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EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LIMITES Y CONTINUIDAD I

Ejercicio 1: En este ejercicio vamos a recordar como se resuelven las inde-terminaciones mas importantes. En cada indeterminacion se describen losprimeros pasos de la resolucion para que progresivamente podais aprenderlos pasos a seguir.

1. lımx→+∞

3x4 − 6x + 1

5x3 + 3x2

Ind.(∞∞ )= lım

x→+∞

3x4−6x+1x3

5x3+3x2

x3

= lımx→+∞

3x4

x3 − 6xx3 + 1

x3

5x3

x3 + 3x2

x3

= lımx→+∞

3x

5=

+∞Ahora continua, siguiendo el mismo argumento que en el ejemplo, lossiguientes lımites.

2. lımx→+∞

2x2 − x + 5

x− 2

Ind.(∞∞ )= lım

x→+∞

2x2−x+5x

x−2x

= · · ·

3. lımx→−∞

−3x2 − 4x

1− x

Ind.(∞∞ )= · · ·

4. lımx→+∞

6x2 + 5x

2x3 + x

Ind.(∞∞ )= lım

x→+∞

6x2+5xx2

2x3+xx2

= · · ·

5. lımx→+∞

3x3 + x2 − 2

−6x3 − 2x2 + 1

Ind.(∞∞ )= · · ·

1

2 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LIMITES Y CONTINUIDAD I

6. lımx→+∞

(3x + 1)2(x− 2)(x + 1)2

x3(1− x)2

Operamos=

lımx→+∞

9x5 + 6x4 − 26x3 − 36x2 − 15x− 2

x5 − 2x4 + x3

Ind.(∞∞ )= · · ·

7. lımx→+∞

(3x− 1)2x

x3 − 10x

Operamos= · · ·

8. lımx→+∞

(3x3 + 5

x + 2− 4x3 − x

x− 2

)Ind.(∞−∞)

=Operamos

lımx→+∞

−x4 − 14x3 + x2 + 7x− 10

x2 − 4

Ind.(∞∞ )= · · ·

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LIMITES Y CONTINUIDAD I 3

9. lımx→+∞

(x3

x2 + 1− x

2

)Ind.(∞−∞)

=Operamos

· · ·

10. lımx→+∞

(√4x2 + 1− 2x

)Ind.(∞−∞)

=Mult./Div.conjugado

lımx→+∞

(√4x2 + 1− 2x

1·√

4x2 + 1 + 2x√4x2 + 1 + 2x

)Multiplicamos

=

lımx→+∞

1√4x2 + 1 + 2x

1∞= 0

11. lımx→+∞

(√x2 − 4x + 5− x

)Ind.(∞−∞)


· · ·

12. lımx→+∞

(√x2 + 2x− x

)Ind.(∞−∞)


· · ·


13. lımx→+∞

(√x4 + 6x2 + 2x− x2

)Ind.(∞−∞)


· · ·

14. lımx→+∞

(√x2 + 1−

√x2 − 1

)Ind.(∞−∞)


· · ·

15. lımx→+∞

(5x2

x− 1− 3x2

x + 1

)Ind.(∞−∞)

=Operamos

· · ·


16. lımx→+∞

(x2

x2 − 1

)xInd.((1)∞)

=Numero e

elım

x→+∞x

(x2

x2 − 1− 1

)Operamos exp.

=

elım

x→+∞x

(1

x2 − 1

)= e

lımx→+∞

x

x2 − 1Ind.(∞∞ )

= e0 = 1

17. lımx→+∞

(x

x + 1

)−xInd.((1)∞)

=Numero e

· · ·

18. lımx→+∞

(2x + 1

2x− 1

)3xInd.((1)∞)

=Numero e

· · ·

19. lımx→+∞

(x2 − 2

x2 + x

)−2x2

Ind.((1)∞)=

Numero e· · ·


20. lımx→+∞

(x3 − x

x3 + 1

)x2

2 Ind.((1)∞)=

Numero e· · ·


Ejercicio 2: En este ejercicio vamos a repasar el estudio de las asıntotas deuna funcion racional. Fıjate bien en la justificacion del estudio y las con-clusiones que se obtienen en cada paso. Los ejercicios no deben resolversecon una secuencia de sımbolos matematicos que deban ser interpretados porel lector. Antes de empezar repasa bien los tipos de asıntotas y, durante laresolucion, mantente alerta a las operaciones y signos.1. Dada la funcion:

f(x) =2x + 1

x− 2

se pide:a) Determinar su dominio de definicionb) Estudiar la existencia de asıntotas y realizar un grafico que exprese

las conclusiones del estudioSOLUCION:a) Por definicion, el dominio de una funcion f(x) es el conjunto:

Dom(f) = {x ∈ R | ∃f(x)}

para este caso concreto, al tratarse de una funcion racional tendremosque:

Dom(f) = {x ∈ R | ∃f(x)} = {x ∈ R | x− 2 6= 0}

como x− 2 = 0 cuando x = 2 concluimos que

Dom(f) = R \ {2}

b) Una asıntota es una recta a la que la funcion se aproxima arbitraria-mente en diferentes situaciones. Las diferentes asıntotas que estudiare-mos seran:

ASINTOTAS VERTICALES: Para las funciones racionales se pue-de presentar una asıntota vertical en los puntos que quedan fueradel dominio, siempre que en dichos puntos se produzca una discon-tinuidad de salto infinito. Para este caso tendremos que estudiar ellımite de la funcion, a la izquierda y a la derecha del valor x = 2.Lımite por la izquierda:

f(2−) = lımx→2−

f(x) = lımx→2−

2x + 1

x− 2

50=∞

si sustituimos la variable x de la funcion por un valor ”ligeramen-te” inferior a 2, por ejemplo, 1,99 se obtiene: f(1,99) = 2·1,99+1

1,99−2=

−498 < 0 por lo tanto se tiene que:

f(2−) = lımx→2−

2x + 1

x− 2= −∞


Lımite por la derecha:

f(2+) = lımx→2+

f(x) = lımx→2+

2x + 1

x− 2

50=∞

si sustituimos la variable x de la funcion por un valor ”ligera-mente” superior a 2, por ejemplo, 2,01 se obtiene: f(2,01) =2·2,01+12,01−2

= 502 > 0 por lo tanto se tiene que:

f(2+) = lımx→2+

2x + 1

x− 2= +∞

CONCLUSION: Como en x = 2 se produce una discontinuidad desalto infinito podemos concluir que la funcion presenta una asıntotavertical en x = 2.

ASINTOTA HORIZONTAL: Las asıntotas horizontales se presen-tan en los valores de la coordenada y a los que se aproxima la funcioncuando x tiende a +∞ y a −∞. Ası, para estudiar la existencia es-tudiaremos los lımites en ambos infinitos.Lımite en +∞ :

lımx→+∞

f(x) = lımx→+∞

2x + 1

x− 2

Ind.(∞∞ )= lım

x→+∞

2x

x= 2

Lımite en −∞ :

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

2x + 1

x− 2

Ind.(∞∞ )= lım

x→−∞

2x

x= 2

CONCLUSION: El lımite en ambos infinitos es igual al nume-ro 2, por lo tanto podemos concluir que se presenta una asıntotahorizontal en y = 2.

ASINTOTA OBLICUA : La asıntota oblicua, si existe, es una rec-ta de la forma y = mx + n. donde m y n son los siguientes lımites:

m = lımx→∞

f(x)

x

n = lımx→∞

[f(x)−mx]

La existencia de asıntota oblicua viene condicionada por la existen-cia de los lımites anteriores y siempre que m 6= 0, ya que en el casode que m = 0 tendrıamos el caso degenerado de asıntota horizontalque ya fue estudiado en el paso anterior.Calculo de m :

m = lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

2x+1x−2

x= lım

x→∞

2x + 1

x2 − 2x

Ind.(∞∞ )= lım

x→∞

2x

x2= 0


CONCLUSION: Como m = 0 no tenemos asıntota oblicua yaque se trata del caso degenerado de asıntota horizontal estudiadoen el paso anterior.

Una vez realizado el estudio de la existencia de asıntotas, y antes depasar a la representacion grafica, debemos estudiar la posicion relativade la funcion respecto a las asıntotas horizontales y/o oblicuas. En estecaso solo se presenta asıntota horizontal, por lo tanto estudiaremos elsigno en las proximidades de +∞ y de −∞ de la diferencia f(x)− 2 (o2− f(x)):

f(x)− 2 =2x + 1

x− 2− 2

Operando=

2x + 1− 2x + 4

x− 2=

5

x− 2

Estudiamos el signo cuando x ≈ −∞ : Si x ≈ −∞, entonces x−2 tendra signo negativo. Como el numerador de f(x)−2 es constan-temente igual a 5, es positivo, en las proximidades de −∞ tenemosque f(x)− 2 < 0. Ası, cuando x tiende a −∞ podemos concluir quela funcion se encuentra por debajo de la asıntota horizontal.

Estudiamos el signo cuando x ≈ +∞ : Si x ≈ +∞, entonces x−2 tendra signo positivo. Como el numerador de f(x)− 2 es constan-temente igual a 5, es positivo, en las proximidades de +∞ tenemosque f(x)− 2 > 0. Ası, cuando x tiende a +∞ podemos concluir quela funcion se encuentra por encima de la asıntota horizontal.

Con toda la informacion extraıda en el estudio podemos elaborar elsiguiente esbozo:

2

2

0

AHORA HAZLO TU


2. Dada la funcion:

f(x) =x + 1

x− 1se pide:a) Determinar su dominio de definicionb) Estudiar la existencia de asıntotas y realizar un grafico que exprese

las conclusiones del estudioSOLUCION:a) (Completa el razonamiento) Por definicion, el dominio de una funcionf(x) es el conjunto:

Dom(f) = {x ∈ R | ∃f(x)}para este caso concreto. . .

Dom(f) =

b) (Completa la introduccion) Una asıntota es. . .

ASINTOTAS VERTICALES: (Completa la introduccion) Para lasfunciones racionales se puede presentar . . .

Lımite por la izquierda: (Completa los calculos como en el ejem-plo)

f(1−) = lımx→1−

f(x) = · · ·

(Completa el analisis)


si sustituimos la variable x de la funcion por un valor ”ligera-mente” · · ·

f(1−) = lımx→1−

x + 1

x− 1=?‘?

Lımite por la derecha: (Completa los calculos como en el ejem-plo)

f(1+) = lımx→1+

f(x) = · · ·

(Completa el analisis)

si sustituimos la variable x de la funcion por un valor ”ligera-mente” · · ·

f(1+) = lımx→1+

2x + 1

x− 2=?‘?

(Completa la conclusion)

CONCLUSION: Como en x = 1 . . .

ASINTOTA HORIZONTAL: (Completa la introduccion) Las asınto-tas horizontales se presentan . . .


Lımite en +∞ : (Completa los calculos como en el ejemplo)

lımx→+∞

f(x) = · · ·

Lımite en −∞ : (Completa los calculos como en el ejemplo)

lımx→−∞

f(x) = · · ·


CONCLUSION: El lımite en ambos infinitos. . .

ASINTOTA OBLICUA : (Completa la introduccion) La asıntotaoblicua, si existe, es. . .

La existencia de asıntota oblicua viene condicionada por. . .


Calculo de m :

m = lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

x+1x−1

x= lım

x→∞

x + 1

x2 − x

Ind.(∞∞ )= lım

x→∞

x

x2= 0


CONCLUSION: Como m = 0 . . .

(Completa el analisis)Una vez realizado el estudio de la existencia de asıntotas, y antes depasar a la representacion grafica, debemos estudiar la posicion relativade la funcion respecto a las asıntotas horizontales y/o oblicuas. En estecaso solo se presenta asıntota horizontal, por lo tanto estudiaremos elsigno en las proximidades de +∞ y de −∞ de. . .

Estudiamos el signo cuando x ≈ −∞ : (Realiza el analisis)

Estudiamos el signo cuando x ≈ +∞ : (Realiza el analisis)


3. Dada la funcion:

f(x) =x2

x + 1se pide:a) Determinar su dominio de definicionb) Estudiar la existencia de asıntotas y realizar un grafico que exprese

las conclusiones del estudioSOLUCION:a) (Completa el razonamiento) Por definicion, el dominio de una funcionf(x) es el conjunto:

Dom(f) = {x ∈ R | ∃f(x)}para este caso concreto. . .

Dom(f) =

b) (Completa la introduccion) Una asıntota es. . .

ASINTOTAS VERTICALES: (Completa la introduccion) Para lasfunciones racionales se puede presentar . . .

Lımite por la izquierda: (Completa los calculos como en el ejem-plo)

f(−1−) = · · ·


(Completa el analisis)si sustituimos la variable x de la funcion por un valor ”ligera-mente” · · ·

f(−1−) = · · ·

Lımite por la derecha: (Completa los calculos como en el ejem-plo)

f(−1+) = · · ·

(Completa el analisis)si sustituimos la variable x de la funcion por un valor ”ligera-mente” · · ·

f(−1+) = · · ·


CONCLUSION: Como en x = −1 . . .


ASINTOTA HORIZONTAL: (Completa la introduccion) Las asınto-tas horizontales se presentan . . .

Lımite en +∞ : (Completa los calculos como en el ejemplo)

lımx→+∞

f(x) = · · ·

Lımite en −∞ : (Completa los calculos como en el ejemplo)

lımx→−∞

f(x) = · · ·


CONCLUSION: El lımite en ambos infinitos. . .

ASINTOTA OBLICUA : (Completa la introduccion) La asıntotaoblicua, si existe, es. . .


La existencia de asıntota oblicua viene condicionada por. . .

Calculo de m :

m = lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

x2

x+1

x= lım

x→∞

x2

x2 + x

Ind.(∞∞ )= lım

x→∞

x2

x2= 1

CONCLUSION: Como m = 1 se presentara una asıntota obli-cua. Para determinarla completamente debemos calcular el valorde su coordenada en el origen n

Calculo de n :

n = lımx→∞

[f(x)−mx] = lımx→∞

[x2

x + 1− x

]= lım

x→∞

−xx + 1

Ind.(∞∞ )= lım

x→∞

−xx

= −1

CONCLUSION: La funcion presenta una asıntota oblicua en la rectade ecuacion y = x− 1(Completa el analisis)Una vez realizado el estudio de la existencia de asıntotas, y antes depasar a la representacion grafica, debemos estudiar la posicion relativade la funcion respecto a las asıntotas horizontales y/o oblicuas. En estecaso solo se presenta asıntota oblicua, por lo tanto estudiaremos el signoen las proximidades de +∞ y de −∞ de f(x)− (mx + n):

f(x)− (mx + n) =x2

x + 1− (x− 1) =

x2 − x2 + 1

x + 1=

1

x + 1

Estudiamos el signo cuando x ≈ −∞ : (Realiza el analisis)


Estudiamos el signo cuando x ≈ +∞ : (Realiza el analisis)



Ejercicio 3: Ya has visto un ejemplo completo y dos ejemplos guiados delestudio de las asıntotas. Si no has entendido algo o no te queda claro alguncomentario o conclusion debes repasar la teorıa y/o preguntar a tu profesor.Ahora llega el momento de sistematizar el proceso. Debes ser metodico/a enla resolucion de ejercicios de este tipo, los comentarios marcan la diferenciaentre un ejercicio mediocre y un ejercicio perfecto, la practica y el esfuerzote ayudaran a reducir el tiempo de la resolucion. Ten presente que lo quenunca debe faltar en tu solucion es la conclusion de tu analisis.

En los siguientes ejercicios debes realizar el estudio completo de la existen-cia de asıntotas. Debes escoger los comentarios y conclusiones que se adaptena cada caso. Utiliza el ejercicio anterior como patron para la resolucion.1. Dada la funcion:

f(x) =x2 + 1

2x + 6


las conclusiones del estudio2. (PAU Septiembre 2012) Dada la funcion:

f(x) =2x2 + 1

4− x2


las conclusiones del estudio3. (Acceso a la universidad mayores de 25 anos, 2011) Dada la funcion:

f(x) =2x

x− 4



f(x) =3x2 − 5x− 6

x2 − x− 2


las conclusiones del estudio


5. (PAU Junio 2010) Dada la funcion:

f(x) =x− 2

x2 + 2x− 3



f(x) =3x2 + 4

x2 − 3x + 2


las conclusiones del estudio7. (PAU Junio 2011) Dada la funcion:

f(x) =x2

x2 − x− 6


las conclusiones del estudio8. (Acceso a la universidad mayores de 25 anos, 2012) Dada la funcion:

f(x) =x2

9− x2


las conclusiones del estudio


Ejercicio 4: En este ejercicio y en el siguiente vamos a repasar el conceptode continuidad de una funcion. Recuerda que una funcion es continua en unpunto x0 si esta definida en dicho punto y los lımites laterales coinciden conel valor de la funcion en dicho punto. En caso de no ser continua se puedenpresentar discontinuidades de tipo evitable o inevitable de salto finito oinfinito. Ademas, cuando una funcion es continua en todos los puntos sedice que es continua (o globalmente continua). Fıjate en el ejemplo siguientey completa los ejemplos guiados:1. Dada la funcion:

f(x) =

−2x− 1 si x < 0

x− 1 si 0 ≤ x ≤ 2

2x− 5 si x > 2

se pide:a) Estudiar la continuidad en los puntos x = 0 y x = 2.b) Estudiar su continuidad en todo R.

SOLUCION:a) Una funcion f(x) es continua en un punto x0 si se cumplen las

siguientes condiciones:i) f(x) esta definida en x0 (x0 pertenece al dominio de f)ii) Se cumplen las igualdades:

f(x−0 ) = lımx→x−0

f(x) = f(x0) = lımx→x+

0

f(x) = f(x+0 )

En este ejercicio se nos pide que estudiemos la continuidad en dospuntos x = 0 y x = 2. Analizaremos cada caso por separado:Continuidad en x = 0: En primer lugar observamos que la fun-

cion esta definida en x = 0 ya que la segunda de las condicionescontiene el valor 0. Veamos si los lımites laterales coinciden conel valor de la funcion en dicho punto:Lımite por la izquierda:

f(0−) = lımx→0−

f(x) = lımx→0−

(−2x− 1) = −1


f(0+) = lımx→0+

f(x) = lımx→0+

(x− 1) = −1

Valor de la funcion en el punto:

f(0) = −2 · 0− 1 = −1

A la vista de estos calculos tenemos que f(0−) = f(0+) = f(0) =1, por lo tanto concluimos que f(x) es continua en x = 0.


Continuidad en x = 2: En primer lugar observamos que la fun-cion esta definida en x = 2 ya que la segunda de las condicionescontiene el valor 2. Veamos si los lımites laterales coinciden conel valor de la funcion en dicho punto:Lımite por la izquierda:

f(2−) = lımx→2−

f(x) = lımx→2−

x− 1 = 1


f(2+) = lımx→2+

f(x) = lımx→2+

2x− 5 = −1

Valor de la funcion en el punto:

f(2) = 2− 1 = 1

En este caso se tiene que f(2−) 6= f(2+) y ambos lımites sonfinitos por lo tanto f(x) presenta una discontinuidad inevitablede salto finito en el punto x = 2.

b) Estudiar la continuidad global en todo R es analizar los puntos don-de la funcion es continua e indicar las localizaciones de las disconti-nuidades y analizar su tipo. En el apretado anterior hemos analizadola continuidad en los puntos x = 0 y x = 2, veamos que ocurre enel resto de puntos:¿Que ocurre cuando x < 0?: Tal y como esta definida la fun-

cion, si x < 0 tenemos que f(x) = −2x − 1 que se trata de unpolinomio y por lo tanto de una funcion continua (los polinomiossiempre lo son)

¿Que ocurre cuando 0 < x < 2?: En este caso la funcion esta de-finida como f(x) = x − 1, de nuevo una expresion polinonica ypor lo tanto continua.

¿Que ocurre cuando x > 2?: La funcion, para este rango de va-lores, vuelve a estar definida como un polinomio, f(x) = 2x− 5,por lo que concluimos que se trata de una funcion continua.

A la vista de este analisis y el realizado en el apartado anteriorpodemos concluir que:

f(x) es continua en el conjunto R \ {2}f(x) es discontinua en x = 2, donde se presenta una discontinui-dad inevitable de salto finito


2. Dada la funcion:

f(x) =

x2 + 1 si x < −1

−x + 2 si −1 ≤ x ≤ 1

x2 − 1 si x > 1


SOLUCION:a) (Completa la introduccion) Una funcion f(x) es continua en un pun-

to x0 si. . .

En este ejercicio se nos pide que estudiemos la continuidad en. . .

Continuidad en x = −1: (Completa la introduccion) En primerlugar observamos que. . .

Lımite por la izquierda: (Completa los calculos)f(−1−) =

Lımite por la derecha: (Completa los calculos)f(−1+) =


Valor de la funcion en el punto: (Completa los calculos)f(−1) =

(Completa la conclusion)A la vista de estos calculos tenemos que. . .

Continuidad en x = 1: (Completa la introduccion) En primer lu-gar observamos que. . .

Lımite por la izquierda: (Completa los calculos)f(1−) =

Lımite por la derecha: (Completa los calculos)f(1+) =

Valor de la funcion en el punto: (Completa los calculos)f(1) =



b) (Completa la introduccion) Estudiar la continuidad global en todoR es. . .

¿Que ocurre cuando x < −1?: (Completa el analisis)Tal y como esta definida la funcion, si x < −1 . . .

¿Que ocurre cuando −1 < x < 1?: (Completa el analisis)En este caso. . .

¿Que ocurre cuando x > 1?: (Completa el analisis)La funcion, para este rango de valores. . .

(Completa la conclusion)A la vista de este analisis. . .

f(x) es continua en. . .

f(x) es discontinua en. . .


3. Dada la funcion:

f(x) =

8

x+3si x < 1

x2 + 3x si 1 ≤ x ≤ 3x2

x−2si x > 3


SOLUCION: Ojo en este ejercicio con los puntos que no estan en eldominioa) (Completa la introduccion) Una funcion f(x) es continua en un pun-

to x0 si. . .

En este ejercicio se nos pide que estudiemos la continuidad en. . .





b) (Completa la introduccion) Estudiar la continuidad global en todoR es. . .

¿Que ocurre cuando x < 1?: (Completa el analisis)Tal y como esta definida la funcion, si x < 1 . . .

¿Que ocurre cuando 1 < x < 3?: (Completa el analisis)En este caso. . .

¿Que ocurre cuando x > 3?: (Completa el analisis)La funcion, para este rango de valores. . .

(Completa la conclusion)A la vista de este analisis. . .

f(x) es continua en. . .

f(x) es discontinua en. . .


Ejercicio 5: Ya has visto un ejemplo completo y dos ejemplos guiados del es-tudio de la continuidad local y global. Si no has entendido algo o no te quedaclaro algun comentario o conclusion debes repasar la teorıa y/o preguntara tu profesor. Ahora llega el momento de sistematizar el proceso. Debes sermetodico/a en la resolucion de ejercicios de este tipo, los comentarios marcanla diferencia entre un ejercicio mediocre y un ejercicio perfecto, la practica yel esfuerzo te ayudaran a reducir el tiempo de la resolucion. Ten presenteque lo que nunca debe faltar en tu solucion es la conclusion de tuanalisis.1. Dada la funcion:

f(x) =

{x2 − 1 si x ≤ 2

x + 1 si x > 2

se pide:a) Estudiar la continuidad en el punto x = 2.b) Estudiar su continuidad en todo R.

2. Dada la funcion:

f(x) =

x2 + 1 si x < 2

2x− 1 si 2 ≤ x < 4

5 si x ≥ 4


3. Dada la funcion:

f(x) =

{x+2x−1

si x ≤ 23x2−2xx+2

si x > 2


4. Dada la funcion:

f(x) =

x2 si x < 2

x + 1 si 2 ≤ x ≤ 5

−x2 + 5x + 6 si x > 5



5. Dada la funcion:

f(x) =

2x + 24 si x ≤ −3

x2 + 9 si −3 < x ≤ 2

−x + 15 si x > 2

se pide:a) Estudiar la continuidad en los puntos x = −3 y x = 2.b) Estudiar su continuidad en todo R.

6. Dada la funcion:

f(x) =

{−x2 − x + 6 si x < 14x

si x ≥ 1


7. Dada la funcion:

f(x) =

2x2 si x ≤ −1

−3x2 + 3 si −1 < x < 1

x− (x−1)2

2− 1 si x ≥ 1

se pide:a) Estudiar la continuidad en los puntos x = −1 y x = 1.b) Estudiar su continuidad en todo R.

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