirmarse que la tasa de incidencia de cáncer en Guarne excede a la de la región en general?

8/1000= 8%        120/100000= .12%

d) No se puede afirmar

EJERCICIO Nº11

Un supervisor de seguridad en una empresa cree que el número esperado de accidentes laborales por mes es de 3.4

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes ocurran exactamente dos accidentes?

x = 2                                               λ = 3.4

p(x) = e3.4 (3.4)2

2 ! = 19.28%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes ocurran tres o más accidentes?

P (X ≥3 )=1−P (X<3 )

¿−1 [P ( x=2 )+P ( x=1 )+P(x=0) ]

¿1−e−3.4 (3.4 )2

2!+e−3.4 (3.4 )1

1 !+e−3.4 (3.4 )0

0 !=0.6603

c. ¿Qué supuestos debe hacer usted para resolver estas preguntas mediante la distribución Poisson?

EJERCICIO Nº12

Como una forma de hacer control de calidad en una empresa comercializadora de puertas de madera, el dueño exige que antes de salir de la fábrica cada puerta sea revisada en busca de imperfecciones en la superficie de madera. El encargado de control de calidad encontró que el número medio de imperfecciones por puerta es 0,5. El dueño decidió que todas las puertas con dos o más imperfecciones sean rechazadas y sean devueltas para su reparación.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una puerta falle la inspección y sea devuelta para su reparación?

x = 1                                     np = 0.5

P(x) = e-.5 (.5)1 / 1! =  .3032 = 30.32%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una puerta pase la inspección?

x = 0 np = 0.5

P(x) = e-.5 (.5)0/ 0! =  .6065 =60.65%

60.65% + 30.32% = 90.97%

100% - 90.97% = 9.03%

EJERCICIO Nº13

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar

a) una imperfección en 3 minutos.b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos.c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a)      x = 3 minutos = 0, 1, 2, 3,...., etc.

 = 0.2 x 3 = 0.6                        

 b)      X = 5 minutos = 0, 1, 2, 3,...., etc., etc.

 = 0.2 x 5 =1 

                       =1- (0.367918+0.367918) = 0.26416 

c)      X = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3,....., etc., etc.

 = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata            

 = 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

NORMAL ESTANDAR

EJERCICIO Nº14

Coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si se selecciona un aspirante al azar, encuentre la probabilidad de que:

a) Tenga un coeficiente mayor de 120

Z= X−μσ

=¿ 120−115

12=0.41

z 10.41 Ver

tabla

b) Tenga un coeficiente menor de 100

Z= X−μσ

=¿ 100−115

12=−1.25

z 5-1.25 Ver

tabla

c) Tenga un coeficiente menor de 122

Z= X−μσ

=¿ 122−115

12=0.58

Z 50.58 Ver tabla

d) El area de 0.28096 corresponde a la que se encuentra a la derecha del valor z, pero no es la que nos interesa en esta vez, el area que queremos encontrar es la que se encuentra a

la izquierda del valor z, que podemos calcular restando el area de 0.28096 al area total bajo la que es 1

z 50.58 0.28096

e) Tenga un coeficiente entre 115 y 125

Z= X−μσ

=¿ 122−115

12=0.83

f) El are a la derecha de x = 125 es parte del area a la derecha de x = 115, si la restamos obtendremos el area que se encuentra entre los dos valores.

P (115<x<125 )=0.5−0.20327=0.29673

g) Tenga un coeficiente entre 90 y 125

Z= X−μσ

=¿ 90−115

12=−2.08

Z= X−μσ

=¿ 105−115

12=−0.83

Usar tabla

EJERCICIO Nº15

Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros,

μ = 200 σ = 15

a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?

P(X > 224) = 1 - [(224 – 200)/15 ] = 1 - [1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548

b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?

P(191 < X < 209) = [209 – 200)/15 ] - [(191 – 200)/15 ]= [0.60 ] - [-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514

c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas?

P(X > 230) = 1 - [(230 – 200)/15 ] = 1 - [2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228

Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23

d) ¿por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?

P25 K = 25area = 0.25 ∅ (z )=0.25Z=o .67

x=Zσ+μ=(−0.67 ) (15 )+200=189.88

EJERCICIO Nº16

La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.

μ = 10 y σ = 2P3 Área = 0.03 (Z) = 0.03 Z = -1.88x = Zσ + μ = (-1.88) (2) + 10 = 6.24

EJERCICIO Nº17

La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos.

a) ¿qué proporción de estos componentes excede los 10 150 kg por centímetro cuadrado de resistencia a la tracción?

μ=15.90 y σ=1.5unidades=50e=+25

P (X>10150 )=P ( X>10175 )=1−∅ [ (10175−10000 )100 ]

¿1−∅ (1.75 )=1−0.9599=0.0401

b) si las especificaciones requieren de todos los componentes tengan resistencia a la tracción entre 9800 y 10 200 Kg por centímetro cuadrado inclusive, ¿Qué proporción de piezas esperaría que se descartara?

Proporcion de descarte = 1 – P(9800 < X < 10 200)

P(9800 < X < 10 200) = P(9775 < X < 10 225)

∅ [ (10 225−10 000 )100 ]−∅ [ ( 9975−10 000 )

100 ]¿∅ (2.25 )−∅ (−2.25 )=0.9878−0.0122=0.9756

Proporcion de desastre = 1 – 0.9756 = 0.0244

EJERCICIO Nº18

La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a) Entre 60 kg y 75 kg.

b) Más de 90 kg.

c) 64 kg o menos.

EJERCICIO Nº19

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

EJERCICIO Nº20

El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 kg y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, calcular: 

X = peso de un toro μ = 500 Kg. σ = 45 Kg 

X ~ N (500 Kg, 45 Kg). n = 2000

a) Cuántos pesarán más de 540 kg

z = (x - μ) / σ

z = (540Kg−500Kg)

45Kg=0.89

 1 – 0.8133 = 0.1867 →18.6 %

b) Cuántos pesarán menos de 480 kg.

z = (x - μ) / σ

z = (480Kg−500Kg)

45Kg=−0.44

Según la tabla de distribución normal (áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a z)= 0,33 →33 %

c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg.

Para 490 Kg: 

z = (x - μ) / σ

z = (490Kg−500Kg)

45Kg=−0.22

0.5 – 0.4126 = 0.0871 →8.71 %

Para 510 Kg:

z = (x - μ) / σ

z = (510Kg−500Kg)

45Kg=0.22

0.5871 – 0.5 = 0.871

Entonces, la probabilidad de que un toro pese entre 490 y 510 Kg es de:

0,0871 + 0,0871 = 0,1742 →El 17,42%