Ejercicios Programación Lineal Resueltos

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESINTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIO 3

La carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Él ha obtenido la información nutricional y de costo que se muestra en el siguiente cuadro. Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo.

a) Formule un modelo de programación lineal.b) Resuelva este problema utilizando el método simplex gráfico.

Solución:

Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones

IngredientesGramos de Ingredientes

por Porción Requerimiento diario en gramos

Res PapasCarbohidratos 5 15 50

Proteínas 20 5 40

Grasas 15 2 60

Costo por porción $4 $2


Identificando Variables:X1= Numero de porciones necesarias de Res que debe consumir

X2= Numero de porciones necesarias de Res que debe consumir

Formulación

Minimizar Z= 4x1+2x2

Sujeto a: 5x1+15x250

20x1+5x240

15x1+2x260

x1, x20


a) 5x1+15x2=50

Si x2=0; x1=505 = 10

Si x1=0; x2=5015 = 3.33

c) 20x1+5x2=40

Si x2=0; x1=4020 = 2

Si x1=0; x2=405 = 8

b) 15x1+2x260Si x2=0; x1=6015 = 4

Si x1=0; x2=602 = 30


Graficacion en GeoGebra



Soluciones Factibles

a) Z(0,8) = 4(0)+2(8) = 16

b) Z(1.27,2.91)= 4(1.27)+2(2.91) = 10.9

c) Z(3.72,2.09)= 4(3.72)+2(2.09) = 20.68d) Z(0,30) = 4(0)+2(30) = 60

RESPUESTA:

“Se deben consumir 1.27 porciones de res y 2.91 de papas a un costo mínimo de $10.9 dólares”



EJERCICIO 4

La compañía Par es un pequeño fabricante de equipo y suministros para golf. El distribuidor de Par cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, denominada modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, denominada modelo de lujo. El distribuidor esta tan confiado en el mercado que, si Par puede hacer las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor comprará todas las bolsas que Par pueda fabricar durante los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de manufactura dio como resultado la siguiente tabla, que muestra los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación hecha por el departamento de contabilidad de la contribución a la ganancia por bolsa.

El director de manufactura estima que dispondrá de 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de bolsas de golf durante los siguientes tres meses.

a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.b) Resuelva el problema utilizando el método simplex gráfico ¿Cuál es la solución óptima?


Producto

Tiempo de producción (horas)Ganancia por

bolsaCorte y teñido Costura Terminado Inspección y

empaque

Estándar 7/10 1/2 1 1/10 $10

Lujo 1 5/6 2/3 1/4 $ 9


Solución:

Identificando Variables:X1= Cantidad de bolsas de golf estándar.

X2= Cantidad de bolsas de golf de lujo.

Función Objetivo: zMax: 10x1+9x2

Sujeto a: 710

x1+ 1x2 630

12X1 +56x2 600


ProcesosTiempo de producción

en horas Horas DisponiblesEstánd

ar De Lujo

Corte y Teñido

710 1 630

Costura 12

56 600

Terminado 1 23 708

Inspección y empaque

110

14 135

Ganancias por Bolsa $10 $9


1x1+23x2708

110X1 +14x2 135

x1,x20

a) 710 x1+ 1x2 630

Si x2=0; x1=630(10)7 = 900

Si x1=0; x2= 630

b) 12X1 +56x2 600

Si x2=0; x1=630(10) = 1200

Si x1=0; x2=630(6)5 = 720

c)1x1+23x2708

Si x2=0; x1=708

Si x1=0; x2=708(3)2 = 1062



d) 110X1 +14x2 135

Si x2=0; x1=135(10) = 1350Si x1=0; x2=135(4)= 540




Solución Factible

a) Z(0,540) = 10(0) +9(540) = 4860b) Z(300,420)= 10 (300)+ 9 (420) = 6780

c) Z(540,252)= 10 (540)+ 9 (252) = 7668

d) Z(708,0) = 10 (708)+ 9 (0) = 7080

RESPUESTA:

“Se deben producir 540 bolsas de golf estándar y 252 de bolsas de lujo para obtener una ganancia máxima de $7668 dólares”

EJERCICIO 5



Al restaurante Jacarandas le gustaría determinar la mejor forma de asignar un presupuesto de publicidad mensual de $1000 entre periódicos y radio. La administración decidió que al menos 25% del presupuesto debe gastarse en cada tipo de medio de comunicación y que la cantidad de dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe ser al menos el doble de la cantidad gastada en publicidad en radio. Un asesor en mercadotecnia elaboró un índice que mide la penetración en la audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en la que valores más altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice para la publicidad en periódicos locales es 50 y el valor del índice para los espacios publicitarios en radio es 80, ¿cómo debería asignar el restaurante su presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia?

a) Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar cómo debería asignar el restaurante su presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia.

b) Resuelva el problema utilizando el método simplex gráfico.

Solución:

HipótesisMedios de Difusión Recurso con el

que se cuenta

Periódicos Radio $1000

Administración 25% 25%Administración 2 2x x

Índice de Penetración por

medio50 puntos 80 puntos



X1= Presupuesto de Publicidad en Periódicos

X2= Presupuesto de Publicidad en Radio

Formulación

Maximizar Z= 50x1+80x2

Sujeto a: x1+x2100

x1250

x2250

x1= 2x2

x1,x20


b) x1250

c) x2250

x2=250

x1=250

a) x1+x2=1000

Si x2=0; x1=1000Si x1=0; x2=1000

d) 2x1=x2

Por ejemplo: si x1 vale 200, x2 valdría 100.


Solución Factible

a) Z(666.67,333.33)= 50 (666.67)+ 80(333.33) = 59,999.99

Z(750,250) = 50(750)+ 80(250) = 57,500

RESPUESTA:

“Se deben asignar $666.67 dólares para la publicidad en Periódicos y $333.33 dólares para publicidad en Radio para obtener un nivel máximo de audiencia de 59,999.99 puntos”

EJERCICIO 6



Embassy Motrocycles (EM) fabrica dos motocicletas ligeras diseñadas para un manejo fácil y seguro. El modelo EZ-Rider tiene un motor nuevo y un perfil bajo que la hace fácil de equilibrar. El modelo Lady-Sport es un poco más grande, usa un motor más tradicional y está diseñada de manera específica para atraer a las mujeres. Embassy produce los motores para ambos modelos en su planta de Des Moines, Iowa. Cada motor EZ-Rider requiere 6 horas de manufactura y cada motor Lady-Sport requiere 3 horas de manufactura. La planta de Des Moines tiene 2100 horas de manufactura de motores disponibles para el siguiente periodo de producción. El proveedor de cuadros de motocicleta de Embassy puede surtir tantos marcos de la EZ-Rider como sean necesarios. Sin embargo, el cuadro de la Lady-Sport es más complejo y el proveedor sólo puede proporcionar hasta 280 cuadros para el siguiente periodo de producción. El ensamble y prueba finales requieren 2 horas para cada unidad de EZ-Rider y 2.5 horas para cada unidad de Lady-Sport. Se dispone de un máximo de 1000 horas de tiempo de ensamble y prueba para el siguiente periodo de producción. El departamento de contabilidad de la compañía proyecta una contribución a la ganancia de $2400 dólares para cada EZ-Rider producida y $1800 dólares para cada Lady-Sport producida.

a) Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar la cantidad de unidades de cada modelo que deberían producirse para maximizar la contribución total a la utilidad.

b) Resuelva el problema utilizando el método gráfico. ¿Cuál es la solución óptima?

Procesos necesarios Tipo de Presentación Recursos disponibles(horas)EZ-Rider Lady-Sport

Manufactura 6 3 2100Provisión Las que sea necesario 280Ensamble y pruebas finales 2 2.5 1000Contribución de Ganancia $2400 $1800

Identificando Variables:



X1= Numero de motos EZ-Rider

X2= Numero de motos Lady Sport

Formulación

Maximizar Z= 2400x1+1800x2

Sujeto a: 6x1+3x22100

X2280

2x1+2.5x21000

x1,x20


b) x2280

x2=280

a) 6x1+3x2=2100

Si x2=0; x1=350Si x1=0; x2=700

c) 2x1+2.5x21000

Si x2=0; x1=500Si x1=0; x2=400


Solución Factible:

a) Z(0,280) = 2400(0) +1800(280) = 504000b) Z(150,280)= 2400 (150)+ 1800 (280) = 864000

c) Z(250,200)= 2400 (250)+ 1800 (200) = 960000

d) Z(350,0) = 2400 (350)+ 1800 (0) = 840000

RESPUESTA:

“Se deben producir 250 unidades de la moto EZ-Rider y 200 unidades de la moto Lady Sport para obtener un máximo de ganancia de $960000 dólares”


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