Ejercicios PL I.O.

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Ejercicios resueltos 1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galón respectivamente. Para la producción de estos combustibles, la compañía cuenta con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000 galones de petróleo refinado. Además se a establecido que el costo de galón de petróleo crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la gasolina corriente debe contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petróleo crudo y 70% de petróleo refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petróleos. Plantee el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa. ------------- -- P. CRUDO P. REFINADO PRECIO/GALON CORRIENTE 40% 60% $4000 EXTRA 30% 70% $4500 ACPM 50% 50% $4100 DISPONIBILIDA D 5000 galones 7000 galones PRECIO/GALON $3000 $3500

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PROGRAMACION LINEAL PARA INVESTIGACION DE OPERACIONES COMO MODELO MATEMATICO DETERMINISTICO

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Ejercicios resueltos

1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a

establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galón

respectivamente. Para la producción de estos combustibles, la compañía cuenta

con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000 galones de

petróleo refinado. Además se a establecido que el costo de galón de petróleo

crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la

gasolina corriente debe contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo

refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petróleo crudo y 70% de petróleo

refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petróleos. Plantee

el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa.

--------------- P. CRUDO P.

REFINADO

PRECIO/GALON

CORRIENTE 40% 60% $4000

EXTRA 30% 70% $4500

ACPM 50% 50% $4100

DISPONIBILIDA

D

5000

galones

7000

galones

PRECIO/GALON $3000 $3500

->Lo primero que hacemos es definir las variables a usar en el modelo de

programación lineal:

X1= Galón de gasolina corriente; X2= Galón de gasolina extra; X3= Galón de

ACPM; X4= Galón de petróleo crudo; X5= Galón de petróleo refinado.

->Ahora definimos nuestra función objetivo, que es:

Zmax= 4000X1+4500X2+4100X3-(3000X4+3500X5)

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->Y las restricciones a las que esta sometido nuestro problema son:

RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. CRUDO:

R1= 0.4X1+0.3X2+0.5X3 ≤ 5000

  RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. REFINADO:

                  R2= 0.6X1+0.7X2+0.5X3 ≤ 7000

RESTRICCIONES DE POSITIVIDAD:

                   X1,X2,X3,X4,X5 ≤ 0

  

2.      Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y

Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres

componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de

cada crudo es:Restricciones:

CRUDO 1 2 3

A 80% 10% 5%

B 45% 30% 20%

C 30% 40% 25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:

TIPO DE

GASOLINA

A B C

SUPER ≥60% ≤25% ≥10%

Page 3: Ejercicios PL I.O.

NORMAL ≥50% ≤30% ≤15%

EURO ≤40% ≥35% ≥20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente.

El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de

crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos

obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las

gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente,

que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina

Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES: 

Xij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de

barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente

de los crudos.

->Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea

maximizar la producción de gasolina Euro:

Zmax= XAE+XBE+XCE

  

  ->Restricciones de cantidades:

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.6 (XAS+XBS+XCS)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.25 (XAS+XBS+XCS)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.1 (XAS+XBS+XCS)

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0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.5 (XAN+XBN+XCN)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.3 (XAN+XBN+XCN)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≤ 0.15 (XAN+XBN+XCN)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≤ 0.4 (XAE+XBE+XCE)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≥ 0.35 (XAE+XBE+XCE)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.2 (XAE+XBE+XCE)

  ->Restricción de costos diarios:

     650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) ≤ 50 millones

  ->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

XBS+XBN+XBE ≤ 3000 barriles.

XCS+XCN+XCE ≤ 7000 barriles.

  ->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:

(XAS+XBS+XCS) ≥ 2000 barriles

(XAN+XBN+XCN) ≥ 2500 barriles

  ->Restricción de mínimo de compras de crudo A:

(XAS+XAN+XAE) ≥ 2500 barriles.

Page 5: Ejercicios PL I.O.

  ->Restricción de positividad:

 Xij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

3. Una compañía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un

precio de venta por unidad de $9000 y $10000 respectivamente. Para la

producción de dichos artículos, la compañía cuenta con una disponibilidad

mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de

lija. ¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar mensualmente, si

se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6

pliegos de papel de lija; mientras que el escritorio consume 10 metros de madera,

8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?

Determinamos primero que todo, nuestras variables que son:

X1= Número de bibliotecas; X2= Número de escritorios.

Ahora, la función objetivo es:

Zmax=9000X1+10000X2

Restricciones:

·         Restricción de cantidad de madera a emplear:

                      7X1+10X2 ≤ 700 m

·         Restricción de cantidad de tubo a emplear:

                     10X1+8X2 ≤ 800 m

·         Restricción de cantidad de papel de lija a emplear:

Page 6: Ejercicios PL I.O.

                  6X1+15X2 ≤ 900 pliegos

·         Restricción de positividad:

                             X1, X2 ≥ 0

4. Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y Euro. Se

obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres

componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de

cada crudo es:

CRUDO 1 2 3

A 80% 10% 5%

B 45% 30% 20%

C 30% 40% 25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:

TIPO DE

GASOLINA

1 1 1

SUPER ≥60% ≤25% ≥10%

NORMAL ≥50% ≤30% ≤15%

EURO ≤40% ≥35% ≥20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente.

El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de

crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos

obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las

gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente,

que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina

Euro.

Page 7: Ejercicios PL I.O.

DEFINIMOS LAS VARIABLES: Xij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de

gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable

C, con respecto a cada componente de los crudos.

Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar

la producción de gasolina Euro:

Zmax= XAE+XBE+XCE

  ->Restricciones de cantidades:

0,80XAS+0,45XBS+0,30XCS ≥ 0,60(XAS+XBS+XCS) 

0,10XAS +0,30XBS+0,40XCS ≤ 0,25(XAS+XBS+XCS)

0,05XAS+0,20XBS+0,25XCS ≥ 0,10 (XAS+XBS+XCS)

0,80XAN+0,45XBN+0,30XCN ≥ 0,50(XAN+XBN+XCN)

0,10XAN +0,30XBN+0,40XCN ≤ 0,30(XAN+XBN+XCN)

0,05XAN+0,20XBN+0,25XCN ≤ 0,15 (XAN+XBN+XCN)

0,80XAE+0,45XBE+0,30XCE ≤ 0,40(XAE+XBE+XCE) 

0,10XAE +0,30XBE+0,40XCE ≥ 0,35(XAE+XBE+XCE)

0,05XAE+0,20XBE+0,25XCE ≥ 0,20(XAE+XBE+XCE)

  ->Restricción de costos diarios:

     650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) ≤ 50 millones

  ->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

XBS+XBN+XBE ≤ 3000 barriles.

XCS+XCN+XCE ≤ 7000 barriles.

Page 8: Ejercicios PL I.O.

  ->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:

 (XAS+XBS+XCS) ≥ 2000 barriles

(XAN+XBN+XCN) ≥ 2500 barriles

  ->Restricción de mínimo de compras de crudo A:

(XAS+XAN+XAE) ≥ 2500 barriles.

  ->Restricción de positividad:

 Xij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

5. PROTRAC, produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de

productos, llamada equipa de excavación, se utiliza de manera primordial en

aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura,

esta destinad a la industria maderera. Tanto la maquina mas grane de la línea de

equipo de excavación (E9), como la mayor de toda la línea de silvicultura (F9) son

fabricadas en los mismos departamento y con el mismo equipo. Empleando las

proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de

mercadotecnia de PROTRAC ha considerado que durante ese periodo será

posible vender todas las E9 y F9 que la compañía sea capaz de producir. La

gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción pare le mes

Page 9: Ejercicios PL I.O.

próximo.  Es decir, ¿Cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de

PROTRAC desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias?

Se toma en cuenta los siguientes factores importantes:

El margen de contribución unitaria de PROTRAC es de $ 5000 pro cada E-9

vendida y de $4000 por cada F-9.

Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el

departamento A como el B.

Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos

departamentos tienen tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente.

La fabricación de cada E-9 requiere  10 horas de maquinado en el departamento A

y 20  horas en el departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas

en el departamento A y 10 en el B.

Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato,

las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del

siguiente mes no deben ser mas allá de 10% inferior a una meta convenida de 150

horas. Estas pruebas es llevan a cavo en un tercer departamento y no tiene nada

que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada  E-9  es sometida a

pruebas  durante 30 horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15,

las horas destinas a las pruebas no pueden ser menores que 135.

Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la lata gerencia ha

decretado como política operativa que .deberá construirse cuando menos una F-9

por cada tres E-9 que sean fabricadas.

Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos

cinco E-9 y F-9 para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo

menos esa cantidad.

Page 10: Ejercicios PL I.O.

Entonces tomamos como nuestras variables:

X= # máquinas E9

Y= # máquinas F9.

Nuestra función objetivo será:

Zmax= 5000X + 4000Y.

Restricciones:

·         10X + 15Y ≤ 150.

·         20X + 10Y ≤ 160.

·         30X + 10Y ≥ 135.       

·         X/Y ≤ 3.

·         X + Y ≥ 5.

·         X, Y ≥ 0.

6. Problema de Dieta

El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. Se trataba

hallar la manera más económica de alimentar al ejercito pero asegurando al

mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales.

Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar

los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla

unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, etc.

Ejemplo

Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más

económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que

llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos

M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos

viene dada en la tabla siguiente:

A B C D

M 100 - 100 200

Page 11: Ejercicios PL I.O.

N - 100 200 100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del

componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del

componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué

cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el

menor posible?

Solución

 Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En

este caso:

X1: cantidad de pienso M en Kg

X2: cantidad de pienso N en Kg

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición

requerida para la dieta diaria (en Kg):

En el componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4

En el componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6

En el componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2

En el componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la

naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que

solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es

que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas:

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

7. Transporte de tropas

Page 12: Ejercicios PL I.O.

Un destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de

las fuerzas especiales, y 120 soldados de infantería como tropa de apoyo, ha de

transportarse hasta una posición estratégica importante. En el parque de la base

se dispone de 4 tipos de vehículos A, B, C, y D, acondicionados para transporte

de tropas. El número de personas que cada vehículo puede transportar es 10, 7,

6, y 9, de la forma en que se detalla en la siguiente tabla:

Ingenieros Zapateros Fuerzas

especiales

Infantería

A 3 2 1 4

B 1 1 2 3

C 2 1 2 1

D 3 2 3 1

El combustible necesario para que cada vehículo llegue hasta el punto de destino

se estima en 160, 80, 40, y 120 litros respectivamente. Si queremos ahorrar

combustible, ¿cuántos vehículos de cada tipo habrá que utilizar para que el

consumo sea el mínimo posible?

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En

este caso:

Xi: número de vehículos de cada tipo que se usen

X1: número de vehículos de tipo A

X2: número de vehículos de tipo B

X3: número de vehículos de tipo C

X4: número de vehículos de tipo D

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 160·X1 + 80·X2 + 40·X3 + 120·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de los soldados que

deben ser transportados:

Ingenieros: 3·X1 + X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 50

Page 13: Ejercicios PL I.O.

Zapadores: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≥ 36

Fuerzas especiales: X1 + 2·X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 22

Infantería: 4·X1 + 3·X2 + X3 + X4 ≥ 120

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza

de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan

tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que la cantidad

de vehículos no puede ser negativa y debe ser además un número entero:

Xi ≥ 0

Xi son enteros

8. Transporte de mercancías

Para este tipo de problemas, aunque pueden ser resueltos por el método del

Simplex, existe un método específico de más fácil resolución: el método del

transporte o método simplificado del Simplex para problemas de transporte. Este

método ahorra bastante tiempo y cálculos frente al método del Simplex tradicional.

Sin embargo el problema se modela de la misma forma.

Ejemplo

Un fabricante desea despachar varias unidades de un artículo a tres tiendas T1,

T2, y T3. Dispone de dos almacenes desde donde realizar el envío, A y B. En el

primero dispone de 5 unidades de este artículo y en el segundo 10. La demanda

de cada tienda es de 8, 5, y 2 unidades respectivamente. Los gastos de transporte

de un artículo desde cada almacén a cada tienda están expresados en la tabla:

T1 T2 T3

A 1 2 4

B 3 2 1

¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible?

Solución  

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

Xi: número de unidades transportadas desde cada almacén a cada tienda

X1: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda

T1

Page 14: Ejercicios PL I.O.

X2: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda

T2

X3: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda

T3

X4: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda

T1

X5: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda

T2

X6: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda

T3

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = X1 + 2·X2 + 4·X3 + 3·X4 + 2·X5 + X6

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la disponibilidad

de unidades que hay en cada almacén así como de la demanda de cada tienda:

Disponibilidad en el almacén A: X1 + X2 + X3 = 5

Disponibilidad en el almacén B: X4 + X5 + X6 = 10

Demanda de la tienda T1: X1 + X4 = 8

Demanda de la tienda T2: X2 + X5 = 5

Demanda de la tienda T3: X3 + X6 = 2

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la

naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que

solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son

que la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser además un número

entero:

Xi ≥ 0

Xi son enteros

9. Árboles frutales

Page 15: Ejercicios PL I.O.

Un agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles

frutales: naranjos, perales, manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma

debería repartir la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el

máximo beneficio sabiendo que:

cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano

8m² y cada limonero 12m².

dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas

al año, cada peral 5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas.

a causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han

asignado 200m³ de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada

naranjo, 1m³ por cada peral, 1m³ por cada manzano, y 2m³ por cada limonero.

los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 € por cada naranjo, peral,

manzano y limonero respectivamente.

Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En

este caso:

X1: número de naranjos

X2: número de perales

X3: número de manzanos

X4: número de limoneros

Se determina la función objetivo:

Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las necesidades

de cada árbol de terreno, horas de trabajo anuales, y necesidades de riego:

Necesidades de terreno: 16·X1 + 4·X2 + 8·X3 + 12·X4 ≤ 640

Necesidades de horas anuales: 30·X1 + 5·X2 + 10·X3 + 20·X4 ≤ 900

Necesidades de riego: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≤ 200

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la

naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que

Page 16: Ejercicios PL I.O.

solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son

que el número de árboles no puede ser negativo y además debe ser un número

entero:

Xi ≥ 0

Xi son enteros

10. Asignación de personal

Una empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo

en dicha empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 máquinas

diferentes (un trabajador para cada máquina). La empresa puso a prueba a los 5

trabajadores en las 4 máquinas, realizando el mismo trabajo todos ellos en cada

una de las máquinas, obteniendo los siguientes tiempos:

Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4

Candidato 1 10 6 6 5

Candidato 2 8 7 6 6

Candidato 3 8 6 5 6

Candidato 4 9 7 7 6

Candidato 5 8 7 6 5

Determinar qué candidatos debe seleccionar la empresa y a qué máquinas debe

asignarlos.

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

Xij: acción de que el trabajador i es asignado a la máquina j (0 indica que el

trabajador no ha sido asignado y 1 que sí ha sido asignado)

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 10·X11 + 8·X21 + 8·X31 + 9·X41 + 8·X51 + 6·X12 + 7·X22 +

6·X32 + 7·X42 + 7·X52 + 6·X13 + 6·X23 + 5·X33 + 7·X43 + 6·X53 + 5·X14 +

6·X24 + 6·X34 + 6·X44 + 5·X54

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones son que cada trabajador debe

ser asignado a una sola máquina y no debe quedar ninguna máquina sin un

trabajador asignado a ella:

Page 17: Ejercicios PL I.O.

Cada trabajador debe estar asignado a una sola máquina o a ninguna si no

se selecciona:

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1

En cada máquina debe haber un trabajador:

X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

<!--[if !supportLists]-->·         <!--[endif]-->X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza

de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan

tomar determinados valores. En este caso las restricciones son que las

asignaciones de trabajadores a máquinas no puede ser negativa y debe ser

además una variable booleana (0 no se asigna, 1 se asigna):

Xij ≥ 0

Xij es booleano

11. Camino mínimo

Los problemas conocidos como problemas del camino mínimo o camino más

corto, tratan como su nombre indica de hallar la ruta mínima o más corta entre dos

puntos. Este mínimo puede ser la distancia entre los puntos origen y destino o

bien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. Se aplica

mucho para problemas de redes de comunicaciones.

Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el método del Simplex, sin

embargo existen otros métodos más eficientes como por ejemplo el algoritmo de

Dijkstra o el de Bellman-Ford.

Ejemplo

Page 18: Ejercicios PL I.O.

Una persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro 7. Está

estudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteras. Las

carreteras y sus distancias están representadas en la figura siguiente:

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

Xij: acción de desplazarse del pueblo i al j (0 indica que no hay

desplazamiento y 1 que sí hay desplazamiento)

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 12·X12 + 4·X13 + 5·X24 + 3·X25 + 2·X34 + 10·X36 + 5·X42 +

2·X43 + 10·X45 + 3·X52 + 10·X54 + 2·X57+ 10·X63 + 4·X67

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen del balance entre los

posibles caminos que parten desde cada pueblo y los que llegan hasta él

(obviando los caminos que nos devuelvan al punto de partida y los que provengan

del punto de destino):

Balance de caminos del pueblo 1: X12 + X13 = 1

Balance de caminos del pueblo 2: X24 + X25 - X12 - X42 - X52 = 0

Balance de caminos del pueblo 3: X34 + X36 - X13 - X43 - X63 = 0

Balance de caminos del pueblo 4: X42 + X43 + X45 - X24 - X34 - X54 = 0

Balance de caminos del pueblo 5: X52 + X54 + X57 - X25 - X45 = 0

Page 19: Ejercicios PL I.O.

Balance de caminos del pueblo 6: X63 + X67 - X36 = 0

Balance de caminos del pueblo 7: - X57 - X67 = -1

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza

de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan

tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las

variables deben ser booleanas (0 no se toma el camino, 1 se toma), y por lo tanto

no pueden ser negativas:

Xij ≥ 0

Xij es booleano

12. Localización

Una empresa tiene la exclusiva para la distribución de un producto en 4

poblaciones. En un estudio de mercado se ha determinado la demanda potencial,

según se muestra en la siguiente tabla:

Población 1 Población 2 Población 3 Población 4

3000 Unidades 2000 unidades 2500 unidades 2700 unidades

Se sabe que los costes de transporte son de 0.02€ por Km y unidad transportada.

La distancia en Km existente entre los pueblos es la que figura en la tabla

siguiente:

Población 1 Población 2 Población 3 Población 4

Población 1 - 25 35 40

Población 2 25 - 20 40

Población 3 35 20 - 30

Población 4 40 40 30 -

Para abaratar los costes de transporte se decide instalar un almacén con

capacidad para 6000 unidades en dos de estas cuatro poblaciones. Determinar en

qué poblaciones se deben instalar los almacenes.

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

Xij: cantidad enviada del almacén i a la población j

Page 20: Ejercicios PL I.O.

Yi: almacén situado en la población i (0 indica que no hay ningún almacén y

1 que sí lo hay)

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 0.5·X12 + 0.7·X13 + 0.8·X14 + 0.5·X21 + 0.4·X23 +

0.8·X24 + 0.7·X31 + 0.4·X32 + 0.6·X34 + 0.8·X41 + 0.8·X42 + 0.6·X43

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la siguiente

manera:

Las unidades que se envían a cada población desde los almacenes deben

cumplir con la demanda de dicha población:

X11 + X21 + X31 + X41 ≥ 3000

X12 + X22 + X32 + X42 ≥ 2000

X13 + X23 + X33 + X43 ≥ 2500

X14 + X24 + X34 + X44 ≥ 2700

Solo se crearán dos almacenes:

<!--[if !supportLists]-->o   <!--[endif]-->Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 2

La cantidad de unidades que puede enviar cada almacén debe ser menor o

igual que la capacidad de éste:

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 6000·Y1

X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 6000·Y2

X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 6000·Y3

X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 6000·Y4

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza

de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan

tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las

unidades enviadas desde cada almacén no pueden ser negativas y además la

variable que determina si se creará o no un almacén debe ser booleana (0 no se

crea, 1 se crea):

Xij ≥ 0

Page 21: Ejercicios PL I.O.

Yi es booleano

13. Inversión en bolsa

Una inversora dispone de 50.000€ para invertir entre las cuatro siguientes

posibilidades: bolsa X, bolsa Y, bonos X, y bonos Y, por el periodo de un año. Un

máximo de 10.500€ puede ser invertido en bonos X, y un máximo de 10.000€ en

bonos Y. La inversión en la bolsa X conlleva un riesgo considerable por lo que se

determina no invertir más de un cuarto de la inversión total. La cantidad invertida

en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X.

Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande

como la mitad de la inversión en las bolsas. Los retornos netos anuales se

estiman según se muestra en la siguiente tabla:

Bolsa X Bolsa Y Bolsa X Bolsa Y

20 % 10 % 9 % 11 %

¿Cuál es la forma óptima de realizar la inversión para conseguir las máximas

ganancias?

Solución

Se determinan las variables de decisión, en este caso:

X1: inversión en bolsa X

X2: inversión en bolsa Y

X3: inversión en bonos X

X4: inversión en bonos Y

Se determina la función objetivo:

Maximizar Z = 0.2·X1 + 0.1·X2 + 0.09·X3 + 0.11·X4

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las decisiones

tomadas por la inversora sobre la forma de invertir y de la inversión máxima que

se puede realizar:

X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 50000

X1 ≤ 12500

Page 22: Ejercicios PL I.O.

X3 ≤ 10500

X4 ≤ 10000

3·X1 - X2 ≤ 0

0.5·X1 + 0.5·X2 - X3 - X4 ≤ 0

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza

de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan

tomar determinados valores, ... En este caso la única restricción es que las

inversiones no pueden ser negativas:

Xi ≥ 0

14. Elaboración de zumos

Una empresa de alimentación produce zumos de pera, naranja, limón, tomate,

manzana, además de otros dos tipos denominados H y G que son combinados de

alguno de los anteriores. La disponibilidad de fruta para el periodo próximo, así

como los costes de producción y los precios de venta para los zumos, vienen

dados en la tabla:

FRUTA DISPONIBILIDAD

MÁXIMA (KG)

COSTE

(PTAS/KG)

PRECIO VENTA 

(PTAS/L)

NARANJA (N) 32000 94 129

PERA ( P) 25000 87 125

LIMÓN (L) 21000 73 110

TOMATE (T) 18000 47 88

MANZANA (M) 27000 68 97

Las especificaciones y precios de venta de los combinados vienen dados en la

tabla:

COMBINADO ESPECIFICACIÓN PRECIO

VENTA

(PTAS/L)

Page 23: Ejercicios PL I.O.

H No más del 50 % de M 1OO

No más del 20 % de P

No menos del 10 % de L

G 40 %  de N 120

35 % de L

25 % de P

La demanda de los distintos zumos es grande, por lo que se espera vender toda la

producción. Por cada kg de fruta, se produce un litro del correspondiente zumo.

Determinar los niveles de producción de los siete zumos, de manera que se

tengan beneficio máximo en el periodo entrante.

SOLUCION:

·        VARIABLES

Xij  donde X: cantidad de litros

     I: (H=1, G=2)

     J: (naranja= 1, pera= 2, limón=3, tomate=4, manzana = 5)

·        FUNCION OBJETIVO

Z(max)= 100X1 + 120X2 + 129(X11+X21) + 125(X12+X22) + 110(X13+X23) +

88(X14+X24) + 97(X15+X25) – 94(X11+X21) – 87(X12+X22) – 73(X13+X23) –

47(X14+X24) – 68(X15+X25)

Z(max)= 100X1 + 120X2 + 35(X11+X21) + 38(X12+X22) + 37(X13+X23) +

41(X14+X24) + 29(X15+X25)  

·        RESTRICCIONES

Concentración

X15 ≤ 0,50 X1

Page 24: Ejercicios PL I.O.

X12 ≤ 0,20 X1

X13 ≥ 0,10 X1

X12 +  X13 + X15 + X11 + X14 = X1

X21 = 0,40 X2

X23 = 0,35 X2

X22 =0,25 X2

X21 +  X23 + X22 + X24 + X25 = X2

Disponibilidad

X11 + X21 ≤ 32000

X12 + X22 ≤ 25000

X13 + X23 ≤ 21000

X14 + X24 ≤ 18000

X15 + X25 ≤ 27000

Positividad

Xij  ≥  0 para todo i= 1,2  y  j= 1,2,3,4,5

Ejercicios propuestos 

Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de

programación lineal:

1).- Un agente esta arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10

personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su

ganancia será de 10 pesos por cada mujer y 15 pesos por cada hombre.

¿ Cuantos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia?

Page 25: Ejercicios PL I.O.

2).- Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de

algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2

de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2

de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas de

cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de

dinero?.

3).- Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben

procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene

60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs. de trabajo. La

fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado,

mientras que una silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la

utilidad es de $80 por mesa y $60 por silla. ¿Cuál es la mejor combinación posible

de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia?

4).- Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen

ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un

máximo de $10000 y que su ingreso anual sea por lo menos de $4500. insiste en

que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de

los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el

corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos?.

5).- Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene

por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para

transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no

recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos

contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5

toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina

presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La

cabina presurizada no puede llevar mas de 10 toneladas de carga. El avión tiene

restricción de peso que le impide llevar mas de 20 toneladas de carga, para

mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o

Page 26: Ejercicios PL I.O.

igual que dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la

compañía recibe $1000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta.

6).- Un inversionista tiene $10000 que quisiera produjeran tanto dinero como

sea posible; quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en

una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8% con el dinero que

invierta en acciones y el 7% que invierte en bonos. El banco paga el 5% de interés

sobre las cuentas de ahorros. Como las acciones son una inversión con cierto

riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga en la cuenta de ahorro.

El inversionista se quedara con al menos $2000 en la cuenta de ahorros por si

necesita dinero en efectivo de inmediato.¿Cuánto dinero deberá invertir en cada

tipo?

7).- Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo

caminata, bicicleta y natación. Para variar los ejercicios planea invertir al menos

tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación. Además,

quiere nadar al menos dos hrs a la semana, por que le gusta mas nadar que los

otros ejercicios. La caminata consume 600 calorías por hora, en la bicicleta usa

300 calorías por hora nadando gasta 300 calorías por hora. Quiere quemar al

menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios. ¿Cuántas horas

debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero de horas

invertidas.?

8).- Cierta compañía tiene una filial que le provee de las latas que necesita para

comercializar su producto, en dicha filial que produce latas de aluminio contiene

las tapaderas a partir de hojas metálicas rectangulares. Las dimensiones de estas

hojas son de 6cms x 15cms Se requieren dos tamaños diferentes de tapas, el

diámetro de las pequeñas es de 3cms y el de las grandes de 6 cms. El programa

de producción en un día determinado es de 20000 tapas chicas y 5000 tapas

grandes. ¿Cuál es el programa que minimice el numero total de hojas metálicas

usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferente

tamaños que pueden ser cortadas?

Page 27: Ejercicios PL I.O.

9).- General Motors que vende el carro mas compacto desea hacer publicidad

para este modelo a través de canal 13 de televisión, la publicidad consistirá en

pequeños comerciales de duración variable que se intercalaran en un programa

semanal de 60 min. En el cual se presentaran los mejores cantantes del

continente y un cómico de la localidad. General Motors insiste en tener al menos 5

min. De comerciales y el reglamento de la televisora requiere cuando mucho los

comerciales consuman 18 min en programas de 60 min., y que nunca sea mayor

el tiempo de los comerciales de actuación de los cantantes, los cantantes no

quieren trabajar mas de 30 min. De los 60 que dura el programa, de manera que el

cómico se utiliza para cualquier lapso de tiempo en el cual no habrá comerciales o

cuando no estén trabajando los cantantes. Por experiencia de la empresa

televisora, se sabe que por cada min. Que los cantantes estén en el aire 6000

televidentes mas estarán viendo el programa, por cada minuto que el comico este

trabajando 3000 televidentes estarán viendo el programa, en cambio por cada min

de comerciales se pierden 500 televidentes.

El cómico cobra $200 por minuto, los cantantes cobran $1000 por min y los

comerciales $50 por min. Si en General Motors desea:

1).- Maximizar el numero de televidentes al finalizar el programa de 60 min.

2).- producir el programa un mínimo costo. ¿Cuál es el medelo a utilizar para

cada situación?

10).- La compañía “HOLSA” de México quiere minimizar los desperdicios de

lamina, para lo cual encarga a su departamento de producción que optimice el

costo de las laminas de acuerdo a los requisitos de los consumidores. En

particular se hará con el consumidor mas importante al cual se le surten tres

tamaños de laminas a saber: tipo 1:30 cms x 60 cms y espesor de 8 mm; tipo

2:30cmsx 70 cms y espesor de 8 mm tipo 3:30cms x 50 cms y espesor de 8 mm.

Las cantidades necesarias son 10000, 15000 y 5000 por mes respectivamente. Si

las laminas que produce la compañía son de dimensiones de 30 cms x 180 cms

con espesor de 8 mm. ¿Cuál es el modelo para optimizar los desperdicios?.

Page 28: Ejercicios PL I.O.

11).- Una compañía de zapatos puede producir tres tipos de zapatos a su máxima

capacidad: zapatos de vestir, de trabajo y de deporte, la utilidad neta es de $1000.

$800 y $400 respectivamente. El mercado de zapatos ha bajado como

consecuencia de las dificultades económicas existentes en el pais de tal manera

que hay una capacidad excesiva de 550,650 y 300 unidades por dia.

En las plantas existen dificultades de almacenamiento causado por el decremento

de las ventas. Las tres plantas tienen: 10000, 8500 y 4000 metros cuadrados de

espacio disponibles respectivamente. Los zapatos de vestir requieren de .50

metros cuadrados para almacén , de .75 metros cuadrados para los de trabajo

y .40 metros cuadrados para los de deporte. La compañía ha pronosticado que las

ventas serán de 700, 850 y 750 unidades respectivamente para los zapatos de

vestir, trabajo y deporte. ¿cuál es el modelo que maximiza la utilidad neta?.

12).- E n un salón de Banquetes se tienen programados banquetes durante los

siguientes

cinco días, los requisitos de manteles por banquete son :

Banquete : 1 2 3 4 5

Numero de manteles : 80 60 100 130 200

El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que el

usa, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles; el costo de cada mantel

es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo

listo a los dos días es de $10 por mantel.

¿cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y

además minimizar el costo total?

13).-Un inversionista dispone de $ 5000 los cuales desea invertir, se le presentan

dos opciones; A y B. El plan A le garantiza que cada peso invertido producirá $

0.50 en un año, mientras que el plan B le garantiza que cada peso invertido le

producirá $1.50 en dos años. ¿cómo debe invertir dicha persona con el fin

de maximizar sus ganancias al final de tres años?

Page 29: Ejercicios PL I.O.

14).- Una compañía fabrica tres productos: volantes, juntas y ejes, el gerente

enfrenta el problema de decidir cual debe ser el mejor programa de producción

para el siguiente mes. Se ha determinado que hay disponibles cuando mas 1620

horas de tiempo de producción para el mes siguiente . no hay limite para el

abastecimiento de metal para estos tres productos, cada hora de tiempo de

producción cuesta $ 7.00 y cada unidad de metal cuesta $2.20. todas las ventas

son efectivo y todos los costos deben pagarse en efectivo durante el siguiente mes

los costos fijos para el siguiente mes son de $ 2,200 y se requiere un flujo de

efectivo de $800 debido a compromisos previos. El saldo de efectivo a principios

de mes es de $ 28,425.

TABLA DE DATOS TÉCNICOS.

PRODUCTO

HORAS DE

TIEMPO DE

PRODUCCIÓN

POR UNIDAD

FABRICADA

UNIDADES DE

METAL

NECESARIAS

POR UNIDAD

FABRICADA

PRECIO

UNITARIO AL

CLIENTE (EN $)

DEMANDA

PRONOSTICADA

DE LOS CLIENTES

(EN UNIDADES).

VOLANTES 4.5 3.25 $50.65 300

JUNTAS 1.8 4.70 $38.94 550

EJES 3.6 5.00 $50.20 320

La producción puede realizarse con velocidad suficiente para permitir su

distribución dentro del mismo mes. ¿ cuál debe ser el programa de producción

para el próximo mes, a fin de maximizar las utilidades?.