Ejercicios de Sistemas Dinamicos de Orden Superior

Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental

Edgar Jamanca Antonio - Control & IInstrumentación de Procesos Página 1

EJERCICIOS

Sistemas dinámicos de Primer Orden

1. Función Escalón

Dada la función siguiente:

𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠). 𝐺(𝑠) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.1

Evaluamos las funciones:

𝑌(𝑠) = (1

𝑆) (

1

𝜏𝑆 + 1)…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.2

Descomponemos en fracciones parciales:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=

𝐴

𝑆+

𝐵

𝜏𝑆 + 1𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.3

Entonces igualando ecuaciones:

1

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=

𝐴(𝜏𝑆 + 1) + 𝐵𝑆

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.4

Por identidad se obtiene:

1 = 𝐴(𝜏𝑆 + 1) + 𝐵𝑆 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.5

1 = 𝑆(𝐴𝜏 + 𝐵) + 𝐴… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.6

Dónde:

𝐴 = 1

𝐴𝜏 + 𝐵 = 0 → 𝐵 = −𝜏

Entonces obtenemos:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=

1

𝑆−

𝜏

𝜏𝑆 + 1… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.7



Aplicando Laplace inversa a la ecuación 1.7 se obtiene:

𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {1

𝑆} − ℒ−1 {

𝜏

𝜏𝑆 + 1}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.8

Aplicando un artificio a la ecuación 1.7:

𝑦(𝑡) = ℒ−1 {1

𝑆} − 𝜏. ℒ−1 {

1𝜏

𝑆 +1𝜏

}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.9

𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒−(𝑡𝜏) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.10

Dónde: 𝜏 = 0.1

t t/τ y(t)

0 0 0

0.01 0.1 0.09516258

0.02 0.2 0.18126925

0.03 0.3 0.25918178

0.04 0.4 0.32967995

0.05 0.5 0.39346934

0.06 0.6 0.45118836

0.07 0.7 0.5034147

0.08 0.8 0.55067104

0.09 0.9 0.59343034

0.1 1 0.63212056

0.11 1.1 0.66712892

0.12 1.2 0.69880579

0.13 1.3 0.72746821

0.14 1.4 0.75340304

0.15 1.5 0.77686984

0.16 1.6 0.79810348

0.17 1.7 0.81731648

0.18 1.8 0.83470111

0.19 1.9 0.85043138

0.2 2 0.86466472

0.21 2.1 0.87754357

0.22 2.2 0.88919684

0.23 2.3 0.89974116

0.24 2.4 0.90928205



0.25 2.5 0.917915

0.26 2.6 0.92572642

0.27 2.7 0.93279449

0.28 2.8 0.93918994

0.29 2.9 0.94497678

0.3 3 0.95021293

0.31 3.1 0.9549508

0.32 3.2 0.9592378

0.33 3.3 0.96311683

0.34 3.4 0.96662673

0.35 3.5 0.96980262

0.36 3.6 0.97267628

0.37 3.7 0.97527647

0.38 3.8 0.97762923

0.39 3.9 0.97975809

0.4 4 0.98168436

0.41 4.1 0.98342732

0.42 4.2 0.98500442

0.43 4.3 0.98643144

0.44 4.4 0.98772266

0.45 4.5 0.988891

0.46 4.6 0.98994816

0.47 4.7 0.99090472

0.48 4.8 0.99177025

0.49 4.9 0.99255342

0.5 5 0.99326205

0.51 5.1 0.99390325

0.52 5.2 0.99448344

0.53 5.3 0.99500841

0.54 5.4 0.99548342

0.55 5.5 0.99591323

0.56 5.6 0.99630214

0.57 5.7 0.99665403

0.58 5.8 0.99697245

0.59 5.9 0.99726056

0.6 6 0.99752125

0.61 6.1 0.99775713

0.62 6.2 0.99797057

0.63 6.3 0.9981637



Podemos observar en la gráfica:

Donde en t= 0,53 segundos llegamos al set point deseado.

2. Función Rampa Unitaria




𝑌(𝑠) = (1

𝑆2) (

1

𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.2

Descomponemos en fracciones parciales:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=

𝐴

𝜏𝑆 + 1+

𝐵

𝑆+

𝐶

𝑆2…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.3

Entonces igualando ecuaciones:

0, 1

0.53, 0

0.53, 0.995008406

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Título del gráfico

Series1

S.P

t



1

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=

𝑆2(𝐴 + 𝐵𝜏) + 𝑆(𝐵 + 𝐶𝜏) + 𝐶

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.4

Por identidad se obtiene:

1 = 𝑆2(𝐴 + 𝐵𝜏) + 𝑆(𝐵 + 𝐶𝜏) + 𝐶 …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.5

Dónde:

𝐴 = 𝜏2

𝐴 + 𝐵𝜏 = 0 → 𝐵 = −𝜏

𝐶 = 1

Entonces obtenemos:

𝑌(𝑠) =1

(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=

𝜏2

𝜏𝑆 + 1−

𝜏

𝑆+

1

𝑆2… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.6

Aplicando Laplace inversa a la ecuación 2.6 se obtiene:

𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {𝜏2

𝜏𝑆 + 1} − ℒ−1 {

𝜏

𝑆} + ℒ−1 {

1

𝑆2}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.7

Donde se obtiene:

𝑦(𝑡) = 𝑡 − 𝜏 + 𝜏. 𝑒−(𝑡𝜏) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.8

Evaluamos 𝝉 > 𝟏, obtenemos:

τ

1 2 3 5 7 9

t y(t) y(t) y(t) y(t) y(t) y(t)

0 0 0 0 0 0 0

0.1 0.00483742 0.00245885 0.0016483 0.00099337 0.0007109 0.0005535

0.2 0.01873075 0.00967484 0.00652096 0.0039472 0.00283013 0.00220585

0.3 0.04081822 0.02141595 0.01451225 0.00882267 0.00633771 0.0049449

0.4 0.07032005 0.03746151 0.02551996 0.01558173 0.01121396 0.00875865

0.5 0.10653066 0.05760157 0.03944517 0.02418709 0.01743946 0.01363522

0.6 0.14881164 0.08163644 0.05619226 0.03460218 0.02499507 0.01956287

0.7 0.1965853 0.10937618 0.0756687 0.04679118 0.03386193 0.02652997

0.8 0.24932896 0.14064009 0.09778502 0.06071894 0.04402143 0.03452506

0.9 0.30656966 0.1752563 0.12245466 0.07635106 0.05545525 0.04353676

1 0.36787944 0.21306132 0.14959393 0.09365377 0.0681453 0.05355385

1.1 0.43287108 0.25389962 0.17912186 0.11259399 0.08207377 0.06456522

1.2 0.50119421 0.29762327 0.21096014 0.13313931 0.09722309 0.07655987



1.3 0.57253179 0.34409155 0.24503302 0.15525793 0.11357595 0.08952695

1.4 0.64659696 0.39317061 0.28126726 0.17891871 0.13111527 0.10345571

1.5 0.72313016 0.44473311 0.31959198 0.2040911 0.14982423 0.11833552

1.6 0.80189652 0.49865793 0.35993866 0.23074519 0.16968623 0.13415588

1.7 0.88268352 0.55482986 0.40224101 0.25885161 0.19068492 0.15090639

1.8 0.96529889 0.61313932 0.44643491 0.28838163 0.21280418 0.16857678

1.9 1.04956862 0.67348205 0.49245835 0.31930705 0.23602812 0.18715687

2 1.13533528 0.73575888 0.54025136 0.35160023 0.26034105 0.20663663

2.1 1.22245643 0.7998755 0.58975591 0.3852341 0.28572754 0.2270061

2.2 1.31080316 0.86574217 0.6409159 0.42018211 0.31217237 0.24825545

2.3 1.40025884 0.93327354 0.69367706 0.45641823 0.33966051 0.27037498

2.4 1.49071795 1.00238842 0.74798689 0.49391696 0.36817717 0.29335505

2.5 1.582085 1.07300959 0.80379463 0.5326533 0.39770776 0.31718616

2.6 1.67427358 1.14506359 0.86105115 0.57260274 0.4282379 0.3418589

2.7 1.76720551 1.21848052 0.91970898 0.61374126 0.45975342 0.36736399

2.8 1.86081006 1.29319393 0.97972216 0.65604532 0.49224032 0.39369221

2.9 1.95502322 1.36914058 1.04104627 0.69949183 0.52568485 0.42083448

3 2.04978707 1.44626032 1.10363832 0.74405818 0.5600734 0.4487818

Cuando 𝝉 = 𝟏



Cuando 𝝉 = 𝟐

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=1



Cuando 𝝉 = 𝟑

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=2



Cuando 𝝉 = 𝟓

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=3



Cuando 𝝉 = 𝟕

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=5



Cuando 𝝉 = 𝟗

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=7



Evaluación de τ:

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=9



Sistemas Dinámicos de Segundo Orden

3. Función Escalón




𝑌(𝑠) = (1

𝑆) (

1

𝑆2 + 𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.2

Hallando las raíces de la función G(s):

Donde utilizamos la siguiente ecuación:

𝑟1,𝑟2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.3

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y(t)

t

tao=1

tao=2

tao=3

tao=5

tao=7

tao=9



Entonces hallamos las raíces mediante la ecuación 3.3:

𝑟1 =−𝜏

2+

√𝜏2 − 4

2

𝑟1 =−𝜏

2−

√𝜏2 − 4

2

Reemplazamos en la ecuación 3.2:

𝑌(𝑠) =1 × 𝑟1 × 𝑟2

𝑆(𝑆 − 𝑟1)(𝑆 − 𝑟2)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.4

Resolvemos la ecuación compleja mediante la siguiente formula:

𝑦(𝑡) =𝐾

𝑎𝑏[1 +

1

𝑎 − 𝑏(𝑏𝑒𝑎𝑡 + 𝑎𝑒𝑏𝑡)]… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.5

Entonces reemplazamos ecuación 3.4:

𝑦(𝑡) =1 × 𝑟1 × 𝑟2

𝑟1 × 𝑟2[1 +

1

𝑟1 − 𝑟2(𝑟2𝑒

𝑟1𝑡 + 𝑟1𝑒𝑟2𝑡)]

𝑦(𝑡) =

[

1 +1

√𝜏2 − 4×

(

(−𝜏

2−

√𝜏2 − 4

2)𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

+ ((−𝜏

2+

√𝜏2 − 4

2) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

Simplificando la ecuación:

𝑦(𝑡) =

[

1 +1

2×

(

(−𝜏

√𝜏2 − 4− 1) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

+ ((−𝜏

√𝜏2 − 4+ 1) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

𝑦(𝑡) =

[

1 + 0.5 ×

(

(1 −𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

− ((1 +𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

𝑦(𝑡) =

[

1 − 0.5 ×

(

((1 +𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

+√𝜏2−4

2)𝑡

+ (1 −𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−𝜏2

−√𝜏2−4

2)𝑡

)

)

]

Entonces factorizando términos semejantes:



𝑦(𝑡) =

[

1 − 0.5 × 𝑒(−𝜏𝑡2

)

(

((1 +𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(√𝜏2−4

2)+ (1 −

𝜏

√𝜏2 − 4) 𝑒

(−√𝜏2−4

2))

)

]

Evaluamos 𝝉 > 𝟐, obtenemos:

τ

3 4 5 6

t y(t) y(t) y(t) y(t)

0 -1.83262 -3.16117 -5.33899 -8.94122

0.1 -1.43806 -2.40688 -3.93681 -6.36464

0.2 -1.09846 -1.78932 -2.84479 -4.45586

0.3 -0.80616 -1.2837 -1.99433 -3.0418

0.4 -0.55458 -0.86974 -1.33198 -1.99424

0.5 -0.33804 -0.53081 -0.81615 -1.21819

0.6 -0.15166 -0.25332 -0.41442 -0.64327

0.7 0.008758 -0.02613 -0.10155 -0.21737

0.8 0.14683 0.159874 0.142111 0.098153

0.9 0.26567 0.312163 0.331876 0.331895

1 0.367956 0.436846 0.479664 0.505056

1.1 0.455995 0.538929 0.594762 0.633336

1.2 0.531771 0.622507 0.6844 0.728369

1.3 0.596991 0.690935 0.754211 0.798771

1.4 0.653127 0.746959 0.808579 0.850926

1.5 0.701444 0.792827 0.850921 0.889563

1.6 0.74303 0.830381 0.883897 0.918186

1.7 0.778824 0.861128 0.909579 0.939391

1.8 0.809632 0.886301 0.92958 0.9551

1.9 0.836149 0.906911 0.945157 0.966737

2 0.858972 0.923785 0.957288 0.975358

2.1 0.878616 0.937601 0.966736 0.981745

2.2 0.895524 0.948912 0.974094 0.986476

2.3 0.910077 0.958173 0.979824 0.989981

2.4 0.922602 0.965755 0.984287 0.992578

2.5 0.933383 0.971962 0.987763 0.994502

2.6 0.942662 0.977045 0.99047 0.995927

2.7 0.950649 0.981206 0.992578 0.996982

2.8 0.957523 0.984613 0.99422 0.997765

2.9 0.96344 0.987402 0.995498 0.998344



3 0.968532 0.989685 0.996494 0.998773

3.1 0.972916 0.991555 0.99727 0.999091

3.2 0.976688 0.993086 0.997874 0.999327

3.3 0.979935 0.994339 0.998344 0.999501

3.4 0.98273 0.995365 0.99871 0.99963

3.5 0.985136 0.996206 0.998996 0.999726

3.6 0.987206 0.996893 0.999218 0.999797

3.7 0.988988 0.997456 0.999391 0.99985

3.8 0.990522 0.997918 0.999526 0.999889

3.9 0.991842 0.998295 0.99963 0.999918

4 0.992979 0.998604 0.999712 0.999939

4.1 0.993957 0.998857 0.999776 0.999955

4.2 0.994798 0.999064 0.999825 0.999966

4.3 0.995523 0.999234 0.999864 0.999975

4.4 0.996147 0.999373 0.999894 0.999982

4.5 0.996683 0.999486 0.999918 0.999986

4.6 0.997145 0.99958 0.999936 0.99999

Cuando 𝝉 = 𝟑

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=3



Cuando 𝝉 = 𝟒

Cuando 𝝉 = 𝟓

-3.4-3.2

-3-2.8-2.6-2.4-2.2

-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=4



Cuando 𝝉 = 𝟔

-5.8-5.6-5.4-5.2

-5-4.8-4.6-4.4-4.2

-4-3.8-3.6-3.4-3.2

-3-2.8-2.6-2.4-2.2

-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0 1 2 3 4 5

y(t)

t

tao=5



Evaluacion de τ:

-9.6-9.4-9.2

-9-8.8-8.6-8.4-8.2

-8-7.8-7.6-7.4-7.2

-7-6.8-6.6-6.4-6.2

-6-5.8-5.6-5.4-5.2

-5-4.8-4.6-4.4-4.2

-4-3.8-3.6-3.4-3.2

-3-2.8-2.6-2.4-2.2

-2-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0 1 2 3 4 5y(

t)

t

tao=6



-10.8

-8.8

-6.8

-4.8

-2.8

-0.8

1.2

0 1 2 3 4 5y(

t)

t

tao=3

tao=4

tao=5

tao=6

Ejercicios de Sistemas Dinamicos de Orden Superior

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