Ejercicios de funcin objetivo 1. Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L 1 y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se

dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por

unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo benef icio.

2. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. 500 Unos almacenes y 400 quieren ofrecer la 600

cuadernos,

carpetas

bolgrafos

para

oferta,

empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete le sern 6.5 y 7 , de respectivamente. cada tipo para Cuntos el

paquetes

conviene

poner

obtener

mximo beneficio? 3. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una

composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo? 4. Se dispone de 600 g de un determinado f rmaco para elaborar pastillas grandes y pequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes,

y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada pastill a grande proporci ona un benefi ci o de 2 y l a peque a de 1 . Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo? 5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada ti po para maximizar la ganancia? 6. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigera do. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeracin y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por ki l metro de u n cami n del tipo A es de 30 y el B de 40 . Cuntos camiones de cada tipo ha de utilizar para que e l coste total sea mnimo? 7. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La

empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 pl azas, pero sl o di spone de 9 con ductores. El al quil er d e un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeo 600 . Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L 1 y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L 1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio.

1Eleccin de las incgnitas. x = n de lmparas L 1 y = n de lmparas L 2

2Funcin objetivo f(x, y) = 15x + 10y

3Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1

L2

Tiempo

Manual Mquina

1/3 1/3

1/2 1/6

100 80

1/3x + 1/2y 100 1/3x + 1/6y 80 Como el nmero de lmparas son nmeros naturales,

tendremos dos restricciones ms: x 0 y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar grficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer

cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para el l o tomamos un punto del pl ano, por ejem pl o el (0,0). 1/30 + 1/20 100 1/30 + 1/60 80

La

zona

de

interseccin

de

las

soluciones

de

las

i necuaci ones ser a l a sol uci n al si stema de i necuaci ones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles. La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la funcin objetivo En vrtices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000 f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600 f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo la funcin objetivo sustituimos cada uno de los

La solucin ptima es fabricar 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 .

2. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600

cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafos para la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer

bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los

precios de cada paquete sern 6.5 y 7 , respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo para

obtener el mximo beneficio?

1Eleccin de las incgnitas. x = P1 y = P2

2Funcin objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y

3Restricciones

P1 Cuadernos Carpetas Bolgrafos 2 1 2

P2 3 1 1

Disponibles 600 500 400

2x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x 0 y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

f(x,y)= 6.5 200 + 7 0 = 1300 f(x,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400 f(x,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 Mximo

La solucin ptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675

3. En una granja de poll os se da una di eta, para engordar, con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el el mercado tipo X slo con se una

encuentra

dos

clases de compuestos:

composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composi ci n de ci nco uni dades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo?

1Eleccin de las incgnitas. x = X y = Y

2Funcin objetivo f(x,y) = 10x + 30y

3Restricciones

X

Y

Mnimo

A

1

5

15

B

5

1

15

x + 5y 15

5x + y 15

x 0

y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

f(0, 15) = 10 0 + 30 15 = 450 f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 Mnimo

El coste mnimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2. 4. Se dispone de 600 g de un determinado frmaco para

elaborar pastillas grandes y pequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos tres

pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo?

1Eleccin de las incgnitas.

x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeas

2Funcin objetivo f(x, y) = 2x + y

3Restricciones

40x + 30y 600

x 3

y 2x

x 0

y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x, y)= 2 3 + 16 = 22 f(x, y)= 2 3 + 6 = 12

f(x, y)= 2 6 + 12 = 24

Mximo

El mximo beneficio es de 24 , y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeas 5. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

1Eleccin de las incgnitas. x = n de lotes de A y = n de lotes de B

2Funcin objetivo f(x, y) = 30x + 50y

3Restricciones

A

B

Mnimo

Camisas

1

3

200

Pantalones

1

1

100

x + 3y 200 x + y 100 x 20 y 10

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100 f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200 f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600

f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 Con 50 lotes de cada tipo mxima de 4000 .

Mximo ganancia

se obtiene una

6.

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m 3 de producto que necesita refrigeracin y 4 000 m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilmetro de un camin del tipo A es de 30 y el B de 40 . Cuntos camiones de cada tipo ha de utilizar p ara que el coste total sea mnimo?

1Eleccin de las incgnitas.

x = camiones de tipo A

y = camiones de tipo B

2Funcin objetivo

f(x,y) = 30x + 40y

3Restricciones

A

B

Total

Refrigerado

20

30

3000

No 40 refrigerado 30 4000

20x + 30y 3 000

40x + 30y 4 000

x 0

y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5

Calcular

las

coordenadas

de

los

vrtices

del

recinto

de

las

soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

f(0, 400/3) = 30 0 + 40 400/3 = 5 333.332

f(150, 0) = 30 150 + 40 0 = 4 500

Como x e y han de ser nmeros naturales redondeamos el valor de y.

f(50, 67) = 30 50 + 40 67 = 4180

Mnimo

El coste mnimo son 4 180 para A = 50 y B = 67

7.

Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeo 600 . Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela.

1Eleccin de las incgnitas.

x = autobuses pequeos

y = autobuses grandes

2Funcin objetivo

f(x, y) = 600x + 800y

3Restricciones

40x + 50y 400

x + y 9

x 0

y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5

Calcular

las

coordenadas

de

los

vrtices

del

recinto

de

las

soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

f(0, 8) = 600 0 + 800 8 = 6 400

f(0, 9) = 600 0 + 800 9 = 7 200

f(5, 4) = 6 00 5 + 800 4 = 6 200

Mnimo

El coste mnimo es de 6 200 , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeos .

WEBGRAFAhttp://www.vitutor.com/index.html http://centros4.pntic.mec.es/~santam24/economat/ej_proglin_econ omia.htm http://www.investigacion -operaciones.com/Solucion_Grafica.htm http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm

SEGUNDA PARTE

Ejercicio 1. Una empresa tiene dos talleres y que fabrican tres tipos de bicicletas A, B y C. Cada semana deben entregar 18 bicicletas del tipo A, 16 del B y 6 del C. El taller produce cada da 9 bicicletas de A, 4 de B y 1 de C y tienen unos costes diarios de 1.000.000 pesetas. El taller tiene unos costes diarios de 800.000 pesetas y produce 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Cuntos das a la semana debe trabajar cada taller para que los costes sean mnimos y se mantengan las entregas semanales? Ejercicio 2. Una tienda de lencera encarga a un fabricante pijamas y camisones. El fabricante dispone de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de nylon. Para cada pijama necesita 1 m de algodn y 2 m de nylon y para cada camisn 1,5 m de algodn y 1 m de nylon. El precio de venta del pijama es de 5000 Ptas. y el del camisn de 2000 Ptas. Qu nmero de pijamas y camisones debe suministrar el fabricante para que la tienda de lencera consiga los mximos beneficios con la venta? Ejercicio 3. Una compaa petrolfera requiere 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petrleo de calidad alta, media y baja respectivamente. La compaa tiene dos refineras. La refinera A produce diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinera B produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El coste diario de cada una de las refineras es de 20.000.000 de ptas. Cuntos das debe de trabajar cada refinera para que el costo sea mnimo?. Ejercicio 4. Un fabricante produce dos tipos de telfonos mviles, A y B. Los aparatos de tipo A se venden a 10000 Ptas. Y los de tipo B a 20000 Ptas. La produccin de un telfono tipo A requiere una hora de trabajo en la seccin de montaje y dos horas en pintura. La fabricacin de un telfono tipo B precisa tres horas de montaje y una hora de pintura. La seccin de montaje solos puede funcionar 9 horas diarias y la de pintura 8 horas. Cul debe ser la produccin diaria de cada tipo de telfono para obtener los mximos beneficios? A cunto ascenderan esos beneficios?. Ejercicio 5. Un laboratorio farmacutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 Ptas. el gramo, el cual contiene 4 unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 Ptas. por gramo que contiene 1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6 de C. Cuntos gramos de cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo? Ejercicio 6. El granjero Lpez tiene 480 hectreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin crucial del verano. Dados mrgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuntas hectreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?Cul es sta utilidad mxima? Ejercicio 7. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto perodo de tiempo. Existen dos pldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada pldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6

centavos. Cada pldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2). Cules combinaciones de pldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Ejercicio 8. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio? Ejercicio 9. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica posible para la escuela. Ejercicio 10. Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean mximas.

Ejercicio 1. Una empresa tiene dos talleres y que fabrican tres tipos de bicicletas A, B y C. Cada semana deben entregar 18 bicicletas del tipo A, 16 del B y 6 del C. El taller produce cada da 9 bicicletas de A, 4 de B y 1 de C y tienen unos costes diarios de 1.000.000 pesetas. El taller tiene unos costes diarios de 800.000 pesetas y produce 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Cuntos das a la semana debe trabajar cada taller para que los costes sean mnimos y se mantengan las entregas semanales? Solucin: Denominamos x el nmero de das de la semana que trabaja el taller e y el nmero de das que trabaja el taller. La funcin objetivo que hay que optimizar, en este caso minimizar es: f(x, y)= 1.000.000x + 800.000 y = 106 x + 8.105 y; con las inecuaciones (restricciones): 9x + 3y 18; 4x + 4y 16; x + 3y 6; x 0; y 0. Representamos la regin factible, delimitada por las inecuaciones y representamos la recta: 106 x + 8.105 y = 0, que se desplazar paralelamente hacia la derecha para encontrar el punto mnimo. Las coordenadas del mnimo son (1,3). El taller trabajar 1 da y el taller 3 das con un coste semanales de 340.000 Ptas. Ejercicio 2. Una tienda de lencera encarga a un fabricante pijamas y camisones. El fabricante dispone de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de nylon. Para cada pijama necesita 1 m de algodn y 2 m de nylon y para cada camisn 1,5 m de algodn y 1 m de nylon. El precio de venta del pijama es de 5000 Ptas. y el del camisn de 2000 Ptas. Qu nmero de pijamas y camisones debe suministrar el fabricante para que la tienda de lencera consiga los mximos beneficios con la venta? Solucin: Ordenamos los datos en una tabla, denominando x al nmero de pijamas e y al de camisones. Pijamas(x) Tejido de algodn Tejido de nylon 1 2 Camisones(y) 1,5 1 Tela disponible 750 1000

La funcin objetivo que hay que optimizar, en este caso maximizar, es: f (x, y) = 5000 x + 2000 y; con las inecuaciones (restricciones) que vienen dadas por la cantidad de tejido y por el nmero de pijamas y camisones que son nmeros naturales: para el de algodn 1x + 1,5 y 750 2x + 3y 1500;

para el de nylon 2x + 1y 1000 2x + y 1000; x 0; y 0. Dibujamos la regin factible, delimitada por las inecuaciones y representamos la recta 5000 x + 2000 y = 0, que se desplazar paralelamente hacia la derecha para encontrar el punto mximo. Sus coordenadas se calcularn resolviendo el sistema: 2x + 3y = 1500; 2x + y = 1000. Resuelto se obtienen x = 375 pijamas, y = 250 camisones. Con su venta se obtendran 2375000 Ptas. Ejercicio 6. Una empresa de construccin dispone de 1800 millones de Ptas. para construir dos tipos de chalets adosados, siendo el coste del tipo S de 30 y del tipo P 20 millones. El beneficio que se obtiene por la venta de un chalet del tipo S es de 4 millones de Ptas. Y por la venta de uno del tipo P de 3 millones de Ptas. Si el ayuntamiento ha condicionado los permisos a que el nmero de edificaciones sea inferior a 80. Cuntos chalets de cada tipo deben edificarse para que el beneficio sea mximo? Qu beneficios obtendra la empresa constructora?.

El granjero Lopez tiene 480 hectreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin crucial del verano. Dados mrgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuntas hectreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?Cul es sta utilidad mxima?

Maiz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs.

Solucin: Como primer paso para la formulacin matemtica de este problema, se tabula la informacin dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectreas de maz e y a las hectreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dlares, est dada por: P=40x+30y Que es la funcin objetivo por maximizar. Maz Horas Hectreas Utilidad por unidad 2 1 $40 Trigo 1 1 $30 800 480 Elementos disponibles

La cantidad total de tiempo par hectreas para sembrar maz y trigo est dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. As se tiene la desigualdad: 2x+y0 y>0 En resumen, el problema en cuestin consiste en maximizar la funcin objetivo P=40x+30y sujeta a las desigualdades 2x+y0

Solucin Grfica Los problemas de programacin lineal en dos variables tienen interpretaciones geomtricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programacin lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una regin plana cuya frontera est formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma grfica. Si consideremos el problema del granjero Lpez, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a 2x+y0 El sistema de desigualdades (7) define la regin plana S que aparece en la figura 5. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce

(7)

Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de

vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto perodo de tiempo. Existen dos pldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada pldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada pldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2). Cules combinaciones de pldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Marca A Hierro Vitamina B-1 Vitamina B-2 Costo por pldora (US$) 40 mg 10 mg 5 mg 0,06 Marca B 10 mg 15 mg 15 mg 0,08 Requerimientos mnimos 2400 mg 2100 mg 1500 mg

Solucin: Sea x el nmero de pldoras de la marca A e y el nmero de pldoras de la marca B por comprar. El costo C, medido en centavos, est dado por C = 6x+ 8y que representa la funcin objetivo por minimizar. La cantidad de hierro contenida en x pldoras de la marca A e y el nmero de pldoras de la marca B est dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad. 40x+10y>2400 Consideraciones similares con los requisitos mnimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades: 10x+15y>2100 5x+15y>1500 respectivamente. As el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a 40x+10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500 x>0, y>0 El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vrtices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).

Los valores de la funcin objetivo C en estos vrtices en la tabla que sigue Vertice A (0,240) B(30,120) C(120,60) D(300,0) C=6x + 8y 1920 1140 1200 1800

La tabla muestra que el mnimo de la funcin objetivo C=6x+8y ocurre en el vrtice B(30,120) y tiene un valor de 1140. As el paciente debe adquirir 30 pldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mnimo de $11,40. El mtodo de las esquinas es de particular utilidad para resolver problemas de programacin lineal en dos variables con un nmero pequeo de restricciones, como han demostrado los ejemplos anteriores, sin embargo su efectividad decrece con rapidez cuando el nmero de variables o de restricciones aumenta. Por ejemplo, se puede mostrar que un ejemplo de programacin lineal en tres variables y cinco restricciones puede tener hasta diez esquinas factibles. La determinacin de las esquinas factibles requiere resolver 10 sistemas 3x3 de ecuaciones lineales y luego comprobar que cada uno es un punto factible, sustituyendo cada una de estas soluciones en el sistema de restricciones. Cuando el nmero de variables y de restricciones aumenta a cinco y diez, respectivamente (que an es un sistema pequeo desde el punto de vista de las aplicaciones en economa), la cantidad de vrtice por hallar y comprobar como esquinas factibles aumenta hasta 252, y cada uno de estos vrtices se encuentra resolviendo el sistema lineal ...de 5x5! Por esta razn, el mtodo de las esquinas se utiliza con poca frecuencia para resolver problemas de programacin lineal, su valor reside en que permite tener una mejor idea acerca de la naturaleza de las soluciones a los problemas de programacin lineal a travs de su uso en la solucin de problemas de dos variables. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin

en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual? Solucin Es un problema de programacin lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B Tipo A Tipo B inversin x y rendimiento 0,1x 0,08y 210000

0,1x+0,08y Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regin factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a r4 OX) x y x y x y x y 0 210000 130000 0 0 60000 0 0 210000 0 130000 65000 La regin factible es la pintada de amarillo, de vrtices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La funcin objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar grficamente que el vrtice mas alejado es el D, y por tanto es la solucin ptima. Comprobarlo analticamente (es decir comprobar que el valor mximo de la funcin objetivo, F, se alcanza en el vrtice D) 2. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio?

Solucin En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo T. Vienesa T. Real N x y Bizcocho 1.x 1.y 150 Relleno 0,250x 0,500y 50 Beneficio 250x 400y

Funcin objetivo (hay que obtener su mximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la regin factible: Para x 0 200 0.25x+0.50y=50, x + 2y=200 Y 100 0

Para x + y =150 x Y 0 150 150 0 La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125 Al eje Ox y =125 Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La regin factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vrtices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados) Se observa que la restriccin y es redundante (es decir sobra) Resolviendo el sistema: , por reduccin obtenemos y=50, x=100 Otro vrtice es el punto C(100, 50) Y el ltimo vrtice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema: X+y=150 X=125 Cuya solucin es: X=125, Y=25 B(125, 25) Los vrtices de la regin son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100), Si dibujamos el vector de direccin de la funcin objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200 x 0 200 Y 0 -125

Se ve grficamente que la solucin es el punto (100, 50), ya que es el vrtice mas alejado (el ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 ) Lo comprobamos con el mtodo analtico, es decir usando el teorema que dice que si existe solucin nica debe hallarse en uno de los vrtices La uncin objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vrtices obtenemos f(125,0)=31.250 f(125,25)=31.250+10.000=41.250 f(100,50)=25.000+20.000=45.000 f(0,100)=40.000 El mximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusin: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 3. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica posible para la escuela. Solucin

Es un problema de programacin lineal, en este caso lo que queremos es hacer mnima la funcin objetivo. Llamamos x al n de autocares de 40 plazas e y al n de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x ,y Como slo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y , que simplificada quedara 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la regin factible (conjunto de puntos solucin donde se cumplen todas las condiciones) son

La funcin objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1 r2 r3 r4 x y x y x y x y 8 0 0 10 0 9 0 8 0 9 10 0 As como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo. Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la regin factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vrtices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este ltimo es el punto de interseccin de las rectas r3 y r4por reduccin

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1 ecuacin, y =4 Resolviendo grficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solucin del problema. La solucin ptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vrtices y que este es el que da menor valor (mtodo analtico). 4. Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000 euros en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el coste sea mnimo?. Solucin Organizamos los datos en una tabla: Alta Calidad calidad media Mina A x 1x 3x Mina B y 2y 2y 80 160 La funcin objetivo C(x, y)=2000x + 2000y das Baja calidad 5x 2y 200 Coste diario 2000x 2000y

Las restricciones son:

La regin factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la regin no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vrtices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estn dentro de la regin factible). r1 r2 r2 r3 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo) que nos da el punto (20, 50)

r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la regin factible. En la grfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solucin es trabajar 40 das en la mina A y 20 en la B. (mtodo grfico) Lo comprobamos aplicando el mtodo analtico: C(0, 100)=2000.100=200000 C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000 C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mnimo C(80, 0)= 2000.80 =160000 5. Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por

mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es este? Sea x = n electricistas y = n mecnicos La funcin objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones

La regin factible sera para estas restricciones:

Se aprecia grficamente (lnea en rojo) que la solucin ptima est en el punto (20, 20). Por tanto: 20 electricistas y 20 mecnicos dan el mximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000 6. Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.

Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean mximas. Solucin Sea x el n que se ofertan de tipo T, y el n que se ofertan de tipo P. n Ganancia Turista x 30x Primera y 40y Total 5000 30x +40y La funcin objetivo es: f(x, y)=30x +40y

Las restricciones: La regin factible:

Los vrtices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente) El mtodo grfico nos da que el punto solucin es el B (3750, 1250)

Comprueba los resultados usando el mtodo analtico (sustituyendo los puntos vrtices en f y viendo q el mximo valor se obtiene en B)