ejercicios metodos estadisticos, explicaciones

7/25/2019 ejercicios metodos estadisticos, explicaciones

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Explicacin de la tarea 10Felipe Guerra

Para la explicacin de esta tarea veamos primeramente que es lo que nos estn pidiendo.

Ya hemos visto a lo largo del curso que la varianza es el error cuadrado medio de una

muestra o de una poblacin. En otras palabras, la varianza es una medida de ladispersin del error.

Como recordatorio la siguiente explicacin que propuse en la semana 1 les puede ayudar.

Explicacin sobre la interpretacin de la varianza

La mayora de las personas han jugado alguna vez el juego conocido como rayuela o rayita elcual consiste en tirar monedas desde una distancia hacia una lnea pintada en el suelo, ganandoaquella persona que logra dejar su moneda ms cerca de la lnea o raya como lo muestra la

imagen siguiente:

Ahora bien, digamos que Juan y Pedro tiran de manera independiente 100 monedas cada unologrando la siguiente distribucin de monedas

Juan

Pedro


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De las distribuciones presentadas podemos observar lo siguiente:

1. Juan es mejor jugador de rayuela que Pedro2. La distancia entre las monedas de Juan es menor que la distancia entre las monedas de

Pedro.3. Ambas distribuciones de monedas siguen aproximadamente la figura de una distribucin

estadstica normal, como lo muestran las siguientes grficas:

Juan Pedro

En donde las lneas representan la densidad (cantidad de monedas) que caen a una distanciadada de la lnea central o rayuela. Observe que entre ms se alejan de la lnea central menosmuestras (monedas) se encuentran.

Digamos ahora que la distancia entre la raya central y el centro de la moneda la llamamos error, yque tabulamos todos los errores para los dos casos, obteniendo lo siguiente:

Distancia(cm)

MonedasJuan Error

Distancia(cm)

MonedasPedro Error

-8 0 0 -8 0 0-7 0 0 -7 1 -7-6 0 0 -6 1 -6-5 0 0 -5 2 -10-4 1 -4 -4 2 -8-3 2 -6 -3 5 -15

-2 5 -10 -2 8 -16-1 17 -17 -1 16 -160 50 0 0 30 01 17 17 1 16 162 5 10 2 8 163 2 6 3 5 154 1 4 4 2 85 0 0 5 2 106 0 0 6 1 67 0 0 7 1 78 0 0 8 0 0

0 0

Ahora bien si sumamos los errores de cada una de las personas podemos observar que en amboscasos la suma es cero (0).

Qu podemos hacer para reflejar la diferencia de los errores, puesto que es notorio que lostiros de Juan son mejores que los de Pedro?

Una forma de quitar el signo a los errores, y lograr que tanto los errores positivos como negativosse acumulen es elevar cada uno de ellos al cuadrado. Quedando la sumatoria de errores de lasiguiente manera:


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Distancia

Monedas

Distancia

Monedas

(cm) Juan Error Error cuadrado (cm) Pedro Error Error cuadrado

-8 0 0 0 x (-8)^2 = 0 -8 0 0 0 x (-8)^2 = 0

-7 0 0 0 x (-7)^2 = 0 -7 1 0 1 x (-7)^2 = 49

-6 0 0 0 x (-6)^2 = 0 -6 1 -7 1 x (-6)^2 = 36

-5 0 0 0 x (-5)^2 = 0 -5 2 -6 2 x (-5)^2 = 50

-4 1 0 1 x (-4)^2 = 16 -4 2 -10 2 x (-4)^2 = 32

-3 2 -4 2 x (-3)^2 = 18 -3 5 -8 5 x (-3)^2 = 45

-2 5 -6 5 x (-2)^2 = 20 -2 8 -15 8 x (-2)^2 = 32

-1 17 -10 17 x (-1)^2 = 17 -1 16 -16 16 x (-1)^2 = 16

0 50 -17 50 x (0)^2 = 0 0 30 -16 30 x (0)^2 = 0

1 17 0 17 x (1)^2 = 17 1 16 0 16 x (1)^2 = 16

2 5 17 5 x (2)^2 = 20 2 8 16 8 x (2)^2 = 32

3 2 10 2 x (3)^2 = 18 3 5 16 5 x (3)^2 = 45

4 1 6 1 x (4)^2 = 16 4 2 15 2 x (4)^2 = 32

5 0 4 0 x (5)^2 = 0 5 2 8 2 x (5)^2 = 506 0 0 0 x (6)^2 = 0 6 1 10 1 x (6)^2 = 36

7 0 0 0 x (7)^2 = 0 7 1 6 1 x (7)^2 = 49

8 0 0 0 x (8)^2 = 0 8 0 7 0 x (8)^2 = 0

142 520

Perfecto !Ahora ya tenemos una forma de medir cual de las dos personas tiene ms errores.

Y qu pasara si uno de los dos hubiera tirado 200 monedas en tanto que el otro solo hubieratirado 100?

Podra existir una forma de comparar la variacin de cada uno de ellos aun si los tamaos demuestra fueran diferentes?

Bueno, una forma de hacerlo sera dividiendo la suma de los errores al cuadrado entre el nmerode observaciones, As tendramos lo siguiente:

Variacin de Juan: 142 / 100 tiros = 1.42 / tiro

Variacin de Pedro 520 / 100 tiros = 5.2 / tiro

Con esos valores podramos saber cual es la variacin de los dos por cada tiro, y por consiguientesera fcil distinguir quien es mas acertado (est mas cerca de la lnea del medio)

Una vez explicado lo anterior es fcil entender el concepto de la varianza.

Varianza es la sumatoria del error cuadrado dividida entre el nmero de muestras, o lo quees lo mismo es el error cuadrado medio de la muestra.

Aos despus de haber calculado la variancia para diferentes muestras y poblaciones, alguienacuo el concepto de desviacin estndar al sacar la raz cuadrada de la varianza, la cual sederiva directamente de la idea original de la varianza o error cuadrado medio.


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Observe que una varianza mayor indica una dispersin mayor contra la media (lnea central).En tanto que una varianza menor indica que la dispersin es menor aun cuando ambasmuestras representen una curva normal.

Aclarado lo anterior continuemos con la explicacin.

La tarea se refiere en su primera parte a la comparacin de dos varianzas. Es decir enpoder identificar si la dispersin de errores de dos poblaciones es similar bajo un criterio

de intervalos de confianza determinados por un nivel de significanca , o si es diferente,mayor o menor mediante una prueba de hiptesis.

Para qu hacer tanto clculo, si podemos comparar directamente el valor de lasdos varianzas? o no?

No, no podemos comparar el directamente el valor de las dos varianzas, por que estamoshablando de varianzas poblacionales estimadas a partir de varianzas muestrales, es decir,tenemos un factor de incertidumbre en cuanto al valor de la varianza poblacional debido aque es una estimacin. Por lo tanto lo que debemos de hacer es comparar las dosestimaciones y ver si coinciden en alguna zona en la cual pudieran ser iguales, como semuestra a continuacin:

Las opciones de comparacin de dos varianzas son las siguientes:

La varianza de la poblacin 1 (azul) es menor que la varianza de la poblacin 2 (roja)

Las varianzas tienen un rea en comn, por lo tanto pueden ser iguales

La varianza de la poblacin 1 (azul) es mayor que la poblacin 2 (roja)


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Haciendo una similitud con el ejemplo de varianza explicado anteriormente lo querepresentan los casos es lo siguiente:

Digamos que la forma de tirar de Juan es la poblacin 1 en tanto que la forma de tirar dePedro es la poblacin 2. Entonces, basados en las siguientes muestras

Juan

Pedro

Podemos decir que la varianza de la poblacin 1 (Juan) es menor que la varianza de lapoblacin 2 (Pedro) lo que se representara con la siguiente grfica:

Como ya lo habamos mencionado la varianza es una medicin del nivel de error de lapoblacin (es decir de la dispersin de los datos). Por lo tanto esa diferencia de varianzasse traduce en la siguiente grfica poblacional:

Juan Pedro

En esta grfica se observa que aun cuando la media de las dos poblaciones es la misma,

sus varianzas son diferentes.Si en lugar de tiros de monedas las grficas representaran el nivel de calidad de unproducto Cul de los productos comprara usted? Aun cuando ambos productos tienen elmismo valor medio podemos ver que los productos de Pedro tienen menos calidad.

Aclarado lo anterior pasemos a la solucin de la tarea.

Juan Pedro


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1. Un proceso de maquinado de una chumacera es realizado en un pequeo tallerpor dos operadores. La variable crtica es el dimetro interno (en pulgadas) y sedesea determinar si la media del dimetro interno del maquinado hecho por eloperador 1 es igual o diferente a la media del dimetro interno del maquinado deloperador 2.

OPERADOR 1 2.053 2.041 2.039 2.04 2.063 2.042 2.044 2.046 2.053 2.041OPERADOR 2 1.816 2.097 1.978 2.202 2.189 1.922 2.101 2.007 2.068 2.144 2.093 2.057 2.176

a. Determinar si las varianzas de los dos maquinados son iguales o diferentescon un nivel de significancia del 5%, e interpretar el resultado.

Calculamos primeramente los parmetros de ambas muestras:

Tamao de muestra n1= 10 n2= 13

Varianza S12= 6.0178E-05 S2

2= 0.01243876

Media X1= 2.0462 X2= 2.06538462

El estadstico de comparacin es F=S12

/ S22

F = 0.00483793

Por observacin simple podemos ver que S22es mucho mayor que S1

2 (en el orden de 200a 1) lo que de entrada sugiere que las varianzas no son iguales. La lectura de la semanamenciona que la regin de rechazo de H0son los extremos de la distribucin F, razn porla cual la regla de decisin consiste en rechazar H0si el estadstico de prueba F es muygrande o muy pequeo.

Los lmites de rechazo para H0estn dados por:F/2,n1-1, n2-1 = 3.4358 =DISTR.F.INV(.025, 10-1, 13-1)

F1-/2,n1-1, n2-1 = 0.25851682 =DISTR.F.INV(1-.025, 10-1, 13-1)

En donde = 5%

Se rechaza H0 con nivel de significancia si: F > F/2,n1-1, n2-1 si F < F1-/2,n1-1, n2-1

Cmo el estadstico F=0.00483793 es menor que F1-/2,n1-1, n2-1 = 0.25851682 entonces serechaza H0. Hay evidencia estadstica para determinar que las varianzas de las dosmaquinados son diferentes con un nivel de significancia del 5%

b. Usando el mtodo adecuado de acuerdo al resultado del a), determinar si lasmedias de los dos maquinados son iguales o diferentes con un nivel designificancia del 4%, e interpretar el resultado.

Para resolver esta parte debemos primero seleccionar el mtodo adecuado. Existen tresmtodos para evaluacin de medias de acuerdo con lo visto en la clase:

1) Las varianzas son conocidas. Este mtodo se usa cuando las varianzaspoblacionales son conocidas independientemente de si son iguales o diferentes.Por el teorema del lmite central se asume que para muestras en donde n>30 lavarianza puede considerarse conocida. Por lo tanto en aquellos problemas en loscuales en ambas muestras n>30 se deber usar este mtodo.


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Cuando las varianzas son conocidas o n>30 usamos siempre una distribucinnormal, por lo tanto el estadstico de prueba es Z de acuerdo con la siguienteformula:

nn

XXZ

2

2

2

1

2

1

21

+

=

En este mtodo se tienen tres opciones:

a) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 2Se rechaza H0si z > z/2 si z < z/2Esto tambin se puede expresar como: Se rechaza H0si | z | > z/2

b) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 > 2Se rechaza H0si z > z

c) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 < 2Se rechaza H0si z < z

2) Las varianzas son desconocidas pero iguales. En este caso como lasvarianzas son desconocidas se usa la prueba de t de student, en lugar de ladistribucin normal.

En este caso el estadstico de prueba esta determinado por:

nnSp

XXt

21

21

11+

= en donde:

2

)1()1(

21

2

22

2

11

+

+=

nn

SnSnSp

Igual que en el mtodo anterior se tienen tres opciones:a) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 2

Se rechaza H0si t > t/2, n1+n2-2 si t < -t/2, n1+n2-2Esto tambin se puede expresar como: Se rechaza H0si | t | > t/2, n1+n2-2

b) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 > 2Se rechaza H0si t > t, n1+n2-2

c) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 < 2Se rechaza H0si t < -t, n1+n2-2

3) Las varianzas son desconocidas y diferentes.En este caso den forma similaranterior se usa la prueba de t de student, sin embargo el estadstico de prueba secalcula de acuerdo con la aproximacin de Satterthwaite

Satterthwaite dise un mtodo para la aproximacin de grados de libertad paraclculo de incertidumbre, que se utiliza en forma conjunta con la distribucin t destudent cuando se combinan incertidumbres con diferentes grados de libertad.


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El estadstico de prueba es:

nn

XXt

21

21

11+

=

Y para el clculo de los grados de libertad de la prueba se utiliza la siguientefrmula:

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

11

+

+

=

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

f

Con ese valor de grados de libertad, se realiza el clculo de t de student para laprueba de hiptesis quedando las opciones posibles como sigue:

a) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 2Se rechaza H0si t > t/2,f si t < -t/2, fEsto tambin se puede expresar como: Se rechaza H0si | t | > t/2, f

b) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 > 2Se rechaza H0si t > t, f

c) H0: 1 = 2 vs. H1: 1 < 2Se rechaza H0si t < -t, f

Hecha la aclaracin anterior podemos proceder a resolver el inciso b) de la pregunta que

dice:

b. Usando el mtodo adecuado de acuerdo al resultado del a), determinar si lasmedias de los dos maquinados son iguales o diferentes con un nivel designificancia del 4%, e interpretar el resultado.

Del resultado de a) tenemos que las varianzas son desconocidas y diferentes.La prueba de hiptesis nos pide determinar si: H0: 1 = 2 vs. H1: 1 2Por lo tanto el mtodo a utilizar es el sealado anteriormente como 3a

nn

XXt

21

21

11

+

= = -0.61826529

H0: 1 = 2 vs. H1: 1 2Se rechaza H0si t > t/2,f si t < -t/2, fEsto tambin se puede expresar como: Se rechaza H0si | t | > t/2, f

f = 12.1507771 12

t,f =DISTR.T.INV(2*.04/2,12).= 2.30272167


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Por lo tanto, como: |.618| < 2.30272167 no se puede rechazar Ho, y podemos decir que conun nivel de significancia de 0.04 las medias de los dos maquinados pueden ser iguales.

Nota: Para el clculo del valor de t de student en Excel se utiliza la frmula:=DISTR.T.INV(2*/2,gl).

Observe que debido a que Excel calcula para la distribucin t inversa la probabilidad deuna distribucin simtrica de dos colas, cuando estamos buscando el valor de una solacola debemos de duplicar el valor de la probabilidad buscada (usando 2*/2) de forma talque la cola de un solo lado represente el valor de probabilidad buscado.

Este punto fue mencionado ampliamente durante la semana 4 del curso.

2. Se desea comparar la media del embalse (nivel de agua) del mes de mayo de dospresas de caractersticas similares. Se toman los registros de 8 aos atrs de lamedia de embalse (se mide en metros sobre el nivel del mar) como una muestraaleatoria que aparece en la siguiente tabla.

PRESA 1 1207.48 1206.60 1199.81 1206.29 1201.19 1200.20 1200.51 1198.54PRESA 2 1291.19 1310.55 1299.88 1296.31 1296.45 1301.67 1297.93 1305.20

a. Determinar si las varianzas de los embalses son iguales o diferentes con unnivel de significancia del 6%, e interpretar el resultado.

Este punto se calcula en forma similar al problema anterior:

Calculamos primeramente los parmetros de ambas muestras:


Varianza S12= 12.83005 S22= 35.59733571

Media X1= 1202.5775 X2= 1299.8975

El estadstico de comparacin es F=S12/ S2

2

F = 0.36042164

Los lmites de rechazo para H0estn dados por:F/2,n1-1, n2-1 = 4.6546 =DISTR.F.INV(.03, 8-1, 8-1)

F1-/2,n1-1, n2-1 = 0.21484074 =DISTR.F.INV(1-.03, 8-1, 8-1)

En donde = 6%


Como: 0.3604 < 4.6546 y 0.3604 > 0.2148

No se puede rechazar H0; Hay evidencia estadstica que las varianzas de los embalsespueden ser iguales con un nivel de significancia del 6%.


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b. Usando el mtodo adecuado de acuerdo al resultado del (a), determinar si lamedia del embalse de la presa 2 es mayor a la media de la presa 1 con un nivelde significancia del 1%, e interpretar el resultado.

Del resultado de a) tenemos que las varianzas son desconocidas e iguales.La prueba de hiptesis nos pide determinar si: H0: 1 = 2 vs. H1: 1 < 2Por lo tanto el mtodo a utilizar es el sealado anteriormente como 2c

En este caso el estadstico de prueba esta determinado por:

nnSp

XXt

21

21

11+

= en donde:

2

)1()1(

21

2

22

2

11

+

+=

nn

SnSnSp

Sp= 4.92074109

t = -39.5550175

Se rechaza H0si t < -t, n1+n2-2t,n1+n2-2 =DISTR.T.INV(2*.01,8+8-2) = 2.62449406

Como: (t = -39.5550175)< -ta,n1+n2-2= (-2.62449406)

Se rechaza H0; Hay evidencia estadistica que las media de embalse de la presa 2 es mayor ala media de la presa 1 con un nivel de significancia del 1%.

3. En la fabricacin de mangueras para frenos de camiones, el crimpado es unaoperacin de prensado que tiene como finalidad unir la conexin de latn a lamanguera. Se desea comparar el dimetro de crimpado (que se mide en centsimasde pulgada) de dos plantas. Se tom una muestra de 50 mangueras de la planta 1

donde se tuvo un promedio del dimetro de crimpado de 64.51 y una desviacinestndar muestral de 0.0021. De la planta 2 se tom una muestra aleatoria de 60mangueras con un promedio muestra del dimetro de crimpado de 64.471 y unadesviacin estndar muestral de 0.111.

a. Determinar si la varianza del dimetro de la planta 1 es menor a la varianzadel dimetro de la planta 2 con = 0.05, e interpretar el resultado.

H0: 12= 2

2H1: 1

2< 22


Varianza S12= 0.00000441 S22= 0.012321

Desviacion Std S1= 0.0021 S2= 0.111

Media X1= 64.51 X2= 64.471

F = 0.00035793

F1,n1,n2-1= 0.63181372

Regla de decisin: Se rechaza H0 con nivel de significancia si: F < F1-/2,n1-1, n2-1


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Como: (F = 0.00035793)< (F1-,n1-1,n2-1= 0.63181372)

Se rechaza H0; hay evidencia estadstica que la varianza del dimetro de la planta 1es menor a la varianza del dimetro de la planta 2 con un nivel de significancia del5%.

b. Determinar si la media del dimetro de la planta 1 es mayor a la media deldimetro de la planta 2 con = 0.05, e interpretar el resultado.

Del resultado de a) tenemos que las varianzas son conocidas (por el teorema del lmitecentral, dado que n1>30 y n2 >30).

La prueba de hiptesis nos pide determinar si: H0: 1 = 2 vs. H1: 1 > 2Por lo tanto el mtodo a utilizar es el sealado anteriormente como 1b

nn

XXZ

2

2

2

1

2

1

21

+

=

Se rechaza H0si z > z

Z = 2.721Z= DISTR.NORM.ESTAND.INV(1-0.05) =1.645

Como: (Z=2.721)> (Z= 1.645)Se rechaza H0; Hay evidencia estadistica que la media del dimetro de la planta 1 esmayor a la media del dimetro de la planta 2 con un nivel de significancia del 5%.

4. Se desea comparar la cantidad de slidos suspendidos en el agua despus deaplicarle un proceso de tratamiento de aguas residuales. Se consideran dosmtodos de tratamientos de aguas residuales aplicados a cierta cantidad de agua

de las mismas caractersticas. Al final del proceso se mide la cantidad de slidos enel agua en unidades de mg/l. la tabla muestra los datos.

MTODO 1 22.82 27.98 23.79 19.02 21.83 19.91 21.32 27.81 14.34 27.55MTODO 2 20.19 20.79 21.16 24.14 22.77 22.3 22.04 19.94 19.38 23.33

a. Determinar si las varianzas son iguales o diferentes con = 0.05, e interpretar elresultado.

H0: 12= 2

2H1: 1

222


Varianza S12= 19.1725789 S2

2= 2.44651556

Media X1= 22.637 X2= 21.604

F = 7.83668792

F/2,n1-1, n2-1 = 4.02599416

F1-/2,n1-1, n2-1 = 0.24838585


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Como: (F = 7.83668792)> (F/2,n1-1, n2-1= 4.02599416)

Por lo tanto hay evidencia estadstica que las varianzas de los dos mtodos detratamientos residuales NO son iguales, con un nivel de significancia de 0.05

Nota: Observe que las reglas de rechazo son mutuamente excluyentes, F > F/2,n1-1, n2-1serefiere a una falla en el lmite superior en tanto que F < F1-/2,n1-1, n2-1se refiere a una fallaen el lmite inferior.No es posible que una prueba falle en ambos casos al mismo tiempo. Por lo tanto bastaque una de las dos condiciones se cumpla para rechazar Ho.

b. Aplicar el mtodo adecuado de acuerdo al resultado del a) y determinar si lamedia del mtodo 1 es menor a la media del mtodo 2 con = 0.05 einterpretar el resultado.

Del resultado de a) tenemos que las varianzas son desconocidas y diferentesLa prueba de hiptesis nos pide determinar si: H0: 1 = 2 vs. H1: 1 < 2Por lo tanto el mtodo a utilizar es el sealado anteriormente como 3c

El estadstico de prueba es:

nn

XXt

21

21

11+

=

t = 0.70255701

Y para el clculo de los grados de libertad de la prueba se utiliza la siguiente frmula:

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

11

+

+

=

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

f

f = 11.2600877 11

t,f= DISTR.T.INV(2*0.05,11) = 1.79588481Regla de decisin: Se rechaza H0si t < -t, f

Como: (t= 0.7025) > (-t,f= -1.7958)No se rechaza H0; Hay evidencia estadstica que la media del mtodo 1 puede serigual a la media del mtodo 2 con =0.05.


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5. Se desea comparar el tiempo (en segundos) entre llegadas de automviles en dosintersecciones importantes. En la interseccin A se observaron 150 llegadas con unpromedio muestral del tiempo entre llegadas de 11.07 y una desviacin estndarmuestral de 11.27. En la interseccin B se observaron 200 llegadas de autos con unpromedio muestral de 18.22 y una desviacin estndar muestral de 18.83.

a. Determinar si la varianza del tiempo de la interseccin A es igual o si esmayor al de interseccin B con = 0.06.

H0: 12= 2

2H1: 1

2> 22


Varianza S12= 127.0129 S2

2= 354.5689

Desviacion Std S1= 11.27 S2= 18.83

Media X2= 11.07 X2= 18.22

F = 0.35821782F, ,n1-1, n2-1 = 1.26662265

Se rechaza H0 con nivel de significancia si: F > F,n1-1, n2-1 si

Como: (F=0.3582) < (F,n1-1,n2-1= 1.2666)No se rechaza H0; hay evidencia estadstica que la varianza del tiempo de lainterseccin A puede ser igual al de interseccin B con = 0.06.

b. Determinar si la media del tiempo de la interseccin A es menor o no a lamedia de la interseccin B, con = 0.07.

Del resultado de a) tenemos que las varianzas son conocidas (por el teorema del lmite

central, dado que n1>30 y n2 >30).La prueba de hiptesis nos pide determinar si: H0: 1 = 2 vs. H1: 1 < 2Por lo tanto el mtodo a utilizar es el sealado anteriormente como 1c

nn

XXZ

2

2

2

1

2

1

21

+

=

Se rechaza H0si z < -z

Z = - 4.4176Z= DISTR.NORM.ESTAND.INV(1-0.07) = 1.47579103

Como: (Z = -4.4176) < (- Z= - 1.4757)

Se rechaza H0; la media del tiempo de la interseccin A es menor a la media de lainterseccin B, con = 0.07.

ejercicios metodos estadisticos, explicaciones

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