MATEMATICAS FACULTAD DE CIENCIAS QUMICASDepartamento de Matemticas1oGrado en Qumicas Universidad de Castilla-La ManchaPARTE I: ALGEBRAFundamentos de lgebra1. Determinar dos matrices cuadradas de orden 2,XeYtales que2X 5Y=_1 12 1_X + 2Y=_2 14 1_2. Se considera la matriz____2 4 2 14 2 1 22 1 2 41 2 4 2____CalculaA2yA1.3. Dadas las matricesA =__1 1 13 2 12 2 0__B =__1 2 32 4 61 2 3__Calcula el rango y el determinante deA,B yBA.4. Se consideran las matricesA =__1 00 11 1__B =_1 1 10 1 1_Comprobar que (AB)

= B

A

.5. Calcular el determinante y la inversa de las matrices:A =__1 2 13 7 42 2 1__B =__2 0 11 0 11 1 1__6. Supongamosquelospreciosdel mercadodeaceitedeolivapAydegirasol pBsejande acuerdo a un mercado de libre competencia y las funciones demanda y oferta vienendadas por:DA = 3 pA + 4pBDB = 5 + 2pA pBOA = 14 + 3pA pBOB = 3 6pA + 5pBdondeDA, OA, DByOBson las cantidades demandadas y ofertadas de aceite de oliva yde girasol respectivamente. Calclense los precios para que el mercado est en equilibrio.7. Un fabricante utiliza tres ingredientesE,F, yG en la elaboracin de un cierto productoalimenticio. Seanx, y, z las cantidades respectivas de E, F, yGquecomponenelproducto. Una unidad de cada uno de los ingredientes proporciona vitaminasA, ByCen las cantidades en miligramos que se expresan en la siguiente tabla:11 E F Gvit. A 1 1 1vit. B 1 2 1vit. C 1 1 2Calcular qu cantidad de ingrediente es necesaria para que la composicin del productoconste de 300mg de vitaminaA, 430mg de vitamina B y 310mg de vitaminaC.8. Calcula las intensidades en cada rama del circuito:sabiendo que haciendo uso de las leyes de Kircho se tiene el siguiente sistema de ecua-ciones:i1 i2 i3 = 04i2 2i3 = 2i1 + 2i3 = 119. En presencia del cido sulfrico (H2SO4), el bromato potsico (KBrO3) oxida al bromuropotsico(KBr)paraobtenerbromo(Br2), sulfatopotsico(K2SO4)yagua(H2O).Ajustar dicha reaccin qumica.Espacios vectoriales10. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R3es subespacio vectorial:(a) S1 = {(x, y, z) R3: x = 0}; (b) S2 = {(x, y, z) R3: x 3y + 2z = 0}(c) S3 = {(x, y, z) R3: x = 3y = z}; (d) S4 = {(x, y, z) R3: x = y y = z}(e) S5 = {(x, y, z) R3: y + 2x = 0, z = 5x}; (f) S6 = {(x, y, z) R3: x2y2= 0}(g) S7 = {(x, y, z) R3: x y = 1}; (h) S8 = {(x, y, z) R3: xy = 0}.11. Estudia la independencia lineal de los vectores de R3:(a) u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 3, 1), u3 = (5, 3, 2).(b) v1 = (2, 2, 1), v2 = (4, 4, 1), v3 = (1, 0, 1).(c) w1 = (3, 1, 2), w2 = (2, 1, 3), w3 = (0, 1, 1)Encadacaso, determinalasecuacionesparamtricasycartesianasdel subespacioqueengendran. Busca adems una base de dichos subespacios y, cuando proceda, completalasa una base de R3.12. Determina una base B y las ecuaciones paramtricas del subespacio S de R4dado por lasecuaciones:___x y +z t = 02x +2y z t = 04x +z = 03x +y +t = 0Determina una base de R4que contenga a B.13. Encuentra una base de R4que contenga a los vectores (0, 1, 1, 1) y (1, 1, 0, 1).214. Determina las ecuaciones paramtricas e implcitas de los espaciosF=< (1, 1, 1, 2), (0, 1, 3, 1) >, G =< (1, 0, 4, 3), (1, 1, 0, 1) > .15. Calcula la dimensin y una base de los siguientes subespacios vectoriales:(a)W1 = {(x, y, z) R3: x +y +z = 0}, (b)W2 = {(t, 2t, 3t) R3: t R}.(c)U1 = {(x, y, z) R3: x = y = z}, (d)U2 = {(0, y, z) R3: y, z R}.(e)V1 = {(x, x, 0) R3: x R}, (f)V2 = {(0, y, y) R3: y R}.16. Se considera en R3el subespacioW= {(x, y, z): x +y z = 0,x +y +z = 0}. Halla laecuacin de un suplementario deW.17. Consideramos en R3los subespacios V1 = {(0, x, y) : x, y R}, V2 = L < (1, 1, 1), (1, 2, 3) >.Determina una base, las ecuaciones paramtricas e implcitas de cada uno de ellos.18. Consideramos los subespaciosVyWcontenidos en R3:V=___x1 = +x2 = +x3 = + + 2, W x1 x2 + 2x3 = 0(a) Determina una base deV .(b) Encuentra unas ecuaciones implcitas paraV .(c) Determina una base de un suplementario deV W.19. Halla la matriz de paso de la base B = {(1, 0), (0, 1)} a la baseB

= {(2, 3), (3, 4)} yla matriz de paso de B

a B. Si el vectorx tiene por coordenadas(1, 1)Ben la base B,Qu coordenadas tiene en la base B

?Si el vector y tiene por coordenadas (5, 0)B , en labase B

, qu coordenadas tiene en la base B?.Espacios vectoriales eucldeos20. Determina una base ortonormal para el subespacio de R3generado por:(a) u1 = (1, 1, 0), u2 = (5, 3, 2), u3 = (1, 1, 0).(b) v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (3, 2, 3).(c) w1 = (3, 1, 2), w2 = (1, 0, 2), w3 = (2, 1, 0).Encuentra adems las ecuaciones cartesianas de cada subespacio y halla su suplementarioortogonal.21. En R4con su producto escalar usual se pide(a) Determina un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1, 2, 1, 0) , (0, 1, 1, 0)y (1, 1, 2, 1) .(b) Obtn por el mtodo de Gram-Schmidt una base de vectores ortonormales paraV= L < (1, 2, 1, 0) , (0, 1, 1, 0) , (1, 0, 2, 1) > .22. SeaHel subespacio de R4denido por las ecuaciones:___x + 2y z 2t = 02x +y 2z t = 02x + 7y 2z 7t = 0(a) Determina las ecuaciones paramtricas deH, y una base ortonormal suya.(b) Calcula la proyeccin ortogonal sobreHdel vectoru = (2, 2, 3, 3).(c) Determina una base ortonormal de R4que contenga a la base de H hallada anterior-mente.3(d) Repite lo mismo en R3con el vector u = (1, 1, 1) y el subespacio_2x +y = 0z = 0.23. Utilizando el producto escalar usual de R3y R4, encuentra el complemento ortogonal deW, siendo:a) W= L < u, v > conu = (1, 0, 1), v = (2, 1, 1); b) W _x1 x2 +x3 +x4 = 02x1 x2 = 024. SeaHel subespacio de R3denido por la ecuacin cartesianax + 2y z = 0.(a) Determina las ecuaciones paramtricas deHy una base ortonormal suya.(b) Calcula el vector deHms prximo a u = (1, 1, 1) y la distancia de u aH.(c) Encuentra una base ortonormal de R3que contenga a la base hallada anteriormente.25. Sean u y v dos vectores ortogonales del plano distintos de cero. Entonces para todo vector w del plano existen ytal quew =u + v. Usa el producto interno para encontrar y en funcin deu y v.Aplicaciones lineales y matrices26. Dada la aplicacin lineal:T: R4R2T(x, y, z, w) = (x 2z, 2y + 3w)(a) Encuentra su representacin matricial respecto a las bases cannicas.(b) Halla su ncleo y su imagen.(c) Calcula la imagen porTde un vector ortogonal a v = (1, 1, 1, 1).(d) HallalamatrizdelaaplicacinconrespectoalabasecannicaenR4ylabaseB = {(1, 3), (2, 1)} en R2.27. Seaf: R3R3dada porf(x1, x2, x3) = (x1x2, x1, x1x3). Encuentra la matriz defrespecto a la base cannica. Halla la imagen mediantefde los siguientes subespaciosvectoriales de R3:(a) V1 = {(x1, x2, x3) R3: x1 x2 +x3 = 0}.(b) V2 = {(0, x2, x3) R3: x2, x3 R}.(c) V3 = {(x1, x2, x3) = t(1, 1, 1) : t R3}.28. Sabiendo que la aplicacinftransforma los vectoresu1= (1, 0, 0),u2= (1, 1, 0),u3=(1, 1, 1) de R3en los vectores w1 = (2, 1, 2), w2 = (3, 1, 2), w3 = (6, 2, 3) respectivamente,encuentra la matriz defen las siguientes bases:(a) La base cannica de R3.(b) La base {u1, u2, u3}.29. EnR3seconsideralabase B= {u1, u2, u3}. Clasicael endomorsmof dadoporf(u1) = au1 +u2 +u3,f(u2) = u1 +u2 +u3,f(u3) = u1 +bu2 +u3.30. Se consideran 3 espacios vectorialesA,B,C, cuyas bases respectivas sonBA = {u1, u2, u3}, BB = {b1, b2}, BC = {v1, v2, v3}y dos homomorsmos dados respectivamente porf: A B y g : B Cu1 b1 b2b1 v1 v2 +v3u2 b2b2 v1 v2u3 2b2Se pide:4(a) Matriz del homomorsmoh = g f: A C.(b) Encontrar el conjuntoh1(1, 1, 1), donde (1, 1, 1) C.(c) Ncleo deh.(d) Imagen del subespacio interseccin de los subespacios siguientes:V1 ___x1 = 2 +x2 = x3 = , V2 x1 x2 + 2x3 = 031. DeterminaenlabasecannicadeR3lamatrizdel endomorsmof denidopor lassiguientes condiciones:(a) La aplicacinf,restringida al plano que tiene por ecuacinx + y + z= 0,es unahomotecia de razn 3.(b) La aplicacinftransforma en s misma la recta de ecuaciones_2x + 4y + 3z = 0x + 2y +z = 0.32. SeaV unespaciovectorial sobreRdedimensin3. Paracadaa R, seconsideraelendomorsmofa : V Vcuya matriz respecto a una base ja B deVes,A =__a 0 10 1 1a 1 a__Estudia los endomorsmosfa segn los valores dea.33. Consideremos la base de R3, B= {u1= (1, 0, 0), u2= (1, 3, 5), u3= (2, 1, 2)} y seaT: R3R3la aplicacin lineal tal queT(u1) = 2u1 +u2,T(u2) = u1 u2 +u3,T(u3) = 4u1 u2 + 2u3.(a) Determina la matriz de la transformacin respecto de la base cannica y las ecua-ciones cartesianas del ker Treferida a la base cannica y a la base B = {u1, u2, u3}.(b) Las ecuaciones cartesianas del subespacio L engendrado por u1 y u2 y la proyeccinortogonal de u3 sobreL.34. Hallar una aplicacin linealf: R3R3tal que:(a) f(1, 0, 0) sea proporcional a (0, 0, 1).(b) f2= f(c) La ecuacin de ker fesx +z = 035. Seaf: R4R4el homomorsmo denido porf(1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1), f(1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1),f(1, 1, 1, 0) = (0, 0, 1), f(1, 2, 0, 0) = (1, 1, 1).(a) La matriz defrespecto de las bases cannicas.(b) Dimensin y ecuaciones cartesianas de ker feImf.36. Se considera el homorsmo f: R3R2que hace corresponder a los vectores (1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)los vectores (1, 0), (0, 2), (1, 1) respectivamente. Se pide:(a) Matriz asociada afen las bases cannicas de R3y R2.(b) Subespacio transformado deV 5x1 3x2 x3.5(c) Ecuacin def (V ) en la base B {(1, 1), (2, 0)}.37. Seanf, g : R3R3tales quef(e1 3e3) = e3, g(e1) = e1,f(e2) = e2, g(e2) = e2,f(3e1 +e3) = 2e1, g(e3) = e3.(a) Estudia sifyg son ortogonales.(b) Hallah = f g.38. Estudia si la aplicacin linealf: R2R2denida porf(x, y) =_35x + 45y, 45x 35y_es una transformacin ortogonal.39. Sea f: R R la aplicacin lineal cuya matriz respecto a la base cannica viene dada porA =_22aa22_cona R . Determina para que valores dea la matrizA es ortogonal.Valores y vectores propios40. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales de Rnen Rnque estn dadas por las siguientes matrices:A =_4 63 5_, B =_5 14 1_, C =_2 13 1_, D =_ 1 00 1_E =__0 0 11 2 12 3 1__, F =__2 2 10 2 11 0 0__, G =__2 1 10 1 01 1 0__.EnloscasosqueseaposiblehallaunabasedeRnformadaporvectorespropios, ylamatriz en esa base, de las aplicaciones dadas.41. Ejemplo de Aplicacin. En la teora de orbitales moleculares de sistemas de electrones,los estados de los electrones , los estados de los electrones son descritos por una ecuacinde autovalores matricialesHC = ECdonde la matrizHrepresenta el hamiltoniano efectivo para un electrndel sistema,los autovaloresEdeHson las energas orbitales de los electrones, y los autovectoresCrepresentan los correspondientes orbitales moleculares (las componentes deCson loscoecientes de una descripcin mediante combinacin lineal de orbitales atmicos (CLOA)de un orbital molecular). Para el ciclobutadieno (C4H4),Hes la matriz simtrica realH =____ 0 00 0 .____Calcula las energas orbitales de los electrones y los correspondientes orbitales molecu-lares.42. Seala cules de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuen-tra una matriz de cambio de baseP:A =__1 3 13 5 13 3 1__, B =__4 1 11 2 11 1 2__, C =____0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0____.643. Determina para que valoresa, b R la matrizA es diagonalizable en R siendoAA =__a b 00 1 00 0 1__.44. Estudia para que valores reales de la matrizA es diagonalizable y en los casos en quelo sea, encuentra su forma diagonal ,D, y una matrizPtal queP1AP= D, siendoA =__1 2 2 0 1 0 0 1__.45. En R3, consideramos el endomorsmofdado porf(x, y, z) = (2x +y +z, 2x + 3y + 2z, x +y + 2z)y sea A la matriz de frespecto de la base cannica. Determina: vectores propios, valorespropios, diagonalizacin y matriz de paso.46. EnR3, consideramoslaaplicacinf(x, y, z)=(3x + y, x + y, 0). Hallalosvaloresyvectores propios. Es diagonalizable?.47. Seaf : R3R3el endomorsmocuyaexpresinanalticarespectodelabase B={e1, e2, e3} es__y1y2y3__=__1 1 10 2 10 1 0____x1x2x3__.(a) Calcula los valores propios y sus subespacios propios asociados.(b) Se puede encontrar otra base B

, tal que respecto a ella seafdiagonalizable?.48. Seaf: R3R3el endomorsmo denido por:f(x, y, z) = (x + 2y z, 2y +z, 2y + 3z).(a) Halla la matriz defrespecto de la base B = {e1, e2, e3}.(b) Calcula los valores propios, los subespacios propios y comprueba que el subespaciosuma de estos subespacios es suma directa.49. Seaf : R3R3el endomorsmocuyaexpresinanalticarespectodelabase B={e1, e2, e3} es__y1y2y3__=__1 2 21 2 11 1 4____x1x2x3__Encuentra una nueva baseB

tal que respecto de ella la expresin analtica defvengadada por una matriz diagonal.50. Sea B = {e1, e2, e3} una base deIR3yA la matriz de un endomorsmo referido a dichabase. En dicho endomorsmo, los subespaciosV1 : x +y +z = 0, V2 : {x y = 0, x z = 0}estn asociados respectivamente a los vectores propios = 1 y = 1/2. Se pide:(a) Diagonaliza la matrizA.(b) Calcula la matrizM= 2A47A3+ 9A25A+I.(c) Calcula la matrizN= A34A2+ 5A1+ 4I.751. Diagonaliza las siguientes matrices simtricasA =__3 1 01 3 00 0 2__, B =__1 0 20 1 02 0 1__, C =__0 1 11 0 11 1 0__,calculandounamatrizdepasoPortogonal quepermitaescribirsuformadiagonal A

comoA

= PtAP.52. Dada la matriz A:A =__1 00 1 0 0 2__donde y son dos nmeros reales. Se pide(a) Estudia para que valores de y la matrizA es diagonalizable.(b) Para aquellos valores para los que sea diagonalizable hallar la matriz diagonal y lamatriz de paso correspondiente.53. Estudia para qu valores de los parmetrosa yb, reales, la matrizA =__5 0 00 1 b3 0 a__es diagonalizable y calcula en ese caso la matriz diagonal y la matriz de paso.54. Ejemplo de Aplicacin. En un problema de gentica los genotipos se pueden clasicar en3 grupos: T1, T2 y T3. La probabilidad de que un individuo de tipo Tjtenga progenie deltipoTi espij, lo que da lugar a la matriz de probabilidades de transicinP=__1 1/4 1/180 1/2 8/180 1/4 9/18__.Esto quiere decir por ejemplo, que la probabilidad de que un individuo del tipoT2 tengaprogenie del tipoT3es1/4 y que los individuos del tipoT1slo tienen progenie de esemismotipo. Enestascondicionessi u0=__abc__eslaproporcininicial detiposT1T2yT3,la distribucin en lasiguiente generacinestar dadaporel vectoru1=Pu0.Anlogamente, la distribucin al cabo den generaciones vendr dada por el vectorun =Pnu0, esdecirlamatrizdeprobabilidadesdetransicinal cabodengeneracionesesPn. Siu0 =__1/31/31/3__(o sea, hay el mismo nmero de individuos de cada tipo) halla ladistribucin al cabo de 10,20,40 y 60 generaciones e interpreta los resultados. Utilizadiagonalizacin de matrices.8PARTE II: CALCULOCALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN UNA VARIABLEContinuidad, derivadas y extremos1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:a)f(x) =___1x + 1x < 01x31x 0b)f(x) =_x2+ 2 x 0x + 4 x > 0c)f(x) =___x21x + 1x < 12 x 12. Dar una condicin sobreA yB para que la funcinf(x) =___Ax B x 13x 1 < x < 2Bx2A x 2sea continua enx = 1 pero discontinua enx = 2.3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente funcin:f(x) =___x2x 112x + 12x > 14. Seaf(x) = x_(x),x 0.a) Calcularf

(x) para todox > 0.b) Calcularf

+(0).5. Calcula la funcin derivada de la siguiente funcin:a)f (x) = e2xsen(x2) b)f (x) =_x2ln x_c)f (x) =exx2+1d)f (x) = ln [(2x 1)] e)f (x) = 23x+1f)f (x) = (3xx2+1)46. Un objeto se mueve a lo largo de la curvay = x33x + 5 de manera que su coordenadax en el instantet esx = 2t2t + 2, t 0. Calculadydt(2).7. La ley de Newton de la atraccin gravitatoria arma que la fuerza que ejerce un cuerposobre otro que dista del primero una distanciar viene dada porF(r) =kr2dondekes una constante positiva. Supongamos que la distancia entre los dos cuerpos,en funcin del tiempo viene dada porr(t) = 49t 4.9t2Calcula la tasa de variacin de la fuerza con respecto at, es decir,dFdt (t).8. Unpndulosimpleconsisteenunamasamquesebalanceaatadaal extremodeunavarilla o cuerda de masa despreciable y de longitudL. El desplazamiento angulardelpndulo en el instantet viene dado por(t) = acos(t +)dondea, y son constantes. Demostrar que satisface la ecuacind2dt2+2 = 0.99. Hallar los puntos crticos y clasicar los extremos dea)f(x) = x42x3b)f(x) =x4+x2c)f(x) = x4 x210. Si el ngulo de elevacin de un caon es y se dispara un proyectil con una velocidad deboca de canvm/s entonces el alcance del proyectil viene dado porR() =v2sen2gdondeg es la gravedad. Qu elevacin maximiza el alcance?11. UncuerpodepesoWesarrastradoporunplanohorizontal aplicndoleunafuerzaPcuyarectadeaccinformaunnguloconelplano. Laintensidaddelafuerzavienedada por la expresinP() =mWmsen +cosdondem es el coeciente de rozamiento. Cul es el valor de que minimiza la fuerza?12. Si un proyectil es disparado desde O para dar con un plano inclinado que forma un nguloconstante con la horizontal, su alcance viene dado por la frmulaR() =2v2cossen( )gcos2dondevygsonconstantesyesel ngulodeelevacin. Calcularel valordequepermite el alcance mximo.13. Dos fuentes decalor estnseparadas por unadistanciade smetros. Unafuentedeintensidada est en el puntoA y la otra de intensidadb doble quea, en el puntoB. Laintensidad de calor en un punto Psobre el segmento de recta entre A y B viene dada porla frmulaI(x) =ax +bs xdondex es la distancia entrePyA medida en metros. En qu punto entreA yBlatemperatura ser mnima?Serie de Taylor y Fourier14. Demuestra que cada una de las siguientes funciones tiene como representacin la serie depotencias que se indica en los conjuntos dados:a)ax=

n=0(lna)nn!xnx R(a > 0)b)cosx =

k=0(1)k(2k)!x2kx Rc)sen2x =

k=1(1)k+122k1(2k)!x2kx R15. Escribeel polinomiodeTaylor P4,0(x) delafuncinf(x) =ln(1 x). Utilizaelpolinomio anterior para calcular aproximadamente ln0.9. Qu error se comete?16. Seag(x)=cosx. Hallarel polinomiodeTaylor Pndef degradomnimoqueapro-ximecos(/30)contrescifrasdecimalescorrectas. CalcularPn(/30)paraobtenerlaaproximacin pedida decos(/30).17. Dada la funcinf(x) =3x2:a) Calcula el desarrollo en serie de Taylor def(x) centrado enx = 0.b) Determina el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de dicha serie.c) Calcula el polinomino de Mc Laurin de order 4 y utiliza dicho polinomio para aproximarel valor def(0.1).1018. Seaf(x) = x2ex(a) Halla el desarrollo en serie de Taylor defcentrado enx0 = 0.(b) Usa derivacin en la igualdad obtenida en (a) y demuestra que

n=0n + 2n!= 3e(c) Utiliza el polinomio de Taylor de orden 4 para dar una aproximacin def(14). Querror se comete en dicha aproximacin?19. Integra usando el desarrollo en serie de Taylor:a)_senxxdx b)_10xln(1 x)dx20. Sabiendo queex=

n=01n!xn, calcula:a)

n=02n!b)

n=0(1)n2n!b)

n=01n!21. CalculalaseriedeFourierasociadaalafuncinf(x)= + xdenidaenel intervalo[, ) extendida por periodicidad a R.22. Calcular la serie de Fourier de la funcina)f(x) =___1 0 x 11 1 < x < 0Representar grcamente las sumas parcialesS2, S5yS8y analizar la aproximacin dedichas sumas a la funcinf(x).Integral denida e indenida23. Calcula las siguientes integrales denidas e indenidas:a)_512x 1dx b)_21 (3t +4t2)dt c)_10 (x3/2x1/2)dxd)_a0e2x1dx e)_211t(lnt + 3)2dt f)_/402sec2xdxg)_s(1+s2)3ds h)_x(x2+ 1)3dx i)_cos(3x + 1)dxj)_e21xlnxdx k)_1/20xcosxdx l)_20xx2+5x+6dxm)_senxxdx n)_senx(2+cosx)dx o)_x22x31dxp)_xex2dx q)_xeax2eax2+1dx r)_tetdts)_excosxdx t)_x+3x23x+2dx u)_x3x3+x2dt24. Dibuja la regin limitada por las curvasy = x3+ 1,y = 0,x = 1 yx = 2 y calcula surea.25. Dibuja la regin limitada por las curvasy=cosx, y= 0, x = 0 yx = 2y calcula surea.26. Dibuja la regin limitada por las curvasy = 6x x2,y = 2x y calcula su rea.27. Dibuja la regin limitada por las curvasy=ex, y=exy las rectasy= 0, x = 1 yx = 1 y calcula su rea.1128. Unobjetosemuevealo largodeun ejedecoordenadascon unaaceleracindea(t) =(t + 2)3m/s.a) Hallar la funcin de velocidad supuesto que la velocidad inicial es 3m/s.b) Hallar la funcin posicin supuesto que la velocidad inicial es 3 m/s y la posicin iniciales el origen.29. Unavarillade6mdelongitudsesitasobreel ejexdesdex=0hastax=L. Ladensidad de masa es(x) = 12/x + 1kg/m. Hallar la masaMde la varilla y su centrode masasxMsabiendo queM=_60(x)dx y xM=1M_60x(x)dx30. La velocidad de una pesa suspendida de un muelle viene dada porv(t) = 3sent + 4costt 0.En el instante inicialt = 0 la pesa se encuentra una unidad por debajo de la posicin deequilibrio, es decir,x(0) = 1.a) Determinar la posicin de la pesa en cualquier instantet 0.b) Cul es el mximo desplazamiento de la pesa respecto de su posicin de equilibrio?31. La fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre una masam situada a una distanciardel centro de la Tierra viene dada por la frmula de NewtonF(r) = GmMr2dondeMeslamasadelaTierrayGeslaconstantegravitatoria. Hallarel trabajorealizado por la gravedad al mover una masam desder1 hastar2.32. Calcula el trabajo W= _ 12V1V1PdVrealizado al comprimir un sistema hasta la mitad desu volumen, a 300K, si la relacin presin-volumen del sistema viene dada por la ley delos gases perfectosPV= RTconR = 8.3JK1mol1.33. Lacostante asociadaconladispersindeluzdelongituddeondadeunamacro-molcula viene dada por la integral=_08424(1 +cos2)2sinddonde es la polarizabilidad de la molcula. Demuestra que=823(2)44.Integrales impropias34. Calcula las siguientes integrales impropias(a)_1dxx4(b)_1dxx(c)_2dx3x(d)_3dxx5(e)_dx1 +x2(f)_0cos xdx (g)_2dxx2+x 2(h)_1exdx(i)_10dxx3(j)_40dx(x 2)2(k)_10dx1 x2(l)_10dxx23x(m)_30dx3 x(n)_30dx(2 x)1/3(o)_30dx(x 1)21235. Funciones de densidad de probabilidad. Una funcin f no negativa denida en (, +)es una funcin de densidad de probabilidad si_+f(x)dx = 1.Demuestra que la funcin denida pora)f(x) =___kekxx 00 x < 0conk > 0 es una funcin de densidad.Sistemas de coordenadas1. Representa los siguientes conjuntos de Rndescritos en coordenadas cartesianas:(a) A = {(x, y) R2/ |x| 1, y> 1}(b) B = {(x, y) R2/ x2y2 0}(c) C = {((x, y, z) R3/ x2+y2+z2= 1}(d) D = {(x, y, z) R3/ x2+z2 1}(e) E = {(x, y, z) R3/ x2+y2z2 0}2. Describe en el plano cartesiano los conjuntos de IR2cuya expresin en coordenadas polareses:(a) A = {(r, ) R2/ r 1}(c) C = {(r, ) R2/ 1 < r < 2} (d) D = {(r, ) R2/4 4}3. Describe en coordenadas cartesianas los conjuntos de R3cuya expresin en coordenadascilndricas es:(a) A = {(r, , z) R3/ z = 1}(b) B = {(r, , z) R3/ =4}(c) C = {(r, , z) R3/ r2+z2 3}4. Representa en el espacio cartesiano los conjuntos de R3expresados en coordenadas esfri-cas por:(a) A = {(r, , ) / r 1}(b) B = {(r, , ) / =4}(c) C = {(r, , ) / r 1, 0 2}CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLESDerivadas parciales y direccionales. Diferencial1. Comprobar la continuidad y diferenciabilidad de las siguiente funciones y calcula la dife-rencial en (0, 0):(a) f(x, y) = x2cos y (b) f(x, y) = (x2+ cos y, yex)(c) f(x, y) = (ex+y+y, y2x) (d) f(x, y) = (e2x+3y, x y)(e) f(x, y) =_sin_x2+y2_ex, ey_(f) f(x, y) = (x, y, sin(xy))2. Hallar el vector gradiente de la funcinfen el punto indicado(a) f(x, y) = ln(x2+y2) en (2, 1) (b) f(x, y) = xsen(xy) en (1, /2)(c) f(x, y) = xye(x2+y2)en (1, 1) (d) f(x, y, z) = (x y)cosz en (1, 0, 1/2)(e) f(x, y, z) = x _y2+z2en (2, 3, 4) (f) f(x, y, z) = cos(xyz2) en (, 1/4, 1)133. Halla el plano tangente a la superciez = x2+y2en (1, 1, 2).4. Halla el plano tangente al elipsoidex2+y2+ 2z2= 4 en el punto (1, 1, 1).5. Para un gas connado en un recipiente, la ley de los gases ideales establece que la presinPest relacionada con el volumenVy la temperaturaTpor una ecuacin de la formaP= kTVdonde k es una constante positiva. Demostrar queVPV= PyVPV+T PT= 0.6. Lafuncinentropaparaunmol deungas ideal monoatmicosepuedeexpresar entrminos deVyTde la formaS(V, T) = Rln(e5/2VLh3(2mkT)3/2)dondeR, L, h, m yk son constantes. CalcularSTandSV .7. La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la funcinT(x, y) = excosy +eycosxa) En qu direccin crece la temperatura ms rpidamente a partir de (0, 0)?b) Cul es la tasa de incremento de la temperatura?c) En qu direccin decrece la temperatura ms rpidamente a partir de (0, 0)?8. La densidad (masa por unidad de volumen) de una bola de metal centrada en el origenviene dada por la funcin(x, y, z) = ke(x2+y2+z2)k 0a) En qu direccin crece la temperatura ms rpidamente a partir del punto (x0, y0, z0)?Cul es la tasa de incremento de la densidad?c) Cules son las tasas de variacin de la densidad en (x0, y0, z0) en las direcciones i, j yk?Regla de la cadena9. Halladw/dt si:w = ln yx, x = cos t, y = sentw = x2+y2, x = et, y = etw = _x2+y2, x = cos t, y = etw = x2+y2+z2, x = etcos t, y = etsent, z = et10. Halla las derivadas parciales defcon respecto ax, y, z si:f(u, v, w) = u2+v2w, u = x2y, v = y2, w = exz11. Halla las derivadas parciales defcon respecto as yt si:f(x, y, z) = xy +yz +xz, x = s cos t, y = ssent, z = t1412. Se consideran las funcionesu = x2+y2z2, v = 2xy + 3xz +yz, w = x2y2+ 5yz. Six = r cos sen, y = rsensen, z = r cos . Halla(u, v, w)(r, , ) .13. Sea: R3R dada por(x, y, z) = 0_x2+y2+z2con0 constante. Consideramosel cambio a coordenadas esfricasx = coscosy = sencosz = sen.Calcula(0, 0, 0),(0, 0, 0) y(0, 0, 0) siendo (0, 0, 0) = (1, 0, 0).14. Se considera la funcinf(x, y) = (x2+ y2, ex2ln(y2)). Seag(u, v) una funcin tal quela matriz jacobiana deg en el punto (1, 1) es_1 12 3_. Hallar la matriz jacobiana de lafuncinh = g fen (0, 1).15. Sean las funcionesf(x, y) = (e3xy, 2x + 3y, x2) yg(u, v, w) = (uw, sen(v + w)). Pruebaquef esdiferenciableen(0, 0), quegesdiferenciableen(1, 0, 0)yqueh=g f esdiferenciable en (0, 0). Calculadf(0, 0), dg(1, 0, 0) ydh(0, 0).16. Repetir los ejercicios 9, 10, 11 y 12 matricialmente, como en 15.Optimizacin17. Calculalosmximosymnimosrelativosylospuntosdeensilladuradelassiguientesfunciones:(a) f(x, y) = 2x2+ 2xy +y2+ 2x 3 (b) f(x, y) = log(x2+y2+ 1)(c) f(x, y) = 5x2+ 4xy y2+ 16x + 10 (d) f(x, y) = x3+ 3xy215x 12y18. Clasica los puntos crticos o estacionarios de las siguientes funciones:(e) f(x, y) = (x2+ 4y2)e1x2y2(f) z = x2y22x 4y 4(g) z = 2x2+ 3y24x 12y + 13 (h) z = x33xy +y319. Halla los extremos absolutos de las funciones siguientes en los conjuntos que se indican:(a) f(x, y) = xy2, sobre B =_(x, y) : x 0, y 0, x2+y2 1_.(b) f(x, y, z) = x +y +z, sobre B =_(x, y, z) : x2+y2 z 1_.(c) f(x, y) = 3xy 6x 3y + 7, en el tringulo de vrtices (0, 0), (3, 0), (0, 5).20. Unaplacatienelaformadel crculodecentro(0, 0)yradio1. Laplaca, incluyendoel borde, secalientademaneraquelatemperaturaenunpunto(x, y) es T(x, y) =x2+ 2y2 x. Determinarlospuntosconmayorymenortemperaturadelaplaca, ascomo la temperatura en cada uno de ellos.21. Sea T(x, y, z) = 100+x2+y2la temperatura en cada punto de la esfera x2+y2+z2= 50.Hallalatemperaturamximaenlacurvaformadaporlainterseccindelaesferayelplanox z = 0.22. Unaempresapetroqumicaestdiseandoundepsitocilndricodelongitudhyradior0conextremossemiesfricosderadior0queseusarparatransportarproductos. siel volumendel depsitohadeserde10000m3, qudimensionesdebenusarseparaminimizar la cantidad de metal necesario?23. Latemperaturadeunaplacaenunpuntocualquiera(x, y)vienedadaporlafuncinT(x, y) =25 + 4x2 4xy +y2. Unaalarmatrmicasituadasobrelos puntos delacircunferencia x2+y2= 25 se dispara a temperaturas superiores a 180 grados o inferioresa 20 grados. Se disparar la alarma?15CALCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLESIntegrales dobles y triples1. Calcula las siguientes integrales en la regin que se indica:(a)_ _D_1 x2dxdy, donde D = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x}.(b)_ _Dxydxdy, donde D = {(x, y) : 2 x 2, 0 y cos x}.(c)_ _Dx2dxdy, donde D = {(x, y) : 1 x 1, x2 y 1}.(d)_ _Dyexdxdy, donde D = {(x, y) : 0 x y2, 0 y 1}.2. Calcula las integrales dobles siguientes en los dos rdenes de integracin :(a)_20_2xx_1 +y3dydx (b)_20_2xey2dydx3. Calcula_ _D(x2+ y2)dxdysiendoDlaregincomprendidaentrelascircunferencias:x2+y2= 1 yx2+y2= 4.4. Calcula el rea de los recintos en los que estn denidas las integrales de los ejercicios 1y 3.5. Calcula la siguiente integral_ _DxydxdysiendoD = D1 D2 el dominio indicado en la gura.6. Una lmina tiene forma de semidisco de radioa. Hallar la masa de la lmina sabiendoque la densidad de la misma vara proporcionalmente a la distancia al centro del ladorectodelalmina, esdecir, (x, y)=0_x2+y2con0constante. Recuerdaquelamasa viene dada por la integralM=_ _D(x, y)dxdy.7. Calcula el centro de masas (xM, yM) para el ejercicio anterior sabiendo quexM=1M_ _Dx(x, y)dxdy eyM=1M_ _Dy(x, y)dxdy8. Latemperaturadeunaplacaesproporcional asudistanciaal origen. DichaplacaseencuentrasituadaenlareginD= {(x, y): x2+ y225}. Sabiendoqueenelpunto(1, 0) su temperatura es de 100oC, hallar la temperatura media de dicha placa. Recuerdaque la temperatura media viene dada por la integralTM=_ _D T(x, y)dxdyArea(D).169. Calcula las integrales triples:(a)_10_x0_y0(y +xz)dz dy dx (b)_20_x0_x+y0dz dy dx (c)_20_4x20_4x2+y2xdz dy dx(d)_10_1x_10zey2dz dy dx (e)_10_2x0_x+yx2+y2dz dy dx10. Halla el volumen limitado por la superciez = x2+y2y el planoz = 4.11. Calcula el volumen limitado por las superciesz = x2+y2yz = 2 x2y2.12. Halla el volumen dentro de las superciesz = x2+y2yx2+y2+z2= 2.13. Halla el volumen del cono de helado denido por las desigualdadesx2+ y215z2, 0 z 5 +_5 x2y2.14. Halla la masa M del cilindro slido C: x2+y2 r20 de altura h ( consideramos 0 z h)cuya densidad es directamente proporcional a la distancia al eje del cilindro, (x, y, z) =0_x2+y2, con0 una constante. Recuerda que la masa viene dada por la integralM=_ _ _C(x, y, z)dxdydz15. HallalamasaMdeunabolaB: x2+ y2+ z2r20cuyadensidadesdirectamenteproporcional a la distancia al centro de la bola.16. Una empresa petroqumica est diseando un depsito cilndrico de longitud h y radio r0con extremos semiesfricos de radior0 que se usar para transportar productos. Calculael volumen de dicho depsito.17. Un viticultor desea almacenar el vino de la cosecha en cubas en forma de paraboloide ycon una altura de 2 metros. Estudios encargados a una empresa de diseo le aconsejanque para esa altura la supercie de la cuba responda a la ecuacin z =12(x2+y2). Ayudaal viticultor a calcular el nmero de cubas que debe comprar si su cosecha es de 50.000litros.Integrales de lnea y de trayectoria18. Una masa puntualm se mueve desdet = 0 hastat = 1 de tal forma que su posicin en elinstantet viene parametrizada de la siguiente formar(t) = t2i +sentj +costk, t [0, 1]conyconstantes. Sabiendoquelafuerzaqueactasobreesamasapuntual enelinstantet viene dada por F(t) = mr

(t), calcula el trabajo realizado por dicha fuerza.19. HallareltrabajorealizadoporlafuerzaF(x, y)=(x + 2)yi + (2x + y)japlicadaaunobjeto que se mueve a lo largo de las curvas indicadas:a) La parbolay = x2desde (0, 0) hasta (2, 4).b) El cuarto de crculo r(u) = cosui +senuj,u [0, /2].20. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) =x2i + xyj + z2k aplicada a un objetoque se mueve a lo largo de la hlice circular r(u) = cosui +senuj +uk,u [0, 2].21. Si hacemos rodar unacircunferenciasobre unarectayseguimos aunode los pun-tosdelacircunferencia, originaremosunacurvaplanallamadacicloide. Unaposibleparametrizacin es la siguiente:x() = R( sin ) , y () = R(1 cos )siendo R el radio de la circunferencia. Con estos datos, y siempre para (0, 2), se pidea) Dibuja la cicloide.b) Halla la longitud de la cicloide.1722. Un alambre con forma de cuarto de circunferenciaC : r(u) = a(cosui +senuj), u [0, /2]tiene una densidad(x, y) = k(x +y) dondek es una constante positiva. Hallar la masatotal del alambre.23. Un alambre homogneo de masaMgira alrededor del ejez comoC : r(u) = acosui +asenuj +buk, u [0, 2]Hallar la longitud del alambre.Integrales de supercie. Flujo de un campo vectorial24. La funcinC : r(u) = acosucosvi +asenucosvj +asenvk, (u, v) [0, 2] [/2, /2]parametriza una esfera de radioa. Calcula el rea de dicha supercie esfrica.25. Calcula el rea de la supercie del cilindro de radior0 y 0 z 2, parametrizado comox = r0cosu,y = r0senu,z = v con 0 u 2 y 0 v 2.26. Hallar la masa de una supercie material con forma de semiesferax2+y2+z2= a2conz 0, sabiendo que la densidad es directamente proporcional a la distancia al planoxy,es decir(x, y, z) = kz conk constante.27. Hallar la masa de la supercie materialS : z = 1 12(x2+ y2) con 0 x 1, 0 y 1si la densidad en cada punto es proporcional axy.28. SeaSlapartedel paraboloidez=1 (x2+ y2)conz 0. Calculael ujodev=xi +yj +zk a travs de esta supercie en la direccin de la normal unitaria a la supercie.29. Calcula el ujo de la fuerza gravitatoria F(r) = GmMr3r saliendo de la esfera x2+y2+z2=a2.18PARTE III: ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASEcuaciones de primer orden1. La ley de Newton de variacin de temperaturaT

(t) = k(T(t) Te), (k> 0 constante)describe la variacin de la temperatura de un objeto siendoTe la temperatura constantedel medio que rodea al objeto. Suponiendo que T(0) = T0 resuelve la ecuacin diferencial.Dibuja la grca deTen funcin det. Qu ocurre conT(t) cuandot ?2. Unodelosmtodosmsprecisoparadeterminarlaedadderestosarqueolgicoseselmtodo del carbono 14 (C14), basado en que para cualquier organismo vivo una proporcinconstante de tomos de carbono est formada por el istopo radiactivo C14. La proporcinpermanece prcticamente constante durante toda la vida y cuando el organismo muere elC14sigue su proceso de desintegracin, con lo cual la proporcin disminuye. Un modelosimple para describir el fenmeno supone que la cantidad de tomos que se desintegran esproporcional a la cantidad de tomos presentes,es decir, se cumple la ecuacin diferencialdNdt= N(t) (1)siendo N(t) la cantidad de C14en una muestra en el tiempo t.Suponiendo que N(0) = N0:(a) Resuelve la ecuacin diferencial.(b) Sabiendo que la edad media,T, delC14(la edad media es el tiempo que debe trans-currir para que se desintegre la mitad de la sustancia, por tanto se tieneN(T) =N0/2)es aproximadamente de 5600 aos, calcula el valor de.(c) En una cueva de Sudfrica se encontr un crneo humano junto a los restos de unafogata. Los arquelogos creen que la edad del crneo es igual a la de la fogata. Sabiendoque en la madera queda un 2% de la cantidad inicial N0 de C14, calcula la edad aproximadadel crneo.3. Laecuacindiferencial paralaevolucindelaconcentracindelos reactivos enunareaccin irreversible de segundo orden (a volumen constante)A+B con constante de velocidadk esdxdt= k(a x)(b x)dondea yb representan las concentraciones iniciales deA yB, respectivamente, yx(t)expresalaconcentracin(enmoles/cm3)desustanciaquehareaccionadodespusdetminutos. Considerando a = 1 y b = 2, resuelve la ecuacin diferencial (teniendo en cuentaobviamente quex(0) = 0) y da las expresiones para las concentraciones de las sustanciasA yB, CA(t) =a x(t) yCB(t) =b x(t) en funcin det. Qu ocurre conCA(t) yCB(t) cuando t ?4. Untumorpuedeconsiderarsecomounapoblacindeclulasquesemultiplican. Em-pricamentesehadescubiertoqueel ndicedenatalidad"delasclulasdeuntumordecrece exponencialmente con el tiempo, de modo que(t) =0et(en la que y0son constantes positivas) y por lo tanto la poblacin de clulas tumorales viene dada porla ecuacin diferencialdPdt= 0etP.Sabiendo que en el instante inicial la poblacin de clulas tumorales era P0, obtener P(t).Qu ocurre cuando t ?5. Supongamos que cierta comunidad tiene 15000 personas que son susceptibles a una enfer-medad contagiosa. Supongamos que la velocidad de contagio es proporcional al productodel nmero de aquellos que tienen la enfermedad y de los que no la tienen, es decir,dNdt= N(15000 N)19dondeN(t) denota el nmero de personas que tienen la enfermedad en el instantet.a) Sabiendo que = 105y que en el instante inicial t = 0 el nmero de personas enfermases 5000, resuelve la ecuacin diferencial.b)Cuntotiempopasarparaqueotras5000personascontraiganlaenfermedad? Eltiempo se mide en das.6. Un cohete con masa inicial M0 despega en el instante t = 0 La masa decrece con el tiempoporque el combustible se gasta a una velocidad de combuestin constanter; as la masaen el instantet esM(t) =M0 rt. Si el empuje proporcionado por los motores es unafuerza constante Fy el movimiento es vertical con velocidad v, la segunda ley de Newtonimplica queF= M(t)g +ddt(M(t)v(t))donde se ha despreciado la fuerza de resistencia del aire.a) Resuelve la ecuacin diferencial anterior. Si la masa del cohete en el instante en quese agota el combustible esM1, calcula la velocidad en ese instante.b) Resuelve la ecuacin anterior suponiendo adems que la fuerza de resistencia del airees proporcional a la velocidad del cohete, con una constante de proporcionalidad.c) Si el cohete alcanzara una altura sucientemente grande no se puede suponer queg esconstante, en cuyo caso debemos utilizar la correcin g = g0R2T/z2, siendo RTel radio dela Tierra, zla distancia del cohete al centro de la Tierra yg0= 9.8m/s2. De qu tipoes la ecuacin diferencial que describe el problema?7. Dado un circuito elctrico simple, la ecuacin que lo gobierna es:LdIdt+RI = EdondeenestecasoE=voltaje=constante; R=resistencia=constante>0; L=inductancia = constante> 0;I= intensidad de corriente =I(t);t = tiempo.Resuelve la ecuacin en I con un valor dado I0 para t = 0. Dibuja la grca de la solucinI(t). Qu sucede cuandot ?8. Si la poblacin de un pas se duplica en 50 aos, en cuntos aos ser el triple suponiendoque la velocidad de aumento es proporcional al nmero de habitantes?9. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al nmero presente.a) Si se ha hallado que el nmero se duplica en 4 horas, qu nmero cabe esperar al cabode12horas? b)Sihay104alcabodeunahoray2 104alcabode5horas, cuntoshaba al principio?10. La descomposicin de N2O bajo la inuencia de un catalizador de platino viene dada porla ecuacin diferencial:dxdt= ka x1 +bxdondeaeslaconcentracindeN2Oenel instanteinicial t=0, besunaconstanteyx(t) es la concentracin de producto en el instantet. Si parat = 0 esx(0) = 0, resolverla ecuacin diferencial y determinar la expresin de la vida media de la sustancia (vidamedia de una sustancia es el tiempoTque tarda en reducirse a la mitad).11. Integralasiguienteecuacincorrespondientealavelocidaddeunareaccindetercerorden completa:dxdt= k(a x)(b x)(c x)con condicin inicialx(0) = 0, supuesto quea > b > c > 0. Calcular la vida mediaTdeesa reaccin. Qu ocurre con la solucin sia = b ob = c?Y si a=b=c?12. Resuelve la ecuacin de la velocidad de reaccin de una reaccin de primer orden auto-cataltica:dxdt= k(a x)(b +x)con dato inicialx(0) = 0.2013. La velocidad de reaccin de una reaccin de primer orden con reaccin inversa viene dadapor:dxdt= k1(a x) k2xResulvelasieldatoinicialesx(0)=x0. Particularizaparaelcasoenquek1=k2=100s1,a = 1mol/l yx0 = 0. Cunto vale la solucin cuandot = 0.0005s, 0.01s y 1s?Ecuaciones de orden superior14. Unaecuacinimportanteenlateoradeoscilacionesforzadasensistemasmecnicosoelctricos es la ecuacin diferencial no homogneamdx2dt+cdxdt+kx = F0coswt.Suponiendo quem = 1, c = 0, k = 1, F0 = 1 yw = 2, resuelve dicha ecuacin diferencialsix(0) = 1 yx

(0) = 0.15. La ecuacin diferencialmdx2dt+cdxdt+kx = 0describe el movimiento de una masa m sujeta a un resorte con constante de recuperacinkyaunamortiguadorqueproporcionaunafuerzadirigidaensentidoopuestoaladi-reccin instantnea de movimiento de la masam,c es la constante de amortiguamiento.Suponiendo quem =12,c = 6 yk = 50 resuelve dicha ecuacin diferencial six(0) =12yx

(0) = 0. Cmo es el comportamiento temporal de la partcula con el tiempo?Realizauna representacin grca. Qu ocurre cuandot +?16. La ecuacin diferencial x

(t)+9x(t) = 3 describe la posicin x(t) de un objeto enganchadoal nal de un muelle. Se pide:a) Resuelve la ecuacin diferencial sabiendo que la posicin inicial del objeto esx(0) = 1y su velocidad inicialx

(0) = 0.b) Calcula la posicin del objeto al cabo de 10 s.c) Representa grcamente la posicin del objeto en funcin det. Qu ocurre cuandot ?17. La intensidad de corrienteIen un circuito elctrico simple RLC viene gobernada por laecuacinLI

(t) +RI

(t) +1CI = E

(t)dondeE(t) denota el voltaje,R la resistencia,L la inductancia yCla capacitancia.a) Resuelve la ecuacin diferencial para R = 50, L = 0.1H y C = 5 104Fsabiendo queel voltaje es constante E(t) = 110 y que en el instante inicial las condiciones son I(0) = 0eI

(0) =E(0)L=1100.1= 1100.b) Qu ocurre cuandot ?18. Se considera un servomecanismo que modela a un piloto automtico. Si y(t) es la direccinreal de la nave en el instantet yg(t) la direccin deseada, entonces el error o desviacinese(t) = y(t) g(t). La segunda ley de Newton, expresada en trminos de momentos delas fuerzas proporciona la ecuacinIy

(t) = ke(t)donde I es el momento de inercia del eje del timn y k es una constante positiva. Calculael errorcuandog(t)=atconaconstante, sabiendoqueel ejedel timnseencuentrainicialmente en reposo. Supongamos ahora que para controlar las oscilaciones se suminis-tra al eje del timn una fuerza giratoria proporcional ae

(t), pero de signo opuesto. Laecuacin diferencial resulta ahoraIy

(t) = ke(t) e

(t)donde es una constante positiva. Determina ahora el error sabiendo queg(t) = a conaconstante y de nuevo el eje del timn se encuentra inicialmente en reposo.21SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS1. El sistema:_C

A(t) = k11CA(t) +k12CB(t),C

B(t) = (k12 +k21)CB(t) +k11CA(t) +k22CC(t),expresa la evolucin, a partir de un instante inicial, de las concentraciones de tres reactivosA, ByCenunprocesoqumicogobernadoporunaparejadereaccionesreversiblesA BCsiendok11yk12lasvelocidadesdelasreaccionesdirectaseinversasdelaprimerayk21yk22lascorrespondientesdelasegunda. Sabiendoqueencualquierinstante se verica queCA(t) + CB(t) + CC(t) = 1, calcular las concentracionesCA(t) yCB(t) en el caso en quek11 = k12 = k21 = k22 = 1,CA(0) = 1/4 yCB(0) = 3/10.2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:x

(t) = 5x 3y +et(2)y

(t) = 6x + 4y +et(3)(a) Resuelve dicho sistema(b) Si representa la competicin entre especies de conejos(x(t)) y linces(y(t)) y en unprincipiohaba100conejosy20linces, cuntoslincesyconejoshabralcabodeunmes?. Consideramos que el tiempot est medido en aos.3. Dos tanques estn conectados como se muestra en la gura. Inicialmente en el depsito Bhay 1Kg de sal disuelto y en el tanque A slo hay agua. En ese mismo instante se comienzaa bombear una disolucin de agua y sal con un caudal de 4l/min y una concentracin de30gr/l al tanque A. La disolucin circula entre los tanques y hacia el exterior de acuerdo alos datos de la gura y se supone que se encuentra uniformemente distribuida. El balancedemateriaencadatanque(noentraremosendetalle)dalugaral siguientesistemadeecuaciones diferenciales lineal de primer orden100C

A(t) = 120 +Cb(t) 5CA(t)100C

B(t) = 3CA(t) 3CB(t)dondeCA(t) yCB(t) representan la concentracin de sal en el instantet en los tanquesA yB respectivamente. Es claro queCA(0) = 0gr/l yCB(0) = 1000gr/100l = 10gr/l.(a) Halla la concentracin de sal en cada tanque en funcin det.(b)Pruebaquelaconcentracindelosdostanquestiendeaequilibrarse, esdecir, laconcentracin lmite, cuandot +, es la misma en ambos tanques.10.4AplicacionesdelosSistemasdeEcuacionesDiferenciales 189B A100 l. 100 l.1 l./min.4 l./min.30 gr./l.2 l./min.2 l./min.3 l./min.Figura10.2:EntradaenA: meA=30gr./l. 4l./min.+cBgr./l.1l./min.=(120 +cB)gr./min.SalidadeltanqueA: msA=5l./min.cAgr./l.=5cAgr./min.Acumulaci oneneltanqueA=d(cAV )dt= V c

A= 100c

AEntradaeneltanqueB: meB=3l./min.cAgr./l.=3cAgr./min.SalidadeltanqueB: msB=3l./min.cBgr./l.=3cBgr./min.Acumulaci oneneltanqueB=d(cBV )dt= V c

B= 100c

BConcentraci oninicialenA:cA(0) = 0gr./l.Concentraci oninicialenB:cB(0) = 1000gr./100l.= 10gr./l.El balance de materia en cada tanque da lugar a un sistema lineal de ecuaciones diferen-cialesdeprimerorden:_d(cAV )dt= meA msAd(cBV )dt= meB msBEnestecasoconcretoelsistemaes:_100c

A= 120 +cB5cA100c

B= 3cA3cB___c

A= 5100cA +1100cB +120100c

B=3100cA3100cBconunacondicioninicial: cA(0) =0, cB(0) =10. Setratadeunsistemanohomogeneo.Buscamosprimerolasoluciongeneraldelsistemahomogeneo.La matriz del sistema es A =_____5100110031003100_____. Ponemos B= 100A. Si es valor propiode Bcon vcomo vector propio, entonces100es el correspondiente valor propio de A con elmismovectorpropiov.Calculamos,entonces,losvalorespropiosdeB:det_ + 5 13 + 3_= 2+ 8 + 12 = ( + 6)( + 2).4. Una cadena de desintegracin radiactiva 1 2 3, siendo los ncleos de tipo 3 estables,se rige por las siguientes ecuaciones:dN1dt= 1N1dN2dt= 1N1 2N2siendoN1(t) yN2(t) la cantidad de ncleos de tipo 1 y 2 respectivamente en el instantet. 1y2sonlasconstantesdedesintegracindelosncleosdetipo1ydetipo2respectivamente.a)Resuelveel sistemadeecuacionessi 1=1y2=1/2sabiendoademsqueenelinstante inicial slo hay 1000 ncleos de tipo 1 (es decirN1(0) = 1000 yN2(0) = 0).b) Qu ocurre conN1(t) yN2(t) cuandot ?225. Lascantidadesx(t)ey(t)desal endostanquesdesalmueraconectadossatisfacenelsistema de ecuaciones diferenciales:dxdt= k1x +k2ydydt= k1x k2ya) Si k1 =15 y k2 =25 , resuelve el sistema considerando que en el instante inicial x(0) = 15ey(0) = 0.b) Qu ocurre conx(t) ey(t) cuandot ?6. Resuelve el siguiente sistema que describe el comportamiento de la corriente de un circuitoelctrico:___L1I

2(t) + (R1 +R2)I2(t) +R1I3(t) = E(t),L2I

3(t) +R1I2(t) +R1I3(t) = E(t),I1(t) I2(t) I3(t) = 0,I1(0) = I2(0) = I3(0) = 0,siendoR1 = 6 ohmios,R2 = 5 ohmios,L1 = L2 = 1 henrio yE(t) = 50sent voltios.7. Unmaterial radiactivoAsedescomponedeacuerdoalareaccinA BCconconstantesk1yk2respectivamente, siendoB, Cel producto intermedio y nal respecti-vamente. El sistema diferencial que rige el proceso esdCAdt= k1CAdCBdt= k1CA k2CBdCCdt= k2CBconCA, CB, CClas concentraciones de las tres sustancias. Sabiendo quek1 = 3,k2 = 1,CA(0) = 1,CB(0) = CC(0) = 0, calcula las concentraciones en funcin del tiempo. Quocurre cuandot ?COMPORTAMIENTO CUALITATIVO1. Determina el punto crtico de la ecuacin del ejercicio 1 de la pgina 19 y clasifcalo.2. Escribe la ecuacin del ejercicio 15 de la pgina 21 como un sistema de ecuaciones dife-renciales, determina el punto crtico, clasifcalo y representa el diagrama de fases.3. Probar que (30, 30) es un punto crtico del sistema del ejercicio 3 de la pgina 22, clasifcaloy representa el diagrama de fases.4. Determina el punto crtico del sistema del ejercicio 4 de la pgina 22, clasifcalo y repre-senta el diagrama de fases.23