UNIDAD I Funciones de Varias Variables

Profesores: Ing. José Mackenzie (coord.) Ing. Nancy Requena Licda. Nelly Lores Lcdo. Eduar Navas

Diseño y Digitalización: Br. Luis Ernesto Rincón

Punto Fijo, Enero de 2015

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Universidad Nacional Experimental

Francisco de Miranda Área de Tecnología

Complejo Académico “El Sabino” Departamento de Física y Matemática

UNEFM – Matemática III

2 Guía de Ejercicios – I Corte

Ejercicios Propuestos: Funciones de Varias Variables

Estudio de Funciones Escalares:

En los ejercicios del 1 al 8, definir el dominio de la función y hallar su imagen en los puntos indicados.

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 𝑦2; (−2,5), (5, −2), (0, −2)

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦 + 2

𝑥; (3,1), (1,3), (2,0)

3. 𝑓(𝑢, 𝑣) =𝑢𝑣

𝑢 − 2𝑣; (2,3), (−1,4), (0,1)

4. 𝑓(𝑢, 𝑣) = √1 − 𝑢 − 𝑒𝑢𝑣⁄ ; (1,1), (0,4), (−3,3)

5. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥 − 𝑦

𝑥 + 𝑦; (−3,4), (2, −2), (

1

2,1

2)

6. 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 − 𝑦; (3,5), (−4,−9), (0,−2)

7. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2; (1, −2,2), (−3,0,2)

8. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 + tg(𝑥) + 𝑦 sen(𝑧) ; (𝜋

4, 4,𝜋

6) , (0,0,0)

En los ejercicios del 9 al 23, definir y representar gráficamente como una región en ℝ2 el dominio de la función de dos variables.

9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2

10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(36 − 9𝑥2 − 4𝑦2)

11. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 − 𝑦2

12. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(−𝑥𝑦)

13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 +√4 − 𝑥2 − 𝑦2

14. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4𝑒𝑥−𝑦 − 𝑥2𝑒𝑥−𝑦 − 𝑦𝑒𝑥−𝑦

15. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(9 − 𝑥2 − 𝑦2) + 𝑒√1−𝑦+𝑥2

16. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

√𝑥2 − 𝑦2 − 1

17. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsen(𝑦 − 𝑥 − 1)

18. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 +√𝑦

19. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(−ln(𝑥 − 𝑦2))

20. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √36 − 9𝑥2 − 4𝑦2 + ln(𝑥2 + 4𝑦2 − 4)

21. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥 + √2𝑦

√𝑒𝑥𝑦 − 1+ ln(2√𝜋)

22. 𝑓(𝑥, 𝑦) =arcsen(9𝑥2 − 4𝑦2)

3𝑥 − 2𝑦

23. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑒𝑥𝑦−1arccos(𝑥𝑦)

√9 − 𝑥2 − 𝑦2

En los ejercicios del 24 al 39, indicar los posibles valores del rango y graficar, mediante curvas de nivel, la función dada.

24. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 25. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦

26. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 27. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥2+𝑦2

28. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 𝑦2 + 1 29. 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

𝑥2 + 𝑦2

30. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑦2 + 𝑥) 31. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2

32. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 − 1 33. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−(𝑥2+𝑦2)

34. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8 − 𝑦2 − 2𝑥 35. 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

√𝑥2 + 𝑦2

36. 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsen(𝑥2 + 𝑦2) 37. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥2

38. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) 39. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑦

𝑥2 + 𝑦2

Valor Límite y Continuidad:

En los ejercicios del 1 al 6, calcular el límite, utilizando sus propiedades.

1. lim(𝑥,𝑦)→(2,1)

𝑥 + 3𝑦2

2. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

5𝑥 + 𝑦 + 1

3. lim(𝑥,𝑦)→(2,4)

𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦

4. lim(𝑥,𝑦)→(−2,4)

𝑦√𝑥3 + 2𝑦3

5. lim(𝑥,𝑦)→(2,3)

9 − 𝑥2

1 + 𝑥𝑦

6. lim(𝑥,𝑦)→(2,−1)

ln (1 + 𝑥 + 2𝑦

3𝑦2 − 𝑥)

UNEFM – Matemática III

3 Guía de Ejercicios – I Corte

En los ejercicios del 7 al 15, calcular, si existe, el límite por métodos algebraicos.

7. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑒2𝑥 − 𝑒2𝑦

𝑒𝑥 − 𝑒𝑦

8. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(1 − cos(7𝑦))(𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 9𝑦2)

𝑥𝑦2 + 3𝑦3

9. lim(𝑥,𝑦)→(2,4)

√𝑦 − √2𝑥

8𝑥3 − 𝑦3

10. lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥𝑦 − 𝑦 − 2𝑥 + 2

𝑥 − 1

11. lim(𝑥,𝑦)→(4,4)

𝑥2 − 𝑦2

𝑥√𝑥 − 𝑦√𝑦

12. lim(𝑥,𝑦)→(2,4)

𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 − 4𝑥2 − 4𝑥

𝑦 − 4

13. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

ln(2𝑦 + 1) (1 − cos2(𝑥) + sen2(𝑥))

𝑥2𝑦

14. lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥4 − 𝑦3𝑥

√𝑥3 − √𝑦3

15. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑒𝑥 − 1)(𝑒2𝑦 − 1)

𝑥𝑦

16. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(cos(3𝑦) − 1)(1 − cos(2𝑥))

5𝑥2𝑦

17. lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

√(𝑥 − 1)43

− √(𝑦 − 1)43

√(𝑥 − 1)23

− √(𝑦 − 1)23

En los ejercicios del 18 al 32, considere diferentes trayectorias de acercamiento para demostrar que el límite no existe.

18. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2 − 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2

19. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2

20. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥 + 𝑦

√𝑥2 + 𝑦2

21. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦3

𝑥2 + +𝑦6

22. lim(𝑥,𝑦)→(0,2)

(𝑦 − 2)sen(𝑥)

𝑥2 + (𝑦 − 2)2

23. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥9𝑦

(𝑥6 + 𝑦2)2

24. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

cos2(𝑥) + sec2(𝑦) − 2

𝑥2 + 𝑦2

25. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

ln(𝑒𝑥

2− sen2(𝑦))

𝑥2 + 𝑦2

26. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

sen2(𝑥) − 𝑦2

𝑒𝑥2+𝑦2 − 1

27. lim(𝑥,𝑦)→(−3,1)

(𝑥 + 3) sen(𝑦 − 1)

𝑦2 − 2𝑦 + 𝑥2 + 6𝑥 + 10

28. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

arctg(𝑥) (1 − cos(2(𝑥 + 𝑦)))

𝑥3 + 𝑦2

29. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

cos(𝑥 + 𝑦) − 𝑒−𝑦2

𝑥2 − 𝑦2

30. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑦2 + ln(cos2(𝑥))

𝑒𝑦(𝑥2 + 𝑦2)

31. lim(𝑥,𝑦)→(

14,−1)

cos(4𝑥 − 1) + 2sen(𝑦 + 1) − 1

16𝑥2 − 8𝑥 + 2 − 𝑒𝑦+1

32. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑒𝑥2𝑦 − cos(𝑥2𝑦)

𝑥4 + 𝑦2

En los ejercicios del 33 al 48, estudiar la continuidad de la función en el punto indicado.

33. 𝑓(𝑥, 𝑦) =arcsen(𝑦) ln(𝑥 + 1)

3𝑥𝑦

En el punto (0,0)

34. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑒𝑥 sen(2𝑦) − 2 sen(𝑦)cos(𝑦)

3𝑥𝑦

En el punto (0,0)

35. 𝑓(𝑥, 𝑦) =sen(𝑦) sen(3𝑥)

2𝑥𝑦

En el punto (0,0)

36. 𝑓(𝑥, 𝑦) =(𝑥 − 1)(𝑦 − 2)

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 5

En el punto (1,2)

37. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2𝑦

√𝑥8 + 𝑥4𝑦2 + 𝑦4 En el punto

(0,0)

38. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

sen(𝑦) ln(𝑥 + 1)

𝑥𝑦 cos(𝑦); (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

1 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

39. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

sen2(𝑥 − 𝑦2)

𝑒𝑥2+𝑦2 − 1; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

1 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

40. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

𝑥 sen(𝑥2 + 𝑦2)

𝑥2 + 𝑦2; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

0 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

UNEFM – Matemática III

4 Guía de Ejercicios – I Corte

41. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

√𝑥

4 + 1 −√(𝑦 − 𝜋)4 + 1

𝑥2 + (𝑦 − 𝜋)2; (𝑥, 𝑦) ≠ (0, 𝜋)

𝜋3⁄ ; (𝑥, 𝑦) = (0, 𝜋)

42. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

tg2(𝑥) sen(𝑦)

𝑥2𝑦; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

1 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

43. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 1

√𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 2 − 1; (𝑥, 𝑦) ≠ (1,0)

2 ; (𝑥, 𝑦) = (1,0)

44. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

sen(𝑒𝑥2+𝑦2 − 1)

𝑒𝑥2+𝑥+𝑦2 − 𝑒𝑥; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

1 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

45. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

tg2(𝑥 − 2) + cos(𝑦) − 1

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 4; (𝑥, 𝑦) ≠ (4,0)

3 ; (𝑥, 𝑦) = (4,0)

46. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

sen(𝑥2 + 𝑦2)

1 − cos(√𝑥2 + 𝑦2); (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

2 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

47. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

1 − cos(𝑥) + tg(𝑦

2)

𝑒𝑥2+𝑦2 − 1

; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

−1 2⁄ ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

48. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

{

𝑒𝑥𝑦 − cos2(𝑥𝑦)

𝑥2 + 𝑦2; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

3 ; (𝑥, 𝑦) = (0,0)

Referencias Bibliográficas

Ayres, Frank. Cálculo Diferencial e Integral. (2da Edición). Editado por la Serie de Compendios Schaum. Demovich, B.O. 5000 Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. (7ma Edición). Editado por Editorial Paraninfo. Edwards, C. Henry. Penny, David. Cálculo con Geometría Analítica. (4ta Edición). Editado por Frentice Hall. Larson, Roland; Hostetler, Robert y Edward, Bruce. Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 2. (8va Edición). Editado

por Mc Graw Hill. Leithold, Louis. El Cálculo 7. (7ma Edición). Editado por Oxford University Press. Marsden, Jerrol y Tromba, Anthony. Cálculo Vectorial. (3ra Edición). Editado por Addison – Wesley Iberoamericana. Stewart, James. Cálculo: Multivariable (Volumen 2). (4ta Edición). Editado por Cengage. Thomas, George. Cálculo: Varias Variables (Volumen 2). (11ma Edición). Editado por Pearson, Addison – Wesley.

Softwares Recomendados

GeoGebra. Programa de licencia libre, graficador en ℝ2. Disponible en : http://www.geogebra.org/ Máxima 2D y 3D. Programa de licencia libre, graficador en ℝ2 y ℝ3. Disponible en: http://maxima.softonic.com/ WinPlot. Software de licencia libre, graficador en ℝ2 y ℝ3. Disponible en:

http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wpsp32z.exe