Docente

Ing. Luis A. Fernndez Vizcarra

Ejercicios:Intervalo de confianza para la

media

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

Introduccin:Actualmente se debe estar consciente de que las poblacionesson generalmente muy grandes como para ser estudiadas en sutotalidad.Debido a su tamao se requiere que se seleccionen muestras,los cuales se pueden utilizar ms tarde para hacer inferenciassobre las poblaciones.Hoy por lo menos dos tipos de estimadores que se utilizancomnmente.

Un estimador puntual.Una estimacin por intervalo.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

Un estimador puntual utiliza una estadstica para estimar elparmetro (medio, proporcin) en un solo valor o punto.Una estimacin por intervalo especifica el rango dentro delcual est el parmetro desconocido; tal intervalo confrecuencia va acompaado de una afirmacin sobre el nivelde confianza que se da en su actitud.Por lo tanto se llama Intervalo de Confianza (I.C.)

Existen tres niveles de confianza relacionados comnmente conlos intervalos de confianza: 99, 95 y 90 % que son denominadoscoeficientes de confianza y son simplemente convencionales.Las estimaciones por intervalo gozan de ciertas ventajas sobre

las estimaciones puntuales, debido al error de muestreo.

EL FUNDAMENTO DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

El intervalo de confianza para la media tiene un lmite inferior deconfianza (LIC) y un lmite superior de confianza (LSC).Estos lmites se hallan calculando primero la media muestral (X ),luego se suma una cierta cantidad a X para obtener el LSC yla misma cantidad se resta de X para obtener el LIC.La determinacin de dicha cantidad es el objetivo de estetrabajo.

CASOS1. Intervalo de confianza para la Media Poblacional

Muestras Grandes (n30)Uno de los usos ms comunes de los intervalos de confianzapara la media es cuando el tamao de la muestra es mayor eigual a 30 utiliza a la distribucin (n30) , utiliza a ladistribucin Z.

Se lee: La media poblacional () se encuentra entre LIC y LSC con una probabilidad o confianza de .Donde:

X : media muestral : media poblacional : desviacin estndar : tamao muestralZo : Z1 /2 = Punto crtico

EJEMPLO DE APLICACIN N 1Su producto requiere que un cierto componente utilizado en sufabricacin promedie 15.2 gramos. Si usted compra 100componentes y encuentra que X = 14.8 gramos, con S= 3.2gramos. Qu le dira un intervalo del 99% sobre lo aconsejablede comprarle ms a este proveedor?

Datos:

= 100 componentes (tamao de la muestra).X = 14.8 gramos (media promedio de la muestra)S = 3.2 gramos (desviacin estndar). = 99% = 0,99 (nivel de confianza). = 1% = 0,01 (nivel de significancia o errortolerable).

Solucin: HallandoZo = Z1 /2 = Z1 0,01/2 = Z 0,995Zo = 2,58

EJEMPLO DE APLICACIN N 1

Reemplazando valores:P [ 14,8 +2.58 x 3,2 14,8 - 2.58 x 3,2 ] = 0,99

100 100P [15.63 13.97] = 0,99Interpretacin:Con una confianza del 99% se puede decir que el peso promedio de uncomponente cualquiera se encuentra entre 15.63 y 13.97 gramos y esaconsejable comprarle a dicho proveedor.

=

+

nZX

nZXP 00

EJEMPLO DE APLICACIN N 2 Para estimar el gasto promedio de los clientes en la cafetera dela universidad, los estudiantes de una clase de estadstica tomanuna muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio deS/. 5.67, con una desviacin estndar de S/. 1.10. Cul es elintervalo de confianza del 95% para los gastos promedios detodos los clientes? Interprete sus resultados.

Datos:

= 200 clientesX = S/. 5.67 = S/.1.10 = 95% = 0,95. = 5% = 0,05.

EJEMPLO DE APLICACIN N 2 Solucin:Zo = Z1 /2 = Z1 0,05/2 = Z 0,975

Zo = 1,96

P [ 5.67 1.96 x 1.10 5.67 + 1.96 x 1.10 ] = 0,95200 200

P [ 5.52 5.82 ] = 0,95

Interpretacin:Con una confianza del 95% se puede decir que los gastos promedios de todos

los clientes se encuentra entre 5.52 y 5.82 soles.

=

+

nZX

nZXP 00

2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL MUESTRAS PEQUEAS N < 30.

En los dos ejemplos anteriores, el tamao de la muestra eramayor a 30 (n 30). Sin embargo, no siempre puede ser posibleobtener por lo menos 30 observaciones. En muchos casos unamuestra grande no es posible.Cuando debe tomarse una muestra pequea, la distribucinnormal no puede aplicarse. Cuando se utiliza una muestrapequea, puede ser necesaria una distribucin alternativa, ladistribucin tStudent ( o simplemente la distribucin t).

La distribucin t se utiliza cuando cumple 3 condiciones:(1) La muestra es pequea.(2) La desviacin estndar () es desconocida.La poblacin es normal o casi normal.

EJEMPLO DE APLICACIN N 2 Al igual que distribucin Z, la distribucin t tiene su forma algebraica deexpresar su intervalo.

LIC LSCSe lee:La media Poblacional () se encuentra entre LIC y LSC con una probabilidad oconfianza de .Donde:X : media muestral : media poblacionalS : desviacin estndar n : tamao muestral

to = t(1 - /2), n-1 grados de libertad

=

+

n

stX

n

stXP 00

EJEMPLO DE APLICACIN N 3 Un grupo estudiantil popular, vende latas de cerveza de 16onzas.

Diez estudiantes compran un total de 22 latas y utilizando supropia taza de medida, estiman los contenidos promedio. LAmedia muestral es de 15.2 onzas, con S= 0,86 .Con un nivel deconfianza del 95%, los estudiantes compran la cantidadcorrecta?Datos:

n = 22 vasos de cervezaX = 15,2 onzas

S = 0,86 onzasY = 95 %= 0,95 = 5% = 0,05

EJEMPLO DE APLICACIN N 3 Solucin:t0 = t1 - /2, n-1 = 22-1 t(1 0,05/2),(2,22-1) = t0.975,21 =

to = 2.080

Reemplazando:P [ 15,2 2.08 x 0,86 15,2 + 2.08 x 0,86 ] = 0,95

22 22

Interpretacin:Con una confianza del 95% se puede decir que el contenido de los vasos decerveza se encuentra entre 14.83 y 15.57 onzas.Respuesta: Los estudiantes estn pagando por latas que tienen menoscontenido.

=

+

n

stX

n

stXP 00

EJEMPLO DE APLICACIN N 4

Una gran empresa de contabilidad contrat un psiclogoindustrial para medir la satisfaccin laboral de sus socios msantiguos. n 17 socios se les practic una prueba para medir lasatisfaccin laboral; los puntajes promedio fueron de 120 puntosy la varianza para todos sus socios es de 120. Cul es elintervalo de confianza del 90% para el puntaje promedio?Datos:

n = 17 socios

X = 120S = 5 = 120 = 10,98 = 90 % = 0,90 = 10% = 0,10

EJEMPLO DE APLICACIN N 4 Solucin:to = t(1 - /2),(n-1) = t(1 0,10/2),(17-|) = t0.95,16 =

to = 1.746

P [ 120 1.746 x 10.98 120 + 1.746 x 10.98 ] = 0,9017 17

P [ 120 4.68 120 + 4,68 ] = 0,90P [ 115,32 124.68 ] = 0,90

InterpretacinCon una confianza del 90% se puede decir que el puntaje promedio seencuentra entre 115.32 y 124.68 puntos.

CONCLUSIONES

Los intervalos de confianza son una gran herramientaque nos ayuda a tomar decisiones muy importantes en nuestravida laboral, vida diaria.

Existen dos tipos de distribucin; la distribucin Z seutiliza cuando n30 y la distribucin T se utiliza cuando n < 3t.

Las estimaciones por intervalo son mejores que lasestimaciones puntuales debido al error de muestreo.