Vaciado de tanque de almacenamiento

En un tanque cilndrico de 1m de dimetro y 3 m de altura se encuentra lleno de agua inicialmente. En un instante dado se da comienzo a una entrada y a una salida de agua El caudal de entada Q1 = 2 10-3 m3s-1, el caudal de salida es proporcional a la altura del lquido en el tanque Q2 =210-3H (m3s-1). La altura inicial es de 2,5m. Estmese la altura del agua en el tanque pasados 9.minutos Estmese el tiempo necesario para que la altura en el tanque sea de 1,1 cm. Estmese la posibilidad de llegar a un estado estacionario Respuesta

Entrada salida = acumulacin E SdSHQ Q

dt

23 3 3 3 1 / 4(1 )2 10 2 10 ( ) 2 10 (1 ) ; 0,0025

(1 )m dH dHH m s H dtdt H

Solucin analtica Integrando la expresin se llega a una relacin entre la altura del tanque y el tiempo

0 0

0

1 10,0025 ln ln1 1

1 ( 1)exp( 0,0025 )

t t

t

H HtH H

H H t

Cuando el tiempo de operacin es de 9 minutos, 540 s. la altura en el tanque es:

1 (2,5 1)exp( 0,0025(540)) 0,39 1,39tH H m Si consideramos la altura final de 1,1 cm, el tiempo necesario para ello:

0

1 1,1 10,0025 ln ln 2,708 10831 2,5 1

tHt t sH

Proceso estacionario

Si se igualan ambos caudales 3 3210 210 1E SQ Q H H m

De acuerdo con el balance de materia esto significa un tiempo infinito, en la prctica si consideramos 3600s se llega a una altura de 1,0001cm, y en 4800s la altura sera de 1,000006cm lo que se puede aceptar como estado estacionario. Solucin numrica Se usar este caso para aplicar la solucin numrica a la integral y compararla con la solucin analtica. La solucin numrica ms sencilla consiste en transformar la integral en sumatorio de incrementos:

e modo generico se transforma en( )

dX XD t tFX F X

100

1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )

XN N n

ii iiX

dX X XF X F X F X F X

0 1 1 2 2 3 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.....( ) 2 2 2 2

XN

N NX

dX XF X FX FX FX FX FX FX FX FX

0 1 2 11

1 1 1 1 1....( ) 2 2

XN

N NX

dX XF X FX FX FX FX FX

La integral a considerar es:

4000,0025 ;(1 ) (1 )

dH dHdt dtH H

2,5 0

0 1 2 10

400 400(1 ) (1 )

400 400 400 400 400.............2(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2(1 )

H t N

ii

N

N N

dH dt H tH H

HH H H H H

Los clculos se recogen en la tabla adjunta el incremento de H se toma como 0,1cm.

H cm 400/1-H tiempo s suma

2,5 266,6666667 134 2,4 285,7142857 285,7142857 2,3 307,6923077 307,6923077 2,2 333,3333333 333,3333333 2,1 363,6363636 363,6363636 2 400 400

1,9 444,4444444 444,4444444 1,8 500 500 1,7 571,4285714 571,4285714 1,6 666,6666667 666,6666667 1,5 800 800 1,4 1000 1000 1,3 1333,333333 1333,333333 1,2 2000 2000 1,1 4000 2000

sumatorio= 11140,24931 suma.(0,1)= 1114s

Como puede observarse hay una mnima discrepancia en el clculo, en la integral analtica 1083 s y en la numrica 1114 s corresponden a 1,1m de altura, se comete un 3 por ciento de error. Si el incremento de altura fuera menor se reducira este error.

Variacin de la concentracin en un tanque de almacenamiento

Un tanque de 150 m3 contiene un cido con una concentracin del 21por ciento en peso, se desea que esta concentracin disminuya al uno por ciento en peso, para ello se hace pasar a travs del tanque 3m3min-1de agua de lavado que contiene 0,2 por ciento en peso de cido. Cunto tiempo es necesario? Solucin anlitica Balance de materia, estado no estacionario, sin reaccin: Acumulacin = Entrada Salida = Acumulacin

; 3(0,02 ) 150S SE S SdC dCQC QC V Cdt dt

0.01

0.21 0

;0,02 50 0.002 50

t

S S

S S

dC dCdt dtC C

La integral analtica conduce a

S0.002 C -0.002-t -t 0,01-0,002 -tln ; ln = ;Ln = =-3,258 t=162,9min0.002 0.21 50 0.21-0.002 50 0,21-0,002 50

SC Solucin numrica

500,02 SS

C tC

Se acepta un incremento constante de 0,01 y se estima el valor de cada sumando ( tabla)

CS 50/(CS-0,002) sumatorio0,21 240,385 120,192 0,2 252,525 252,525 0,19 265,957 265,957 0,18 280,899 280,899 0,17 297,619 297,619 0,16 316,456 316,456 0,15 337,838 337,838 0,14 362,319 362,319 0,13 390,625 390,625 0,12 423,729 423,729 0,11 462,963 462,963 0,1 510,204 510,204 0,09 568,182 568,182 0,08 641,026 641,026 0,07 735,294 735,294 0,06 862,069 862,069 0,05 1041,667 1041,667 0,04 1315,789 1315,789 0,03 1785,714 1785,714 0,02 2777,778 2777,778 0,01 6250,000 3125,000

sumatorio 16873,845

sumatorioDX 168,740 De este modo se llega a un tiempo de 168,7 minutos. Se comete un error de3 por ciento. Si el incremento es de 0,002, se obtiene 163,36 minutos como solucin, con ello el error se rebaja al 0,3 por ciento

Neutralizacin de una disolucin cida contenida en un tanque En un tanque que contiene 20 m3 de una disolucin de NaOH 0,14 molar se introduce un caudal de 0,6m3h-1 de cido actico acuoso 0,8molar, hasta llegar a la neutralidad. Indquese El volumen de cido actico necesario El tiempo del proceso La variacin del volumen del liquido en el tanque en el tiempo Para neutralizar se necesita 1 1 2 2V C V C

4 32 22 10 (0,14 / ) (0,8 / ) 3500 3,5L mol L V mol L V L m

3 12 2 0, 6 5,8333V Q t m h t t h

thoras caudal*t (m3) (V1+Q*t)m3 mol acido adicionado

Concentracin de base

0 0 20 0 0,14000 1 0,6 21,2 480 0,10943 2 1,2 21,8 960 0,08440 3 1,8 22,4 1440 0,06071 4 2,4 23 1920 0,03826 5 3 23,6 2400 0,01695

5,2 3,12 23,72 2496 0,01282 5,4 3,24 23,84 2592 0,00872 5,6 3,36 23,96 2688 0,00467 5,8 3,48 24,08 2784 0,00066 5,81 3,486 24,086 2788,8 0,00047 5,82 3,492 24,092 2793,6 0,00027 5,83 3,498 24,098 2798,4 0,00007 5,833 3,4998 24,0998 2799,84 0,00001

5,8333 3,49998 24,09998 2799,984 0,00000