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  • 8/17/2019 ejercicios primarias

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    Nombre del Profesor: jajajajajaj Guía N° 1

    Nombre del Estudiante:  ___________________________________ Nivel: NM3

    Sector de Aprendizaje: Matemática.

    Unidad: Lógica de proposiciones.

    En esta unidad:

    Reconocerás y aplicarás los conectores lógicos en distintas proposiciones ormuladas. Resol!erás a tra!"s de ta#las de !erdad la !erosimilitud de distintas proposiciones. Resol!erás desaíos $ue in!olucren los contenidos de lógica en su resolución.

    LOGIA !A"E!A"IA.

    %.& '(N')*+(, -N/0M)N+0L),.

    Francisco Arratia Camus

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    %.1.& /)-%N%'%(N.La Lógica Matemática es una R0M0 más de L0, M0+)M0+%'0, como lo son por ejemplo La 0ritm"tica )l0lge#ra La Geometría etc.2 con sus elementos propios de tra#ajo con sus operaciones particulares #iendeinidas y $ue solo son !álidas en su conteto y con sus pro#lemas especíicos y $ue es lo $ue en conjuntocaracteri4a a cada una de ellas.

    %.5.& )L)M)N+(, /) +R0607(.Los elementos de tra#ajo de La Lógica Matemáticas es decir los entes matemáticos con  los cuales y so#re los

    cuales !a a operar  son las *R(*(,%'%(N),. Las proposiciones son a la Lógica Matemática lo $ue los Naturalesson a la 0ritm"tica2 los Racionales al 0lge#ra2 las -unciones al 'álculo etc. y al igual $ue en estos casos lasproposiciones tienen su deinición $ue es8

    *R(*(,%'%(N),8na *roposición es un enunciado $ue puede ser -also 9-: o !erdadero 9;: 

    pero N( am#as cosas a la !e4 o ninguna de ellas en orma simultánea.

    )n general las proposiciones se indican mediante las letras min por ejemplo8

    p8 )l ? es un n es limitada entonces se utili4an los su#índices en cada unade ellas para ampliar nuestra disponi#ilidad de elementos. *or ejemplo8

    p18 ,on las B de la tarde.p58 )sta clase es de -%,%'0.p38 n polinomio es deri!a#le en todos los reales.p?. )l n

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    OPE#AION $INA#IA%

    Una Operaci&n $inaria es una #e'la de orrespondencia

    mediante la cual a cada par ordenado de un conjunto 00

    le corresponde uno y solo un elemento del mismo conjunto 0.

    Se'(n la definici&n anterior) una Operaci&n $inaria se define para los elementos de un onjunto A *solamente ser+ v+lida para ellos% As, a cada Par de elementos del onjunto le corresponder+ UNO *

    SOLO UN elemento del mismo conjunto% Es lo -ue se llama una Operaci&n errada% .iene a ser unafunci&n -ue tiene como dominio al producto cartesiano A/A * como codominio al conjunto A% Es

    decir:

    8 0×0→0

    Ejemplos:

    p0: La suma NO es cerrada en el conjunto de los Impares%

      La suma de /(, impares nos da un n

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    p - p∨

     -

    ; ; ;

    ; - ;

    - ; ;

    - - -

    ON2UNION%

    La onjunci&n es una Operaci&n $inaria de la L&'ica !atem+tica 

    deinida entre /(, proposiciones y $ue da como resultado otra proposición $ue será ;)R/0/)R0 si y solo sí las 

    proposiciones operadas son !erdaderas simultáneamente.

    0nálisis de la /einición8

    1.& Nue!amente esta deinición se /0 y se acepta '(M( !álida de acuerdo a lo aclarado en el punto 1 del análisispara la disyunción.5.& ,e deine entre /(, proposiciones = p = y = $ =.3.& ,e represente mediante el sím#olo = ∧ = y se lee como = y =. 0sí8 p ∧ $8 se lee como8 =p y $ =.?.& )l resultado es (+R0 proposición característica Heredada por ser una (peración 6inaria.

    @.& ,iendo el resultado de una conjunción otra proposición por deinición esta puede ser - o ;.A.& 0si esta (peración se deine a partir de !alidar la proposición resultante.B.& La $ue es ; si am#as = p y $ = son ; simultáneamente en caso contrario es -.D.& -inalmente tam#i"n en este caso podemos construir una ta#la de !erdad la $ue nos deine es$uemáticamente"sta operación en la orma siguiente8

    p - p ∧  -

    ; ; ;

    ; - -

    - ; -

    - - -

    7unto con esta /(, operaciones 6inarias se deine otra operación $ue se aplica so#re una sola proposición esdecir N( es una operación #inaria. +al operación es la N)G0'%(N la $ue se deine en los t"rminos siguientes8

    NEGAION

    La ne'aci&n de una proposici&n 3 p 3 dada) es otra proposici&n 

    $ue será ; si la proposición operada es - y !ice!ersa

    es - si la original es ;. )sta operación se representa mediante el sím#olo = ∼  = y se lee como = No > 

     

    Francisco Arratia Camus

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    La correspondiente ta#la de !erdad es8

    p  ∼

    p

    ; -

    - ;

     

    )jemplos8)ect

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    conocimiento matemáticos. )s decir solamente proposiciones $ue in!olucren conocimiento de las matemáticasserán los $ue estudiaremos y e!entualmente !alidaremos.0Hora #ien 'ómo sa#er si un ra4onamiento es correcto. /ado $ue el resultado de un ra4onamiento !a a estarepresado mediante una proposición y esta proposición !a a ser acti#le de epresar mediante las operacioneslógicas entonces si la ta#la de !erdad asociada a la operación es correcta el ra4onamiento tam#i"n lo serádesde el punto de !ista de la lógica.

    0+)N'%(NO.+odo conocimiento como resultado de un ra4onamiento de#e ser

    epresa#le mediante las operaciones de la lógica matemática.

    )s decir toda epresión de la lógica matemática $ue in!olucre proposiciones conjunciones disyunciones yPonegaciones representa un ra4onamiento y como ya lo Hemos mencionado la !alidación de tales operaciones sereali4a mediante la correspondiente ta#la de !erdad por lo tanto8

    N R0J(N0M%)N+(8 

    • ,erá ;)R/0/)R( si su ta#la de !erdad lo es tam#i"n independientemente de los !alores de !erdad o 

    alsedad de las proposiciones in!olucradas en "l.9Ra4onamiento +autológico o +autología:.

    • ,erá -0L,( si su ta#la de !erdad lo es tam#i"n independientemente de 

    los !alores de !erdad o alsedad de las proposiciones in!olucradas en "l.

    9Ra4onamiento 'ontradictorio o 0#surdo:.

    • 0Hora $ue si su !alor de !erdad depende de los !alores de las proposiciones in!olucradas se dice $ue el ra4onamiento es 'ontingente.

     *or lo anteriormente dicHo solamente los ra4onamientos tautológicos serán de nuestro inter"s.

    *ero8 'ómo podemos modelar un ra4onamiento.

    *ara lograr lo anterior es necesario identiicar en primera instancia el ra4onamiento M0, elemental $ue puedaeistir. )sto signiica algo así como identiicar el ra4onamiento mínimo posi#le $ue se pueda dar. +alra4onamiento mínimo es la %N-)R)N'%0 M0+)R%0L llamada tam#i"n simplemente inerencia lógica la cual sedeine como8

    %N-)R)N'%0 M0+)R%0L.

    )s la orma más elemental $ue adopta una Ra4onamiento en la Lógica Matemática. ,e deine entre /(, 

    proposiciones8 na la primera llamada 0ntecedente o Qipótesis y otra la segunda 'onsecuente o +esis. /ado $ue es la coneión entre /(, proposiciones entonces nos da como resultado otra proposición $ue será ; si am#as 

    son ; o si el 0ntecedente es - independientemente del 'onsecuente. ,e representa mediante el sím#olo = →  = y 

    se lee8 =,i . . .)ntonces . . . > así en la inerencia =p→ 

     $> la leemos8 ,i p entonces $.

    /e acuerdo con la deinición anterior tendremos la siguiente +a#la de ;erdad $ue nos permite !alidar una%nerencia.

    p - p → -

    ; ; ;

    ; - -

    Francisco Arratia Camus

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    - ; ;

    - - ;

    )jemplo8

    'on las siguientes proposiciones construya las %nerencias $ue se piden. ;alídelas.

    p8 ? y 1E son n

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    ,i empleamos las deiniciones $ue Hemos dado para o#tener la +a#la de ;erdad de esta epresión !eremos $ue esid"ntica a la de la %nerencia Lógica por lo tanto am#as son e$ui!alentes por lo $ue la %nerencia la podemosepresar para eectos de análisis mediante esta ecuación.

    )7)R'%'%(, No. ?.

    (#teniendo la +a#la de ;erdad !erii$ue la identidad entre la %nerencia Lógica y la )cuación anterior.

    0Hora sí ya estamos en posi#ilidad de Modelar Ra4onamientos. ,in em#argo8 'ómo podemos traducir unra4onamiento a una )cuación de la Lógica. )sto lo !eremos en el punto siguiente.

    %.@.& L0 L(G%'0 /) L0 /)M(,+R0'%(N.

    La Lógica de la /emostración es una de las pocas ramas de las Matemáticas $ue Han trascendido a tra!"s deldesarrollo de la Humanidad y tiene como o#jeti!o8

    '(N-)R%RL) 0 L(, '(N('%M%)N+(, 

    M0+)M0+%'(, L0 '0+)G(R%0 /) ;)R/0/), 

    06,(L+0, )N , *0R+%'L0R '(N+)S+(.

    )sto signiica $ue todo conocimiento matemático $ue se desarrolla y por consecuencia se enuncia como nue!o amedida $ue la ciencia a!an4a or4osamente de#e ca#er en el pa$uete cognosciti!o $ue en su momento esaceptado como tal y de#e a!enirse a las reglas del juego $ue en su momento están esta#lecidas. 'uando no se da

    este caso casi siempre la lucHa para $ue tal conocimiento se preser!e a sido a costa de la propia !ida de losimpulsores.

    )ntonces cuando un nue!o conocimiento es enunciado la inercia a aceptarlo es ele!ada y en primera instancia se#usca desacreditarlo mediante lo $ue !endría a ser )l *rimer M"todo de /emostración $ue es8

    )L '(N+R0)7)M*L( 

    'onsiste #ásica en presentar un ejemplo $ue niegue la 

    ase!eración $ue el conocimiento está enunciando.

    0nálisis del M"todo8

    1.& )strictamente Ha#lando este M"todo no es un M"todo para demostrar $ue 0LG( es !erdadero sino parae!idenciar $ue ese 0LG( es also mediante el ácil recurso de dar un ejemplo $ue in!alida el conocimiento de aHísu nom#re de 'ontraejemplo.

    )7)M*L(8p18 +odos los peces son o!íparos.

    p58 +odos los seres Humanos tiene /(, #ra4os.

    *38 +oda unción continua es deri!a#le.

    *?8 +odo cuerpo $ue se deje a la li#re acción de la gra!edad tiende a caer.

    La orma más aca#ada en el sentido de la perección de un ra4onamiento es el $ue se da en la /emostración deun enunciado matemático. /emostrar $ue una proposición $ue encierra un conocimiento matemático es !erdaderaserá en primera instancia el punto de nuestro inter"s. )s decir nuestro tra#ajo será eectuar una demostración

    Francisco Arratia Camus

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     y !eriicar $ue el ra4onamiento in!olucrado es lógicamente correcto. /e acuerdo con los estudiosos del +emademostrar $ue una proposición es ;)R/0/)R0 es la principal acti!idad del Lógico.

    na !e4 $ue el enunciado a superado la prue#a continua de los 'ontraejemplos es decir una !e4 $ue tal enunciado=tiene !isos de ser !erdadero> entonces !iene el proceso de /emostración. 0sí dependiendo del enunciado enparticular se empleará el M"todo de /emostración más adecuado sin em#argo el t"rmino adecuado en ocasionesimplica $ue ninguno otro M"todo es aplica#le por las características intrínsecas del enunciado mismo.

    )l M"todo por ecelencia de la demostración matemática es8

    M)+(/( /%R)'+( 

    *arte del consecuente o Qipótesis y empleado deiniciones

    propiedades yPo conocimientos pre!iamente demostrados a 

    partir de ella ormamos una cadena de %nerencias Lógicas 

    la $uede manera natural nos lle!a a la +esis.

    0nálisis del M"todo.

    1.& )s el M"todo de /emostración por ecelencia de la Matemática.

    5.& ,e dice $ue es un m"todo constructi!ista ya $ue el conocimiento se construye mediante la demostración.3.& Nos lle!a directamente de la Qipótesis a la +esis.

    ?.& La Qipótesis siempre es !erdadera.

    @.& 0 partir de ella se deri!a una proposición cuya !eracidad de#e demostrarse.

    A.& La proposición inal siempre es la +esis.

    B.& )l ra4onamiento es una +autología. )s decir su +a#la de ;erdad siempre es ;erdadera independientementede los !alores $ue adopten las proposiciones.

    D.& )l M"todo se plantea seg

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    1E:.& /e acuerdo con nuestra deinición la )cuación correspondiente es8

    ∼[ p ∧ 9 ∼p ∨ p1 : ∧ 9 ∼p1 ∨ p5 : ∧ 9 ∼p5 ∨  p3 : ∧  . . . 9 ∼pn ∨  $ : ] ∨ $

    )7)M*L(, I )7)R'%'%(,.&

    a:.& tili4ando el M"todo /irecto de demostración demuestre las siguientes proposiciones8

    p18 La suma de dos n

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    $8 0 6 es un n

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    /%,IN'%(N /) '0,(,.

    'onsiste #ásicamente en emplear alguno de los m"todos anteriores para cada una de las alternati!as $ue puede 

    adoptar muestra proposición a demostrar.

    )7)M*L(8/emuestre la proposición anterior empleando una /o#le Reducción al a#surdo.

    -inalmente en Matemáticas se presentan un serie de proposiciones cuya !alide4 está restringida a los elementosde un conjunto pre!iamente deinido. *or ejemplo sean las proposiciones8

    p18 La ,uma de los primeros =n> naturales está dada por8 9n:9n1:P5.

    p58 La suma de los primero =n> impares esa dada por n5.Las proposiciones son e!identes y están enunciadas 9,on !álidas: en el conjunto de los naturales o en alg 

    )ntonces tal proposición se cumple para todo elemento U del conjunto 6.

    0nálisis de la deinición8

    1.& La proposición se enuncia en un conjunto 6 6ien (rdenado $ue es a$uel $ue8

      a:.& +iene un primer elemento #ien identiicado.

      #:.& 0 todo elemento U de 6 le sigue uno y solo un elemento U1 #ien identiica#le.

    5.& La proposición se ;0L%/0 directamente so#re el primer elemento. )s decir se !eriica $ue el primeroelemento de 6 la satisaga.

    3.& ,e supone $ue tal proposición la satisace el elemento U ε 6 ar#itrario. *or Hipótesis esta suposición ,%)M*R)es !erdadera.

    ?.& ,i utili4ando la Hipótesis anterior podemos demostrar $ue el siguiente elemento U1 de 6 satisace laproposición entonces8

    @.& ,e iniere $ue la proposición es !álida para todo elemento de 6.Francisco Arratia CamusPágina12

     Raíces

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    E2E#IIOS%

    1. (6+VN L0 +06L0 /) ;)R/0/ /) L0, ,%G%)N+), )S*R),%(N), *R(*(,%'%(N0L),8• 9p ∧ $: ∨ pT ∨  $T• 9p ∧ $: ∨  pT• 9p ∧ $T: ∨  9pT ∧ $:• 9p ∧ $ ∧ r: ∨  9pT ∧ $ ∧ rT: ∨  9pT ∧ $T ∧ rT:

    5. ;)R%-%'0 W) '0/0 N0 /) L0, ,%G%)N+), )S*R),%(N), ), N0 +0+(L(GX0.• p ⇒  p• p ∧ 9 p ⇒ $: ⇒ $• pT⇒ 9 p ⇒ $:• Y9p ⇒ $: ∧ 9$ ⇒ r:Z ⇒ 9p⇒r:• 9p ⇒ $: ⇒ [Yp ∨ 9$ ∧ r:Z ⇔ $∧ 9p ∨ r:}

    E2E#IIOS P#OPUES"OS%

    #esuelve los si'uientes ejercicios en tu cuaderno%

    0%45 ,i la proposición 99∼p ∧ $: ∨ r:↔ 9p ∨ ∼p: es !erdadera y ;L9r:E determina ;L9p: y ;L9$:

    6%45 'onsideremos las siguientes proposiciones8  p8 E es la

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    +ito8 7uan llegó primero y yo segundo/iego8 7uan llegó segundo y yo cuarto*ato8 ,antiago llegó $uinto y yo tercero7uan8 *ato llegó primero y yo $uinto,antiago8 7uan llegó tercero y yo cuarto