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TRABAJO COLABORATIVO FASE DOS

ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Presentado por:

JOSE EDINSON ROJAS CALDON Cdigo: !"#$%&'

(r)po*'+

Presentado a:

,i--ia. de Jes/s 0onto1a 2enao

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA 3 A DISTANCIA UNAD 4 CCAV NEIVA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLO(IAS E IN(ENIERIAS

%!+

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EJERCICIOS ESCOGIDOS

Temtica: ecuaciones diferenciales de orden superior

1. Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales linealeshomogneas con coecientes constantes y cules son diferenciales

lineales no homogneas y resulvalas.

} +2y ' -y=0

c . y

Ecuacin lineal homognea

Ecuacin asociada m2+2m1=0

(m+1)2=0

m1,2=1

Solucin y=emx

y1=ex

y2=y1e

p (y ) dy

y21dx

y2=ex

e2x

e2

x

dx

y2=ex

x

y (x )=c1ex+c2 e

xx

3. a. esolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin deparmetros!

y +y = {sec} ^ {2} x

"lanteando y=erx

para solucionar la ecuacin diferencial homognea

r2+1=0

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r 1=0 1i

Entonces! {y1=e0x

sen1x=senx

y2=e0x cos1x=cosx}

yp=u1 senx+u2cosx

Se o#tiene!

y 'p=u '1 senx+u'1 cosx+u '2cosxu'2 sen x

Suponiendo!

u '1 senx+u '2 cosx=0

Se tiene!y} rsub {p} =u '} rsub { 1} cosx- {u '} rsub {1} senx- {u '} rsub {2} senx- {u '} rsub {2} cosx

y 'p=u '1 cosxu '2 senx

Sustituyendo en!

} rsub {p} +y {'} rsub {p} = {sec } ^ {2} x

y

Se o#tiene!

(u '1 cosxu1 senxu'

2 senxu2cosx )+ (u1 senx+u2 senx+u2cosx )=sec2x

u '1 cosxu'

2 senx=sec2x

$e este modo u '1u '2 satisfacen el sistema formado por

{ u '1 senx+u'

2 cosx=0

u '1cosxu'

2 senx=sec2x}

Se #usca el determinante del sistema es

w=|senx cosxcosx senx|=sen2xcos2x=1

w=1

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%a solucin del sistema es

u '1=

| 0 cosxsec2x senx|w

=sec2x cosx

1=secx

u '2=

|senx 0cosx sec2x|w

=senxsec

2

x

1=s enx sec2x

Integrando!

u '1= secx dx=ln ( secx+tanx )+C

u '2= senx sec2x dx= secxtanx dx=secx+C

&omando

u '1=ln ( secx+tanx )+Cu '2=secx+C

%a Solucin particular es

yp=u1 senx+u2cosx

x

secx+ tan

yp=( senx ) ln

x

secx+ tan

yp=( senx ) ln

Entonces la solucin general es

x

secx+ tan

y=( senx ) ln

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